AP EAMCET 2013 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) બે વર્તુળો $S_1 = x^2+y^2+4x-6y+c=0$ અને $S_2 = x^2+y^2-6x+4y-12=0$ ની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+4x-6y+c) - (x^2+y^2-6x+4y-12) = 0$
$10x - 10y + c + 12 = 0$
કારણ કે પ્રથમ વર્તુળ બીજા વર્તુળના પરિઘને દુભાગે છે,તેથી સામાન્ય જીવા બીજા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, -2)$ છે.
સામાન્ય જીવાના સમીકરણમાં $(3, -2)$ મૂકતા:
$10(3) - 10(-2) + c + 12 = 0$
$30 + 20 + c + 12 = 0$
$62 + c = 0$
$c = -62$

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-16x-12y+64=0$ છે. કેન્દ્ર $(8, 6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 6$ છે.
$(i)$ $(-5, 1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ: $x(-5)+y(1)-8(x-5)-6(y+1)+64=0 \Rightarrow 13x+5y=98$. જે $(D)$ સાથે બંધબેસે છે.
$(ii)$ $(8, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $x(8)+y(0)-8(x+8)-6(y+0)+64=0 \Rightarrow y=0$. જે $(A)$ સાથે બંધબેસે છે.
$(iii)$ $(2, 6)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ: તે કેન્દ્ર $(8, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y=6$. જે $(B)$ સાથે બંધબેસે છે.
$(iv)$ $(8, 12)$ માંથી પસાર થતા વ્યાસનું સમીકરણ: તે કેન્દ્ર $(8, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=8$. જે $(E)$ સાથે બંધબેસે છે.
આમ,સાચી જોડ $(i)-(D), (ii)-(A), (iii)-(B), (iv)-(E)$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$,જે $a = 2$ આપે છે.
ધારો કે જીવા $y = mx + c$ છે.
રેખા $y = mx + c$ અને પરવલય $y^2 = 8x$ ના છેદબિંદુઓ $x = (y - c)/m$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા મળે છે: $my^2 - 8y + 8c = 0$.
ધારો કે બિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ છે. તો $y_1 + y_2 = 8/m$ અને $y_1y_2 = 8c/m$.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ છે.
જીવાને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 4$ છે.
વર્તુળના કેન્દ્રથી પરવલયની અક્ષ $(y = 0)$ સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા $4$ જેટલું છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $4$ (અથવા $-4$) છે.
આમ,$\frac{y_1+y_2}{2} = 4 \Rightarrow y_1 + y_2 = 8$.
કારણ કે $y_1 + y_2 = 8/m$,તેથી $8/m = 8$,જેનો અર્થ છે કે $m = 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{(1-2 x)^{-1}(1-3 x)^{-2}}{(1-4 x)^{-3}}$ છે.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+ax)^n \approx 1+nax$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-2 x)^{-1} \approx 1 + 2x$.
$(1-3 x)^{-2} \approx 1 + 6x$.
$(1-4 x)^{-3} \approx 1 + 12x$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E \approx \frac{(1+2x)(1+6x)}{1+12x} = \frac{1 + 8x + 12x^2}{1+12x}$.
$x^2$ અને તેનાથી મોટી ઘાતોને અવગણતા:
$E \approx \frac{1+8x}{1+12x} = (1+8x)(1+12x)^{-1}$.
ફરીથી દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$E \approx (1+8x)(1-12x) = 1 - 12x + 8x - 96x^2$.
$x^2$ ને અવગણતા:
$E \approx 1 - 4x$.

(A) શંકુ $S=0$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે.
આપેલ ઉપવલય: $S: x^2+4y^2-2x+20y=0$.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (2, -4)$.
$T = x(2) + 4y(-4) - (x+2) + 10(y-4) = 2x - 16y - x - 2 + 10y - 40 = x - 6y - 42$.
$S_1 = (2)^2 + 4(-4)^2 - 2(2) + 20(-4) = 4 + 64 - 4 - 80 = -16$.
$T=S_1$ લેતા:
$x - 6y - 42 = -16$.
$x - 6y = 26$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે. અહીં $a^2=25$ અને $b^2=16$ છે.
ઉપવલય માટે,$b^2=a^2(1-e^2)$,તેથી $16=25(1-e^2)$,જે $e^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ આપે છે,તેથી $e=\frac{3}{5}$.
ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે. અહીં $a^2=4$,તેથી $a=2$.
અતિવલયની નાભિઓ ઉપવલયની નાભિઓ સાથે સંપાતી હોવાથી,અતિવલયની નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,નાભિઓ $(\pm ae_1, 0)$ છે,તેથી $ae_1=3$. $a=2$ હોવાથી,$2e_1=3$,જેનો અર્થ છે $e_1=\frac{3}{2}$.
અતિવલય માટે,$b^2=a^2(e_1^2-1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2=4((\frac{3}{2})^2-1) = 4(\frac{9}{4}-1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$.
આમ,$b^2=5$.

(B) આપેલ છે કે $x=9$ એ અતિવલય $x^2-y^2=9$ ની સ્પર્શકની જીવા છે.
$x=9$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$81-y^2=9$
$y^2=72$
$y = \pm 6\sqrt{2}$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુઓ $(9, 6\sqrt{2})$ અને $(9, -6\sqrt{2})$ છે.
$x^2-y^2=9$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
બિંદુ $(9, 6\sqrt{2})$ આગળ ઢાળ $m = \frac{9}{6\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
બિંદુ $(9, 6\sqrt{2})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - 6\sqrt{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9) \implies 3x - 2\sqrt{2}y - 3 = 0$.
બિંદુ $(9, -6\sqrt{2})$ આગળ ઢાળ $m = -\frac{3}{2\sqrt{2}}$.
બિંદુ $(9, -6\sqrt{2})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y + 6\sqrt{2} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9) \implies 3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપણી પાસે લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^3 x-\sin ^3 x}{x^5}$ છે.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$ અને $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$.
અંશનું અવયવીકરણ કરતા: $\tan^3 x - \sin^3 x = (\tan x - \sin x)(\tan^2 x + \tan x \sin x + \sin^2 x)$.
હવે,$\tan x - \sin x = \sin x (\sec x - 1) = \sin x \cdot \frac{2 \sin^2(x/2)}{\cos x}$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $\sin x \approx x$,$\sin(x/2) \approx x/2$,અને $\cos x \approx 1$.
તેથી,$\tan x - \sin x \approx x \cdot \frac{2(x/2)^2}{1} = \frac{x^3}{2}$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\frac{x^3}{2})(\tan^2 x + \tan x \sin x + \sin^2 x)}{x^5}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^2 x + \tan x \sin x + \sin^2 x}{x^2}$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી:
$L = \frac{1}{2} (1^2 + 1 \cdot 1 + 1^2) = \frac{1}{2} (3) = \frac{3}{2}$.

(B) $PHBV$ અને $Dextron$ એ બાયોડિગ્રેડેબલ પોલિમરના ઉદાહરણો છે.
બાયોડિગ્રેડેબલ પોલિમર એવા પોલિમર છે જે ઉત્સેચકીય જળવિભાજન અને ઓક્સિડેશન દ્વારા સમય જતાં વિઘટિત થાય છે.
$PHBV$ (Poly-$\beta$-hydroxybutyrate-co-$\beta$-hydroxyvalerate) નો ઉપયોગ ઓર્થોપેડિક ઉપકરણો અને નિયંત્રિત દવા મુક્તિમાં થાય છે.
$Dextron$ (ગ્લાયકોલિક એસિડ અને લેક્ટિક એસિડનો કોપોલિમર) નો ઉપયોગ સર્જરી પછી ઘા સીવવા માટે થાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $PHBV$ અને $Dextron$ છે.

(B) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ ગણ $\{1, 2, \ldots, m\}$ પર અસતત સમાન વિતરણ અનુસરે છે.
મધ્યક $\bar{X} = E[X] = \sum_{n=1}^{m} n \cdot P(X=n) = \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} n = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m+1}{2}$.
વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ દ્વારા મળે છે.
$E[X^2] = \sum_{n=1}^{m} n^2 \cdot P(X=n) = \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} n^2 = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} = \frac{(m+1)(2m+1)}{6}$.
તેથી,$\operatorname{Var}(X) = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \left(\frac{m+1}{2}\right)^2 = \frac{m^2-1}{12}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$.
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$.
$\frac{a+b+2c}{ab+ac+bc+c^2} = \frac{3}{a+b+c}$.
ગુણાકાર કરતા: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab+ac+bc+c^2)$.
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$.
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$.
$a^2 + b^2 - ab = c^2$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા: $a^2 + b^2 - ab = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
$-ab = -2ab \cos C$.
$\cos C = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\angle C = 60^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે,$\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$.
ડાબી બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
ગુણાકાર કરતા:
$(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
બંને બાજુથી $3ac + 3bc$ બાદ કરતા:
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$:
$\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
તેથી,$C = 60^{\circ}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
$r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1$ પદમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$
$= \frac{\Delta^2(s-c + s-a + s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)}$
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$s-a+s-b+s-c = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ મળે.
વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,તેથી $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\Delta^2 \cdot s}{\frac{\Delta^2}{s}} = s^2$
$r = \frac{\Delta}{s}$ હોવાથી,$s = \frac{\Delta}{r}$ થાય,તેથી $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક $A$ એ સમીકરણ $x^2 + 4x - p = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી $A^2 + 4A - pI = 0$ થાય,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-8)(-8) + (5)(2) & (-8)(5) + (5)(4) \\ (2)(-8) + (4)(2) & (2)(5) + (4)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 + 10 & -40 + 20 \\ -16 + 8 & 10 + 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix}$.
હવે,$4A$ ની ગણતરી કરીએ:
$4A = 4 \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix}$.
હવે,આ કિંમતોને $A^2 + 4A - pI = 0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરતા:
$\begin{bmatrix} 74 - 32 - p & -20 + 20 - 0 \\ -8 + 8 - 0 & 26 + 16 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} 42 - p & 0 \\ 0 & 42 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $42 - p = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = 42$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A$ ના ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
અવલોકન કરતા,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,વિકલ્પ $A$ તપાસીએ: $nA - (n-1)I = n \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - (n-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n & n \\ 0 & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n-(n-1) & n-0 \\ 0-0 & n-(n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = A^n$.
આમ,સાચો સંબંધ $A^n = nA - (n-1)I$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+5 \\ x+4 & x+6 & x+9 \\ x+8 & x+11 & x+15\end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & 8 & 10\end{array}\right|$.
હવે,$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 4\end{array}\right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (x+2)(4-4) - 1(8-12) + 3(4-6)$
$\Delta = (x+2)(0) - 1(-4) + 3(-2)$
$\Delta = 0 + 4 - 6 = -2$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$3x + 2y + z = 6$
$3x + 4y + 3z = 14$
$6x + 10y + 8z = a$
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 6 & 10 & 8 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 3(32 - 30) - 2(24 - 18) + 1(30 - 24) = 3(2) - 2(6) + 6 = 6 - 12 + 6 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,સિસ્ટમને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે.
અનંત ઉકેલો માટે,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ હોવું જોઈએ.
$A$ નો સહઅવયવ શ્રેણિક:
$C_{11} = 2, C_{12} = -6, C_{13} = 6$
$C_{21} = -6, C_{22} = 18, C_{23} = -18$
$C_{31} = 2, C_{32} = -6, C_{33} = 6$
તેથી,$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix}$.
હવે,$(\text{adj } A) \cdot B = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a - 72 \\ 216 - 6a \\ 6a - 216 \end{bmatrix}$.
આને શૂન્ય સદિશ સાથે સરખાવતા,$2a - 72 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = 36$.

(C) આપણે સૂત્ર $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} (AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ છે કે $\cos ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\cos ^{-1} x$.
અહીં $A = \frac{5}{13}$ અને $B = \frac{3}{5}$ છે.
તેથી $\sqrt{1-A^2} = \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
અને $\sqrt{1-B^2} = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} - \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{-33}{65} \right)$.
તેથી,$x = \frac{-33}{65}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $|x| > 1$ માટે $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ થાય છે.
તેથી,$\operatorname{coth}^{-1}(2) = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\operatorname{coth}^{-1}(2) = \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
સૂત્ર $\tanh ^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right)$.
$= \log \left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \log 3$.

(D) લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,તેનો આર્ગ્યુમેન્ટ $0$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
$(1.6)^{1-x^2} - (0.625)^{6(1+x)} > 0$
$(1.6)^{1-x^2} > (0.625)^{6(1+x)}$
અહીં $1.6 = \frac{8}{5}$ અને $0.625 = \frac{5}{8} = (\frac{8}{5})^{-1}$ હોવાથી:
$(\frac{8}{5})^{1-x^2} > (\frac{8}{5})^{-6(1+x)}$
આધાર $\frac{8}{5} > 1$ હોવાથી,અસમતાની દિશા બદલાશે નહીં:
$1 - x^2 > -6(1 + x)$
$x^2 - 6x - 7 < 0$
$(x - 7)(x + 1) < 0$
તેથી,$x \in (-1, 7)$.

(D) આપેલ છે કે,$f(x)=\cos \left(\frac{x}{3}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(ax)$ અને $\sin(ax)$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{|a|}$ છે.
પદ $\cos \left(\frac{x}{3}\right)$ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ થાય.
પદ $\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ માટે,આવર્તકાળ $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ થાય.
બે આવર્તિય વિધેયોના સરવાળાનો આવર્તકાળ તેમના વ્યક્તિગત આવર્તકાળનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ હોય છે.
તેથી,$f(x)$ નો આવર્તકાળ = $\text{LCM}(6\pi, 4\pi)$.
અહીં $6\pi = 2 \times 3\pi$ અને $4\pi = 2 \times 2\pi$ હોવાથી,$\text{LCM}(6\pi, 4\pi) = 12\pi$ થાય.
આમ,$f(x)$ નો આવર્તકાળ $12\pi$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$f(x) = (p - x^n)^{1/n}$,જ્યાં $p > 0$.
$f[f(x)]$ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ને વિધેય $f$ માં મૂકીશું:
$f[f(x)] = f((p - x^n)^{1/n})$
$= (p - ((p - x^n)^{1/n})^n)^{1/n}$
$= (p - (p - x^n))^{1/n}$
$= (p - p + x^n)^{1/n}$
$= (x^n)^{1/n}$
$= x$

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ છે,જ્યાં $x, y \in R$.
આ ગુણધર્મનું પાલન કરતું સતત વિધેય $f(x) = a^x$ સ્વરૂપનું હોય છે.
આપેલ છે કે $f(2) = 9$,તેથી $a^2 = 9$.
વિધેય $f$ શૂન્યતર હોવાથી,$a^2 = 3^2$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
આમ,$f(x) = 3^x$.
હવે,$f(6)$ શોધવા માટે:
$f(6) = 3^6$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = \frac{x}{x+1}$.
તેથી $g(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{f(x)}} = \frac{1}{1+\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+x+1}{x}} = \frac{x}{2x+1}$.
$g^{\prime}(x)$ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું: $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u^{\prime} - u v^{\prime}}{v^2}$.
$g^{\prime}(x) = \frac{(2x+1)(1) - x(2)}{(2x+1)^2} = \frac{2x+1-2x}{(2x+1)^2} = \frac{1}{(2x+1)^2}$.
$x = 2$ મૂકતા,આપણને $g^{\prime}(2) = \frac{1}{(2(2)+1)^2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=2$
$\sqrt{xy}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $y+x=2\sqrt{xy}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x+y)^2 = (2\sqrt{xy})^2$
$x^2+y^2+2xy = 4xy$
$x^2+y^2-2xy = 0$
$(x-y)^2 = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x-y=0$,અથવા $y=x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$

(D) ધારો કે $f(x) = (x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$.
$(x-1)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^8-1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{x^{16}-1}{x-1}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^{16}-1}{x-1} \right] = \frac{(x-1)(16x^{15}) - (x^{16}-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{16x^{16} - 16x^{15} - x^{16} + 1}{(x-1)^2} = \frac{15x^{16} - 16x^{15} + 1}{(x-1)^2}$.
આને આપેલ પદ $\left(15 x^p-16 x^q+1\right)(x-1)^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p=16$ અને $q=15$ મળે છે.
તેથી,$(p, q) = (16, 15)$.

(A) આપેલ સંબંધ $p V^{1/4} = C$ છે,જ્યાં $C$ અચળાંક છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln p + \frac{1}{4} \ln V = \ln C$.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{p} \frac{dp}{dV} + \frac{1}{4V} = 0$.
આનાથી મળે છે: $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} \frac{dV}{V}$.
આપણને આપેલ છે કે કદમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{dV}{V} \times 100 = -\frac{1}{2} \%$ છે.
આ કિંમતને વિકલન સંબંધમાં મૂકતા: $\frac{dp}{p} \times 100 = -\frac{1}{4} \left( \frac{dV}{V} \times 100 \right)$.
$\frac{dp}{p} \times 100 = -\frac{1}{4} \left( -\frac{1}{2} \% \right) = \frac{1}{8} \%$.
આમ,દબાણમાં થતો પ્રતિશત વધારો $\frac{1}{8} \%$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{2}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ $(i)$
બંને બાજુ વિકલન લેતા:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} dv + \frac{1}{u^2} du$
આપેલ છે કે $u$ અને $v$ માં ભૂલો $p$ છે,તેથી $dv = p$ અને $du = p$.
આ કિંમતોને વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} p + \frac{1}{u^2} p$
$-\frac{2}{f^2} df = p \left( \frac{1}{u^2} - \frac{1}{v^2} \right)$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{2}{f^2} df = p \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{v} \right) \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\frac{1}{u} - \frac{1}{v} = -\frac{2}{f}$. આ કિંમત મૂકતા:
$-\frac{2}{f^2} df = p \left( -\frac{2}{f} \right) \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$
બંને બાજુ $-\frac{2}{f}$ વડે ભાગતા:
$\frac{df}{f} = p \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$
આમ,$f$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $p \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$ છે.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરના પાયા $(B)$ થી બિંદુ $A$ નું અંતર $x$ છે.
$\triangle ABD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow h = x \sqrt{3}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
વ્યક્તિ $AB$ ને લંબ દિશામાં $60 \ m$ ચાલીને બિંદુ $C$ પર પહોંચે છે. તેથી,$AC = 60 \ m$ અને $\angle CAB = 90^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,$C$ થી પાયા $B$ સુધીનું અંતર $CB = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{60^2 + x^2}$ છે.
$\triangle CBD$ માં,ઉત્સેધકોણ $45^{\circ}$ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = \frac{h}{CB} = 1$.
તેથી,$h = CB = \sqrt{3600 + x^2} \Rightarrow h^2 = 3600 + x^2$.
$x^2 = \frac{h^2}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $h^2 = 3600 + \frac{h^2}{3}$.
$\frac{2h^2}{3} = 3600 \Rightarrow h^2 = 1800 \times 3 = 5400$.
$h = \sqrt{5400} = \sqrt{900 \times 6} = 30 \sqrt{6} \ m$.

(B) ધારો કે $I_1 = \int \frac{d x}{x(\log x-2)(\log x-3)}$.
$t = \log x$ આદેશ લેતા,$d t = \frac{1}{x} d x$ મળે.
તેથી સંકલન $I_1 = \int \frac{d t}{(t-2)(t-3)}$ થશે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(t-2)(t-3)} = \frac{1}{t-3} - \frac{1}{t-2}$.
તેથી $I_1 = \int \left( \frac{1}{t-3} - \frac{1}{t-2} \right) d t$.
$I_1 = \log |t-3| - \log |t-2| + C = \log \left| \frac{t-3}{t-2} \right| + C$.
$t = \log x$ પાછું મૂકતા,$I = \log \left| \frac{\log x - 3}{\log x - 2} \right|$ મળે.

(D) ધારો કે $I = \int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \frac{2 + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{2}{2\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલન સ્વરૂપ $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ છે.
અહીં,$f(x) = \tan x$ લેતા,$f'(x) = \sec^2 x$ મળે છે.
તેથી,$I = e^x \tan x + C$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_1^3 \frac{dx}{2+3x}$ છે. અહીં,$n = 2$ અને અંતરાલ $[1, 3]$ ને $n=2$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
સ્ટેપ સાઈઝ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{3-1}{2} = 1$.
$x$ ના મૂલ્યો $x_0 = 1, x_1 = 2, x_2 = 3$ છે.
$y = f(x) = \frac{1}{2+3x}$ માટે અનુરૂપ મૂલ્યો છે:
$y_0 = f(1) = \frac{1}{5} = 0.2$
$y_1 = f(2) = \frac{1}{8} = 0.125$
$y_2 = f(3) = \frac{1}{11} \approx 0.0909$
સિમ્પસનના નિયમ મુજબ: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + 4y_1 + y_2]$.
કિંમતો મૂકતા: $I \approx \frac{1}{3} [0.2 + 4(0.125) + 0.0909] = \frac{1}{3} [0.2 + 0.5 + 0.0909] = \frac{0.7909}{3} \approx 0.2636$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{29}{110} \approx 0.2636$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં કાચના લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5$ અને માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_m = 1.75$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5}{1.75} - 1 \right) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5 - 1.75}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{-0.25}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$
$f = +3.5 R$
કેન્દ્રલંબાઈની ધન નિશાની દર્શાવે છે કે લેન્સ અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(B) આઈપીસ માટે,પ્રતિબિંબ અંતર $v_e = -25 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f_e = 5 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{6}{25} \Rightarrow u_e = -\frac{25}{6} \ cm$.
ઓબ્જેક્ટિવ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબનું ઓબ્જેક્ટિવથી અંતર $v_0 = L - |u_e| = 10.5 - \frac{25}{6} = \frac{63-25}{6} = \frac{38}{6} \ cm$ થાય.
ઓબ્જેક્ટિવ માટે,$f_0 = 1.9 \ cm$ અને $v_0 = \frac{38}{6} \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_0} - \frac{1}{u_0} = \frac{1}{f_0}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{38/6} - \frac{1}{u_0} = \frac{1}{1.9} \Rightarrow \frac{6}{38} - \frac{1}{u_0} = \frac{10}{19} \Rightarrow \frac{3}{19} - \frac{10}{19} = \frac{1}{u_0}$.
$\frac{1}{u_0} = -\frac{7}{19} \Rightarrow u_0 = -\frac{19}{7} \approx -2.71 \ cm$.
આમ,વસ્તુને ઓબ્જેક્ટિવથી $2.7 \ cm$ અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(A) વિષમીકરણ પ્રક્રિયા એ રેડોક્ષ પ્રક્રિયાનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જેમાં એક જ તત્વ એક જ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં એકસાથે ઓક્સિડેશન અને રિડક્શન પામે છે.
પ્રક્રિયા $3Cl_{2\text{(g)}} + 6OH^-{_{\text{(aq)}}} \rightarrow ClO_3^-{_{\text{(aq)}}} + 5Cl^-{_{\text{(aq)}}} + 3H_2O_{\text{(l)}}$ માં,ક્લોરિનની ઓક્સિડેશન અવસ્થા $Cl_2$ માં $0$ થી બદલાઈને $Cl^-$ માં $-1$ (રિડક્શન) અને $ClO_3^-$ માં $+5$ (ઓક્સિડેશન) થાય છે. તેથી,આ એક વિષમીકરણ પ્રક્રિયા છે.

(C) જ્યારે ક્લોરોફોર્મ $(CHCl_3)$ ને જલીય સોડિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડ $(NaOH)$ સાથે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું જળવિભાજન થઈને અસ્થાયી મધ્યવર્તી સંયોજન,મિથેનટ્રાયોલ $(HC(OH)_3)$ બને છે.
આ મધ્યવર્તી સંયોજન પાણીનો એક અણુ ગુમાવીને ફોર્મિક એસિડ $(HCOOH)$ બનાવે છે.
ત્યારબાદ ફોર્મિક એસિડ બાકી રહેલા $NaOH$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને સોડિયમ ફોર્મેટ $(HCOONa)$ બનાવે છે.
સમગ્ર પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $CHCl_3 + 4NaOH \rightarrow HCOONa + 3NaCl + 2H_2O$.

(C) ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો પ્રવાહ ગેઇન $\beta$ એ કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ પ્રવાહમાં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$.
આપેલ છે:
બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_B = 140 \mu A - 45 \mu A = 95 \mu A = 95 \times 10^{-6} \text{ A}$.
કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_C = 4.0 \text{ mA} - 0.2 \text{ mA} = 3.8 \text{ mA} = 3.8 \times 10^{-3} \text{ A}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{3.8 \times 10^{-3}}{95 \times 10^{-6}} = \frac{3800 \times 10^{-6}}{95 \times 10^{-6}} = 40$.
તેથી,પ્રવાહ ગેઇન $40$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2i+3j+4k$,$\vec{b} = 3i+4j+2k$,અને $\vec{c} = 4i+2j+3k$ છે.
બાજુઓના સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (3-2)i + (4-3)j + (2-4)k = i + j - 2k$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (4-3)i + (2-4)j + (3-2)k = i - 2j + k$.
$\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = (2-4)i + (3-2)j + (4-3)k = -2i + j + k$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$.
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.
અહીં $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = \sqrt{6}$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $AB$ અને $AC$ ના દિકગુણોત્તરો અનુક્રમે $\vec{v_1} = \langle 1, -1, -1 \rangle$ અને $\vec{v_2} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ છે.
રેખાઓ $AB$ અને $AC$ સમતલ $ABC$ માં આવેલી હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આ રેખાઓની દિશામાં રહેલા સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-1 - (-2))$
$\vec{n} = \hat{i}(-2) - \hat{j}(3) + \hat{k}(1)$
$\vec{n} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
આમ,અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $\langle -2, -3, 1 \rangle$ છે. તેને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\langle 2, 3, -1 \rangle$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(-1, 2, 3)$ છે,તેથી સમીકરણ $a(x+1) + b(y-2) + c(z-3) = 0$ થશે.
અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા $\alpha$ બનાવે છે,તેથી દિકકોસાઇન $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,તેથી $3 \cos^2 \alpha = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ ને $\langle 1, 1, 1 \rangle$ તરીકે લઈ શકાય.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $1(x+1) + 1(y-2) + 1(z-3) = 0$.
સાદુરૂપ આપતા,$x + 1 + y - 2 + z - 3 = 0$,જે $x + y + z - 4 = 0$ આપે છે.

(B) ધારો કે ચલ સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ છે,જ્યાં $(a, b, c)$ એ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો છે.
ધારો કે $P(x_0, y_0, z_0)$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરનો લંબપાદ છે.
સદિશ $\vec{OP} = (x_0, y_0, z_0)$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી તે અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ને સમાંતર છે.
આમ,આપણે કોઈ અચળાંક $k$ માટે $(a, b, c) = k(x_0, y_0, z_0)$ લખી શકીએ.
જેમ કે $P$ સમતલ પર આવેલું છે,તે સમીકરણનું પાલન કરે છે: $x_0(x_0 - 1) + y_0(y_0 - 2) + z_0(z_0 - 3) = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x_0^2 - x_0 + y_0^2 - 2y_0 + z_0^2 - 3z_0 = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(x_0^2 - x_0 + \frac{1}{4}) + (y_0^2 - 2y_0 + 1) + (z_0^2 - 3z_0 + \frac{9}{4}) = \frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} = 3.5$ મળે છે.
આ કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2})$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{3.5}$ ધરાવતા ગોલકનું સમીકરણ છે.

(C) $8$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ છે.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે જ્યાં $x < y$. આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે નાની સંખ્યા $x$ એ $4$ કરતા ઓછી હોય,એટલે કે $x \in \{1, 2, 3\}$.
કિસ્સો $I$: જો $x = 1$ હોય,તો $y$ બાકીની $7$ સંખ્યાઓ $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે. રીતોની સંખ્યા $= 7$.
કિસ્સો $II$: જો $x = 2$ હોય,તો $y$ બાકીની $6$ સંખ્યાઓ $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે. રીતોની સંખ્યા $= 6$.
કિસ્સો $III$: જો $x = 3$ હોય,તો $y$ બાકીની $5$ સંખ્યાઓ $\{4, 5, 6, 7, 8\}$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે. રીતોની સંખ્યા $= 5$.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 7 + 6 + 5 = 18$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{18}{28} = \frac{9}{14}$.

(D) કુલ શક્ય પરિણામો,$n(S) = 6 \times 6 = 36$.
સરવાળો $\ge 10$ હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામો:
$E = [(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)]$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા,$n(E) = 6$.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળે છે. થેલીમાં કુલ $2n+1$ સિક્કા છે.
$n$ સિક્કાઓ એવા છે જેની બંને બાજુ છાપ છે (પક્ષપાતી) અને $n+1$ સિક્કા સામાન્ય છે.
પક્ષપાતી સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B) = \frac{n}{2n+1}$ છે અને સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(F) = \frac{n+1}{2n+1}$ છે.
જો પક્ષપાતી સિક્કો પસંદ કરવામાં આવે,તો છાપ મળવાની સંભાવના $1$ છે.
જો સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવામાં આવે,તો છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(H) = P(H|B)P(B) + P(H|F)P(F)$
$\frac{31}{42} = (1) \times \frac{n}{2n+1} + \left(\frac{1}{2}\right) \times \frac{n+1}{2n+1}$
$\frac{31}{42} = \frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{3n+1}{4n+2}$
$31(4n+2) = 42(3n+1)$
$124n + 62 = 126n + 42$
$20 = 2n$
$n = 10$

(A) ક્લોઝ પેક્ડ રચના ($hcp$ અથવા $ccp$) માં:
$(i)$ અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = ક્લોઝ પેકિંગમાં હાજર કણોની સંખ્યા $(N)$.
(ii) ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $2 \times$ અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા.
અહીં '$X$' પરમાણુઓ આપેલા હોવાથી,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા '$X$' અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા '$2X$' થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) રાઉલ્ટના નિયમ મુજબ,બાષ્પદબાણમાં સાપેક્ષ ઘટાડો: $\frac{p^{\circ} - p_s}{p^{\circ}} = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$
જ્યાં,$p^{\circ} = 100^{\circ} C$ તાપમાને શુદ્ધ પાણીનું બાષ્પદબાણ $= 760 \ mmHg$.
$p_s = 100^{\circ} C$ તાપમાને દ્રાવણનું બાષ્પદબાણ.
$n_2 = \text{ગ્લુકોઝના મોલ} = \frac{18}{180} = 0.1 \ mol$.
$n_1 = \text{પાણીના મોલ} = \frac{180}{18} = 10 \ mol$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{760 - p_s}{760} = \frac{0.1}{10 + 0.1} = \frac{0.1}{10.1}$.
$760 - p_s = 760 \times \frac{0.1}{10.1} = \frac{76}{10.1} \approx 7.524 \ mmHg$.
$p_s = 760 - 7.524 = 752.476 \ mmHg \approx 752.4 \ mmHg$.

(B) આપેલ છે: સાંદ્રતા $(C) = 0.10 \ M$,આયનીકરણની માત્રા $(\alpha) = 4.0 \ \% = 0.04$.
લેક્ટિક એસિડના વિયોજન માટે: $CH_3CH(OH)COOH \rightleftharpoons CH_3CH(OH)COO^{-} + H^{+}$.
સંતુલન અચળાંક $K_a$ નું સૂત્ર: $K_a = \frac{C\alpha^2}{1-\alpha}$.
કિંમતો મૂકતા: $K_a = \frac{0.1 \times (0.04)^2}{1 - 0.04}$.
$K_a = \frac{0.1 \times 0.0016}{0.96} = \frac{0.00016}{0.96} = \frac{1.6 \times 10^{-4}}{0.96} \approx 1.66 \times 10^{-4}$.

(A) બે દ્રાવણો આઈસોટોનિક હોય છે જો તેમની પાસે કણોની મોલર સાંદ્રતા સમાન હોય.
$0.15 \ M \ NaCl$ માટે: $NaCl$ એ $2$ આયનો ($Na^+$ અને $Cl^-$) માં વિયોજિત થાય છે. કણોની સાંદ્રતા $= 0.15 \times 2 = 0.30 \ M$ થાય છે.
$0.1 \ M \ Na_2SO_4$ માટે: $Na_2SO_4$ એ $3$ આયનો ($2Na^+$ અને $SO_4^{2-}$) માં વિયોજિત થાય છે. કણોની સાંદ્રતા $= 0.1 \times 3 = 0.30 \ M$ થાય છે.
બંને દ્રાવણોમાં કણોની સાંદ્રતા સમાન હોવાથી,તેઓ આઈસોટોનિક છે.

(D) $n$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે $T$ તાપમાને ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = n \times \frac{3}{2} RT$ છે.
$4 \text{ g}$ $H_2$ માટે: મોલ $n_1 = \frac{4 \text{ g}}{2 \text{ g/mol}} = 2 \text{ mol}$.
$KE_{H_2} = 2 \times \frac{3}{2} RT = 3RT$.
$8 \text{ g}$ $O_2$ માટે: મોલ $n_2 = \frac{8 \text{ g}}{32 \text{ g/mol}} = 0.25 \text{ mol} = \frac{1}{4} \text{ mol}$.
$KE_{O_2} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} RT = \frac{3}{8} RT$.
ગુણોત્તર $KE_{H_2} : KE_{O_2} = 3RT : \frac{3}{8} RT = 1 : \frac{1}{8} = 8 : 1$.

(C) પરમાણુનું ક્વોન્ટમ અથવા તરંગ યાંત્રિક મોડેલ ઇલેક્ટ્રોનના દ્વૈત સ્વરૂપ પર આધારિત છે,એટલે કે,ઇલેક્ટ્રોન કણ અને તરંગ બંને ગુણધર્મો ધરાવે છે.
આ મોડેલમાં દ્રવ્યના તરંગ સ્વરૂપ અંગેની ડી બ્રોગ્લીની ઉત્કલ્પના અને હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે.