IIT JEE 2002 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સાદા લોલકના ગોળાના ગતિ દરમિયાન પ્રવેગના બે ઘટકો હોય છે:
$1$. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$: દોરીની દિશામાં નિલંબન બિંદુ તરફ.
$2$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t)$: ગોળાના વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં.
કુલ પ્રવેગ $\vec a$ એ આ બે ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec a = \vec a_c + \vec a_t$.
ગોળો વર્તુળાકાર ચાપમાં ગતિ કરતો હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગ સદિશ $\vec a$ એ ચાપની અંદરની તરફ,ખાસ કરીને દોરી અને સ્પર્શકની વચ્ચે નિર્દેશિત હોવો જોઈએ,જે વિકલ્પ $(C)$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) બળ $F(x)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U(x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $F(x) = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $U(x) = -\int F(x) dx$ મળે છે.
$F(x) = -kx + ax^3$ મૂકતા,આપણને $U(x) = -\int (-kx + ax^3) dx = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} + C$ મળે છે.
ધારો કે $U(0) = 0$,તો $C = 0$ મળે,તેથી $U(x) = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} = \frac{x^2}{4}(2k - ax^2)$.
$x \ge 0$ માટે,$U(x) = 0$ એ $x = 0$ અને $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ પર થાય છે.
$x = 0$ અને $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ ની વચ્ચે,$U(x)$ ધન છે. $x > \sqrt{\frac{2k}{a}}$ માટે,$U(x)$ ઋણ બને છે.
આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,મહત્તમ સુધી વધે છે,અને પછી ઘટે છે,જે $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ પર $x-$અક્ષને છેદે છે. આ આલેખ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,$T_1 = 24\, h$ અને $r_1 = 36000\, km$.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,$r_2 \approx R_{\text{Earth}} = 6400\, km$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 24 \times \left( \frac{6400}{36000} \right)^{3/2}$.
$T_2 = 24 \times \left( \frac{64}{360} \right)^{3/2} \approx 24 \times 0.075 \approx 1.8\, h$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આવર્તકાળ આશરે $2\, hours$ મળે છે.

(D) શરૂઆતમાં,બ્લોક સિક્કા સાથે તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,બ્લોક અને સિક્કાનું કુલ વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે બ્લોકના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે. ધારો કે $M$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $m$ એ સિક્કાનું દળ છે. કુલ વજન $(M+m)g$ છે. વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ છે,જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જ્યારે સિક્કો પાણીમાં પડે છે,ત્યારે તે ડૂબી જાય છે (ધારી લઈએ કે તેની ઘનતા પાણી કરતા વધારે છે). હવે બ્લોકે માત્ર પોતાનું વજન $Mg$ જ ટેકવવાનું છે. બ્લોક દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું નવું કદ $V'_{disp} = M/\rho_w$ છે. કારણ કે $V'_{disp} < V_{disp}$,બ્લોકની ડૂબેલી ઊંડાઈ $l$ ઘટે છે.
$h$ ના સંદર્ભમાં,શરૂઆતમાં વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ હતું. સિક્કો પડી ગયા પછી,બ્લોક $M/\rho_w$ કદનું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે અને સિક્કો તેના પોતાના કદ $V_c = m/\rho_c$ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે. વિસ્થાપિત પાણીનું નવું કુલ કદ $V'_{total} = M/\rho_w + m/\rho_c$ છે. સિક્કાની ઘનતા $\rho_c > \rho_w$ હોવાથી,$m/\rho_c < m/\rho_w$ થાય છે. તેથી,$V'_{total} < V_{disp}$. જેમ વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ ઘટે છે,તેમ પાણીનું સ્તર $h$ પણ ઘટે છે. આમ,$l$ અને $h$ બંને ઘટે છે.

(A) શરૂઆતમાં,એક આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ તેના પર આપાત થતી તમામ વિકિરણ ઉર્જાનું શોષણ કરે છે,જેના કારણે તે ભઠ્ઠીમાં સૌથી ઘેરી વસ્તુ તરીકે દેખાય છે.
કિર્ચોફના વિકિરણના નિયમ મુજબ,જે પદાર્થ સારો શોષક છે તે સારો ઉત્સર્જક પણ છે. તેથી,જેમ જેમ કૃષ્ણ પદાર્થ ભઠ્ઠીના તાપમાન સુધી ગરમ થાય છે,તેમ તે સમાન તાપમાને રહેલા અન્ય પદાર્થોની તુલનામાં મહત્તમ ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે.
એકવાર કૃષ્ણ પદાર્થ ભઠ્ઠી સાથે તાપીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરી લે,પછી તે સૌથી વધુ તીવ્ર વિકિરણોનું ઉત્સર્જન કરે છે,જેના કારણે તે સૌથી વધુ તેજસ્વી દેખાય છે.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ છે.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ વિસ્તરણના બિંદુએ ક્ષણિક રીતે સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.
બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($Mg$ નીચેની તરફ) અને સ્પ્રિંગ બળ ($-Kx$ ઉપરની તરફ) છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $Mgx$
સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $-\frac{1}{2}Kx^2$
કુલ કાર્યને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$Mgx - \frac{1}{2}Kx^2 = 0$
$Mgx = \frac{1}{2}Kx^2$
કારણ કે $x \neq 0$,આપણે $x$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$Mg = \frac{1}{2}Kx$
$x = \frac{2Mg}{K}$

(A) સોનોમીટરના તારની કંપન આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $p$ એ લૂપ્સની સંખ્યા (એન્ટિનોડ્સ),$l$ એ લંબાઈ,$T$ એ તણાવ અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$p_1 = 5$ અને $T_1 = 9g$. તેથી,$n = \frac{5}{2l} \sqrt{\frac{9g}{\mu}}$.
બીજા કિસ્સામાં,$p_2 = 3$ અને $T_2 = Mg$. તેથી,$n = \frac{3}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$.
ટ્યુનિંગ ફોર્ક સમાન હોવાથી,આવૃત્તિ $n$ સમાન રહેશે. બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{5}{2l} \sqrt{\frac{9g}{\mu}} = \frac{3}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 \times 9g = 9 \times Mg$
$225g = 9Mg$
$M = \frac{225}{9} = 25 \ kg$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
જ્યાં $n$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,અને $v_0$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે.
ટ્રેન $A$ માટે:
$5.5 = 5 \left( \frac{v + v_A}{v} \right) \implies 1.1 = 1 + \frac{v_A}{v} \implies \frac{v_A}{v} = 0.1$ ... $(i)$
ટ્રેન $B$ માટે:
$6.0 = 5 \left( \frac{v + v_B}{v} \right) \implies 1.2 = 1 + \frac{v_B}{v} \implies \frac{v_B}{v} = 0.2$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v_B / v}{v_A / v} = \frac{0.2}{0.1} = 2$
તેથી,ટ્રેન $B$ ના વેગનો ટ્રેન $A$ ના વેગ સાથેનો ગુણોત્તર $2$ છે.

(B) તંત્રનું કોણીય વેગમાન $(L)$ સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે પરિભ્રમણની અક્ષ પર તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી. તેથી, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
જ્યારે કાચબો વર્તુળાકાર પ્લેટફોર્મની જીવા પર ગતિ કરે છે, ત્યારે તેનું પરિભ્રમણના કેન્દ્રથી અંતર $(r)$ બદલાય છે. ખાસ કરીને, કાચબો ધારથી શરૂ કરીને કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે (જેથી $r$ ઘટે છે), જીવા પરના કેન્દ્રની સૌથી નજીકના બિંદુએ પહોંચે છે, અને પછી ફરીથી ધાર તરફ ગતિ કરે છે (જેથી $r$ વધે છે).
તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ એ $I = I_{\text{platform}} + m r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ કાચબાનું દળ છે. જેમ કાચબો કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે, તેમ $r$ ઘટે છે, તેથી $I$ ઘટે છે. જેમ તે દૂર જાય છે, તેમ $r$ વધે છે, તેથી $I$ વધે છે.
ચૂક $L = I\omega$ અચળ હોવાથી, $\omega = L/I$ થાય. જ્યારે $I$ ઘટે છે, ત્યારે $\omega$ વધે છે, અને જ્યારે $I$ વધે છે, ત્યારે $\omega$ ઘટે છે. તેથી, કોણીય વેગ $\omega(t)$ પહેલા વધશે અને પછી ઘટશે. સમય $t$ અને $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r^2 = r_{\text{min}}^2 + (vt)^2$ છે, જે $I$ ને સમયનું દ્વિઘાત વિધેય બનાવે છે, જેનો અર્થ છે કે $\omega(t) = L / (I_0 + m(r_{\text{min}}^2 + v^2t^2))$ એ સમયનું અરેખીય વિધેય છે. આ એક સરળ વક્ર આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) જ્યારે નળાકાર ઢળતી સપાટી પર ઉપર તરફ ગબડે છે,ત્યારે તેનો રેખીય વેગ $v$ ઢાળની ઉપરની દિશામાં હોય છે અને તેનો કોણીય વેગ $\omega$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) હોય છે. તે ઉપર જાય છે તેમ તેનો રેખીય વેગ ઘટે છે,એટલે કે તે રેખીય મંદન અનુભવે છે. સરક્યા વગર ગબડવા માટે,તેને કોણીય મંદનની જરૂર પડે છે. ઢાળ પર ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જે જરૂરી કોણીય મંદન પૂરું પાડે છે.
જ્યારે નળાકાર ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ ગબડે છે,ત્યારે તેનો રેખીય વેગ $v$ ઢાળની નીચેની દિશામાં હોય છે અને તેનો કોણીય વેગ $\omega$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તે નીચે આવે છે તેમ તેનો રેખીય વેગ વધે છે,એટલે કે તે રેખીય પ્રવેગ અનુભવે છે. સરક્યા વગર ગબડવા માટે,તેને કોણીય પ્રવેગની જરૂર પડે છે. ઢાળ પર ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એવું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે જે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં કોણીય વેગ વધારવા માટે જરૂરી કોણીય પ્રવેગ આપે છે.

(B) શરૂઆતમાં,આકૃતિ $(i)$ મુજબ,$Q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{2kqQ}{a}$ છે ... $(i)$
આકૃતિ $(ii)$ મુજબ,જ્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ ને $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ થાય છે:
$U_f = kqQ \left[ \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right] = kqQ \left[ \frac{(a-x) + (a+x)}{a^2 - x^2} \right] = \frac{2kqQa}{a^2 - x^2}$ ... $(ii)$
તેથી,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર:
$\Delta U = U_f - U_i = 2kqQ \left[ \frac{a}{a^2 - x^2} - \frac{1}{a} \right] = 2kqQ \left[ \frac{a^2 - (a^2 - x^2)}{a(a^2 - x^2)} \right] = \frac{2kqQx^2}{a(a^2 - x^2)}$
અહીં $x << a$ હોવાથી,આપણે $a^2 - x^2 \approx a^2$ લઈ શકીએ. તેથી:
$\Delta U \approx \frac{2kqQx^2}{a(a^2)} = \frac{2kqQ}{a^3} x^2$
આમ,$\Delta U \propto x^2$.

(A) પરિપથ મધ્ય શાખામાંથી પસાર થતી આડી ધરીની સાપેક્ષમાં સંમિતિ ધરાવે છે. આ સંમિતિને કારણે $2R$ અવરોધ ધરાવતા શિરોલંબ અવરોધો સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતા બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલા છે. તેથી,આ શિરોલંબ અવરોધોમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી અને તેમને દૂર કરી શકાય છે.
શિરોલંબ અવરોધોને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ ત્રણ સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે:
$1$. ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $2R$ અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $2R + 2R = 4R$ થાય છે.
$2$. મધ્ય શાખામાં શ્રેણીમાં બે $r$ અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $r + r = 2r$ થાય છે.
$3$. નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $2R$ અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $2R + 2R = 4R$ થાય છે.
હવે,આપણી પાસે $4R$,$2r$ અને $4R$ ના ત્રણ સમાંતર અવરોધો છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{4R} = \frac{2}{4R} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2r} = \frac{r + R}{2Rr}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{2Rr}{R + r}$.

(D) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્બ $B_1$ $(100\, W)$ માટે,$R_1 = \frac{V^2}{100}$.
બલ્બ $B_2$ અને $B_3$ $(60\, W)$ માટે,$R_2 = R_3 = \frac{V^2}{60}$.
બલ્બ $B_1$ અને $B_2$ શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન $250\, V$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતરમાં $B_3$ સાથે જોડાયેલ છે.
$B_3$ માં વપરાતો પાવર $W_3 = \frac{(250)^2}{R_3} = \frac{(250)^2}{V^2/60} = 60 \times \frac{(250)^2}{V^2}$ છે.
શ્રેણી શાખા ($B_1$ અને $B_2$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{250}{R_1 + R_2} = \frac{250}{\frac{V^2}{100} + \frac{V^2}{60}} = \frac{250}{V^2(\frac{3+5}{300})} = \frac{250 \times 300}{8V^2} = \frac{9375}{V^2}$ છે.
$B_1$ માં પાવર $W_1 = I^2 R_1 = (\frac{9375}{V^2})^2 \times \frac{V^2}{100} = \frac{9375^2}{100 V^2}$ છે.
$B_2$ માં પાવર $W_2 = I^2 R_2 = (\frac{9375}{V^2})^2 \times \frac{V^2}{60} = \frac{9375^2}{60 V^2}$ છે.
$W_1$ અને $W_2$ ની સરખામણી કરતા,$R_1 < R_2$ હોવાથી,$W_1 < W_2$ મળે છે. $B_3$ સીધો સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ હોવાથી,તે તેના રેટ કરેલ વોલ્ટેજ પર કાર્ય કરે છે,જ્યારે $B_1$ અને $B_2$ ઓછા વોલ્ટેજ પર કાર્ય કરે છે,તેથી $W_2 < W_3$. આમ,$W_1 < W_2 < W_3$.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ ઋણ $z$-દિશામાં,એટલે કે $-\hat{k}$ ની દિશામાં વહે છે.
$xy$-સમતલમાં બિંદુ $P(x, y)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા મેળવી શકાય છે.
તારથી $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ ને લંબ હોય છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r^2} (\hat{k} \times \vec{r})$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\hat{k}$ એ પ્રવાહની દિશા $(-I\hat{k})$ છે,આપણને મળે છે:
$\vec{B} = \frac{\mu_0 (-I)}{2\pi r^2} (\hat{k} \times (x\hat{i} + y\hat{j})) = \frac{-\mu_0 I}{2\pi (x^2 + y^2)} (x\hat{j} - y\hat{i}) = \frac{\mu_0 I (y\hat{i} - x\hat{j})}{2\pi (x^2 + y^2)}$.

(B) કણ $x = a$ સુધી સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તાર $(a \le x \le b)$ માં પ્રવેશતા,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે કણ $r = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
કણ $x > b$ વાળા વિસ્તાર સુધી પહોંચી શકે તે માટે,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ $(b - a)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ.
તેથી,શરત $r \ge (b - a)$ છે.
$r$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{mv}{qB} \ge (b - a)$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v \ge \frac{q(b - a)B}{m}$ મળે છે.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $v_{\min} = \frac{q(b - a)B}{m}$ છે.

(D) એ સાચો વિકલ્પ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે.
ચુંબકની બહાર,ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવથી દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ જાય છે.
ચુંબકની અંદર,ક્ષેત્ર રેખાઓ દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ જાય છે,જે બંધ ગાળાઓની સાતત્યતા જાળવી રાખે છે.

(D) જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે લૂપ $P$ માં પ્રવાહ $I_P$ શૂન્યથી વધીને સ્થિર મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. આ લૂપ $Q$ માં ડાબેથી જમણી તરફ ( $P$ થી દૂર) વધતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,$Q$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{Q_1}$ એ આ ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે વિરુદ્ધ દિશામાં (જમણેથી ડાબે) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવો જોઈએ. $E$ અવલોકનકાર માટે,જે $Q$ ને જુએ છે,જમણેથી ડાબે જતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ સૂચવે છે. તેથી,$I_{Q_1}$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે $P$ માં પ્રવાહ $I_P$ ઘટીને શૂન્ય થાય છે. આ લૂપ $Q$ માં ડાબેથી જમણી તરફ જતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટાડે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,$Q$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{Q_2}$ એ આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે સમાન દિશામાં (ડાબેથી જમણે) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવો જોઈએ. $E$ અવલોકનકાર માટે,ડાબેથી જમણે જતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પ્રવાહ સૂચવે છે. તેથી,$I_{Q_2}$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે.

(B) પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -NA \frac{dB}{dt}$.
અહીં $A = \pi r_c^2$ (જ્યાં $r_c$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે),તેથી $e \propto N$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A_w} = \rho \frac{N(2\pi r_c)}{\pi r^2}$ છે,જ્યાં $r$ એ તારની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$R \propto \frac{N}{r^2}$.
વ્યય થતો પાવર $P = \frac{e^2}{R} \propto \frac{N^2}{N/r^2} = N r^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે $N_2 = 4N_1$ અને $r_2 = r_1/2$,તેથી નવો પાવર $P_2$:
$P_2 \propto (4N_1) \times (r_1/2)^2 = 4N_1 \times (r_1^2/4) = N_1 r_1^2 = P_1$.
તેથી,વ્યય થતો વિદ્યુત પાવર સમાન રહેશે.

(A) વિદ્યુત પ્રવાહ $i$ એ વિદ્યુતભારના વહેવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $i = \frac{Ne}{t}$ છે,જ્યાં $N$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે,$e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ છે,અને $t$ એ સમય છે.
દર સેકન્ડે ટાર્ગેટ પર અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને $\frac{N}{t}$ માટે ગોઠવીએ છીએ:
$\frac{N}{t} = \frac{i}{e}$
અહીં $i = 3.2 \text{ mA} = 3.2 \times 10^{-3} \text{ A}$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ આપેલ છે:
$\frac{N}{t} = \frac{3.2 \times 10^{-3}}{1.6 \times 10^{-19}}$
$\frac{N}{t} = 2 \times 10^{16} \text{ ઇલેક્ટ્રોન/સેકન્ડ}$.

(C) ગામા-ક્ષય પ્રક્રિયામાં,ન્યુક્લિયસ ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં ગામા-કિરણ ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરીને સંક્રમણ કરે છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,ન્યુક્લિયસના દળ ક્રમાંક $A$ અથવા પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આ પ્રક્રિયાને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $^A{X_Z}^* \to {\,^A}{X_Z} + \gamma$.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ આ પ્રક્રિયાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે સમય $t$ પરની એક્ટિવિટી $A = A_0 (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે એક્ટિવિટી તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{16}$ ભાગ સુધી ઘટે છે,તેથી $\frac{A}{A_0} = \frac{1}{16}$.
કારણ કે $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,તેથી $n = 4$ મળે છે.
કુલ લાગતો સમય $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1/2} = 100 \mu s$.
તેથી,$t = 4 \times 100 \mu s = 400 \mu s$.

(B) બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $l = n \left( \frac{h}{2\pi} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમાન અવસ્થા $n = 3$ માં હોવાથી,તેમના કોણીય વેગમાન સમાન છે: $l_H = l_{Li} = 3 \left( \frac{h}{2\pi} \right)$.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
હાઇડ્રોજન $(Z_H = 1)$ અને $Li^{++}$ $(Z_{Li} = 3)$ માટે,ઉર્જા $E_H = -13.6 \frac{1^2}{3^2}$ અને $E_{Li} = -13.6 \frac{3^2}{3^2}$ છે.
તેમના મૂલ્યો લેતા,$|E_H| = \frac{13.6}{9} \text{ eV}$ અને $|E_{Li}| = 13.6 \text{ eV}$ મળે છે.
સ્પષ્ટપણે,$|E_H| < |E_{Li}|$. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) નિરીક્ષકની દ્રષ્ટિ રેખા અચળ રહે છે,જે હવામાં લંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,જ્યારે પ્રવાહીને $2h$ ઊંચાઈ સુધી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયાના નીચેના ભાગમાંથી આવતું પ્રકાશનું કિરણ બીકરની ઉભી ધરીથી $h$ અંતરે પ્રવાહીની સપાટી પર પહોંચે છે.
પ્રવાહીમાં આપાતકોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{h}{2h} = 1/2$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
પ્રવાહી-હવા સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin \theta = 1 \cdot \sin 45^{\circ}$.
$\mu \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\mu = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(C) ગોલીય સપાટી દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિભાજન તેની વક્રતા ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે.
લેન્સ માટે,કુલ વિભાજન તેની બે સપાટીઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિભાજનનો સરવાળો છે.
જો એક સપાટી દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિભાજન બીજી સપાટી દ્વારા સંપૂર્ણપણે નાબૂદ થઈ જાય,તો લેન્સ વિભાજન દર્શાવતો નથી.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે બે સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન હોય,જેમાં એક બહિર્ગોળ અને બીજી અંતર્ગોળ હોય,જેથી લેન્સ તેમાંથી પસાર થતા પ્રકાશ માટે સમાંતર બાજુવાળી પ્લેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ મેનિસ્કસ લેન્સની બંને સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે,જેમાં એક બહિર્ગોળ અને બીજી અંતર્ગોળ છે. તેથી,તે વિભાજન દર્શાવતું નથી.

(A) જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટને એક કિરણના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
મૂળ મધ્યસ્થ અધિકતમની સ્થિતિ પર તીવ્રતા અપરિવર્તિત રહે તે માટે,નવો પથ તફાવત તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
ન્યૂનતમ જાડાઈ $t_{\min}$ શોધવા માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ:
$(\mu - 1)t_{\min} = 1 \cdot \lambda$
આપેલ છે કે $\mu = 1.5$,તેથી:
$(1.5 - 1)t_{\min} = \lambda$
$0.5 t_{\min} = \lambda$
$t_{\min} = \frac{\lambda}{0.5} = 2\lambda$.