AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ગતિશાસ્ત્રના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ,$v^2 - u^2 = 2as$ છે.
ધારો કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v^2 = 2as$ મળે છે,જેને $s = \frac{v^2}{2a}$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a$ એ સમાન (અચળ) પ્રવેગ હોવાથી,સ્થાનાંતર $s$ અને વેગ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $s \propto v^2$ છે.
આ $s$-અક્ષ પર ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
આલેખ $C$ એક પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $s$ એ $v$ ના વર્ગ સાથે વધે છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી શરૂ થાય છે,જે તારવેલા સંબંધ $s = \frac{1}{2a} v^2$ સાથે સુસંગત છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાન વેગ સમયથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,વેગ-સમયના આલેખમાં,આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર સીધી રેખા તરીકે દોરવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાનો ઢાળ $= \tan \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ આડી ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આલેખ પરથી,$\theta = 0^{\circ}$ છે.
તેથી,ઢાળ $= \tan 0^{\circ} = 0$ થાય.

(B) જ્યારે પદાર્થને $h$ ઊંચાઈએથી સ્થિર લિફ્ટમાં છોડવામાં આવે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ છે.
અહીં $u = 0$ અને $a = -g$ હોવાથી,$-h = -\frac{1}{2}gt_1^2$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
જ્યારે પદાર્થને અચળ પ્રવેગ $a$ થી ઉપર જતી લિફ્ટમાંથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે લિફ્ટના સંદર્ભમાં પદાર્થ પર નીચેની દિશામાં આભાસી બળ લાગે છે.
તેથી અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
સમાન ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$-h = -\frac{1}{2}(g + a)t_2^2$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g + a}}$ મળે છે.
અહીં $(g + a) > g$ હોવાથી,$\frac{2h}{g + a} < \frac{2h}{g}$ થાય છે.
તેથી,$t_2 < t_1$ અથવા $t_1 > t_2$ સાચું છે.

(C) $h$ ઊંચાઈ પરથી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરતા $m$ દળના પદાર્થનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખીય વેગમાન $p$ ને $p = mv$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે:
$p_1 = m_1 v_1 = m_1 \sqrt{2gh_1}$
બીજા પદાર્થ માટે:
$p_2 = m_2 v_2 = m_2 \sqrt{2gh_2}$
તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 \sqrt{2gh_1}}{m_2 \sqrt{2gh_2}} = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$
અહીં $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{h_1}{h_2} = \frac{9}{16}$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{3} \times \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) આપેલ છે, વેગ $v = 2t^2 - 8t + 15$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તત્કાલીન પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે, એટલે કે $a = \frac{dv}{dt}$.
વેગના આપેલ સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a = \frac{d}{dt}(2t^2 - 8t + 15) = 4t - 8$.
હવે, પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 5 \,s$ કિંમત મૂકતા:
$a = 4(5) - 8 = 20 - 8 = 12 \,ms^{-2}$.
તેથી, $t = 5 \,s$ સમયે તત્કાલીન પ્રવેગ $12 \,ms^{-2}$ છે.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $3 s = 9 t + 5 t^2$ છે.
આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $s = 3 t + (5/3) t^2$ મળે છે.
અચળ પ્રવેગી ગતિ માટેનું પ્રમાણિત ગતિનું સમીકરણ $s = u t + (1/2) a t^2$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
આપેલ સમીકરણ $s = 3 t + (5/3) t^2$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સમીકરણ $s = u t + (1/2) a t^2$ સાથે કરતા,આપણને $(1/2) a = 5/3$ મળે છે.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = 2 \times (5/3) = 10/3 \ m s^{-2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: ટ્રેનની લંબાઈ, $l = 100 \,m$.
પદાર્થને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય, $t = 7.2 \,s$.
વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા પદાર્થનો વેગ, $v_o = 5 \,km/h = 5 \times \frac{5}{18} \,m/s = \frac{25}{18} \,m/s \approx 1.39 \,m/s$.
ધારો કે ટ્રેનનો વેગ $v_t = v$ છે.
બંને પદાર્થો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી, સાપેક્ષ વેગ $v_{\text{rel}} = v_t + v_o$ થશે.
પદાર્થને ઓળંગવા માટે કાપેલું અંતર ટ્રેનની લંબાઈ જેટલું હોય છે, તેથી $l = v_{\text{rel}} \times t$.
$100 = (v + \frac{25}{18}) \times 7.2$.
$7.2$ વડે ભાગતા: $\frac{100}{7.2} = v + \frac{25}{18}$.
$\frac{1000}{72} = v + \frac{25}{18} \Rightarrow \frac{125}{9} = v + \frac{25}{18}$.
$v = \frac{250}{18} - \frac{25}{18} = \frac{225}{18} = 12.5 \,m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = 12.5 \times \frac{18}{5} = 45 \,km/h$.

(C) ધારો કે બસની ઝડપ $v_B$ છે અને સાયકલ સવારની ઝડપ $v_C = 20 \,km/h$ છે.
ધારો કે બે ક્રમિક બસો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,જ્યાં $d = v_B \times T$.
કિસ્સો $1$: બસ $A$ થી $B$ તરફ જાય છે (સાયકલ સવારની સમાન દિશામાં).
સાયકલ સવારની સાપેક્ષમાં બસની ઝડપ $(v_B - v_C)$ છે.
બસ સાયકલ સવારને પસાર કરે તે સમયગાળો $t_1 = 18 \,min = \frac{18}{60} \,h = 0.3 \,h$ છે.
તેથી,$d = (v_B - 20) \times 0.3 \dots (i)$.
કિસ્સો $2$: બસ $B$ થી $A$ તરફ જાય છે (સાયકલ સવારની વિરુદ્ધ દિશામાં).
સાયકલ સવારની સાપેક્ષમાં બસની ઝડપ $(v_B + v_C)$ છે.
બસ સાયકલ સવારને પસાર કરે તે સમયગાળો $t_2 = 6 \,min = \frac{6}{60} \,h = 0.1 \,h$ છે.
તેથી,$d = (v_B + 20) \times 0.1 \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$(v_B - 20) \times 0.3 = (v_B + 20) \times 0.1$
$3(v_B - 20) = v_B + 20$
$3v_B - 60 = v_B + 20$
$2v_B = 80 \Rightarrow v_B = 40 \,km/h$.
હવે,સમીકરણ $(ii)$ નો ઉપયોગ કરીને $d = v_B \times T$ માં $v_B$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_B \times T = (v_B + 20) \times 0.1$
$40 \times T = (40 + 20) \times 0.1$
$40T = 60 \times 0.1 = 6$
$T = \frac{6}{40} \,h = \frac{3}{20} \,h$.

(A) ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$v$ એ અંતિમ ઝડપ છે,$u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $a$ એ સમય $t$ માટેનો પ્રવેગ છે.
અહીં અચળ પ્રતિપ્રવેગ હોવાથી,પ્રવેગ ઋણ લેવામાં આવે છે,એટલે કે $a_{eff} = -a$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = u + (-a)t = u - at$.
સમય $t > 0$ માટે $at > 0$ હોવાથી,$v < u$ મળે છે.
તેથી,અચળ પ્રતિપ્રવેગ હેઠળ પદાર્થની ઝડપ ઘટે છે.

(D) કણનો વેગ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt}$.
આપેલ છે કે $s = 9t^2 - 2t^3$,તેથી $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(9t^2 - 2t^3) = 18t - 6t^2$.
જ્યારે કણ શૂન્ય વેગ પ્રાપ્ત કરે ત્યારે $v = 0$ લેતા:
$18t - 6t^2 = 0$.
$6t$ સામાન્ય કાઢતા:
$6t(3 - t) = 0$.
આથી આપણને બે ઉકેલ મળે છે: $t = 0$ અને $t = 3$.
કણ $t = 0$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી તે ફરીથી $t = 3 \ s$ સમયે શૂન્ય વેગ પ્રાપ્ત કરશે.

(A) બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_A = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
બિંદુ $B$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_B = 6 \hat{i} + 6 \hat{j} + 9 \hat{k}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ સ્થાનમાં થતા ફેરફાર દ્વારા મળે છે: $\vec{d} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$.
$\vec{d} = (6 - 2) \hat{i} + (6 - 2) \hat{j} + (9 - 3) \hat{k}$.
$\vec{d} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે, શહેર-$A$ થી શહેર-$B$ સુધી ટ્રેનની ઝડપ $v_1 = 18 \,ms^{-1}$ છે.
શહેર-$B$ થી શહેર-$A$ સુધી ટ્રેનની ઝડપ $v_2 = 36 \,ms^{-1}$ છે.
કારણ કે $A$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ સુધી કાપેલું અંતર સમાન છે, તેથી સમાન અંતર માટે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર વાપરીએ:
$v_{av} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{av} = \frac{2 \times 18 \times 36}{18 + 36}$
$v_{av} = \frac{2 \times 18 \times 36}{54}$
$v_{av} = \frac{1296}{54} = 24 \,ms^{-1}$.

(A) આપેલ પ્રારંભિક વેગ $u = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} \ m/s = 10 \ m/s$.
વસ્તુ સ્થિર થાય છે,તેથી અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$.
કાપેલું અંતર $s = 200 \ m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 200$.
$-100 = 400a$.
$a = -\frac{100}{400} = -0.25 \ m/s^2$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે.
તેથી,બ્રેક દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પ્રતિપ્રવેગ $0.25 \ m/s^2$ છે.

(D) ગોળી સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે.
ગોળીનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર,$y = 15 \ cm = 0.15 \ m$.
ગોળીનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર,$x = 150 \ m$.
સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પથનું સમીકરણ,$y = \frac{g x^2}{2 u^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.15 = \frac{10 \times 150^2}{2 u^2}$.
$u^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $u^2 = \frac{10 \times 22500}{2 \times 0.15} = \frac{225000}{0.3} = 750000$.
વર્ગમૂળ લેતા: $u = \sqrt{750000} = \sqrt{250000 \times 3} = 500 \sqrt{3} \ m \ s^{-1}$.

(D) આપેલ છે: ઝડપ $v = 30 \,ms^{-1}$, ત્રિજ્યા $r = 500 \,m$, સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_T = 2 \,ms^{-2}$.
વર્તુળાકાર ગતિમાં કણનો કુલ પ્રવેગ $a$ એ સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_T$ અને કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $a_r$ નો સદિશ સરવાળો છે.
પ્રથમ, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{30^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \,ms^{-2}$ ગણો.
કુલ પ્રવેગ $a = \sqrt{a_T^2 + a_r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \sqrt{2^2 + 1.8^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24}$.
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા: $a \approx 2.69 \,ms^{-2}$, જે આશરે $2.7 \,ms^{-2}$ થાય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 50 \ m s^{-1}$
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 30^{\circ}$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \ m s^{-2}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 50 \times \sin 30^{\circ}}{10}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,
$T = \frac{100 \times 0.5}{10} = \frac{50}{10} = 5 \ s$.
આમ,દડો $5 \ s$ સુધી હવામાં રહેશે.

(C) જ્યારે કોઈ દડાને ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,પ્રવેગ $a$ એ ચોખ્ખા બળની દિશામાં હોય છે. મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,દડાનો વેગ ક્ષણિક રીતે શૂન્ય થાય છે,પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેના પર સતત લાગે છે. તેથી,પ્રવેગ $g$ (ગુરુત્વીય પ્રવેગ) જેટલો જ રહે છે અને તે નીચેની તરફ હોય છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ કણનો તત્કાલીન વેગ છે.
ગતિ દરમિયાન વેગનો આડો ઘટક $(v_x = u \cos \theta)$ અચળ રહે છે,તેથી કુલ વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ એ શિરોલંબ ઘટક $v_y$ પર આધાર રાખે છે.
શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \theta - gt$ નું મૂલ્ય પ્રક્ષેપણ બિંદુ $(t=0)$ અને જમીન પર પડવાના બિંદુ ($t=T$,જ્યાં $T$ એ કુલ ઉડ્ડયન સમય છે) પર મહત્તમ હોય છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુએ કાપેલું આડું અંતર $0 \ m$ છે. જમીન પર પડવાના બિંદુએ કાપેલું આડું અંતર તેની અવધિ $R = 100 \ m$ જેટલું હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,ગતિઊર્જા શરૂઆતમાં અને અંતમાં મહત્તમ હોય છે. $0 \ m$ વિકલ્પમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $100 \ m$ છે.

(A) સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 15 \ m \ s^{-1}$.
શિરોલંબ દિશામાં,પથ્થર મુક્ત પતન કરે છે જ્યાં પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ છે. સમીકરણ $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_y^2 = 0 + 2 \times 9.8 \times 490 = 9604$.
$v_y = \sqrt{9604} = 98 \ m \ s^{-1}$.
અંતિમ ઝડપ $v$ એ પરિણામી વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
$v = \sqrt{15^2 + 98^2} = \sqrt{225 + 9604} = \sqrt{9829} \approx 99.14 \ m \ s^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ $99 \ m \ s^{-1}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે, ટાવરની ઊંચાઈ $h = 19.6 \,m$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુ અને જમીન પરના બિંદુને જોડતી રેખા સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઊંચાઈ $h$ અને સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan \theta = \frac{h}{R}$
$\tan 45^{\circ} = \frac{19.6}{R}$
$1 = \frac{19.6}{R} \Rightarrow R = 19.6 \,m$.
જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 19.6}{9.8}} = \sqrt{4} = 2 \,s$.
સમક્ષિતિજ અંતર $R$ નીચે મુજબ છે:
$R = u \times t$
$19.6 = u \times 2$
$u = \frac{19.6}{2} = 9.8 \,m/s$.
આમ, દડાનો પ્રારંભિક વેગ $9.8 \,m/s$ છે.

(B) ધારો કે $u$ અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત વેગ અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
આપેલ છે કે,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 3 \ m/s$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિનું સમીકરણ $y = 12x - \frac{3}{4}x^2$ ... $(i)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,પ્રક્ષિપ્ત ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ ... (ii) છે.
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા,આપણને $\tan \theta = 12$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 12$ હોવાથી,$\sin \theta = 12 \cos \theta$ થાય.
બંને બાજુ $u$ વડે ગુણતા,$u \sin \theta = 12(u \cos \theta) = 12 \times 3 = 36 \ m/s$ મળે છે.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2(u \sin \theta)(u \cos \theta)}{g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = \frac{2 \times 36 \times 3}{10} = \frac{216}{10} = 21.6 \ m$ મળે છે.

(B) દડાને $20 \,m$ ની ઊંચાઈએથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે અને આપણે તે સમક્ષિતિજ અંતર શોધવાનું છે જ્યાં તે ફરીથી તે જ ઊર્ધ્વ સ્તર (જમીનથી $20 \,m$) પર પાછો આવે છે。
આ એક સમતલ સપાટી પર $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ (Range) શોધવા સમાન છે。
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ઝડપ $u = 13 \,ms^{-1}$
પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 30^{\circ}$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{(13)^2 \times \sin(2 \times 30^{\circ})}{10}$
$R = \frac{169 \times \sin(60^{\circ})}{10}$
$R = \frac{169 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{10}$
$R = \frac{169 \times 1.732}{20}$
$R = \frac{292.708}{20} \approx 14.635 \,m$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $R = 14.6 \,m$ મળે છે।

(A) ધારો કે કાર $A$ અને $B$ નો વેગ $v_A = v_B = 30 \ km/h$ ધન દિશામાં છે.
ધારો કે કાર $C$ નો વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં $v_C = -v$ છે (જ્યાં $v$ એ કાર $C$ ની ઝડપ છે).
કાર $A$ અને $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $C$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_A - v_C = 30 - (-v) = 30 + v$ થશે.
કાર $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d = 10 \ km$ છે.
કાર $C$ એ $8 \ minutes = \frac{8}{60} \ h = \frac{2}{15} \ h$ ના સમયગાળામાં કાર $B$ અને પછી કાર $A$ ને મળે છે.
સૂત્ર $d = v_{rel} \times t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 = (30 + v) \times \frac{2}{15}$
$10 \times \frac{15}{2} = 30 + v$
$75 = 30 + v$
$v = 75 - 30 = 45 \ km/h$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,ત્રિજ્યા $r = 1 \ m$,કોણીય ઝડપ $\omega = 2 \ rad \ s^{-1}$.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c$ નું સૂત્ર $F_c = m \omega^2 r$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F_c = 5 \times (2)^2 \times 1$
$F_c = 5 \times 4 \times 1$
$F_c = 20 \ N$.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળ $20 \ N$ છે.

(C) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-\alpha t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 5 \,s$ સમયે, $A(5) = 0.9 A_0$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0.9 A_0 = A_0 e^{-5\alpha}$, જેનો અર્થ છે કે $e^{-5\alpha} = 0.9$.
આપણે બીજા $20 \,s$ પછીનો કંપવિસ્તાર શોધવાનો છે, એટલે કે કુલ સમય $t_2 = 5 \,s + 20 \,s = 25 \,s$ પર.
ધારો કે $t_2 = 25 \,s$ પર કંપવિસ્તાર $A'$ છે.
$A' = A_0 e^{-25\alpha} = A_0 (e^{-5\alpha})^5$.
$e^{-5\alpha} = 0.9$ મૂકતા:
$A' = A_0 (0.9)^5 = A_0 \times 0.59049$.
આમ, કંપવિસ્તાર તેના મૂળ કંપવિસ્તારના આશરે $0.59$ ગણો થઈ જશે.

(C) સ્પ્રિંગ માટે હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = kx$.
જ્યારે $0.6 \ kg$ દળ લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ બળ તે દળના વજનને સંતુલિત કરે છે,તેથી $F = mg$.
આમ,$k = \frac{mg}{x} = \frac{0.6 \times 10}{0.40} = 15 \ N \ m^{-1}$.
$m' = 255 \ g = 0.255 \ kg$ દળ માટે આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.255}{15}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{0.017} \approx 6.28 \times 0.13038 \approx 0.8188 \ s$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$T \approx 0.82 \ s$.

(A) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$,હૂકના નિયમ $F = kx$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $F = 15 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 150 \ N$ અને $x = 0.25 \ m$,તેથી $k = \frac{150}{0.25} = 600 \ N/m$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{2 \pi}{5} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{600}}$.
બંને બાજુ $2 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{5} = \sqrt{\frac{m}{600}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{25} = \frac{m}{600}$.
$m$ માટે ઉકેલતા,$m = \frac{600}{25} = 24 \ kg$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 100 \ N \ m^{-1}$,કંપવિસ્તાર $A = 10 \ cm = 0.1 \ m$,સ્થાનાંતર $x = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10 \ rad \ s^{-1}$.
સ્થાનાંતર $x$ પર વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10 \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = 10 \sqrt{0.01 - 0.0025} = 10 \sqrt{0.0075} = 10 \times 0.0866 = 0.866 \ m \ s^{-1}$.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.866)^2 = 0.5 \times 0.75 = 0.375 \ J$.
સ્થિતિઊર્જા $P.E. = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.05)^2 = 50 \times 0.0025 = 0.125 \ J$.

(A) સાદું લોલક એ દળરહિત અને અસ્થિતિસ્થાપક દોરી વડે લટકાવેલ બિંદુવત દળ (બોબ) ધરાવે છે.
સમતલમાં દોલન કરતા સાદા લોલક માટે,બોબનું સ્થાન એક જ યામ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે,જે દોરી શિરોલંબ સાથે બનાવે છે તે ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી,દોલન કરતા સાદા લોલક માટે સ્વતંત્રતાના અંશોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ છે: લોલકની લંબાઈ,$l = 0.5 \ m$. સૌથી નીચલા બિંદુએ ઝડપ,$v_1 = 6 \ ms^{-1}$. દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો,$\theta = 60^{\circ}$.
$\triangle OBC$ માં,$\cos \theta = \frac{OC}{OB} = \frac{l-h}{l} = \cos 60^{\circ}$.
$\Rightarrow 1 - \frac{h}{l} = 0.5 \Rightarrow \frac{h}{l} = 0.5 \Rightarrow h = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \ m$.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv_1^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh$
$v_2^2 = v_1^2 - 2gh$
$v_2^2 = (6)^2 - 2 \times 10 \times 0.25 = 36 - 5 = 31$
$v_2 = \sqrt{31} \ ms^{-1}$.
આમ,$60^{\circ}$ ના ખૂણે અંતિમ વેગ $\sqrt{31} \ ms^{-1}$ છે.

(A) શૂન્યાવકાશિત ચેમ્બરમાં,સાદા લોલકના ગોળા પર કોઈ હવાના અવરોધ કે ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી.
ગોળા પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે (જે સંરક્ષી બળ છે),તેથી તંત્રની યાંત્રિક ઉર્જાનો વ્યય થવા માટે કોઈ માધ્યમ નથી.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,દોલનનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે અચળ રહે છે.

(C) આપેલ છે કે, પદાર્થનું દળ $m = 4.9 \, kg$.
સ્પ્રિંગના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 0.5 \, s$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ અને $\pi^2 = 10$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$.
ગુણોત્તર $\frac{m}{k}$ માટે, $\frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2}$.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{m}{k} = \frac{(0.5)^2}{4 \times 10} = \frac{0.25}{40} = 0.00625 \, kg/N$.
જ્યારે દળને દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતો ઘટાડો $x$ એ સંતુલન સ્થિતિમાં દળ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિસ્તરણ જેટલો હોય છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં હૂકના નિયમ મુજબ, $kx = mg$, જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{m}{k} g$.
કિંમતો મૂકતા, $x = 0.00625 \times 10 = 0.0625 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા, $x = 0.0625 \times 100 = 6.25 \, cm$.
આમ, દળ દૂર કર્યા પછી સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં $6.25 \, cm$ નો ઘટાડો થાય છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g$ છે.
તેથી,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ...$(i)$
જ્યારે લિફ્ટ $a = 3g$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + 3g = 4g$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime}$ એ $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{4g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T^{\prime} = \frac{1}{2} \times 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T^{\prime} = \frac{T}{2}$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $x$ એ સરેરાશ સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
સ્થિતિ ઉર્જા મહત્તમ હોવા માટે,સ્થાનાંતર $x$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,સરેરાશ સ્થિતિથી મહત્તમ સ્થાનાંતર એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે.
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જા અંતિમ સ્થાનો પર મહત્તમ હોય છે,જે $x = \pm A$ છે.

(C) આપેલ છે,દોલનનો કંપનવિસ્તાર,$a = 6 \text{ cm}$.
ધારો કે સ્થાનાંતર $x \text{ cm}$ છે.
જ્યારે ગતિઊર્જા $(K)$ એ સ્થિતિઊર્જા $(U)$ જેટલી હોય,ત્યારે $K = U$.
સરળ આવર્ત દોલકની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
$a^2 - x^2 = x^2$
$2x^2 = a^2$
$x^2 = \frac{a^2}{2}$
$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$
$a = 6 \text{ cm}$ મૂકતા:
$x = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \text{ cm}$.

(C) આપેલ છે કે,કણ પર લાગતું બળ $F = -kx + F_0$ છે.
આપણે આને $F = -k(x - \frac{F_0}{k})$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $y = x - \frac{F_0}{k}$,તો બળ $F = -ky$ બને છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે પુનઃસ્થાપક બળનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે,જ્યાં સરેરાશ સ્થાન $F = 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$F = 0$ લેતા,આપણને $-k(x - \frac{F_0}{k}) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{F_0}{k}$.
આમ,કણ $x = \frac{F_0}{k}$ સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ દોલન કરશે.
$F = -ky$ ની સરખામણી પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $F = -m\omega^2 y$ સાથે કરતા,આપણને $m\omega^2 = k$ મળે છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે:
મહત્તમ પ્રવેગ $|a_{\max}| = \omega^2 A$ છે.
મહત્તમ વેગ $|v_{\max}| = \omega A$ છે.
અહીં,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
તેથી,મહત્તમ પ્રવેગ અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{|a_{\max}|}{|v_{\max}|} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$ થાય.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સમીકરણ $x = A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$ છે.
કણનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) \right] = -A \omega \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
ઝડપ $|v|$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$ નું મૂલ્ય $1$ અથવા $-1$ થાય.
પ્રથમ ધન સમય $t$ માટે,જો આપણે $\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ લઈએ,તો આપણને $t = \frac{\pi}{4\omega}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં આપેલ છે.

(B) ધારો કે કણો $P$ અને $Q$ માટે ગતિના સમીકરણો $x_1 = a \sin(\omega t)$ અને $x_2 = a \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કણો વચ્ચેનું અંતર $d = |x_2 - x_1| = |a \sin(\omega t + \phi) - a \sin(\omega t)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $\sin A - \sin B = 2 \sin(\frac{A-B}{2}) \cos(\frac{A+B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d = |2a \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi}{2})|$.
આ અંતરનું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે કોસાઇન પદનું મૂલ્ય $1$ હોય.
તેથી,$d_{max} = 2a \sin(\frac{\phi}{2})$.
આપેલ છે કે $d_{max} = a \sqrt{2}$,તેથી $2a \sin(\frac{\phi}{2}) = a \sqrt{2}$.
$\sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ છે: કણનું દળ $m = 0.4 \text{ kg}$,કંપવિસ્તાર $A = 0.4 \text{ m}$,પ્રારંભિક કળા $\phi = \pi / 4$.
મધ્યમાન સ્થાન પર ગતિઊર્જા એ દોલકની કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે,જે $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $256 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.4 \times \omega^2 \times (0.4)^2$.
$0.256 = 0.2 \times \omega^2 \times 0.16$.
$0.256 = 0.032 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{0.256}{0.032} = 8$.
$\omega = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \text{ rad/s}$.
સરળ આવર્ત ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = 0.4 \sin \left((2 \sqrt{2}) t + \frac{\pi}{4}\right)$ મળે છે.

(B) અનુનાદ એ એક એવી ઘટના છે જેમાં જ્યારે બાહ્ય રીતે લાગુ પાડવામાં આવેલા આવર્તક બળની આવૃત્તિ સિસ્ટમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે,ત્યારે દોલનોનો કંપવિસ્તાર નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
બળજબરીપૂર્વકના દોલન તંત્રમાં,અનુનાદ વક્રની તીક્ષ્ણતા સિસ્ટમમાં હાજર અવમંદન (damping) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અનુનાદની તીક્ષ્ણતા એ અવમંદન ગુણાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે અવમંદન બળ નાનું હોય છે,ત્યારે પ્રતિ ચક્ર ઉર્જાનો વ્યય ન્યૂનતમ હોય છે,જે ખૂબ જ તીક્ષ્ણ અને ઉચ્ચ કંપવિસ્તાર ધરાવતા અનુનાદ શિખર તરફ દોરી જાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ નિલંબન બિંદુથી ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અસરકારક લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં,પાણીથી ભરેલા ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
જેમ જેમ તળિયે રહેલા છિદ્રમાંથી પાણી બહાર નીકળે છે,તેમ સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે તરફ ખસે છે. આનાથી અસરકારક લંબાઈ $l$ વધે છે,જેના કારણે આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જેમ જેમ પાણીનું સ્તર ઘટતું જાય છે,તેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના સૌથી નીચા બિંદુએ પહોંચે છે અને પછી ગોળો ખાલી થતાં તે ફરીથી ભૌમિતિક કેન્દ્ર તરફ ઉપર આવે છે.
એકવાર પાણી સંપૂર્ણપણે નીકળી જાય પછી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પોલા ગોળાના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર પાછું આવે છે,જે મૂળ અસરકારક લંબાઈ $l$ અને આમ મૂળ આવર્તકાળ $T$ ને પુનઃસ્થાપિત કરે છે.

(A) આપેલ છે કે,સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = A\omega = 40 \,ms^{-1}$ ... $(i)$
સરળ આવર્ત ગતિ માટે મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A\omega^2 = 60 \,ms^{-2}$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{A\omega^2}{A\omega} = \frac{60}{40}$
$\omega = 1.5 \,rad/s = \frac{3}{2} \,rad/s$
આપણે જાણીએ છીએ કે આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3} \,s$
આમ,દોલનનો આવર્તકાળ $\frac{4\pi}{3} \,s$ છે.

(C) કોઈપણ પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ એ તે પદાર્થના એકમ દળ $m$ ના તાપમાનમાં એકમ વધારો $\Delta T$ કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q$ છે.
સૂત્ર $s = \frac{Q}{m \Delta T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉકળતું પાણી વરાળમાં બદલાય છે,ત્યારે પદાર્થ અવસ્થા પરિવર્તન (phase change) માંથી પસાર થાય છે.
અવસ્થા પરિવર્તનની પ્રક્રિયા દરમિયાન,પદાર્થનું તાપમાન અચળ રહે છે,એટલે કે $\Delta T = 0$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $s = \frac{Q}{m \times 0} = \infty$.
તેથી,અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન ઉકળતા પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા અનંત હોય છે.

(A) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C$ ને $1 \text{ mole}$ વાયુનું તાપમાન $1 \text{ K}$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માના જથ્થા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$C = \frac{\Delta Q}{n \Delta T}$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ તેના વાતાવરણથી થર્મલી ઇન્સ્યુલેટેડ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પર્યાવરણ સાથે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી.
તેથી,ઉષ્મામાં ફેરફાર $\Delta Q = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $C = \frac{0}{n \Delta T} = 0$ મળે છે.
આમ,એડિયાબેટિક ફેરફારમાંથી પસાર થતા વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $0$ હોય છે.

(A) આપેલ છે: વરાળનું દળ,$m_s = 5 \text{ g}$,વરાળનું તાપમાન,$T_s = 100^{\circ} \text{C}$.
બરફનું દળ,$m_i = 5 \text{ g}$,બરફનું તાપમાન,$T_i = 0^{\circ} \text{C}$.
વરાળની ગુપ્ત ઉષ્મા,$L_v = 540 \text{ cal/g}$.
બરફની ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા,$L_f = 80 \text{ cal/g}$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$s = 1 \text{ cal/g}^{\circ} \text{C}$.
પગલું $1$: $100^{\circ} \text{C}$ તાપમાને વરાળનું પાણીમાં રૂપાંતર થવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા:
$Q_1 = m_s \times L_v = 5 \times 540 = 2700 \text{ cal}$.
પગલું $2$: બરફને ઓગળવા અને $100^{\circ} \text{C}$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
બરફ ઓગળવા માટે: $Q_{melt} = m_i \times L_f = 5 \times 80 = 400 \text{ cal}$.
પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} \text{C}$ થી $100^{\circ} \text{C}$ સુધી વધારવા માટે: $Q_{rise} = m_i \times s \times \Delta T = 5 \times 1 \times 100 = 500 \text{ cal}$.
બરફ માટે કુલ જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = 400 + 500 = 900 \text{ cal}$.
પગલું $3$: $Q_1$ અને $Q_2$ ની સરખામણી:
$Q_1 > Q_2$ હોવાથી,વરાળ પાસે બરફને ઓગળવા અને પાણીને $100^{\circ} \text{C}$ સુધી ગરમ કરવા માટે પૂરતી ઉર્જા છે.
તેથી,મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $100^{\circ} \text{C}$ રહેશે.

(A) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$(A)$ પ્રવાહીનું ઘન પદાર્થમાં રૂપાંતર થવાની પ્રક્રિયાને ફ્યુઝન (ઘનીકરણ) કહેવામાં આવે છે.
$(B)$ પ્રવાહીનું બાષ્પમાં રૂપાંતર થવાની પ્રક્રિયાને બાષ્પીભવન કહેવામાં આવે છે.
$(C)$ ઘન પદાર્થનું પ્રવાહી અવસ્થામાં આવ્યા વિના સીધું બાષ્પમાં રૂપાંતર થવાની પ્રક્રિયાને ઉર્ધ્વપાતન કહેવામાં આવે છે.
$(D)$ દબાણના કારણે બરફ પીગળવાની ઘટનાને રિજલેશન કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-3, B-4, C-2, D-1$ છે.

(D) પાણીની ઘનતા $4^{\circ} C$ તાપમાને મહત્તમ હોય છે.
જેમ તાપમાન $4^{\circ} C$ થી વધે છે,તેમ પાણીની ઘનતા ઘટે છે,જેના કારણે કદમાં વધારો થાય છે.
તે જ રીતે,જેમ તાપમાન $4^{\circ} C$ થી ઘટે છે,તેમ પાણીની ઘનતા અસામાન્ય વિસ્તરણને કારણે ઘટે છે,જે ફરીથી કદમાં વધારો કરે છે.
બીકર પહેલેથી જ ભરેલું હોવાથી,કદમાં કોઈપણ વધારો પાણીને બહાર છલકાવે છે.
તેથી,પાણીને $4^{\circ} C$ થી ઉપર ગરમ કરવામાં આવે અથવા $4^{\circ} C$ થી નીચે ઠંડું પાડવામાં આવે ત્યારે તે બહાર છલકાય છે.
વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે જ્યારે પાણીને $4^{\circ} C$ થી નીચે ઠંડું પાડવામાં આવે ત્યારે તે ચોક્કસપણે બહાર છલકાય છે.

(B) પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા એવી છે જેને આસપાસના વાતાવરણ પર કોઈ નિશાન છોડ્યા વિના ઉલટાવી શકાય છે.
બરફનું પીગળવું,સમતાપી વિસ્તરણ અને નિરોષ્મી વિસ્તરણ (જો તે ક્વોસી-સ્ટેટિક રીતે કરવામાં આવે તો) પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયાઓ ગણી શકાય છે.
ઉષ્માનું વહન એ અપ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા છે કારણ કે તે બે પદાર્થો વચ્ચેના મર્યાદિત તાપમાનના તફાવતને કારણે થાય છે.
ઉષ્મા હંમેશા આપમેળે ઊંચા તાપમાનથી નીચા તાપમાન તરફ વહે છે,અને આ પ્રક્રિયાને બાહ્ય કાર્ય વિના ઉલટાવી શકાતી નથી,આમ તે બ્રહ્માંડની એન્ટ્રોપીમાં વધારો કરે છે.

(C) આપેલ છે કે બે પ્લેટોનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
ધારો કે $K_1, K_2$ તેમની ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $t_1, t_2$ તેમની જાડાઈ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગુણોત્તર છે:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{t_1}{t_2} = \frac{2}{3}$.
પ્લેટો શ્રેણીમાં હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને પ્લેટોમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{t_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{t_2}$
જ્યાં $T$ એ સામાન્ય સપાટીનું તાપમાન છે.
આપેલ કિંમતો $T_1 = 10^{\circ} C$ અને $T_2 = 0^{\circ} C$ મૂકતા:
$\frac{K_1}{t_1} (10 - T) = \frac{K_2}{t_2} (T - 0)$
$\frac{K_1}{K_2} \cdot \frac{t_2}{t_1} (10 - T) = T$
ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{t_2}{t_1} = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$\left( \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \right) (10 - T) = T$
$1 \cdot (10 - T) = T$
$10 - T = T$
$2T = 10$
$T = 5^{\circ} C$

(B) આપેલ છે કે,બે વિદ્યુતભારો $q_1 = 20 \mu C$ અને $q_2 = 10 \mu C$ એ $d = 50 \ m$ ના અંતરે અલગ છે.
અનંત અંતરેથી એકમ ધન વિદ્યુતભાર $q = 1 \ C$ ને મધ્યબિંદુ $M$ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = qV$ છે,જ્યાં $V$ એ બિંદુ $M$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે $M$ પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{K q_1}{(d/2)} + \frac{K q_2}{(d/2)} = \frac{2K}{d} (q_1 + q_2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 1 \times \frac{2 \times (9 \times 10^9)}{50} \times (20 + 10) \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{18 \times 10^9}{50} \times 30 \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{540 \times 10^3}{50} \ J = 10.8 \times 10^3 \ J$.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન સપાટી એ એવી સપાટી છે જ્યાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન તમામ બિંદુઓ પર સમાન હોય છે.
સપાટી પર વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 0$ હોવાથી,અને $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ હોવાથી,તે સૂચવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સપાટી પરના દરેક બિંદુએ સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{l}$ ને લંબ હોવું જોઈએ.
તેથી,વિદ્યુત બળની રેખાઓ હંમેશા સમસ્થિતિમાન સપાટીને લંબ હોય છે.

(A) લાંબા સીધા તારને કારણે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબચોરસ કોઈલ $ABCD$ માટે,આડા ભાગો $BC$ અને $AD$ પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
ભાગ $AB$ પરનું બળ (અંતર $r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ પર) આકર્ષી છે (તાર તરફ) કારણ કે પ્રવાહો સમાંતર છે:
$F_{AB} = \frac{\mu_0 (2 \text{ A})(1 \text{ A})(0.15 \text{ m})}{2 \pi (0.02 \text{ m})} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 0.15}{0.02} = 30 \times 10^{-7} \text{ N}$.
ભાગ $CD$ પરનું બળ (અંતર $r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ પર) અપાકર્ષી છે (તારથી દૂર) કારણ કે પ્રવાહો પ્રતિ-સમાંતર છે:
$F_{CD} = \frac{\mu_0 (2 \text{ A})(1 \text{ A})(0.15 \text{ m})}{2 \pi (0.12 \text{ m})} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 0.15}{0.12} = 5 \times 10^{-7} \text{ N}$.
કુલ બળ $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = 30 \times 10^{-7} - 5 \times 10^{-7} = 25 \times 10^{-7} \text{ N}$.
$F_{AB} > F_{CD}$ હોવાથી,કુલ બળ તારની દિશામાં લાગે છે.

(A) કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = N A I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલી કિંમતો મૂકતા: $M = 10 \times (2 \times 10^{-4} \ m^2) \times 0.5 \ A = 10^{-3} \ A \ m^2$.
લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I_s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કિંમતો મૂકતા: $B = (4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A) \times (10^3 \ m^{-1}) \times (3 \ A) = 12 \pi \times 10^{-4} \ T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M B \sin(\theta)$ છે. કારણ કે કોઈલની અક્ષ સોલેનોઇડની અક્ષને લંબ છે,તેથી ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે,તેથી $\sin(90^\circ) = 1$.
તેથી,$\tau = (10^{-3} \ A \ m^2) \times (12 \pi \times 10^{-4} \ T) \times 1 = 12 \pi \times 10^{-7} \ N \ m$.

(B) આપેલ છે કે, મુવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટર માટે:
અસરકારક ક્ષેત્રફળ, $A = 4 \times 10^{-2} \, m^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર, $B = 5 \times 10^{-2} \, Wb \, m^{-2}$
કોણાવર્તન, $\phi = 0.2 \, rad$
વિદ્યુત પ્રવાહ, $I = 5 \, mA = 5 \times 10^{-3} \, A$
ધારો કે આંટાની સંખ્યા $N = 1$ છે, તો ટોર્ક સંતુલન સમીકરણ $NAB I = k \phi$ મુજબ, જ્યાં $k$ એ ટોર્શનલ અચળાંક છે.
$k = \frac{NAB I}{\phi} = \frac{(1) \times (4 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^{-3})}{0.2}$
$k = \frac{100 \times 10^{-7}}{0.2} = 5 \times 10^{-5} \, N \, m \, rad^{-1}$.
પ્રવાહ સંવેદિતા $S_I = \frac{\phi}{I} = \frac{0.2}{5 \times 10^{-3}} = 40 \, rad \, A^{-1}$.
આમ, પ્રવાહ સંવેદિતા $40 \, rad \, A^{-1}$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતી ચુંબકીય સોય પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M B \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે સોય ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રહે છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 90^{\circ} = 1$,તેથી ટોર્ક $\tau = M B$ થાય છે.
$B_1$ અને $B_2$ ચુંબકીય ક્ષેત્રો ધરાવતી બે અલગ-અલગ જગ્યાઓ માટે,ટોર્ક $\tau_1 = M B_1$ અને $\tau_2 = M B_2$ છે.
બંને ટોર્કનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{M B_1}{M B_2} = \frac{B_1}{B_2}$.
તેથી,$B_1 : B_2$ નો ગુણોત્તર $\tau_1 : \tau_2$ બરાબર છે.

(A) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
પોલા નળાકારની અંદરના બિંદુ માટે $(r < R)$,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 0$ છે. તેથી,$B(2\pi r) = 0$,જે સૂચવે છે કે $r < R$ માટે $B = 0$ છે.
પોલા નળાકારની બહારના બિંદુ માટે $(r \geq R)$,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = i$ છે. તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 i$,જે સૂચવે છે કે $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$.
આ દર્શાવે છે કે નળાકારની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને નળાકારની બહાર તે $1/r$ મુજબ ઘટે છે. આલેખ $(i)$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) $n$ આંટા, $a$ ત્રિજ્યા અને $i$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n i}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારની કુલ લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી, $L = n(2\pi a)$.
એક આંટા માટે $(n=1)$, $L = 2\pi a$, તેથી $a = \frac{L}{2\pi}$.
બે આંટા માટે $(n'=2)$, $L = 2(2\pi a')$, તેથી $a' = \frac{L}{4\pi} = \frac{a}{2}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B \propto \frac{n}{a}$ હોવાથી, $\frac{B'}{B} = \frac{n'}{n} \times \frac{a}{a'}$.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{B'}{B} = \frac{2}{1} \times \frac{a}{a/2} = 2 \times 2 = 4$.
તેથી, $B' = 4B$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $i$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 4 \pi \text{ cm} = 4 \pi \times 10^{-2} \text{ m}$ આપેલ છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે જેમાં $i_1 = 10 \text{ A}$ પ્રવાહ વહે છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 10}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{8 \pi \times 10^{-2}} = 0.5 \times 10^{-4} \text{ T} = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.
બીજી કોઈલ માટે જેમાં $i_2 = 24 \text{ A}$ પ્રવાહ વહે છે:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 24}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 24}{8 \pi \times 10^{-2}} = 1.2 \times 10^{-4} \text{ T} = 12 \times 10^{-5} \text{ T}$.
કોઈલ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
$B = \sqrt{(5 \times 10^{-5})^2 + (12 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{25 + 144} \times 10^{-5} \text{ T} = \sqrt{169} \times 10^{-5} \text{ T} = 13 \times 10^{-5} \text{ Wb m}^{-2}$.

(B) આપેલ છે: $R = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$r = 12 \ cm = 0.12 \ m$,$B_{axis} = 250 \ \mu T$.
પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$
$B_{centre}$ ને $B_{axis}$ વડે ભાગતા:
$\frac{B_{centre}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I}{2R} \times \frac{2(R^2 + r^2)^{3/2}}{\mu_0 I R^2} = \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
કિંમતો મૂકતા:
$B_{centre} = B_{axis} \times \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.05^2 + 0.12^2)^{3/2}}{0.05^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0025 + 0.0144)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0169)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.13)^3}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{0.002197}{0.000125} = 250 \ \mu T \times 17.576 = 4394 \ \mu T$.

(B) બાજુ ધરાવતી ચોરસ ફ્રેમ માટે,કેન્દ્ર $O$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની ચાર બાજુઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
દરેક બાજુ $a$ લંબાઈના સીમિત તાર તરીકે વર્તે છે,જે કેન્દ્રથી $r = a/2$ ના લંબ અંતરે છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ છે.
ચોરસમાં $4$ બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times B_1 = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ થાય.
વર્તુળાકાર કોઈલ માટે,પરિમિતિ ચોરસની પરિમિતિ જેટલી છે,તેથી $2 \pi R = 4 a$,જે આપણને $R = \frac{2 a}{\pi}$ આપે છે.
વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^{\prime} = \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 (2 a / \pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{4 a}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B}{B^{\prime}} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I / \pi a}{\mu_0 \pi I / 4 a} = \frac{16 \sqrt{2}}{\pi^2}$ મળે છે.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને ગૂંચળા માટે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે,તેથી:
$\frac{\mu_0 I_1}{2(2r)} = \frac{\mu_0 I_2}{2(r)} \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 2 \quad ...(i)$
ગૂંચળા એક જ તારમાંથી બનેલા હોવાથી,તેમનો અવરોધ $R$ તેમની લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R = \rho \frac{l}{A})$.
લંબાઈઓ $l_1 = 2\pi(2r) = 4\pi r$ અને $l_2 = 2\pi(r) = 2\pi r$ છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{4\pi r}{2\pi r} = 2 \quad ...(ii)$
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = IR$,તેથી $I = V/R$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{V_1/R_1}{V_2/R_2} = 2 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 2 \times \frac{R_1}{R_2}$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી ગુણોત્તર મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$.

(A) આપેલ છે: આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1 = 20 \,cm = 0.2 \,m$, બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2 = 25 \,cm = 0.25 \,m$, આંટાની સંખ્યા $N = 800$, વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 12 \,A$.
ટોરોઇડની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $B \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા $(r_1)$ પર મહત્તમ અને મહત્તમ ત્રિજ્યા $(r_2)$ પર ન્યૂનતમ હોય છે.
મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{\max} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 800 \times 12}{2 \pi \times 0.2} = 9.6 \times 10^{-3} \,T = 9.6 \,mT$.
ન્યૂનતમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{\min} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 800 \times 12}{2 \pi \times 0.25} = 7.68 \times 10^{-3} \,T = 7.68 \,mT$.

(B) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ ગાળામાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ અને તેના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$M = I A$.
જ્યારે $L$ લંબાઈના તારને વર્તુળાકાર ગાળામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પરિઘ $2 \pi r = L$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2 \pi}$ છે.
આ વર્તુળાકાર ગાળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ છે.
ક્ષેત્રફળને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $M = I \times \frac{L^2}{4 \pi} = \frac{L^2 I}{4 \pi}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે, $\text{ચુંબકીય મોમેન્ટ}$, $M = 2 \,J \,T^{-1}$.
$\text{ચુંબકીય ક્ષેત્ર}$, $B = 0.1 \,T$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાયેલ હોવાથી, પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
જ્યારે ચુંબક ક્ષેત્રને લંબ હોય, ત્યારે અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 2 \times 0.1 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
$W = 0.2 \times (1 - 0)$
$W = 0.2 \,J$.
આમ, કરવામાં આવતું કુલ કાર્ય $0.2 \,J$ છે.

(C) ટોરોઇડ એ મૂળભૂત રીતે સોલેનોઇડનું વર્તુળાકાર સ્વરૂપ છે. ટોરોઇડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તેના કોરની અંદર જ મર્યાદિત રહે છે અને તે સમકેન્દ્રી વર્તુળો બનાવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ટોરોઇડની અંદર મર્યાદિત હોવાથી,ટોરોઇડની બહારનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
જો ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ શૂન્ય ન હોત,તો ટોરોઇડ મોટા અંતરે ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તત,જે $\frac{1}{r^3}$ ના દરે ઘટતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરત.
આમ,આદર્શ ટોરોઇડની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ શૂન્ય હોવી જોઈએ.

(C) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ (લોરેન્ઝ બળ) $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે બળ વિદ્યુતભારના વેગ $\vec{v}$ પર આધાર રાખે છે.
જો વિદ્યુતભાર સ્થિર હોય,તો તેનો વેગ $\vec{v} = 0$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\vec{F} = q(0 \times \vec{B}) = 0$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સ્થિર વિદ્યુતભાર પર કોઈ બળ લગાડતું નથી.

(C) ધારો કે $\phi$ એ સાચો ડિપ ખૂણો છે અને $\theta$ એ મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન છે. જ્યારે ડિપ સર્કલ ભૌગોલિક મેરિડિયનમાં હોય,ત્યારે સમતલ અને મેગ્નેટિક મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય છે. આભાસી ડિપ $\delta_1$ માટેનું સૂત્ર $\tan \delta_1 = \frac{\tan \phi}{\cos \theta}$ છે.
જ્યારે સમતલ ભૌગોલિક મેરિડિયનને લંબ હોય,ત્યારે સમતલ અને મેગ્નેટિક મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ - \theta)$ થાય છે. આભાસી ડિપ $\delta_2$ માટેનું સૂત્ર $\tan \delta_2 = \frac{\tan \phi}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\tan \phi}{\sin \theta}$ છે.
આ બે સમીકરણો પરથી,$\tan \phi = \tan \delta_1 \cos \theta$ અને $\tan \phi = \tan \delta_2 \sin \theta$ મળે છે.
$\tan \phi$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\tan \delta_1 \cos \theta = \tan \delta_2 \sin \theta$.
તેથી,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$.
આમ,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}\right)$.

(B) ક્યુરીના નિયમ મુજબ, પેરામેગ્નેટિક પદાર્થનું મેગ્નેટાઇઝેશન $M = C \frac{B}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B$ એ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે, $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $C$ એ ક્યુરીનો અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $M_1 = 0.8 \text{ A m}^{-1}$, $B_1 = 0.8 \text{ T}$ અને $T_1 = 5 \text{ K}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $0.8 = C \frac{0.8}{5} \Rightarrow C = 5 \text{ K}$.
હવે, નવા તાપમાન $T_2 = 20 \text{ K}$ માટે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = 0.8 \text{ T}$ સાથે, નવું મેગ્નેટાઇઝેશન $M_2$ નીચે મુજબ થશે:
$M_2 = C \frac{B_2}{T_2} = 5 \times \frac{0.8}{20} = \frac{4}{20} = 0.2 \text{ A m}^{-1}$.

(D) ધારો કે પદાર્થની બહાર ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B_0$ છે.
આપેલ છે કે પદાર્થની અંદર ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B = 4 B_0$ છે.
પદાર્થની અંદરની ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા અને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu_r B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_r$ એ પદાર્થની સાપેક્ષ ચુંબકીય પરમીએબિલિટી છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $4 B_0 = \mu_r B_0$ મળે છે.
તેથી,$\mu_r = 4$.

(A) સ્થાયી ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના ઘટક પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે. દળમાં આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $(E = \Delta m c^2)$ મુજબ, આ દળ ક્ષતિ બંધન ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખે છે.
જ્યારે ન્યુક્લિયસ બને છે ત્યારે ઉર્જા મુક્ત થતી હોવાથી, સિસ્ટમ નીચી ઉર્જા અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે, જેનો અર્થ છે કે બંધાયેલા ન્યુક્લિયસનું દળ તેના વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચું વિધાન છે.

(C) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા ત્યારે જ શક્ય બને છે જો તે વિદ્યુતભાર (પરમાણુ ક્રમાંક) અને દળ સંખ્યાના સંરક્ષણના નિયમોનું પાલન કરે.
વિકલ્પ $C$ માટે: ${ }_{93} Np^{239} \longrightarrow{ }_{94} Pu^{239}+\beta^{-}+\bar{\nu}$.
વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ: $93 = 94 + (-1) + 0 = 93$. આ સંતોષાય છે.
દળ સંખ્યાનું સંરક્ષણ: $239 = 239 + 0 + 0 = 239$. આ સંતોષાય છે.
આ પ્રક્રિયા નેપ્ચ્યુનિયમ-$239$ નું પ્લુટોનિયમ-$239$ માં $\beta^{-}$-ક્ષય દર્શાવે છે,જે ભૌતિક રીતે શક્ય પ્રક્રિયા છે.

(B) ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન એ એક પ્રક્રિયા છે જેમાં બે હલકા ન્યુક્લિયસ જોડાઈને ભારે ન્યુક્લિયસ બનાવે છે. આ પ્રક્રિયા માટે ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ વચ્ચેના પ્રબળ સ્થિર વિદ્યુતીય અપાકર્ષણને દૂર કરવું જરૂરી છે. આ પ્રાપ્ત કરવા માટે,ન્યુક્લિયસ પાસે અત્યંત ઊંચી ગતિ ઊર્જા હોવી જોઈએ,જે ખૂબ જ ઊંચા તાપમાન ($10^7$ થી $10^8 \ K$ ના ક્રમમાં) જાળવી રાખીને પૂરી પાડવામાં આવે છે. તેથી,ફ્યુઝન પ્રક્રિયાઓ ઊંચા તાપમાનની મદદથી શરૂ કરવામાં આવે છે.

(D) ન્યુક્લિયર ઘનતા એટલે ન્યુક્લિયસનું દળ અને તેના કદનો ગુણોત્તર.
દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું દળ $M = A \cdot m$ છે,જ્યાં $m$ એ ન્યુક્લિયોનનું સરેરાશ દળ છે $(m \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg})$.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$.
આમ,$\rho$ એ દળ ક્રમાંક $A$ પર આધારિત નથી,તેથી તે તમામ ન્યુક્લિયસ માટે અચળ રહે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\rho \approx 2.3 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ થી $3.0 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ મળે છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ છે.

(C) હીરાનો વક્રીભવનાંક $\mu$ ખૂબ જ ઊંચો (આશરે $2.42$) હોય છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ એ સંબંધ $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી ઊંચા વક્રીભવનાંકને કારણે ક્રાંતિકોણ ખૂબ જ નાનો હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ સારી રીતે કાપેલા હીરામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે આંતરિક સપાટીઓ પર ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે આપાત થાય છે.
આના પરિણામે હીરાની અંદર અનેકવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
પરિણામે,પ્રકાશ અંદર ફસાઈ જાય છે અને વારંવાર પરાવર્તિત થાય છે,જેના કારણે હીરો ચમકદાર દેખાય છે.

(A) પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક તેમના નિરપેક્ષ વક્રીભવનાંકના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પાણીનો વક્રીભવનાંક,$\mu_w = \frac{4}{3}$.
કાચનો વક્રીભવનાંક,$\mu_g = \frac{5}{3}$.
પાણીની સાપેક્ષે કાચનો સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{5/3}{4/3} = \frac{5}{4}$ થાય.
ક્રાંતિકોણ $C$ ને $\sin C = \frac{1}{\mu}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin C = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$ મળે છે.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ થશે.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $\lambda$ ઘટે તેમ $\mu$ વધે છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ લાલ પ્રકાશ કરતા ઓછી હોવાથી,વાદળી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક લાલ પ્રકાશ કરતા વધારે હોય છે $(\mu_{blue} > \mu_{red})$.
પરિણામે,જ્યારે લાલ પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઘટે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે અને કારણ $(R)$ પણ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે,લેન્સનો વક્રીભવનાંક,$\mu = 1.5$.
વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા,$R_1 = 12 \,cm$.
સમતલ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા,$R_2 = \infty$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{12} - \frac{1}{\infty} \right]$
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,તેથી:
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{1}{12}$
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{12} = \frac{1}{24}$
તેથી,$f = 24 \,cm$.
આમ,આપેલ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $24 \,cm$ છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ આપેલ છે.
વસ્તુને પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્રથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે.
પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર એ ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી $f$ અંતરે હોવાથી,ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી વસ્તુનું કુલ અંતર $u = -(f + x)$ થશે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$u = -(f + x)$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{v} - \frac{1}{-(f + x)} = \frac{1}{f}$ મળે છે.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f + x} = \frac{f + x - f}{f(f + x)} = \frac{x}{f(f + x)}$.
તેથી,$v = \frac{f(f + x)}{x}$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = \frac{\frac{f(f + x)}{x}}{-(f + x)} = -\frac{f}{x}$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબની સાઈઝ અને વસ્તુની સાઈઝનો ગુણોત્તર એ મોટવણીનું મૂલ્ય છે,જે $|m| = \frac{f}{x}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: લેન્સનો વક્રીભવનાંક,$\mu_g = 1.5$.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક,$\mu_m = 1.6$.
હવામાં લેન્સનો પાવર,$P = -5 \ D$.
હવાનો વક્રીભવનાંક,$\mu_a = 1$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ (હવામાં).
માધ્યમ માટે,પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = \frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
$P'$ ને $P$ વડે ભાગતા:
$\frac{P'}{P} = \frac{(\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1)}{(\mu_g - 1)} = \frac{(\frac{1.5}{1.6} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{(\frac{1.5 - 1.6}{1.6})}{0.5} = \frac{-0.1}{1.6 \times 0.5} = \frac{-0.1}{0.8} = -\frac{1}{8}$.
તેથી,$P' = P \times (-\frac{1}{8}) = -5 \times (-0.125) = 0.625 \ D$.

(A) $V$ વોલ્ટેજ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
સરળ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \text{ Å}$.
અહીં $\lambda = 0.50 \text{ Å}$ આપેલ છે, તેથી:
$0.50 = \frac{12.27}{\sqrt{V}}$
$\sqrt{V} = \frac{12.27}{0.50} = 24.54$
$V = (24.54)^2 \approx 602.2 \text{ V}$.
આમ, જરૂરી વોલ્ટેજ આશરે $602 \text{ V}$ છે.

(A) માધ્યમ $A$ માં પ્રકાશની ઝડપ $v_A = f \lambda_A = (5 \times 10^{14} \ Hz) \times (300 \times 10^{-9} \ m) = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ છે.
માધ્યમ $A$ નો નિરપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_A = \frac{c}{v_A} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{1.5 \times 10^8 \ m/s} = 2$ છે.
આપણને ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \frac{4}{5}$ આપેલ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની ઝડપ $v$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(\mu = \frac{c}{v})$,આપણને $\frac{\mu_B}{\mu_A} = \frac{v_A}{v_B}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\mu_B}{2} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\mu_B = 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$.

(A) $p-n$ જંકશનમાં,ડેપ્લેશન રિજન (depletion region) વિદ્યુતભાર વાહકોના પ્રસરણને કારણે રચાય છે.
જંકશનની $p$-બાજુ પર,ઋણ વિદ્યુતભારિત એક્સેપ્ટર આયનો હોય છે,જે ઋણ વિદ્યુતભાર ઘનતા બનાવે છે.
જંકશનની $n$-બાજુ પર,ધન વિદ્યુતભારિત ડોનર આયનો હોય છે,જે ધન વિદ્યુતભાર ઘનતા બનાવે છે.
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ એ $p$-બાજુ પર ઋણ અને $n$-બાજુ પર ધન હોય છે.
જંકશન ઇન્ટરફેસ $(r = 0)$ પર,વિદ્યુતભાર ઘનતા ઋણમાંથી ધનમાં પરિવર્તિત થાય છે.
તેથી,જે આલેખ $p$-બાજુ પર ઋણ વિદ્યુતભાર ઘનતા અને $n$-બાજુ પર ધન વિદ્યુતભાર ઘનતા દર્શાવે છે અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તે સાચો આલેખ છે.
આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં વક્ર $p$-વિસ્તાર માટે $r$-અક્ષની નીચે અને $n$-વિસ્તાર માટે $r$-અક્ષની ઉપર છે.

(B) ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_i$ એ $10 \, V$ ના મહત્તમ મૂલ્ય (peak value) ધરાવતો એસી વોલ્ટેજ છે.
$V_i$ ના ધન અર્ધ-ચક્ર માટે, ઉપરનો ટર્મિનલ નીચેના ટર્મિનલ કરતા ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર છે. આ કિસ્સામાં, ડાયોડ $D_2$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને વહન કરે છે, જ્યારે ડાયોડ $D_1$ રિવર્સ બાયસમાં છે અને ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
સર્કિટ એક વોલ્ટેજ ડિવાઇડરમાં ફેરવાય છે જેમાં $2 \, k\Omega$ નો અવરોધ (જ્યાં $V_0$ માપવામાં આવે છે) અને બીજો $2 \, k\Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
માર્ગમાં કુલ અવરોધ $2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega = 4 \, k\Omega$ છે.
વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $2 \, k\Omega$ ના અવરોધ પર આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_0$:
$V_0 = V_i \times \frac{2 \, k\Omega}{2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega} = V_i \times \frac{2}{4} = \frac{V_i}{2}$.
મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $10 \, V$ હોવાથી, મહત્તમ આઉટપુટ વોલ્ટેજ:
$V_{0, \text{max}} = \frac{10 \, V}{2} = 5 \, V$.

(B) આપેલ છે કે,$R_1 = 1 \text{ k}\Omega = 1000 \text{ } \Omega$,અને ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_z = 6 \text{ V}$ છે.
ધારો કે $I_1$ એ $R_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ છે અને $I_z$ એ ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
$R_1$ એ ઝેનર ડાયોડ સાથે સમાંતર હોવાથી,$R_1$ પરનો વોલ્ટેજ $V_z = 6 \text{ V}$ થશે.
તેથી,$I_1 = \frac{V_z}{R_1} = \frac{6 \text{ V}}{1000 \text{ } \Omega} = 6 \times 10^{-3} \text{ A}$.
આપેલ શરત મુજબ,ઝેનર પ્રવાહ $I_z = 5 I_1 = 5 \times (6 \times 10^{-3} \text{ A}) = 30 \times 10^{-3} \text{ A}$ છે.
સ્ત્રોત $V_s = 30 \text{ V}$ માંથી ખેંચાયેલ કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_z = 6 \times 10^{-3} + 30 \times 10^{-3} = 36 \times 10^{-3} \text{ A}$ છે.
વળી,$R$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_s - V_z = 30 \text{ V} - 6 \text{ V} = 24 \text{ V}$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$R = \frac{V_s - V_z}{I} = \frac{24}{36 \times 10^{-3}} = \frac{24000}{36} \text{ } \Omega = \frac{2000}{3} \text{ } \Omega$.

(A) આપેલ છે કે,કલેક્ટર અવરોધ $R_C = 800 \Omega$ અને તેના પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_R = 0.5 V$ છે.
કલેક્ટર કરંટ $I_C = \frac{V_R}{R_C} = \frac{0.5}{800} = 6.25 \times 10^{-4} A = 0.625 \times 10^{-3} A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કરંટ ગેઈન $\alpha = \frac{I_C}{I_E}$,તેથી એમિટર કરંટ $I_E = \frac{I_C}{\alpha} = \frac{0.625 \times 10^{-3}}{0.96} \approx 6.51 \times 10^{-4} A$.
બેઝ કરંટ $I_B = I_E - I_C = I_C \left( \frac{1}{\alpha} - 1 \right) = I_C \left( \frac{1 - \alpha}{\alpha} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $I_B = 0.625 \times 10^{-3} \times \left( \frac{1 - 0.96}{0.96} \right) = 0.625 \times 10^{-3} \times \left( \frac{0.04}{0.96} \right) = 0.625 \times 10^{-3} \times \frac{1}{24} \approx 0.02604 \times 10^{-3} A = 2.6 \times 10^{-5} A$.

(B) આપેલ છે: $\Delta I_b = 20 \ \mu A = 20 \times 10^{-6} \ A$,$\Delta I_c = 2 \ mA = 2 \times 10^{-3} \ A$,અને $\Delta V_{BE} = 0.04 \ V$.
ઇનપુટ અવરોધ $R_{\text{input}}$ એ બેઝ-એમિટર વોલ્ટેજમાં ફેરફાર અને બેઝ કરંટમાં ફેરફારનો ગુણોત્તર છે:
$R_{\text{input}} = \frac{\Delta V_{BE}}{\Delta I_b} = \frac{0.04}{20 \times 10^{-6}} = \frac{0.04 \times 10^6}{20} = 2 \times 10^3 \ \Omega = 2 \ k\Omega$.
$AC$ કરંટ ગેઇન $\beta$ એ કલેક્ટર કરંટમાં ફેરફાર અને બેઝ કરંટમાં ફેરફારનો ગુણોત્તર છે:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b} = \frac{2 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{2000}{20} = 100$.
આમ,ઇનપુટ અવરોધ $2 \ k\Omega$ છે અને $AC$ કરંટ ગેઇન $100$ છે.

(B) આપેલ છે કે, $V_{CE}=7 \, V$, $\beta=100$, $R_C=2 \, k\Omega = 2000 \, \Omega$, અને $V_{CC}=15 \, V$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોમન એમિટર સર્કિટમાં કરંટ ગેઈન નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{I_C}{I_B} \dots (i)$
આઉટપુટ લૂપ (કલેક્ટર-એમિટર લૂપ) માં કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V_{CC} - I_C R_C - V_{CE} = 0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$15 - I_C(2000) - 7 = 0$
$8 = I_C(2000)$
$I_C = \frac{8}{2000} \, A = 4 \times 10^{-3} \, A = 4 \, mA \dots (ii)$
હવે, સમીકરણ $(ii)$ માંથી $I_C$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$100 = \frac{4 \, mA}{I_B}$
$I_B = \frac{4}{100} \, mA = 0.04 \, mA$.

(A) આપેલ છે, કરંટ ગેઈન, $\alpha = 0.96$.
એમિટર કરંટ, $I_E = 7.2 \,mA = 7.2 \times 10^{-3} \,A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે, $\alpha = I_C / I_E$.
તેથી, $I_C = \alpha \times I_E = 0.96 \times 7.2 \,mA = 6.912 \,mA$.
વળી, એમિટર, કલેક્ટર અને બેઝ કરંટ વચ્ચેનો સંબંધ $I_E = I_C + I_B$ છે.
આમ, $I_B = I_E - I_C = 7.2 \,mA - 6.912 \,mA = 0.288 \,mA \approx 0.29 \,mA$.

(B) સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે જો ઇનપુટ $A$ અથવા ઇનપુટ $B$ (અથવા બંને) માંથી કોઈ પણ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $X$ એ $1$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $X = A + B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જે લોજિક ગેટ આ ઓપરેશન કરે છે તેને $OR$ ગેટ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વેવફોર્મ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

સમયગાળો	$A$	$B$	$Y$
$t_1-t_2$	$0$	$0$	$1$
$t_2-t_3$	$0$	$1$	$1$
$t_3-t_4$	$1$	$0$	$1$
$t_4-t_5$	$1$	$1$	$0$

ટ્રુથ ટેબલ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $0$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ નું મૂલ્ય $1$ હોય. બાકીના તમામ કિસ્સાઓમાં આઉટપુટ $1$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ ને અનુરૂપ છે.
આ $NAND$ ગેટનું લાક્ષણિક ટ્રુથ ટેબલ છે.

(C) આપેલી આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આ ફૂલ-વેવ રેક્ટિફાયર છે.
ફૂલ-વેવ રેક્ટિફાયર માટે,આઉટપુટ કરંટ પ્રથમ અર્ધ-ચક્ર માટે $I = I_0 \sin(\omega t)$ અને બીજા અર્ધ-ચક્ર માટે (રેક્ટિફિકેશનને કારણે) $I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર $T$ પર કરંટનું સરેરાશ મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$I_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I(t) dt$
ફૂલ-વેવ રેક્ટિફાયર માટે,સમયગાળો $T/2$ છે. સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$I_{\text{avg}} = \frac{1}{T/2} \int_{0}^{T/2} I_0 \sin(\omega t) dt$
$I_{\text{avg}} = \frac{2}{T} \cdot I_0 \left[ -\frac{\cos(\omega t)}{\omega} \right]_{0}^{T/2}$
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી:
$I_{\text{avg}} = \frac{2 I_0}{T} \cdot \frac{T}{2\pi} [-\cos(\pi) + \cos(0)]$
$I_{\text{avg}} = \frac{I_0}{\pi} [1 + 1] = \frac{2 I_0}{\pi}$

(B) આંતરિક અર્ધવાહકની વાહકતા $\sigma = n_i e (\mu_e + \mu_h)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $n_i = 2.5 \times 10^{19} \ m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$\mu_e = 0.39 \ m^2/V\cdot s$,અને $\mu_h = 0.19 \ m^2/V\cdot s$.
$\sigma = (2.5 \times 10^{19}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (0.39 + 0.19) = 4 \times 0.58 = 2.32 \ \Omega^{-1}m^{-1}$.
અવરોધકતા $\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{2.32} \ \Omega\cdot m$.
અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$.
અહીં $L = 0.925 \ cm = 9.25 \times 10^{-3} \ m$ અને $A = 1 \ mm^2 = 10^{-6} \ m^2$.
$R = \frac{1}{2.32} \times \frac{9.25 \times 10^{-3}}{10^{-6}} = \frac{9250}{2.32} \approx 3987 \ \Omega \approx 4.0 \ k\Omega$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય બળ અને નબળું ન્યુક્લિયર બળ એ પ્રકૃતિના ચાર મૂળભૂત બળોમાંના બે છે.
એવું સૂચન કરવામાં આવ્યું હતું કે આ બંને બળોને એક જ આંતરક્રિયામાં એકીકૃત કરી શકાય છે જેને ઇલેક્ટ્રોવીક આંતરક્રિયા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ સૈદ્ધાંતિક એકીકરણ ત્રણ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ: શેલ્ડન ગ્લાશો,સ્ટીવન વેઈનબર્ગ અને અબ્દુસ સલામ દ્વારા સફળતાપૂર્વક પ્રાપ્ત કરવામાં આવ્યું હતું.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી,સલામ એ સાચો જવાબ છે.

(C) સર સી.વી. રામનને $1930$ માં પ્રકાશના પ્રકીર્ણન પરના તેમના પાયાના કાર્ય માટે ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં નોબેલ પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો હતો,જેને હવે રામન ઇફેક્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેમણે શોધ્યું હતું કે જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ કોઈ પારદર્શક માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રકાશનો એક નાનો ભાગ આપાત દિશા સિવાયની અન્ય દિશાઓમાં વિખેરાઈ જાય છે,અને આ પ્રકીર્ણન પામેલા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ અને આવૃત્તિમાં ફેરફાર થાય છે.

(C) આપેલ છે કે પરમાણુ દળ $= 1 \text{ amu} = 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}$.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સંબંધ $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$E = (1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2 = 1.494 \times 10^{-11} \text{ J}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \text{ J}$.
તેથી,$E = \frac{1.494 \times 10^{-11} \text{ J}}{1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}} \approx 931 \text{ MeV}$.
આમ,$1 \text{ amu}$ એ $931 \text{ MeV}$ ઊર્જાને સમકક્ષ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું ઉત્પાદન,પ્રસરણ અને શોધ એ વાયરલેસ કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમનો પાયાનો સિદ્ધાંત છે. રેડિયો અને ટેલિવિઝન પ્રસારણ સંપૂર્ણપણે અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પ્રસારણ પર આધારિત છે,જે ત્યારબાદ રીસીવરો દ્વારા શોધીને તેને ફરીથી ઓડિયો અને વિઝ્યુઅલ સિગ્નલોમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. તેથી,રેડિયો અને ટેલિવિઝન આ સિદ્ધાંતો પર આધારિત છે.

(B) “The Evolution of Physics” પુસ્તક (જે ભૌતિકવિજ્ઞાનના સાહિત્યના સંદર્ભમાં જાણીતું છે) આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન અને લિયોપોલ્ડ ઇન્ફેલ્ડ દ્વારા સહ-લેખિત હતું. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન સાચા લેખક છે.

(B) પહોળાઈની સિંગલ સ્લિટ માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$a \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \lambda \Rightarrow a(0.5) = \lambda \Rightarrow a = 2 \lambda$.
$n$ માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta' = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે,આપણે $n=1$ લઈએ છીએ.
સમીકરણમાં $a = 2 \lambda$ અને $n=1$ મૂકતા:
$(2 \lambda) \sin \theta' = (1 + \frac{1}{2}) \lambda$
$2 \sin \theta' = \frac{3}{2}$
$\sin \theta' = \frac{3}{4}$
$\theta' = \sin^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$.

(C) સમતલ ટ્રાન્સમિશન ગ્રેટિંગ માટે,$n$ માં ક્રમના વિવર્તન મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $d$ એ ગ્રેટિંગ અચળાંક છે,$\theta$ એ વિવર્તન કોણ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
સંબંધ $\sin \theta = \frac{n \lambda}{d}$ પરથી,તે સ્પષ્ટ છે કે નિશ્ચિત ક્રમ $n$ અને ગ્રેટિંગ અચળાંક $d$ માટે,વિવર્તન કોણ $\theta$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,નાના ખૂણાઓ માટે $\theta \propto \lambda$).
જ્યારે ઉદગમને ટૂંકી તરંગલંબાઇ ધરાવતા બીજા ઉદગમ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે $\lambda$ નું મૂલ્ય ઘટે છે. પરિણામે,$\sin \theta$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ ક્રમો $(n=1, 2, 3)$ માટે વિવર્તન કોણ $\theta$ ઘટે છે.
$O$ પરનું સીધું પ્રતિબિંબ ($0$ મો ક્રમ) સ્થિર રહે છે કારણ કે $n=0$ માટે $\sin \theta = 0$ થાય છે,તરંગલંબાઇ ગમે તે હોય. જો કે,વિવર્તિત પ્રતિબિંબો $A, B$ અને $C$ તેમના વિવર્તન કોણ ઘટવાને કારણે મધ્યસ્થ મહત્તમ $O$ ની નજીક આવશે.
તેથી,પ્રતિબિંબો $C, B$ અને $A$ એ $O$ તરફ ખસશે.