$\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0$ रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए कौन सा प्रतिस्थापन किया जाना चाहिए?

$\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ से गुजरने वाले एक वक्र के लिए $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{y}{x} - \cos^2\left( \frac{y}{x} \right)$ है,तो वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$,$x > 0$ और $y(1) = \frac{\pi}{2}$ है,तो $\cos \left(\frac{y}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ का हल है

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$,$y(1) = \frac{\pi}{2}$ का हल है और मान लीजिए $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}})$ है। तो $p$ के उन पूर्णांक मानों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनके लिए समीकरण $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ एक $r \leq 6$ त्रिज्या वाला वृत्त निरूपित करता है।

माना अवकल समीकरण $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$,$x > 0$ का हल वक्र रेखा $x = 1$ को $y = 0$ पर और रेखा $x = 2$ को $y = \alpha$ पर प्रतिच्छेद करता है। तो $\alpha$ का मान है।