AP EAMCET 2013 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) કોઈપણ કક્ષકમાં રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $n - l - 1$ છે.
$3s$ કક્ષક માટે:
$n = 3$,$l = 0$.
રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યા $= 3 - 0 - 1 = 2$.
$2p$ કક્ષક માટે:
$n = 2$,$l = 1$.
રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યા $= 2 - 1 - 1 = 0$.
આમ,$3s$ અને $2p$ કક્ષકો માટે રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યા અનુક્રમે $2$ અને $0$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $E = e A \sigma T^4$ છે. બંને પદાર્થો માટે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $E$ સમાન હોવાથી,$e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ થાય.
આપેલ છે કે $e_A = 0.01$,$e_B = 0.81$,અને $T_A = 5802 \ K$,તેથી:
$T_B^4 = \frac{e_A}{e_B} T_A^4 = \frac{0.01}{0.81} (5802)^4 = \frac{1}{81} (5802)^4$.
ચતુર્થ મૂળ લેતા,$T_B = \frac{5802}{3} = 1934 \ K$.
વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ મુજબ,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B = b$ (અચળ).
તેથી,$\lambda_A = \lambda_B \frac{T_B}{T_A} = \lambda_B \frac{1934}{5802} = \frac{\lambda_B}{3}$.
આપેલ છે કે તફાવત $\lambda_B - \lambda_A = 1 \mu m$,તેથી $\lambda_A$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_B - \frac{\lambda_B}{3} = 1 \mu m \Rightarrow \frac{2}{3} \lambda_B = 1 \mu m$.
આમ,$\lambda_B = \frac{3}{2} \mu m$.

(C) કોઈપણ તાપમાનના માપક્રમ $X$ અને કેલ્વિન માપક્રમ $K$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\frac{X - X_{freezing}}{X_{boiling} - X_{freezing}} = \frac{K - 273}{373 - 273}$.
$Y$ માપક્રમ માટે આપેલ છે: $Y_{freezing} = -160^{\circ} Y$ અને $Y_{boiling} = -50^{\circ} Y$.
$K = 340 \ K$ માટે આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{Y - (-160)}{-50 - (-160)} = \frac{340 - 273}{373 - 273}$
$\frac{Y + 160}{110} = \frac{67}{100}$
$Y + 160 = \frac{67 \times 110}{100}$
$Y + 160 = 73.7$
$Y = 73.7 - 160 = -86.3^{\circ} Y$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ અને $T_2 = 300 ~K$:
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.6 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.6} = 500 ~K$.
હવે,સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300 ~K$ અચળ રાખીને કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ કરવા માટે:
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1^{\prime}} \Rightarrow \frac{300}{T_1^{\prime}} = 0.4 \Rightarrow T_1^{\prime} = \frac{300}{0.4} = 750 ~K$.
સોર્સના તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = T_1^{\prime} - T_1 = 750 ~K - 500 ~K = 250 ~K$ થાય.

(A) $P-V$ આલેખ પર ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે।
આપેલ પ્રક્રિયા $1-2-3-4-1$ માટે, ક્ષેત્રફળ એ બિંદુઓ $(P_2, V_2), (P_2, V_3), (P_1, V_4), (P_1, V_1)$ દ્વારા બનતા સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે।
રેખાઓ $1-2$ અને $3-4$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી, તે એવી પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે જ્યાં $P \propto V$, એટલે કે $P/V = \text{અચળ}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $P = (nR/V)T$. $P/V$ અચળ હોવાથી, $T/V^2$ અચળ છે।
કુલ કાર્યની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય:
$W_{1-2} = \frac{nR}{2}(T_2 - T_1)$, $W_{2-3} = nR(T_3 - T_2)$, $W_{3-4} = \frac{nR}{2}(T_4 - T_3)$, $W_{4-1} = nR(T_1 - T_4)$.
કુલ કાર્ય $W = \frac{nR}{2} (T_1 - T_2 + T_3 - T_4)$.
અહીં $n = 3, T_1 = 400 \ K, T_2 = 700 \ K, T_3 = 2500 \ K, T_4 = 1100 \ K$.
$W = \frac{3R}{2} (400 - 700 + 2500 - 1100) = \frac{3R}{2} (1100) = 1650 R$.

(D) $Entropy$ $(S)$ એ તંત્રની અસ્તવ્યસ્તતા અથવા અવ્યવસ્થાનું માપ છે. જ્યારે તંત્ર વધુ અવ્યવસ્થિત બને છે,જેમ કે પ્રવાહીમાંથી વાયુમાં થતા કલા રૂપાંતરણ દરમિયાન,ત્યારે એન્ટ્રોપીમાં ધન ફેરફાર $(\Delta S > 0)$ થાય છે.
$H_2O_{(l)} \longrightarrow H_2O_{(g)}$ પ્રક્રિયામાં,પાણી પ્રવાહી અવસ્થામાંથી વાયુ અવસ્થામાં ફેરવાય છે. વાયુના અણુઓ પ્રવાહીના અણુઓની તુલનામાં વધુ સ્વતંત્રતા અને અસ્તવ્યસ્તતા ધરાવતા હોવાથી,તંત્રની એન્ટ્રોપી વધે છે.
અન્ય વિકલ્પોમાં,પ્રક્રિયાઓમાં વાયુના મોલની સંખ્યામાં ઘટાડો થાય છે અથવા વધુ વ્યવસ્થિત અવસ્થામાં (જેમ કે પ્રવાહીમાંથી ઘન અથવા વાયુમાંથી ઘન) રૂપાંતર થાય છે,જેના પરિણામે એન્ટ્રોપીમાં ઋણ ફેરફાર થાય છે.

(B) આપેલ રાશિ $\frac{E J^2}{M^5 G^2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આપેલ રાશિઓ માટેના પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$E = [M L^2 T^{-2}]$
$J = [M L^2 T^{-1}]$
$M = [M]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
આ પરિમાણોને પદમાં મૂકતા:
$\frac{[M L^2 T^{-2}] [M L^2 T^{-1}]^2}{[M]^5 [M^{-1} L^3 T^{-2}]^2} = \frac{[M L^2 T^{-2}] [M^2 L^4 T^{-2}]}{[M^5] [M^{-2} L^6 T^{-4}]} = \frac{[M^3 L^6 T^{-4}]}{[M^3 L^6 T^{-4}]} = [M^0 L^0 T^0]$.
પરિણામી રાશિ પરિમાણરહિત છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ખૂણો એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.

(B) ફ્રેનલ વિવર્તનમાં,પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો અવરોધથી મર્યાદિત અંતરે હોય છે.
પ્રકાશના કિરણોને સમાંતર કરવા માટે કોઈ લેન્સની જરૂર હોતી નથી.
પડદા પર જોવા મળતી વિવર્તન ભાત તરંગાગ્રના વિવિધ ભાગોમાંથી ઉદ્ભવતા ગૌણ તરંગોના સંપાતીકરણ દ્વારા રચાય છે.
પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી કંપવિસ્તાર અને તીવ્રતા તે બિંદુ પર સંપાત થતા હાફ-પિરિયડ ઝોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.
જો ઝોનની સંખ્યા એકી હોય,તો તે બિંદુ પ્રકાશિત હોઈ શકે છે,અને જો બેકી હોય,તો તે અંધારિયું હોઈ શકે છે,જે કળા તફાવત (phase interference) પર આધાર રાખે છે.

(B) જ્યારે સ્ત્રોત ગતિ કરતો હોય ત્યારે સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $v^{\prime}$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v^{\prime} = v \left[ \frac{V}{V - v_s \cos \theta} \right]$
જ્યાં $v = 640 ~Hz$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે,$V = 340 ~m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_s = \frac{100}{3} ~m/s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે,અને $\theta$ એ સ્ત્રોતના વેગ સદિશ અને સ્ત્રોતને અવલોકનકાર સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્ત્રોત,બિંદુ $A$ અને અવલોકનકાર $O$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી:
કર્ણ $\sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = 50 ~m$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0.6$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v^{\prime} = 640 \left[ \frac{340}{340 - (\frac{100}{3}) \times 0.6} \right]$
$v^{\prime} = 640 \left[ \frac{340}{340 - 20} \right] = 640 \times \frac{340}{320}$
$v^{\prime} = 2 \times 340 = 680 ~Hz$.

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{4l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l_1 = 32 ~cm = 0.32 ~m$ છે,તેથી $n_1 = \frac{v}{4 \times 0.32} = \frac{v}{1.28}$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{2l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l_2 = 66 ~cm = 0.66 ~m$ છે,તેથી $n_2 = \frac{v}{2 \times 0.66} = \frac{v}{1.32}$.
બીટ આવૃત્તિ $|n_1 - n_2| = 8 ~Hz$ છે.
તેથી,$\frac{v}{1.28} - \frac{v}{1.32} = 8$.
$\frac{1.32v - 1.28v}{1.28 \times 1.32} = 8$.
$0.04v = 8 \times 1.28 \times 1.32$.
$v = \frac{8 \times 1.6896}{0.04} = 200 \times 1.6896 = 337.92 ~m/s$.
હવે,આવૃત્તિઓની ગણતરી કરીએ:
$n_1 = \frac{337.92}{1.28} = 264 ~Hz$.
$n_2 = \frac{337.92}{1.32} = 256 ~Hz$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $H = 12 ~m$ છે. આ ઊંચાઈ પર દડાની સ્થિતિ ઊર્જા $PE_1 = mgH$ છે.
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે અથડામણ પહેલાં તેની ગતિ ઊર્જા $KE_1 = mgH$ હોય છે.
દડો તેની ગતિ ઊર્જાના $25 \%$ ગુમાવે છે,તેથી બાકી રહેલી ગતિ ઊર્જા $KE_2 = KE_1 - 0.25 KE_1 = 0.75 KE_1$ થાય છે.
દડો '$h$' ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળે છે,તેથી મહત્તમ ઊંચાઈએ તેની સ્થિતિ ઊર્જા $PE_2 = mgh$ થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉછળ્યા પછીની ગતિ ઊર્જા એ નવી ઊંચાઈ પરની સ્થિતિ ઊર્જા જેટલી હોય છે: $KE_2 = PE_2$.
તેથી,$mgh = 0.75 mgH$.
બંને બાજુથી $mg$ દૂર કરતાં,આપણને $h = 0.75 H$ મળે છે.
$H = 12 ~m$ મૂકતા,$h = 0.75 \times 12 = 9 ~m$ મળે છે.

(B) $\pi$ બંધો પરમાણ્વીય કક્ષકોના પાર્શ્વવર્તી (sideways) અતિવ્યાપનથી બને છે,જેમ કે $p-p$,$p-d$,અથવા $d-d$.
$\sigma$ બંધો કક્ષકોના અક્ષીય (axial) અતિવ્યાપનથી બને છે. સંકર કક્ષકો હંમેશા $\sigma$ બંધ બનાવે છે,અને $s$-કક્ષકો અક્ષીય અતિવ્યાપન દ્વારા $\sigma$ બંધ બનાવી શકે છે.

(C) $4^{th}$ આવર્ત માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=4$ છે.
ભરાતી કક્ષકો $4s$,$3d$ અને $4p$ છે.
આ કક્ષકોમાં સમાઈ શકતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2 (4s) + 10 (3d) + 6 (4p) = 18$ છે.
તેથી,$4^{th}$ આવર્તમાં તત્વોની સંખ્યા $18$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-2x+4=0$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha+\beta=2$ અને $\alpha\beta=4$ થાય.
સમીકરણના બીજ $x = 1 \pm i\sqrt{3} = 2e^{\pm i\pi/3}$ છે.
તેથી,$\alpha^9 = (2e^{i\pi/3})^9 = 2^9 e^{i3\pi} = -2^9$ અને $\beta^9 = (2e^{-i\pi/3})^9 = 2^9 e^{-i3\pi} = -2^9$.
આમ,$\alpha^9+\beta^9 = -2^9 - 2^9 = -2^{10}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ છે.
ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ આ સમીકરણના બીજો છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
બીજો વચ્ચેનો હાર્મોનિક મધ્યક $(HM)$ $\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \left( \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}} \right)}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(B) પગલું $1$: $x^2+5x+6 \geq 0$ ઉકેલો.
અવયવ પાડતા,$(x+2)(x+3) \geq 0$ મળે.
બીજ $x = -3$ અને $x = -2$ છે.
અંતરાલ ચકાસતા,ઉકેલ $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$ છે.
પગલું $2$: $x^2+3x-4 < 0$ ઉકેલો.
અવયવ પાડતા,$(x+4)(x-1) < 0$ મળે.
બીજ $x = -4$ અને $x = 1$ છે.
અંતરાલ ચકાસતા,ઉકેલ $x \in (-4, 1)$ છે.
પગલું $3$: બંને ગણનો છેદગણ શોધો.
$(-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$ અને $(-4, 1)$ નો છેદગણ $(-4, -3] \cup [-2, 1)$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3-42 x^2+336 x-512=0$ છે.
$x=2$ માટે સમીકરણનું સમાધાન થાય છે,તેથી $(x-2)$ એક અવયવ છે.
સમીકરણને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)(x^2-40x+256) = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2)(x-32)(x-8) = 0$.
તેથી,બીજ $x = 2, 8, 32$ છે.
આ બીજ વધતી સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{8}{2} = 4$ છે.
તેથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{(1+i) x-i}{2+i}+\frac{(1+2 i) y+i}{2-i}=1$
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા:
$[(1+i)x - i](2-i) + [(1+2i)y + i](2+i) = 5$
સાદુરૂપ આપતા:
$(3+i)x - (2i+1) + (5i)y + (2i-1) = 5$
$(3+i)x + 5iy - 2 = 5$
$(3+i)x + 5iy = 7$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
$x + 5y = 0 \Rightarrow y = -\frac{7}{15}$
આમ,$(x, y) = \left(\frac{7}{3}, -\frac{7}{15}\right)$.

(B) આપેલ છે,$|z^2-1|=|z|^2+1$.
ધારો કે $z=x+iy$.
તેથી,$|(x+iy)^2-1|=|x+iy|^2+1$.
$|x^2-y^2+2ixy-1| = x^2+y^2+1$.
$|(x^2-y^2-1)+i(2xy)| = x^2+y^2+1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2 = (x^2+y^2+1)^2$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા આપણને $4x^2=0$ મળે છે,એટલે કે $x=0$.
આમ,$z$ એ કાલ્પનિક અક્ષ પર આવેલી છે.

(C) પ્રથમ,$\frac{1+i}{1-i}$ પદને અંશ અને છેદને $1+i$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપો:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$.
તેવી જ રીતે,બીજા પદ માટે:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1+i^2-2i}{1-i^2} = \frac{1-1-2i}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકો:
$(i)^4 + (-i)^4 = i^4 + i^4 = 1 + 1 = 2$.

(C) $t_n$ એ સમતલમાં $n$ બિંદુઓ વડે બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા છે,જ્યાં કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ નથી.
તેથી,$t_n = {}^{n}C_3$.
તે જ રીતે,$t_{n+1} = {}^{n+1}C_3$.
આપેલ છે કે $t_{n+1} - t_n = 36$.
ગુણધર્મ ${}^{n+1}C_r - {}^{n}C_r = {}^{n}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n}C_2 = 36$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 36$.
$n(n-1) = 72$.
$n^2 - n - 72 = 0$.
$(n-9)(n+8) = 0$.
કારણ કે $n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 9$.

(C) આપેલ છે કે,${}^n C_{r-1}=330$,${}^n C_r=462$,અને ${}^n C_{r+1}=462$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{{}^n C_{r+1}}{{}^n C_r} = \frac{n-r}{r+1}$.
ત્યારબાદ ${}^n C_{r+1} = {}^n C_r = 462$ હોવાથી,$\frac{n-r}{r+1} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $n-r = r+1$,અથવા $n = 2r+1$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{462}{330} = \frac{7}{5}$ લો.
સૂત્ર $\frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{5}$ મળે.
આ સમીકરણમાં $n = 2r+1$ મૂકતા:
$\frac{(2r+1)-r+1}{r} = \frac{7}{5} \Rightarrow \frac{r+2}{r} = \frac{7}{5}$.
$5(r+2) = 7r$ $\Rightarrow 5r+10 = 7r$ $\Rightarrow 2r = 10$ $\Rightarrow r = 5$.

(B) ઓઝોન સ્તરના ક્ષયની સૌથી ગંભીર અસર એ છે કે સૂર્યમાંથી આવતા $UV$ કિરણો સ્ટ્રેટોસ્ફિયરમાંથી પસાર થઈને પૃથ્વીની સપાટી સુધી પહોંચી શકે છે.
એવું જાણવા મળ્યું છે કે $UV$ કિરણોના સંપર્કમાં વધારો થવાથી ત્વચાના કેન્સર થવાની શક્યતા વધે છે.
વધુમાં,આંખ $UV$ કિરણોના સંપર્કમાં આવવાથી આંખના કોર્નિયા અને લેન્સને નુકસાન થાય છે,જે મોતિયો અને અંધાપો પણ લાવી શકે છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$x+y = \frac{2 \pi}{3}$ $(i)$
$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$ $(ii)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$.
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$2 \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,સમીકરણ $\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલ ગણ ખાલી ગણ છે.

(C) $1$. ઉગમબિંદુને $(1,2)$ પર સ્થળાંતરિત કરતા,બિંદુ $(7,5)$ એ $(7-1, 5-2) = (6,3)$ પર જાય છે.
$2$. નવી $X$-અક્ષની ઋણ દિશામાં $2$ એકમ સ્થળાંતર કરતા,બિંદુ $(6,3)$ એ $(6-2, 3) = (4,3)$ પર જાય છે.
$3$. ઘડિયાળની દિશામાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે પરિભ્રમણ કરતા,નવા યામ $(x', y')$ આ મુજબ મળે: $x' = x \cos \theta + y \sin \theta$ અને $y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$.
$x=4, y=3$ અને $\theta = \frac{\pi}{4}$ મુકતા:
$x' = 4 \cos \frac{\pi}{4} + 3 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$
$y' = -4 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
અંતિમ સ્થાન $\left(\frac{7}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(A) ધારો કે $l_1 \equiv 2x + 3y = 5$.
રેખા $AB$ એ $l_1$ ને લંબ હોવાથી,$l_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
તેથી,$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ થાય.
બિંદુ $A\left(1, \frac{1}{3}\right)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ:
$\left(y - \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2}(x - 1)$
$\Rightarrow 2y - \frac{2}{3} = 3x - 3$
$\Rightarrow 3x - 2y = \frac{7}{3}$
$\Rightarrow 9x - 6y = 7$ (સમીકરણ $i$)
રેખા $l_1$ નું સમીકરણ $2x + 3y = 5$ છે (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ ને $2$ વડે ગુણતા,$4x + 6y = 10$ મળે.
આને સમીકરણ $i$ માં ઉમેરતા: $(9x - 6y) + (4x + 6y) = 7 + 10$ $\Rightarrow 13x = 17$ $\Rightarrow x = \frac{17}{13}$.
સમીકરણ $ii$ માં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $2\left(\frac{17}{13}\right) + 3y = 5$ $\Rightarrow 3y = 5 - \frac{34}{13} = \frac{31}{13}$ $\Rightarrow y = \frac{31}{39}$.
છેદબિંદુ $P$ (જે $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે) $\left(\frac{17}{13}, \frac{31}{39}\right)$ છે.
ધારો કે $B = (x_2, y_2)$. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{1 + x_2}{2} = \frac{17}{13}$ $\Rightarrow 1 + x_2 = \frac{34}{13}$ $\Rightarrow x_2 = \frac{21}{13}$.
$\frac{1/3 + y_2}{2} = \frac{31}{39}$ $\Rightarrow \frac{1}{3} + y_2 = \frac{62}{39}$ $\Rightarrow y_2 = \frac{62}{39} - \frac{13}{39} = \frac{49}{39}$.
આમ,$B = \left(\frac{21}{13}, \frac{49}{39}\right)$.

(B) ધારો કે રેખા $L(x, y) = 3x - 5y + a = 0$ છે. બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $(x_2, y_2) = (3, 4)$ રેખાની એક જ બાજુએ ત્યારે જ હોય જો $L(x_1, y_1)$ અને $L(x_2, y_2)$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,એટલે કે $L(x_1, y_1) \cdot L(x_2, y_2) > 0$.
પ્રથમ,$L(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$ મેળવો.
બીજું,$L(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$ મેળવો.
બિંદુઓ એક જ બાજુએ હોવા માટે,$(a - 7)(a - 11) > 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $a < 7$ અથવા $a > 11$ મળે છે.
તેથી,$a \in (-\infty, 7) \cup (11, \infty)$,જે $R - [7, 11]$ છે.

(D) આપેલ બિંદુઓ $(1, \pi)$,$(1, 0^{\circ})$ અને $(1, \frac{\pi}{2})$ ધ્રુવીય યામમાં છે.
તેને કાર્તેઝિયન યામ $(x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ માં ફેરવતા:
$(1, \pi) \rightarrow (-1, 0)$
$(1, 0^{\circ}) \rightarrow (1, 0)$
$(1, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0, 1)$
$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(-1, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર:
$d = \frac{|1(-1) + 1(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$(i) \ x \sec \theta - y \operatorname{cosec} \theta = a$
$(ii) \ x \cos \theta + y \sin \theta = a \cos 2 \theta$
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
રેખા $(i)$ માટે:
$p = \frac{|-a|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta}} = a \sin \theta \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2 \theta$.
તેથી,$2p = a \sin 2 \theta$.
રેખા $(ii)$ માટે:
$q = \frac{|-a \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = a \cos 2 \theta$.
હવે,$4p^2 + q^2$ ની ગણતરી કરતા:
$4p^2 + q^2 = (2p)^2 + q^2 = (a \sin 2 \theta)^2 + (a \cos 2 \theta)^2 = a^2(\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta) = a^2$.
આમ,$4p^2 + q^2 = a^2$.

(A) એનાન્ટિઓમર્સ એ સ્ટીરિયો આઈસોમર્સ છે જે એકબીજાના અરીસામાં પ્રતિબિંબ છે જે એકબીજા પર સુપરઈમ્પોઝ થઈ શકતા નથી.
તેઓ અકાયરલ વાતાવરણમાં ગલનબિંદુ,ઉત્કલનબિંદુ,ઘનતા અને વક્રીભવનાંક જેવા સમાન ભૌતિક ગુણધર્મો ધરાવે છે.
જો કે,તેઓ સમતલ-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ સાથેની તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાં અલગ પડે છે.
એક એનાન્ટિઓમર સમતલ-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશના સમતલને જમણી તરફ (ડેક્સ્ટ્રોરોટેટરી,$+$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે) ફેરવે છે,જ્યારે બીજો તેને સમાન માત્રામાં ડાબી તરફ (લેવોરોટેટરી,$-$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે) ફેરવે છે.
તેથી,તેઓ તેમના વિશિષ્ટ પરિભ્રમણની નિશાનીમાં અલગ પડે છે.

(A) $M$ દળ ધરાવતા નક્કર ગોળાને કારણે તેના કેન્દ્રથી $3R$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F_1 = \frac{G M m}{(3 R)^2} = \frac{G M m}{9 R^2}$
જ્યારે $R/2$ ત્રિજ્યાનો ગોળાકાર છિદ્ર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે દૂર કરેલા ભાગનું દળ $M'$ તેના કદના પ્રમાણમાં હોય છે. ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી:
$M' = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{M}{8}$
છિદ્રનું કેન્દ્ર મોટા ગોળાના કેન્દ્રથી $R/2$ અંતરે છે. કણ મોટા ગોળાના કેન્દ્રથી $3R$ અંતરે છે,તેથી તે છિદ્રના કેન્દ્રથી $(3R - R/2) = 5R/2$ અંતરે છે.
છિદ્રવાળા ગોળા દ્વારા લાગતું બળ $F_2$ એ મૂળ નક્કર ગોળાના બળમાંથી દૂર કરેલા ભાગ દ્વારા લાગતા બળને બાદ કરવાથી મળે છે:
$F_2 = F_1 - F_{\text{hole}} = \frac{G M m}{9 R^2} - \frac{G (M/8) m}{(5 R / 2)^2}$
$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{25} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{50} \right]$
$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{50 - 9}{450} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{41}{450} \right]$
હવે,$F_1 / F_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{G M m}{9 R^2}}{\frac{41 G M m}{450 R^2}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{450}{41} = \frac{50}{41}$

(C) ગરમીના ઉપયોગ દ્વારા સંયોજનના વિઘટનને પાયરોલિસિસ કહેવામાં આવે છે.
વધુમાં,ઉચ્ચ આલ્કેનનું નીચા આલ્કેન,આલ્કીન વગેરેના મિશ્રણમાં થતા વિઘટનને ક્રેકિંગ અથવા પાયરોલિસિસ પણ કહેવામાં આવે છે.

(A) વિધાન $1$ સાચું છે કારણ કે ભારે પાણી $(D_2O)$ વનસ્પતિ અને પ્રાણીઓના વિકાસ માટે હાનિકારક છે.
વિધાન $2$ ખોટું છે કારણ કે $Al_4C_3$ ની $D_2O$ સાથેની પ્રક્રિયાથી $\text{deuterated methane}$ $(CD_4)$ બને છે,$\text{acetylene}$ નહીં. સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ: $Al_4C_3 + 12D_2O \rightarrow 4Al(OD)_3 + 3CD_4$.
વિધાન $3$ સાચું છે કારણ કે $BaCl_2 \cdot 2D_2O$ એ $\text{interstitial deuterate}$ નું ઉદાહરણ છે.

(D) આપેલ છે કે,$u=\log \left(x^3+y^3+z^3-3 x y z\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^3+y^3+z^3-3 x y z = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.
તેથી,$u = \log(x+y+z) + \log(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.
હવે,આંશિક વિકલન (partial derivatives) મેળવતા:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3x^2-3yz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$,
$u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3y^2-3xz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$,
$u_z = \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2-3xy}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા:
$u_x+u_y+u_z = \frac{3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)} = \frac{3}{x+y+z}$.
તેથી,$(x+y+z)(u_x+u_y+u_z) = 3$.

(B) આપેલ છે: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=2 \log \left(\frac{x}{2}\right)$ જ્યાં $x>0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \cdot \frac{1}{b} \frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$
$x \frac{d y}{d x} = -2 \sqrt{b^2-y^2} \quad \dots (i)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = -2 \cdot \frac{1}{2} (b^2-y^2)^{-1/2} (-2y) \frac{d y}{d x}$
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{2y}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{d y}{d x}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\sqrt{b^2-y^2} = -\frac{x}{2} \frac{d y}{d x}$. આ કિંમત મૂકતા:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{2y}{-\frac{x}{2} \frac{d y}{d x}} \cdot \frac{d y}{d x}$
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = -\frac{4y}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} + x \frac{d y}{d x} = -4y$.

(B) $NH_4OH$ (નિર્બળ બેઇઝ) અને $NH_4Cl$ (પ્રબળ એસિડ સાથેનો ક્ષાર) નું મિશ્રણ બેઝિક બફર દ્રાવણ બનાવે છે.
બેઝિક બફર માટે,$pOH$ ની ગણતરી હેન્ડરસન-હેસલબેક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:
$pOH = pK_b + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{base}]}$
આપેલ છે: $[\text{salt}] = 0.2 \ M$,$[\text{base}] = 0.02 \ M$,અને $pK_b = 4.8$.
$pOH = 4.8 + \log \left( \frac{0.2}{0.02} \right) = 4.8 + \log(10) = 4.8 + 1 = 5.8$.
હવે,$25^{\circ}C$ તાપમાને $pH + pOH = 14$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $pH$ શોધો:
$pH = 14 - 5.8 = 8.2$.

(A) ધારો કે ઢળતા સમતલની કુલ લંબાઈ $l$ છે. ઉપરના અડધા ભાગની લંબાઈ $l/2$ છે અને તે લીસો છે $(\mu = 0)$. નીચેના અડધા ભાગની લંબાઈ $l/2$ છે અને તે $\mu$ ઘર્ષણાંક સાથે ખરબચડો છે.
ઉપરના અડધા ભાગ માટે:
પ્રવેગ $a_1 = g \sin \phi$ છે. સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી શરૂ કરીને,મધ્યબિંદુ પર વેગ $v$ એ $v^2 = u^2 + 2 a_1 s$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $s = l/2$.
$v^2 = 0 + 2(g \sin \phi) \cdot (l/2) = gl \sin \phi$.
નીચેના અડધા ભાગ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને અંતિમ વેગ $0$ છે. પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \phi - \mu \cos \phi)$ છે. $v_f^2 = v_i^2 + 2 a_2 s$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = l/2$:
$0 = v^2 + 2g(\sin \phi - \mu \cos \phi) \cdot (l/2)$.
$v^2 = gl \sin \phi$ મૂકતા:
$0 = gl \sin \phi + gl(\sin \phi - \mu \cos \phi)$.
$0 = gl \sin \phi + gl \sin \phi - gl \mu \cos \phi$.
$gl \mu \cos \phi = 2gl \sin \phi$.
$\mu = 2 \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = 2 \tan \phi$.

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. કારણ કે બ્લોક $m$ એ બ્લોક $M$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે,તેથી બંને સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરે છે.
બ્લોક $m$ માટે,બ્લોક $M$ ના ફ્રેમમાં (સ્યુડો ફોર્સ ફ્રેમ) લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્યુડો બળ $ma$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં ડાબી તરફ લાગે છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. લંબબળ $N$ જે ઢળતી સપાટીને લંબ લાગે છે.
$m$ ને ઢાળ પર સ્થિર રાખવા માટે,ઢાળની દિશામાં સ્યુડો બળનો ઘટક અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
$a = g \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = g \tan \beta$
હવે,સમગ્ર $(M+m)$ દળના તંત્રને ધ્યાનમાં લેતા જે $P$ બળ હેઠળ $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે:
$P = (M+m) a$
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = (M+m) g \tan \beta$

(D) આપેલ વક્રો $x^2+p y^2=1$ $(i)$ અને $q x^2+y^2=1$ (ii) છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2py \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{py}$ મળે.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2qx + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{qx}{y}$ મળે.
વક્રો લંબ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા: $(-\frac{x}{py}) \cdot (-\frac{qx}{y}) = -1 \Rightarrow \frac{qx^2}{py^2} = -1 \Rightarrow qx^2 = -py^2$.
$(i)$ પરથી,$x^2 = 1 - py^2$. આ કિંમત લંબ હોવાની શરતમાં મૂકતા: $q(1 - py^2) = -py^2 \Rightarrow q - qpy^2 = -py^2 \Rightarrow q = y^2(qp - p) \Rightarrow y^2 = \frac{q}{p(q-1)}$.
તે જ રીતે,$x^2 = \frac{p(1-q)}{q-p}$.
$x^2$ અને $y^2$ ની કિંમતો $q x^2 + y^2 = 1$ માં મૂકતા: $q(\frac{p-pq}{q-p}) + \frac{q}{pq-p} = 1$.
આને ઉકેલતા $p+q = 2pq$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 2$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x-\sin x}{1+\cos x} dx$.
નિત્યસમ $1+\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ અને $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{x}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx - \int \frac{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx$
$I = \frac{1}{2} \int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$.
પ્રથમ પદ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx = x \cdot 2\tan(\frac{x}{2}) - \int 2\tan(\frac{x}{2}) dx = 2x\tan(\frac{x}{2}) - 4\log|\sec(\frac{x}{2})|$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} [2x\tan(\frac{x}{2}) - 4\log|\sec(\frac{x}{2})|] - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$.
કારણ કે $\int \tan(\frac{x}{2}) dx = 2\log|\sec(\frac{x}{2})|$,તેથી:
$I = x\tan(\frac{x}{2}) - 2\log|\sec(\frac{x}{2})| - 2\log|\sec(\frac{x}{2})| + C = x\tan(\frac{x}{2}) - 4\log|\sec(\frac{x}{2})| + C$.
આને આપેલ પદ $x \tan(\frac{x}{2}) + p \log|\sec(\frac{x}{2})| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = -4$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -2 \tan 2x$ અને $Q = e^x \sec 2x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \tan 2x dx}$ દ્વારા મળે છે.
$IF = e^{-\ln(\sec 2x)} = e^{\ln(\cos 2x)} = \cos 2x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cos 2x = \int (e^x \sec 2x) \cdot \cos 2x dx + C$ મળે છે.
કારણ કે $\sec 2x \cdot \cos 2x = 1$,તેથી $y \cos 2x = \int e^x dx + C$.
આમ,ઉકેલ $y \cos 2x = e^x + C$ છે,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$(1+y+x^2 y) dx + (x+x^3) dy = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(x+x^3) dy = -(1+y+x^2 y) dx$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^2)} - \frac{y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$
$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -\frac{1}{x(1+x^2)}$
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = -\frac{1}{x(1+x^2)}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ મળે:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)(2n+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(2n)(2n+1)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1}$.
તેથી,$S = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + \dots$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$
$x=1$ માટે,$\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots$
આથી,$1 - \ln(2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots$
તેથી,$S = 1 - \ln(2) = \ln(e) - \ln(2) = \ln\left(\frac{e}{2}\right)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ $F$ અને સ્થાનાંતર $d$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
આપેલ છે,બળ $F = 2 \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
ઉગમબિંદુથી $r = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ $d = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા.
$W = F \cdot d = (2 \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k})$.
$W = (2 \times 3) + (-1 \times 2) + (-1 \times -5)$.
$W = 6 - 2 + 5 = 9 \text{ units}$.

(D) આપેલ છે,$\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
$x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$ હોવાથી,આપણને મળે:
$1 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$1 = (Ax^3 - Ax^2 + Ax + Bx^2 - Bx + B) + (Cx^3 + Cx^2 + Cx + Dx^2 + Dx + D)$.
$x$ ના ઘાતાંક મુજબ પદોને ગોઠવતા:
$1 = (A+C)x^3 + (-A+B+C+D)x^2 + (A-B+C+D)x + (B+D)$.
બંને બાજુ સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+C = 0$ $(i)$
$-A+B+C+D = 0$ (ii)
$A-B+C+D = 0$ (iii)
$B+D = 1$ (iv)
સમીકરણ (ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$(-A+B+C+D) + (A-B+C+D) = 0 + 0$
$2C + 2D = 0$
$2(C+D) = 0$
$C+D = 0$.

(C) આપેલ છે કે $a \cdot y = c$ અને $a \times y = b$. કારણ કે $a$ અને $b$ લંબ છે,તેથી $a \cdot b = 0$.
બીજા સમીકરણ સાથે $a$ નો સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$a \times (a \times y) = a \times b$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \cdot y)a - (a \cdot a)y = a \times b$.
$a \cdot y = c$ અને $a \cdot a = |a|^2$ મૂકતા:
$c a - |a|^2 y = a \times b$.
$y$ ને કર્તા બનાવતા:
$|a|^2 y = c a - (a \times b)$.
$y = \frac{1}{|a|^2}[c a - (a \times b)]$.

(C) આપેલ છે કે $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ અને $a \times b = 0, b \times c = 0$.
$a \times b = 0$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે સદિશ $a$ એ સદિશ $b$ ને સમાંતર છે.
$b \times c = 0$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે સદિશ $b$ એ સદિશ $c$ ને સમાંતર છે.
સમાંતર સદિશોના સંક્રામક ગુણધર્મ મુજબ,જો $a \parallel b$ અને $b \parallel c$ હોય,તો $a \parallel c$ થાય.
તેથી,બે સમાંતર સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,તેથી $a \times c = 0$.

(B) બિંદુઓ $P, Q, R, S$ ના સ્થાન સદિશો $P(3, -4, 5)$,$Q(2, -1, 4)$,$R(-4, 5, 1)$ અને $S(-3, 4, 3)$ છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{3} = \frac{z-5}{-1} = r_1$ છે.
રેખા $PQ$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(-r_1+3, 3r_1-4, -r_1+5)$ છે.
રેખા $RS$ નું સમીકરણ $\frac{x+4}{1} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-1}{2} = r_2$ છે.
રેખા $RS$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(r_2-4, -r_2+5, 2r_2+1)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,યામોને સરખાવતા: $-r_1+3 = r_2-4 \Rightarrow r_1+r_2 = 7$ અને $3r_1-4 = -r_2+5 \Rightarrow 3r_1+r_2 = 9$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા $2r_1 = 2 \Rightarrow r_1 = 1$ મળે છે.
$r_1 = 1$ ને $r_1+r_2 = 7$ માં મૂકતા $r_2 = 6$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(-3, 4, 3)$ એટલે કે $-3i + 4j + 3k$ છે.

(D) આપેલી રેખાઓ $r=a_1+\lambda b_1$ અને $r=a_2+\mu b_2$ છે,જ્યાં:
$a_1 = 3i+5j+7k, b_1 = i+2j+k$
$a_2 = -i-j-k, b_2 = 7i-6j+k$
લઘુત્તમ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|(a_2-a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $b_1 \times b_2$ શોધો:
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 1 \\ 7 & -6 & 1 \end{vmatrix} = i(2+6) - j(1-7) + k(-6-14) = 8i + 6j - 20k$.
તેનું માન $|b_1 \times b_2| = \sqrt{8^2 + 6^2 + (-20)^2} = \sqrt{64 + 36 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$.
હવે,$a_2 - a_1 = (-i-j-k) - (3i+5j+7k) = -4i - 6j - 8k$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(a_2-a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = (-4i - 6j - 8k) \cdot (8i + 6j - 20k) = (-4)(8) + (-6)(6) + (-8)(-20) = -32 - 36 + 160 = 92$.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|92|}{10\sqrt{5}} = \frac{92}{10\sqrt{5}} = \frac{46}{5\sqrt{5}}$.

(A) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = 2 P(X=2)$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda e^{-\lambda} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$
$\lambda e^{-\lambda} = \lambda^2 e^{-\lambda}$
અહીં $\lambda > 0$ અને $e^{-\lambda} \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુને $\lambda e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા:
$1 = \lambda$
આમ,પ્રાચલ $\lambda = 1$ મળે છે.
હવે,$P(X=3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{1^3 e^{-1}}{6} = \frac{e^{-1}}{6}$.