IIT JEE 2002 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिए गए समीकरण सम्मिश्र तल में दो वृत्त दर्शाते हैं:
वृत्त $C_1$: केंद्र $O(0, 0)$,त्रिज्या $r_1 = 12$ है।
वृत्त $C_2$: केंद्र $C(3, 4)$,त्रिज्या $r_2 = 5$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = |(3 + 4i) - 0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
चूंकि $d + r_2 = 5 + 5 = 10 < r_1 = 12$,इसलिए वृत्त $C_2$ पूरी तरह से वृत्त $C_1$ के अंदर स्थित है।
$C_1$ पर एक बिंदु और $C_2$ पर एक बिंदु के बीच की न्यूनतम दूरी $r_1 - (d + r_2) = 12 - (5 + 5) = 12 - 10 = 2$ है।

(A) $AM-GM$ असमिका के अनुसार,$n$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है।
$n$ संख्याओं पर विचार करें: ${a_1}, {a_2}, ..., {a_{n-1}}, 2{a_n}$।
उनका समांतर माध्य $\frac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{n-1}} + 2{a_n}}{n}$ है।
उनका गुणोत्तर माध्य $({a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_{n-1}} \cdot 2{a_n})^{1/n} = (2 \cdot {a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_n})^{1/n} = (2c)^{1/n}$ है।
$AM \ge GM$ लागू करने पर:
$\frac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{n-1}} + 2{a_n}}{n} \ge (2c)^{1/n}$।
अतः,${a_1} + {a_2} + ... + {a_{n-1}} + 2{a_n}$ का न्यूनतम मान $n(2c)^{1/n}$ है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $b = a + d$ और $c = a + 2d$ लें,जहाँ $d > 0$ क्योंकि $a < b < c$ है।
दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $(b^2)^2 = a^2 c^2$,जिसका अर्थ है $b^4 = a^2 c^2$।
वर्गमूल लेने पर,$b^2 = \pm ac$।
यदि $b^2 = ac$ है,तो $a, b, c$ एक $G.P.$ में होंगे। चूंकि वे $A.P.$ में भी हैं,इसलिए $a = b = c$,जो $a < b < c$ का विरोधाभास करता है।
अतः,$b^2 = -ac$।
$b = a + d$ और $c = a + 2d$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(a + d)^2 = -a(a + 2d)$
$a^2 + d^2 + 2ad = -a^2 - 2ad$
$2a^2 + 4ad + d^2 = 0$।
$a + b + c = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इसलिए $3a + 3d = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $a + d = \frac{1}{2}$,यानी $d = \frac{1}{2} - a$।
$d$ का मान $2a^2 + 4ad + d^2 = 0$ में रखने पर:
$4a^2 - 4a - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $d = \frac{1}{2} - a > 0$ है,इसलिए $a < \frac{1}{2}$ होना चाहिए।
अतः,$a = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(B) स्थिति $I$: जब $x + 2 \ge 0$ अर्थात $x \ge -2,$
दी गई असमिका ${x^2} - (x + 2) + x > 0 \implies {x^2} - 2 > 0 \implies |x| > \sqrt{2}$ हो जाती है।
इसका अर्थ है $x < -\sqrt{2}$ या $x > \sqrt{2}$।
चूँकि $x \ge -2,$ इस स्थिति के लिए हल समुच्चय $[ -2, -\sqrt{2} ) \cup (\sqrt{2}, \infty )$ है।
स्थिति $II$: जब $x + 2 < 0$ अर्थात $x < -2,$
दी गई असमिका ${x^2} + (x + 2) + x > 0 \implies {x^2} + 2x + 2 > 0$ हो जाती है।
यहाँ विविक्तकर $D = 2^2 - 4(1)(2) = -4 < 0$ है और ${x^2}$ का गुणांक धनात्मक है,इसलिए ${x^2} + 2x + 2$ हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,इस स्थिति के लिए हल समुच्चय $( -\infty, -2)$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,कुल हल समुच्चय $( -\infty, -\sqrt{2} ) \cup (\sqrt{2}, \infty )$ प्राप्त होता है।

(A) $BANANA$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $B, A, N, A, N, A$।
यहाँ,$A$ तीन बार और $N$ दो बार आता है।
कुल विन्यासों की संख्या = $\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$।
उन विन्यासों की संख्या जिनमें दो $N$ एक साथ हों: $(NN)$ को एक इकाई मानिए। अब हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $B, A, A, A, (NN)$।
विन्यासों की संख्या = $\frac{5!}{3! \times 1!} = \frac{120}{6} = 20$।
उन विन्यासों की संख्या जिनमें दो $N$ एक साथ न आएं = (कुल विन्यास) - ($N$ के एक साथ आने वाले विन्यास) = $60 - 20 = 40$।

(B) दिया गया योगफल $\sum\limits_{i = 0}^m {\binom{10}{i}} {\binom{20}{m - i}}$ है।
वेंडरमोंड की पहचान (Vandermonde's Identity) के अनुसार,यह योगफल $(1+x)^{10} (1+x)^{20} = (1+x)^{30}$ के विस्तार में $x^m$ का गुणांक है।
अतः,योगफल $\binom{30}{m}$ के बराबर है।
हम जानते हैं कि $\binom{n}{m}$ तब अधिकतम होता है जब $n$ सम हो तो $m = \frac{n}{2}$,या यदि $n$ विषम हो तो $m = \frac{n-1}{2}$ और $m = \frac{n+1}{2}$।
यहाँ,$n = 30$,जो कि एक सम संख्या है।
इसलिए,योगफल $\binom{30}{m}$ तब अधिकतम होता है जब $m = \frac{30}{2} = 15$ हो।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अनंत हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण: $(k + 1)x + 8y = 4k$ और $kx + (k + 3)y = 3k - 1$।
शर्त लागू करने पर: $\frac{k + 1}{k} = \frac{8}{k + 3} = \frac{4k}{3k - 1}$।
सबसे पहले,$\frac{k + 1}{k} = \frac{8}{k + 3}$ को हल करें:
$(k + 1)(k + 3) = 8k \Rightarrow k^2 + 4k + 3 = 8k \Rightarrow k^2 - 4k + 3 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(k - 1)(k - 3) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $k = 1$ या $k = 3$।
अब,इन मानों को दूसरी समानता $\frac{8}{k + 3} = \frac{4k}{3k - 1}$ में जाँचें:
यदि $k = 1$ है: $\frac{8}{1 + 3} = \frac{8}{4} = 2$ और $\frac{4(1)}{3(1) - 1} = \frac{4}{2} = 2$। चूंकि $2 = 2$,इसलिए $k = 1$ एक हल है।
यदि $k = 3$ है: $\frac{8}{3 + 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ और $\frac{4(3)}{3(3) - 1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$। चूंकि $\frac{4}{3} \neq \frac{3}{2}$,इसलिए $k = 3$ हल नहीं है।
अतः,$k$ का केवल $1$ मान है जिसके लिए निकाय के अनंत हल हैं।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = b^2$ की किसी भी स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm b\sqrt{1 + m^2}$ होता है।
चूंकि दी गई स्पर्शरेखा $y = mx - b\sqrt{1 + m^2}$ है,यह पहले वृत्त की स्पर्शरेखा है।
इस रेखा के दूसरे वृत्त $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ की स्पर्शरेखा होने के लिए,केंद्र $(a, 0)$ से रेखा $mx - y - b\sqrt{1 + m^2} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $b$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|ma - 0 - b\sqrt{1 + m^2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = b$.
चूंकि $a > 2b$,हमारे पास $ma > b\sqrt{1 + m^2}$ है,इसलिए $ma - b\sqrt{1 + m^2} = b\sqrt{m^2 + 1}$.
$ma = 2b\sqrt{1 + m^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$m^2 a^2 = 4b^2(1 + m^2) = 4b^2 + 4b^2 m^2$.
$m^2(a^2 - 4b^2) = 4b^2$.
$m^2 = \frac{4b^2}{a^2 - 4b^2}$.
$m$ का धनात्मक मान लेने पर,$m = \frac{2b}{\sqrt{a^2 - 4b^2}}$।

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर गतिमान बिंदु $(at^2, 2at)$ है।
परवलय की नाभि $S(a, 0)$ है।
माना $(h, k)$ उस रेखाखंड का मध्यबिंदु है जो $(at^2, 2at)$ और $(a, 0)$ को जोड़ता है।
अतः $h = \frac{at^2 + a}{2}$ और $k = \frac{2at + 0}{2} = at$ है।
$k = at$ से,हमें $t = \frac{k}{a}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान $h$ में रखने पर: $h = \frac{a(\frac{k}{a})^2 + a}{2} = \frac{\frac{k^2}{a} + a}{2} = \frac{k^2 + a^2}{2a}$।
इस प्रकार,$2ah = k^2 + a^2$,जो $k^2 = 2a(h - \frac{a}{2})$ में सरल हो जाता है।
बिंदुपथ $y^2 = 2a(x - \frac{a}{2})$ है।
इसे मानक रूप $Y^2 = 4AX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y$,$X = x - \frac{a}{2}$,और $4A = 2a$ (अतः $A = \frac{a}{2}$)।
नियता $X = -A$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$।
अतः,$x = 0$।

(D) माना परवलय ${y^2} = 8x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
चूंकि यह रेखा अतिपरवलय $xy = -1$ की भी स्पर्श रेखा है,इसलिए हम $x = \frac{-1}{y}$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = m(\frac{-1}{y}) + \frac{2}{m}$
$y^2 = -m + \frac{2y}{m}$
$my^2 - 2y + m^2 = 0$.
रेखा के स्पर्श रेखा होने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:
$D = (-2)^2 - 4(m)(m^2) = 0$
$4 - 4m^3 = 0$
$m^3 = 1 \implies m = 1$.
$m = 1$ को स्पर्श रेखा के समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = (1)x + \frac{2}{1}$
$y = x + 2$.

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(\cos x - 1)(\cos x - e^x)}{x^n}$.
$x = 0$ के निकट टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$
$\cos x - e^x = (1 - \frac{x^2}{2} + \dots) - (1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots) = -x - x^2 + O(x^3)$
अतः,अंश $(- \frac{x^2}{2} + O(x^4))(-x - x^2 + O(x^3)) = \frac{x^3}{2} + O(x^4)$ है।
सीमा के परिमित और शून्येतर होने के लिए,हर में $x$ की घात,अंश में $x$ की न्यूनतम घात के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,$n = 3$।

(D) मान लीजिए कि चार शॉट्स में विमान को हिट करने की प्रायिकताएं $p_1 = 0.4$,$p_2 = 0.3$,$p_3 = 0.2$ और $p_4 = 0.1$ हैं।
गन द्वारा विमान को हिट करने की प्रायिकता $1$ में से उस प्रायिकता को घटाने के बराबर है कि गन चारों शॉट्स में विमान को मिस कर दे।
मान लीजिए $q_i = 1 - p_i$ शॉट $i$ को मिस करने की प्रायिकता है।
$q_1 = 1 - 0.4 = 0.6$
$q_2 = 1 - 0.3 = 0.7$
$q_3 = 1 - 0.2 = 0.8$
$q_4 = 1 - 0.1 = 0.9$
चारों शॉट्स को मिस करने की प्रायिकता $P(\text{miss}) = q_1 \times q_2 \times q_3 \times q_4 = 0.6 \times 0.7 \times 0.8 \times 0.9 = 0.3024$ है।
अतः,गन द्वारा विमान को हिट करने की प्रायिकता $P(\text{hit}) = 1 - P(\text{miss}) = 1 - 0.3024 = 0.6976$ है।

(C) रेखा $QP$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए धनात्मक $x$-अक्ष के साथ इसका कोण $\pi$ है। रेखा $QR$ बिंदु $(0, 0)$ और $(3, 3\sqrt{3})$ से गुजरती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ है। रेखा $QR$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है।
कोण $\angle PQR$,रेखा $QP$ (कोण $\pi$) और रेखा $QR$ (कोण $\frac{\pi}{3}$) के बीच का कोण है।
$\angle PQR$ का माप $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\alpha = \frac{\pi + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$ का कोण बनाएगा।
समद्विभाजक की ढाल $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि समद्विभाजक मूल बिंदु $Q(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ अर्थात $\sqrt{3}x + y = 0$ है।

(D) $\Delta ABC$ में,ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ होता है।
विकल्प $(a)$ के लिए: $a, \sin A, \sin B$ दिए गए हैं। $\frac{a}{\sin A} = 2R$ से,हमें $R$ प्राप्त होता है। फिर $b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C = 2R \sin(180^{\circ} - (A+B)) = 2R \sin(A+B)$ प्राप्त होता है। अतः,त्रिभुज विशिष्ट रूप से निर्धारित है।
विकल्प $(b)$ के लिए: $a, b, c$ दिए गए हैं। $SSS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज विशिष्ट रूप से निर्धारित है।
विकल्प $(c)$ के लिए: $a, \sin B, R$ दिए गए हैं। हमारे पास $b = 2R \sin B$ है। अब हमारे पास दो भुजाएँ $a, b$ और परिवृत्त त्रिज्या $R$ हैं। चूँकि $\sin A = \frac{a}{2R}$,इसलिए कोण $A$ निर्धारित हो जाता है। अतः,त्रिभुज विशिष्ट रूप से निर्धारित है।
विकल्प $(d)$ के लिए: $a, \sin A, R$ दिए गए हैं। हमारे पास $\frac{a}{\sin A} = 2R$ है। यह एक सर्वसमिका है जो किसी भी त्रिभुज के लिए सत्य है। यह अन्य भुजाओं या कोणों को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं देता है। इसलिए,त्रिभुज विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है।

(B) $a \cos x + b \sin x$ व्यंजक का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
समीकरण $7 \cos x + 5 \sin x = 2k + 1$ के लिए,बाएँ पक्ष का परिसर $[-\sqrt{7^2 + 5^2}, \sqrt{7^2 + 5^2}] = [-\sqrt{74}, \sqrt{74}]$ है।
चूँकि $\sqrt{74} \approx 8.602$,इसलिए $-8.602 \leq 2k + 1 \leq 8.602$ है।
सभी पक्षों से $1$ घटाने पर: $-9.602 \leq 2k \leq 7.602$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर: $-4.801 \leq k \leq 3.801$ प्राप्त होता है।
$k$ के पूर्णांक मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
इन मानों की कुल संख्या $8$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $S: x^2+y^2+6x+6y-2=0$ है।
बिंदु $Q$,$Y$-अक्ष पर स्थित है और रेखा $5x-2y+6=0$ पर भी स्थित है।
रेखा के समीकरण में $x=0$ रखने पर: $5(0)-2y+6=0$ $\Rightarrow -2y=-6$ $\Rightarrow y=3$।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(0, 3)$ हैं।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1}$ होती है।
वृत्त के समीकरण $S(x, y) = x^2+y^2+6x+6y-2$ में $Q(0, 3)$ रखने पर:
$S_1 = 0^2 + 3^2 + 6(0) + 6(3) - 2 = 0 + 9 + 0 + 18 - 2 = 25$।
इसलिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $PQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{25} = 5$।

(B) दिया गया है $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$,हम जानते हैं कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है। साथ ही,$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega$ है।
मान लीजिए $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 - \omega^2 & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 \end{array} \right|$ है।
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करते हुए,हमें $-1 - \omega^2 = \omega$ प्राप्त होता है।
इस मान और $\omega^4 = \omega$ को सारणिक में रखने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$ प्राप्त होता है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1+1+1 & 1 & 1 \\ 1+\omega+\omega^2 & \omega & \omega^2 \\ 1+\omega^2+\omega & \omega^2 & \omega \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$ प्राप्त होता है।
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 3(\omega \cdot \omega - \omega^2 \cdot \omega^2) = 3(\omega^2 - \omega^4) = 3(\omega^2 - \omega)$ प्राप्त होता है।
$-\omega$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 3\omega(\omega - 1)$।

(B) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
चूंकि $(a + 2b)$ और $(5a - 4b)$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(a + 2b) \cdot (5a - 4b) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$5(a \cdot a) - 4(a \cdot b) + 10(b \cdot a) - 8(b \cdot b) = 0$
चूंकि $a \cdot a = |a|^2 = 1$ और $b \cdot b = |b|^2 = 1$,और $a \cdot b = b \cdot a$:
$5(1) + 6(a \cdot b) - 8(1) = 0$
$5 + 6(a \cdot b) - 8 = 0$
$6(a \cdot b) - 3 = 0$
$6(a \cdot b) = 3$
$a \cdot b = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
सूत्र $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1)(1) \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^o$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + \sin x$ है,जहाँ $x \in R$ है।
एकैकी (one-to-one) की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 + \cos x$।
चूँकि $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $f'(x) = 2 + \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0$ है।
चूँकि $f'(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए है,फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,जिसका अर्थ है कि यह एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच करने के लिए,हम $f(x)$ का परिसर देखते हैं। चूँकि $f(x)$ एक सतत फलन है और $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ तथा $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है।
चूँकि परिसर सह-प्रांत के बराबर है,फलन आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

(C) फलन $f(x)$ को मापांक हटाकर इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(-x - 1), & x < -1 \\ \tan^{-1}x, & -1 \le x \le 1 \\ \frac{1}{2}(x - 1), & x > 1 \end{cases}$
अवकलज $f'(x)$ का प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम $x = -1$ और $x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करेंगे।
$x < -1$ के लिए,$f'(x) = -\frac{1}{2}$।
$-1 < x < 1$ के लिए,$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$।
$x > 1$ के लिए,$f'(x) = \frac{1}{2}$।
$x = -1$ पर:
बायाँ अवकलज $f'(-1^-) = -\frac{1}{2}$।
दायाँ अवकलज $f'(-1^+) = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2}$।
चूँकि $f'(-1^-) \neq f'(-1^+)$,फलन $x = -1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर:
बायाँ अवकलज $f'(1^-) = \frac{1}{1+(1)^2} = \frac{1}{2}$।
दायाँ अवकलज $f'(1^+) = \frac{1}{2}$।
चूँकि $f'(1^-) = f'(1^+)$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय है।
अतः,$f'(x)$ का अस्तित्व $x = -1$ को छोड़कर सभी $x \in R$ के लिए है।
इसलिए,$f'(x)$ का प्रांत $R - \{-1\}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $f(x) = \sin(3x)$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज धनात्मक होना चाहिए: $f'(x) > 0$।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 3\cos(3x)$।
$3\cos(3x) > 0$ रखने पर,हमें $\cos(3x) > 0$ प्राप्त होता है।
कोसाइन फलन अपने तर्क के लिए $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ अंतराल में धनात्मक होता है।
अतः,$-\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{\pi}{2}$।
$3$ से भाग देने पर,हमें $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल की लंबाई $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।

(D) वक्र का समीकरण दिया गया है: $y^3 + 3x^2 = 12y$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 12) = -6x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-6x}{3y^2 - 12} = \frac{2x}{4 - y^2}$.
स्पर्शरेखा के ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष के समानांतर) होने के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होना चाहिए,जो तब होता है जब हर शून्य हो:
$4 - y^2 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
स्थिति $1$: यदि $y = 2$,तो $2^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{3} \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$.
स्थिति $2$: यदि $y = -2$,तो $(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$,जिसका $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,बिंदु $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ हैं।

(B) माना $I = \int_{1/e}^{\tan x} \frac{t \, dt}{1 + t^2} + \int_{1/e}^{\cot x} \frac{dt}{t(1 + t^2)}$.
प्रथम समाकलन के लिए,$u = 1 + t^2$ लेने पर,$du = 2t \, dt$ प्राप्त होता है,अतः $\int \frac{t \, dt}{1 + t^2} = \frac{1}{2} \ln(1 + t^2)$.
$1/e$ से $\tan x$ तक सीमाएँ रखने पर: $\frac{1}{2} [\ln(1 + \tan^2 x) - \ln(1 + 1/e^2)] = \frac{1}{2} [\ln(\sec^2 x) - \ln(1 + 1/e^2)]$.
द्वितीय समाकलन के लिए,$\int \frac{dt}{t(1 + t^2)} = \int (\frac{1}{t} - \frac{t}{1 + t^2}) \, dt = \ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1 + t^2)$.
$1/e$ से $\cot x$ तक सीमाएँ रखने पर: $[\ln(\cot x) - \frac{1}{2} \ln(1 + \cot^2 x)] - [\ln(1/e) - \frac{1}{2} \ln(1 + 1/e^2)]$.
चूँकि $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$,यह पद $[\ln(\cot x) - \frac{1}{2} \ln(\csc^2 x)] - [\ln(1/e) - \frac{1}{2} \ln(1 + 1/e^2)]$ बन जाता है।
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = \frac{1}{2} \ln(\sec^2 x) - \frac{1}{2} \ln(1 + 1/e^2) + \ln(\cot x) - \frac{1}{2} \ln(\csc^2 x) - \ln(1/e) + \frac{1}{2} \ln(1 + 1/e^2)$.
$I = \ln(\sec x) + \ln(\cot x) - \ln(\csc x) - \ln(1/e)$.
$I = \ln(\frac{\sec x \cdot \cot x}{\csc x}) - \ln(1/e) = \ln(1) - \ln(1/e) = 0 - (-1) = 1$.

(NONE) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$ है। चूंकि $f(x) = \sin^4 x$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_0^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$ होगा।
सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^4 x = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)$ प्राप्त होता है।
आगे,$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ है,इसलिए $\sin^4 x = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$।
इसका समाकलन करने पर,$I = 2 \int_0^{\pi/4} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x) \, dx = 2 [\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x]_0^{\pi/4}$।
सीमाओं का मान रखने पर: $I = 2 [(\frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{32}\sin \pi) - (0)] = 2 [\frac{3\pi}{32} - \frac{1}{4}] = \frac{3\pi}{16} - \frac{1}{2}$।

(D) माना $I = \int_1^5 (|x - 3| + |1 - x|) \, dx$.
चूंकि $x \in [1, 5]$,इसलिए $|1 - x| = x - 1$ होगा।
अतः,$I = \int_1^5 |x - 3| \, dx + \int_1^5 (x - 1) \, dx$.
पहले भाग के लिए,$\int_1^5 |x - 3| \, dx = \int_1^3 -(x - 3) \, dx + \int_3^5 (x - 3) \, dx$.
$= [-\frac{(x - 3)^2}{2}]_1^3 + [\frac{(x - 3)^2}{2}]_3^5 = (0 - (-2)) + (2 - 0) = 2 + 2 = 4$.
दूसरे भाग के लिए,$\int_1^5 (x - 1) \, dx = [\frac{x^2}{2} - x]_1^5 = (\frac{25}{2} - 5) - (\frac{1}{2} - 1) = 7.5 - (-0.5) = 8$.
इसलिए,$I = 4 + 8 = 12$.

(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} [x] dx + \int_{-1/2}^{1/2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) dx$.
फलन $f(x) = \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ पर विचार करें।
चूंकि $f(-x) = \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = -\log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
अतः,$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) dx = 0$.
अब,$I = \int_{-1/2}^{1/2} [x] dx$.
अंतराल $[-1/2, 0)$ में,$[x] = -1$.
अंतराल $[0, 1/2]$ में,$[x] = 0$.
अतः,$I = \int_{-1/2}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{1/2} (0) dx = -[x]_{-1/2}^{0} = -(0 - (-1/2)) = -1/2$.

(A) सबसे पहले,${F_1}(x)$ और ${F_2}(x)$ के लिए समाकलन का मान ज्ञात करें।
${F_1}(x) = \int_2^x (2t - 5) dt = [t^2 - 5t]_2^x = (x^2 - 5x) - (2^2 - 5(2)) = x^2 - 5x + 6$.
${F_2}(x) = \int_0^x 2t dt = [t^2]_0^x = x^2 - 0^2 = x^2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,${F_1}(x) = {F_2}(x)$ रखें:
$x^2 - 5x + 6 = x^2$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर,हमें $-5x + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $5x = 6$,इसलिए $x = \frac{6}{5}$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = \frac{6}{5}$ को ${F_2}(x)$ में रखें:
$y = x^2 = \left( \frac{6}{5} \right)^2 = \frac{36}{25}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{6}{5}, \frac{36}{25} \right)$ है।

(C) फलन $F(x) = \int_1^x {|t| \, dt}$ के रूप में परिभाषित है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = |x|$ है।
चूंकि अंतराल $\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ में सभी $x$ के लिए $|x| \ge 0$ है,इसलिए फलन $F(x)$ इस अंतराल पर वर्धमान है।
अतः,अधिकतम मान दाहिने अंतिम बिंदु $x = \frac{1}{2}$ पर प्राप्त होता है।
$F\left( \frac{1}{2} \right) = \int_1^{1/2} {|t| \, dt} = -\int_{1/2}^1 {|t| \, dt}$।
अंतराल $\left[ \frac{1}{2}, 1 \right]$ में $t > 0$ है,इसलिए $|t| = t$ होगा।
$F\left( \frac{1}{2} \right) = -\int_{1/2}^1 {t \, dt} = -\left[ \frac{t^2}{2} \right]_{1/2}^1 = -\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \right) = -\left( \frac{4-1}{8} \right) = -\frac{3}{8}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt$।
लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt = \sqrt{2 - x^2}$।
दिया गया समीकरण $x^2 - f'(x) = 0$ है,जिसका अर्थ है $x^2 = f'(x)$।
$f'(x)$ का मान रखने पर,हमें $x^2 = \sqrt{2 - x^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^4 = 2 - x^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^4 + x^2 - 2 = 0$ मिलता है।
मान लीजिए $u = x^2$ है। तो समीकरण $u^2 + u - 2 = 0$ बन जाता है।
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(u + 2)(u - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $u = x^2$,इसलिए $x^2 = -2$ (जिसका कोई वास्तविक मूल नहीं है) या $x^2 = 1$ है।
अतः,$x = \pm 1$।

(B) दिए गए वक्र $y = |x| - 1$ और $y = -|x| + 1$ हैं।
ये वक्र $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाला एक वर्ग बनाते हैं।
वैकल्पिक रूप से,हम क्षेत्रों का विश्लेषण कर सकते हैं:
$x \ge 0$ के लिए,वक्र $y = x - 1$ और $y = -x + 1$ हैं।
$x < 0$ के लिए,वक्र $y = -x - 1$ और $y = x + 1$ हैं।
यह क्षेत्र दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र $y = x - 1$ और $y = -x + 1$ द्वारा परिबद्ध है।
वास्तव में,यह क्षेत्र $y = x - 1, y = -x - 1, y = -x + 1,$ और $y = x + 1$ रेखाओं द्वारा निर्मित एक वर्ग है।
इस वर्ग का क्षेत्रफल $= 4 \times (\text{एक चतुर्थांश में त्रिभुज का क्षेत्रफल})$.
प्रत्येक चतुर्थांश में त्रिभुज का आधार $1$ और ऊँचाई $1$ है।
क्षेत्रफल $= 4 \times (\frac{1}{2} \times 1 \times 1) = 2$ वर्ग इकाई।

(A) चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(A \cap B') = P(A)(1 - P(B)) = \frac{3}{25}$ .....$(i)$
$P(A' \cap B) = (1 - P(A))P(B) = \frac{8}{25}$ .....$(ii)$
माना $P(A) = x$ और $P(B) = y$ है। समीकरणों को हल करने पर:
$x - xy = \frac{3}{25}$
$y - xy = \frac{8}{25}$
दोनों को घटाने पर,$x - y = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5}$,अर्थात $y = x + \frac{1}{5}$ है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर:
$x(\frac{4}{5} - x) = \frac{3}{25} \Rightarrow 25x^2 - 20x + 3 = 0$
$(5x - 1)(5x - 3) = 0$
अतः,$P(A) = \frac{1}{5}$ या $P(A) = \frac{3}{5}$ है। विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $\frac{1}{5}$ है।

(D) अधिकतम एक घटना के घटित होने का अर्थ है कि या तो कोई भी घटना घटित न हो,या ठीक एक घटना घटित हो।
यह घटना $(A' \cap B') \cup (A \cap B') \cup (A' \cap B)$ द्वारा निरूपित होती है।
चूँकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए प्रायिकता $P(A' \cap B') + P(A \cap B') + P(A' \cap B)$ होगी,जो विकल्प $A$ है।
साथ ही,'अधिकतम एक घटना घटित हो' का अर्थ 'दोनों घटनाएँ घटित हों' का पूरक है,जो $1 - P(A \cap B)$ है,जो विकल्प $B$ है।
विकल्प $C$ भी $1 - P(A \cap B)$ के बराबर है।
अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_1$ या $\Delta_2$ में से कम से कम एक सारणिक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} k+1 & 8 \\ k & k+3 \end{vmatrix} = (k+1)(k+3) - 8k = k^2 + 4k + 3 - 8k = k^2 - 4k + 3 = (k-3)(k-1)$.
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $k = 1$ या $k = 3$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों के लिए $\Delta_1$ और $\Delta_2$ की गणना करते हैं:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4k & 8 \\ 3k-1 & k+3 \end{vmatrix} = 4k(k+3) - 8(3k-1) = 4k^2 + 12k - 24k + 8 = 4k^2 - 12k + 8 = 4(k-1)(k-2)$.
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} k+1 & 4k \\ k & 3k-1 \end{vmatrix} = (k+1)(3k-1) - 4k^2 = 3k^2 + 2k - 1 - 4k^2 = -k^2 + 2k - 1 = -(k-1)^2$.
स्थिति $k=1$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 0, \Delta_2 = 0$. इस स्थिति में अनंत हल प्राप्त होते हैं।
स्थिति $k=3$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 4(3-1)(3-2) = 8 \neq 0, \Delta_2 = -(3-1)^2 = -4 \neq 0$.
चूंकि $k=3$ के लिए $\Delta = 0$ और $\Delta_1, \Delta_2 \neq 0$ है,इसलिए निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,$k$ का केवल $1$ मान संभव है।

(C) अदिश त्रिक गुणनफल को $[U V W] = U \cdot (V \times W)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $V \times W$ की गणना करते हैं:
$V \times W = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = i(3 - 0) - j(6 - (-1)) + k(0 - 1) = 3i - 7j - k$.
मान लीजिए $A = V \times W = 3i - 7j - k$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[U V W] = U \cdot A = |U| |A| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$,$U$ और $A$ के बीच का कोण है।
चूँकि $U$ एक इकाई सदिश है,$|U| = 1$ है।
अतः,$[U V W] = |A| \cos \theta$ है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जो $|A|$ के बराबर है।
$|A| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ है।
इसलिए,अधिकतम मान $\sqrt{59}$ है।

(D) $f(x)$ का ग्राफ $x \ge -1$ के लिए समीकरण $y = (x + 1)^2$ द्वारा दिया गया है।
$f(x)$ के ग्राफ का रेखा $y = x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ को आपस में बदल देते हैं।
अतः,$g(x)$ के ग्राफ का समीकरण $x = (y + 1)^2$ हो जाता है,जहाँ $y \ge -1$ है।
$y$ के लिए हल करने पर:
$y + 1 = \pm\sqrt{x}$
चूंकि $y \ge -1$,इसलिए $y + 1 \ge 0$,अतः हम धनात्मक वर्गमूल लेंगे:
$y + 1 = \sqrt{x}$
$y = \sqrt{x} - 1$
चूंकि $f(x)$ का प्रांत $x \ge -1$ है और इसका परिसर $y \ge 0$ है,इसलिए $g(x)$ का प्रांत $x \ge 0$ है और इसका परिसर $y \ge -1$ है।
अतः,$g(x) = \sqrt{x} - 1, x \ge 0$।

(C) मान लीजिए $L = \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(1 + x)}{f(1)} \right\}^{\frac{1}{x}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{f(1 + x)}{f(1)} \right)$.
अवकलन की परिभाषा या एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करने पर,$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln f(1 + x) - \ln f(1)}{x}$.
एल'हॉपिटल नियम लागू करने पर,$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{f'(1 + x)}{f(1 + x)} = \frac{f'(1)}{f(1)}$.
दिया गया है कि $f(1) = 3$ और $f'(1) = 6$,इसलिए $\ln L = \frac{6}{3} = 2$.
अतः,$L = e^2$.

(D) दिया गया समीकरण: $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $[-\cos x]_{\pi /2}^{\alpha} = \sin 2\alpha$
$-(\cos \alpha - \cos(\pi /2)) = \sin 2\alpha$
$-\cos \alpha = \sin 2\alpha$
सर्वसमिका $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ का उपयोग करने पर:
$-\cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$\cos \alpha (1 + 2 \sin \alpha) = 0$
स्थिति $1$: $\cos \alpha = 0$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\alpha = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
स्थिति $2$: $1 + 2 \sin \alpha = 0 \Rightarrow \sin \alpha = -1/2$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\alpha = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\alpha = \frac{\pi}{2}$ और $\frac{3\pi}{2}$ समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

(C) मान लीजिए $J = \int_{3}^{3 + 3T} f(2x) dx$. $u = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 2 dx$ या $dx = \frac{1}{2} du$ प्राप्त होता है।
जब $x = 3, u = 6$. जब $x = 3 + 3T, u = 6 + 6T$.
अतः,$J = \frac{1}{2} \int_{6}^{6 + 6T} f(u) du$.
चूंकि $f$ एक $T$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है,इसलिए किसी भी $a \in \mathbb{R}$ और $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $\int_{a}^{a + nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$ होता है।
यहाँ,समाकलन $6T$ लंबाई के अंतराल पर है,जो आवर्तकाल $T$ का $6$ गुना है।
इसलिए,$\int_{6}^{6 + 6T} f(u) du = 6 \int_{0}^{T} f(u) du = 6I$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$J = \frac{1}{2} \times 6I = 3I$.

(D) माना $F(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2 - 5t + 4}{2 + e^t} \,dt$.
लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष $F(x)$ का अवकलन करते हैं:
$F'(x) = \frac{(x^2)^2 - 5(x^2) + 4}{2 + e^{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$F'(x) = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{2 + e^{x^2}} \cdot 2x$
चरम बिंदुओं के लिए,हम $F'(x) = 0$ रखते हैं:
$\frac{(x^2 - 1)(x^2 - 4)}{2 + e^{x^2}} \cdot 2x = 0$
इसका अर्थ है कि $x = 0$ या $x^2 = 1$ या $x^2 = 4$.
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 0$,$x = \pm 1$,और $x = \pm 2$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि ये सभी मान दिए गए विकल्पों में शामिल हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) एक निष्पक्ष सिक्के को $n$ बार उछालने पर $k$ चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी जाती है: $P(X = k) = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^n$.
दिया गया है कि $P(X = 4), P(X = 5)$ और $P(X = 6)$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
अतः,$\frac{1}{P(X = 4)}, \frac{1}{P(X = 5)}, \frac{1}{P(X = 6)}$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसका अर्थ है $\frac{2}{P(X = 5)} = \frac{1}{P(X = 4)} + \frac{1}{P(X = 6)}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{\binom{n}{5}} = \frac{1}{\binom{n}{4}} + \frac{1}{\binom{n}{6}}$.
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{2 \times 5!(n-5)!}{n!} = \frac{4!(n-4)!}{n!} + \frac{6!(n-6)!}{n!}$.
$\frac{n!}{4!(n-6)!}$ से गुणा करने पर: $2 \times 5 \times (n-5) = (n-4)(n-5) + 6 \times 5$.
$10n - 50 = n^2 - 9n + 20 + 30$.
$n^2 - 19n + 100 = 0$.
विविक्तकर $D = (-19)^2 - 4(1)(100) = 361 - 400 = -39$.
चूंकि $D < 0$,$n$ के लिए कोई वास्तविक पूर्णांक हल नहीं है। अतः,सही विकल्प $D$ है।