IIT JEE 2002 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) गति करते हुए सरल लोलक के गोलक के त्वरण के दो घटक होते हैं:
$1$. अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$: निलंबन बिंदु की ओर डोरी के अनुदिश।
$2$. स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$: गोलक के वृत्ताकार पथ की स्पर्श रेखा के अनुदिश।
कुल त्वरण $\vec a$ इन दो घटकों का सदिश योग है: $\vec a = \vec a_c + \vec a_t$.
चूंकि गोलक एक वृत्ताकार चाप में गति कर रहा है,इसलिए परिणामी त्वरण सदिश $\vec a$ को चाप के अंदर की ओर,विशेष रूप से डोरी और स्पर्श रेखा के बीच इंगित होना चाहिए,जैसा कि विकल्प $(C)$ में दिखाया गया है।

(D) बल $F(x)$ और स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ के बीच संबंध $F(x) = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $U(x) = -\int F(x) dx$ प्राप्त होता है।
$F(x) = -kx + ax^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U(x) = -\int (-kx + ax^3) dx = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} + C$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $U(0) = 0$,तो $C = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $U(x) = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} = \frac{x^2}{4}(2k - ax^2)$।
$x \ge 0$ के लिए,$U(x) = 0$ का मान $x = 0$ और $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ पर होता है।
$x = 0$ और $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ के बीच,$U(x)$ धनात्मक है। $x > \sqrt{\frac{2k}{a}}$ के लिए,$U(x)$ ऋणात्मक हो जाता है।
ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,अधिकतम तक बढ़ता है,और फिर घटता है,जो $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ पर $x-$अक्ष को काटता है। यह ग्राफ $D$ से मेल खाता है।

(C) केपलर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$।
भूस्थिर उपग्रह के लिए,$T_1 = 24\, h$ और $r_1 = 36000\, km$ है।
पृथ्वी की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए,$r_2 \approx R_{\text{Earth}} = 6400\, km$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $T_2 = 24 \times \left( \frac{6400}{36000} \right)^{3/2}$।
$T_2 = 24 \times \left( \frac{64}{360} \right)^{3/2} \approx 24 \times 0.075 \approx 1.8\, h$।
निकटतम पूर्णांक में,आवर्तकाल लगभग $2\, hours$ है।

(D) प्रारंभ में,गुटका सिक्के के साथ तैरता है। प्लवन के नियम के अनुसार,गुटके और सिक्के का कुल भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है,जो गुटके के डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है। मान लीजिए $M$ गुटके का द्रव्यमान है और $m$ सिक्के का द्रव्यमान है। कुल भार $(M+m)g$ है। विस्थापित पानी का आयतन $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ है,जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
जब सिक्का पानी में गिरता है,तो वह डूब जाता है (यह मानते हुए कि इसका घनत्व पानी से अधिक है)। अब गुटके को केवल अपने स्वयं के भार $Mg$ को संतुलित करना है। गुटके द्वारा विस्थापित पानी का नया आयतन $V'_{disp} = M/\rho_w$ है। चूँकि $V'_{disp} < V_{disp}$,गुटके की डूबी हुई गहराई $l$ घट जाती है।
$h$ के संबंध में,प्रारंभ में विस्थापित पानी का कुल आयतन $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ था। सिक्के के गिरने के बाद,गुटका $M/\rho_w$ विस्थापित करता है और सिक्का अपने स्वयं के आयतन $V_c = m/\rho_c$ के बराबर पानी विस्थापित करता है। विस्थापित पानी का नया कुल आयतन $V'_{total} = M/\rho_w + m/\rho_c$ है। चूँकि सिक्के का घनत्व $\rho_c > \rho_w$ है,इसलिए $m/\rho_c < m/\rho_w$ होता है। अतः,$V'_{total} < V_{disp}$। जैसे-जैसे विस्थापित पानी का कुल आयतन घटता है,पानी का स्तर $h$ भी घट जाता है। इस प्रकार,$l$ और $h$ दोनों घटते हैं।

(A) प्रारंभ में,एक आदर्श कृष्णिका अपने ऊपर आपतित सभी विकिरण ऊर्जा को अवशोषित कर लेती है,जिससे यह भट्टी में सबसे काली वस्तु के रूप में दिखाई देती है।
किरचॉफ के विकिरण नियम के अनुसार,एक अच्छा अवशोषक एक अच्छा उत्सर्जक भी होता है। इसलिए,जैसे-जैसे कृष्णिका भट्टी के तापमान तक गर्म होती है,यह समान तापमान पर मौजूद अन्य पिंडों की तुलना में अधिकतम ऊर्जा का विकिरण करती है।
एक बार जब कृष्णिका भट्टी के साथ तापीय संतुलन प्राप्त कर लेती है,तो यह सबसे तीव्र विकिरण उत्सर्जित करती है,जिससे यह सबसे चमकीली दिखाई देती है।

(B) मान लीजिए कि स्प्रिंग का अधिकतम विस्तार $x$ है।
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है और अधिकतम विस्तार के बिंदु पर क्षणिक रूप से रुक जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($Mg$ नीचे की ओर) और स्प्रिंग बल ($-Kx$ ऊपर की ओर) हैं।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य = $Mgx$
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य = $-\frac{1}{2}Kx^2$
कुल कार्य को शून्य के बराबर रखने पर:
$Mgx - \frac{1}{2}Kx^2 = 0$
$Mgx = \frac{1}{2}Kx^2$
चूंकि $x \neq 0$,हम $x$ से विभाजित कर सकते हैं:
$Mg = \frac{1}{2}Kx$
$x = \frac{2Mg}{K}$

(A) सोनोमीटर के तार की कंपन आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $p$ लूप्स (प्रस्पंद) की संख्या है,$l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
प्रथम स्थिति में,$p_1 = 5$ और $T_1 = 9g$ है। अतः,$n = \frac{5}{2l} \sqrt{\frac{9g}{\mu}}$।
द्वितीय स्थिति में,$p_2 = 3$ और $T_2 = Mg$ है। अतः,$n = \frac{3}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क समान है,इसलिए आवृत्ति $n$ स्थिर रहेगी। दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{5}{2l} \sqrt{\frac{9g}{\mu}} = \frac{3}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 \times 9g = 9 \times Mg$
$225g = 9Mg$
$M = \frac{225}{9} = 25 \ kg$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ इस प्रकार दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
जहाँ $n$ स्रोत की आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है,और $v_0$ प्रेक्षक की गति है।
ट्रेन $A$ के लिए:
$5.5 = 5 \left( \frac{v + v_A}{v} \right) \implies 1.1 = 1 + \frac{v_A}{v} \implies \frac{v_A}{v} = 0.1$ ... $(i)$
ट्रेन $B$ के लिए:
$6.0 = 5 \left( \frac{v + v_B}{v} \right) \implies 1.2 = 1 + \frac{v_B}{v} \implies \frac{v_B}{v} = 0.2$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v_B / v}{v_A / v} = \frac{0.2}{0.1} = 2$
अतः,ट्रेन $B$ के वेग का ट्रेन $A$ के वेग से अनुपात $2$ है।

(B) निकाय का कोणीय संवेग $(L)$ संरक्षित रहता है क्योंकि घूर्णन अक्ष के परितः निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है। अतः, $L = I\omega = \text{नियत}$.
जब कछुआ वृत्ताकार प्लेटफॉर्म की जीवा के अनुदिश चलता है, तो घूर्णन केंद्र से उसकी दूरी $(r)$ बदलती है। विशेष रूप से, कछुआ किनारे से शुरू होकर केंद्र की ओर चलता है (जिससे $r$ घटता है), जीवा पर केंद्र के सबसे निकटतम बिंदु तक पहुँचता है, और फिर वापस किनारे की ओर चलता है (जिससे $r$ बढ़ता है)।
निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ सूत्र $I = I_{\text{platform}} + m r^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ कछुए का द्रव्यमान है। जैसे-जैसे कछुआ केंद्र की ओर चलता है, $r$ घटता है, इसलिए $I$ घटता है। जैसे-जैसे वह दूर जाता है, $r$ बढ़ता है, इसलिए $I$ बढ़ता है。
चूँकि $L = I\omega$ नियत है, इसलिए $\omega = L/I$ होगा। जब $I$ घटता है, तो $\omega$ बढ़ता है, और जब $I$ बढ़ता है, तो $\omega$ घटता है। अतः, कोणीय वेग $\omega(t)$ पहले बढ़ेगा और फिर घटेगा। समय $t$ और $r$ के बीच संबंध $r^2 = r_{\text{min}}^2 + (vt)^2$ है, जो $I$ को समय का एक द्विघात फलन बनाता है, जिसका अर्थ है कि $\omega(t) = L / (I_0 + m(r_{\text{min}}^2 + v^2t^2))$ समय का एक अरैखिक फलन है। यह एक चिकने वक्र ग्राफ के अनुरूप है।

(B) जब बेलन नत समतल पर ऊपर की ओर लुढ़कता है,तो इसका रेखीय वेग $v$ नत समतल के ऊपर की ओर होता है और इसका कोणीय वेग $\omega$ दक्षिणावर्त (clockwise) होता है। जैसे-जैसे यह ऊपर जाता है,इसका रेखीय वेग घटता है,जिसका अर्थ है कि यह रेखीय मंदन का अनुभव करता है। बिना फिसले लुढ़कने के लिए,इसे कोणीय मंदन की आवश्यकता होती है। नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में टॉर्क उत्पन्न करता है,जो आवश्यक कोणीय मंदन प्रदान करता है।
जब बेलन नत समतल पर नीचे की ओर लुढ़कता है,तो इसका रेखीय वेग $v$ नत समतल के नीचे की ओर होता है और इसका कोणीय वेग $\omega$ वामावर्त होता है। जैसे-जैसे यह नीचे आता है,इसका रेखीय वेग बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि यह रेखीय त्वरण का अनुभव करता है। बिना फिसले लुढ़कने के लिए,इसे कोणीय त्वरण की आवश्यकता होती है। नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ ऐसा टॉर्क उत्पन्न करता है जो वामावर्त कोणीय वेग को बढ़ाने के लिए आवश्यक कोणीय त्वरण प्रदान करता है।

(B) प्रारंभ में,चित्र $(i)$ के अनुसार,$Q$ की स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{2kqQ}{a}$ है ... $(i)$
चित्र $(ii)$ के अनुसार,जब आवेश $Q$ को $x$ की अल्प दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा हो जाती है:
$U_f = kqQ \left[ \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right] = kqQ \left[ \frac{(a-x) + (a+x)}{a^2 - x^2} \right] = \frac{2kqQa}{a^2 - x^2}$ ... $(ii)$
अतः,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:
$\Delta U = U_f - U_i = 2kqQ \left[ \frac{a}{a^2 - x^2} - \frac{1}{a} \right] = 2kqQ \left[ \frac{a^2 - (a^2 - x^2)}{a(a^2 - x^2)} \right] = \frac{2kqQx^2}{a(a^2 - x^2)}$
चूंकि $x << a$,हम $a^2 - x^2 \approx a^2$ मान सकते हैं। इसलिए:
$\Delta U \approx \frac{2kqQx^2}{a(a^2)} = \frac{2kqQ}{a^3} x^2$
इस प्रकार,$\Delta U \propto x^2$।

(A) परिपथ मध्य शाखा से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के सापेक्ष समरूपता प्रदर्शित करता है। इस समरूपता के कारण,$2R$ प्रतिरोध वाले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक समान विभव वाले बिंदुओं के बीच जुड़े हुए हैं। इसलिए,इन ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधकों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है और इन्हें हटाया जा सकता है।
ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधकों को हटाने के बाद,परिपथ तीन समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है:
$1$. ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो $2R$ प्रतिरोधक हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $2R + 2R = 4R$ प्राप्त होता है।
$2$. मध्य शाखा में श्रेणीक्रम में दो $r$ प्रतिरोधक हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $r + r = 2r$ प्राप्त होता है।
$3$. निचली शाखा में श्रेणीक्रम में दो $2R$ प्रतिरोधक हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $2R + 2R = 4R$ प्राप्त होता है।
अब,हमारे पास $4R$,$2r$ और $4R$ के तीन समानांतर प्रतिरोधक हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{4R} = \frac{2}{4R} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2r} = \frac{r + R}{2Rr}$
अतः,$R_{eq} = \frac{2Rr}{R + r}$.

(D) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
बल्ब $B_1$ $(100\, W)$ के लिए,$R_1 = \frac{V^2}{100}$।
बल्ब $B_2$ और $B_3$ $(60\, W)$ के लिए,$R_2 = R_3 = \frac{V^2}{60}$।
बल्ब $B_1$ और $B_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन $250\, V$ स्रोत के साथ $B_3$ के समानांतर है।
$B_3$ में व्यय शक्ति $W_3 = \frac{(250)^2}{R_3} = \frac{(250)^2}{V^2/60} = 60 \times \frac{(250)^2}{V^2}$ है।
श्रेणी शाखा ($B_1$ और $B_2$) से प्रवाहित धारा $I = \frac{250}{R_1 + R_2} = \frac{250}{\frac{V^2}{100} + \frac{V^2}{60}} = \frac{250}{V^2(\frac{3+5}{300})} = \frac{250 \times 300}{8V^2} = \frac{9375}{V^2}$ है।
$B_1$ में शक्ति $W_1 = I^2 R_1 = (\frac{9375}{V^2})^2 \times \frac{V^2}{100} = \frac{9375^2}{100 V^2}$ है।
$B_2$ में शक्ति $W_2 = I^2 R_2 = (\frac{9375}{V^2})^2 \times \frac{V^2}{60} = \frac{9375^2}{60 V^2}$ है।
$W_1$ और $W_2$ की तुलना करने पर,चूंकि $R_1 < R_2$,इसलिए $W_1 < W_2$ है। चूंकि $B_3$ सीधे स्रोत से जुड़ा है,यह अपने रेटेड वोल्टेज पर काम करता है,जबकि $B_1$ और $B_2$ कम वोल्टेज पर काम करते हैं,इसलिए $W_2 < W_3$ है। अतः,$W_1 < W_2 < W_3$।

(A) धारा $I$ ऋणात्मक $z$-दिशा में,यानी $-\hat{k}$ की दिशा में प्रवाहित हो रही है।
$xy$-तल में बिंदु $P(x, y)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को दाएं हाथ के नियम द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।
तार से $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ के लंबवत होती है।
सदिश गुणनफल $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r^2} (\hat{k} \times \vec{r})$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\hat{k}$ धारा की दिशा $(-I\hat{k})$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{B} = \frac{\mu_0 (-I)}{2\pi r^2} (\hat{k} \times (x\hat{i} + y\hat{j})) = \frac{-\mu_0 I}{2\pi (x^2 + y^2)} (x\hat{j} - y\hat{i}) = \frac{\mu_0 I (y\hat{i} - x\hat{j})}{2\pi (x^2 + y^2)}$.

(B) कण $x = a$ तक एक सीधी रेखा में गति करता है। चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र $(a \le x \le b)$ में प्रवेश करने पर,चुंबकीय बल अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है,जिससे कण $r = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्तापीय पथ पर गति करता है।
कण के $x > b$ क्षेत्र तक पहुँचने के लिए,वृत्तापीय पथ की त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र की चौड़ाई $(b - a)$ के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए।
अतः,शर्त $r \ge (b - a)$ है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $\frac{mv}{qB} \ge (b - a)$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v \ge \frac{q(b - a)B}{m}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,आवश्यक न्यूनतम वेग $v_{\min} = \frac{q(b - a)B}{m}$ है।

(D) सही विकल्प है।
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं।
चुंबक के बाहर,क्षेत्र रेखाएं उत्तरी ध्रुव से दक्षिणी ध्रुव की ओर निर्देशित होती हैं।
चुंबक के अंदर,क्षेत्र रेखाएं दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर निर्देशित होती हैं,जो बंद लूप की निरंतरता सुनिश्चित करती हैं।

(D) जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो लूप $P$ में धारा $I_P$ शून्य से बढ़कर एक स्थिर मान तक पहुँचती है। यह लूप $Q$ के माध्यम से बाएं से दाएं ( $P$ से दूर) की दिशा में बढ़ता हुआ चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न करता है। लेंज के नियम के अनुसार,$Q$ में प्रेरित धारा $I_{Q_1}$ को इस परिवर्तन का विरोध करने के लिए विपरीत दिशा (दाएं से बाएं) में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना चाहिए। $E$ प्रेक्षक के लिए,जो $Q$ को देख रहा है,दाएं से बाएं इंगित चुंबकीय क्षेत्र वामावर्त (anticlockwise) धारा के अनुरूप होता है। अतः,$I_{Q_1}$ वामावर्त है।
जब स्विच $S$ खोला जाता है,तो $P$ में धारा $I_P$ घटकर शून्य हो जाती है। यह लूप $Q$ के माध्यम से बाएं से दाएं की दिशा में चुंबकीय फ्लक्स को कम करता है। लेंज के नियम के अनुसार,$Q$ में प्रेरित धारा $I_{Q_2}$ को इस कमी का विरोध करने के लिए उसी दिशा (बाएं से दाएं) में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना चाहिए। $E$ प्रेक्षक के लिए,बाएं से दाएं इंगित चुंबकीय क्षेत्र दक्षिणावर्त (clockwise) धारा के अनुरूप होता है। अतः,$I_{Q_2}$ दक्षिणावर्त है।

(B) प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -NA \frac{dB}{dt}$.
चूंकि $A = \pi r_c^2$ (जहाँ $r_c$ कुंडली की त्रिज्या है),इसलिए $e \propto N$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A_w} = \rho \frac{N(2\pi r_c)}{\pi r^2}$ है,जहाँ $r$ तार की त्रिज्या है।
अतः,$R \propto \frac{N}{r^2}$.
क्षयित शक्ति $P = \frac{e^2}{R} \propto \frac{N^2}{N/r^2} = N r^2$ होती है।
दिया गया है कि $N_2 = 4N_1$ और $r_2 = r_1/2$,तो नई शक्ति $P_2$ होगी:
$P_2 \propto (4N_1) \times (r_1/2)^2 = 4N_1 \times (r_1^2/4) = N_1 r_1^2 = P_1$.
इसलिए,क्षयित विद्युत शक्ति समान रहेगी।

(A) विद्युत धारा $i$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $i = \frac{Ne}{t}$ है,जहाँ $N$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है,$e$ मूल आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ है,और $t$ समय है।
प्रति सेकंड लक्ष्य से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को $\frac{N}{t}$ के लिए व्यवस्थित करते हैं:
$\frac{N}{t} = \frac{i}{e}$
यहाँ $i = 3.2 \text{ mA} = 3.2 \times 10^{-3} \text{ A}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ दिया गया है:
$\frac{N}{t} = \frac{3.2 \times 10^{-3}}{1.6 \times 10^{-19}}$
$\frac{N}{t} = 2 \times 10^{16} \text{ इलेक्ट्रॉन/सेकंड}$.

(C) गामा-क्षय प्रक्रिया में,नाभिक एक गामा-किरण फोटॉन उत्सर्जित करके उत्तेजित अवस्था से निम्न ऊर्जा अवस्था में संक्रमण करता है।
इस प्रक्रिया के दौरान,नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A$ या परमाणु संख्या $Z$ में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
इस प्रक्रिया को इस प्रकार दर्शाया जाता है: $^A{X_Z}^* \to {\,^A}{X_Z} + \gamma$.
अतः,विकल्प $(c)$ इस प्रक्रिया को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि समय $t$ पर गतिविधि $A = A_0 (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि गतिविधि अपने प्रारंभिक मान के $\frac{1}{16}$ तक क्षय हो जाती है,इसलिए $\frac{A}{A_0} = \frac{1}{16}$ है।
चूंकि $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,इसलिए हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।
कुल लगा समय $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T_{1/2} = 100 \mu s$ है।
अतः,$t = 4 \times 100 \mu s = 400 \mu s$।

(B) दूसरी उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ के अनुरूप होती है।
बोर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $l = n \left( \frac{h}{2\pi} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों समान अवस्था $n = 3$ में हैं,इसलिए उनके कोणीय संवेग समान हैं: $l_H = l_{Li} = 3 \left( \frac{h}{2\pi} \right)$।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन $(Z_H = 1)$ और $Li^{++}$ $(Z_{Li} = 3)$ के लिए,ऊर्जा $E_H = -13.6 \frac{1^2}{3^2}$ और $E_{Li} = -13.6 \frac{3^2}{3^2}$ है।
इनका परिमाण लेने पर,$|E_H| = \frac{13.6}{9} \text{ eV}$ और $|E_{Li}| = 13.6 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट रूप से,$|E_H| < |E_{Li}|$। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) प्रेक्षक की दृष्टि रेखा स्थिर रहती है,जो हवा में अभिलंब के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
व्यवस्था की ज्यामिति से,जब तरल को $2h$ की ऊँचाई तक भरा जाता है,तो छड़ के निचले सिरे से प्रकाश किरण बीकर की ऊर्ध्वाधर अक्ष से $h$ दूरी पर तरल की सतह तक पहुँचती है।
तरल में आपतन कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{h}{2h} = 1/2$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
तरल-वायु इंटरफ़ेस पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu \sin \theta = 1 \cdot \sin 45^{\circ}$.
$\mu \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\mu = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(C) एक गोलीय सतह द्वारा उत्पन्न विक्षेपण उसकी वक्रता त्रिज्या पर निर्भर करता है।
एक लेंस के लिए,कुल विक्षेपण उसकी दो सतहों द्वारा उत्पन्न विक्षेपण का योग होता है।
एक लेंस विक्षेपण प्रदर्शित नहीं करेगा यदि एक सतह द्वारा उत्पन्न विक्षेपण दूसरी सतह द्वारा पूरी तरह से रद्द कर दिया जाए।
यह तब होता है जब दोनों सतहों की वक्रता त्रिज्या समान हो,जिसमें एक उत्तल और दूसरी अवतल हो,ताकि लेंस उससे गुजरने वाले प्रकाश के लिए एक समानांतर-पक्षीय प्लेट के रूप में कार्य करे।
दिए गए विकल्पों में,विकल्प $C$ में दिखाए गए मेनिस्कस लेंस की दोनों सतहों की वक्रता त्रिज्या $R$ समान है,जिसमें एक उत्तल और दूसरी अवतल है। अतः,यह विक्षेपण प्रदर्शित नहीं करता है।

(A) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट को एक किरण के पथ में रखा जाता है,तो उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
मूल केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति पर तीव्रता अपरिवर्तित रहने के लिए,नया पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
न्यूनतम मोटाई $t_{\min}$ ज्ञात करने के लिए,हम $n = 1$ रखते हैं:
$(\mu - 1)t_{\min} = 1 \cdot \lambda$
दिया गया है $\mu = 1.5$,इसलिए:
$(1.5 - 1)t_{\min} = \lambda$
$0.5 t_{\min} = \lambda$
$t_{\min} = \frac{\lambda}{0.5} = 2\lambda$.