AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બંને સ્તરોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હોય છે.
ધારો કે દરેક સ્તરની જાડાઈ $l$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
ધારો કે સ્તર $A$ અને $B$ ની ઉષ્મીય વાહકતા અનુક્રમે $K_A$ અને $K_B$ છે.
આપેલ છે: $K_A = 2K_B$.
ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{K A \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $H$ બંને સ્તરો માટે અચળ છે:
$H = \frac{K_A A \Delta T_A}{l} = \frac{K_B A \Delta T_B}{l}$
જ્યાં $\Delta T_A$ અને $\Delta T_B$ એ અનુક્રમે સ્તર $A$ અને $B$ ની આરપાર તાપમાનનો તફાવત છે.
બંને બાજુથી $A$ અને $l$ ને દૂર કરતા:
$K_A \Delta T_A = K_B \Delta T_B$
$K_A = 2K_B$ મૂકતા:
$2K_B \Delta T_A = K_B \Delta T_B \Rightarrow \Delta T_B = 2 \Delta T_A$
દીવાલની આરપાર કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_A + \Delta T_B = 24^{\circ} C$ છે.
સમીકરણમાં $\Delta T_B = 2 \Delta T_A$ મૂકતા:
$\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 24^{\circ} C$
$3 \Delta T_A = 24^{\circ} C \Rightarrow \Delta T_A = 8^{\circ} C$.
તેથી,સ્તર $B$ ની આરપાર તાપમાનનો તફાવત:
$\Delta T_B = 2 \times 8^{\circ} C = 16^{\circ} C$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયાના વિવિધ ભાગોનું તાપમાન અચળ રહે છે અને સમય પર આધારિત નથી. તાપમાન પ્રચલન (temperature gradient),જે તાપમાનનો તફાવત અને બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરનો ગુણોત્તર છે,તે સમગ્ર સળિયામાં અચળ રહે છે.
ધારો કે $A$ છેડાથી $9 \ cm$ દૂર આવેલા બિંદુ $C$ પરનું તાપમાન $T_C$ છે.
તાપમાન પ્રચલનનું સૂત્ર:
$\frac{T_A - T_C}{x_C - x_A} = \frac{T_A - T_B}{L}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100 - T_C}{9} = \frac{100 - 0}{20}$
$\frac{100 - T_C}{9} = \frac{100}{20}$
$100 - T_C = 5 \times 9$
$100 - T_C = 45$
$T_C = 100 - 45 = 55^{\circ} C$
તેથી,તે બિંદુનું તાપમાન $55^{\circ} C$ છે.

(C) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થના સરેરાશ તાપમાન અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = -K(T_{av} - T_0)$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\Delta T_1 = 52.5^{\circ} C - 47.5^{\circ} C = 5^{\circ} C$,$t_1 = 5 \ min$,$T_{av1} = \frac{52.5 + 47.5}{2} = 50^{\circ} C$. તેથી,$\frac{5}{5} = K(50 - T_0) \Rightarrow 1 = K(50 - T_0) \dots (i)$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\Delta T_2 = 47.5^{\circ} C - 42.5^{\circ} C = 5^{\circ} C$,$t_2 = 7.5 \ min$,$T_{av2} = \frac{47.5 + 42.5}{2} = 45^{\circ} C$. તેથી,$\frac{5}{7.5} = K(45 - T_0) \Rightarrow \frac{2}{3} = K(45 - T_0) \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2/3} = \frac{K(50 - T_0)}{K(45 - T_0)} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{50 - T_0}{45 - T_0}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(45 - T_0) = 2(50 - T_0) \Rightarrow 135 - 3T_0 = 100 - 2T_0$.
$T_0$ માટે ઉકેલતા: $T_0 = 135 - 100 = 35^{\circ} C$.

(C) ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ એક પ્રાયોગિક નિયમ છે જે જણાવે છે કે પદાર્થ દ્વારા ગુમાવવામાં આવતી ઉષ્માનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આ નિયમ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે,જેમાં એવી ધારણા કરવામાં આવે છે કે તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = T - T_s$ એ આસપાસના નિરપેક્ષ તાપમાન $T_s$ ની સરખામણીમાં નાનો છે.
તેથી,ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ ત્યારે જ સાચો ઠરે છે જ્યારે પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત નાનો હોય.

(A) પિસ્ટન સિલિન્ડરમાં બરાબર ફિટ થાય તે માટે,પિસ્ટન અને સિલિન્ડર વચ્ચેના ઉષ્મીય પ્રસરણનો તફાવત વ્યાસ પરના કુલ ક્લિયરન્સને સરભર કરવો જોઈએ.
આપેલ છે કે ક્લિયરન્સ ચારે બાજુ $0.08 \ mm$ છે,તેથી વ્યાસ પરનું કુલ ક્લિયરન્સ $\delta = 2 \times 0.08 \ mm = 0.16 \ mm$ છે.
રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = \alpha L \Delta T$ છે.
પિસ્ટન અને સિલિન્ડર વચ્ચેના પ્રસરણનો તફાવત $\delta = (\alpha_p - \alpha_c) L \Delta T$ છે.
અહીં,$L = 15 \ cm = 150 \ mm$,$\alpha_p = 1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,અને $\alpha_c = 1.2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.16 \ mm = (1.6 \times 10^{-5} - 1.2 \times 10^{-5}) \times 150 \ mm \times \Delta T$.
$0.16 = (0.4 \times 10^{-5}) \times 150 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{0.16}{60 \times 10^{-5}} = 266.67^{\circ} C \approx 268^{\circ} C$ (આપેલ વિકલ્પોનો ઉપયોગ કરતા).
અંતિમ તાપમાન $T = T_0 + \Delta T = 30^{\circ} C + 268^{\circ} C = 298^{\circ} C$.

(D) પ્રથમ સળિયા માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_1 = \alpha \Delta T L$ છે.
બીજા સળિયા માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_2 = (2\alpha) \Delta T (2L) = 4\alpha \Delta T L$ છે.
સળિયાઓ છેડાથી જોડાયેલા હોવાથી,કુલ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_{net} = \Delta L_1 + \Delta L_2 = \alpha \Delta T L + 4\alpha \Delta T L = 5\alpha \Delta T L$ છે.
સંયુક્ત સળિયાની કુલ લંબાઈ $L_{total} = L + 2L = 3L$ છે.
સંયુક્ત સળિયા માટે,$\Delta L_{net} = \alpha_{eff} \Delta T L_{total}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$5\alpha \Delta T L = \alpha_{eff} \Delta T (3L)$ મળે.
$\alpha_{eff}$ માટે ઉકેલતા,$\alpha_{eff} = \frac{5\alpha}{3}$ મળે છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે. તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta T$ છે. તેથી, $(a) - (iv)$.
$(b)$ સ્કેલના ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે વાસ્તવિક લંબાઈ અને સ્કેલ રીડિંગનો ગુણોત્તર $(1 + \alpha \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, $(b) - (iii)$.
$(c)$ અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે, કદ પ્રસરણાંક $\gamma = \frac{1}{T}$ છે. તેથી, તેનો વ્યસ્ત $T$ થાય છે. તેથી, $(c) - (ii)$.
$(d)$ હૂકના નિયમ મુજબ, $\frac{F}{A} = Y \frac{\Delta L}{L}$, તેથી $\frac{F}{YA} = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$. તેથી, $(d) - (i)$.
આમ, સાચી જોડ $(a-iv), (b-iii), (c-ii), (d-i)$ છે.

(B) ગરમી દરમિયાન વિસ્તરણ એ એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં તાપમાનમાં ફેરફાર થવાને કારણે દ્રવ્યના કદમાં ફેરફાર થાય છે.
જ્યારે પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના કણો ગતિ ઊર્જા મેળવે છે અને એકબીજાથી દૂર જાય છે,જેના પરિણામે કદમાં વધારો થાય છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $V$ એ કદ છે,અચળ દળ $m$ માટે કદ $V$ માં વધારો થવાથી ઘનતા $\rho$ માં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,ગરમી દરમિયાન વિસ્તરણ પદાર્થની ઘનતા ઘટાડે છે.

(C) કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.12 \% = \frac{0.12}{100} = 1.2 \times 10^{-3}$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 20^{\circ} C$ આપેલ છે.
કદ પ્રસરણ માટેનું સૂત્ર $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.2 \times 10^{-3} = \gamma \times 20$.
$\gamma = \frac{1.2 \times 10^{-3}}{20} = 0.06 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$.

(A) બહાર વહી જતા પ્રવાહીનું કદ એ પ્રવાહીના પ્રસરણ અને કાચના પાત્રના પ્રસરણ વચ્ચેના તફાવત જેટલું હોય છે.
પ્રવાહીના કદમાં થતો વધારો,$\Delta V_L = V_0 \gamma_L \Delta T$.
કાચના પાત્રના કદમાં થતો વધારો,$\Delta V_g = V_0 \gamma_g \Delta T$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma_g = 3\alpha_g$ હોવાથી,$\Delta V_g = V_0 (3\alpha_g) \Delta T$ મળે.
બહાર વહી જતા પ્રવાહીનું કદ $\Delta V_{overflow} = \Delta V_L - \Delta V_g$ થાય.
$\Delta V_{overflow} = V_0 \gamma_L \Delta T - V_0 (3\alpha_g) \Delta T$.
$\Delta V_{overflow} = V_0 \Delta T (\gamma_L - 3\alpha_g)$.

(D) તાપીય પ્રસરણને કારણે પદાર્થની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = l_0 \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_0$ એ પ્રારંભિક લંબાઈ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
અહીં $\alpha_{Al} > \alpha_{\text{steel}}$ હોવાથી,તાપમાનમાં સમાન ફેરફાર $\Delta T$ માટે,એલ્યુમિનિયમનો ભાગ સ્ટીલના ભાગ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામશે $(\Delta l_{Al} > \Delta l_{\text{steel}})$.
કારણ કે એલ્યુમિનિયમ વધુ વિસ્તરણ પામે છે,તે વળાંકની બહારની (બહિર્ગોળ) બાજુ બનાવશે,જ્યારે સ્ટીલ,જે ઓછું વિસ્તરણ પામે છે,તે વળાંકની અંદરની (અંતર્ગોળ) બાજુ બનાવશે.
તેથી,પટ્ટી સ્ટીલ અંતર્ગોળ બાજુ પર રહે તેમ વળશે.

(C) આપેલ છે: ચાંદીના સળિયાની લંબાઈ,$L = 1 \ m = 100 \ cm$.
પ્રારંભિક તાપમાન,$T_1 = 0^{\circ}C$.
અંતિમ તાપમાન,$T_2 = 100^{\circ}C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = T_2 - T_1 = 100^{\circ}C$.
લંબાઈમાં વધારો,$\Delta L = 0.19 \ cm$.
રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.19 = 100 \times \alpha \times 100$.
$\alpha = \frac{0.19}{10000} = 0.19 \times 10^{-4} \ ^{\circ}C^{-1} = 1.9 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1}$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
$\gamma = 3 \times 1.9 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1} = 5.7 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1}$.

(A) પાણી અસામાન્ય વિસ્તરણ દર્શાવે છે. તેની ઘનતા $4^{\circ} C$ તાપમાને મહત્તમ હોય છે.
જ્યારે સપાટી પરનું પાણી ઠંડું થઈને $0^{\circ} C$ પર પહોંચે છે અને થીજી જવાની શરૂઆત કરે છે,ત્યારે $4^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતું વધુ ઘનતાવાળું પાણી તળાવના તળિયે જમા થાય છે.
તેથી,તળાવના તળિયે તાપમાન $4^{\circ} C$ રહે છે.

(B) સેલ્સિયસ $(C)$ અને ફેરનહીટ $(F)$ માં તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\frac{C}{5} = \frac{F - 32}{9}$.
$F$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $F = C \times \frac{9}{5} + 32$.
સમીકરણમાં $C = -183^{\circ} C$ ની કિંમત મૂકતા:
$F = -183 \times \frac{9}{5} + 32$
$F = -36.6 \times 9 + 32$
$F = -329.4 + 32$
$F = -297.4^{\circ} F$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $-297^{\circ} F$ મળે છે.

(C) થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી; તે માત્ર તંત્રની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,જો બે અલગ-અલગ પ્રક્રિયાઓ માટે પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ સમાન હોય,તો આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ બંને પ્રક્રિયાઓ માટે સમાન રહેશે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ: $Q = W + \Delta U$,જેને $\Delta U = Q - W$ તરીકે લખી શકાય છે.
માર્ગ $1$ માટે: $\Delta U = Q_1 - W_1$.
માર્ગ $2$ માટે: $\Delta U = Q_2 - W_2$.
કારણ કે $\Delta U$ બંને માર્ગો માટે સમાન છે,તેથી આપણને મળે છે: $Q_1 - W_1 = Q_2 - W_2$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આંતર-આણ્વિય બળો નહિવત માનવામાં આવે છે અને અથડામણો સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક હોય છે.
પરિણામે,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ નું વિધેય છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
જેহেতু $U \propto T$,આંતરિક ઉર્જા $U$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ રેખીય છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,જે આલેખ આ સંબંધને શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવે છે તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે આલેખ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$,જેનો અર્થ છે કે $Q - W = \Delta U$.
આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
બધા જ પથ $(A, B, C, D)$ માટે,પ્રારંભિક અવસ્થા $1$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $2$ છે.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર બધા પથ માટે સમાન છે: $\Delta U_A = \Delta U_B = \Delta U_C = \Delta U_D$.
કારણ કે $Q - W = \Delta U$,તેથી $Q_A - W_A = Q_B - W_B = Q_C - W_C = Q_D - W_D$ મળે છે.
આમ,સમાન બે અવસ્થાઓને જોડતા તમામ પથ માટે $Q - W$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે $Q_A - W_A = \Delta U$ અને $Q_D - W_D = \Delta U$,તેથી $Q_A - W_A = Q_D - W_D$ થાય છે.

(A) આપેલ પ્રક્રિયામાં,આદર્શ વાયુ માટે,$\Delta W = 0$ અને $\Delta Q < 0$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta W + \Delta U$,જ્યાં $\Delta U$ એ વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta W = 0$ હોવાથી,આપણને $\Delta Q = \Delta U$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\Delta Q < 0$,તેથી $\Delta U < 0$ થાય.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે $(U = nC_vT)$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો $(\Delta U < 0)$ એ વાયુના તાપમાનમાં ઘટાડો સૂચવે છે.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = C_p \Delta T$ અને આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = C_V \Delta T$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta Q}{\Delta U} = \frac{C_p \Delta T}{C_V \Delta T} = \frac{C_p}{C_V} = \gamma$. તેથી,$A \rightarrow 4$.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,તેથી $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = (C_p - C_V) \Delta T$.
તેથી,$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{C_p \Delta T}{(C_p - C_V) \Delta T} = \frac{C_p}{C_p - C_V} = \frac{C_p/C_V}{(C_p/C_V) - 1} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$. તેથી,$B \rightarrow 3$.
રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$. તેથી,$C \rightarrow 2$.
હીટ પંપ માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\alpha = \frac{Q_1}{W} = \frac{Q_1}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}$. તેથી,$D \rightarrow 1$.
આમ,સાચી જોડ $A \rightarrow 4, B \rightarrow 3, C \rightarrow 2, D \rightarrow 1$ છે.

(C) રેફ્રિજરેટરનો કાર્યક્ષમતા ગુણાંક $(\beta)$ $\beta = \frac{Q_2}{W}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જ્યાં $Q_2$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરમાંથી ખેંચેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ સિસ્ટમ પર થયેલું કાર્ય છે।
આપેલ છે કે $\beta = 0.25 = \frac{1}{4}$, તેથી $Q_2 = \frac{W}{4}$.
ગરમ રિઝર્વોયરમાં મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_1 = Q_2 + W$ છે.
$Q_2 = \frac{W}{4}$ મૂકતા, આપણને $Q_1 = \frac{W}{4} + W = \frac{5W}{4}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $Q_1 = 250 \, J$, તેથી $250 = \frac{5W}{4}$.
$W$ માટે ઉકેલતા, $W = 250 \times \frac{4}{5} = 200 \, J$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે, સિંકનું તાપમાન $T_{\text{sink}} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 K$.
પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ માટે:
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},1}}$
$\frac{300}{T_{\text{source},1}} = 0.6 \Rightarrow T_{\text{source},1} = \frac{300}{0.6} = 500 K$.
અંતિમ કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ માટે:
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},2}}$
$\frac{300}{T_{\text{source},2}} = 0.4 \Rightarrow T_{\text{source},2} = \frac{300}{0.4} = 750 K$.
સ્ત્રોતના તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_{\text{source},2} - T_{\text{source},1} = 750 K - 500 K = 250 K$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$.
આપેલ છે કે ત્રણેય એન્જિન સમાન કાર્યક્ષમતા ધરાવે છે,ધારો કે $\eta_1 = \eta_2 = \eta_3 = \eta$.
પ્રથમ એન્જિન માટે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta$.
બીજા એન્જિન માટે: $\eta = 1 - \frac{T_3}{T_2} \Rightarrow \frac{T_3}{T_2} = 1 - \eta$.
ત્રીજા એન્જિન માટે: $\eta = 1 - \frac{T_4}{T_3} \Rightarrow \frac{T_4}{T_3} = 1 - \eta$.
જેમ કે $1 - \eta$ અચળ છે,તેથી $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2} = \frac{T_4}{T_3} = k$,જ્યાં $k = 1 - \eta$.
આના પરથી,$T_2 = T_1 k$,$T_3 = T_2 k = T_1 k^2$,અને $T_4 = T_3 k = T_1 k^3$.
તેથી,$k^3 = \frac{T_4}{T_1} \Rightarrow k = \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{1/3}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_2 = T_1 \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{1/3} = T_1^{2/3} T_4^{1/3} = (T_1^2 T_4)^{1/3}$.
$T_3 = T_1 \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{2/3} = T_1^{1/3} T_4^{2/3} = (T_1 T_4^2)^{1/3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) કાર્નોટ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
અહીં,$T_1$ એ સ્ત્રોત (ગરમ રિઝર્વોયર) નું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંક (ઠંડા રિઝર્વોયર) નું તાપમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કાર્યક્ષમતા માત્ર સ્ત્રોત અને સિંકના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે એન્જિનમાં વપરાતા કાર્યકારી પદાર્થના પ્રકારથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચું વિધાન છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\eta_1 = 0.4$,$T_1 = 500 \ K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\eta_2 = 0.6$,$T_2 = 300 \ K$,અને આપણે નવું સ્ત્રોત તાપમાન $T_1'$ શોધવાનું છે.
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.4$.
$T_1' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$.

(C) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1/5$ છે.
જ્યારે આ એન્જિનનો ઉપયોગ રેફ્રિજરેટર તરીકે કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta$ એ કાર્યક્ષમતા $\eta$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\beta = \frac{1 - \eta}{\eta}$.
$\eta$ ની કિંમત મૂકતા: $\beta = \frac{1 - 1/5}{1/5} = \frac{4/5}{1/5} = 4$.
પરફોર્મન્સ ગુણાંકને ઠંડા રિઝર્વોયર (reservoir) માંથી શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q)$ અને સિસ્ટમ પર થયેલા કાર્ય $(W)$ ના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\beta = \frac{Q}{W}$.
અહીં $W = 50 \ J$ આપેલ છે,તેથી $4 = \frac{Q}{50}$.
આમ,$Q = 4 \times 50 = 200 \ J$.

(C) આપેલ છે કે, તાપમાન $T_1 = 500 \ K$ અને $T_2 = 300 \ K$ છે.
આ તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત એન્જિનની મહત્તમ સૈદ્ધાંતિક કાર્યક્ષમતા (કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા) $\eta_{max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\eta_{max} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ અથવા $40\%$.
હવે, દરેક ડિઝાઇન માટે કાર્યક્ષમતા $(\eta = \frac{W}{Q_{in}})$ ગણો:
ડિઝાઇન $A$ માટે: $\eta_A = \frac{150}{1000} = 0.15$ $(15\%)$.
ડિઝાઇન $B$ માટે: $\eta_B = \frac{450}{1000} = 0.45$ $(45\%)$.
ડિઝાઇન $C$ માટે: $\eta_C = \frac{300}{1000} = 0.30$ $(30\%)$.
થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમ મુજબ, કોઈ પણ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં. અહીં $\eta_B = 0.45 > 0.4$ હોવાથી, ડિઝાઇન $B$ બીજા નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે અને તે અશક્ય છે. ડિઝાઇન $C$ ની કાર્યક્ષમતા $0.3$ છે, જે $0.4$ કરતા ઓછી છે, તેથી તે ભૌતિક રીતે શક્ય છે. તેથી, ડિઝાઇન $C$ સૌથી યોગ્ય પસંદગી છે.

(D) જ્યારે સંકોચનની પ્રક્રિયા અચાનક અથવા ત્વરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉષ્માના વિનિમય માટે પૂરતો સમય મળતો નથી; તેથી,આ પ્રક્રિયા એ એડિબેટિક (સમઉષ્મી) સંકોચન પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P V^\gamma = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$.
અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણના ગુણોત્તર માટે: $\frac{P_f}{P_i} = \left( \frac{V_i}{V_f} \right)^\gamma$.
અહીં $V_f = \frac{V_i}{4}$ અને $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_f}{P_i} = \left( \frac{V_i}{V_i / 4} \right)^{1.5} = (4)^{1.5} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(C) એક-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{3}{2} n R T$ છે,તેથી $U \propto T$.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$,તેથી $\rho \propto \frac{1}{V}$.
પ્રક્રિયા $AB$ માટે,$U$-$\rho$ આલેખમાં રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $U = k \rho$. $U \propto T$ અને $\rho \propto 1/V$ મૂકતા,આપણને $T \propto 1/V$ મળે,અથવા $TV = \text{અચળ}$.
$PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(PV/nR)V = \text{અચળ}$ મળે,તેથી $PV^2 = \text{અચળ}$. આ $m = 2$ સૂચકાંક ધરાવતી પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે.
મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_V + \frac{R}{1-m} = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-2} = \frac{3R}{2} - R = \frac{R}{2}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
પ્રક્રિયા $BC$ માં,$\rho$ અચળ છે,તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયા છે. $U$ ઘટતું હોવાથી,તાપમાન ઘટે છે,તેથી ઉષ્મા મુક્ત થાય છે. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
સમકદ પ્રક્રિયા માટે,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે. વિકલ્પ $C$ માં તે $\frac{2R}{3}$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
પ્રક્રિયા $CA$ માં,$U$ અચળ છે,તેથી $T$ અચળ છે (સમતાપી). $W_{CA} = nRT \ln(V_A/V_C) = nRT \ln(\rho_C/\rho_A) = (\frac{2}{3} U_0) \ln(4\rho_0/\rho_0) = \frac{2}{3} U_0 \ln 4$. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયામાં, સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ, $PV = nRT$.
અહીં $T$ અચળ હોવાથી, $PV = \text{અચળ}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $P = \frac{\text{અચળ}}{V}$, જે $P-V$ આલેખમાં લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
તેથી, દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ અરેખીય છે.
તેની સરખામણીમાં, સમતાપી પ્રક્રિયામાં $P$ અને $T$, $V$ અને $T$, અથવા $PV$ અને $T$ વચ્ચેનો સંબંધ રેખીય (અથવા અચળ) હોય છે.

(A) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $V_A = V_B = V$,$p_A = p_B = p$.
પાત્ર $A$ માટે (સમતાપી પ્રક્રિયા): $p_A V_A = p_A^{\prime} V_A^{\prime}$.
અહીં $V_A^{\prime} = V/2$ આપેલ છે,તેથી $p V = p_A^{\prime} (V/2) \Rightarrow p_A^{\prime} = 2p$.
પાત્ર $B$ માટે (એડિબેટિક પ્રક્રિયા): $p_B V_B^{\gamma} = p_B^{\prime} (V_B^{\prime})^{\gamma}$.
અહીં $V_B^{\prime} = V/2$ આપેલ છે,તેથી $p V^{\gamma} = p_B^{\prime} (V/2)^{\gamma} \Rightarrow p_B^{\prime} = p \cdot 2^{\gamma}$.
અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{p_B^{\prime}}{p_A^{\prime}} = \frac{p \cdot 2^{\gamma}}{2p} = 2^{\gamma-1}$ થાય.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં વાયુ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે,તેથી $\Delta Q = -30 \,J$.
વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી $\Delta W = -18 \,J$.
પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $U_i = 60 \,J$.
ધારો કે અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
આ કિંમતોને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-30 = (U_f - 60) + (-18)$
$-30 = U_f - 78$
$U_f = 78 - 30 = 48 \,J$.
તેથી,વાયુની અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $48 \,J$ છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $p-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,કુલ થયેલ કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
જો ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) પૂર્ણ થતું હોય,તો કુલ કાર્ય ધન હોય છે.
જો ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) પૂર્ણ થતું હોય,તો કુલ કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,માર્ગ $C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow C$ છે,જે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તેથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય ઋણ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેના આસપાસના વાતાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન $(dQ = 0)$ થતું નથી.
આ સ્થિતિ જાળવી રાખવા માટે,પાત્ર સંપૂર્ણ ઉષ્મા અવાહક હોવું જોઈએ.
થર્મોસ ફ્લાસ્ક ખાસ કરીને ઉષ્માના વહન,ઉષ્મા નયન અને વિકિરણ દ્વારા થતા ઉષ્માના સ્થાનાંતરણને ઘટાડવા માટે બનાવવામાં આવે છે,તેથી એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી તે શ્રેષ્ઠ પસંદગી છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા મુજબ,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $pV = nRT$ છે.
જેহেতু $T$ અચળ છે,$n$ અને $R$ પણ અચળ છે,તેથી $pV$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ,એટલે કે $pV = K$.
આ સૂચવે છે કે $p \propto \frac{1}{V}$.
સમતાપી સંકોચનમાં,વાયુનું કદ $V$ ઘટે છે.
જેহেতু દબાણ $p$ એ કદ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી જેમ કદ $V$ ઘટે છે,તેમ દબાણ $p$ વધે છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta Q$ એ સિસ્ટમને આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે,અને $\Delta W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
આપેલ છે કે સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની આંતરિક ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલું છે,તેથી $\Delta W = -\Delta U$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U + \Delta W = 0$.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\Delta Q = 0$ મળે છે.
જે પ્રક્રિયામાં આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(\Delta Q = 0)$,તેને એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સિસ્ટમમાં એડિબેટિક ફેરફાર થયો હશે.

(B) સમકદ પ્રક્રિયા માટે,કદ અચળ રહે છે,તેથી $\Delta V = 0$.
થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય $W = p \cdot \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\Delta V = 0$ મૂકતા $W = 0$ મળે છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા અચળ તાપમાને થાય છે.
ઉષ્માના વિનિમય દરમિયાન તાપમાન અચળ રહે તે માટે,પ્રક્રિયા ખૂબ જ ધીમી હોવી જોઈએ જેથી આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંતુલન જાળવવા માટે પૂરતો સમય મળી રહે.
તેથી,સમતાપી પ્રક્રિયાને સામાન્ય રીતે ધીમી પ્રક્રિયા માનવામાં આવે છે.

(A) લહેરોની ઝડપ $v$ એ પૃષ્ઠતાણ $\sigma$,ઘનતા $\rho$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે.
આ સંબંધને $v = k \sigma^a \rho^b \lambda^c$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
ઝડપ $v$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L T^{-1}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $\sigma$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^0 T^{-2}]$ છે.
ઘનતા $\rho$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-3} T^0]$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L T^0]$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^0 L T^{-1}] = [M L^0 T^{-2}]^a [M L^{-3} T^0]^b [L]^c$
$[M^0 L T^{-1}] = [M]^{a+b} [L]^{-3b+c} [T]^{-2a}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$a + b = 0$
$-3b + c = 1$
$-2a = -1$
$-2a = -1$ પરથી,આપણને $a = 1/2$ મળે છે.
$a = 1/2$ ને $a + b = 0$ માં મૂકતા,આપણને $b = -1/2$ મળે છે.
$b = -1/2$ ને $-3b + c = 1$ માં મૂકતા,આપણને $-3(-1/2) + c = 1 \Rightarrow 1.5 + c = 1 \Rightarrow c = -0.5 = -1/2$ મળે છે.
આમ,$v \propto \sigma^{1/2} \rho^{-1/2} \lambda^{-1/2}$.
તેથી,$v \propto \sqrt{\frac{\sigma}{\rho \lambda}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 \propto \frac{\sigma}{\rho \lambda}$.

(A) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ને પદાર્થના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેને ગ્રીક અક્ષર $\sigma$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$\text{સ્ટ્રેસ} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$
બળ અને ક્ષેત્રફળના પરિમાણીય સૂત્રો મૂકતા:
$\text{બળ} = [M L T^{-2}]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = [L^2]$
$\text{સ્ટ્રેસ} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2]} = [M L^{1-2} T^{-2}] = [M L^{-1} T^{-2}]$

(C) પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી પ્રવાહીના વહનનો દર $(Q)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Q = \frac{V}{t} = \frac{\pi p R^4}{8 \eta L}$
જ્યાં:
$V$ એ પ્રવાહીનું કદ છે,
$t$ એ વહનનો સમય છે,
$p$ એ દબાણનો તફાવત છે,
$R$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે,
$L$ એ નળીની લંબાઈ છે.
કદ $V$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$V = \frac{\pi p R^4 t}{8 \eta L}$
અહીં $\frac{\pi}{8}$ એ અચળાંક હોવાથી,કદ $V$ બાકીના પદોના પ્રમાણમાં છે:
$V \propto \frac{p R^4 t}{\eta L}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ ભૌતિક રાશિઓ માટેના પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[$બળ$] = [MLT^{-2}]$
$[$પૃષ્ઠતાણ$] = [MT^{-2}]$
$[$આવૃત્તિ$] = [T^{-1}]$
$[$વેગ પ્રચલન$] = [T^{-1}]$
$[$કોણીય ઝડપ$] = [T^{-1}]$
$[$ઘનકોણ$] = [M^0L^0T^0]$ (પરિમાણરહિત)
$[$સ્ટીફનનો અચળાંક$] = [MT^{-3}K^{-4}]$
$[$પ્લાન્કનો અચળાંક$] = [ML^2T^{-1}]$
આની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે આવૃત્તિ અને વેગ પ્રચલન બંને $[T^{-1}]$ પરિમાણ ધરાવે છે.
તેથી,સાચી જોડી આવૃત્તિ અને વેગ પ્રચલન છે.

(B) બે પદાર્થો $A$ અને $B$ માટે સાપેક્ષ વેગ $(v_A \pm v_B)$ ને એકમ $(ms^{-1})$ અને પરિમાણ $[LT^{-1}]$ બંને હોય છે.
બે પદાર્થોની સાપેક્ષ ઘનતા $(\rho = \frac{\rho_A}{\rho_B})$ ને કોઈ એકમ કે પરિમાણ હોતા નથી કારણ કે તે બે સમાન ભૌતિક રાશિઓનો ગુણોત્તર છે.
ખૂણો રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે. આમ,તેને એકમ છે પણ પરિમાણ નથી.
ઉર્જા જૂલમાં માપવામાં આવે છે અને તેને પરિમાણ $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
તેથી,માત્ર સાપેક્ષ ઘનતાને એકમ કે પરિમાણ હોતા નથી.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-10} \text{ m}$ થાય છે.
આને મિલીમીટર $(\text{mm})$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ m} = 10^3 \text{ mm}$.
તેથી,$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-10} \times 10^3 \text{ mm}$.
$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-7} \text{ mm}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) બિંદુ $P$ પર તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે,અને $A_1$ અને $A_2$ એ ધ્વનિ તરંગોના કંપવિસ્તાર છે.
પ્રથમ,આપણે ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી કરીએ: $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{350 m s^{-1}}{350 Hz} = 1 m = 100 cm$.
પથ તફાવત $\Delta x = AP - BP = 25 cm$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\phi$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{100 cm} \times 25 cm = \frac{\pi}{2}$.
હવે,કિંમતોને પરિણામી કંપવિસ્તારના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2 + 2 \times 0.3 \times 0.4 \cos(\frac{\pi}{2})}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$A = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5 mm$.

(A) વિવિધ માધ્યમોમાં તરંગોની ઝડપ માધ્યમના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મો અને ઘનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$(a)$ ઘન પદાર્થ (જેમ કે સ્ટીલનો સળિયો) માં લંબગત તરંગ માટે, ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\eta}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\eta$ એ શીયર મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે। તેથી, $(a) - (ii)$.
$(b)$ બલ્ક ઘન પદાર્થ (જેમ કે પૃથ્વીનો પોપડો) માં સંગત તરંગો માટે, ઝડપ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ અને શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ બંને પર આધાર રાખે છે: $v = \sqrt{\frac{B + \frac{4}{3}\eta}{\rho}}$. તેથી, $(b) - (i)$.
$(c)$ પાતળા સળિયામાં સંગત તરંગો માટે, ઝડપ $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે। તેથી, $(c) - (iv)$.
$(d)$ લહેરો એ પ્રવાહીની સપાટી પરના તરંગો છે જ્યાં પૃષ્ઠતાણ $T$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે। ઝડપ $v = \sqrt{\frac{2 \pi T}{g \lambda}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। તેથી, $(d) - (iii)$.
તેથી, સાચી જોડ $(a) - (ii), (b) - (i), (c) - (iv), (d) - (iii)$ છે.

(B) આપેલ તરંગોના સમીકરણો $x_1 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ અને $x_2 = A \cos \omega t$ છે.
કળા તફાવત શોધવા માટે,આપણે બંને તરંગોને સમાન ત્રિકોણમિતીય વિધેય (sin અથવા cos) માં દર્શાવીશું.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$.
તેથી,$x_2 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$.
હવે,$x_1$ ની કળા $\phi_1 = \omega t + \frac{\pi}{6}$ છે અને $x_2$ ની કળા $\phi_2 = \omega t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$.
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ છે કે, બે તરંગોના કંપનવિસ્તાર $a_1 = a_2 = 10 \,mm$ છે.
તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = 90^{\circ}$ છે.
બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોનો પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$A = \sqrt{(10)^2 + (10)^2 + 2(10)(10) \cos 90^{\circ}}$
અહીં $\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી, સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$A = \sqrt{100 + 100 + 0}$
$A = \sqrt{200}$
$A = 10 \sqrt{2} \,mm$

(D) બીટ્સ એ બે ધ્વનિ તરંગોના સંપાતપણાને કારણે ઉદ્ભવતી ઘટના છે.
જ્યારે સમાન કંપવિસ્તાર અને સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
આ વ્યતિકરણને પરિણામે પરિણામી ધ્વનિની તીવ્રતામાં સમયાંતરે ફેરફાર થાય છે,જેને બીટ્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,બીટ્સની રચના એ ધ્વનિ તરંગોના વ્યતિકરણનું સીધું પરિણામ છે.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરી પર રચાતા સ્થિત તરંગમાં,જે બિંદુઓ પર સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે તેને નોડ્સ (નિસ્પંદ બિંદુઓ) કહેવામાં આવે છે. જે બિંદુઓ પર કંપનનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે તેને એન્ટિનોડ્સ (સ્પંદ બિંદુઓ) કહેવામાં આવે છે.
$n$ લૂપ્સમાં કંપન કરતી દોરી માટે,નોડ્સની સંખ્યા $n + 1$ છે અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $n$ છે.
અહીં આપેલ છે કે દોરી $5$ લૂપ્સમાં કંપન કરે છે,તેથી $n = 5$.
તેથી,નોડ્સની સંખ્યા = $5 + 1 = 6$.
એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા = $5$.
આમ,નોડ્સ અને એન્ટિનોડ્સની કુલ સંખ્યા અનુક્રમે $6$ અને $5$ છે.

(B) ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે:
મોલર દળ,$M_1 = 32 \,g/mol$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર,$\gamma_1 = C_p / C_V = 7/5$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે).
ધ્વનિની ઝડપ,$v_1 = 460 \,ms^{-1}$.
હિલિયમ $(He)$ માટે:
મોલર દળ,$M_2 = 4 \,g/mol$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર,$\gamma_2 = C_p / C_V = 5/3$ (એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે).
આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\gamma_2}{\gamma_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{5/3}{7/5} \cdot \frac{32}{4}} = \sqrt{\frac{25}{21} \cdot 8} = \sqrt{\frac{200}{21}} \approx 3.085$.
તેથી,$v_2 = 460 \times 3.085 \approx 1420 \,ms^{-1}$.

(A) તરંગ અગ્રને માધ્યમના એવા તમામ બિંદુઓના બિંદુપથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે આપેલ સમયે સમાન કળામાં કંપન કરતા હોય છે.
તરંગ અગ્ર પરના તમામ બિંદુઓ કંપનની સમાન સ્થિતિમાં હોવાથી,તરંગ અગ્ર પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત શૂન્ય હોય છે.
તેથી,તરંગ અગ્ર પરના તમામ બિંદુઓ સમાન કળામાં હોય છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે નવું અંતર $D_2 = 2D_1$ અને નવી સ્લિટ સેપરેશન $d_2 = \frac{d_1}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_2$ એ $\beta_2 = \frac{D_2 \lambda}{d_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\beta_2 = \frac{(2D_1) \lambda}{(d_1 / 2)} = 4 \times \frac{D_1 \lambda}{d_1} = 4 \beta_1$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ ચાર ગણી થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $4: 3$ છે.
ધારો કે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે,તેથી $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{3}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto A^2$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કૌંસની અંદર અંશ અને છેદને $A_2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$ મળે છે.
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{3}$ કિંમત મૂકતા,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{4}{3} + 1}{\frac{4}{3} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right)^2 = (7)^2 = \frac{49}{1}$ મળે છે.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $49: 1$ છે.

(D) આપેલ છે કે મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{36}{1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_{\max} = (a_1 + a_2)^2$ અને $I_{\min} = (a_1 - a_2)^2$,જ્યાં $a_1$ અને $a_2$ એ બે તરંગોના કંપવિસ્તાર છે.
તેથી,$\frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \frac{36}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{6}{1}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$a_1 + a_2 = 6(a_1 - a_2) = 6a_1 - 6a_2$.
પદોને ગોઠવતા,$5a_1 = 7a_2$.
આમ,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{5}$ થાય છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
ધારો કે શરૂઆતની ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્લિટ્સ વચ્ચેનું નવું અંતર $d_2 = 10 d_1$ છે અને પડદાથી નવું અંતર $D_2 = \frac{D_1}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2} = \frac{\lambda (D_1 / 2)}{10 d_1} = \frac{1}{20} \left( \frac{\lambda D_1}{d_1} \right)$ થશે.
તેથી,$\beta_2 = \frac{1}{20} \beta_1$ થાય છે.