वक्र y^3 + 3x^2 = 12y पर वह बिंदु (बिंदुएं) ज | vedclass

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Question

(D) वक्र का समीकरण दिया गया है: $y^3 + 3x^2 = 12y$. $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$. $\frac

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$\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$

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(D) वक्र का समीकरण दिया गया है: $y^3 + 3x^2 = 12y$. $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$. $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx}(3y^2 - 12) = -6x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-6x}{3y^2 - 12} = \frac{2x}{4 - y^2}$. स्पर्शरेखा के ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष के समानांतर) होने के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होना चाहिए,जो तब होता है जब हर शून्य हो: $4 - y^2 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$. स्थिति $1$: यदि $y = 2$,तो $2^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{3} \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$. स्थिति $2$: यदि $y = -2$,तो $(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$,जिसका $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है। अतः,बिंदु $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ हैं।

वक्र $y^3 + 3x^2 = 12y$ पर वह बिंदु (बिंदुएं) जहां स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष के समानांतर) है,है (हैं):

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