AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) હવામાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ હવાની ઘનતા છે.
સમાન તાપમાન અને દબાણે પાણીની વરાળની ઘનતા સૂકી હવા કરતા ઓછી હોવાથી,ભેજની હાજરી હવાની અસરકારક ઘનતા $\rho$ ઘટાડે છે.
અવાજની ઝડપ $v$ એ ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$,ઘનતામાં ઘટાડો થવાથી અવાજની ઝડપમાં વધારો થાય છે.
તેથી,હવામાં ભેજ વધવાની સાથે અવાજની ઝડપ વધે છે.

(B) હવામાં અવાજની ઝડપ નિરપેક્ષ તાપમાન ($T$ કેલ્વિનમાં) ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \ K$ તાપમાને વેગ $v_1$ છે.
ધારો કે $T_2$ તાપમાને વેગ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે વેગમાં $10\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $v_2 = v_1 + 0.10v_1 = 1.1v_1 = \frac{11}{10}v_1$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_1}{1.1v_1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$.
$\frac{1}{1.1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}} \Rightarrow \frac{1}{1.21} = \frac{273}{T_2}$.
$T_2 = 273 \times 1.21 = 330.33 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 330.33 - 273 = 57.33^{\circ}C \approx 57^{\circ}C$.

(A) કંપન કરતી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
દોરી સમાન હોવાથી,બધા ભાગો માટે તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ રહે છે.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ એ ભાગની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $f \propto \frac{1}{l}$ અથવા $l \propto \frac{1}{f}$.
આપેલ છે કે મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 : f_3 = 1 : 2 : 3$ છે.
ભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{f_1} : \frac{1}{f_2} : \frac{1}{f_3}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(6)$ વડે ગુણતા: $l_1 : l_2 : l_3 = (1 \times 6) : (\frac{1}{2} \times 6) : (\frac{1}{3} \times 6) = 6 : 3 : 2$.

(D) ધારો કે પૃથ્વી $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે. ટ્રેન પૃથ્વીની સપાટીની સાપેક્ષ $v$ ઝડપે ગતિ કરે છે.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણની દિશામાં (પશ્ચિમથી પૂર્વ) ગતિ કરતી ટ્રેન માટે,કુલ કોણીય વેગ $\omega' = \omega + v/R$ થાય. જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_1 = m(\omega + v/R)^2 R$ છે.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણની વિરુદ્ધ દિશામાં (પૂર્વથી પશ્ચિમ) ગતિ કરતી ટ્રેન માટે,કુલ કોણીય વેગ $\omega'' = \omega - v/R$ થાય. જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_2 = m(\omega - v/R)^2 R$ છે.
$F_1 \neq F_2$ હોવાથી,લંબબળ $N_1 = mg - F_1$ અને $N_2 = mg - F_2$ સમાન નથી. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પૃથ્વીની સાપેક્ષ ઝડપ $v$ પર નહીં,પરંતુ જડત્વીય ફ્રેમની સાપેક્ષ કુલ કોણીય વેગ પર આધાર રાખે છે. તેથી,કારણ $(R)$ પણ ખોટું છે.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ ને સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ પદાર્થની ઝડપ છે.
દળ $m$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા અને ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ $K.E. \propto v^2$ છે.
આ સમીકરણ $y = kx^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,$x$-અક્ષ પર ઝડપ $(v)$ અને $y$-અક્ષ પર ગતિઊર્જા $(K.E.)$ વચ્ચે દોરવામાં આવેલ આલેખ પરવલય છે.

(A) સાંકળના લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય તે ભાગની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે.
ધારો કે લટકતા ભાગનું દળ $m' = \frac{m}{6}$ છે અને તેની લંબાઈ $l' = \frac{l}{6}$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l'}{2} = \frac{l/6}{2} = \frac{l}{12}$ જેટલા અંતરે નીચે છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ આ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ટેબલની સપાટી સુધી લાવવા માટે જરૂરી સ્થિતિ ઊર્જા જેટલું છે:
$W = m' g h$
$W = \left(\frac{m}{6}\right) g \left(\frac{l}{12}\right)$
$W = \frac{m g l}{72}$

(D) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. એક પાટિયામાંથી પસાર થયા પછી,વેગ $v = u - \frac{u}{25} = \frac{24u}{25}$ થાય છે.
અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s$ એ એક પાટિયાની જાડાઈ છે અને $a$ એ અચળ પ્રતિપ્રવેગ છે:
$\left(\frac{24u}{25}\right)^2 - u^2 = 2as$
$\frac{576u^2}{625} - u^2 = 2as$
$2as = -\frac{49u^2}{625}$.
જો ગોળીને અટકાવવા માટે $n$ પાટિયાની જરૂર હોય,તો કુલ અંતર $ns$ કાપ્યા પછી અંતિમ વેગ $0$ થાય છે:
$0^2 - u^2 = 2a(ns)$
$-u^2 = n(2as)$
$-u^2 = n \left(-\frac{49u^2}{625}\right)$
$n = \frac{625}{49} \approx 12.75$.
પાટિયાઓની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી ગોળીને અટકાવવા માટે ઓછામાં ઓછા $13$ પાટિયાની જરૂર પડશે.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં બંને પદાર્થો સમાન રેખીય વેગ $(v_1 = v_2 = v)$ થી ગતિ કરે છે,તેથી ગતિઊર્જા એ દળના સમપ્રમાણમાં છે $(K.E. \propto m)$.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર તેમના દળના ગુણોત્તર જેટલો થાય:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{m_1}{m_2}$.
આપેલ છે કે $\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{4}{1}$,તેથી $\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{1}$ મળે.
આમ,તેમના દળનો ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે. બિંદુ $A$ પર,લંબબળ $N$ એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે. વજનબળ $mg$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે અને લંબબળ કેન્દ્ર $O$ તરફ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે,તેથી $A$ પર પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ એ $N$ અને $mg$ નો સદિશ સરવાળો છે.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F_A = \sqrt{N^2 + (mg)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $F_A = \sqrt{2} mg$,તેથી $\sqrt{N^2 + (mg)^2} = \sqrt{2} mg$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$N^2 + m^2g^2 = 2m^2g^2$,જે આપે છે $N^2 = m^2g^2$,તેથી $N = mg$.
$A$ પર કેન્દ્રગામી બળનું સમીકરણ $N = \frac{mv_A^2}{R}$ છે,તેથી $mg = \frac{mv_A^2}{R}$,જે સૂચવે છે કે $v_A^2 = Rg$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતના બિંદુ $P$ ($H$ ઊંચાઈ) પરની કુલ ઉર્જા એ બિંદુ $A$ ($R$ ઊંચાઈ) પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$mgH = \frac{1}{2}mv_A^2 + mgR$.
$v_A^2 = Rg$ મૂકતા:
$mgH = \frac{1}{2}m(Rg) + mgR = \frac{3}{2}mgR$.
તેથી,$H = \frac{3}{2}R$.

(B) આપેલ છે,પદાર્થનું દળ $= M$.
રેતીના ભોંયતળિયાથી ઊંચાઈ $= h$.
રેતીમાં કપાયેલું અંતર $= x$.
ધારો કે પદાર્થ સપાટી સાથે $v$ વેગથી અથડાય છે.
ગતિના સમીકરણ મુજબ,$v^2 = u^2 + 2gh$. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી,$v^2 = 2gh$ ... $(i)$.
જ્યારે પદાર્થ રેતીમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે $x$ અંતર કાપ્યા પછી તે સ્થિર થઈ જાય છે. ધારો કે $F$ એ સરેરાશ અવરોધક બળ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ચોખ્ખા બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
રેતીની અંદર પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($Mg$ નીચેની તરફ) અને અવરોધ ($F$ ઉપરની તરફ) છે.
ચોખ્ખું બળ $= Mg - F$.
થયેલ કાર્ય $= (Mg - F)x$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $= K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}Mv^2$.
બંનેને સરખાવતા: $(Mg - F)x = -\frac{1}{2}Mv^2$.
$v^2 = 2gh$ ની કિંમત મૂકતા: $(Mg - F)x = -\frac{1}{2}M(2gh) = -Mgh$.
$Mgx - Fx = -Mgh$.
$Fx = Mgx + Mgh$.
$F = Mg\left(\frac{x+h}{x}\right)$.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{1}{2} m v^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ ઝડપ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે. તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2} m v^2$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,દળ બમણું $(m' = 2m)$ અને ઝડપ બમણી $(v' = 2v)$ કરવામાં આવે છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f$ નીચે મુજબ મળે:
$KE_f = \frac{1}{2} (2m) (2v)^2$
$KE_f = \frac{1}{2} (2m) (4v^2)$
$KE_f = 8 \times (\frac{1}{2} m v^2)$
$KE_f = 8 KE_i$
તેથી,ગતિઊર્જા પ્રારંભિક ગતિઊર્જા કરતાં આઠ ગણી થાય છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ જેવા બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
બિંદુ $A$ પર,કણ સ્થિર છે,તેથી તેની ગતિઊર્જા $0$ છે અને તેની સ્થિતિઊર્જા $mgy$ છે (સંદર્ભ સપાટી $BC$ લેતા).
બિંદુ $C$ પર,કણ $0$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી તેની સ્થિતિઊર્જા $0$ છે અને તેની ગતિઊર્જા $KE_C$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત લાગુ પાડતા:
$PE_A + KE_A = PE_C + KE_C$
$mgy + 0 = 0 + KE_C$
તેથી,બિંદુ $C$ પર ગતિઊર્જા $KE_C = mgy$ થાય.

(D) આપેલ છે,પાવર $P = \frac{1}{4} \ hp = \frac{746}{4} = 186.5 \ W$.
અસરકારક પાવર $P^{\prime} = 186.5 \times \frac{60}{100} = 111.9 \ W$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi \times 600}{60} = 20 \pi \ rad/s$.
એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $t = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{20 \pi} = 0.1 \ s$.
એક પરિભ્રમણમાં થયેલ કાર્ય $W = P^{\prime} \times t = 111.9 \times 0.1 = 11.19 \ J$.

(A) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઊર્જા સ્થાનાંતરણનો દર.
આપેલ છે:
ઊંચાઈ,$h = 25 \ m$
પાણીનું દળ,$m = 3 \times 10^3 \ kg$
સમય,$t = 1 \ minute = 60 \ s$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \ m/s^2$
ટર્બાઇન માટે પાવર,$P = \frac{mgh}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{3 \times 10^3 \times 9.8 \times 25}{60}$
$P = 50 \times 9.8 \times 25$
$P = 12250 \ W$.

(A) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઉર્જાના રૂપાંતરણનો દર.
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$
આપેલ છે:
પાવર,$P = 20 kW = 20,000 W$
દળ,$m = 200 kg$
ઊંચાઈ,$h = 40 m$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 m s^{-2}$
સમય $t$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$t = \frac{mgh}{P}$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{200 \times 10 \times 40}{20,000}$
$t = \frac{80,000}{20,000}$
$t = 4 s$

(B) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $s = \frac{t^2}{4}$.
પદાર્થનો વેગ: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \ m/s$.
પદાર્થનો પ્રવેગ: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \ m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું બળ: $F = m \times a = 8 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 4 \ N$.
$t = 0 \ s$ સમયે,સ્થાનાંતર $s(0) = 0 \ m$.
$t = 4 \ s$ સમયે,સ્થાનાંતર $s(4) = \frac{4^2}{4} = 4 \ m$.
બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W = F \times \Delta s = 4 \ N \times (4 \ m - 0 \ m) = 16 \ J$.

(A) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) \, dx$
આપેલ છે કે $F(x) = 17 - 2x + 6x^2$,$x_i = 0 \text{ m}$,અને $x_f = 8 \text{ m}$.
$W = \int_{0}^{8} (17 - 2x + 6x^2) \, dx$
પદવાર સંકલન કરતા:
$W = [17x - x^2 + 2x^3]_{0}^{8}$
સીમાઓ મૂકતા:
$W = [17(8) - (8)^2 + 2(8)^3] - [0]$
$W = [136 - 64 + 2(512)]$
$W = [72 + 1024]$
$W = 1096 \text{ J}$