यदि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं,तो इस घटना की प्रायिकता कि $A$ और $B$ में से अधिकतम एक घटित हो,क्या होगी?

दो व्यक्ति $A$ और $B$ बारी-बारी से पासे की एक जोड़ी फेंकते हैं। जो व्यक्ति पहले दोनों पासों पर $9$ का योग लाता है,वह खेल जीत जाता है। यदि $A$ पहले फेंकता है,तो $B$ के खेल जीतने की प्रायिकता क्या है?

ताश के एक पैकेट में $4$ इक्के,$4$ राजा,$4$ रानी और $4$ गुलाम हैं। यादृच्छिक रूप से दो पत्ते निकाले जाते हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि उनमें से कम से कम एक इक्का हो?

फुटबॉल टीमें $T_1$ और $T_2$ एक-दूसरे के खिलाफ दो मैच खेलती हैं। दोनों मैचों के परिणाम स्वतंत्र हैं। $T_1$ के $T_2$ के खिलाफ जीतने,ड्रा करने और हारने की प्रायिकताएं क्रमशः $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ और $\frac{1}{3}$ हैं। प्रत्येक टीम को जीत के लिए $3$ अंक,ड्रा के लिए $1$ अंक और हार के लिए $0$ अंक मिलते हैं। मान लीजिए $X$ और $Y$ दो मैचों के बाद क्रमशः $T_1$ और $T_2$ टीमों द्वारा प्राप्त कुल अंक दर्शाते हैं।
$(1)$ $P(X>Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

$A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ $P(A)=\frac{1}{4}$ और $P(A \cup B)=2 P(B)-P(A)$ है,तो $P(B)$ का मान ज्ञात कीजिए।

तीन छात्रों $S_1, S_2$ और $S_3$ को हल करने के लिए एक समस्या दी गई है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:
$U:$ $S_1, S_2$ और $S_3$ में से कम से कम एक छात्र समस्या को हल कर सकता है,
$V: S_1$ समस्या को हल कर सकता है,यह देखते हुए कि न तो $S_2$ और न ही $S_3$ समस्या को हल कर सकते हैं,
$W: S_2$ समस्या को हल कर सकता है और $S_3$ समस्या को हल नहीं कर सकता है,
$T: S_3$ समस्या को हल कर सकता है।
किसी भी घटना $E$ के लिए,$P(E)$ को $E$ की प्रायिकता के रूप में दर्शाएं।
यदि $P(U)=\frac{1}{2}, P(V)=\frac{1}{10}$ और $P(W)=\frac{1}{12}$ है,तो $P(T)$ का मान ज्ञात कीजिए।