समाकलन int_{-1/2}^{1/2} left( [x] + log left( | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} [x] dx + \int_{-1/2}^{1/2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) dx$. फलन $f(x) = \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ प

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$-\frac{1}{2}$

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(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} [x] dx + \int_{-1/2}^{1/2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) dx$. फलन $f(x) = \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ पर विचार करें। चूंकि $f(-x) = \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = -\log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) dx = 0$. अब,$I = \int_{-1/2}^{1/2} [x] dx$. अंतराल $[-1/2, 0)$ में,$[x] = -1$. अंतराल $[0, 1/2]$ में,$[x] = 0$. अतः,$I = \int_{-1/2}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{1/2} (0) dx = -[x]_{-1/2}^{0} = -(0 - (-1/2)) = -1/2$.

समाकलन $\int_{-1/2}^{1/2} \left( [x] + \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है):

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