AIIMS 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर बाल्टी से पानी न गिरने की शर्त यह है कि अभिकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{gR}$ है।
यहाँ,त्रिज्या $R = 1.6\, m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{10 \times 1.6} = \sqrt{16} = 4\, m/s$.
अतः,आवश्यक न्यूनतम गति $4\, m/s$ है।

(D) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दो सामग्रियों के संयुक्त स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{R_1 + R_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_1 = \frac{x}{KA}$ और $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$ है।
कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$ है।
अतः,ऊष्मा स्थानांतरण की दर $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{\frac{3x}{KA}} = \frac{1}{3} \frac{AK(T_2 - T_1)}{x}$ है।
इसे दिए गए समीकरण $\left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)f$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) एक सिरे पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,पहले ओवरटोन की आवृत्ति $n_c = \frac{3v}{4l_c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $l_c$ बंद पाइप की लंबाई है।
दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,तीसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $n_o = \frac{3v}{2l_o}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l_o$ खुली पाइप की लंबाई है।
चूंकि पाइप अनुनाद में हैं,इसलिए $n_c = n_o$।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{3v}{4l_c} = \frac{3v}{2l_o}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{4l_c} = \frac{1}{2l_o}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{l_c}{l_o} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
अतः,बंद पाइप और खुली पाइप की लंबाई का अनुपात $1:2$ है।

(D) प्रारंभिक कोणीय गति,$\omega_1 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 40\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय गति,$\omega_2 = 4500 \ rpm = \frac{4500 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 150\pi \ rad/s$.
समय अंतराल,$t = 10 \ s$.
कोणीय त्वरण,$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{150\pi - 40\pi}{10} = \frac{110\pi}{10} = 11\pi \ rad/s^2$.
$rad/s^2$ को $deg/s^2$ में बदलने के लिए,$\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\alpha = 11\pi \times \frac{180}{\pi} = 11 \times 180 = 1980 \ deg/s^2$.

(A) प्रेक्षक नत समतल पर स्थित है। चूंकि ब्लॉक वेज पर नहीं फिसलता है,इसलिए नत समतल के सापेक्ष इसका विस्थापन शून्य है।
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$ होता है।
चूंकि नत समतल पर स्थित प्रेक्षक के सापेक्ष विस्थापन $\vec{S} = 0$ है,इसलिए इस प्रेक्षक द्वारा देखे जाने पर ब्लॉक पर घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है।

(B) ब्लॉक $B$ को गति देने के लिए,लगाए गए बल $P$ को उस पर कार्य करने वाले घर्षण बलों को पार करना होगा।
$1$. ब्लॉक $A$ और ब्लॉक $B$ के बीच का घर्षण $(F_{AB})$ ब्लॉक $B$ की ऊपरी सतह पर गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है। चूंकि ब्लॉक $A$ स्थिर है,$F_{AB} = \mu_{AB} \cdot N_A = \mu_{AB} \cdot m_A \cdot g = 0.25 \times 100 \times 10 = 250 \, N$।
$2$. ब्लॉक $B$ और जमीन के बीच का घर्षण $(F_{BS})$ ब्लॉक $B$ की निचली सतह पर कार्य करता है। जमीन पर अभिलंब बल दोनों ब्लॉकों के वजन का योग है: $N_{ground} = (m_A + m_B)g = (100 + 200) \times 10 = 3000 \, N$। अतः,$F_{BS} = \mu_{BS} \cdot N_{ground} = (1/3) \times 3000 = 1000 \, N$।
$3$. आवश्यक कुल बल $P$ इन दोनों घर्षण बलों का योग है: $P = F_{AB} + F_{BS} = 250 + 1000 = 1250 \, N$।

(A) माना कि टकराने से पहले ओले का वेग $u$ है और टकराने के बाद वेग $v$ है।
चूंकि सतह चिकनी है,सतह के समानांतर कोई आवेगी बल नहीं लगता है। अतः,सतह के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है:
$u \sin 30^{\circ} = v \sin 60^{\circ}$ $(1)$
सतह के लंबवत घटक के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को अलग होने के वेग और पास आने के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$v \cos 60^{\circ} = e (u \cos 30^{\circ})$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v \cos 60^{\circ}}{v \sin 60^{\circ}} = \frac{e u \cos 30^{\circ}}{u \sin 30^{\circ}}$
$\cot 60^{\circ} = e \cot 30^{\circ}$
चूंकि $\cot 60^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ है:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = e (\sqrt{3})$
$e = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

(D) स्थितिज ऊर्जा $V$ की विमा कार्य या ऊर्जा के समान होती है,जो $[M L^2 T^{-2}]$ है।
हर में $(x + B)$ होने के कारण,चूंकि $x$ एक दूरी है,इसलिए $B$ की विमा $x$ की विमा के समान होनी चाहिए। अतः,$[B] = [L]$.
समीकरण $V = \frac{A\sqrt{x}}{x + B}$ है। $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{V(x + B)}{\sqrt{x}}$ प्राप्त होता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[A] = \frac{[M L^2 T^{-2}] [L]}{[L^{1/2}]} = [M L^2 T^{-2}] [L^{1/2}] = [M L^{5/2} T^{-2}]$.
अब,$AB$ की विमा $[A][B] = [M L^{5/2} T^{-2}] [L] = [M L^{7/2} T^{-2}]$ होगी।

(B) विस्थापन $(X)$ बनाम समय $(t)$ ग्राफ में,ढलान कण का वेग दर्शाती है। भौतिक रूप से संभव होने के लिए,किसी भी दिए गए समय $(t)$ पर एक कण की केवल एक ही अद्वितीय स्थिति होनी चाहिए।
विकल्प $(A)$ संभव है क्योंकि यह एक कण को दूर जाते और फिर वापस लौटते हुए दर्शाता है।
विकल्प $(C)$ संभव है क्योंकि यह दोनों दिशाओं में गति को दर्शाता है।
विकल्प $(D)$ संभव है क्योंकि यह स्थिर वेग से चलते हुए,रीसेट होते हुए और दोहराते हुए कण को दर्शाता है।
विकल्प $(B)$ संभव नहीं है क्योंकि समय $(t)$ के एक विशिष्ट क्षण पर,ग्राफ विस्थापन $(X)$ के दो अलग-अलग मान दर्शाता है। चूंकि एक कण एक ही समय में दो स्थानों पर नहीं हो सकता है,इसलिए यह ग्राफ भौतिक रूप से असंभव है।

(B) स्थिर द्रव में किसी भी बिंदु पर दाब $P = h'\rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h'$ द्रव की मुक्त सतह के नीचे बिंदु की गहराई है।
दिए गए चित्र में,द्रव स्तंभ की कुल ऊँचाई $H$ है और तल से बिंदु $P$ की ऊँचाई $h$ है। इसलिए,मुक्त सतह के नीचे बिंदु $P$ की गहराई $H - h$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल सामान्य प्रणोद उस बिंदु पर हाइड्रोस्टेटिक दाब के बराबर होता है।
अतः,बिंदु $P$ पर प्रति इकाई क्षेत्रफल सामान्य प्रणोद $(H - h)\rho g$ होगा।

(B) $Assertion$ सही है क्योंकि भौतिक राशियों को प्रत्यक्ष (जैसे मीटर स्केल का उपयोग करके) या अप्रत्यक्ष (जैसे तारों की दूरी के लिए लंबन विधि) रूप से मापा जा सकता है।
$Reason$ भी सही है क्योंकि किसी भी मापन की विश्वसनीयता उपयोग किए गए उपकरण की परिशुद्धता और यथार्थता पर निर्भर करती है,और अंतिम परिणाम में संबंधित अनिश्चितताओं या त्रुटियों को ध्यान में रखा जाना चाहिए।
हालाँकि,$Reason$ यह नहीं बताता है कि हम प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष विधियों का उपयोग क्यों करते हैं; यह मापन को व्यक्त करने के मानदंडों को समझाता है। इसलिए,$Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) $Assertion$ कहता है कि ब्लॉक से जुड़ी रस्सी को पकड़े हुए आदमी क्षैतिज सतह पर गति नहीं कर सकता है। यह गलत है क्योंकि आदमी रस्सी को खींचकर ब्लॉक पर बल लगा सकता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक आदमी पर समान और विपरीत बल लगाएगा,जिससे वह ब्लॉक की ओर गति करेगा।
$Reason$ कहता है कि एक चिकनी क्षैतिज सतह पर स्थिर खड़ा आदमी घर्षण की अनुपस्थिति के कारण चलना शुरू नहीं कर सकता है। यह कथन सही है। चलने के लिए जमीन को पीछे की ओर धकेलने के लिए घर्षण की आवश्यकता होती है,जो बदले में आगे की ओर प्रतिक्रिया बल प्रदान करता है। घर्षण के बिना,आदमी के पैर फिसल जाएंगे।
अतः,$Assertion$ गलत है और $Reason$ सही है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} K x^2$ है,जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार या संपीड़न है।
यह समीकरण दर्शाता है कि $U \propto x^2$ है।
$U$ और $x$ के बीच का ग्राफ एक परवलय (parabola) को दर्शाता है,न कि एक सीधी रेखा को।
इसलिए,$Assertion$ गलत है क्योंकि संबंध द्विघात (quadratic) है,रैखिक नहीं।
$Reason$ सही है क्योंकि यह सही ढंग से बताता है कि स्थितिज ऊर्जा विस्तार या संपीड़न के वर्ग के समानुपाती होती है $(U \propto x^2)$।

(D) किसी पिंड की घूर्णन त्रिज्या $K$ को $K = \sqrt{\frac{\sum m_i r_i^2}{M}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $M$ कुल द्रव्यमान है और $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$-वें कण की दूरी है।
यह एक नियत राशि नहीं है क्योंकि इसका मान घूर्णन अक्ष की स्थिति और अभिविन्यास पर निर्भर करता है।
इसलिए,$Assertion$ गलत है।
$Reason$ घूर्णन त्रिज्या को घूर्णन अक्ष से कणों की दूरी के वर्ग माध्य मूल के रूप में सही ढंग से परिभाषित करता है।
अतः,$Assertion$ गलत है,लेकिन $Reason$ सही है।

(A) $Assertion$ सही है: पृथ्वी की घूर्णन गति का लाभ उठाने के लिए रॉकेट को पश्चिम से पूर्व की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,जो कम ईंधन के साथ कक्षीय वेग प्राप्त करने में मदद करता है।
$Reason$ भी सही है: गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g'$ का मान $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है। भूमध्य रेखा पर अक्षांश $\lambda = 0$ होता है,इसलिए $\cos \lambda = 1$,जिससे $g' = g - \omega^2 R$ प्राप्त होता है,जो न्यूनतम मान है।
हालाँकि,$Reason$ यह नहीं बताता कि रॉकेट को पश्चिम से पूर्व की ओर क्यों प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेपण की दिशा पृथ्वी के घूर्णन पर आधारित है,न कि भूमध्य रेखा पर $g$ के मान पर। इसलिए,दोनों सही हैं,लेकिन $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) किसी पदार्थ की संपीड्यता उसके अंतर-आणविक बलों और उसके अणुओं के बीच की दूरी पर निर्भर करती है।
ठोसों में,परमाणु या अणु मजबूत अंतर-आणविक बलों द्वारा एक साथ बंधे होते हैं और बहुत पास-पास होते हैं,जिससे वे सबसे कम संपीड्य होते हैं।
गैसों में,अंतर-आणविक बल नगण्य होते हैं और अणु एक-दूसरे से बहुत दूर होते हैं,जिससे उन्हें आसानी से संपीडित किया जा सकता है।
यद्यपि $Reason$ में ठोस और गैसों के आकार और आयतन के गुणों को सही ढंग से बताया गया है,लेकिन यह उनकी संपीड्यता के पीछे के भौतिक तंत्र (अंतर-आणविक बलों) की सीधी व्याख्या नहीं करता है। इसलिए,दोनों कथन सही हैं,लेकिन $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ के अनुसार,जब पानी एक संकरी पाइप (छोटा क्षेत्रफल $A_1$) से चौड़ी पाइप (बड़ा क्षेत्रफल $A_2$) में बहता है,तो वेग $v$ कम हो जाता है क्योंकि $v \propto 1/A$ होता है।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{स्थिरांक}$.
एक क्षैतिज पाइप के लिए $(h = \text{स्थिरांक})$,जैसे-जैसे वेग $v$ घटता है,योग को स्थिर रखने के लिए दबाव $P$ बढ़ना चाहिए।
इसलिए,जब पानी संकरी पाइप से चौड़ी पाइप में बहता है तो दबाव बढ़ जाता है।
अतः,अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,अभिकथन की सही व्याख्या है।

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W = \Delta U + P\Delta V$ है।
यदि ऊष्मा इस प्रकार दी जाती है कि आयतन नहीं बदलता है $(\Delta V = 0)$,अर्थात समआयतनिक प्रक्रिया,तो निकाय को दी गई संपूर्ण ऊष्मा ऊर्जा केवल आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि करेगी।
हालाँकि,किसी अन्य प्रक्रिया में जहाँ कार्य किया जाता है,दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन और निकाय द्वारा किए गए कार्य के बीच विभाजित हो जाती है।
इसलिए,$Assertion$ गलत है।
$Reason$ भी गलत है क्योंकि जब कोई निकाय एक तापीय संतुलन से दूसरे में परिवर्तित होता है,तो प्रक्रिया के आधार पर ऊष्मा अवशोषित हो सकती है,उत्सर्जित हो सकती है या शून्य भी रह सकती है।

(B) ड्राइविंग के दौरान,टायर और सड़क के बीच घर्षण,और टायर के निरंतर संपीड़न और विस्तार के कारण गर्मी उत्पन्न होती है। इससे टायर के अंदर फंसी हवा का तापमान बढ़ जाता है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,दबाव $P$ उसके परम तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$। इसलिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,टायर के अंदर हवा का दबाव बढ़ जाता है। यह पुष्टि करता है कि अभिकथन सही है।
कारण के संबंध में,परम शून्य तापमान $(0 \ K)$ को उस तापमान के रूप में परिभाषित किया गया है जिस पर गैस के अणुओं की शास्त्रीय गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है। हालाँकि,क्वांटम यांत्रिकी में,शून्य-बिंदु ऊर्जा परम शून्य पर भी मौजूद होती है। इस प्रकार,यह कथन कि 'परम शून्य तापमान शून्य ऊर्जा तापमान नहीं है' वैज्ञानिक रूप से सही है।
हालाँकि,कारण यह नहीं बताता है कि कार के टायर में दबाव क्यों बढ़ता है; दबाव में वृद्धि घर्षण के कारण तापमान बढ़ने के कारण होती है,न कि परम शून्य ऊर्जा की प्रकृति के कारण। इसलिए,दोनों सही हैं,लेकिन कारण अभिकथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में कण का विस्थापन $y = a \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है,जहाँ $v_{max} = a\omega$ है।
माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (a\omega)^2$ होती है।
यहाँ $m = 0.1 \, kg$,$a = 0.1 \, m$,और $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \, J$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2 = 8 \times 10^{-3}$।
$0.05 \times 0.01 \times \omega^2 = 8 \times 10^{-3} \implies 0.0005 \times \omega^2 = 0.008$।
$\omega^2 = \frac{0.008}{0.0005} = 16 \implies \omega = 4 \, rad/s$।
प्रारंभिक कला $\phi = 45^o = \pi/4 \, rad$ है।
अतः,गति का समीकरण $y = 0.1 \sin(\pm 4t + \pi/4)$ है।

(A) $l$ लंबाई वाले ओपन ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ वायु स्तंभ में ध्वनि का वेग है।
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,ध्वनि का वेग $v$ संबंध $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ के अनुसार बढ़ता है।
हालांकि तापीय प्रसार के कारण पाइप की लंबाई $l$ में थोड़ी वृद्धि हो सकती है,लेकिन ध्वनि के वेग $v$ में होने वाली वृद्धि बहुत अधिक महत्वपूर्ण होती है।
चूंकि $f \propto v$ और $f \propto \frac{1}{l}$,इसलिए $v$ में होने वाली वृद्धि $l$ में होने वाली मामूली वृद्धि के प्रभाव पर हावी हो जाती है,जिससे कुल मिलाकर मूल आवृत्ति $f$ में वृद्धि होती है।
अतः,अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है।

(A) दिया गया सूत्र $X = 3 Y Z^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $MKSQ$ प्रणाली में धारिता $C$ की विमाएँ $[X] = [C] = [M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]$ होती हैं।
हम जानते हैं कि $MKSQ$ प्रणाली में चुंबकीय प्रेरण $B$ की विमाएँ $[Z] = [B] = [M T^{-1} Q^{-1}]$ होती हैं।
$Y$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $Y = \frac{X}{3 Z^{2}}$ प्राप्त होता है।
विमाहीन स्थिरांक $3$ को अनदेखा करते हुए,विमीय सूत्र $[Y] = \frac{[X]}{[Z^{2}]}$ होगा।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[Y] = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]}{[M T^{-1} Q^{-1}]^{2}}$.
$[Y] = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]}{[M^{2} T^{-2} Q^{-2}]}$.
$[Y] = [M^{-1-2} L^{-2} T^{2-(-2)} Q^{2-(-2)}] = [M^{-3} L^{-2} T^{4} Q^{4}]$.

(B) घनत्व $\rho = \frac{M}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $V$ आयतन है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ को $K = -\frac{P}{dV/V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $-\frac{dV}{V} = \frac{P}{K}$।
इस मान को घनत्व के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{P}{K}$ प्राप्त होता है।
अतः,घनत्व में वृद्धि का परिमाण $d\rho = \frac{\rho P}{K}$ होगा।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta Q$ विनिमय की गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $\Delta W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इसे प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $0 = \Delta U + \Delta W$ प्राप्त होता है।
यह $\Delta W = -\Delta U$ या $\Delta U = -\Delta W$ के रूप में सरल हो जाता है।
यदि हम निकाय पर किए गए कार्य के परिमाण $(W_{on} = -\Delta W)$ पर विचार करें,तो $W_{on} = \Delta U$ होता है।
अतः,रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय पर किया गया कार्य निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

(C) चित्र से,निर्देशांक $(x, y)$ और द्रव्यमान $m$ इस प्रकार हैं:
$m_1 = 1 \text{ kg}$ बिंदु $(0, 0)$ पर
$m_2 = 2 \text{ kg}$ बिंदु $(2, 0)$ पर
$m_3 = 3 \text{ kg}$ बिंदु $(0, 2)$ पर
$m_4 = 4 \text{ kg}$ बिंदु $(2, 2)$ पर
$m_5 = 5 \text{ kg}$ बिंदु $(1, 1)$ पर
कुल द्रव्यमान $M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \text{ kg}$.
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{M} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 2) + (3 \times 0) + (4 \times 2) + (5 \times 1)}{15} = \frac{0 + 4 + 0 + 8 + 5}{15} = \frac{17}{15} \approx 1.13$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक:
$y_{cm} = \frac{\sum m_i y_i}{M} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 0) + (3 \times 2) + (4 \times 2) + (5 \times 1)}{15} = \frac{0 + 0 + 6 + 8 + 5}{15} = \frac{19}{15} \approx 1.27$
अतः,निर्देशांक लगभग $(1.1, 1.3)$ हैं। सही विकल्प $C$ है।

(C) मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_{V, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2} = \frac{13R}{6}$ है।
दिए गए अनुपात $n_1 : n_2 = 1 : 2$ के अनुसार,मान लीजिए $n_1 = n$ और $n_2 = 2n$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{n C_{V_1} + 2n C_{V_2}}{n + 2n} = \frac{13R}{6}$.
$\frac{C_{V_1} + 2C_{V_2}}{3} = \frac{13R}{6} \implies C_{V_1} + 2C_{V_2} = \frac{13R}{2}$.
एकपरमाणुक गैसों के लिए $C_V = 3R/2$ और द्विपरमाणुक गैसों के लिए $C_V = 5R/2$ होता है।
यदि पहली गैस एकपरमाणुक $(C_{V_1} = 3R/2)$ और दूसरी गैस द्विपरमाणुक $(C_{V_2} = 5R/2)$ है,तो:
$3R/2 + 2(5R/2) = 3R/2 + 5R = 13R/2$.
यह शर्त पूरी होती है। अतः,पहली गैस एकपरमाणुक $(He)$ और दूसरी गैस द्विपरमाणुक $(N_2)$ है।

(B) तीन आवेशों के निकाय के संतुलन में होने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो आवेश $Q$,$A$ और $B$ बिंदुओं पर $x$ दूरी पर रखे गए हैं। आवेश $q$ को मध्य बिंदु $C$ पर रखा गया है (जो $A$ और $B$ दोनों से $x/2$ दूरी पर है)।
बिंदु $B$ पर स्थित आवेश $Q$ के संतुलन पर विचार करें। $A$ पर स्थित आवेश $Q$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल और $C$ पर स्थित आवेश $q$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
$F_{AB} + F_{CB} = 0$
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{x^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{(x/2)^2} = 0$
$\frac{Q^2}{x^2} + \frac{4qQ}{x^2} = 0$
$Q^2 + 4qQ = 0$
$4qQ = -Q^2$
$q = -\frac{Q}{4}$

(A) विद्युत क्षेत्र की प्रबलता को विद्युत क्षेत्र रेखाओं के घनत्व द्वारा दर्शाया जाता है।
दिए गए चित्र में,बिंदु $B$ की तुलना में बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे के अधिक निकट (सघन) हैं।
चूंकि $A$ पर क्षेत्र रेखाओं का घनत्व अधिक है,इसलिए $A$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $(E_A)$,$B$ पर विद्युत क्षेत्र के परिमाण $(E_B)$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$E_A > E_B$.

(C) मान लीजिए कि नोड्स को लेबल किया गया है। सर्किट में एक केंद्रीय नोड है जो तीन बाहरी नोड्स से $R$ प्रतिरोध द्वारा जुड़ा है। बाहरी नोड्स एक त्रिभुज बनाते हैं जिसमें उनके बीच $R$ प्रतिरोध है। टर्मिनल $A$ और $B$ इन बाहरी नोड्स में से दो से जुड़े हुए हैं।
सर्किट की समरूपता का विश्लेषण करके और इसे फिर से बनाकर,हम देख सकते हैं कि $A$ से $B$ तक का पथ दो समानांतर शाखाओं से बना है।
एक शाखा $A$ और $B$ के बीच का सीधा प्रतिरोध $R$ है।
दूसरी शाखा शेष प्रतिरोधों के श्रेणी और समानांतर संयोजनों से बनी है।
विशेष रूप से,टर्मिनल $A$ और $B$ के बीच इस नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $R$ होता है।

(B) व्हीटस्टोन ब्रिज सर्किट में,संतुलन की स्थिति प्रतिरोधों के अनुपात $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ द्वारा दी जाती है।
यह संतुलन स्थिति सेल और गैल्वेनोमीटर की स्थितियों से स्वतंत्र होती है।
विद्युत नेटवर्क में पारस्परिकता (reciprocity) के सिद्धांत के अनुसार,यदि स्रोत (सेल) और डिटेक्टर (गैल्वेनोमीटर) की स्थितियों को आपस में बदल दिया जाए,तो दिए गए विभवांतर के लिए गैल्वेनोमीटर से होकर बहने वाली धारा समान रहती है।
इसलिए,व्हीटस्टोन ब्रिज का संतुलन बिंदु अपरिवर्तित रहता है।

(B) क्यूरी तापमान $(T_C)$ लौहचुंबकीय पदार्थों का एक विशिष्ट गुण है।
$T_C$ से कम तापमान पर,चुंबकीय डोमेन के संरेखण के कारण पदार्थ लौहचुंबकीय गुण प्रदर्शित करता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है और $T_C$ तक पहुँचता है,तापीय हलचल इतनी प्रबल हो जाती है कि वह उस एक्सचेंज कपलिंग को समाप्त कर देती है जो इन डोमेन के संरेखण को बनाए रखती है।
परिणामस्वरूप,क्यूरी तापमान से ऊपर,पदार्थ अपना स्वतःस्फूर्त चुंबकत्व खो देता है और अनुचुंबकीय अवस्था में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) माना वास्तविक नमन कोण $\phi$ है। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ और क्षैतिज घटक $B_H$ है। वास्तविक नमन कोण $\tan \phi = \frac{B_V}{B_H}$ द्वारा दिया जाता है।
जब चुंबक को चुंबकीय याम्योत्तर के साथ $\beta = 30^o$ के कोण पर लटकाया जाता है,तो प्रभावी क्षैतिज घटक $B_H' = B_H \cos \beta$ हो जाता है।
आभासी नमन कोण $\phi'$ को $\tan \phi' = \frac{B_V}{B_H \cos \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\phi' = 45^o$ और $\beta = 30^o$,इसलिए $\tan 45^o = \frac{B_V}{B_H \cos 30^o}$।
चूंकि $\tan 45^o = 1$ और $\cos 30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें प्राप्त होता है $1 = \frac{B_V}{B_H (\sqrt{3}/2)}$।
इसे सरल करने पर $\frac{B_V}{B_H} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$।

(D) दी गई धारा $i = 5 \sin \left( 100 t - \frac{\pi}{2} \right)$ है और विभव $V = 200 \sin (100 t)$ है।
इन्हें मानक रूपों $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ और $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें धारा का कला कोण $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ और वोल्टेज का कला कोण $\phi_2 = 0$ प्राप्त होता है।
वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$ है।
$ac$ परिपथ में औसत बिजली की खपत $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\phi = \frac{\pi}{2}$,पावर फैक्टर $\cos \phi = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ है।
अतः,बिजली की खपत $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \text{ watts}$ है।

(A) ब्रैकेट श्रेणी के लिए,तरंग दैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,जहाँ $n_1 = 4$ और $n_2 = 5, 6, 7, \dots$
सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ $n_2 = 5$ से $n_1 = 4$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right] = R \left[ \frac{25 - 16}{400} \right] = \frac{9R}{400}$
$\lambda_{\max} = \frac{400}{9R}$
सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ $n_2 = \infty$ से $n_1 = 4$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - 0 \right] = \frac{R}{16}$
$\lambda_{\min} = \frac{16}{R}$
सबसे लंबी और सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{400/9R}{16/R} = \frac{400}{9 \times 16} = \frac{25}{9}$

(B) नाभिकीय संलयन अभिक्रिया इस प्रकार है: ${}_1^2H + {}_1^2H \to {}_2^4He + Q$.
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा: $2 \times (2 \times 1.1 \; MeV) = 4.4 \; MeV$.
उत्पाद की कुल बंधन ऊर्जा: $4 \times 7.1 \; MeV = 28.4 \; MeV$.
मुक्त ऊर्जा $Q$,उत्पाद और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$Q = 28.4 \; MeV - 4.4 \; MeV = 24 \; MeV$.

(B) $OR$ गेट $(G_1)$ का आउटपुट $(A + B)$ है।
$NAND$ गेट $(G_2)$ का आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है।
ये दोनों आउटपुट $AND$ गेट $(G_3)$ में इनपुट के रूप में दिए जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ है:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$Y = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
$Y = A \cdot \bar{A} + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + B \cdot \bar{B}$
चूंकि $A \cdot \bar{A} = 0$ और $B \cdot \bar{B} = 0$,इसलिए समीकरण सरल होकर प्राप्त होता है:
$Y = 0 + A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B + 0$
$Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$
यह $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(A) निर्वात में, सभी विद्युत चुम्बकीय $(EM)$ तरंगें समान गति से चलती हैं, जो प्रकाश की गति $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
चूंकि आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ समीकरण $c = f \lambda$ द्वारा संबंधित हैं, और विभिन्न प्रकार की विद्युत चुम्बकीय तरंगों की आवृत्तियाँ अलग-अलग होती हैं, इसलिए उनकी तरंगदैर्ध्य भी अलग-अलग होनी चाहिए।
अतः, रेडियो तरंगों और दृश्य प्रकाश का वेग समान होता है लेकिन उनकी तरंगदैर्ध्य अलग-अलग होती है।

(B) गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह (गॉसियन सतह) से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$,उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $Q_{enclosed}$ का $\frac{1}{\varepsilon_0}$ गुना होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही कथन है।

(C) उत्सर्जक में प्रवेश करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n_E = 10^{10}$ है।
चूंकि $4\%$ इलेक्ट्रॉन आधार में खो जाते हैं, इसलिए संग्राहक (collector) तक पहुँचने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n_C = n_E - (0.04 \times n_E) = 0.96 \times n_E$ होगी।
उत्सर्जक धारा $I_E = \frac{n_E \times e}{t}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश है और $t$ समय है।
संग्राहक धारा $I_C = \frac{n_C \times e}{t} = \frac{0.96 \times n_E \times e}{t}$ द्वारा दी जाती है।
धारा स्थानांतरण अनुपात $\alpha$ को संग्राहक धारा और उत्सर्जक धारा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\alpha = \frac{I_C}{I_E} = \frac{n_C}{n_E} = \frac{0.96 \times n_E}{n_E} = 0.96$.

(B) दिया गया है:
आपतित तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 200 \, nm$
कार्य फलन,$\phi_{0} = 5.01 \, eV$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{max} = E - \phi_{0}$
$e V_{s} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0}$
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$e V_{s} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{200 \, nm} - 5.01 \, eV$
$e V_{s} = 6.2 \, eV - 5.01 \, eV = 1.19 \, eV \approx 1.2 \, eV$
अतः,निरोधी विभव (stopping potential) $V_{s} = 1.2 \, V$ है।
फोटोइलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक विभवांतर निरोधी विभव का ऋणात्मक मान होता है,जो $-1.2 \, V$ है।

(D) दिया गया है: $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,स्लिट की चौड़ाई $a = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,और दूरी $D = 2 \, m$ है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज के दोनों ओर पहली अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) की चौड़ाई के बराबर होती है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर:
$w = \frac{2 \times (600 \times 10^{-9} \, m) \times 2 \, m}{10^{-3} \, m}$
$w = \frac{2400 \times 10^{-9}}{10^{-3}} \, m$
$w = 2400 \times 10^{-6} \, m = 2.4 \times 10^{-3} \, m = 2.4 \, mm$.

(B) दो समान धनात्मक आवेशों के निकाय के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक आवेश से निकलती हैं और एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।
समविभव पृष्ठ वे पृष्ठ होते हैं जहाँ विद्युत विभव स्थिर रहता है।
प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश के पास,समविभव पृष्ठ लगभग गोलाकार होते हैं।
जैसे-जैसे हम आवेशों से दूर जाते हैं,पृष्ठ विकृत हो जाते हैं और अंततः एक एकल,बड़ी,लगभग अंडाकार आकृति वाली सतह बनाने के लिए मिल जाते हैं जो दोनों आवेशों को घेर लेती है।
चित्र $B$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है,जहाँ आंतरिक पृष्ठ प्रत्येक आवेश के चारों ओर केंद्रित हैं,और बाहरी पृष्ठ दोनों आवेशों को घेरते हैं,जो दो धनात्मक आवेशों की प्रतिकर्षण प्रकृति को दर्शाते हैं।

(D) बिंदु $A$ पर,स्नेल के नियम के अनुसार:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu \cdot \sin r$
$\sin r = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$ ..... $(i)$
बिंदु $B$ पर,ऊर्ध्वाधर फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i_1$ क्रांतिक कोण $C$ के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
$\sin i_1 = \frac{1}{\mu}$
त्रिभुज की ज्यामिति से,$i_1 = 90^{\circ} - r$ है।
अतः,$\sin(90^{\circ} - r) = \frac{1}{\mu} \Rightarrow \cos r = \frac{1}{\mu}$ ..... $(ii)$
सर्वसमिका $\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{1}{\mu \sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{2\mu^2} + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\frac{1 + 2}{2\mu^2} = 1$
$\frac{3}{2\mu^2} = 1 \Rightarrow \mu^2 = \frac{3}{2}$
$\mu = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m}$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
कुंडली पर टॉर्क शून्य होता है जब चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर होता है।
चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{m}$ हमेशा कुंडली के तल के लंबवत होता है।
$\vec{m}$ को $\vec{B}$ के समानांतर होने के लिए,कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत होना चाहिए।

(D) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = 6t^2 - 5t + 1$,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 5t + 1) = 12t - 5$.
प्रेरित धारा $i$ का मान $i = \frac{|e|}{R} = \frac{1}{R} |\frac{d\phi}{dt}|$ है।
प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$ और $t = 0.25 \, s$ पर:
$|\frac{d\phi}{dt}| = |12(0.25) - 5| = |3 - 5| = |-2| = 2 \, Wb/s$.
अतः,$i = \frac{2}{10} = 0.2 \, A$.

(D) गॉस के नियम $(\Phi = \oint E \cdot dA = q_{enclosed} / \epsilon_0 = 0)$ के अनुसार, किसी भी बंद सतह के लिए जिसमें कुल आवेश $0$ है, सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $0$ होता है।
इसका अर्थ है कि सतह में प्रवेश करने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या सतह से बाहर निकलने वाली रेखाओं की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए, कथन गलत है क्योंकि गोले पर समाप्त होने वाली रेखाओं की संख्या उससे बाहर निकलने वाली रेखाओं से अधिक नहीं हो सकती है।
कारण सही है क्योंकि, स्थिर वैद्युत प्रेरण के कारण, चालक का जो भाग धनात्मक बिंदु आवेश के निकट है, वहां ऋणात्मक प्रेरित आवेश विकसित होता है, जिसका पृष्ठीय आवेश घनत्व परिमाण में सबसे अधिक होता है।
अतः, कथन गलत है और कारण सही है, इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) जब दो चालकों को एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो वे समान विद्युत विभव पर आ जाते हैं।
चूंकि आंतरिक गोला $A$ तांबे के तार द्वारा बाहरी गोले $B$ से जुड़ा है,इसलिए निकाय को दिया गया सारा आवेश बाहरी गोले $B$ की बाहरी सतह पर चला जाएगा।
प्रभावी रूप से,पूरा निकाय $b$ त्रिज्या वाले एक एकल गोलीय चालक के रूप में कार्य करता है।
$R$ त्रिज्या वाले एक एकल गोलीय चालक की धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ होती है।
इसलिए,इस निकाय की समतुल्य धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 b$ होगी।

(C) किसी बिंदु पर विद्युत विभव $(V)$ को अनंत से उस बिंदु तक इकाई धनात्मक आवेश को लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $V = W/q$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत स्थितिज ऊर्जा $(U)$ आवेशों के एक निकाय को बनाने में किया गया कुल कार्य है,जिसे $U = qV$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $U$ और $V$ की विमाएँ अलग-अलग हैं ($V$ के लिए $[ML^2T^{-3}A^{-1}]$ और $U$ के लिए $[ML^2T^{-2}A^{-1}]$),इसलिए वे अलग-अलग भौतिक राशियाँ हैं।
अतः कथन सही है।
कारण में कहा गया है कि $U = V$,जो विमीय रूप से असंगत और भौतिक रूप से गलत है।
इसलिए,कथन सही है लेकिन कारण गलत है।

(C) किरचॉफ का जंक्शन नियम आवेश संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है,जो बताता है कि जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश उससे बाहर निकलने वाले कुल आवेश के बराबर होना चाहिए।
किरचॉफ का लूप नियम ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है,जो बताता है कि किसी भी बंद लूप में विभव परिवर्तनों का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
चूंकि कथन सही है और कारण गलत है,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(C) परिनालिका द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है। जब धारा $I$ की दिशा उलट दी जाती है,तो चुंबकीय क्षेत्र $B$ की दिशा उलट जाती है,लेकिन इसका परिमाण समान रहता है।
चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ है।
चूंकि ऊर्जा घनत्व चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण के वर्ग $(B^2)$ पर निर्भर करता है,इसलिए $B$ का चिह्न ऊर्जा घनत्व को प्रभावित नहीं करता है।
अतः,परिनालिका में संचित कुल चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा,$U = u \times V$ (जहाँ $V$ आयतन है),अपरिवर्तित रहती है।
हालाँकि,कारण में कहा गया है कि ऊर्जा घनत्व चुंबकीय क्षेत्र के समानुपाती है,जो गलत है क्योंकि यह चुंबकीय क्षेत्र के वर्ग $(B^2)$ के समानुपाती होता है।
इस प्रकार,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(B) कथन सही है क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल का अस्तित्व नहीं होता है; चुंबक को तोड़ने से केवल दो छोटे चुंबक बनते हैं,जिनमें से प्रत्येक का अपना उत्तर और दक्षिण ध्रुव होता है।
कारण भी सही है। छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = m \times 2l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव प्रबलता है और $2l$ लंबाई है। जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत दो बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो ध्रुव प्रबलता $m$ समान रहती है,लेकिन प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $l$ हो जाती है। इसलिए,नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \times l = M/2$ होता है।
चूंकि कारण यह बताता है कि चुंबकीय गुण क्यों बदलते हैं लेकिन यह नहीं बताता कि ध्रुवों को अलग क्यों नहीं किया जा सकता है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) फैराडे का नियम,विशेष रूप से लेंज का नियम,ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है। यदि यह सत्य नहीं होता,तो हम शून्य से ऊर्जा उत्पन्न कर सकते थे,जो भौतिक नियमों का उल्लंघन है।
एक शुद्ध प्रतिरोधक $AC$ परिपथ में,वोल्टेज $(emf)$ और धारा समान कला में होते हैं। उनके बीच का कलांतर $0$ होता है। इसलिए,कारण में दिया गया कथन गलत है।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(D) ट्रांसफार्मर के गैर-लैमिनेटेड लोहे के कोर में प्रेरित $emf$ द्वारा बड़ी भंवर धाराएं उत्पन्न होती हैं,क्योंकि थोक लोहे के कोर का प्रतिरोध बहुत कम होता है।
कोर के रूप में पतली लोहे की चादरों का उपयोग करने से विद्युत प्रतिरोध बढ़ जाता है।
कोर को लैमिनेट करने से भंवर धाराएं काफी कम हो जाती हैं।
भंवर धाराएं ट्रांसफार्मर के कोर को गर्म करती हैं,जिससे ऊष्मा के रूप में ऊर्जा की हानि होती है।
इसलिए,जितनी अधिक भंवर धाराएं होंगी,ऊर्जा की हानि उतनी ही अधिक होगी,जिससे ट्रांसफार्मर की दक्षता कम हो जाती है।
चूंकि कथन और कारण दोनों गलत हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) कथन गलत है क्योंकि प्रकाशीय तरंगें (जैसे ऑप्टिकल फाइबर में उपयोग की जाने वाली तरंगें) सूक्ष्म तरंगों की तुलना में बहुत अधिक आवृत्ति और बैंडविड्थ रखती हैं,जो उन्हें सिग्नल ट्रांसमिशन के लिए बेहतर बनाती हैं।
कारण भी गलत है क्योंकि सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें,जिनमें सूक्ष्म तरंगें और प्रकाशीय तरंगें शामिल हैं,निर्वात में समान गति $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ से चलती हैं।
अतः,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(B) समतल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब तब बनाता है जब वस्तु आभासी होती है। आभासी वस्तु तब बनती है जब अभिसारी प्रकाश किरणें दर्पण पर आपतित होती हैं। परावर्तित किरणें तब दर्पण के सामने एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं,जिससे वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
इसके विपरीत,यदि वस्तु वास्तविक है (बिंदु स्रोत से आने वाली अपसारी किरणें),तो समतल दर्पण दर्पण के पीछे एक आभासी प्रतिबिंब बनाता है।
इसलिए,कथन सही है क्योंकि यदि आपतित किरणें अभिसारी (आभासी वस्तु) हों तो समतल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब बना सकता है।
कारण भी सही है क्योंकि समतल दर्पण वास्तविक वस्तु के लिए आभासी प्रतिबिंब बनाता है।
हालाँकि,कारण यह नहीं बताता कि कथन सत्य क्यों है; यह एक अलग स्थिति (वास्तविक वस्तु बनाम आभासी वस्तु) का वर्णन करता है। अतः,दोनों सही हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) विवर्तन सभी प्रकार की तरंगों की एक सामान्य विशेषता है,जिसमें यांत्रिक (जैसे ध्वनि) और गैर-यांत्रिक (जैसे प्रकाश),साथ ही अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगें शामिल हैं। अतः,कथन सही है।
विवर्तन के महत्वपूर्ण या स्पष्ट होने के लिए,बाधा या छिद्र का आकार तरंग की तरंगदैर्ध्य के क्रम का होना चाहिए। यदि तरंगदैर्ध्य बाधा से बहुत छोटी है,तो तरंग एक किरण की तरह व्यवहार करती है और विवर्तन नगण्य होता है। अतः,कारण भी सही है और यह बताता है कि विवर्तन विशिष्ट परिस्थितियों में क्यों देखा जाता है। इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \Phi$, जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
यद्यपि दी गई आवृत्ति के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा निश्चित होती है, लेकिन फोटोइलेक्ट्रॉन धातु की सतह के भीतर विभिन्न गहराइयों से उत्सर्जित होते हैं।
गहरी परतों से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन सतह से बाहर निकलने से पहले टक्करों के कारण कुछ ऊर्जा खो देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप $0$ से $K_{max}$ तक की गतिज ऊर्जा का एक परास (range) प्राप्त होता है।
अतः, कथन सही है।
कार्य फलन $\Phi$ वास्तव में धातु का एक अभिलाक्षणिक गुण है, इसलिए कारण भी सही है।
हालाँकि, कारण यह स्पष्ट नहीं करता है कि गतिज ऊर्जा में फैलाव क्यों है; यह फैलाव उत्सर्जन की विभिन्न गहराइयों और उसके बाद होने वाली ऊर्जा हानि के कारण होता है।
इसलिए, दोनों सही हैं, लेकिन कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(B) चिरसम्मत भौतिकी (classical physics) के अनुसार,त्वरित गति करने वाले किसी भी आवेशित कण को विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा का उत्सर्जन करना चाहिए। चूंकि नाभिक के चारों ओर कक्षा में घूमता हुआ इलेक्ट्रॉन अभिकेंद्र त्वरण का अनुभव करता है,इसलिए चिरसम्मत विद्युतगतिकी के अनुसार उसे लगातार ऊर्जा खोनी चाहिए और नाभिक में गिर जाना चाहिए।
इस अस्थिरता को हल करने के लिए,बोर ने यह अभिधारणा दी कि विशिष्ट 'स्थिर' कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन ऊर्जा का उत्सर्जन नहीं करते हैं।
कथन और कारण दोनों वैज्ञानिक रूप से सही हैं। हालाँकि,कारण चिरसम्मत भौतिकी के विरोधाभास का वर्णन करता है,जबकि कथन उस विरोधाभास को दूर करने के लिए बोर की विशिष्ट क्वांटम अभिधारणा का वर्णन करता है। कारण यह नहीं बताता कि बोर की अभिधारणा क्यों सही है; यह केवल यह बताता है कि यह अभिधारणा क्यों आवश्यक थी। इसलिए,कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) अवशोषण संक्रमण में,निम्न ऊर्जा अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन एक फोटॉन को अवशोषित करता है और उच्च ऊर्जा अवस्था में कूदता है। $A, B, C$ ऊर्जा स्तरों वाली प्रणाली के लिए (जहाँ $A < B < C$),अवशोषण केवल ग्राउंड स्टेट $A$ से $B$ या $A$ से $C$ तक हो सकता है। इस प्रकार,$2$ संभावित अवशोषण संक्रमण हैं।
उत्सर्जन संक्रमण में,उच्च ऊर्जा अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन एक फोटॉन उत्सर्जित करके निम्न ऊर्जा अवस्था में आता है। समान स्तरों के लिए,उत्सर्जन $C \rightarrow B$,$C \rightarrow A$,और $B \rightarrow A$ से हो सकता है। इस प्रकार,$3$ संभावित उत्सर्जन संक्रमण हैं।
चूंकि $2 < 3$,अवशोषण संक्रमणों की संख्या उत्सर्जन संक्रमणों की संख्या से कम है। कारण सही ढंग से बताता है कि अवशोषण निचले स्तर से शुरू होने तक सीमित है,जबकि उत्सर्जन किन्हीं भी दो स्तरों के बीच हो सकता है जहाँ प्रारंभिक अवस्था अंतिम अवस्था से उच्च होती है।

(C) कथन सही है क्योंकि भारी नाभिकों के नाभिकीय विखंडन और हल्के नाभिकों के नाभिकीय संलयन में ऊर्जा मुक्त होती है,क्योंकि अभिकारकों की तुलना में उत्पाद नाभिकों की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा में वृद्धि होती है।
कारण गलत है क्योंकि प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का वक्र दर्शाता है कि भारी नाभिकों के लिए,परमाणु क्रमांक $Z$ बढ़ने के साथ प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा घटती है (जो उन्हें अस्थिर बनाती है और विखंडन के लिए प्रेरित करती है),जबकि हल्के नाभिकों के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $Z$ बढ़ने के साथ बढ़ती है (जो उन्हें अधिक स्थिर अवस्था प्राप्त करने के लिए संलयन के लिए प्रेरित करती है)।

(A) डायोड लेजर का उपयोग ऑप्टिकल संचार में व्यापक रूप से किया जाता है क्योंकि वे कॉम्पैक्ट होते हैं,उनकी दक्षता अधिक होती है और उन्हें उच्च आवृत्तियों पर आसानी से मॉड्युलेट किया जा सकता है।
वे गैस लेजर या तापदीप्त बल्ब जैसे अन्य प्रकाश स्रोतों की तुलना में काफी कम ऊर्जा की खपत करते हैं।
चूंकि उच्च दक्षता और कम ऊर्जा की खपत ऑप्टिकल संचार में उनकी प्राथमिकता के मुख्य कारण हैं,इसलिए कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

(B) जब एक रेडियोधर्मी पदार्थ दो अलग-अलग प्रक्रियाओं द्वारा एक साथ क्षयित होता है,तो प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{eff}$ व्यक्तिगत क्षय नियतांकों का योग होता है: $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$.
दिया गया है $T_{\alpha} = 16$ वर्ष और $T_{\beta} = 48$ वर्ष।
क्षय नियतांक $\lambda_{\alpha} = \frac{\ln 2}{16}$ और $\lambda_{\beta} = \frac{\ln 2}{48}$ हैं।
अतः,$\lambda_{eff} = \frac{\ln 2}{16} + \frac{\ln 2}{48} = \ln 2 \left( \frac{3+1}{48} \right) = \frac{\ln 2}{12}$।
प्रभावी अर्ध-आयु $T_{eff} = \frac{\ln 2}{\lambda_{eff}} = 12$ वर्ष।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब पदार्थ का $3/4$ भाग क्षयित हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $1/4$ भाग शेष रहता है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{eff}}$।
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/12} \implies \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/12}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $2 = \frac{t}{12} \implies t = 24$ वर्ष।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होने के कारण,$p = \sqrt{2mE}$ होता है।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
चूंकि सभी कणों के लिए ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_e < m_p \approx m_n < m_\alpha$.
चूंकि $\lambda$ द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_\alpha < \lambda_n \approx \lambda_p < \lambda_e$ होगा।
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $\lambda_\alpha, \lambda_n, \lambda_p, \lambda_e$ है।