AIIMS 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
चूँकि पिंड विरामावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है। अतः,$K = W$।
एकसमान त्वरण $a$ और एकसमान बल $F$ के अंतर्गत गति करने वाले पिंड के लिए,$x$ दूरी तय करने में किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = F \cdot x$
चूँकि $F = m \cdot a$ एक नियतांक है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$K = (m \cdot a) \cdot x$
यह दर्शाता है कि $K \propto x$ है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा $K$ और दूरी $x$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $P$ परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $P \propto T^4$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
अब,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात ज्ञात करें:
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{200}{600} \right)^4$
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात $1:81$ है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $2\pi$ और $k$ स्थिरांक हैं,इसलिए $T \propto \sqrt{M}$ है।
प्रारंभ में,$M_1 = M$ द्रव्यमान के लिए आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
जब द्रव्यमान में $m$ की वृद्धि की जाती है,तो नया द्रव्यमान $M_2 = M + m$ और नया आवर्तकाल $T_2 = \frac{5T}{3}$ हो जाता है।
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{M}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{5T/3}{T} = \sqrt{\frac{M + m}{M}}$.
$\frac{5}{3} = \sqrt{1 + \frac{m}{M}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
अतः,$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.5 \sin(10t - x)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \ rad/s$
तरंग संख्या $k = 1 \ rad/m$
तरंग का वेग $v$,$t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{10}{1} = 10 \ m/s$.

(B) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$R_1$ कक्षा में प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = -\frac{GMm}{2R_1}$ है।
$R_2$ कक्षा में अंतिम ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2R_2}$ है।
कुल ऊर्जा में आवश्यक परिवर्तन $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{2R_2} - (-\frac{GMm}{2R_1}) = \frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
अतः,आवश्यक अतिरिक्त गतिज ऊर्जा $\frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।

(A) माप में सार्थक अंकों की संख्या माप की परिशुद्धता को दर्शाती है,जो सीधे मापन उपकरण के अल्पतमांक (least count) से संबंधित है। कम अल्पतमांक अधिक सटीक माप की अनुमति देता है,जिससे सार्थक अंकों की संख्या बढ़ जाती है।
सार्थक अंक माप की विश्वसनीयता और परिशुद्धता के बारे में जानकारी प्रदान करते हैं,जो उपकरण की पठन क्षमता की सटीकता के समान है।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$ $Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(C) $Assertion$ सही है क्योंकि जब कोई वाहन बैंक्ड सड़क पर इष्टतम गति $v = \sqrt{rg \tan \theta}$ से चलता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक $(N \sin \theta)$ आवश्यक अभिकेंद्री बल $(mv^2/r)$ प्रदान करने के लिए पर्याप्त होता है।
इस विशिष्ट स्थिति में,वृत्ताकार पथ को बनाए रखने के लिए घर्षण बल की आवश्यकता नहीं होती है।
$Reason$ गलत है क्योंकि बैंक्ड सड़क पर,वाहन स्वाभाविक रूप से बिना फिसले अंदर की ओर नहीं रहता है; बल्कि,बैंकिंग कोण को विशेष रूप से एक निश्चित गति पर बलों को संतुलित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है ताकि फिसलने से बचा जा सके।

(A) $Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या है। यदि पहाड़ी सड़कें सीधे ऊपर जातीं,तो झुकाव का कोण $\theta$ बहुत बड़ा होता। फिसलने से रोकने के लिए उपलब्ध घर्षण बल $f = \mu mg \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\cos \theta$ घटता है,जिससे घर्षण बल कम हो जाता है। इस कम घर्षण के कारण,वाहन के पहियों के फिसलने की संभावना बढ़ जाती है। इसके अलावा,खड़ी ढलान पर चढ़ने के लिए इंजन की बहुत अधिक शक्ति की आवश्यकता होती है,जो अधिकांश वाहनों के लिए व्यावहारिक नहीं है। इसलिए,प्रभावी ढलान को कम करने के लिए सड़कों को घुमावदार बनाया जाता है।

(B) पृथ्वी का वायुमंडल एक कंबल की तरह कार्य करता है जो ग्रीनहाउस प्रभाव के माध्यम से ऊष्मा को रोक कर रखता है।
वायुमंडल की अनुपस्थिति में,पृथ्वी की सतह द्वारा उत्सर्जित अवरक्त विकिरण (infrared radiation) को रोकने के लिए कोई तंत्र नहीं होगा।
परिणामस्वरूप,सारी ऊष्मा अंतरिक्ष में पलायन कर जाएगी,जिससे सतह का तापमान काफी गिर जाएगा और पृथ्वी अत्यधिक ठंडी हो जाएगी।
अतः,$Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या है।

(A) शाफ्ट की मरोड़ कठोरता (torsional rigidity) $C = \frac{\eta J}{L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\eta$ कठोरता मापांक (modulus of rigidity) है, $J$ ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (polar moment of inertia) है, और $L$ लंबाई है।
दिए गए टॉर्क $\tau$ के लिए, मरोड़ का कोण $\theta = \frac{\tau L}{\eta J}$ होता है।
खोखले शाफ्ट के लिए, पदार्थ अक्ष से अधिक दूरी पर वितरित होता है, जो समान द्रव्यमान के लिए ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण $J$ को बढ़ाता है।
चूंकि समान द्रव्यमान और लंबाई के लिए $J_{hollow} > J_{solid}$ होता है, इसलिए एक विशिष्ट मरोड़ $\theta$ उत्पन्न करने के लिए आवश्यक टॉर्क खोखले शाफ्ट के लिए अधिक होता है।
अतः, खोखला शाफ्ट मरोड़ में अधिक मजबूत होता है, और कारण, Assertion की सही व्याख्या करता है।

(A) बर्नौली के सिद्धांत से प्राप्त सूत्र के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v$ है:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}}$
जहाँ $h$ छेद के ऊपर पानी के स्तंभ की ऊँचाई है।
दिया गया है:
पानी की कुल ऊँचाई = $3\,m$
नीचे से छेद की ऊँचाई = $52.5\,cm = 0.525\,m$
$h = 3 - 0.525 = 2.475\,m$
$A_0/A = 0.1$
$g = 10\,m/s^2$
इन मानों को $v^2$ के सूत्र में रखने पर:
$v^2 = \frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}$
$v^2 = \frac{2 \times 10 \times 2.475}{1 - (0.1)^2}$
$v^2 = \frac{49.5}{1 - 0.01}$
$v^2 = \frac{49.5}{0.99} = 50\,m^2/s^2$

(C) $6.02 \times 10^{23}$ संख्या को एवोगैड्रो संख्या $(N_A)$ के रूप में जाना जाता है।
परिभाषा के अनुसार,किसी भी पदार्थ के एक मोल में हमेशा $6.02 \times 10^{23}$ प्राथमिक इकाइयाँ (परमाणु,अणु या आयन) होती हैं,चाहे पदार्थ का तापमान,दबाव या आयतन कुछ भी हो।
इसलिए,Assertion सही है।
हालाँकि,मोल की परिभाषा $S.T.P.$ (मानक तापमान और दबाव) स्थितियों पर निर्भर नहीं करती है।
$S.T.P.$ स्थितियाँ केवल तब प्रासंगिक होती हैं जब एक आदर्श गैस के एक मोल द्वारा घेरे गए आयतन की गणना की जाती है ($S.T.P.$ पर यह $22.4 \ L$ होता है)।
अतः,Reason गलत है।

(A) लाप्लास ने ध्वनि के संचरण के दौरान प्रक्रिया को रुद्धोष्म (adiabatic) मानकर न्यूटन के सूत्र में सुधार किया था।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है।
यह धारणा उचित है क्योंकि हवा ऊष्मा की कुचालक है और ध्वनि का वेग बहुत अधिक होने के कारण संपीड़न और विरलन बहुत तेजी से होते हैं,जिससे इन क्षेत्रों के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए पर्याप्त समय नहीं मिल पाता है।
अतः,अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,अभिकथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।

(D) दो सदिशों के योग का परिमाण $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,दो सदिशों के अंतर का परिमाण $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ प्राप्त होता है।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से समान पदों $|\vec{A}|^2$ और $|\vec{B}|^2$ को हटाने पर,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सदिश शून्य नहीं हैं,$|\vec{A}| \neq 0$ और $|\vec{B}| \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(C) बंदूक को पकड़े रखने के लिए आवश्यक बल दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
बल का सूत्र $F = n \cdot m \cdot v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ:
$n$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है $(4 \, s^{-1})$,
$m$ प्रत्येक गोली का द्रव्यमान है $(20 \, g = 0.02 \, kg)$,
$v$ गोली का वेग है $(300 \, m/s)$।
मान रखने पर:
$F = 4 \times 0.02 \, kg \times 300 \, m/s$
$F = 4 \times 6 = 24 \, N$.
अतः,बंदूक को पकड़े रखने के लिए आवश्यक बल $24 \, N$ है।

(C) मान लीजिए कि आदमी $v$ की निरंतर गति से दौड़ता है। मान लीजिए कि बस को पकड़ने में लगा समय $t$ है।
$t$ समय में बस द्वारा तय की गई दूरी $s_b = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times t^2 = 1.5 t^2$ है।
बस तक पहुँचने के लिए आदमी द्वारा तय की जाने वाली कुल दूरी $s_m = 6 + s_b = 6 + 1.5 t^2$ है।
चूंकि आदमी $v$ की निरंतर गति से दौड़ता है,इसलिए उसके द्वारा तय की गई दूरी $s_m = v t$ है।
$s_m$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $v t = 6 + 1.5 t^2$,जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $1.5 t^2 - v t + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
आदमी के बस को पकड़ने के लिए,समय $t$ का मान वास्तविक होना चाहिए। इसके लिए द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होना चाहिए $(D \ge 0)$।
$D = (-v)^2 - 4(1.5)(6) \ge 0$
$v^2 - 36 \ge 0$
$v^2 \ge 36 \implies v \ge 6\,m s^{-1}$।
अतः,आवश्यक न्यूनतम गति $6\,m s^{-1}$ है।

(D) माना डोरी $P$ में तनाव $T_P$ है,डोरी $R$ में तनाव $T_R$ है,और डोरी $Q$ में तनाव $T_Q$ है। $M = 60\,kg$ द्रव्यमान डोरी $Q$ द्वारा लटकाया गया है,इसलिए $T_Q = Mg = 60 \times 10 = 600\,N$.
जंक्शन बिंदु पर,बल संतुलन में हैं। बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T_R \cos 30^{\circ} - T_P = 0 \implies T_P = T_R \cos 30^{\circ}$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_R \sin 30^{\circ} - T_Q = 0 \implies T_R \sin 30^{\circ} = 600\,N$
ऊर्ध्वाधर घटक समीकरण से,$T_R = \frac{600}{\sin 30^{\circ}} = \frac{600}{0.5} = 1200\,N$.
अब,$T_R$ का मान क्षैतिज घटक समीकरण में रखने पर:
$T_P = 1200 \times \cos 30^{\circ} = 1200 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 600 \times 1.732 = 1039.2\,N$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,डोरी $P$ में तनाव $103.9\,N$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(D) सरल लोलक की डोरी में अधिकतम तनाव उसके दोलन के सबसे निचले बिंदु पर होता है।
सबसे निचले बिंदु पर,तनाव $T$ का मान $T = mg + \frac{mv^2}{l}$ होता है,जहाँ $v$ सबसे निचले बिंदु पर वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,अधिकतम कोणीय विस्थापन $\theta_0$ पर स्थितिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgl(1 - \cos \theta_0) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta_0)$
$v^2$ का मान तनाव के समीकरण में रखने पर:
$T_{\max} = mg + \frac{m(2gl(1 - \cos \theta_0))}{l}$
$T_{\max} = mg + 2mg(1 - \cos \theta_0)$
छोटे कोणों के लिए,हम $\cos \theta_0 \approx 1 - \frac{\theta_0^2}{2}$ सन्निकटन का उपयोग करते हैं:
$T_{\max} = mg + 2mg(1 - (1 - \frac{\theta_0^2}{2}))$
$T_{\max} = mg + 2mg(\frac{\theta_0^2}{2})$
$T_{\max} = mg(1 + \theta_0^2)$

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे एक कृत्रिम उपग्रह के अंदर,उपग्रह और उसके अंदर की हर वस्तु भारहीनता की स्थिति में होती है,जिसका अर्थ है कि प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = 0$ है।
सूत्र में $g_{eff} = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $T \rightarrow \infty$।
अतः,लोलक का आवर्तकाल अनंत होता है।

(C) डोरी में तनाव बल पत्थर को वृत्ताकार गति में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 0.3\,kg$,त्रिज्या $R = 1.5\,m$,और वेग $v = 6\,m s^{-1}$ है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{0.3 \times (6)^2}{1.5}$
$T = \frac{0.3 \times 36}{1.5}$
$T = \frac{10.8}{1.5} = 7.2\,N$.
अतः,डोरी में तनाव $7.2\,N$ है।

(C) माना कि दोनों गेंदें $t$ सेकंड के बाद मिलती हैं।
ऊपर से गिराई गई गेंद के लिए:
तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g t^2$ है।
नीचे से ऊपर फेंकी गई गेंद के लिए:
तय की गई दूरी $s_2 = u t - \frac{1}{2} g t^2$ है,जहाँ $u = 40\,m/s$ है।
चूंकि इमारत की कुल ऊँचाई $100\,m$ है,इसलिए दोनों गेंदों द्वारा तय की गई दूरियों का योग इमारत की ऊँचाई के बराबर होना चाहिए:
$s_1 + s_2 = 100$
समीकरणों को रखने पर:
$\frac{1}{2} g t^2 + (40 t - \frac{1}{2} g t^2) = 100$
$40 t = 100$
$t = \frac{100}{40} = 2.5\,s$.
अतः,दोनों गेंदें $2.5\,s$ के बाद मिलेंगी।

(C) कण का विस्थापन समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण $y = 0.25 \sin(200t)$ के साथ तुलना करने पर:
आयाम $A = 0.25 \ cm$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
कण का वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [0.25 \sin(200t)] = 0.25 \times 200 \cos(200t) = 50 \cos(200t)$
अधिकतम चाल $v_{max}$ तब होती है जब $\cos(200t) = 1$ हो:
$v_{max} = A \omega = 0.25 \times 200 = 50 \ cm \ s^{-1}$.

(D) द्रव्यमान-स्प्रिंग निकाय की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 4 \ Hz$,इसलिए $4 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$.
जब $k$ नियतांक वाली दो समान स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ का मान $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $k_{eq} = \frac{k}{2}$.
नई आवृत्ति $f_2$ का मान $f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k/2}{m}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right)$ होगा।
प्रारंभिक आवृत्ति का मान रखने पर,$f_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 4 = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ Hz$।

(B) पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ और उसके संवेग $(p)$ के बीच संबंध है: $KE = \frac{p^2}{2m}$।
माना प्रारंभिक संवेग $p_i$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{p_i^2}{2m}$ है।
संवेग में $50 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए अंतिम संवेग $p_f = p_i + 0.50 p_i = 1.5 p_i$ होगा।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{p_f^2}{2m} = \frac{(1.5 p_i)^2}{2m} = \frac{2.25 p_i^2}{2m} = 2.25 KE_i$ होगी।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{KE_f - KE_i}{KE_i} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{2.25 KE_i - KE_i}{KE_i} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,निर्वात या हवा में दो आवेशों के बीच लगने वाला बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ होता है।
जब आवेशों को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो बल $F_m = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ हो जाता है।
अतः,माध्यम में बल और हवा में बल के बीच का संबंध $F_m = \frac{F}{K}$ है।
चूंकि $K = 2$ दिया गया है,इसलिए नया बल $F_m = \frac{F}{2}$ होगा।

(D) एक चालक से प्रवाहित होने वाली स्थिर धारा $i$ के लिए,आवेश संरक्षण के सिद्धांत का अर्थ है कि चालक के प्रत्येक अनुप्रस्थ काट पर धारा $i$ नियत रहनी चाहिए।
धारा घनत्व $j = \frac{i}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। चूँकि $A$ लंबाई के साथ बदलता है,इसलिए $j$ नियत नहीं है।
ओम के नियम के सूक्ष्म रूप से,$j = \sigma E$। चूँकि $j$ बदलता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E$ भी लंबाई के साथ बदलना चाहिए।
इसके अतिरिक्त,अपवाह वेग ${v_d} = \frac{j}{ne} = \frac{i}{Ane}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $A$ बदलता है,इसलिए अपवाह वेग ${v_d}$ भी नियत नहीं रहता है।
अतः,चालक की लंबाई के अनुदिश केवल धारा $i$ ही नियत रहती है।

(C) नमन कोण $\phi$,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ और क्षैतिज घटक $B_H$ के साथ इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\tan \phi = \frac{B_V}{B_H}$।
दिया गया है कि क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक समान हैं,इसलिए $B_V = B_H$।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan \phi = \frac{B_H}{B_H} = 1$।
चूंकि $\tan \phi = 1$ है,इसलिए नमन कोण $\phi = \tan^{-1}(1) = 45^o$ होगा।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।
यह दिया गया है कि सभी कणों के लिए वेग $v$ समान है,इसलिए संबंध $\lambda \propto \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि सबसे कम द्रव्यमान वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{\beta} < m_{proton} \approx m_{neutron} < m_{\alpha}$.
चूंकि $\beta$-कण (इलेक्ट्रॉन) का द्रव्यमान दिए गए विकल्पों में सबसे कम है,इसलिए इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।

(D) प्रारंभिक नाभिक $^7_7X^{15}$ है।
$\alpha$-कण एक हीलियम नाभिक है,जिसे $^2_2He^4$ के रूप में दर्शाया जाता है।
परमाणु द्वारा $\alpha$-कण को कैप्चर करने की अभिक्रिया: $^7_7X^{15} + ^2_2He^4 \to ^{19}_9Y^*$.
फिर,परिणामी नाभिक एक प्रोटॉन $(^1_1H^1)$ उत्सर्जित करता है:
$^{19}_9Y^* \to ^1_1H^1 + ^{18}_8Z$.
द्रव्यमान संख्याओं की तुलना करने पर: $15 + 4 = 1 + A \implies A = 18$.
परमाणु क्रमांकों की तुलना करने पर: $7 + 2 = 1 + Z \implies Z = 8$.
अतः,परिणामी उत्पाद की द्रव्यमान संख्या $18$ और परमाणु क्रमांक $8$ होगा।

(D) माना फलक $1$ से हवा के बुलबुले की दूरी $x$ है। तो फलक $2$ से इसकी दूरी $(15 - x)$ होगी।
आभासी गहराई के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{आभासी गहराई} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\mu}$.
जब फलक $1$ से देखा जाता है: $6 = \frac{x}{\mu} \Rightarrow x = 6\mu$ .....$(i)$
जब फलक $2$ से देखा जाता है: $4 = \frac{15 - x}{\mu} \Rightarrow 15 - x = 4\mu$ .....$(ii)$
समीकरण $(i)$ से $x$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$15 - 6\mu = 4\mu$
$15 = 10\mu$
$\mu = \frac{15}{10} = 1.5$.

(A) दिया गया है कि दूसरे माध्यम में वेग $(v_2)$ पहले माध्यम $(v_1)$ के वेग का दोगुना है,इसलिए $v_2 = 2v_1$ है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu$ वेग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu = c/v)$,इसलिए अपवर्तनांक का अनुपात $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{v_2}{v_1} = 2$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है। यहाँ,$\mu_1 > \mu_2$ है।
क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ है।
मान रखने पर,$\sin C = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = \arcsin(0.5) = 30^o$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए। अतः,$i > 30^o$।

(C) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ है।
माना कि दो तरंगों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं। चूँकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ होगा।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3 + 1}{3 - 1} \right)^2 = \left( \frac{4}{2} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) ज़ेनर डायोड का अधिकतम पावर डिसिपेशन $(P)$ $364 \;mW = 364 \times 10^{-3} \;W$ दिया गया है।
ब्रेकडाउन वोल्टेज $(V_Z)$ $9.1 \;V$ दिया गया है।
डायोड द्वारा वहन की जा सकने वाली अधिकतम धारा $(I_{Z_{\max}})$ की गणना निम्नलिखित सूत्र द्वारा की जाती है:
$I_{Z_{\max}} = \frac{P}{V_Z}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$I_{Z_{\max}} = \frac{364 \times 10^{-3} \;W}{9.1 \;V}$
$I_{Z_{\max}} = 40 \times 10^{-3} \;A$
मिलीएम्पीयर $(mA)$ में बदलने पर:
$I_{Z_{\max}} = 40 \;mA$.

(D) सामान्य समायोजन में,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
दूरदर्शी की लंबाई $(L)$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के योग के बराबर होती है।
दिया गया है:
$f_o = 200 \; cm$
$f_e = 4 \; cm$
सूत्र:
$L = f_o + f_e$
गणना:
$L = 200 \; cm + 4 \; cm = 204 \; cm$

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में पहले निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है। पहले निम्निष्ठ के लिए $n = 1$ रखने पर,$a \sin \theta = \lambda$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$a (\frac{1}{2}) = \lambda$,जिसका अर्थ है कि $a = 2 \lambda$ ..... $(i)$.
पहले गौण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta' = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है,जहाँ $n = 1$ रखने पर $a \sin \theta' = \frac{3}{2} \lambda$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से $a = 2 \lambda$ का मान इस समीकरण में रखने पर:
$(2 \lambda) \sin \theta' = \frac{3}{2} \lambda$.
दोनों पक्षों को $2 \lambda$ से विभाजित करने पर,$\sin \theta' = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\theta' = \sin^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$.

(A) मान लीजिए कि दो स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है,जहाँ $\frac{I_1}{I_2} = \alpha$ है। चूंकि $I \propto A^2$,इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$ होगा।
व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता $I_{max} = (A_1 + A_2)^2$ और $I_{min} = (A_1 - A_2)^2$ द्वारा दी जाती है।
हमें $\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ का मान ज्ञात करना है।
$I_{max}$ और $I_{min}$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2 - (A_1 - A_2)^2}{(A_1 + A_2)^2 + (A_1 - A_2)^2}$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$= \frac{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) - (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) + (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}$
$= \frac{4A_1A_2}{2(A_1^2 + A_2^2)} = \frac{2A_1A_2}{A_1^2 + A_2^2}$
अंश और हर को $A_2^2$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{2(A_1/A_2)}{(A_1/A_2)^2 + 1}$
चूंकि $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$,इस मान को रखने पर:
$= \frac{2\sqrt{\alpha}}{(\sqrt{\alpha})^2 + 1} = \frac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha + 1}$।

(C) $1$. प्रकाश किरण $AB$ सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए यह बिना विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती है और $AC$ सतह से टकराती है।
$2$. मान लीजिए $AC$ सतह पर आपतन कोण $i$ है। प्रिज्म की ज्यामिति से,$AC$ सतह के अभिलंब और आपतित किरण के बीच का कोण प्रिज्म के कोण $\theta$ के बराबर होता है। अतः,$i = \theta$।
$3$. $AC$ सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण कांच-पानी इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
$4$. $TIR$ के लिए शर्त $i > C$ है,जिसका अर्थ है $\sin i > \sin C$।
$5$. चूंकि $i = \theta$,इसलिए $\sin \theta > \sin C$।
$6$. क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$ द्वारा दिया जाता है।
$7$. अतः,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin \theta > \frac{8}{9}$ है।

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए गुणवत्ता कारक $Q$ का सूत्र है: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $Q^2 = \frac{1}{R^2} \cdot \frac{L}{C}$,जिसका अर्थ है $L = Q^2 R^2 C$।
दिए गए मान हैं: $Q = 0.4$,$R = 2 \, k\Omega = 2 \times 10^3 \, \Omega$,और $C = 0.1 \, \mu F = 0.1 \times 10^{-6} \, F$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = (0.4)^2 \times (2 \times 10^3)^2 \times (0.1 \times 10^{-6})$
$L = 0.16 \times 4 \times 10^6 \times 0.1 \times 10^{-6}$
$L = 0.16 \times 4 \times 0.1$
$L = 0.064 \, H$।

(A) एक ध्रुवीय परावैद्युत ऐसे अणुओं से बना होता है जिनमें स्थायी विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण होता है।
बाह्य विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में,तापीय हलचल के कारण ये द्विध्रुव यादृच्छिक रूप से अभिविन्यासित होते हैं।
इस यादृच्छिक अभिविन्यास के कारण,एक निश्चित आयतन में सभी अणुओं के द्विध्रुव आघूर्णों का सदिश योग शून्य होता है।
इसलिए,प्रति इकाई आयतन शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण (ध्रुवण $\vec{P}$) शून्य होता है।
चूंकि कारण सही ढंग से बताता है कि यादृच्छिक अभिविन्यास व्यक्तिगत द्विध्रुव आघूर्णों के निरसन (cancellation) की ओर ले जाता है,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(C) ओम के नियम के सूक्ष्म रूप $\vec J = \sigma \vec E$ से,जहाँ $\sigma$ चालकता है। चूंकि $\sigma$ एक धनात्मक अदिश राशि है,इसलिए धारा घनत्व $\vec J$ हमेशा विद्युत क्षेत्र $\vec E$ की दिशा में होता है। अतः,कथन सही है।
कारण के संबंध में,जब किसी बिंदु आवेश को स्थिर-वैद्युत क्षेत्र में विरामावस्था से छोड़ा जाता है,तो वह केवल तभी विद्युत बल रेखा के अनुदिश गति करता है यदि विद्युत बल रेखा एक सीधी रेखा हो। यदि विद्युत बल रेखाएं वक्र हैं,तो आवेश बल रेखा के पथ का अनुसरण नहीं करेगा क्योंकि वेग सदिश और बल सदिश (जो बल रेखा के स्पर्शरेखीय होता है) संरेख नहीं रहेंगे। अतः,कारण गलत है।

(B) तार का प्रतिरोध सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ पदार्थ की प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रतिरोधकता $\rho$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और यह तार की ज्यामिति या आकार पर निर्भर नहीं करती है।
जब तार को मोड़ा जाता है,तो उसकी लंबाई $L$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और प्रतिरोधकता $\rho$ अपरिवर्तित रहते हैं।
इसलिए,विद्युत प्रतिरोध $R$ समान रहता है।
यद्यपि कारण का कथन एक सत्य भौतिक तथ्य है (प्रतिरोध,प्रतिरोधकता के समानुपाती होता है),यह यह नहीं समझाता है कि तार को मोड़ने से प्रतिरोध क्यों नहीं बदलता है (जो ज्यामितीय मापदंडों के स्थिर रहने के कारण होता है)। अतः,दोनों सही हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) विद्युत धारा की अनुपस्थिति में,चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉन गैस के अणुओं की तरह यादृच्छिक गति (random motion) की स्थिति में होते हैं।
उनका औसत वेग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि उनके पास किसी विशिष्ट दिशा में कोई नेट वेग नहीं होता है।
परिणामस्वरूप,चुंबकीय क्षेत्र में मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर कोई नेट चुंबकीय बल कार्य नहीं करता है।
जब धारा प्रवाहित की जाती है,तो मुक्त इलेक्ट्रॉन एक निश्चित दिशा में अनुगमन वेग (drift velocity) प्राप्त कर लेते हैं,और परिणामस्वरूप,उन पर चुंबकीय बल कार्य करता है (बशर्ते चुंबकीय क्षेत्र का एक घटक प्रवाह की दिशा के लंबवत हो)।

(C) गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर $(G)$ के साथ समानांतर क्रम में एक छोटा प्रतिरोध जिसे शंट $(S)$ कहा जाता है,जोड़ा जाता है।
यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि एमीटर का प्रतिरोध बहुत कम हो,जिससे यह सर्किट में महत्वपूर्ण बदलाव किए बिना धारा को माप सके।
जब एक छोटे प्रतिरोध को बड़े प्रतिरोध के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है,तो संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध हमेशा सबसे छोटे व्यक्तिगत प्रतिरोध से भी कम होता है।
इसलिए,कारण गलत है क्योंकि समानांतर संयोजन,संयोजन के कुल प्रतिरोध को बढ़ाने के बजाय कम कर देता है।

(C) मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर की संवेदनशीलता $S = \frac{N B A}{k}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$A$ क्षेत्रफल है और $k$ टोरसोनल स्थिरांक है।
कुंडली के अंदर नरम लोहे की कोर रखने से,नरम लोहे की उच्च चुंबकीय पारगम्यता के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$ काफी बढ़ जाता है,जिससे संवेदनशीलता बढ़ जाती है।
नरम लोहा उच्च चुंबकीय पारगम्यता और कम प्रतिधारण (retentivity) वाला एक फेरोमैग्नेटिक पदार्थ है,जिसका अर्थ है कि इसे आसानी से चुम्बकित और विचुम्बकित किया जा सकता है।
कारण कथन दावा करता है कि नरम लोहे को 'आसानी से चुम्बकित या विचुम्बकित नहीं किया जा सकता है',जो वैज्ञानिक रूप से गलत है।
इसलिए,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में शिखर धारा $I_{\max} = \frac{\varepsilon_{\max}}{Z}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ है।
शुद्ध प्रतिरोधक तत्व में,धारा आवृत्ति से स्वतंत्र होती है,लेकिन श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ कोणीय आवृत्ति $\omega$ पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे $\omega$ बढ़ता है,पद $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ बदलता है। विशेष रूप से,धारा $I_{\max}$ अनुनाद $(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}})$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करती है और अनुनाद से किसी भी दिशा में दूर जाने पर घटती है।
इसलिए,यह कथन कि धारा हमेशा कोणीय आवृत्ति में वृद्धि के साथ बढ़ती है,गलत है।
प्रदान किया गया कारण शिखर धारा के लिए एक सही सूत्र है,लेकिन यह गलत कथन का समर्थन नहीं करता है।
अतः,कथन गलत है और कारण सही है।

(B) रेडियो तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें होती हैं,जो प्रकृति में अनुप्रस्थ (transverse) होती हैं। केवल अनुप्रस्थ तरंगों को ही ध्रुवित किया जा सकता है। इसलिए,कथन सही है।
हवा में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें होती हैं,जिन्हें ध्रुवित नहीं किया जा सकता है। इसलिए,कारण भी सही है।
हालाँकि,यह तथ्य कि ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं,यह स्पष्ट नहीं करता है कि रेडियो तरंगों को ध्रुवित क्यों किया जा सकता है। अतः,कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
लाइमन श्रेणी के लिए,मूल अवस्था $n_1 = 1$ है।
न्यूनतम तरंगदैर्घ्य (सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य) के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ तक होता है:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$.
अधिकतम तरंगदैर्घ्य (सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य) के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक होता है:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$.
न्यूनतम और अधिकतम तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_{min}}{\lambda_{max}} = \frac{1/R}{4/3R} = \frac{3}{4}$ है।
कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण लाइमन श्रेणी की उत्पत्ति की सही व्याख्या करता है।

(A) कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन का इनपुट इम्पीडेंस $Z_{in} = \left| \frac{\Delta V_{BE}}{\Delta i_B} \right|_{V_{CE} = \text{constant}}$ के रूप में परिभाषित होता है।
कॉमन एमिटर ट्रांजिस्टर में, धारा के प्रवाह के लिए बेस-एमिटर जंक्शन को फॉरवर्ड बायस किया जाता है।
चूंकि बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड बायस्ड होता है, इसलिए बेस-एमिटर वोल्टेज $\Delta V_{BE}$ में थोड़े से बदलाव के लिए बेस करंट $\Delta i_B$ अपेक्षाकृत अधिक होता है।
चूंकि $Z_{in} = \frac{\Delta V_{BE}}{\Delta i_B}$ होता है, इसलिए वोल्टेज में कम बदलाव और करंट में अधिक बदलाव के कारण इनपुट इम्पीडेंस कम प्राप्त होता है।
अतः, कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण, कथन की सही व्याख्या है।

(C) एक वोल्टमीटर के लिए,इससे गुजरने वाली धारा $I_g$ को $V = I_g G$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ वोल्टमीटर का प्रतिरोध है।
प्रारंभ में,$5 \text{ V}$ की सीमा के लिए:
$5 = I_g \times 20000 \quad \dots(i)$
सीमा को $20 \text{ V}$ तक बढ़ाने के लिए,हम वोल्टमीटर के साथ श्रेणी में एक अतिरिक्त प्रतिरोध $R$ जोड़ते हैं। नया कुल प्रतिरोध $(G + R)$ हो जाता है।
$20 \text{ V}$ की नई सीमा के लिए:
$20 = I_g \times (G + R) \quad \dots(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{20}{5} = \frac{I_g(G + R)}{I_g G}$
$4 = \frac{G + R}{G}$
$4G = G + R$
$R = 3G$
चूंकि $G = 20000\,\Omega$ दिया गया है,हमारे पास है:
$R = 3 \times 20000 = 60000\,\Omega$
अतः,$60000\,\Omega$ का अतिरिक्त प्रतिरोध श्रेणी में जोड़ा जाना चाहिए।

(B) दिया गया है: सेलों की कुल संख्या $(n) = 10$ है।
प्रत्येक सेल का विभव $= E$; प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $= r$ है।
श्रेणी परिपथ का कुल $EMF$ $= 10E$ है।
परिपथ का कुल आंतरिक प्रतिरोध $= 10r$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में बहने वाली धारा $(I) = \frac{\text{कुल EMF}}{\text{कुल प्रतिरोध}} = \frac{10E}{10r} = \frac{E}{r}$ है।
तीन सेलों के सिरों पर जुड़ा एक आदर्श वोल्टमीटर उन तीन सेलों के बीच विभवांतर को मापता है।
$3$ सेलों के बीच विभवांतर $(V) = I \times (3r)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I$ का मान रखने पर,$V = \left(\frac{E}{r}\right) \times 3r = 3E$ प्राप्त होता है।
अतः,वोल्टमीटर $3E$ का पाठ्यांक दर्शाएगा।

(A) कॉमन एमिटर ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $(A_v)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_{in}}$, जहाँ $\beta$ करंट गेन है, $R_L$ लोड प्रतिरोध है, और $R_{in}$ इनपुट प्रतिरोध है।
दिया गया है: $\beta = 50$, $R_L = 5 \, k\Omega = 5000 \, \Omega$, और इनपुट पीक वोल्टेज $V_{in} = 5 \, mV = 0.005 \, V$.
यह मानते हुए कि इनपुट प्रतिरोध $R_{in} = 1 \, k\Omega$ है (जैसा कि दिए गए संदर्भ में अनुपात द्वारा सूचित किया गया है), वोल्टेज गेन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$A_v = 50 \times \frac{5 \, k\Omega}{1 \, k\Omega} = 50 \times 5 = 250$.

(A) $1$. यह परिपथ एक $OR$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $AND$ गेट से बना है।
$2$. $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y' = A + B$ है।
$3$. इनपुट $B$ को एक $NOT$ गेट से गुजारा जाता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{B}$ है।
$4$. $AND$ गेट $Y'$ और $\overline{B}$ को इनपुट के रूप में लेता है।
$5$. इसलिए,अंतिम आउटपुट $D = Y' \cdot \overline{B} = (A + B) \cdot \overline{B}$ है।