AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને $\theta$ ખૂણે નમેલા સમતલ પર ધ્યાનમાં લો. પદાર્થ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ જે સમતલને લંબ લાગે છે.
$3$. ઘર્ષણ બળ $f$ જે સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે અને ગતિનો વિરોધ કરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકો $mg \sin \theta$ (સમતલને સમાંતર) અને $mg \cos \theta$ (સમતલને લંબ) છે.
સમતલને લંબ દિશામાં સંતુલન માટે,$N = mg \cos \theta$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
સમતલની દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg \sin \theta - f = ma$
$mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$
$m$ વડે ભાગતા,આપણને પ્રવેગ મળે છે:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$

(A) બ્લોક $A$ ને બ્લોક $B$ પર સરકાવવા માટે જરૂરી બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = 12 \ N$ છે.
બ્લોક $A$ સરક્યા વિના બ્લોક $B$ સાથે ગતિ કરે તે માટે,તંત્રનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ એ $A$ પર લાગતા મહત્તમ ઘર્ષણ બળ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$f_{max} = m_A \cdot a_{max}$
$12 \ N = 4 \ kg \cdot a_{max}$
$a_{max} = 3 \ m \ s^{-2}$
હવે,$A$ અને $B$ બંને બ્લોક સાથે મળીને $a_{max}$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે તેમ ગણીએ. તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B = 4 \ kg + 6 \ kg = 10 \ kg$ છે.
બ્લોક $B$ પર લગાવી શકાય તેવું મહત્તમ સમક્ષિતિજ બળ $F_B$ નીચે મુજબ છે:
$F_B = M \cdot a_{max}$
$F_B = 10 \ kg \cdot 3 \ m \ s^{-2} = 30 \ N$.

(D) બોલ પર હવાના કારણે લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_a$ હંમેશા બોલના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. ગતિપથના કોઈપણ બિંદુએ બોલનો વેગ હંમેશા તે બિંદુએ ગતિપથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
પદાર્થનું વજન $W$ હંમેશા પૃથ્વીની સપાટીને લંબ અને પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
સ્થાન $X$ પર,બોલ તેના ગતિપથના ઉપરના ભાગમાં છે,તેથી તેનો વેગ સદિશ ઉપરની અને આગળની દિશામાં છે. તેથી,હવાનો અવરોધ $f_a$ નીચેની અને પાછળની દિશામાં (વેગની વિરુદ્ધ) કાર્ય કરશે. વજન $W$ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે. આ ગોઠવણી વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(D) $1$. બ્લોક $A$ અને સ્લેબ $B$ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ ગણો: $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s m_A g = 0.60 \times 10 \times 9.8 = 58 \ N$.
$2$. લાગુ પાડેલ બળ $(100 \ N)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $(58 \ N)$ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક $A$ સ્લેબ $B$ પર સરકશે.
$3$. જ્યારે સરકવાની શરૂઆત થાય,ત્યારે સપાટીઓ વચ્ચે ગતિક ઘર્ષણ બળ લાગે છે: $f_k = \mu_k N = \mu_k m_A g = 0.40 \times 10 \times 9.8 = 39.2 \ N$.
$4$. આ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ એ સ્લેબ $B$ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ છે (કારણ કે જમીન ઘર્ષણરહિત છે).
$5$. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ સ્લેબ $B$ માટે: $F_{net} = M_B a_B \Rightarrow f_k = M_B a_B$.
$6$. $39.2 = 30 \times a_B \Rightarrow a_B = \frac{39.2}{30} \approx 1.31 \ m \ s^{-2}$.

(A) આપેલ છે: નળાકારનું દળ, $m = 12 \,kg$. પ્રારંભિક વેગ, $u = 20 \,m/s$. ઘર્ષણાંક, $\mu = 0.5$. ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \,m/s^2$.
નળાકાર પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે।
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $f = ma$, તેથી $ma = \mu mg$, જે પ્રતિપ્રવેગ $a = -\mu g$ આપે છે।
કિંમતો મૂકતા, $a = -0.5 \times 10 = -5 \,m/s^2$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $v^2 = u^2 + 2as$, જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ શૂન્ય છે):
$0 = (20)^2 + 2(-5)s$
$0 = 400 - 10s$
$10s = 400$
$s = 40 \,m$.
આમ, નળાકાર અટકતા પહેલા $40 \,m$ જેટલું અંતર કાપશે।

(B) આપેલ છે કે,બ્લોક $B$ નું વજન $= w$.
બ્લોક $B$ અને ટેબલ વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક $= \mu$.
ધારો કે બ્લોક $A$ નું મહત્તમ વજન $w_A$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,ગાંઠ અને બ્લોક $B$ પર લાગતા બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
ગાંઠના ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ પરથી,તણાવ $T$ નો શિરોલંબ ઘટક બ્લોક $A$ ના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$w_A = T \sin \theta$ --- $(i)$
બ્લોક $B$ ના $FBD$ પરથી,તણાવ $T$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ $f$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$f = \mu N = \mu w = T \cos \theta$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{w_A}{\mu w} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta}$
$w_A = \mu w \tan \theta$
આમ,બ્લોક $A$ નું મહત્તમ વજન $\mu w \tan \theta$ છે.

(C) આપેલ છે:
બ્લોક $A$ નું દળ,$m_A = 100 \ kg$
બ્લોક $B$ નું દળ,$m_B = 300 \ kg$
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક,$\mu_1 = 0.35$
$B$ અને સપાટી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક,$\mu_2 = 0.5$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \ m/s^2$
જ્યારે બ્લોક $B$ ને બળ $P$ વડે ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક $A$ દીવાલ સાથે બાંધેલી દોરીને કારણે સ્થિર રહે છે. તેથી,બંને સપાટીઓ પર ગતિક ઘર્ષણ બળ લાગે છે.
$1$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $(f_1)$:
$f_1 = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_A g$
$f_1 = 0.35 \times 100 \times 9.8 = 343 \ N$
$2$. $B$ અને સપાટી વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $(f_2)$:
સપાટી પરનું લંબબળ એ બંને બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે: $N_2 = (m_A + m_B)g$
$f_2 = \mu_2 N_2 = 0.5 \times (100 + 300) \times 9.8$
$f_2 = 0.5 \times 400 \times 9.8 = 1960 \ N$
$3$. બ્લોક $B$ ને ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી કુલ બળ $P$:
$P = f_1 + f_2$
$P = 343 + 1960 = 2303 \ N$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $2350 \ N$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે: પદાર્થનું વજન,$W = 64 \ N$.
સ્થિત ઘર્ષણાંક,$\mu_s = 0.8$.
ગતિક ઘર્ષણાંક,$\mu_d = 0.6$.
પદાર્થને ગતિમાં લાવવા માટે જરૂરી બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $F = \mu_s \times W = 0.8 \times 64 \ N$.
એકવાર પદાર્થ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે,પછી તેના પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_d \times W = 0.6 \times 64 \ N$ થાય છે.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = (0.8 \times 64) - (0.6 \times 64) = 64(0.8 - 0.6) = 64 \times 0.2 \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = m \times a$,જ્યાં દળ $m = \frac{W}{g} = \frac{64}{g}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{64}{g} \times a = 64 \times 0.2$.
તેથી,$a = 0.2 \ g$.

(D) ટેબલને કારણે પુસ્તક પર લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $(N)$ એ સંપર્ક બળ છે જે પુસ્તક અને ટેબલની સંપર્ક સપાટીને લંબ રૂપે ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
પુસ્તકનું વજન $(mg)$ એ પૃથ્વી દ્વારા પુસ્તક પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે હંમેશા શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
આમ,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ શિરોલંબ ઉપરની તરફ અને વજન બળ શિરોલંબ નીચેની તરફ હોવાથી,આ બંને બળો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તેથી,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ અને પુસ્તકના વજન વચ્ચેનો ખૂણો $180^\circ$ છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો કોઈ પદાર્થ સીધી રેખામાં અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોય,તો જ્યાં સુધી તેના પર કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ ન લાગે ત્યાં સુધી તે પોતાની ગતિ ચાલુ રાખે છે.
અહીં પદાર્થ પહેલેથી જ સીધી રેખામાં અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ અચળ છે.
તેથી,તેને અચળ વેગથી ગતિશીલ રાખવા માટે કોઈ બાહ્ય બળની જરૂર નથી.
વિકલ્પ $A$,$B$ અને $C$ માં ગતિની સ્થિતિમાં ફેરફાર (પ્રવેગ) થાય છે,જેના માટે બાહ્ય બળની જરૂર પડે છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય કારની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય $W = F \cdot s = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$.
અહીં પ્રારંભિક ગતિઊર્જા અને અંતિમ ગતિઊર્જા (જે $0$ છે) સમાન રહેતી હોવાથી,કારને રોકવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય અચળ રહેવું જોઈએ.
$F \cdot s = F' \cdot s'$
આપેલ છે કે $F' = 3F$,તેથી:
$F \cdot s = (3F) \cdot s'$
$s' = s/3$.
આમ,જ્યારે પ્રતિરોધક બળ $3 F$ હોય ત્યારે કાર $s/3$ અંતરે અટકી જશે.

(A) આપેલ છે કે,બળ સદિશ $F = (6 \hat{i} - 18 \hat{j} + 10 \hat{k}) \text{ N}$ છે.
બળનું મૂલ્ય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$|F| = \sqrt{(6)^2 + (-18)^2 + (10)^2} = \sqrt{36 + 324 + 100} = \sqrt{460} \text{ N}$.
આપેલ પ્રવેગ $a = 8 \text{ m/s}^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જેનો અર્થ થાય છે $m = \frac{F}{a}$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{\sqrt{460}}{8} = \frac{\sqrt{4 \times 115}}{8} = \frac{2\sqrt{115}}{8} = \frac{\sqrt{115}}{4} \text{ kg}$.

(C) આપેલ છે કે, પદાર્થનું દળ $m = 2 \,kg$ છે。
બે બળો $F_1 = 1 \,N$ અને $F_2 = 1 \,N$ એકબીજા સાથે $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે કાર્યરત છે。
પરિણામી બળ $F$ નું મૂલ્ય સદિશ સરવાળાના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}}$
$F = \sqrt{1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{3} \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = ma$.
તેથી, પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{F}{m} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,m/s^2$.

(B) મોટરસાઇકલ સવાર પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ છે.
મોટરસાઇકલ સવાર આડા વર્તુળમાં રહે તે માટે,દીવાલ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી લંબબળ $N$ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $N = \frac{mv^2}{r}$.
મોટરસાઇકલ સવારને નીચે સરકતા અટકાવવા માટે,ઘર્ષણ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $f = mg$.
$f = \mu N$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu N = mg$.
$\mu \left(\frac{mv^2}{r}\right) = mg$.
$\mu = \frac{gr}{v^2}$.
અહીં $g = 10 \ m \ s^{-2}$,$r = 8.0 \ m$,અને $v = 5 \sqrt{5} \ m \ s^{-1}$ આપેલ છે.
$\mu = \frac{10 \times 8}{(5 \sqrt{5})^2} = \frac{80}{25 \times 5} = \frac{80}{125}$.
$\mu = 0.64$.

(C) આપેલ છે, વક્રતા ત્રિજ્યા, $r = 250 \,m$.
ટ્રેનનો મહત્તમ વેગ, $v = 90 \,km/h$.
વેગને $m/s$ માં ફેરવતા: $v = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \,m/s$.
ધારો કે $\theta$ એ બેંકિંગ કોણ છે.
બેંકિંગ કોણ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \frac{(25)^2}{250 \times 10} = \frac{625}{2500} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$.

(A) ધારો કે વાહનનું દળ $m$ છે,વાહનનો વેગ $v$ છે અને અંતર્ગોળ ઓવર-બ્રિજની વક્રતા ત્રિજ્યા $r$ છે.
અંતર્ગોળ બ્રિજના સૌથી નીચલા બિંદુએ,વાહન વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
વાહન પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. રસ્તા દ્વારા લાગતું લંબબળ $(N)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ વક્રતાના કેન્દ્ર તરફ (ઉપરની તરફ) હોય છે.
તેથી,ગતિનું સમીકરણ: $N - mg = \frac{mv^2}{r}$.
લંબબળ $N$ (જે રસ્તા પરનું દબાણ દર્શાવે છે) માટે ઉકેલતા:
$N = mg + \frac{mv^2}{r}$.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ છે.
ગોળો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ વિસ્તરણ પર ક્ષણિક રીતે સ્થિર થાય છે,તેથી તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.
ગોળા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ,સ્પ્રિંગ બળ અને લંબબળ છે.
લંબબળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે કારણ કે તે સ્થાનાંતરને લંબ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_g = m g x \sin \theta$ છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_s = -\frac{1}{2} k x^2$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કુલ કાર્ય જેટલો હોય છે:
$0 - 0 = W_g + W_s$
$m g x \sin \theta - \frac{1}{2} k x^2 = 0$
$m g \sin \theta = \frac{1}{2} k x$
$x = \frac{2 m g \sin \theta}{k}$

(A) આપેલ છે: પદાર્થનું દળ,$m = 0.15 \ kg$.
પદાર્થનો વેગ,$v = 15 \ ms^{-1}$.
સ્પ્રિંગ અચળાંક,$k = 1500 \ Nm^{-1}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા મહત્તમ સંકોચન $x$ સમયે સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 0.15 \times (15)^2 = \frac{1}{2} \times 1500 \times x^2$
$0.15 \times 225 = 1500 \times x^2$
$33.75 = 1500 \times x^2$
$x^2 = \frac{33.75}{1500} = 0.0225$
$x = \sqrt{0.0225} = 0.15 \ m$.

(C) આપેલ છે કે,$a, b, c$ અને $d$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ અનુક્રમે $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3\%$ અને $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 5\%$ છે.
રાશિ $P$ એ $P = \frac{a^2 b^2}{c d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d}$
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \% = 2(2\%) + 2(1\%) + 3\% + 5\%$
$\frac{\Delta P}{P} \% = 4\% + 2\% + 3\% + 5\% = 14\%$
આમ,$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $14\%$ છે.

(B) વ્યવસ્થિત ત્રુટિઓ (Systematic errors) એવી ત્રુટિઓ છે જે એક જ દિશામાં,કાં તો ધન અથવા ઋણ હોય છે.
સાધનગત ત્રુટિઓ (Instrumental errors) માપન સાધનની અપૂર્ણ ડિઝાઇન અથવા અયોગ્ય કેલિબ્રેશનને કારણે ઉદ્ભવે છે.
શૂન્ય ત્રુટિ એ સાધનગત ત્રુટિનું એક ઉત્તમ ઉદાહરણ છે,કારણ કે તે સાધનના અયોગ્ય કેલિબ્રેશન અથવા યાંત્રિક ખામીને કારણે થાય છે,જેના લીધે જ્યારે ઇનપુટ શૂન્ય હોય ત્યારે પણ સાધન શૂન્ય સિવાયનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
તેથી,શૂન્ય ત્રુટિ એ સાધનગત ત્રુટિઓની શ્રેણીમાં આવે છે.

(C) આપેલ છે:
$R_1 = (200 \pm 2) \Omega$
$R_2 = (400 \pm 4) \Omega$
જ્યારે અવરોધકોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_s$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_s = R_1 + R_2$
નોમિનલ મૂલ્યો માટે:
$R_{nominal} = 200 \Omega + 400 \Omega = 600 \Omega$
શ્રેણી જોડાણમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ માટે,ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે:
$\Delta R_s = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 2 \Omega + 4 \Omega = 6 \Omega$
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_s = (600 \pm 6) \Omega$ થાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $A$ અને $B$ ના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
અહીં,$R$ મહત્તમ ત્યારે જ હોય જ્યારે $\cos \theta$ મહત્તમ હોય.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
સૂત્રમાં $\theta = 0^{\circ}$ મૂકતા:
$R_{\max} = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1)} = \sqrt{(A+B)^2} = A + B$.
આમ,જ્યારે બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ હોય ત્યારે પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય મહત્તમ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$A=2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $B=4 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$.
ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
અદિશ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A \cdot B = |A| |B| \cos \theta$,જ્યાં $|A|$ અને $|B|$ એ અનુક્રમે સદિશો $A$ અને $B$ ના મૂલ્યો છે.
પ્રથમ,મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:
$|A| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$|B| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
હવે,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$A \cdot B = (2)(4) + (4)(2) + (4)(-4) = 8 + 8 - 16 = 0$.
આ કિંમતોને અદિશ ગુણાકારના સૂત્રમાં મૂકતા:
$0 = (6)(6) \cos \theta$.
$0 = 36 \cos \theta$.
$\cos \theta = 0$.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(A) પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,ફ્લાસ્કનું વજન અને તેની અંદર રહેલા પાણીનું વજન એ ફ્લાસ્ક દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $V_{ext}$ એ ફ્લાસ્કનું બાહ્ય કદ (વિસ્થાપિત પાણીનું કદ) છે.
ફ્લાસ્કનું દળ $m_f = 390 \ g$.
અંદરના પાણીનું કદ $V_w = 250 \ cm^3$.
અંદરના પાણીનું દળ $m_w = \rho_w \times V_w = 1 \times 250 = 250 \ g$.
સિસ્ટમનું કુલ વજન = $(390 + 250) \ g = 640 \ g$.
ફ્લાસ્ક તરતી હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ કુલ વજન જેટલું હોય છે,તેથી વિસ્થાપિત પાણીનું દળ $640 \ g$ થાય.
આમ,ફ્લાસ્કનું બાહ્ય કદ $V_{ext} = 640 \ cm^3$ છે.
કાચના દ્રવ્યનું કદ $V_{glass} = V_{ext} - V_{internal} = 640 - 500 = 140 \ cm^3$.
કાચની ઘનતા $\rho_{glass} = \frac{m_f}{V_{glass}} = \frac{390}{140} \approx 2.785 \ g/cm^3$.
વિશિષ્ટ ઘનતા = $\frac{\rho_{glass}}{\rho_w} = \frac{2.785}{1} \approx 2.8$.

(B) ધારો કે લાકડાના બ્લોકનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\sigma$ છે. ધારો કે પાણીની ઘનતા $\rho$ છે.
શરૂઆતમાં,બ્લોક પાણીમાં $(4/5)V$ જેટલા કદ સાથે તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,બ્લોકનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે:
$V \sigma g = (4/5)V \rho g$
$\sigma = (4/5) \rho$ ...$(i)$
જ્યારે તેલ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક એવી રીતે ડૂબે છે કે તેનું અડધું કદ $(V/2)$ પાણીમાં અને અડધું $(V/2)$ તેલમાં રહે છે. ધારો કે તેલની ઘનતા $\rho_o$ છે.
કુલ ઉત્પ્લાવક બળ બ્લોકના વજન જેટલું થાય છે:
$V \sigma g = (V/2) \rho g + (V/2) \rho_o g$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\sigma = (4/5) \rho$ મૂકતા:
$(4/5) V \rho = (1/2) V \rho + (1/2) V \rho_o$
$V$ વડે ભાગતા અને $2$ વડે ગુણતા:
$(8/5) \rho = \rho + \rho_o$
$\rho_o = (8/5 - 1) \rho = (3/5) \rho$
આમ,પાણીની સાપેક્ષમાં તેલની ઘનતા $3/5$ છે.

(C) આપેલ છે કે,પદાર્થનો $(1/3)$ ભાગ પાણીની સપાટીની ઉપર છે.
તેથી,પાણીની બહાર રહેલા પદાર્થનું કદ $V_o = (1/3)V$ છે,જ્યાં $V$ એ પદાર્થનું કુલ કદ છે.
તેથી,પાણીની અંદર રહેલા પદાર્થનું કદ $V_i = V - V_o = V - (V/3) = (2V/3)$ થશે.
ધારો કે પદાર્થની ઘનતા $\sigma$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg \ m^{-3}$ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$W = F_B$
$Mg = V_i \rho g$
દળ $M = V \sigma$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$V \sigma g = V_i \rho g$
$\sigma = (V_i / V) \rho$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \frac{(2V/3)}{V} \times 10^3 = \frac{2}{3} \times 10^3 = \frac{2000}{3} \ kg \ m^{-3}$.
આમ,ઘન પદાર્થની ઘનતા $\frac{2000}{3} \ kg \ m^{-3}$ છે.

(A) ધારો કે $a$ એ કાણાનું ક્ષેત્રફળ છે,$v_e$ એ બહાર આવતા પાણીનો વેગ છે,અને $h$ એ કાણાની ઉપર રહેલા પ્રવાહીની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $v$ એ ટાંકીમાં પાણીના સ્તરના ઘટવાનો વેગ છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$a v_e = A v \Rightarrow v = \frac{a v_e}{A}$.
બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$p_0 + h \rho g + \frac{1}{2} \rho v^2 = p_0 + \frac{1}{2} \rho v_e^2$
$h \rho g + \frac{1}{2} \rho \left(\frac{a v_e}{A}\right)^2 = \frac{1}{2} \rho v_e^2$
$v_e^2 = \frac{2gh}{1 - (a/A)^2}$
અહીં $h = 3 \,m - 0.525 \,m = 2.475 \,m$,$a/A = 0.1$,અને $g = 10 \,ms^{-2}$ છે:
$v_e^2 = \frac{2 \times 10 \times 2.475}{1 - (0.1)^2} = \frac{49.5}{1 - 0.01} = \frac{49.5}{0.99} = 50 \,m^2 \,s^{-2}$.

(A) આદર્શ,સ્થાયી અને અદબનીય પ્રવાહીના પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,પ્રવાહની રેખા પર એકમ દળ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
આડી નળી માટે,ઊંચાઈ $h$ અચળ છે,તેથી સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constant}$
અહીં,$P$ એ દબાણ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે,અને $v$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે.
સાતત્યના સમીકરણ $A_1 v_1 = A_2 v_2$ પરથી,જ્યાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સૌથી નાનું હોય,ત્યાં વેગ $v$ સૌથી વધુ હોય છે.
કારણ કે $P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constant}$,જો વેગ $v$ વધે,તો સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,જ્યાં વેગ સૌથી વધુ હોય ત્યાં દબાણ સૌથી ઓછું હોય છે.

(C) વિમાનની પાંખનો આકાર એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે ઉપરની સપાટી બહિર્ગોળ અને નીચેની સપાટી પ્રમાણમાં સપાટ અથવા અંતર્ગોળ હોય છે.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, વક્ર ઉપરની સપાટી પરથી વહેતી હવા પાંખની નીચે વહેતી હવાની સરખામણીમાં વધુ વેગથી ગતિ કરે છે।
જેમ વેગ વધે છે, તેમ દબાણ ઘટે છે $(P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ})$.
તેથી, ઉપરનું દબાણ નીચેના દબાણ કરતા ઓછું હોય છે, જે લિફ્ટ તરીકે ઓળખાતું ઉપરની તરફનું બળ ઉત્પન્ન કરે છે।
વિધાન $(A)$ સાચું છે, પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે ઉપરની હવાનો વેગ વધારે હોય છે, ઓછો નહીં, અને ઉપરનું દબાણ ઓછું હોય છે, વધારે નહીં।

(C) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,$p + \frac{1}{2} \rho V^2 + \rho g h = \text{અચળ}$.
અહીં,$p$ એ એકમ કદ દીઠ દબાણ ઊર્જા છે,$\frac{1}{2} \rho V^2$ એ એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા છે અને $\rho g h$ એ એકમ કદ દીઠ સ્થિતિ ઊર્જા છે.
રેખીય વહન કરતા આદર્શ તરલ માટે,આ ઊર્જાઓનો સરવાળો અચળ રહે છે.
તેથી,બર્નુલીનું પ્રમેય ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(B) બર્નુલીનું પ્રમેય પ્રવાહીના ઘટક માટે કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય પરથી તારવવામાં આવ્યું છે. તે દર્શાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને સ્થાયી પ્રવાહ માટે,પ્રવાહીના એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો સ્ટ્રીમલાઇન પર અચળ રહે છે. તેથી,તે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(B) પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ પાત્રમાં રહેલા તરલ પર લાગુ પાડવામાં આવતો દબાણનો ફેરફાર તરલના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે.
હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ એ પાસ્કલના નિયમનો વ્યવહારુ ઉપયોગ છે. હાઇડ્રોલિક લિફ્ટમાં,નાના ક્ષેત્રફળ $A_1$ પર લાગુ પાડવામાં આવતું નાનું બળ $F_1$ દબાણ $p_1 = F_1 / A_1$ ઉત્પન્ન કરે છે. આ દબાણ તરલ દ્વારા મોટા ક્ષેત્રફળ $A_2$ સુધી પ્રસારિત થાય છે,જ્યાં તે મોટું બળ $F_2 = p_2 \times A_2$ લગાડે છે. કારણ કે $p_1 = p_2$,તેથી:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
આમ,હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ પાસ્કલના નિયમના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.

(A) પાસ્કલના નિયમ મુજબ, બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે।
આપેલ છે:
નાના પિસ્ટનનો વ્યાસ, $d_1 = 8 \text{ cm}$
મોટા પિસ્ટનનો વ્યાસ, $d_2 = 24 \text{ cm}$
વાહનનું દળ, $M = 1400 \text{ kg}$
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \text{ ms}^{-2}$
મોટા પિસ્ટન પરનું બળ, $F_2 = M \times g = 1400 \times 10 = 14000 \text{ N}$
નાના પિસ્ટન પરનું દબાણ = મોટા પિસ્ટન પરનું દબાણ
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી:
$\frac{F_1}{d_1^2} = \frac{F_2}{d_2^2}$
$F_1 = F_2 \times \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$
$F_1 = 14000 \times \left(\frac{8}{24}\right)^2$
$F_1 = 14000 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{14000}{9} \approx 1555.55 \text{ N}$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, $F \approx 1600 \text{ N}$.

(D) કેશિકા નળીમાં પૃષ્ઠતાણને કારણે પ્રવાહીના ઉપર ચઢવાની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2 S \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આપેલ કિંમતો: પ્રવાહીના ઉપર ચઢવાની ઊંચાઈ $h = 7.5 \ cm = 7.5 \times 10^{-2} \ m$,પૃષ્ઠતાણ $S = 7.5 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1}$,સંપર્કકોણ $\theta = 0^{\circ}$,પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$,અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $r = \frac{2 S \cos \theta}{h \rho g}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{2 \times (7.5 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(7.5 \times 10^{-2}) \times 1000 \times 10}$.
$\cos 0^{\circ} = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $r = \frac{2 \times 7.5 \times 10^{-2}}{7.5 \times 10^{-2} \times 10^4} = \frac{2}{10^4} = 2 \times 10^{-4} \ m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $r = 2 \times 10^{-4} \times 10^3 \ mm = 0.2 \ mm$.

(D) સમાન અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળને સસંજક બળ કહેવામાં આવે છે,અને ભિન્ન અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળને આસંજક બળ કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે પાણી તેલવાળી સપાટીના સંપર્કમાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુકોણ બનાવે છે.
આ સૂચવે છે કે પાણીના અણુઓ વચ્ચેનું સસંજક બળ એ પાણી અને તેલના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળ કરતા ઘણું વધારે છે.
સસંજક બળ પ્રબળ હોવાને કારણે,પાણીના અણુઓ તેલવાળી સપાટી પર ફેલાવાને બદલે એકબીજા સાથે ચોંટી રહેવાનું પસંદ કરે છે,જેનાથી કાચ ભીનો થતો નથી.
તેથી,સાચું કારણ એ છે કે પાણીનું સસંજક બળ એ પાણી અને તેલના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળ કરતા વધારે છે.

(B) પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચે લાગતા આસક્તિ બળો (cohesive forces) પૃષ્ઠતાણ તરીકે ઓળખાતી ઘટના માટે જવાબદાર છે.
પ્રવાહીની સપાટી પર રહેલા અણુઓ પર ચોખ્ખું અંદરની તરફનું બળ લાગે છે,તેથી તેઓ લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા પ્રાપ્ત કરવા માટે તેમનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
પ્રવાહીની સપાટીનું સંકોચાઈને શક્ય તેટલું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ રોકવાની આ વૃત્તિને પૃષ્ઠતાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(A) ક્રાંતિક તાપમાન એ તાપમાન છે કે જેના પર પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થાઓ વચ્ચેનો તફાવત અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ શૂન્ય થઈ જાય છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ક્રાંતિક તાપમાને,પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થાઓની ઘનતા સમાન થઈ જાય છે,અને પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વીય બળો અસરકારક રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે અથવા વાયુ અવસ્થાના બળોથી અલગ પાડી શકાતા નથી. આ સંસક્તિ બળના અભાવને કારણે પૃષ્ઠતાણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે અને તે વિધાન $(A)$ માટે સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે નાના ટીપાંની સંખ્યા $n = 1000$ છે.
પ્રક્રિયા દરમિયાન કદ સમાન રહેતું હોવાથી:
$V_{\text{final}} = V_{\text{initial}}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 1000 r^3 \Rightarrow R = 10r$ ...$(i)$
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા,$SE_i = n \times (T \times 4 \pi r^2)$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા,$SE_f = T \times 4 \pi R^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા અને કુલ પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{SE_f}{SE_i} = \frac{T \times 4 \pi R^2}{n \times T \times 4 \pi r^2} = \frac{R^2}{n r^2}$
$R = 10r$ અને $n = 1000$ મૂકતા:
$\frac{SE_f}{SE_i} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 10$ છે.

(B) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીનો એક ગુણધર્મ છે જેના કારણે પ્રવાહીની સપાટી ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ પ્રાપ્ત કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
જ્યારે શેવિંગ બ્રશને પાણીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે વાળની વચ્ચે પાણીનું એક પાતળું પડ બને છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે,આ પાણીનું પડ તેનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરે છે,જે વાળને એકબીજાની નજીક ખેંચે છે,જેના કારણે તે એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
જ્યારે ગોળાને અશ્યાન પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે. જોકે,ઉત્પ્લાવક બળ એ અચળ બળ છે (ગુરુત્વાકર્ષણની જેમ) અને તે તંત્રના અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ અથવા જડત્વીય દળ $m$ માં કોઈ ફેરફાર કરતું નથી.
પ્રવાહી અશ્યાન હોવાથી,ગોળા પર કોઈ અવરોધક બળ (ડ્રેગ) લાગતું નથી.
તેથી,અસરકારક દળ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક અપરિવર્તિત રહે છે,અને દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ જ રહે છે.
આમ,આવર્તકાળ અપરિવર્તિત રહેશે.

(B) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ એ એક પરિમાણરહિત સંખ્યા છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની સ્થિતિમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે.
પાઈપમાંથી વહેતા પ્રવાહ માટે,સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત માપદંડો નીચે મુજબ છે:
$1$. જો $R_e < 2000$ હોય,તો પ્રવાહ લેમિનર છે.
$2$. જો $2000 < R_e < 3000$ હોય,તો પ્રવાહ અસ્થિર અથવા સંક્રમણ અવસ્થામાં છે.
$3$. જો $R_e > 3000$ હોય,તો પ્રવાહ અશાંત (turbulent) છે.
વિકલ્પ $B$ જણાવે છે કે $1000 < R_e < 2000$ માટે પ્રવાહ સ્થિર છે. જોકે આ શ્રેણીમાં પ્રવાહ લેમિનર હોય છે,પરંતુ 'સ્થિર' (steady) શબ્દનો ઉપયોગ પ્રવાહી મિકેનિક્સમાં આ ચોક્કસ શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પ્રમાણભૂત નથી,અને વિકલ્પ $C$ પણ $3000$ ની પ્રમાણભૂત મર્યાદાના આધારે તકનીકી રીતે ખોટો છે. જોકે,ઘણા સરળ પાઠ્યપુસ્તકોમાં $R_e > 2000$ ને ટર્બ્યુલન્સ માટેની મર્યાદા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ એ પ્રવાહના પ્રકારોનું સૌથી અચોક્કસ વર્ણન છે.

(B) આપેલ છે: નળનો વ્યાસ,$D = 1.25 \text{ cm} = 1.25 \times 10^{-2} \text{ m}$.
પાણીની ઘનતા,$\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક,$\eta = 10^{-3} \text{ Pa-s}$.
કદ પ્રવાહ દર,$Q = 3 \text{ L/min} = \frac{3 \times 10^{-3} \text{ m}^3}{60 \text{ s}} = 5 \times 10^{-5} \text{ m}^3/\text{s}$.
વેગ માટેનું સૂત્ર $v = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}$ છે.
રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{4 \rho Q}{\pi D \eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$R_e = \frac{4 \times 10^3 \times 5 \times 10^{-5}}{3.14159 \times 1.25 \times 10^{-2} \times 10^{-3}} \approx 5093$.
અહીં $R_e > 3000$ હોવાથી,પ્રવાહ ક્ષુબ્ધ (turbulent) છે.

(A) આપેલ છે:
તારની ત્રિજ્યા,$r = 8 \,mm = 8 \times 10^{-3} \,m$
તારની લંબાઈ,$l = 100 \,cm = 1 \,m$
ટ્વિસ્ટનો ખૂણો,$\phi = 45^{\circ}$
ધારો કે શીયરિંગ ખૂણો $\theta$ છે.
એક છેડે વળેલા તાર માટે,શીયરિંગ ખૂણો $\theta$,ત્રિજ્યા $r$,લંબાઈ $l$ અને ટ્વિસ્ટના ખૂણા $\phi$ (રેડિયનમાં) વચ્ચેનો સંબંધ $r\phi = l\theta$ છે.
$\phi$ ને ડિગ્રીમાં રાખતા:
$\theta = \frac{r \phi}{l} = \frac{8 \times 10^{-3} \,m \times 45^{\circ}}{1 \,m} = 0.36^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે, ભારનું વજન, $F = 10 \,kg-wt = 10 \times 10 \,N = 100 \,N$.
તારમાં થતું વિસ્તરણ, $\Delta l = 1.5 \,mm = 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{વિસ્તરણ} = \frac{1}{2} F \Delta l$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 100 \,N \times 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
$U = 50 \times 1.5 \times 10^{-3} \,J$.
$U = 75 \times 10^{-3} \,J = 0.075 \,J$.

(A) પોતાના વજનને કારણે શિરોલંબ લટકાવેલી $L$ લંબાઈની દોરીમાં થતો વધારો $\Delta l$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta l = \frac{\rho g L^2}{2Y}$.
અહીં,$L = 12 \ cm = 0.12 \ m$,$\rho = 1.5 \ kg \ m^{-3}$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$,અને $Y = 5 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta l = \frac{1.5 \times 10 \times (0.12)^2}{2 \times 5 \times 10^8}$
$\Delta l = \frac{15 \times 0.0144}{10^9}$
$\Delta l = \frac{0.216}{10^9} = 2.16 \times 10^{-10} \ m$.

(A) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$,બળ $F = 2 \times 10^{11} \ N$,ક્ષેત્રફળ $A = 1 \ m^2$,પ્રારંભિક લંબાઈ $= L$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{11} = \frac{(2 \times 10^{11} / 1)}{\Delta L / L}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 = \frac{L}{\Delta L}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta L = L$.
તેથી,અંતિમ લંબાઈ $L_f = L + \Delta L = L + L = 2L$ થાય.

(A) તાર માટે બ્રેકિંગ તણાવ બળ $F = \sigma \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $F = (4.8 \times 10^7 \ N \ m^{-2}) \times (10^{-6} \ m^2) = 48 \ N$.
આ તણાવ બળ પદાર્થને સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F_C = m \omega^2 r = 48 \ N$.
અહીં $m = 10 \ kg$ અને $r = 0.3 \ m$ આપેલ છે,તેથી $10 \times \omega^2 \times 0.3 = 48$.
$3 \omega^2 = 48 \Rightarrow \omega^2 = 16$.
તેથી,$\omega = 4 \ rad \ s^{-1}$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પ્રમાણસરતાની સીમાની અંદર પ્રતિબળ અને વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન આલેખના રેખીય ભાગના ઢાળ (slope) જેટલો હોય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખીય ભાગ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $(4 \times 10^{-4}, 8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2})$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
તેથી,ઢાળ:
$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2} - 0}{4 \times 10^{-4} - 0}$
$Y = \frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^{-4}} \text{ Nm}^{-2}$
$Y = 2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$

(B) જ્યારે સર્પાકાર સ્પ્રિંગ પર ભાર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગના તારમાં વળ (twisting) ઉત્પન્ન થાય છે.
આ વળની અસરને કારણે તારના આડછેદના આકારમાં ફેરફાર થાય છે,પરંતુ તેના કદમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આ પ્રકારની વિકૃતિને રૂપાંતરક વિકૃતિ (shearing strain) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,જ્યારે સર્પાકાર સ્પ્રિંગને ખેંચવામાં આવે છે ત્યારે તેમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ રૂપાંતરક વિકૃતિ છે.

(D) ધારો કે સળિયાની કુદરતી લંબાઈ $L_0$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\text{પ્રતિબળ} = Y \times \text{વિકૃતિ}$
$\frac{T}{A} = Y \frac{L - L_0}{L_0}$
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર માટે સમીકરણ:
$L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$
ધારો કે $k = \frac{L_0}{A Y}$,જે સળિયા માટે અચળાંક છે.
તેથી,$L = L_0 + k T$.
તણાવ $T_1$ માટે,$L_1 = L_0 + k T_1$ --- $(i)$
તણાવ $T_2$ માટે,$L_2 = L_0 + k T_2$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$L_2 - L_1 = k(T_2 - T_1) \Rightarrow k = \frac{L_2 - L_1}{T_2 - T_1}$
$k$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$L_0 = L_1 - k T_1 = L_1 - \left( \frac{L_2 - L_1}{T_2 - T_1} \right) T_1$
$L_0 = \frac{L_1(T_2 - T_1) - T_1(L_2 - L_1)}{T_2 - T_1}$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_1 T_1 - T_1 L_2 + L_1 T_1}{T_2 - T_1}$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_2 T_1}{T_2 - T_1}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h\nu = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2$
જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,$\nu_0$ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે,$m$ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે,અને $v_{\text{max}}$ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઝડપ છે.
$v_{\text{max}}$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = h(\nu - \nu_0)$
$v_{\text{max}}^2 = \frac{2h}{m}(\nu - \nu_0)$
$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2h}{m}} \sqrt{\nu - \nu_0}$
$\nu < \nu_0$ માટે,$v_{\text{max}} = 0$ છે. $\nu \ge \nu_0$ માટે,$v_{\text{max}}$ એ $\nu$ સાથે વધે છે. આ સંબંધ $v_{\text{max}} \propto \sqrt{\nu - \nu_0}$ છે. આ આવૃત્તિ અક્ષ પર થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ થી શરૂ થતો પરવલયાકાર વળાંક દર્શાવે છે,જ્યાં જેમ $\nu$ વધે છે તેમ ઢાળ ઘટે છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચું નિરૂપણ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ: $K E_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W$,જ્યાં $W$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 1240 \mathring{A}$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 8 \text{ V}$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{1240 \mathring{A}} = 10 \text{ eV}$ છે.
$K E_{\max} = eV_0 = 8 \text{ eV}$ હોવાથી,$8 \text{ eV} = 10 \text{ eV} - W$.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $W = 10 \text{ eV} - 8 \text{ eV} = 2 \text{ eV}$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ માટે,$W = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$\lambda_0 = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{W} = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{2 \text{ eV}} = 6200 \mathring{A}$.

(C) પ્રકાશના વિકિરણનો રંગ તેની આવૃત્તિ દ્વારા નક્કી થાય છે. જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઇ બદલાય છે,પરંતુ તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
આવૃત્તિ બદલાતી ન હોવાથી,વિકિરણનો રંગ બદલાતો નથી. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જો કે,એવું કહેવું કે માધ્યમો રંગોનું શોષણ કે ઉત્સર્જન કરતા નથી તે ખોટું છે. વિકિરણના ચોક્કસ તરંગલંબાઇ (રંગો) નું શોષણ કે ઉત્સર્જન માધ્યમના પરમાણુ અથવા આણ્વિક સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે (દા.ત. ફિલ્ટર્સમાં પસંદગીયુક્ત શોષણ અથવા ઉત્સર્જન વર્ણપટ). તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો $(EMW)$ ઉર્જા અને વેગમાન બંને ધરાવે છે. જ્યારે આ તરંગો સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તેઓ સપાટીને વેગમાન સ્થાનાંતરિત કરે છે,જેના પરિણામે રેડિયેશન પ્રેશર ઉત્પન્ન થાય છે.
સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી માટે,રેડિયેશન પ્રેશર $p = 2I/c$ છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
સંપૂર્ણ શોષક સપાટી માટે,રેડિયેશન પ્રેશર $p = I/c$ છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે તેઓ દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે કારણ કે તેઓ ઉર્જા ધરાવે છે. જોકે તે સાચું છે કે $EMW$ ઉર્જા ધરાવે છે,પરંતુ દબાણ ખાસ કરીને એટલા માટે ઉત્પન્ન થાય છે કારણ કે તેઓ વેગમાન ધરાવે છે $(p = E/c)$. તેથી,તેઓ ઉર્જા ધરાવે છે તે હકીકત રેડિયેશન પ્રેશરના અસ્તિત્વ માટે સીધી અથવા સંપૂર્ણ સમજૂતી નથી.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,પરંતુ $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના અભ્યાસમાં,પ્રકાશ ઉર્જાને નાના પેકેટોના સ્વરૂપમાં ગણવામાં આવે છે. આ ઉર્જાના દરેક પેકેટને ફોટોન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ ફોટોનની આવૃત્તિ છે.
આમ,ઉર્જા ચોક્કસ મૂલ્યો ($h\nu$ ના ગુણાંક) સુધી મર્યાદિત હોવાથી,ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરનો અભ્યાસ ઉર્જાના ક્વોન્ટાઇઝેશનને સમજવામાં મદદરૂપ થાય છે.

(C) ફોટોસેલ એ એક એવું ઉપકરણ છે જે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. આ પ્રક્રિયામાં,જ્યારે યોગ્ય આવૃત્તિનો પ્રકાશ (ફોટોન) પ્રકાશ-સંવેદનશીલ સપાટી પર પડે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે. ઇલેક્ટ્રોનનો આ પ્રવાહ વિદ્યુત પ્રવાહ બનાવે છે. તેથી,ફોટોસેલ પ્રકાશ ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.

(C) આપેલ છે, પ્રકાશની તરંગલંબાઈ, $\lambda = 4900 Å$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ, $V_s = 2 \,V$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E \approx \frac{12400}{\lambda (Å)} eV$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{12400}{4900} eV \approx 2.53 eV$.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = e V_s = 2 eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = E - \phi$, જ્યાં $\phi$ એ વર્ક-ફંક્શન છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 eV = 2.53 eV - \phi$.
તેથી, $\phi = 2.53 eV - 2 eV = 0.53 eV$.

(D) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 25$, ત્રિજ્યા $r = 1.8 \times 10^{-2} \text{ m}$, અવરોધ $R = 5 \Omega$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(t) = (0.2t - 0.05t^2) \text{ T}$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (1.8 \times 10^{-2})^2 \approx 1.017 \times 10^{-3} \text{ m}^2$.
પ્રેરિત emf $\varepsilon = -N A \frac{dB}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(0.2t - 0.05t^2) = 0.2 - 0.1t$ ગણતા.
તેથી, $\varepsilon = -25 \times 1.017 \times 10^{-3} \times (0.2 - 0.1t) = -0.025425 \times (0.2 - 0.1t)$.
$t = 3 \text{ s}$ સમયે, $\varepsilon = -0.025425 \times (0.2 - 0.3) = -0.025425 \times (-0.1) = 0.0025425 \text{ V}$.
પાવરનો વ્યય $P = \frac{\varepsilon^2}{R} = \frac{(0.0025425)^2}{5} \approx \frac{6.464 \times 10^{-6}}{5} \approx 1.29 \times 10^{-6} \text{ W} = 1.29 \mu\text{W}$.
આ મૂલ્ય $1.25 \mu\text{W}$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) જ્યારે તાંબાના સળિયાને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ પ્રેરિત થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(e)$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાનો અવરોધ $(R)$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $(i)$ એ $i = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ એ વિદ્યુતભારના વહનનો દર છે,તેથી $i = \frac{dQ}{dt}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{dQ}{dt} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફાર $\Delta\phi$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિદ્યુતભારના વહનનો તત્કાલીન દર એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દર,$\frac{d\phi}{dt}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(C) ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,તારના છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થવા માટે,વેગ સદિશ $\vec{v}$ નો ઘટક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને તારની લંબાઈ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $N$ થી $S$ તરફ છે. તાર શિરોલંબ દિશામાં છે. જો તાર $P$ અથવા $Q$ (શિરોલંબ) દિશામાં ગતિ કરે,તો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ તારને સમાંતર હોય છે,તેથી $\vec{v} \times \vec{B}$ એ તારને લંબ હશે,જેના કારણે તેના છેડાઓ પર વિદ્યુતભારનું અલગીકરણ થશે.
જો કે,જો તાર $N$ અથવા $S$ તરફ ગતિ કરે,તો વેગ $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે,જેનાથી $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય છે,પરિણામે કોઈ પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થતો નથી.
પ્રશ્નમાં પૂછ્યા મુજબ,$P$ અને $Q$ એ શિરોલંબ દિશાઓ દર્શાવે છે,તેથી $P$ અથવા $Q$ દિશામાં ગતિ કરાવવાથી emf ઉત્પન્ન થશે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$P$ એ emf ઉત્પન્ન કરવા માટે ગતિની એક યોગ્ય દિશા છે.

(D) ધારો કે બે ઇન્ડક્ટરના ઇન્ડક્ટન્સ $L_1$ અને $L_2$ છે.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_p$ એ $\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L_p = 1.5 \ H$,તેથી $\frac{1}{1.5} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2} \quad (1)$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_s$ એ $L_s = L_1 + L_2$ છે.
આપેલ છે કે $L_s = 8 \ H$,તેથી $L_1 + L_2 = 8 \quad (2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{8}{L_1 L_2} \Rightarrow L_1 L_2 = 12 \quad (3)$.
આપણી પાસે $L_1 + L_2 = 8$ અને $L_1 L_2 = 12$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (L_1 + L_2)x + L_1 L_2 = 0$ ના બીજ છે,જે $x^2 - 8x + 12 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(x - 6)(x - 2) = 0$,તેથી $L_1 = 6 \ H$ અને $L_2 = 2 \ H$.
ઇન્ડક્ટન્સ વચ્ચેનો તફાવત $|L_1 - L_2| = |6 - 2| = 4 \ H$ છે.

(C) આપેલ છે કે, બેટરીનું emf, $E = 6 \, V$.
અવરોધ, $R = 12 \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટન્સ, $L = 2 \, H$.
બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ $LR$ સર્કિટમાં તત્કાલીન પ્રવાહ $I = I_0(1 - e^{-(R/L)t})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I_0 = E/R$ એ સ્થાયી અવસ્થામાં પ્રવાહ છે.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરવાથી મળે છે:
$\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \frac{E}{R} (1 - e^{-(R/L)t}) \right] = \frac{E}{R} \cdot \left( \frac{R}{L} \right) e^{-(R/L)t} = \frac{E}{L} e^{-(R/L)t}$.
પ્રારંભિક ક્ષણે, $t = 0$ પર, પ્રવાહમાં થતો વધારો:
$\left. \frac{dI}{dt} \right|_{t=0} = \frac{E}{L} e^0 = \frac{E}{L} = \frac{6 \, V}{2 \, H} = 3 \, A \, s^{-1}$.

(D) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય,ત્યારે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે,એટલે કે $\theta = 0^{\circ}$.
$\theta = 0^{\circ}$ પર,$\cos 0^{\circ} = 1$ થાય,તેથી ફ્લક્સ $\phi = BA$ મહત્તમ હોય છે,ન્યૂનતમ નહીં.
વિધાનમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે જ્યારે સમતલ લંબ હોય ત્યારે ફ્લક્સ ન્યૂનતમ હોય છે,તેથી વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$ માં ફ્લક્સ અને પ્રેરિત emf માટેના સાચા સૂત્રો આપેલા છે,તેથી $(R)$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે અને કારણ $(R)$ સાચું છે.

(D) ફેરાડેનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે પણ પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે બદલાય છે ત્યારે પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થાય છે.
$1$. પરિપથની નજીક ચુંબકને ગતિ કરાવવાથી ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,આમ $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
$2$. ચુંબકની નજીક પરિપથને ગતિ કરાવવાથી પણ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,આમ $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
$3$. બીજા પરિપથની નજીક રાખેલા એક પરિપથમાં પ્રવાહ બદલવાથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલાય છે અને તેથી બીજા પરિપથમાં ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,જેનાથી $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
$4$. પરિપથમાં મોટો પરંતુ અચળ પ્રવાહ જાળવી રાખવાથી અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે. ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે અચળ રહેતું હોવાથી,કોઈ પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થતું નથી.
તેથી,સાચો જવાબ વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_B)$ ને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $(\vec{B})$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $(\vec{A})$ ના અદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર હોવાથી, ચુંબકીય ફ્લક્સ એ અદિશ રાશિ છે. તેથી, વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સનું મૂલ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે. $\cos \theta$ ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે, તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ પણ ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે. તેથી, કારણ $(R)$ સાચું છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon$ નું સૂત્ર $\varepsilon = B l v \sin \theta$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B l v \sin \theta}{R}$ થાય,જ્યાં $R$ એ પરિપથનો અવરોધ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $I \propto B$,જો $l$,$v$,$\theta$ અને $R$ અચળ રહે.
જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર બમણું કરવામાં આવે $(B^{\prime} = 2B)$,તો નવો પ્રેરિત પ્રવાહ $I^{\prime} = \frac{(2B) l v \sin \theta}{R} = 2 \times \left( \frac{B l v \sin \theta}{R} \right) = 2I$ થશે.
તેથી,પ્રેરિત પ્રવાહ બમણો થશે.

(D) આપેલ છે કે,લૂપ્સની સંખ્યા,$N = 500$.
ચોરસની બાજુ,$a = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વધારાનો દર,$\frac{dB}{dt} = 1 \ T/s$.
કોઈલને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવી હોવાથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ થશે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત emf: $\varepsilon = -N \frac{d\phi}{dt} = -N \frac{d}{dt}(BA)$.
ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી,$\varepsilon = -NA \frac{dB}{dt} = -N a^2 \frac{dB}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = -500 \times (0.1)^2 \times 1 = -5 \ V$.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = 5 \ V$ થાય.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,કોઈલમાં પ્રેરિત emf $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$N$ એ કોઈલના આંટાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
જેમ આંટાઓની સંખ્યા $N$ વધે છે,તેમ પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય વધે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જ્યારે ચુંબકને કોઈલમાં દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક લૂપમાં પ્રેરિત emf એવો પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે જે ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
વધુ આંટાઓ હોવાથી કુલ પ્રેરિત emf મોટું હોય છે,તેથી વિરોધ કરતું બળ પણ મોટું બને છે,જેના કારણે ચુંબકને ખસેડવું વધુ મુશ્કેલ બને છે.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ઇલેક્ટ્રિક જનરેટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે યાંત્રિક ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.
જ્યારે કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરે છે,ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં સતત ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમો અનુસાર,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો આ ફેરફાર કોઈલની આસપાસ વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ પ્રેરિત કરે છે.
આ પ્રેરિત $emf$ સર્કિટમાં પ્રેરિત પ્રવાહના વહન માટે જવાબદાર છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રિક જનરેટરનો કાર્યકારી સિદ્ધાંત ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમો પર આધારિત છે.

(C) $AC$ જનરેટરમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ $EMF$ $\varepsilon_0 = N B A \omega$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$A$ એ ક્ષેત્રફળ અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
આપેલ છે: $N = 100$,$A = 3 \ m^2$,$\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$,$B = 0.04 \ T$,અને $R = 360 \ \Omega$.
મહત્તમ $EMF$ ની ગણતરી: $\varepsilon_0 = 100 \times 0.04 \times 3 \times 60 = 720 \ V$.
મહત્તમ પાવર વ્યય $P_{max} = \frac{\varepsilon_0^2}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{max} = \frac{720^2}{360} = 1440 \ W$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો ક્ષેત્રફળ $1.5 \ m^2$ લેવામાં આવે તો જવાબ $360 \ W$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સરકતો તાર $PQ$ એ $\varepsilon = B l v$ સાથે ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (emf) ના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ emf સ્ત્રોત તાર $PQ$ ના અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
આ સંયોજન દરેક $R$ અવરોધ ધરાવતા બે બાહ્ય અવરોધો સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
પ્રથમ,સમાંતરમાં જોડાયેલા બે બાહ્ય અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો: $R_{p} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$.
હવે,સર્કિટનો કુલ અવરોધ એ તાર $PQ$ નો અવરોધ અને સમાંતર સમતુલ્ય અવરોધનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R + R_{p} = R + \frac{R}{2} = \frac{3 R}{2}$.
અંતે,તાર $PQ$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{B l v}{3 R / 2} = \frac{2 B l v}{3 R}$.

(A) બે કો-એક્સિયલ સોલેનોઈડનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ શોધવાનું સૂત્ર: $M = \mu_0 n_1 n_2 A l$ છે,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ અંદરના સોલેનોઈડનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$
બહારના સોલેનોઈડ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા $n_1 = 15 \ \text{turns/cm} = 1500 \ \text{turns/m}$
અંદરના સોલેનોઈડ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા $n_2 = 40 \ \text{turns/cm} = 4000 \ \text{turns/m}$
અંદરના સોલેનોઈડનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times 10^{-3} \ m^2$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$M = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1500 \times 4000 \times (2 \times 10^{-3}) \times 0.6$
$M = (4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^6) \times (1.2 \times 10^{-3})$
$M \approx 9.04 \times 10^{-3} \ H = 9 \ mH$.

(D) આપેલ છે,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 50 mH = 50 \times 10^{-3} H$.
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = 1 A - 0 A = 1 A$.
સમયગાળો $\Delta t = 0.1 s$.
આત્મ-પ્રેરિત emf માટેનું સૂત્ર $\varepsilon = L \frac{|\Delta I|}{\Delta t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = (50 \times 10^{-3} H) \times \frac{1 A}{0.1 s}$.
$\varepsilon = 50 \times 10^{-3} \times 10 = 500 \times 10^{-3} = 0.5 V$.

(A) આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટરનું આત્મ-પ્રેરકત્વ,$L = 40 \text{ mH} = 40 \times 10^{-3} \text{ H}$.
પ્રારંભિક પ્રવાહ,$I_1 = 2 \text{ A}$.
અંતિમ પ્રવાહ,$I_2 = 12 \text{ A}$.
સમયગાળો,$dt = 8 \text{ ms} = 8 \times 10^{-3} \text{ s}$.
ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતા emf નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$|\varepsilon| = L \frac{di}{dt}$
કિંમતો મૂકતા:
$|\varepsilon| = (40 \times 10^{-3} \text{ H}) \times \frac{(12 \text{ A} - 2 \text{ A})}{8 \times 10^{-3} \text{ s}}$
$|\varepsilon| = 40 \times 10^{-3} \times \frac{10}{8 \times 10^{-3}}$
$|\varepsilon| = 40 \times \frac{10}{8} = 5 \times 10 = 50 \text{ V}$.

(D) ટ્રાન્સફોર્મરમાં,પ્રાઇમરી અને સેકન્ડરી કોઈલ એક સામાન્ય ચુંબકીય કોર પર વીંટાળવામાં આવે છે પરંતુ તે એકબીજાથી વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ અલગ (insulated) હોય છે.
તેઓ ઇન્સ્યુલેટીંગ મટિરિયલ દ્વારા ભૌતિક રીતે અલગ હોવાથી,બંને કોઈલ વચ્ચે કોઈ સીધો વિદ્યુત માર્ગ હોતો નથી.
તેથી,પ્રાઇમરી અને સેકન્ડરી કોઈલ વચ્ચેનો વિદ્યુત અવરોધ અનંત માનવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે:
$N_1 = 2000$,$L = 0.30 \ m$,$N_2 = 300$,$A = 1.2 \times 10^{-3} \ m^2$.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\frac{di}{dt} = \frac{I_f - I_i}{\Delta t} = \frac{-2 - 2}{0.25} = -16 \ A/s$. તેનું મૂલ્ય $16 \ A/s$ છે.
સોલેનોઇડ-ગૂંચળાની તંત્રનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{L}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 300 \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.30} = 3.016 \times 10^{-3} \ H$.
પ્રેરિત emf $e = M \left| \frac{di}{dt} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$e = (3.016 \times 10^{-3}) \times 16 = 4.825 \times 10^{-2} \ V \approx 4.8 \times 10^{-2} \ V$.

(C) સુધારેલો એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (i_c + i_d)$.
અહીં,$i_d$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ (displacement current) છે,જે $i_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( i_c + \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} \right)$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(\frac{d\phi_E}{dt})$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ સુધારેલા એમ્પીયરના નિયમનો મુખ્ય સાર છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની કુલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{avg} = \frac{B_0^2}{2 \mu_0}$ છે.
અહીં $B_0 = 400 \ \mu T = 400 \times 10^{-6} \ T$ અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $U_{avg} = \frac{(400 \times 10^{-6})^2}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}} = \frac{16 \times 10^{-8}}{8 \pi \times 10^{-7}} = \frac{2 \times 10^{-1}}{\pi} \approx 0.06366 \ J \ m^{-3} = 63.66 \times 10^{-3} \ J \ m^{-3}$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રને અનુરૂપ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_E = \frac{U_{avg}}{2} = \frac{63.66 \times 10^{-3}}{2} = 31.83 \times 10^{-3} \ J \ m^{-3}$ થાય.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એકબીજાને લંબ હોય છે અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $(\vec{E} \times \vec{B})$ ના સદિશ ગુણાકારની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં તરંગ $Z$-અક્ષ ($\hat{k}$ દિશા) માં પ્રસરણ પામે છે,તેથી $(\vec{E} \times \hat{B})$ ની દિશા $\hat{k}$ હોવી જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$. આ પ્રસરણની દિશા સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ક્ષેત્રો $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ અને $\vec{B} = B_0 \hat{j}$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના વિદ્યુતક્ષેત્રનું આપેલ સમીકરણ $E = (3.1 \text{ NC}^{-1}) \cos [(1.8 \text{ rad m}^{-1}) y + (5.4 \times 10^6 \text{ rad s}^{-1}) t] \hat{i}$ છે.
આપણે આને સામાન્ય તરંગ સમીકરણ $E = E_0 \cos (ky + \omega t) \hat{i}$ સાથે સરખાવીએ છીએ.
સરખામણી કરતા,પ્રસરણ અચળાંક $k = 1.8 \text{ rad m}^{-1}$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને પ્રસરણ અચળાંક $k$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14159}{1.8} \approx 3.49 \text{ m}$.
આમ,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઈ $3.49 \text{ m}$ છે.

(B) મુક્ત અવકાશમાં $EM$ તરંગની સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $\mu_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,સરેરાશ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $\mu_B = \frac{1}{2\mu_0} B_{rms}^2 = \frac{B_0^2}{4\mu_0}$ છે.
સંબંધ $E_0 = cB_0$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\mu_B$ ના સમીકરણમાં $B_0 = \frac{E_0}{c} = E_0 \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ મૂકી શકીએ છીએ.
આનાથી $\mu_B = \frac{(E_0 \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0})^2}{4\mu_0} = \frac{E_0^2 \mu_0 \varepsilon_0}{4\mu_0} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ મળે છે.
જેથી $\mu_E = \mu_B$ હોવાથી,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો બંનેનું ઉર્જા પ્રદાન સમાન હોય છે.

(B) $X-$રે ટ્યુબમાંથી ઉત્સર્જિત $X-$કિરણોની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ (જેને કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ,$\lambda_{min}$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $V$ એ ટ્યુબ પર લાગુ પાડવામાં આવેલ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ તફાવત (વોલ્ટેજ) છે.
કારણ કે $h$,$c$ અને $e$ અચળાંકો છે,તેથી $\lambda_{min}$ એ ટ્યુબ પર લાગુ પાડવામાં આવેલા વોલ્ટેજ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માત્ર ટ્યુબને આપવામાં આવેલા વોલ્ટેજ પર આધાર રાખે છે.

(A) વીજભારના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં કુલ વિદ્યુત વીજભાર અચળ રહે છે. જ્યારે $n$ સમાન વીજભારિત ટીપાં એક મોટા ટીપામાં ભળી જાય છે,ત્યારે સિસ્ટમનો કુલ વીજભાર એ વ્યક્તિગત ટીપાંના વીજભારનો સરવાળો હોય છે. આસપાસમાંથી કોઈ વીજભાર ગુમાવવામાં કે મેળવવામાં આવતો ન હોવાથી,કુલ વીજભાર સંરક્ષિત રહે છે. ટીપાની ત્રિજ્યા વધવાને કારણે કેપેસીટન્સ,સ્થિતિમાન અને સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા જેવી અન્ય રાશિઓ બદલાય છે.

(A) આપેલ છે:
દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર, $q = 6 \times 10^{-7} \,C$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર, $r = 60 \,cm = 0.6 \,m$.
કુલંબના નિયમ મુજબ, સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ નીચે મુજબ મળે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
અહીં $q_1 = q_2 = q = 6 \times 10^{-7} \,C$ અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ હોવાથી:
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (6 \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^{-7})}{(0.6)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 36 \times 10^{-14}}{0.36}$
$F = \frac{324 \times 10^{-5}}{0.36}$
$F = 900 \times 10^{-5} \,N = 9 \times 10^{-3} \,N$.

(A) આપેલ છે,$Q_1 = +80 \mu C$,$Q_2 = +20 \mu C$. ધારો કે $Q_1$ અને $Q_2$ વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. વિદ્યુતભાર $q$ ને મધ્યમાં મૂકવામાં આવે છે,તેથી $Q_1$ થી $q$ નું અંતર $r/2$ અને $q$ થી $Q_2$ નું અંતર $r/2$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,દરેક વિદ્યુતભાર પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. ચાલો $Q_2$ વિદ્યુતભારના સંતુલનનો વિચાર કરીએ:
$F_{net, Q_2} = \frac{k Q_2 q}{(r/2)^2} + \frac{k Q_1 Q_2}{r^2} = 0$
$\frac{4 k Q_2 q}{r^2} + \frac{k Q_1 Q_2}{r^2} = 0$
$4 q + Q_1 = 0$
$4 q = -Q_1$
$q = -Q_1 / 4$
$Q_1 = +80 \mu C$ મૂકતા:
$q = -80 \mu C / 4 = -20 \mu C$.

(A) આપેલ છે: વીજભાર $q = 500 \times 10^{-6} \ C$,અંતર $2a = 10 \ cm = 0.1 \ m$ (તેથી $a = 0.05 \ m$),અને અંતર $r = 25 \ cm = 0.25 \ m$.
ડાયપોલની અક્ષ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$ છે,જ્યાં $p = q(2a)$.
કિંમતો મૂકતા: $p = 500 \times 10^{-6} \times 0.1 = 5 \times 10^{-5} \ Cm$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times (5 \times 10^{-5}) \times 0.25}{((0.25)^2 - (0.05)^2)^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2.5 \times 10^{-5}}{(0.0625 - 0.0025)^2}$.
$E = \frac{2.25 \times 10^5}{(0.06)^2} = \frac{2.25 \times 10^5}{0.0036} = 6.25 \times 10^7 \ NC^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$5.76 \times 10^7 \ NC^{-1}$ એ સૌથી નજીકનું મૂલ્ય છે.

(A) ધારો કે બે ડાયપોલ $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે,જેના ડાયપોલ મોમેન્ટ અનુક્રમે $p_1 = p$ અને $p_2 = 27 p$ છે અને તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવાયેલા છે.
ધારો કે $P$ એ તેમની વચ્ચેનું શૂન્ય બિંદુ છે જ્યાં ચોખ્ખી વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય છે.
ધારો કે $A$ પરના ડાયપોલથી બિંદુ $P$ નું અંતર $x$ છે.
$B$ પરના ડાયપોલથી બિંદુ $P$ નું અંતર $(24 - x) \,cm$ થશે.
ટૂંકા વિદ્યુત ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું સૂત્ર $E = \frac{2kp}{r^3}$ છે.
બિંદુ $P$ પર ચોખ્ખું વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવા માટે,બંને ડાયપોલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુત ક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $E_1 = E_2$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2kp}{x^3} = \frac{2k(27p)}{(24 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{27}{(24 - x)^3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24 - x}$
$24 - x = 3x$
$24 = 4x$
$x = 6 \,cm$.
આમ,$p$ મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલથી $6 \,cm$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હશે.

(D) અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અવકાશના વિવિધ બિંદુઓ પર બદલાય છે.
ડાયપોલના બે વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $-q$) એકબીજાથી થોડા અંતરે હોવાથી,તેઓ અલગ-અલગ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા ($E_1$ અને $E_2$) અનુભવે છે.
$F = qE$ હોવાથી,બંને વિદ્યુતભારો પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ હોતા નથી,જેના પરિણામે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોતું નથી.
જો કે,ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર ગોઠવાયેલ હોય,તો ટોર્ક શૂન્ય હોઈ શકે છે.
તેથી,ચોખ્ખું બળ સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતું નથી,અને ટોર્ક તેના ઓરિએન્ટેશન પર આધાર રાખીને શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર અંત પામે છે.
વિધાન $(i)$ સાચું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $q$ ઋણ હોય,તો બળ $F$ એ $E$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
વિધાન $(ii)$ સાચું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા આપે છે.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે જો તેઓ છેદે,તો છેદબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ હોય,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
વિધાન $(iv)$ ખોટું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળો બનાવતી નથી કારણ કે તે ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
પ્રશ્નમાં ખોટું વિધાન પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,માત્ર $(iv)$ ખોટું છે.

(D) વિદ્યુતભારો $q_1 = 10 \mu C$ અને $q_2 = -10 \mu C$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $2a = 10 \ cm$ છે,તેથી $a = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
બિંદુ $P$ એ લંબદ્વિભાજક પર મધ્યબિંદુથી $r = 12 \ cm = 0.12 \ m$ ના અંતરે છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{r^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \ cm = 0.13 \ m$ છે.
દરેક વિદ્યુતભારને કારણે $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{k|q|}{d^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6}}{(0.13)^2} = \frac{9 \times 10^4}{0.0169} \approx 5.325 \times 10^6 \ N \ C^{-1}$ છે.
$AB$ રેખાને લંબ વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે $AB$ ને સમાંતર ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{net}} = 2E \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $\cos(\theta) = \frac{a}{d} = \frac{5}{13}$ છે.
$E_{\text{net}} = 2 \times \left( \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6}}{(0.13)^2} \right) \times \frac{5}{13} = 2 \times \frac{9 \times 10^4}{0.0169} \times \frac{5}{13} \approx 4.1 \times 10^6 \ N \ C^{-1}$.

(B) મોટી વિદ્યુતભારિત પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$ છે.
આપેલ છે,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 100 \ eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટને અથડાયા વગર પાછો ફરે તે માટે,પ્લેટની સપાટી પર તેની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0$ હોવી જોઈએ.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i + U_i = K_f + U_f$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = 0$ લેતા,$K_i = U_f = e \cdot V$,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d$ છે.
તેથી,$K_i = e \cdot \left( \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0} \right) \cdot d$.
કિંમતો મૂકતા: $100 \times 1.6 \times 10^{-19} = (1.6 \times 10^{-19}) \cdot \left( \frac{2 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} \right) \cdot d$.
$100 = \frac{10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} \cdot d$.
$100 = \frac{10^6}{8.85} \cdot d$.
$d = \frac{885}{10^6} \approx 0.44 \times 10^{-3} \ m = 0.44 \ mm$.

(C) ગોસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારના $1/\epsilon_0$ ગણું હોય છે.
જ્યારે કુલંબનો નિયમ બિંદુવત વિદ્યુતભારોના વિદ્યુતક્ષેત્રને શોધવા માટે વપરાય છે,ત્યારે સતત વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે તે ગાણિતિક રીતે જટિલ બની જાય છે.
ગોસનો નિયમ ખાસ કરીને એવા કિસ્સાઓમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટે ખૂબ જ શક્તિશાળી છે જ્યાં વિદ્યુતભાર વિતરણ ઉચ્ચ કક્ષાની સંમિતિ (જેમ કે ગોલીય,નળાકાર અથવા સમતલીય સંમિતિ) ધરાવતું હોય.
યોગ્ય ગોસિયન સપાટી પસંદ કરીને,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = q_{enc} / \epsilon_0$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્ર સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે.

(A) સ્થિતવિદ્યુતશાસ્ત્રના ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$.
ગોસિયન સપાટી $A$ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોનો સરવાળો છે:
$q = q_1 + q_2 + q_3$
$q = (-14 + 78.85 - 56) \text{ nC} = 8.85 \text{ nC} = 8.85 \times 10^{-9} \text{ C}$.
મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$ છે.
આ કિંમતોને વિદ્યુત ફ્લક્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\phi = \frac{8.85 \times 10^{-9} \text{ C}}{8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}}$
$\phi = 10^3 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-1}$.

(B) આપેલ છે: પ્લેટની ત્રિજ્યા, $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર, $E = 2 \sqrt{3} \times 10^5 \,NC^{-1}$.
પ્લેટ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પ્લેટના લંબ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.
વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = EA \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (2 \sqrt{3} \times 10^5) \times (0.01 \pi) \times \cos 30^{\circ}$.
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી:
$\phi = 2 \sqrt{3} \times 10^5 \times 0.01 \pi \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\phi = 3 \times 10^3 \times \pi = 3 \times 3.14159 \times 10^3 = 9.42477 \times 10^3 \,Nm^2 C^{-1}$.
આમ, $\phi \approx 9.42 \times 10^3 \,Nm^2 C^{-1}$.

(D) આંતરિક ગોળો અર્થિંગ કરેલો હોવાથી,બાહ્ય ગોળા અને આંતરિક ગોળા પરના વિદ્યુતભારોને કારણે તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $r_1$ એ આંતરિક ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને $r_2$ એ બાહ્ય ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આંતરિક ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V$ એ તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $q'$ અને બાહ્ય ગોળા પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V = \frac{k q'}{r_1} + \frac{k q}{r_2} = 0$
જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{k q'}{r_1} = -\frac{k q}{r_2}$
$q' = -\frac{r_1}{r_2} q$

(A) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી અને તેની બાજુ $a = 0.2 \ m$ હોવાથી,ખૂણા $A$ અને $B$ થી ખૂણા $C$ સુધીનું અંતર $r = 0.2 \ m$ છે.
ખૂણા $C$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન એ $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V_C = V_A + V_B$.
$V_C = \frac{k q_A}{r} + \frac{k q_B}{r} = \frac{k}{r} (q_A + q_B)$.
કિંમતો મૂકતા: $V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (8 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (16 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = 9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-6} \ V$.
$V_C = 720 \times 10^3 \ V = 7.2 \times 10^5 \ V$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાન પ્રચલન સાથે $\vec{E} = -\nabla V$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
સ્થિતિમાન પ્રચલનનું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં મહત્તમ હોય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એવું પૃષ્ઠ છે જ્યાં દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના કોઈપણ સ્થાનાંતર $d\vec{r}$ માટે,સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r} = 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ દરેક બિંદુએ પૃષ્ઠને લંબ હોવો જોઈએ.
કારણ કે મહત્તમ સ્થિતિમાન પ્રચલન વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં હોય છે,તેથી મહત્તમ સ્થિતિમાન પ્રચલન અને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.

(C) વીજભાર $q$ ને અનંત અંતરેથી વીજભાર $Q$ થી $r$ અંતરે લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
શરૂઆતનું અંતર $r_i = \infty$ હોવાથી,શરૂઆતની સ્થિતિઊર્જા $U_i = 0$ થાય.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{kQq}{r_f}$ છે.
આપેલ છે:
$q = 6 \times 10^{-6} \ C$
$Q = 30 \times 10^{-6} \ C$
$r_f = 0.75 \ m$
$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(9 \times 10^9) \times (30 \times 10^{-6}) \times (6 \times 10^{-6})}{0.75}$
$W = \frac{9 \times 30 \times 6 \times 10^{-3}}{0.75}$
$W = \frac{1620 \times 10^{-3}}{0.75} = \frac{1.62}{0.75} = 2.16 \ J$.

(A) આપેલ છે કે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 500 \ Vm^{-1}$ જે ધન $X$-અક્ષ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E(\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 500 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}\right) = (250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \ Vm^{-1}$ છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(-3, 0) \ m$ અને બિંદુ $B$ ના યામ $(0, 5) \ m$ છે.
$A$ થી $B$ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (0 - (-3)) \hat{i} + (5 - 0) \hat{j} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ m$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\vec{E} \cdot \vec{r}_{AB}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \times 3 + 250 \times 5)$
$V_B - V_A = -250(3\sqrt{3} + 5) \ V$.

(A) આપેલ છે કે,બિંદુવત વિદ્યુતભારો $a = 2.8 \,m$ બાજુવાળા ચોરસના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. ધારો કે $r$ એ કેન્દ્ર $O$ થી દરેક ખૂણાનું અંતર છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r$ એ વિકર્ણનું અડધું છે:
$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2.8}{\sqrt{2}} \,m$.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{Kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$.
ચારેય વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3$ અને $q_4$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_0$ છે:
$V_0 = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = \frac{K}{r}(q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
આપેલ વિદ્યુતભારો: $q_1 = +20 \,nC$,$q_2 = +40 \,nC$,$q_3 = -34 \,nC$,$q_4 = +16 \,nC$.
વિદ્યુતભારોનો સરવાળો: $\sum q = (20 + 40 - 34 + 16) \,nC = 42 \,nC = 42 \times 10^{-9} \,C$.
કિંમતો મૂકતા:
$V_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 42 \times 10^{-9}}{2.8 / \sqrt{2}} = \frac{9 \times 42 \times \sqrt{2}}{2.8} = \frac{378 \times 1.414}{2.8} = 135 \times 1.414 = 190.89 \,V$.