AIIMS 2013 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $\rho$ और आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ के पदों में $M = \rho V = \rho \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)$ होता है।
इस मान को $g$ के व्यंजक में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \left(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{4}{3}\pi G \rho R$
अतः,$g \propto \rho R$ है।
दो ग्रहों के लिए,उनके गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात होगा:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{\rho_1 R_1}{\rho_2 R_2}$
इस प्रकार,$g_1:g_2 = R_1\rho_1:R_2\rho_2$।

(D) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR_e}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि पलायन वेग केवल ग्रह के द्रव्यमान और त्रिज्या (या प्रक्षेपण बिंदु पर गुरुत्वीय विभव) पर निर्भर करता है।
यह उस दिशा या कोण पर निर्भर नहीं करता है जिस पर पिंड को प्रक्षेपित किया जाता है।
इसलिए,यदि पिंड को ऊर्ध्वाधर के साथ $45^o$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,तो पलायन वेग वही रहेगा,जो कि $11.2 \ km/s$ है।

(D) दिया गया निकाय एक सरल लोलक की तरह कार्य करता है, जहाँ प्रभावी लंबाई $(l)$ निलंबन बिंदु और दोलन करने वाली वस्तु के गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में, जब गोला भरा होता है, तो $C.G.$ गोले के केंद्र पर होता है। जैसे-जैसे पानी बाहर निकलता है, शेष पानी का द्रव्यमान केंद्र नीचे की ओर खिसकता है, जिससे निकाय का परिणामी $C.G.$ नीचे की ओर चला जाता है। इससे प्रभावी लंबाई $(l)$ बढ़ जाती है, और चूंकि आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ होता है, इसलिए आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे और पानी बाहर निकलता है, शेष पानी का वजन खाली गोले के वजन से कम हो जाता है। परिणामी $C.G.$ वापस गोले के केंद्र की ओर ऊपर की ओर खिसकने लगता है। परिणामस्वरूप, प्रभावी लंबाई $(l)$ घट जाती है, जिससे आवर्तकाल $T$ घट जाता है।
अंत में, जब गोला पूरी तरह से खाली हो जाता है, तो $C.G.$ गोले के केंद्र पर वापस आ जाता है, जिससे प्रभावी लंबाई अपने प्रारंभिक मान के बराबर हो जाती है। इस प्रकार, आवर्तकाल अपने मूल मान पर वापस आ जाता है। इसलिए, दोलन का आवर्तकाल पहले बढ़ता है और फिर घटकर अपने मूल मान पर आ जाता है।

(B) सीमांत चाल $(v_t)$ पर,गेंद पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
अतः,गेंद का नीचे की ओर कार्य करने वाला भार,ऊपर की ओर लगने वाले उत्प्लावन बल (buoyant force) और श्यान बल (viscous force) द्वारा संतुलित होता है।
$Weight = \text{Buoyant force} + \text{Viscous force}$
$V\rho_1 g = V\rho_2 g + kv_t^2$
$kv_t^2 = Vg(\rho_1 - \rho_2)$
$v_t^2 = \frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}$
$v_t = \sqrt{\frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}}$

(C) समान परास $R$ के लिए,प्रक्षेपण कोण पूरक होने चाहिए,अर्थात $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$।
परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$।
दोनों कणों के लिए अधिकतम ऊंचाइयां हैं:
$h_1 = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
$h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g}$
$h_1$ और $h_2$ का गुणा करने पर:
$h_1 h_2 = \left( \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \right) \left( \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g} \right) = \frac{u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{4g^2}$
$h_1 h_2 = \frac{1}{16} \left( \frac{4u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{g^2} \right) = \frac{1}{16} R^2$
अतः,$R^2 = 16 h_1 h_2$।

(D) घन (cube) का घनत्व $\rho$ सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{l^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $l$ घन की भुजा की लंबाई है।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta l}{l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4\%$ और लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 3\%$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
घनत्व में प्रतिशत त्रुटि $= 4\% + 3(3\%) = 4\% + 9\% = 13\%$.

$(A)$ जब किसी वस्तु को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो वह $H = \frac{u^2}{2g}$ की अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती है。
चूंकि अधिकतम ऊँचाई केवल प्रारंभिक वेग $u$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करती है, इसलिए यह वस्तु के द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है。
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रक्षेपण बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mu^2$ होती है। जब वस्तु उसी बिंदु पर वापस आती है, तो उसकी स्थितिज ऊर्जा शुरुआत के समान होती है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा समान होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि उसकी गति $v = u$ होगी。
इस प्रकार, अधिकतम ऊँचाई और प्रक्षेपण बिंदु पर अंतिम गति दोनों गेंद के द्रव्यमान से स्वतंत्र हैं。
अतः, $Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं, और $Reason$ का $Assertion$ के लिए सही स्पष्टीकरण है।

(D) ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है,इसलिए क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 90^\circ - \theta$ होगा।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{v^2 \cos^2 \theta}{2g}$ है।
इससे,हमें $\frac{v \cos \theta}{g} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ प्राप्त होता है।
उड्डयन काल $T = \frac{2v \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2v \cos \theta}{g}$ है।
$\frac{v \cos \theta}{g}$ का मान $T$ के व्यंजक में रखने पर:
$T = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{8H}{g}}$।

(A) जब क्षैतिज रूप से उड़ते हुए हवाई जहाज से एक बम गिराया जाता है,तो उसमें छोड़ने के क्षण हवाई जहाज के समान ही क्षैतिज वेग होता है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण,यह नीचे की ओर एक निरंतर त्वरण $(g)$ का अनुभव करता है।
क्षैतिज गति एकसमान (स्थिर वेग) होती है,जबकि ऊर्ध्वाधर गति एकसमान त्वरित होती है।
इन दो स्वतंत्र गतियों के संयोजन के परिणामस्वरूप बम का प्रक्षेप पथ एक परवलय होता है।

(B) चित्र $(a)$ के लिए:
मान लीजिए निकाय का त्वरण $a$ है। गति के समीकरण हैं:
$m$ द्रव्यमान के लिए: $T - mg = ma$ $(i)$
$2m$ द्रव्यमान के लिए: $2mg - T = 2ma$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$mg = 3ma$
$\therefore a = g/3$
चित्र $(b)$ के लिए:
मान लीजिए $m$ द्रव्यमान का त्वरण $a'$ है। रस्सी में तनाव $T' = F = 2mg$ है क्योंकि बल सीधे रस्सी पर लगाया जाता है।
$m$ द्रव्यमान के लिए गति का समीकरण:
$T' - mg = ma'$
$T' = 2mg$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2mg - mg = ma'$
$mg = ma'$
$\therefore a' = g$
अतः,त्वरण क्रमशः $g/3$ और $g$ हैं।

(C) संवेग में परिवर्तन केवल दीवार के लंबवत दिशा में होता है।
मान लीजिए वेग $v = 10 \, m/s$ और द्रव्यमान $m = 3 \, kg$ है।
दीवार के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin(60^\circ)$ है।
दीवार के लंबवत प्रारंभिक संवेग: $p_i = mv \sin(60^\circ)$.
दीवार के लंबवत अंतिम संवेग (परावर्तन के बाद): $p_f = -mv \sin(60^\circ)$.
संवेग में परिवर्तन: $\Delta p = p_f - p_i = -mv \sin(60^\circ) - mv \sin(60^\circ) = -2mv \sin(60^\circ)$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 2mv \sin(60^\circ)$ है।
दीवार पर लगाया गया बल $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{2mv \sin(60^\circ)}{\Delta t}$.
मान रखने पर: $F = \frac{2 \times 3 \times 10 \times \sin(60^\circ)}{0.2} = \frac{60 \times (\sqrt{3}/2)}{0.2} = \frac{30\sqrt{3}}{0.2} = 150\sqrt{3} \, N$.

(C) गतिज ऊर्जा $E$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है।
प्रतिशत में छोटे परिवर्तनों के लिए,हम अवकलन विधि का उपयोग कर सकते हैं: $\frac{\Delta E}{E} = 2 \left( \frac{\Delta p}{p} \right)$.
यहाँ $\frac{\Delta p}{p} = 5\% = 0.05$ दिया गया है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\frac{\Delta E}{E} = 2 \times 5\% = 10\%$ होगा।
सटीक सूत्र का उपयोग करने पर: $E' = \frac{(1.05p)^2}{2m} = 1.1025 E$.
प्रतिशत वृद्धि $(1.1025 - 1) \times 100 = 10.25\%$ है।

(B) एक आदर्श गैस की कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{3}{2} nRT$।
चूंकि आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,इसलिए हम $nRT$ को $PV$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$।
इस प्रकार,$Assertion$ सही है।
$Reason$ बताता है कि गैस के अणु टकराते हैं और उनके वेग बदलते हैं। यह गैसों के गतिज सिद्धांत का एक मूलभूत गुण है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि गतिज ऊर्जा $PV$ के साथ इस विशिष्ट अनुपात में क्यों संबंधित है।
इसलिए,दोनों कथन सही हैं,लेकिन $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) माना कि पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M_{total}$ है। चूंकि चौथाई सेक्टर का द्रव्यमान $M$ है,इसलिए पूरी डिस्क का द्रव्यमान $M_{total} = 4M$ होगा।
$M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण समान वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ होता है।
$M_{total} = 4M$ रखने पर,हमें $I_{total} = \frac{1}{2} (4M) R^2 = 2 M R^2$ प्राप्त होता है।
समरूपता के सिद्धांत के अनुसार,डिस्क के किसी भी सेक्टर का उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण उसके द्रव्यमान के समानुपाती होता है।
अतः,चौथाई सेक्टर का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{I_{total}}{4} = \frac{2 M R^2}{4} = \frac{1}{2} M R^2$ होगा।

(B) कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि कण एक वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है,इसलिए स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा लंबवत होते हैं। कोणीय संवेग का परिमाण $L = mvr$ है। चूंकि रैखिक गति $v$ घट रही है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ का परिमाण संरक्षित नहीं रहता है।
हालाँकि,एक समतल में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण के लिए,कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ की दिशा गति के समतल के लंबवत होती है (दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित)। जब तक कण उसी वृत्ताकार पथ पर रहता है,$\vec{L}$ की दिशा स्थिर रहती है।
चूंकि कण एक वृत्ताकार पथ तक सीमित है,इसलिए यह केंद्र की ओर सर्पिल गति नहीं कर सकता है। चूंकि गति बदल रही है,इसलिए अभिकेंद्री त्वरण $a_c$ के अलावा एक स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ भी होता है। इसलिए,कुल त्वरण केंद्र की ओर नहीं होता है। अतः,केवल कोणीय संवेग की दिशा ही संरक्षित रहती है।

(B) कोणीय मंदन $\alpha$,कोणीय वेग $\omega$ के समानुपाती है,अतः $\alpha = k\omega$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ और $\omega = \frac{d\theta}{dt}$,इसलिए $\frac{d\omega}{dt} = k\omega$ प्राप्त होता है।
चेन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d\omega}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} = k\omega$,जो सरल होकर $\frac{d\omega}{d\theta} \cdot \omega = k\omega$ हो जाता है।
अतः,$d\omega = k d\theta$।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ से $\omega_0/2$ तक $n$ चक्करों के लिए समाकलन करने पर (जहाँ $\theta_1 = 2\pi n$):
$\int_{\omega_0}^{\omega_0/2} d\omega = \int_{0}^{2\pi n} k d\theta \implies -\frac{\omega_0}{2} = k(2\pi n)$।
अब,$\omega_0/2$ से $0$ तक अतिरिक्त $n'$ चक्करों के लिए समाकलन करने पर (जहाँ $\theta_2 = 2\pi n'$):
$\int_{\omega_0/2}^{0} d\omega = \int_{0}^{2\pi n'} k d\theta \implies -\frac{\omega_0}{2} = k(2\pi n')$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$k(2\pi n) = k(2\pi n')$,जिससे $n' = n$ प्राप्त होता है।

(D) एकसमान कोणीय वेग $\omega$ के साथ क्षैतिज खुरदरी सतह पर बिना फिसले लुढ़कने वाली डिस्क के लिए,संपर्क बिंदु का वेग शून्य होता है।
हालाँकि,सबसे निचले बिंदु का त्वरण शून्य नहीं होता है।
डिस्क के रिम पर किसी भी बिंदु का त्वरण दो घटकों से बना होता है: केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्री त्वरण $(a_c = \omega^2 R)$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t = \alpha R)$।
चूंकि कोणीय वेग एकसमान है,$\alpha = 0$,इसलिए $a_t = 0$।
अभिकेंद्री त्वरण $a_c = \omega^2 R$ डिस्क के केंद्र की ओर लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित होता है।
इसलिए,सबसे निचले बिंदु का कुल त्वरण $\omega^2 R$ (ऊपर की ओर) है,जो शून्य नहीं है।
अतः,$Assertion$ गलत है और $Reason$ सही है।

(A) सूर्य की परिक्रमा करने वाले ग्रह पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क शून्य है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,अर्थात $\tau = 0$।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$\frac{dL}{dt} = \tau$।
चूंकि $\tau = 0$ है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
अतः,$Reason$ कथन सही है।
एक ग्रह के लिए,$L = mvr = \text{स्थिर}$। जैसे-जैसे सूर्य और ग्रह के बीच की दूरी $r$ बदलती है (दीर्घवृत्ताकार कक्षा),$L$ को स्थिर रखने के लिए रैखिक गति $v$ बदलनी पड़ती है। परिणामस्वरूप,गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ भी बदल जाती है।
इसी प्रकार,$L = mr^2\omega = \text{स्थिर}$। जैसे-जैसे $r$ बदलता है,कोणीय गति $\omega$ भी बदलती है।
इसलिए,$Assertion$ कथन सही है और $Reason$ इसका सही स्पष्टीकरण देता है।

(D) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जहाँ $F$ आरोपित बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ विस्तार है।
चूंकि दोनों तार समान पदार्थ के हैं,इसलिए उनका यंग मापांक $(Y)$ समान है। साथ ही,दोनों तारों के लिए आरोपित भार $(F)$ और मूल लंबाई $(L)$ समान हैं।
अतः,$A_1 \cdot \Delta L_1 = A_2 \cdot \Delta L_2$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
इस प्रकार,$r_1^2 \cdot \Delta L_1 = r_2^2 \cdot \Delta L_2$.
दिया गया है कि दूसरे तार का व्यास पहले तार का दोगुना है,यानी $d_2 = 2d_1$,जिसका अर्थ है कि $r_2 = 2r_1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $r_1^2 \cdot \Delta L_1 = (2r_1)^2 \cdot \Delta L_2$.
$r_1^2 \cdot \Delta L_1 = 4r_1^2 \cdot \Delta L_2$.
$\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{4}{1}$.
अतः,विस्तार का अनुपात $4 : 1$ है।

(B) बर्नौली का सिद्धांत बहते हुए तरल पदार्थ के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय से व्युत्पन्न होता है।
यह बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और स्थिर प्रवाह वाले तरल के लिए,धारा रेखा के साथ प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
इसलिए,यह ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(A) जब किसी रिंग को तरल की सतह से खींचा जाता है,तो पृष्ठ तनाव रिंग की आंतरिक और बाहरी दोनों परिधियों पर कार्य करता है।
संपर्क की कुल लंबाई $L = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 = \pi(D_1 + D_2)$,जहाँ $D_1$ और $D_2$ आंतरिक और बाहरी व्यास हैं।
दिया गया है: $D_1 = 8.5\, cm$,$D_2 = 8.7\, cm$ और द्रव्यमान $m = 3.97\, g$ है।
रिंग को खींचने के लिए आवश्यक बल $F = mg = L \times \sigma$ है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठ तनाव है।
$F = \pi(D_1 + D_2) \times \sigma = mg$.
मान रखने पर: $\pi(8.5 + 8.7) \times \sigma = 3.97 \times 980$.
$\pi(17.2) \times \sigma = 3890.6$.
$\sigma = \frac{3890.6}{3.14159 \times 17.2} \approx 72\, dyne\, cm^{-1}$.

(D) बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,एक आदर्श तरल के धारा रेखीय प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग एक धारा रेखा के साथ स्थिर रहता है।
समीकरण $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$ है।
यदि हम क्षैतिज प्रवाह $(h = \text{constant})$ पर विचार करें,तो $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}$ होता है।
इसका अर्थ है कि यदि दबाव $P$ बढ़ता है,तो योग को स्थिर रखने के लिए वेग $v$ को कम होना चाहिए,और इसके विपरीत। अतः,अभिकथन सही है।
कारण बताता है कि प्रति इकाई द्रव्यमान कुल ऊर्जा स्थिर रहती है। बर्नौली का प्रमेय बताता है कि एक आदर्श तरल के लिए प्रति इकाई आयतन (या द्रव्यमान) कुल ऊर्जा स्थिर होती है। इसलिए,कारण भी सही है और यह अभिकथन के लिए भौतिक आधार प्रदान करता है।

(B) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम समीकरण $\Delta Q = \Delta U + W_{by}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $W_{by}$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
चूंकि $\Delta W$ निकाय पर किया गया कार्य है,इसलिए $W_{by} = -\Delta W$ होगा।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर:
$\Delta Q = \Delta U + (-\Delta W)$
$\Delta Q = \Delta U - \Delta W$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
सभी गैसों के लिए $\gamma > 1$ होता है, इसलिए $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ होता है।
रुद्धोष्म प्रसार में, आयतन $V$ बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ कम होना चाहिए। अतः, अभिकथन सही है।
हालाँकि, कारण में कहा गया है कि आयतन तापमान के व्युत्क्रमानुपाती है $(V \propto 1/T)$, जो गलत है। सही संबंध $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ है।
इसलिए, अभिकथन सही है लेकिन कारण गलत है।

(A) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में कण का विस्थापन $y = a \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है,जहाँ $v_{max} = a\omega$ है।
माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (a\omega)^2$ होती है।
यहाँ $m = 0.1 \, kg$,$a = 0.1 \, m$,और $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \, J$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2 = 8 \times 10^{-3}$।
$0.05 \times 0.01 \times \omega^2 = 8 \times 10^{-3} \implies 0.0005 \times \omega^2 = 0.008$।
$\omega^2 = \frac{0.008}{0.0005} = 16 \implies \omega = 4 \, rad/s$।
प्रारंभिक कला $\phi = 45^o = \pi/4 \, rad$ है।
अतः,गति का समीकरण $y = 0.1 \sin(\pm 4t + \pi/4)$ है।

(A) एक सिरे पर बंधी बहुत लंबी डोरी में,जब एक अनुप्रस्थ तरंग उत्पन्न होती है,तो वह स्थिर सिरे की ओर यात्रा करती है और परावर्तित हो जाती है।
हालाँकि,क्योंकि डोरी बहुत लंबी है,परावर्तित तरंग स्रोत या मुक्त सिरे तक वापस पहुँचने से पहले डैम्पिंग और आंतरिक घर्षण के कारण महत्वपूर्ण ऊर्जा खो देती है।
परिणामस्वरूप,मुक्त सिरे के पास (जहाँ तरंग उत्पन्न होती है),परावर्तित तरंग का आयाम आपतित तरंग की तुलना में नगण्य होता है।
इसलिए,आपतित और परावर्तित तरंगों का अध्यारोपण स्थिर तरंग पैटर्न बनाने के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण नहीं है,और केवल प्रगामी तरंग ही देखी जाती है।
अभिकथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण यह बताता है कि परावर्तित तरंग स्रोत के सिरे पर स्थिर तरंग बनाने के लिए महत्वपूर्ण रूप से हस्तक्षेप क्यों नहीं करती है।

(A) विद्युत द्विध्रुव $(-d, 0)$ पर $+q$ और $(d, 0)$ पर $-q$ आवेशों द्वारा बनता है।
$1$. द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p}$ की दिशा $-q$ से $+q$ की ओर होती है,जो कि ऋणात्मक $X$-अक्ष ($-\hat{i}$ दिशा) के अनुदिश है।
$2$. $Y$-अक्ष (निरक्षीय तल) पर किसी भी बिंदु के लिए,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$,द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p}$ के विपरीत दिशा में होता है। चूंकि $\overrightarrow{p}$,$-\hat{i}$ की दिशा में है,इसलिए $Y$-अक्ष पर सभी बिंदुओं पर $\overrightarrow{E}$,$+\hat{i}$ की दिशा में होगा। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
$3$. $X$-अक्ष पर,विद्युत क्षेत्र की दिशा इस आधार पर बदलती है कि बिंदु आवेशों के बीच है या बाहर। अतः,विकल्प $(b)$ गलत है।
$4$. द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p} = q(2d)$ है जो $-q$ से $+q$ की ओर यानी $-\hat{i}$ की दिशा में है। अतः,विकल्प $(c)$ गलत है।
$5$. मूल बिंदु $(0, 0)$ पर विद्युत विभव $V = k(+q)/d + k(-q)/d = 0$ है। एक परीक्षण आवेश $q_0$ को अनंत से मूल बिंदु तक लाने में किया गया कार्य $W = q_0 \Delta V = q_0(V_{origin} - V_{\infty}) = q_0(0 - 0) = 0$ है। अतः,विकल्प $(d)$ गलत है।

(C) तार $1$ द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ है।
यह चुंबकीय क्षेत्र तारों वाले तल के लंबवत होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में धारा अवयव $i_2 dl$ पर लगने वाला बल $dF = i_2 (dl \times B)$ है।
बल का परिमाण $dF = i_2 B dl \sin \phi$ है,जहाँ $\phi$ धारा अवयव $dl$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का कोण है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ तारों के तल के लंबवत है,इसलिए यह धारा अवयव $dl$ के भी लंबवत है। अतः,$\phi = 90^\circ$ और $\sin \phi = 1$ है।
हालाँकि,दो धारावाही तारों के बीच का बल विशेष रूप से धारा अवयव के उस घटक के कारण होता है जो दूसरे तार के समानांतर होता है।
तार $1$ के समानांतर $dl$ का घटक $dl \cos \theta$ है।
इस घटक पर लगने वाला बल $dF = B \cdot i_2 \cdot (dl \cos \theta) = \left( \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r} \right) i_2 dl \cos \theta = \frac{\mu_0 i_1 i_2 dl \cos \theta}{2\pi r}$ है।

(C) विद्युत चुंबक के लिए ऐसे पदार्थ की आवश्यकता होती है जिसे आसानी से चुंबकित और विचुंबकित किया जा सके।
इसे प्राप्त करने के लिए,पदार्थ की रिटेंटिविटी (धारणशीलता) कम होनी चाहिए ताकि धारा बंद होने पर वह चुंबकत्व को बनाए न रखे।
इसके अतिरिक्त,इसकी कोर्सिविटी (निग्राहिता) भी कम होनी चाहिए ताकि इसे एक छोटे विपरीत चुंबकीय क्षेत्र द्वारा आसानी से विचुंबकित किया जा सके।
इसलिए,सही विकल्प कम रिटेंटिविटी और कम कोर्सिविटी है।

(D) दी गई धारा $i = 5 \sin \left( 100 t - \frac{\pi}{2} \right)$ है और विभव $V = 200 \sin (100 t)$ है।
इन्हें मानक रूपों $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ और $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें धारा का कला कोण $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ और वोल्टेज का कला कोण $\phi_2 = 0$ प्राप्त होता है।
वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$ है।
$ac$ परिपथ में औसत बिजली की खपत $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\phi = \frac{\pi}{2}$,पावर फैक्टर $\cos \phi = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ है।
अतः,बिजली की खपत $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \text{ watts}$ है।

(A) एक ऑसिलेटर एक ऐसा सर्किट है जो बिना किसी इनपुट सिग्नल के एक निरंतर,दोहराव वाला,अल्टरनेटिंग वेवफॉर्म उत्पन्न करता है।
यह पॉजिटिव फीडबैक वाले एम्पलीफायर के रूप में कार्य करता है।
इस विन्यास में,आउटपुट सिग्नल का एक हिस्सा मूल सिग्नल के साथ समान कला (in phase) में इनपुट में वापस भेजा जाता है।
यह पॉजिटिव फीडबैक इनपुट को सुदृढ़ करता है,जिससे सर्किट को अनिश्चित काल तक दोलन (oscillations) बनाए रखने की अनुमति मिलती है,बशर्ते कि बार्कहौसेन मानदंड (लूप गेन $A\beta = 1$ और फेज़ शिफ्ट $360^{\circ}$ या $0^{\circ}$) पूरा हो।

(D) कई समानांतर अंतरापृष्ठों के लिए स्नेल के नियम के अनुसार,प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर अपवर्तनांक और आपतन कोण की ज्या (sine) का गुणनफल स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि पहले माध्यम में आपतन कोण $\theta_1$ है और चौथे माध्यम में अपवर्तन कोण $\theta_4$ है।
प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_2 \sin \theta_2 = \mu_3 \sin \theta_3 = \mu_4 \sin \theta_4$.
चूंकि निर्गत किरण $CD$,आपतित किरण $AB$ के समानांतर है,इसलिए आपतन कोण $\theta_1$ का मान निर्गत कोण $\theta_4$ के बराबर होना चाहिए (अर्थात $\theta_1 = \theta_4$)।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_4 \sin \theta_1$.
अतः,$\mu_1 = \mu_4$।

(B) मान लीजिए कि केंद्र $O$ पर आवेश $q_1 = q$ है और बाहर स्थित आवेश $q_2 = q$ है।
सममिति के अनुसार, केंद्र $O$ पर स्थित आवेश $q_1$ के कारण $BGFC$ फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_1 = q / (6\varepsilon_0)$ है, क्योंकि आवेश घन के केंद्र में है और फ्लक्स $6$ फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
अब $O$ से $L$ दूरी पर रखे गए आवेश $q_2$ पर विचार करें। $BGFC$ फलक केंद्र $O$ से $L/2$ दूरी पर स्थित है। आवेश $q_2$ को $BGFC$ फलक के केंद्र से गुजरने वाली रेखा पर $O$ से $L$ दूरी पर रखा गया है।
हालाँकि, इसे समझने का एक सरल तरीका सममिति है। आवेश $q_2$ से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाएं $BGFC$ फलक में प्रवेश करती हैं और विपरीत फलक से बाहर निकलती हैं।
विशेष रूप से, $BGFC$ फलक के लिए, आंतरिक आवेश $q_1$ के कारण फ्लक्स $q / (6\varepsilon_0)$ है।
बाहरी आवेश $q_2$ के लिए, पूरे बंद घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य है क्योंकि आवेश बाहर है।
विशिष्ट ज्यामिति के कारण, $q_2$ के कारण $BGFC$ फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $-q / (6\varepsilon_0)$ है।
इसलिए, $BGFC$ फलक से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 = q / (6\varepsilon_0) - q / (6\varepsilon_0) = 0$ है।

(A) मान लीजिए कि दो समान आवेश $Q$,$x = -d$ और $x = +d$ पर रखे गए हैं। मध्य बिंदु $O$,$x = 0$ पर है।
यदि $O$ पर एक धनात्मक परीक्षण आवेश $q$ रखा जाता है,तो बाएं आवेश द्वारा लगाया गया बल $F_1 = \frac{kQq}{d^2}$ (दाहिनी ओर) है और दाएं आवेश द्वारा लगाया गया बल $F_2 = \frac{kQq}{d^2}$ (बाईं ओर) है। कुल बल $F_{net} = F_1 - F_2 = 0$ है। अतः,आवेश संतुलन में है।
यदि परीक्षण आवेश $q$ को दाईं ओर थोड़ी दूरी $x$ तक विस्थापित किया जाता है,तो दाएं आवेश से बल बढ़ जाता है और बाएं आवेश से बल कम हो जाता है। कुल बल बाईं ओर (विस्थापन की विपरीत दिशा में) कार्य करेगा,जो आवेश को उसकी मूल स्थिति में वापस लाने का प्रयास करेगा। यह $x-$ अक्ष के अनुदिश विस्थापन के लिए स्थिर संतुलन की पुष्टि करता है।
चूंकि कथन सही है और कारण सही ढंग से बताता है कि कुल बल शून्य है (जो संतुलन के लिए एक शर्त है),इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
तीनों तारों के लिए प्रतिरोध इस प्रकार हैं:
$R_1 = \rho \frac{l}{A}$
$R_2 = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R_1$
$R_3 = \rho \frac{l/2}{2A} = \frac{1}{4} \rho \frac{l}{A} = 0.25R_1$
प्रतिरोधों की तुलना करने पर,$R_3 < R_1 < R_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$l/2$ लंबाई और $2A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले तार के लिए प्रतिरोध न्यूनतम है।

(A) परिपथ $POQ$ अक्ष के सापेक्ष सममित है। सममिति के कारण,नोड $A$ और $B$ पर विभव नोड $O$ के विभव के समान होता है। अतः,$O$ से जुड़े $2R$ प्रतिरोध वाले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधकों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $P$ और $Q$ के बीच तीन समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है:
$1$. ऊपरी शाखा: श्रेणीक्रम में दो $2R$ प्रतिरोधक,कुल $= 4R$।
$2$. मध्य शाखा: श्रेणीक्रम में दो $r$ प्रतिरोधक,कुल $= 2r$।
$3$. निचली शाखा: श्रेणीक्रम में दो $2R$ प्रतिरोधक,कुल $= 4R$।
तुल्य प्रतिरोध $R_{PQ}$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{4R} = \frac{2}{4R} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2r} = \frac{r + R}{2Rr}$।
अतः,$R_{PQ} = \frac{2Rr}{R + r}$।

(B) जब एक आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग $\vec{v}$ के साथ गति करता है,तो उस पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा कण पर किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है। चूंकि कार्य शून्य है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,एक स्थिर गतिज ऊर्जा का अर्थ है कि कण की चाल $(v)$ अपरिवर्तित रहती है।
हालाँकि,चूंकि बल वेग के लंबवत कार्य करता है,यह गति की दिशा को बदल देता है,जिससे कण एक वृत्ताकार पथ में गति करने लगता है। इस प्रकार,वेग और त्वरण लगातार बदलते रहते हैं।

(D) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार चाप,जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है और जो केंद्र पर $\phi$ कोण बनाता है,के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\phi}{2\pi} \cdot \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई कुंडली के लिए,धारा $I$,$\theta$ और $(2\pi - \theta)$ कोण बनाने वाले चाप पर $I_1$ और $I_2$ में विभाजित हो जाती है।
चाप $I_1$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ है (कागज के अंदर की ओर)।
चाप $I_2$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{2\pi - \theta}{2\pi} \cdot \frac{\mu_0 I_2}{2R}$ है (कागज के बाहर की ओर)।
कुल चुंबकीय क्षेत्र के शून्य होने के लिए,$B_1 = B_2$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\theta I_1 = (2\pi - \theta) I_2$।
यह स्थिति केवल $I_1 = I_2$ होने से संतुष्ट नहीं होती है,जब तक कि $\theta = \pi$ न हो (अर्थात,धारा दो अर्धवृत्तों में विभाजित हो)। इसलिए,कथन सामान्यतः गलत है,और कारण भी गलत है क्योंकि जब तक ज्यामिति सममित न हो,$I_1 = I_2$ शून्य क्षेत्र की गारंटी नहीं देता है।

(C) समांतर क्रम में जुड़े प्रेरक और संधारित्र वाले $AC$ परिपथ में,प्रेरक से प्रवाहित धारा $(I_L)$ वोल्टेज से $90^{\circ}$ पीछे होती है,और संधारित्र से प्रवाहित धारा $(I_C)$ वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे होती है।
इस प्रकार,धाराएं $I_L$ और $I_C$ विपरीत कला (opposite phases) में होती हैं,अर्थात उनके बीच का कलांतर $180^{\circ}$ होता है।
जनरेटर द्वारा ली गई कुल धारा $I$ इन धाराओं का सदिश योग है:
$I = |I_L - I_C|$
दिया गया है कि $I_L = 0.9\,A$ और $I_C = 0.4\,A$ है।
अतः,$I = |0.9 - 0.4| = 0.5\,A$।

(C) $L$ की विमाएँ $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ हैं।
$C$ की विमाएँ $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$ हैं।
$R$ की विमाएँ $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ हैं।
संयोजन $1/\sqrt{LC}$ के लिए:
$\frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{[M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}} = \frac{1}{\sqrt{T^2}} = T^{-1}$.
चूंकि $T^{-1}$ आवृत्ति की विमा है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।
नोट: $R/L$ की विमाएँ भी आवृत्ति $(T^{-1})$ के समान होती हैं,लेकिन $1/\sqrt{LC}$ मानक अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) का संयोजन है।

(A) एक लाइन के माध्यम से प्रेषित शक्ति $P = VI$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $V$ वोल्टेज है और $I$ धारा है।
प्रतिरोध $R$ के कारण ट्रांसमिशन लाइन में शक्ति हानि $P_{\text{loss}} = I^2R$ द्वारा दी जाती है।
$I = \frac{P}{V}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P_{\text{loss}} = (\frac{P}{V})^2 R = \frac{P^2 R}{V^2}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $P_{\text{loss}} \propto \frac{1}{V^2}$ है।
इसलिए, वोल्टेज $V$ को बढ़ाकर, शक्ति हानि $P_{\text{loss}}$ को काफी कम किया जा सकता है।
अतः, कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण, कथन की सही व्याख्या है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग का कुल ऊर्जा घनत्व $u$,विद्युत ऊर्जा घनत्व $u_E$ और चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_B$ का योग होता है।
विद्युत ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,कुल ऊर्जा घनत्व $u = u_E + u_B = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$ है।

(B) चांदी की परत चढ़े लेंस के लिए,यह निकाय $F$ प्रभावी फोकस दूरी वाले एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है। निकाय की शक्ति $P = 2P_L + P_M$ है,जहाँ $P_L = \frac{1}{f_L}$ और $P_M = 0$ (समतल दर्पण के लिए)।
दिया गया है $f_L = 30\,cm$,इसलिए लेंस की शक्ति $P_L = \frac{1}{30}$ है।
प्रभावी शक्ति $P = 2(\frac{1}{30}) + 0 = \frac{1}{15}$ है।
अतः,प्रभावी फोकस दूरी $F = -15\,cm$ (अवतल दर्पण के रूप में) है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -40\,cm$ और $F = -15\,cm$:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{-15}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 8}{120} = \frac{-5}{120}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{24}$
$v = -24\,cm$।
अतः लेंस से प्रतिबिंब की दूरी $24\,cm$ है।

(A) अवर्णक युग्म (achromatic doublet) के लिए शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है।
चूंकि किसी भी पदार्थ के लिए $\omega_1$ और $\omega_2$ (विक्षेपण क्षमता) हमेशा धनात्मक होते हैं,इसलिए योग को शून्य होने के लिए,फोकल लंबाई ($f_1$ या $f_2$) में से एक का ऋणात्मक होना आवश्यक है।
ऋणात्मक फोकल लंबाई एक अवतल लेंस को दर्शाती है।
इसलिए,एक अवर्णक संयोजन बनाने के लिए,एक लेंस उत्तल और दूसरा अवतल होना चाहिए।
दो उत्तल लेंस इस शर्त को पूरा नहीं कर सकते क्योंकि $f_1$ और $f_2$ दोनों धनात्मक होंगे,जिससे योग $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2}$ हमेशा धनात्मक (शून्य से अधिक) रहेगा।
अतः,कथन सही है और कारण भी सही है,जो सही व्याख्या प्रदान करता है।

(D) व्यतिकरण की घटना होने के लिए,प्रकाश के दो स्रोतों का कला-संबद्ध (Coherent) होना आवश्यक है।
कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक-दूसरे के साथ एक स्थिर या निश्चित कला संबंध बनाए रखते हैं।

(B) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 2500 \text{ Å}$ और $\lambda_2 = 3500 \text{ Å}$ के संपाती होने के लिए, उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
$n_1 (2500) = n_2 (3500)$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{3500}{2500} = \frac{7}{5}$
इसका अर्थ है कि $1^{st}$ स्रोत की $(\lambda_1)$ $7^{th}$ क्रम की फ्रिंज, $2^{nd}$ स्रोत की $(\lambda_2)$ $5^{th}$ क्रम की फ्रिंज के साथ संपाती होगी।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = eV_0 = h\nu - \phi$,जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $X-$ किरणों की आवृत्ति पराबैंगनी $(U.V.)$ प्रकाश की तुलना में काफी अधिक होती है,इसलिए जब $X-$ किरणों का उपयोग किया जाता है तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ और निरोधी विभव $(V_0)$ दोनों बढ़ जाते हैं।
अतः,कथन सही है।
कारण में कहा गया है कि आपतित प्रकाश में आवृत्तियों की सीमा के कारण फोटोइलेक्ट्रॉन विभिन्न गति के साथ उत्सर्जित होते हैं। यह गलत है क्योंकि प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन एकवर्णी प्रकाश (एकल आवृत्ति) के साथ भी होता है,और गति की सीमा उत्सर्जन से पहले धातु के भीतर इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा हानि के कारण उत्पन्न होती है,न कि आपतित आवृत्तियों की सीमा के कारण।
इस प्रकार,कथन सही है लेकिन कारण गलत है।

(A) लाइमन श्रेणी उन संक्रमणों के अनुरूप है जहाँ अंतिम अवस्था $n_f = 1$ है। तरंगदैर्घ्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ है।
सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य (न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण) के लिए,हम $n_i = 2$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
$\lambda_{\max} = \frac{4}{3R} \approx 1213 \, \mathring{A}$.
सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य (अधिकतम ऊर्जा संक्रमण) के लिए,हम $n_i = \infty$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
$\lambda_{\min} = \frac{1}{R} \approx 910 \, \mathring{A}$.
अतः,सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $910 \, \mathring{A}$ और सबसे लंबी $1213 \, \mathring{A}$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $C^{14}$ और $C^{12}$ का अनुपात मूल मात्रा का एक-चौथाई है,इसलिए $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{4}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5700}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$,हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं: $2 = \frac{t}{5700}$।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = 2 \times 5700 = 11400 \, years$ प्राप्त होता है।

(C) $A > 100$ वाले नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा घटती है क्योंकि नाभिकीय बल लघु-परास (short-ranged) का होता है,जबकि प्रोटॉन के बीच कूलम्ब प्रतिकर्षण दीर्घ-परास (long-ranged) का होता है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या $A$ बढ़ती है,नाभिक का आकार बढ़ता है। चूंकि नाभिकीय बल केवल निकटतम पड़ोसियों के बीच कार्य करता है,इसलिए कुल नाभिकीय बंधन ऊर्जा लगभग $A$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
हालाँकि,कूलम्ब प्रतिकर्षण सभी प्रोटॉन युग्मों के बीच कार्य करता है,और युग्मों की संख्या $A^2$ के अनुपात में बढ़ती है। इसके कारण भारी नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन शुद्ध बंधन ऊर्जा कम हो जाती है।
कारण कथन तकनीकी रूप से गलत है क्योंकि नाभिकीय बल स्वयं भारी नाभिकों के लिए 'कमजोर' नहीं होता है; बल्कि इसकी लघु-परास प्रकृति का अर्थ है कि जैसे-जैसे नाभिक बड़ा होता है,यह दीर्घ-परास कूलम्ब प्रतिकर्षण की भरपाई नहीं कर पाता है।

(B) $100\%$ मॉड्यूलेशन के लिए,मॉड्यूलेशन इंडेक्स $m_a = 1$ है।
$AM$ तरंग में कुल विकिरित शक्ति $P_t = P_c (1 + \frac{m_a^2}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P_c$ कैरियर शक्ति है।
उपयोगी शक्ति वह शक्ति है जो साइडबैंड्स में निहित होती है,जिसे $P_{sb} = P_c \frac{m_a^2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
उपयोगी शक्ति और कुल शक्ति का अनुपात $\frac{P_{sb}}{P_t} = \frac{P_c \frac{m_a^2}{2}}{P_c (1 + \frac{m_a^2}{2})} = \frac{m_a^2}{2 + m_a^2}$ है।
$m_a = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{P_{sb}}{P_t} = \frac{1^2}{2 + 1^2} = \frac{1}{3}$.
अतः,कुल विकिरित शक्ति का उपयोगी भाग कुल शक्ति का $1/3$ है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक धनावेशित धात्विक पतले कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि स्थिरवैद्युत विभव $V$ स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है।
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R} = \text{स्थिरांक}$
$2$. कोश के बाहर $(r \geq R)$,कोश केंद्र पर रखे बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है। अतः,विभव दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \implies V \propto \frac{1}{r}$
इसलिए,ग्राफ $r < R$ के लिए स्थिर विभव और $r \geq R$ के लिए अतिपरवलयिक (hyperbolic) गिरावट को दर्शाता है,जो विकल्प $C$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।