AIIMS 2013 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ ના પદમાં $M = \rho V = \rho \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \left(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{4}{3}\pi G \rho R$
તેથી,$g \propto \rho R$ મળે છે.
બે ગ્રહો માટે,તેમના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{\rho_1 R_1}{\rho_2 R_2}$
આમ,$g_1:g_2 = R_1\rho_1:R_2\rho_2$ થાય.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR_e}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ માત્ર ગ્રહના દળ અને ત્રિજ્યા (અથવા પ્રક્ષેપણ બિંદુ પરના ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન) પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થને કઈ દિશામાં અથવા કયા ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો પદાર્થને શિરોલંબ સાથે $45^o$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે,તો પણ નિષ્ક્રમણ વેગ સમાન જ રહેશે,જે $11.2 \ km/s$ છે.

(D) આપેલ તંત્ર એક સાદા લોલક તરીકે વર્તે છે, જ્યાં અસરકારક લંબાઈ $(l)$ એ નિલંબન બિંદુ અને દોલન કરતા પદાર્થના ગુરુત્વકેન્દ્ર $(C.G.)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં, જ્યારે ગોળો ભરેલો હોય છે, ત્યારે $C.G.$ ગોળાના કેન્દ્ર પર હોય છે. જેમ પાણી બહાર નીકળે છે, તેમ બાકી રહેલા પાણીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે તરફ ખસે છે, જેના કારણે તંત્રનું પરિણામી $C.G.$ નીચે તરફ જાય છે. આનાથી અસરકારક લંબાઈ $(l)$ વધે છે, અને આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ હોવાથી, આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જેમ વધુ પાણી બહાર નીકળે છે, તેમ બાકી રહેલા પાણીનું વજન ખાલી ગોળાના વજન કરતા ઓછું થઈ જાય છે. પરિણામી $C.G.$ પાછું ગોળાના કેન્દ્ર તરફ ઉપરની તરફ ખસવાનું શરૂ કરે છે. પરિણામે, અસરકારક લંબાઈ $(l)$ ઘટે છે, જેના કારણે આવર્તકાળ $T$ ઘટે છે.
અંતે, જ્યારે ગોળો સંપૂર્ણપણે ખાલી થઈ જાય છે, ત્યારે $C.G.$ ગોળાના કેન્દ્ર પર પાછું આવે છે, જેથી અસરકારક લંબાઈ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલી થઈ જાય છે. આમ, આવર્તકાળ તેના મૂળ મૂલ્ય પર પાછો આવે છે. તેથી, દોલનનો આવર્તકાળ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટીને તેના મૂળ મૂલ્ય પર આવે છે.

(B) ટર્મિનલ ઝડપ $(v_t)$ પર,દડા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,દડાનું નીચેની તરફનું વજન એ ઉપરની તરફ લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) અને સ્નિગ્ધ બળ (viscous force) દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$Weight = \text{Buoyant force} + \text{Viscous force}$
$V\rho_1 g = V\rho_2 g + kv_t^2$
$kv_t^2 = Vg(\rho_1 - \rho_2)$
$v_t^2 = \frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}$
$v_t = \sqrt{\frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}}$

(C) સમાન અવધિ $R$ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ પૂરક હોવા જોઈએ,એટલે કે $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$.
બંને કણો માટે મહત્તમ ઊંચાઈઓ:
$h_1 = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
$h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g}$
$h_1$ અને $h_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$h_1 h_2 = \left( \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \right) \left( \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g} \right) = \frac{u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{4g^2}$
$h_1 h_2 = \frac{1}{16} \left( \frac{4u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{g^2} \right) = \frac{1}{16} R^2$
તેથી,$R^2 = 16 h_1 h_2$.

(D) ઘન (cube) ની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{l^3}$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $l$ એ ઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે દળમાં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4\%$ અને લંબાઈમાં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 3\%$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
ઘનતામાં ટકાવારી ત્રુટિ $= 4\% + 3(3\%) = 4\% + 9\% = 13\%$.

$(A)$ જ્યારે કોઈ પદાર્થને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે $H = \frac{u^2}{2g}$ જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે。
મહત્તમ ઊંચાઈ માત્ર પ્રારંભિક વેગ $u$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધારિત હોવાથી, તે પદાર્થના દળ $m$ થી સ્વતંત્ર છે。
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mu^2$ હોય છે। જ્યારે પદાર્થ તે જ બિંદુ પર પાછો ફરે છે, ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જા શરૂઆત જેટલી જ હોય છે, તેથી તેની ગતિઊર્જા સમાન હોવી જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે તેની ઝડપ $v = u$ થાય。
આમ, મહત્તમ ઊંચાઈ અને પ્રક્ષેપણ બિંદુ પરની અંતિમ ઝડપ બંને દડાના દળથી સ્વતંત્ર છે。
તેથી, $Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે, અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે।

(D) શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^\circ - \theta$ થશે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{v^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
આના પરથી,આપણને $\frac{v \cos \theta}{g} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ મળે છે.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2v \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2v \cos \theta}{g}$.
$\frac{v \cos \theta}{g}$ ની કિંમત $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{8H}{g}}$.

(A) જ્યારે ક્ષિતિજ સમાંતર ઉડતા વિમાનમાંથી બોમ્બ છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે મુક્ત થવાના સમયે વિમાન જેટલો જ ક્ષિતિજ વેગ ધરાવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે,તે નીચેની તરફ અચળ પ્રવેગ $(g)$ અનુભવે છે.
ક્ષિતિજ ગતિ અચળ વેગથી થાય છે,જ્યારે શિરોલંબ ગતિ અચળ પ્રવેગી હોય છે.
આ બે સ્વતંત્ર ગતિઓના સંયોજનને કારણે બોમ્બનો ગતિપથ પરવલયાકાર બને છે.

(B) આકૃતિ $(a)$ માટે:
ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$m$ દળ માટે: $T - mg = ma$ $(i)$
$2m$ દળ માટે: $2mg - T = 2ma$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$mg = 3ma$
$\therefore a = g/3$
આકૃતિ $(b)$ માટે:
ધારો કે $m$ દળનો પ્રવેગ $a'$ છે. દોરડામાં તણાવ $T' = F = 2mg$ છે કારણ કે બળ સીધું દોરડા પર લગાડવામાં આવે છે.
$m$ દળ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$T' - mg = ma'$
$T' = 2mg$ મુકતા:
$2mg - mg = ma'$
$mg = ma'$
$\therefore a' = g$
આમ,પ્રવેગ અનુક્રમે $g/3$ અને $g$ છે.

(C) વેગમાનમાં ફેરફાર માત્ર દીવાલને લંબ દિશામાં થાય છે.
ધારો કે વેગ $v = 10 \, m/s$ અને દળ $m = 3 \, kg$ છે.
દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin(60^\circ)$ છે.
દીવાલને લંબ પ્રારંભિક વેગમાન: $p_i = mv \sin(60^\circ)$.
દીવાલને લંબ અંતિમ વેગમાન (પરાવર્તન પછી): $p_f = -mv \sin(60^\circ)$.
વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta p = p_f - p_i = -mv \sin(60^\circ) - mv \sin(60^\circ) = -2mv \sin(60^\circ)$.
વેગમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 2mv \sin(60^\circ)$ છે.
દીવાલ પર લાગતું બળ $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{2mv \sin(60^\circ)}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{2 \times 3 \times 10 \times \sin(60^\circ)}{0.2} = \frac{60 \times (\sqrt{3}/2)}{0.2} = \frac{30\sqrt{3}}{0.2} = 150\sqrt{3} \, N$.

(C) ગતિઊર્જા $E$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
નાના ટકાવારી ફેરફારો માટે,આપણે વિકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: $\frac{\Delta E}{E} = 2 \left( \frac{\Delta p}{p} \right)$.
અહીં $\frac{\Delta p}{p} = 5\% = 0.05$ આપેલ છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\frac{\Delta E}{E} = 2 \times 5\% = 10\%$ થાય.
ચોક્કસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $E' = \frac{(1.05p)^2}{2m} = 1.1025 E$.
ટકાવારી વધારો $(1.1025 - 1) \times 100 = 10.25\%$ છે.

(B) આદર્શ વાયુની કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{3}{2} nRT$ છે.
આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ હોવાથી,આપણે $nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકી શકીએ છીએ.
તેથી,$K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$.
આમ,$Assertion$ સાચું છે.
$Reason$ જણાવે છે કે વાયુના અણુઓ અથડાય છે અને તેમના વેગ બદલાય છે. આ વાયુના ગતિવાદનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે ગતિઊર્જા $PV$ સાથે આ ચોક્કસ ગુણોત્તરમાં કેમ સંબંધિત છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) ધારો કે સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $M_{total}$ છે. ચતુર્થાંશ ભાગનું દળ $M$ હોવાથી,સંપૂર્ણ તકતીનું દળ $M_{total} = 4M$ થશે.
$M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ છે.
$M_{total} = 4M$ મૂકતા,આપણને $I_{total} = \frac{1}{2} (4M) R^2 = 2 M R^2$ મળે છે.
સંમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,તકતીના કોઈપણ ભાગની સમાન અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા તેના દળના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,ચતુર્થાંશ ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{I_{total}}{4} = \frac{2 M R^2}{4} = \frac{1}{2} M R^2$ થશે.

(B) કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કણ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા પરસ્પર લંબ હોય છે. કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mvr$ છે. રેખીય ઝડપ $v$ ઘટતી હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ નું મૂલ્ય સંરક્ષિત રહેતું નથી.
જોકે,સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ ની દિશા ગતિના સમતલને લંબ હોય છે (જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે). જ્યાં સુધી કણ તે જ વર્તુળાકાર માર્ગ પર રહે છે,ત્યાં સુધી $\vec{L}$ ની દિશા અચળ રહે છે.
કણ વર્તુળાકાર માર્ગ પર મર્યાદિત હોવાથી,તે કેન્દ્ર તરફ સર્પાકાર ગતિ કરી શકતો નથી. ઝડપ બદલાતી હોવાથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ ઉપરાંત સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ પણ હોય છે. તેથી,પરિણામી પ્રવેગ કેન્દ્ર તરફ હોતો નથી. આમ,માત્ર કોણીય વેગમાનની દિશા જ સંરક્ષિત રહે છે.

(B) કોણીય મંદન $\alpha$ એ કોણીય વેગ $\omega$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\alpha = k\omega$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ અને $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ હોવાથી,$\frac{d\omega}{dt} = k\omega$ મળે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d\omega}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} = k\omega$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d\omega}{d\theta} \cdot \omega = k\omega$ થાય.
આમ,$d\omega = k d\theta$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ થી $\omega_0/2$ સુધી $n$ પરિભ્રમણ માટે સંકલન કરતા (જ્યાં $\theta_1 = 2\pi n$):
$\int_{\omega_0}^{\omega_0/2} d\omega = \int_{0}^{2\pi n} k d\theta \implies -\frac{\omega_0}{2} = k(2\pi n)$.
હવે,$\omega_0/2$ થી $0$ સુધી વધારાના $n'$ પરિભ્રમણ માટે સંકલન કરતા (જ્યાં $\theta_2 = 2\pi n'$):
$\int_{\omega_0/2}^{0} d\omega = \int_{0}^{2\pi n'} k d\theta \implies -\frac{\omega_0}{2} = k(2\pi n')$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$k(2\pi n) = k(2\pi n')$,તેથી $n' = n$ મળે.

(D) અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે સમક્ષિતિજ ખરબચડી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતી તકતી માટે,સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
જોકે,સૌથી નીચેના બિંદુનો પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી.
તકતીની ધાર પરના કોઈપણ બિંદુનો પ્રવેગ બે ઘટકોનો બનેલો હોય છે: કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = \omega^2 R)$ જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t = \alpha R)$.
કોણીય વેગ અચળ હોવાથી,$\alpha = 0$,તેથી $a_t = 0$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \omega^2 R$ એ તકતીના કેન્દ્ર તરફ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં હોય છે.
તેથી,સૌથી નીચેના બિંદુનો કુલ પ્રવેગ $\omega^2 R$ (ઉપરની તરફ) છે,જે શૂન્ય નથી.
આમ,$Assertion$ ખોટું છે અને $Reason$ સાચું છે.

(A) સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ગ્રહ પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે,એટલે કે $\tau = 0$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,$\frac{dL}{dt} = \tau$.
જેથી $\tau = 0$ હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
આમ,$Reason$ વિધાન સાચું છે.
ગ્રહ માટે,$L = mvr = \text{અચળ}$. જેમ સૂર્ય અને ગ્રહ વચ્ચેનું અંતર $r$ બદલાય છે (લંબગોળ કક્ષા),તેમ $L$ ને અચળ રાખવા માટે રેખીય ઝડપ $v$ બદલાવી જોઈએ. પરિણામે,ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ પણ બદલાય છે.
તે જ રીતે,$L = mr^2\omega = \text{અચળ}$. જેમ $r$ બદલાય છે,તેમ કોણીય ઝડપ $\omega$ પણ બદલાય છે.
તેથી,$Assertion$ વિધાન સાચું છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની યોગ્ય સમજૂતી આપે છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી તેમનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ સમાન છે. વળી,બંને તાર માટે લાગુ પાડવામાં આવેલ ભાર $(F)$ અને મૂળ લંબાઈ $(L)$ સમાન છે.
તેથી,$A_1 \cdot \Delta L_1 = A_2 \cdot \Delta L_2$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આમ,$r_1^2 \cdot \Delta L_1 = r_2^2 \cdot \Delta L_2$.
આપેલ છે કે બીજા તારનો વ્યાસ પહેલા તાર કરતા બમણો છે,એટલે કે $d_2 = 2d_1$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 2r_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $r_1^2 \cdot \Delta L_1 = (2r_1)^2 \cdot \Delta L_2$.
$r_1^2 \cdot \Delta L_1 = 4r_1^2 \cdot \Delta L_2$.
$\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{4}{1}$.
તેથી,વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(B) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત વહેતા પ્રવાહી માટે કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય પરથી તારવવામાં આવ્યો છે.
તે જણાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને શાંત વહન ધરાવતા પ્રવાહી માટે,પ્રવાહ રેખા પરના દરેક બિંદુએ એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
તેથી,તે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(A) જ્યારે રીંગને પ્રવાહીની સપાટી પરથી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણ રીંગની અંદરની અને બહારની બંને પરિઘ પર કાર્ય કરે છે.
સંપર્કની કુલ લંબાઈ $L = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 = \pi(D_1 + D_2)$,જ્યાં $D_1$ અને $D_2$ એ આંતરિક અને બાહ્ય વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $D_1 = 8.5\, cm$,$D_2 = 8.7\, cm$ અને દળ $m = 3.97\, g$.
રીંગને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F = mg = L \times \sigma$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$F = \pi(D_1 + D_2) \times \sigma = mg$.
કિંમતો મૂકતા: $\pi(8.5 + 8.7) \times \sigma = 3.97 \times 980$.
$\pi(17.2) \times \sigma = 3890.6$.
$\sigma = \frac{3890.6}{3.14159 \times 17.2} \approx 72\, dyne\, cm^{-1}$.

(D) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,આદર્શ પ્રવાહીના ધારારેખી પ્રવાહ માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો ધારારેખા પર અચળ રહે છે.
સમીકરણ $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$ છે.
જો આપણે સમક્ષિતિજ પ્રવાહ $(h = \text{constant})$ ધ્યાનમાં લઈએ,તો $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે જો દબાણ $P$ વધે,તો સરવાળો અચળ રાખવા માટે વેગ $v$ ઘટવો જોઈએ,અને તેનાથી ઉલટું. આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે એકમ દળ દીઠ કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે. બર્નુલીનું પ્રમેય જણાવે છે કે આદર્શ પ્રવાહી માટે એકમ કદ (અથવા દળ) દીઠ કુલ ઉર્જા અચળ હોય છે. તેથી,કારણ પણ સાચું છે અને તે વિધાન માટે ભૌતિક આધાર પૂરો પાડે છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + W_{by}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W_{by}$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
અહીં આપેલ છે કે $\Delta W$ એ તંત્ર પર થયેલ કાર્ય છે,તેથી $W_{by} = -\Delta W$ થાય.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta Q = \Delta U + (-\Delta W)$
$\Delta Q = \Delta U - \Delta W$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા વાયુઓ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી, $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ થાય.
એડિબેટિક વિસ્તરણમાં, કદ $V$ વધે છે, જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ ઘટવું જોઈએ. આમ, વિધાન સાચું છે.
જોકે, કારણ જણાવે છે કે કદ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(V \propto 1/T)$, જે ખોટું છે. સાચો સંબંધ $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ છે.
તેથી, વિધાન સાચું છે પણ કારણ ખોટું છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
મધ્યમાન સ્થાને વેગ મહત્તમ હોય છે,જ્યાં $v_{max} = a\omega$.
મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (a\omega)^2$ છે.
અહીં $m = 0.1 \, kg$,$a = 0.1 \, m$,અને $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \, J$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2 = 8 \times 10^{-3}$.
$0.05 \times 0.01 \times \omega^2 = 8 \times 10^{-3} \implies 0.0005 \times \omega^2 = 0.008$.
$\omega^2 = \frac{0.008}{0.0005} = 16 \implies \omega = 4 \, rad/s$.
પ્રારંભિક કળા $\phi = 45^o = \pi/4 \, rad$ છે.
તેથી,ગતિનું સમીકરણ $y = 0.1 \sin(\pm 4t + \pi/4)$ થાય.

(A) એક છેડેથી બાંધેલી ખૂબ લાંબી દોરીમાં,જ્યારે લંબગત તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે,ત્યારે તે સ્થિર છેડા તરફ ગતિ કરે છે અને પરાવર્તિત થાય છે.
જો કે,દોરી ખૂબ લાંબી હોવાને કારણે,પરાવર્તિત તરંગ સ્ત્રોત અથવા મુક્ત છેડા સુધી પાછા પહોંચે તે પહેલાં ડેમ્પિંગ અને આંતરિક ઘર્ષણને કારણે નોંધપાત્ર ઉર્જા ગુમાવે છે.
પરિણામે,મુક્ત છેડાની નજીક (જ્યાં તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે),પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર આપાત તરંગની તુલનામાં નગણ્ય હોય છે.
તેથી,આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોનું સંપાતીકરણ સ્થિત તરંગ ભાત બનાવવા માટે પૂરતું નોંધપાત્ર નથી,અને માત્ર પ્રગામી તરંગ જ જોવા મળે છે.
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ સમજાવે છે કે શા માટે પરાવર્તિત તરંગ સ્ત્રોત પાસે સ્થિત તરંગ બનાવવા માટે નોંધપાત્ર રીતે દખલ કરતું નથી.

(A) વિદ્યુત ડાયપોલ $(-d, 0)$ પર $+q$ અને $(d, 0)$ પર $-q$ વિદ્યુતભારો દ્વારા રચાય છે.
$1$. ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p}$ ની દિશા $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે,જે ઋણ $X$-અક્ષ ($-\hat{i}$ દિશા) પર છે.
$2$. $Y$-અક્ષ (વિષુવવૃત્તીય સમતલ) પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. કારણ કે $\overrightarrow{p}$ એ $-\hat{i}$ ની દિશામાં છે,તેથી $Y$-અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓ પર $\overrightarrow{E}$ એ $+\hat{i}$ ની દિશામાં હશે. આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
$3$. $X$-અક્ષ પર,વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા બિંદુ વિદ્યુતભારોની વચ્ચે છે કે બહાર તેના આધારે બદલાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે.
$4$. ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p} = q(2d)$ છે જે $-q$ થી $+q$ તરફ એટલે કે $-\hat{i}$ ની દિશામાં છે. તેથી,વિકલ્પ $(c)$ ખોટો છે.
$5$. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = k(+q)/d + k(-q)/d = 0$ છે. અનંત અંતરેથી પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ ને ઉગમબિંદુ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q_0 \Delta V = q_0(V_{origin} - V_{\infty}) = q_0(0 - 0) = 0$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ ખોટો છે.

(C) તાર $1$ દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ છે.
આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર તાર ધરાવતા સમતલને લંબ રૂપે હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલા પ્રવાહ ખંડ $i_2 dl$ પર લાગતું બળ $dF = i_2 (dl \times B)$ છે.
બળનું મૂલ્ય $dF = i_2 B dl \sin \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ પ્રવાહ ખંડ $dl$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ તારના સમતલને લંબ હોવાથી,તે પ્રવાહ ખંડ $dl$ ને પણ લંબ છે. તેથી,$\phi = 90^\circ$ અને $\sin \phi = 1$ થાય.
જોકે,બે પ્રવાહધારિત તાર વચ્ચેનું બળ ખાસ કરીને પ્રવાહ ખંડના તે ઘટકને કારણે હોય છે જે બીજા તારને સમાંતર હોય.
તાર $1$ ને સમાંતર $dl$ નો ઘટક $dl \cos \theta$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું બળ $dF = B \cdot i_2 \cdot (dl \cos \theta) = \left( \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r} \right) i_2 dl \cos \theta = \frac{\mu_0 i_1 i_2 dl \cos \theta}{2\pi r}$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે એવા પદાર્થની જરૂર હોય છે જેનું સરળતાથી ચુંબકીયકરણ અને વિ-ચુંબકીયકરણ થઈ શકે.
આ પ્રાપ્ત કરવા માટે,પદાર્થની રિટેન્ટિવિટી (ધારણશક્તિ) ઓછી હોવી જોઈએ જેથી જ્યારે પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે ત્યારે તે ચુંબકત્વ જાળવી ન રાખે.
વધુમાં,તેની કોર્સિવિટી (કોર્સિવ ફોર્સ) પણ ઓછી હોવી જોઈએ જેથી તેને નાના વિરુદ્ધ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા સરળતાથી વિ-ચુંબકીય કરી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ ઓછી રિટેન્ટિવિટી અને ઓછી કોર્સિવિટી છે.

(D) આપેલ પ્રવાહ $i = 5 \sin \left( 100 t - \frac{\pi}{2} \right)$ છે અને પોટેન્શિયલ $V = 200 \sin (100 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપો $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ અને વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_2 = 0$ મળે છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$ છે.
$ac$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વપરાશ $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\phi = \frac{\pi}{2}$,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ થાય છે.
તેથી,પાવર વપરાશ $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \text{ watts}$ છે.

(A) ઓસિલેટર એ એક એવું સર્કિટ છે જે કોઈપણ ઇનપુટ સિગ્નલ વગર સતત,પુનરાવર્તિત,અલ્ટરનેટિંગ વેવફોર્મ ઉત્પન્ન કરે છે.
તે પોઝિટિવ ફીડબેક ધરાવતા એમ્પ્લીફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ ગોઠવણીમાં,આઉટપુટ સિગ્નલનો એક ભાગ મૂળ સિગ્નલ સાથે સમાન કળામાં (in phase) ઇનપુટમાં પાછો મોકલવામાં આવે છે.
આ પોઝિટિવ ફીડબેક ઇનપુટને મજબૂત બનાવે છે,જે સર્કિટને અનિશ્ચિત સમય સુધી ઓસિલેશન જાળવી રાખવા દે છે,જો બાર્કહૌસેન માપદંડ (લૂપ ગેઇન $A\beta = 1$ અને ફેઝ શિફ્ટ $360^{\circ}$ અથવા $0^{\circ}$) સંતોષાય તો.

(D) બહુવિધ સમાંતર આંતરપૃષ્ઠો માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર વક્રીભવનાંક અને આપાતકોણના સાઈન (sine) નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
ધારો કે પ્રથમ માધ્યમમાં આપાતકોણ $\theta_1$ છે અને ચોથા માધ્યમમાં વક્રીભૂતકોણ $\theta_4$ છે.
દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_2 \sin \theta_2 = \mu_3 \sin \theta_3 = \mu_4 \sin \theta_4$.
કારણ કે નિર્ગમન કિરણ $CD$ એ આપાત કિરણ $AB$ ને સમાંતર છે,તેથી આપાતકોણ $\theta_1$ એ નિર્ગમન કોણ $\theta_4$ જેટલો જ હોવો જોઈએ (એટલે કે $\theta_1 = \theta_4$).
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_4 \sin \theta_1$.
તેથી,$\mu_1 = \mu_4$.

(B) ધારો કે કેન્દ્ર $O$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = q$ છે અને બહારનો વિદ્યુતભાર $q_2 = q$ છે।
સંમિતિ મુજબ, કેન્દ્ર $O$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે $BGFC$ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_1 = q / (6\varepsilon_0)$ છે, કારણ કે વિદ્યુતભાર સમઘનના કેન્દ્રમાં છે અને ફ્લક્સ $6$ સપાટીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું છે।
હવે $O$ થી $L$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતભાર $q_2$ નો વિચાર કરો। $BGFC$ સપાટી કેન્દ્ર $O$ થી $L/2$ અંતરે આવેલી છે। વિદ્યુતભાર $q_2$ એ $BGFC$ સપાટીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખા પર $O$ થી $L$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે।
જોકે, આને સમજવાની એક સરળ રીત સંમિતિ છે। વિદ્યુતભાર $q_2$ માંથી નીકળતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ $BGFC$ સપાટીમાં પ્રવેશે છે અને સામેની સપાટીમાંથી બહાર નીકળે છે।
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, $BGFC$ સપાટી માટે, આંતરિક વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે ફ્લક્સ $q / (6\varepsilon_0)$ છે।
બાહ્ય વિદ્યુતભાર $q_2$ માટે, સમગ્ર બંધ સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુતભાર બહાર છે।
ચોક્કસ ભૂમિતિને કારણે, $q_2$ ને લીધે $BGFC$ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $-q / (6\varepsilon_0)$ છે।
તેથી, $BGFC$ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 = q / (6\varepsilon_0) - q / (6\varepsilon_0) = 0$ થાય છે।

(A) ધારો કે બે સમાન વિદ્યુતભારો $Q$ એ $x = -d$ અને $x = +d$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. મધ્યબિંદુ $O$ એ $x = 0$ પર છે.
જો $O$ પર ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ મૂકવામાં આવે,તો ડાબી બાજુના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $F_1 = \frac{kQq}{d^2}$ (જમણી તરફ) અને જમણી બાજુના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $F_2 = \frac{kQq}{d^2}$ (ડાબી તરફ) છે. ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = 0$ છે. આમ,વિદ્યુતભાર સંતુલનમાં છે.
જો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ ને જમણી તરફ થોડા અંતર $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો જમણી બાજુના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ વધે છે અને ડાબી બાજુના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ ઘટે છે. ચોખ્ખું બળ ડાબી તરફ (સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં) લાગશે,જે વિદ્યુતભારને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા લાવવાનો પ્રયત્ન કરશે. આ $x-$ અક્ષની દિશામાં સ્થાનાંતર માટે સ્થાયી સંતુલનની પુષ્ટિ કરે છે.
વિધાન સાચું છે અને કારણ સાચું છે કે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે (જે સંતુલન માટેની શરત છે),તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ત્રણ તાર માટે અવરોધ નીચે મુજબ છે:
$R_1 = \rho \frac{l}{A}$
$R_2 = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R_1$
$R_3 = \rho \frac{l/2}{2A} = \frac{1}{4} \rho \frac{l}{A} = 0.25R_1$
અવરોધની સરખામણી કરતા,$R_3 < R_1 < R_2$ મળે છે.
તેથી,$l/2$ લંબાઈ અને $2A$ આડછેદ ધરાવતા તાર માટે અવરોધ ન્યૂનતમ છે.

(A) પરિપથ $POQ$ અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. સંમિતિને કારણે,નોડ $A$ અને $B$ પરનું સ્થિતિમાન નોડ $O$ જેટલું જ હોય છે. તેથી,$O$ સાથે જોડાયેલા $2R$ અવરોધ ધરાવતા શિરોલંબ અવરોધકોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ $P$ અને $Q$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે:
$1$. ઉપરની શાખા: શ્રેણીમાં બે $2R$ અવરોધકો,કુલ $= 4R$.
$2$. મધ્ય શાખા: શ્રેણીમાં બે $r$ અવરોધકો,કુલ $= 2r$.
$3$. નીચેની શાખા: શ્રેણીમાં બે $2R$ અવરોધકો,કુલ $= 4R$.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{PQ}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{4R} = \frac{2}{4R} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2r} = \frac{r + R}{2Rr}$.
તેથી,$R_{PQ} = \frac{2Rr}{R + r}$.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ વેગ $\vec{v}$ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,કણ પર ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે. કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,અચળ ગતિઊર્જાનો અર્થ એ છે કે કણની ઝડપ $(v)$ બદલાતી નથી.
જોકે,બળ વેગને લંબ રૂપે લાગતું હોવાથી,તે ગતિની દિશા બદલે છે,જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. આમ,વેગ અને પ્રવેગ સતત બદલાતા રહે છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને કેન્દ્ર પર $\phi$ ખૂણો આંતરતી વર્તુળાકાર ચાપમાંથી વહેતા $I$ પ્રવાહને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\phi}{2\pi} \cdot \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કોઈલ માટે,પ્રવાહ $I$ એ $\theta$ અને $(2\pi - \theta)$ ખૂણો આંતરતી ચાપ પર $I_1$ અને $I_2$ માં વિભાજિત થાય છે.
ચાપ $I_1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ છે (કાગળની અંદરની તરફ).
ચાપ $I_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{2\pi - \theta}{2\pi} \cdot \frac{\mu_0 I_2}{2R}$ છે (કાગળની બહારની તરફ).
ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$B_1 = B_2$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\theta I_1 = (2\pi - \theta) I_2$.
આ શરત માત્ર $I_1 = I_2$ હોવાથી સંતોષાતી નથી,સિવાય કે $\theta = \pi$ હોય (એટલે કે,પ્રવાહ બે અર્ધવર્તુળોમાં વિભાજિત થાય). તેથી,વિધાન સામાન્ય રીતે ખોટું છે,અને કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે જ્યાં સુધી ભૂમિતિ સપ્રમાણ ન હોય ત્યાં સુધી $I_1 = I_2$ શૂન્ય ક્ષેત્રની ખાતરી આપતું નથી.

(C) પેરેલલ (સમાંતર) જોડાણમાં રહેલા ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર ધરાવતી $AC$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_L)$ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે,અને કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_C)$ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે.
આમ,પ્રવાહો $I_L$ અને $I_C$ વિરુદ્ધ કળામાં (opposite phases) હોય છે,એટલે કે તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $180^{\circ}$ હોય છે.
જનરેટર દ્વારા ખેંચાયેલ કુલ પ્રવાહ $I$ એ આ પ્રવાહોનો સદિશ સરવાળો છે:
$I = |I_L - I_C|$
આપેલ છે કે $I_L = 0.9\,A$ અને $I_C = 0.4\,A$.
તેથી,$I = |0.9 - 0.4| = 0.5\,A$.

(C) $L$ ના પરિમાણ $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ છે.
$C$ ના પરિમાણ $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$ છે.
$R$ ના પરિમાણ $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
સંયોજન $1/\sqrt{LC}$ માટે:
$\frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{[M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}} = \frac{1}{\sqrt{T^2}} = T^{-1}$.
આવૃત્તિનું પરિમાણ $T^{-1}$ હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
નોંધ: $R/L$ પણ આવૃત્તિના પરિમાણ $(T^{-1})$ ધરાવે છે,પરંતુ $1/\sqrt{LC}$ એ પ્રમાણિત અનુનાદિત આવૃત્તિનું સંયોજન છે.

(A) ટ્રાન્સમિશન લાઇન દ્વારા ટ્રાન્સમિટ થતો પાવર $P = VI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
અવરોધ $R$ ને કારણે ટ્રાન્સમિશન લાઇનમાં થતો પાવર વ્યય $P_{\text{loss}} = I^2R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = \frac{P}{V}$ મૂકતા, આપણને $P_{\text{loss}} = (\frac{P}{V})^2 R = \frac{P^2 R}{V^2}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $P_{\text{loss}} \propto \frac{1}{V^2}$.
તેથી, વોલ્ટેજ $V$ વધારીને, પાવર વ્યય $P_{\text{loss}}$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.
આમ, વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે, અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની કુલ ઉર્જા ઘનતા $u$ એ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E$ અને ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B$ નો સરવાળો છે.
વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા ઘનતા $u = u_E + u_B = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$ થાય છે.

(B) ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ લેન્સ માટે,આ તંત્ર $F$ જેટલી અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે. તંત્રનો પાવર $P = 2P_L + P_M$ છે,જ્યાં $P_L = \frac{1}{f_L}$ અને $P_M = 0$ (સમતલ અરીસા માટે).
આપેલ છે કે $f_L = 30\,cm$,તેથી લેન્સનો પાવર $P_L = \frac{1}{30}$ છે.
અસરકારક પાવર $P = 2(\frac{1}{30}) + 0 = \frac{1}{15}$ છે.
આમ,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = -15\,cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે) મળે છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40\,cm$ અને $F = -15\,cm$:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{-15}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 8}{120} = \frac{-5}{120}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{24}$
$v = -24\,cm$.
તેથી લેન્સથી પ્રતિબિંબનું અંતર $24\,cm$ છે.

(A) એરોમેટિક ડબલેટ માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે.
કોઈપણ પદાર્થ માટે $\omega_1$ અને $\omega_2$ (વિભાજન શક્તિ) હંમેશા ધન હોવાથી,સરવાળો શૂન્ય થવા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ($f_1$ અથવા $f_2$) માંથી એક ઋણ હોવી આવશ્યક છે.
ઋણ કેન્દ્રલંબાઈ અંતર્ગોળ લેન્સ સૂચવે છે.
તેથી,એરોમેટિક સંયોજન બનાવવા માટે,એક લેન્સ બહિર્ગોળ અને બીજો અંતર્ગોળ હોવો જોઈએ.
બે બહિર્ગોળ લેન્સ આ શરતને સંતોષી શકતા નથી કારણ કે $f_1$ અને $f_2$ બંને ધન હશે,જેનાથી સરવાળો $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2}$ હંમેશા ધન (શૂન્ય કરતા વધારે) રહેશે.
આમ,વિધાન સાચું છે અને કારણ પણ સાચું છે,જે સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) વ્યતિકરણની ઘટના થવા માટે,પ્રકાશના બે ઉદગમો સુસંબદ્ધ (Coherent) હોવા જોઈએ.
સુસંબદ્ધ ઉદગમો એટલે એવા ઉદગમો જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે એકબીજા સાથે અચળ અથવા ચોક્કસ કળા સંબંધ જાળવી રાખે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, $\lambda$ તરંગલંબાઇ માટે $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 2500 \text{ Å}$ અને $\lambda_2 = 3500 \text{ Å}$ માટે શલાકાઓ સંપાત થાય ત્યારે તેમના સ્થાન સમાન હોય:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
$n_1 (2500) = n_2 (3500)$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{3500}{2500} = \frac{7}{5}$
આનો અર્થ એ છે કે $1^{st}$ સ્ત્રોતની $(\lambda_1)$ $7^{th}$ ક્રમની શલાકા $2^{nd}$ સ્ત્રોતની $(\lambda_2)$ $5^{th}$ ક્રમની શલાકા સાથે સંપાત થશે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = eV_0 = h\nu - \phi$,જ્યાં $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$X-$ કિરણોની આવૃત્તિ અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(U.V.)$ પ્રકાશ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી,જ્યારે $X-$ કિરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ બંને વધશે.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે આપાત પ્રકાશમાં આવૃત્તિઓની શ્રેણીને કારણે ફોટોઈલેક્ટ્રોન વિવિધ ઝડપ સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે. આ ખોટું છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન એકવર્ણી પ્રકાશ (એક જ આવૃત્તિ) સાથે પણ થાય છે,અને ઝડપની શ્રેણી ઉત્સર્જન પહેલાં ધાતુની અંદર ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાના વ્યયને કારણે ઉદ્ભવે છે,નહીં કે આપાત આવૃત્તિઓની શ્રેણીને કારણે.
આમ,વિધાન સાચું છે પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(A) લાયમન શ્રેણી એ સંક્રમણોને અનુરૂપ છે જ્યાં અંતિમ અવસ્થા $n_f = 1$ છે. તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ (ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણ) માટે,આપણે $n_i = 2$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
$\lambda_{\max} = \frac{4}{3R} \approx 1213 \, \mathring{A}$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ (મહત્તમ ઉર્જા સંક્રમણ) માટે,આપણે $n_i = \infty$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
$\lambda_{\min} = \frac{1}{R} \approx 910 \, \mathring{A}$.
આમ,સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $910 \, \mathring{A}$ અને સૌથી લાંબી $1213 \, \mathring{A}$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $C^{14}$ અને $C^{12}$ નો ગુણોત્તર મૂળ જથ્થાના એક-ચતુર્થાંશ છે,તેથી $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{4}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5700}$.
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$,આપણે ઘાતાંકોને સરખાવી શકીએ: $2 = \frac{t}{5700}$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $t = 2 \times 5700 = 11400 \, years$.

(C) $A > 100$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઘટે છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા ગાળાનું છે,જ્યારે પ્રોટોન વચ્ચેનું કુલંબ અપાકર્ષણ લાંબા ગાળાનું છે.
જેમ જેમ પરમાણુ દળાંક $A$ વધે છે,તેમ ન્યુક્લિયસનું કદ વધે છે. ન્યુક્લિયર બળ માત્ર નજીકના પાડોશીઓ વચ્ચે જ કાર્ય કરતું હોવાથી,કુલ ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા આશરે $A$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
જો કે,કુલંબ અપાકર્ષણ તમામ પ્રોટોન જોડીઓ વચ્ચે કાર્ય કરે છે,અને જોડીઓની સંખ્યા $A^2$ ના પ્રમાણમાં વધે છે. આના કારણે ભારે ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ ચોખ્ખી બંધન ઉર્જા ઘટે છે.
કારણનું વિધાન તકનીકી રીતે ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળ પોતે ભારે ન્યુક્લિયસ માટે 'નબળું' બનતું નથી; પરંતુ તેની ટૂંકા ગાળાની પ્રકૃતિને લીધે,જેમ ન્યુક્લિયસ મોટું થાય છે તેમ તે લાંબા ગાળાના કુલંબ અપાકર્ષણને વળતર આપી શકતું નથી.

(B) $100\%$ મોડ્યુલેશન માટે,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m_a = 1$ છે.
$AM$ તરંગમાં કુલ વિકિરણિત પાવર $P_t = P_c (1 + \frac{m_a^2}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_c$ એ કેરિયર પાવર છે.
ઉપયોગી પાવર એ સાઇડબેન્ડ્સમાં રહેલો પાવર છે,જે $P_{sb} = P_c \frac{m_a^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપયોગી પાવર અને કુલ પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{sb}}{P_t} = \frac{P_c \frac{m_a^2}{2}}{P_c (1 + \frac{m_a^2}{2})} = \frac{m_a^2}{2 + m_a^2}$ છે.
$m_a = 1$ મૂકતા:
$\frac{P_{sb}}{P_t} = \frac{1^2}{2 + 1^2} = \frac{1}{3}$.
આમ,કુલ વિકિરણિત પાવરનો ઉપયોગી ભાગ કુલ પાવરના $1/3$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ધન વિદ્યુતભારિત ધાતુના પાતળા કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R} = \text{અચળ}$
$2$. કવચની બહાર $(r \geq R)$,કવચ કેન્દ્ર પર મૂકાયેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે. આમ,સ્થિતિમાન અંતર સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે.
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \implies V \propto \frac{1}{r}$
તેથી,આલેખ $r < R$ માટે અચળ સ્થિતિમાન અને $r \geq R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં આપેલા આલેખ સાથે સુસંગત છે.