AIIMS 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे से दूर जाते हैं,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v - v_O}{v + v_S} \right)$
यहाँ,$v = 340\; m/s$ ध्वनि की गति है,$v_O = 10\; m/s$ प्रेक्षक का वेग है,और $v_S = 10\; m/s$ स्रोत का वेग है।
दिया गया है $n' = 1950\; Hz$,मान रखने पर:
$1950 = n \left( \frac{340 - 10}{340 + 10} \right)$
$1950 = n \left( \frac{330}{350} \right)$
$1950 = n \left( \frac{33}{35} \right)$
$n = 1950 \times \frac{35}{33} \approx 2068.18\; Hz$
निकटतम पूर्णांक में,वास्तविक आवृत्ति $2068\; Hz$ है।

(A) कुल कार्य निर्धारित करने के लिए,हम सूक्ष्म विस्थापन $dx$ के लिए सूक्ष्म कार्य $dW$ की गणना इस प्रकार करते हैं:
$dW = F \cdot dx = F dx \cos \theta$
चूंकि बल विस्थापन की दिशा में है,$\theta = 0^{\circ}$,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$ है।
$dW = F dx = (10 + 0.5x) dx$
अब,कुल कार्य $W$ ज्ञात करने के लिए $x = 0$ से $x = 2$ तक समाकलन (integration) करने पर:
$W = \int_{0}^{2} (10 + 0.5x) dx$
$W = [10x + 0.5 \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$
$W = [10x + 0.25x^2]_{0}^{2}$
$W = (10(2) + 0.25(2)^2) - (10(0) + 0.25(0)^2)$
$W = 20 + 0.25(4) = 20 + 1 = 21 \text{ इकाई}$.

(B) जब एक धात्विक छड़ को गर्म किया जाता है,तो इसमें ऊष्मीय प्रसार होता है।
जैसे-जैसे छड़ की लंबाई बढ़ती है,द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष से दूर हो जाता है।
अपने लंब समद्विभाजक के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \frac{ML^2}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लंबाई $(L)$ बढ़ती है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति में,कोणीय संवेग $(L_{ang} = I\omega)$ नियत रहता है।
अतः,$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$।
चूंकि $I$ बढ़ता है,इसलिए कोणीय संवेग को नियत रखने के लिए कोणीय चाल $(\omega)$ को कम होना चाहिए।

(C) एकसमान गति में,वस्तु एक नियत वेग के साथ चलती है। इसका अर्थ है कि किसी भी समय $t$ पर इसके वेग का परिमाण समान रहता है।
चूंकि वेग समय के साथ नहीं बदलता है,इसलिए वेग-समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होती है।
अतः,$Assertion$ सही है।
एकसमान गति में वेग नियत रहता है,न कि समय के वर्ग के रूप में बढ़ता है। इसलिए,$Reason$ गलत है।

(A) चौड़ाई वाली नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_y}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_y$ नदी के प्रवाह के लंबवत दिशा में नदी के सापेक्ष नाव के वेग का घटक है।
यदि नदी के सापेक्ष दो नावों के वेग का परिमाण समान है $(v_1 = v_2 = v)$,और वे नदी के किनारे के लंबवत दिशा के साथ समान कोण $\theta$ पर निर्देशित हैं,तो उनके लंबवत घटक $v_y = v \cos \theta$ होंगे।
चूंकि $v$ और $\theta$ दोनों नावों के लिए समान हैं,इसलिए उनके लंबवत घटक $v_y$ समान हैं।
इसलिए,दोनों नावें नदी को समान समय $t = \frac{d}{v \cos \theta}$ में पार करेंगी,भले ही वे नदी के प्रवाह के कारण अलग-अलग रास्तों का अनुसरण करें।
अतः,Assertion और Reason दोनों सही हैं,और Reason,Assertion की सही व्याख्या है।

(A) दो प्रत्यास्थ पिंडों की टक्कर के दौरान,पिंडों में विरूपण (deformation) होता है।
जैसे-जैसे पिंड विरूपित होते हैं,कणों के बीच की अंतर-आणविक दूरी कम हो जाती है,जिससे निकाय की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहनी चाहिए।
चूंकि टक्कर के विरूपण चरण के दौरान प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है,इसलिए इस परिवर्तन की भरपाई के लिए निकाय की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ कम होनी चाहिए।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(B) एक आदर्श गैस की कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{3}{2} nRT$।
चूंकि आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,इसलिए हम $nRT$ को $PV$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$।
इस प्रकार,$Assertion$ सही है।
$Reason$ बताता है कि गैस के अणु टकराते हैं और उनके वेग बदलते हैं। यह गैसों के गतिज सिद्धांत का एक मूलभूत गुण है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि गतिज ऊर्जा $PV$ के साथ इस विशिष्ट अनुपात में क्यों संबंधित है।
इसलिए,दोनों कथन सही हैं,लेकिन $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) उत्प्लावक बल उत्प्लावकता केंद्र पर कार्य करता है,जो विस्थापित द्रव का द्रव्यमान केंद्र होता है। यह बिंदु वस्तु के द्रव्यमान केंद्र के साथ केवल तभी संपाती होता है यदि वस्तु समांगी (समान घनत्व वाली) हो। चूंकि वस्तु का समांगी होना आवश्यक नहीं है,इसलिए $Assertion$ गलत है।
$Reason$ कथन यांत्रिकी का एक सामान्य सिद्धांत है: किसी पिंड पर कार्य करने वाले एक समान बल क्षेत्र (जैसे गुरुत्वाकर्षण) के लिए,परिणामी बल द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है। हालाँकि,उत्प्लावक बल वस्तु पर कार्य करने वाला एक समान बल क्षेत्र नहीं है; यह वस्तु की सतह पर कार्य करने वाले दाब बलों का परिणामी है। अतः,$Reason$ भी गलत है।

(C) मेयर के संबंध के अनुसार,$C_p - C_v = R$ होता है। चूंकि $R > 0$ है,इसलिए $C_p > C_v$ होता है। इसका कारण यह है कि जब गैस को स्थिर दाब पर गर्म किया जाता है,तो वह प्रसारित होती है और बाहरी दाब के विरुद्ध कार्य करती है। इसलिए,आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा के अलावा इस कार्य को करने के लिए अतिरिक्त ऊष्मा की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत,स्थिर आयतन पर,गैस द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है,इसलिए प्रदान की गई सभी ऊष्मा का उपयोग केवल आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए किया जाता है। अतः,Assertion सही है,लेकिन Reason विपरीत बात कहता है (कि स्थिर आयतन पर अतिरिक्त ऊष्मा की आवश्यकता होती है),इसलिए Reason गलत है।

(D) डोरी में तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है। चूँकि डोरी के लिए $T$ और $\mu$ दोनों समान हैं,इसलिए इसमें यात्रा करने वाली सभी तरंगों के लिए गति $v$ स्थिर रहती है।
हालाँकि,वेग एक सदिश राशि है जिसमें गति और दिशा दोनों शामिल हैं। दो तरंगें एक ही डोरी में समान गति $v$ के साथ लेकिन विपरीत दिशाओं में यात्रा कर सकती हैं (उदाहरण के लिए,एक $+x$ दिशा में और दूसरी $-x$ दिशा में)।
इस प्रकार,इन दो तरंगों का वेग $+v$ और $-v$ होगा,जो अलग-अलग हैं। इसलिए,Assertion कि उनके वेग अलग नहीं हो सकते,गलत है।
Reason सही है कि गति केवल डोरी के प्रत्यास्थ और जड़त्वीय गुणों पर निर्भर करती है,जो समान हैं,लेकिन Assertion स्वयं गलत है।

(C) हुक के नियम को मान्य मानते हुए,तनाव $T$ विस्तार $\Delta \ell = \ell - \ell_{0}$ के समानुपाती होता है,जहाँ $\ell_{0}$ मूल लंबाई है।
$T = k(\ell - \ell_{0})$
दी गई दो स्थितियों के लिए:
$T_{1} = k(\ell_{1} - \ell_{0})$ --- $(1)$
$T_{2} = k(\ell_{2} - \ell_{0})$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{\ell_{1} - \ell_{0}}{\ell_{2} - \ell_{0}}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$T_{1}(\ell_{2} - \ell_{0}) = T_{2}(\ell_{1} - \ell_{0})$
$T_{1}\ell_{2} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{2}\ell_{0}$
$\ell_{0}$ के लिए हल करने पर:
$T_{2}\ell_{0} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0}(T_{2} - T_{1}) = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0} = \frac{T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}}{T_{2} - T_{1}}$

(C) पहली गेंद के लिए,तय की गई दूरी $h = 122.5 \ m$ है। गति के समीकरण $h = \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करने पर:
$122.5 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{122.5 \times 2}{9.8} = 25$
$t = 5 \ s$.
दूसरी गेंद $2 \ s$ बाद फेंकी जाती है,इसलिए इसे पानी तक पहुँचने के लिए केवल $(5 - 2) = 3 \ s$ का समय मिलता है।
दूसरी गेंद के लिए गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करने पर:
$122.5 = u(3) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$122.5 = 3u + 4.9 \times 9$
$122.5 = 3u + 44.1$
$3u = 122.5 - 44.1 = 78.4$
$u = \frac{78.4}{3} \approx 26.13 \ m/s$.

(A) प्रक्षेप्य गति के पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
माना $k = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है। तब समीकरण $y = x \tan \theta - kx^2$ हो जाता है।
चूंकि प्रक्षेप पथ $(P, Q)$ और $(Q, P)$ से गुजरता है,इसलिए:
$Q = P \tan \theta - kP^2$ --- $(1)$
$P = Q \tan \theta - kQ^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$Q - P = (P - Q) \tan \theta - k(P^2 - Q^2)$
$-(P - Q) = (P - Q) \tan \theta - k(P - Q)(P + Q)$
$(P - Q)$ से भाग देने पर:
$-1 = \tan \theta - k(P + Q) \implies k = \frac{\tan \theta + 1}{P + Q}$।
$k$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$Q = P \tan \theta - \left( \frac{\tan \theta + 1}{P + Q} \right) P^2$
$Q(P + Q) = P(P + Q) \tan \theta - P^2 \tan \theta - P^2$
$PQ + Q^2 + P^2 = PQ \tan \theta$
$\tan \theta = \frac{P^2 + Q^2 + PQ}{PQ}$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 40\,kg$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_{s} = 0.5$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_{k} = 0.4$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$ है।
बल $P$ गति शुरू करने के लिए पर्याप्त है,इसलिए यह सीमांत घर्षण के बराबर होगा:
$P = f_{s,max} = \mu_{s} N = \mu_{s} mg$.
जब पिंड गति करना शुरू करता है,तो उस पर गतिज घर्षण $f_{k}$ कार्य करता है:
$f_{k} = \mu_{k} N = \mu_{k} mg$.
पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net}$:
$F_{net} = P - f_{k} = \mu_{s} mg - \mu_{k} mg = m(\mu_{s} - \mu_{k})g$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = ma$:
$ma = m(\mu_{s} - \mu_{k})g$.
अतः,त्वरण $a$:
$a = (\mu_{s} - \mu_{k})g$.
मान रखने पर:
$a = (0.5 - 0.4) \times 10 = 0.1 \times 10 = 1\,m/s^2$.

(C) मान लीजिए कि डिस्क की सतह और जमीन के बीच घर्षण बल $f_r$ है। डिस्क की गति के लिए,बल समीकरण से: $2F - f_r = ma$।
टॉर्क (torque) समीकरण से,केंद्र के सापेक्ष $\tau = I\alpha$ होता है।
यहाँ,$(F + f_r)r = I\alpha = (\frac{1}{2}mr^2)(\frac{a}{r}) = \frac{1}{2}mra$।
अतः,$F + f_r = \frac{1}{2}ma$।
बल समीकरण से $ma = 2F - f_r$,इसलिए $F + f_r = \frac{1}{2}(2F - f_r) = F - 0.5f_r$।
इस समीकरण को हल करने पर $1.5f_r = 0$,अर्थात $f_r = 0$ प्राप्त होता है। यदि डिस्क स्थिर संतुलन में है,तो कुल बल $2F$ को संतुलित करने के लिए घर्षण $f_r = 2F$ होना चाहिए,इसलिए $n = 2$।

(B) कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर निकाय पर कार्य करने वाले कुल टॉर्क के बराबर होती है,अर्थात $\left|\frac{dL}{dt}\right| = \tau_{\text{net}}$.
केंद्र से $l$ दूरी पर स्थित प्रत्येक द्रव्यमान $m$ के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = l\sin\alpha$ है।
प्रत्येक द्रव्यमान पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F = mr\omega^2 = m(l\sin\alpha)\omega^2$ है।
केंद्र के परितः एक द्रव्यमान के कारण टॉर्क $\tau = F \times r_{\perp}$ है,जहाँ $r_{\perp} = l\cos\alpha$ घूर्णन अक्ष से बल सदिश की लंबवत दूरी है।
अतः,$\tau = (ml\sin\alpha\omega^2) \times (l\cos\alpha) = ml^2\omega^2\sin\alpha\cos\alpha$.
चूंकि केंद्र के विपरीत दिशाओं में ऐसे दो द्रव्यमान हैं,इसलिए उनके द्वारा उत्पन्न टॉर्क एक ही दिशा में होते हैं।
इसलिए,कुल टॉर्क $\tau_{\text{net}} = 2\tau = 2ml^2\omega^2\sin\alpha\cos\alpha$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tau_{\text{net}} = ml^2\omega^2\sin 2\alpha$.
अतः,$\left|\frac{dL}{dt}\right| = ml^2\omega^2\sin 2\alpha$.

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,वह तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\max}$ जिस पर विकिरण तीव्रता अधिकतम होती है,कृष्णिका के परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\lambda_{\max} T = b$ (जहाँ $b$ वीन का नियतांक है)।
वस्तु $O_1$ के लिए: $\lambda_1 = 200\,nm$,इसलिए $T_1 = \frac{b}{200}$।
वस्तु $O_2$ के लिए: $\lambda_2 = 600\,nm$,इसलिए $T_2 = \frac{b}{600}$।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति (उत्सर्जक शक्ति) $E$ परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$E \propto T^4$।
इसलिए,$O_1$ द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति का $O_2$ की शक्ति से अनुपात है:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4 = \left( \frac{b/200}{b/600} \right)^4 = \left( \frac{600}{200} \right)^4 = (3)^4 = 81$।
अतः,अनुपात $81:1$ है।

(D) दिया गया है कि गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा $\frac{5}{2} R$ है।
हम जानते हैं कि $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) वाली गैस के लिए:
$C_V = \frac{fR}{2}$ और $C_P = \left(1 + \frac{f}{2}\right) R$ होता है।
स्थिति $1$: यदि दी गई विशिष्ट ऊष्मा $C_V$ है,तो $\frac{fR}{2} = \frac{5}{2} R$,जिसका अर्थ है $f = 5$। $f = 5$ वाली गैस एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस होती है।
स्थिति $2$: यदि दी गई विशिष्ट ऊष्मा $C_P$ है,तो $\left(1 + \frac{f}{2}\right) R = \frac{5}{2} R$। इसे सरल करने पर $1 + \frac{f}{2} = 2.5$,अतः $\frac{f}{2} = 1.5$,जिसका अर्थ है $f = 3$। $f = 3$ वाली गैस एकपरमाणुक गैस होती है।
चूंकि प्रश्न में यह निर्दिष्ट नहीं है कि यह मान $C_P$ है या $C_V$,इसलिए गैस एकपरमाणुक या दृढ़ द्विपरमाणुक हो सकती है।

(B) $SHM$ के लिए दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{v dv}{dx} = -\omega^2 x$.
विस्थापन $x$ पर वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का समाकलन करेंगे:
$\int_{v_0}^{v} v dv = \int_{0}^{x} -\omega^2 x dx$.
समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{v_0}^{v} = -\omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x}$.
$\frac{1}{2}(v^2 - v_0^2) = -\frac{\omega^2 x^2}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$v^2 - v_0^2 = -\omega^2 x^2$.
$v$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$v^2 = v_0^2 - \omega^2 x^2$.
वर्गमूल लेने पर:
$v = \sqrt{v_0^2 - \omega^2 x^2}$.

(A) माना निकाय का त्वरण $a$ है जो ब्लॉक $B$ की दिशा में है।
ब्लॉक $A$ ($m$ द्रव्यमान) के लिए: ढलान पर बल $T$ (ऊपर की ओर) और $mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) हैं। अभिलंब बल $N_A = mg \cos 45^{\circ}$ है। घर्षण बल $f_A = \mu_A N_A = (2/3) mg \cos 45^{\circ}$ है।
$A$ के लिए गति का समीकरण: $T - mg \sin 45^{\circ} - f_A = ma \implies T = ma + mg \sin 45^{\circ} + (2/3) mg \cos 45^{\circ}$।
ब्लॉक $B$ ($2m$ द्रव्यमान) के लिए: ढलान पर बल $2mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) और $T$ (ऊपर की ओर) हैं। अभिलंब बल $N_B = 2mg \cos 45^{\circ}$ है। घर्षण बल $f_B = \mu_B N_B = (1/3) (2mg \cos 45^{\circ}) = (2/3) mg \cos 45^{\circ}$ है।
$B$ के लिए गति का समीकरण: $2mg \sin 45^{\circ} - T - f_B = 2ma \implies T = 2mg \sin 45^{\circ} - (2/3) mg \cos 45^{\circ} - 2ma$।
$T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$ma + mg \sin 45^{\circ} + (2/3) mg \cos 45^{\circ} = 2mg \sin 45^{\circ} - (2/3) mg \cos 45^{\circ} - 2ma$
$3ma = mg \sin 45^{\circ} - (4/3) mg \cos 45^{\circ}$
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = 1/\sqrt{2}$,इसलिए $3ma = mg(1/\sqrt{2}) - (4/3) mg(1/\sqrt{2}) = mg(1/\sqrt{2}) (1 - 4/3) = -mg/(3\sqrt{2})$।
त्वरण ऋणात्मक होने के कारण,निकाय गति नहीं करता है और स्थैतिक घर्षण इसे संतुलन में रखता है। अतः,त्वरण $0$ है।

(B) चरण $1$: ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों की पहचान करें। गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है और अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ सतह के लंबवत गोले के केंद्र की ओर कार्य करता है।
चरण $2$: बलों को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में विभाजित करें। अभिलंब बल $N$ और ऊर्ध्वाधर अक्ष के बीच का कोण $\theta$ है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन: $N \cos \theta = mg$ (समीकरण $1$)
क्षैतिज घटक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $N \sin \theta = m \omega^2 R$,जहाँ $R$ ब्लॉक के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है। कटोरे की ज्यामिति से,$R = r \sin \theta$.
अतः,$N \sin \theta = m \omega^2 (r \sin \theta)$ (समीकरण $2$)
चरण $3$: समीकरणों को हल करें। समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{m \omega^2 r \sin \theta}{mg}$
$\tan \theta = \frac{\omega^2 r \sin \theta}{g}$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\omega^2 r \sin \theta}{g}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{\omega^2 r}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{r \cos \theta}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{r \cos \theta}}$

(A) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद ब्लॉकों के वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
प्रारंभिक संवेग = $mv + (2m)(0) = mv$.
अंतिम संवेग = $m(0) + (2m)v_2 = 2mv_2$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = 2mv_2$,जिससे $v_2 = v/2$ प्राप्त होता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण (approach) के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
दृष्टिकोण का वेग = $v - 0 = v$.
पृथक्करण का वेग = $v_2 - 0 = v_2 = v/2$.
इसलिए,$e = \frac{v/2}{v} = 0.5$।

(A) लुढ़कते हुए गोले की कुल गतिज ऊर्जा $(K)$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है,$v = R\omega$,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{R}$।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
दिया गया है: $m = 500\,g = 0.5\,kg$ और $v = 0.02\,m/s$।
$K = \frac{7}{10} \times 0.5 \times (0.02)^2$
$K = 0.7 \times 0.5 \times 0.0004 = 0.35 \times 0.0004 = 0.00014\,J = 1.4 \times 10^{-4}\,J$.

(B) कथन $(A)$ सत्य है। प्रत्यास्थ टक्कर की परिभाषा के अनुसार,गतिज ऊर्जा और रैखिक संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं। $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जिनके प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ तथा अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रत्यास्थ टक्कर के लिए $e = 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $v_2 - v_1 = u_1 - u_2$। यह पुष्टि करता है कि टक्कर के बाद अलग होने की सापेक्ष गति,टक्कर से पहले पास आने की सापेक्ष गति के बराबर होती है।
कारण $(R)$ भी सत्य है। किसी भी टक्कर (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में,निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।
हालाँकि,केवल रैखिक संवेग का संरक्षण यह नहीं बताता है कि सापेक्ष गति स्थिर क्यों रहती है; यह गुण प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा के संरक्षण का परिणाम है। इसलिए,कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष स्टेशन के अंदर का अंतरिक्ष यात्री पृथ्वी की ओर निरंतर मुक्त पतन की स्थिति में होता है क्योंकि उन पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है।
चूंकि अंतरिक्ष स्टेशन और अंतरिक्ष यात्री दोनों समान त्वरण (उस ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण) के साथ गिर रहे हैं,इसलिए फर्श द्वारा अंतरिक्ष यात्री पर लगाया गया अभिलंब बल शून्य होता है।
इस स्थिति को भारहीनता के रूप में महसूस किया जाता है।
अतः,कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और कारण $(R)$,कथन $(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) कथन सत्य है क्योंकि जब पानी लंबवत ऊपर की ओर बहता है,तो गुरुत्वाकर्षण गति के विपरीत कार्य करता है,जिससे वेग कम हो जाता है। सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ के अनुसार,जैसे-जैसे वेग $(v)$ घटता है,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ बढ़ना चाहिए,जिससे धारा फैल जाती है। इसके विपरीत,जब नीचे की ओर बहता है,तो गुरुत्वाकर्षण वेग को बढ़ाता है,जिससे धारा संकरी हो जाती है।
कारण भी सत्य है; सांतत्य समीकरण एक असंपीड्य तरल के लिए द्रव्यमान संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है,जो बताता है कि आयतन प्रवाह दर $(Q = Av)$ स्थिर रहती है।
चूंकि धारा के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल में परिवर्तन सीधे गुरुत्वाकर्षण के कारण वेग में परिवर्तन के कारण होता है,और क्षेत्रफल तथा वेग के बीच का संबंध स्थिर आयतन प्रवाह दर द्वारा नियंत्रित होता है,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(B) एक आदर्श गैस की कुल स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} nRT$ है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है।
इसे गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर,हमें $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ बताता है कि गैस के अणु टकराते हैं और उनके वेग बदलते हैं। यह गैसों के गतिज सिद्धांत का एक मूलभूत सिद्धांत है,जो सत्य है।
हालाँकि,अणुओं की टक्कर वह कारण नहीं है कि गतिज ऊर्जा इस विशिष्ट तरीके से $PV$ से संबंधित है; $K = 1.5 PV$ का संबंध तापमान की परिभाषा और आदर्श गैस नियम से प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,कथन और कारण दोनों सत्य हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(D) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$,कुल बाह्य बल $(F_{ext})$ से $F_{ext} = M a_{cm} = M (dv_{cm}/dt)$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
यदि कुल बाह्य बल शून्य है,तो $a_{cm} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $v_{cm}$ नियत है।
$STATEMENT-1$ कहता है कि कोई बाह्य बल आघूर्ण नहीं है। बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति का अर्थ है कि कोणीय संवेग संरक्षित है,लेकिन इसका अर्थ यह नहीं है कि कुल बाह्य बल शून्य है।
उदाहरण के लिए,किसी पिंड पर कार्य करने वाला बल-युग्म (couple) बल आघूर्ण उत्पन्न करता है लेकिन कुल बल शून्य होता है। अतः,यदि कुल बल मौजूद है तो $v_{cm}$ बदल सकता है,भले ही कुल बल आघूर्ण शून्य हो।
इसलिए,$STATEMENT-1$ असत्य है।
$STATEMENT-2$ यांत्रिकी का एक मूलभूत सिद्धांत (रैखिक संवेग संरक्षण का नियम) है और यह सत्य है।
अतः,$STATEMENT-1$ असत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है।

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = qE/m$ है।
गति के समीकरण $s = ut + (1/2)at^2$ का उपयोग करते हुए,और चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होते हैं $(u = 0)$,$t$ समय में तय की गई दूरी $s = (1/2)(qE/m)t^2$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $s = (1/2)(eE/m_e)t_1^2$.
प्रोटॉन के लिए: $s = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
चूंकि दोनों के लिए दूरी $s$ समान है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$(1/2)(eE/m_e)t_1^2 = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
इसे सरल करने पर,हमें $t_1^2/m_e = t_2^2/m_p$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$t_2^2/t_1^2 = m_p/m_e$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें अनुपात $t_2/t_1 = (m_p/m_e)^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(C) सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $N$ फेरों की संख्या है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $l$ सोलेनोइड की लंबाई है。
दिया गया है कि फेरों की नई संख्या $N' = 2N$ और नई लंबाई $l' = 2l$ है, जबकि क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहता है。
नया प्रेरकत्व $L'$ इस प्रकार है:
$L' = \frac{\mu_0 (N')^2 A}{l'} = \frac{\mu_0 (2N)^2 A}{2l} = \frac{\mu_0 (4N^2) A}{2l} = 2 \left( \frac{\mu_0 N^2 A}{l} \right) = 2L$.
अतः, प्रेरकत्व दोगुना हो जाता है。

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में घूर्णन करती हुई कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $e.m.f.$ का मान $e = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
$\phi$ का मान रखने पर: $e = -\frac{d}{dt}(BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta) = \cos(\theta - \pi/2)$ का उपयोग करते हुए,प्रेरित $e.m.f.$ को $e = BA\omega \cos(\omega t - \pi/2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
फ्लक्स की कला $(\omega t)$ और प्रेरित $e.m.f.$ की कला $(\omega t - \pi/2)$ की तुलना करने पर,कलांतर $\pi/2$ प्राप्त होता है।

(C) ड्यूटेरॉन के लिए: आवेश $q_d = e$,द्रव्यमान $m_d = 2m_p = 2m$.
$\alpha -$ कण के लिए: आवेश $q_{\alpha} = 2e$,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p = 4m$.
विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$F_1 = eE$ और $F_2 = 2eE$। चूंकि $F_1 \neq F_2$,इसलिए कारण गलत है।
अब,$a = F/m$ का उपयोग करके त्वरण की गणना करने पर:
$a_1 = F_1 / m_d = (eE) / (2m) = eE / 2m$.
$a_2 = F_2 / m_{\alpha} = (2eE) / (4m) = eE / 2m$.
चूंकि $a_1 = a_2$,इसलिए कथन सही है।
अतः,कथन सही है लेकिन कारण गलत है।

(D) असमान आवेश वितरण और $0$ कुल आवेश वाली एक पतली वृत्ताकार वलय के लिए,अक्ष पर किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{dq}{r}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि कुल आवेश $\int dq = 0$ है और वलय पर सभी बिंदु अक्ष पर किसी भी बिंदु से समान दूरी $r$ पर हैं,इसलिए अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर विभव $V$ वास्तव में $0$ होता है।
हालाँकि,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव का ऋणात्मक प्रवणता (gradient) है,$\vec{E} = -\nabla V$। यद्यपि अक्ष पर विभव हर जगह शून्य है,इसका मतलब यह नहीं है कि अक्ष के आसपास के क्षेत्र में विभव स्थिर है। वास्तव में,अक्ष पर विद्युत क्षेत्र आमतौर पर शून्य नहीं होता है और यह अक्ष के लंबवत दिशा में होता है। अतः,कथन गलत है और कारण सही है।

(A) बल्ब की चमक व्यय हुई शक्ति द्वारा निर्धारित होती है,जो $P = I^2R$ द्वारा दी जाती है।
सापेक्ष त्रुटि की अवधारणा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{dP}{P} = 2 \left( \frac{dI}{I} \right)$ है।
यह दिया गया है कि धारा $0.5\%$ कम हो जाती है,इसलिए $\frac{dI}{I} = 0.5\%$.
इस मान को त्रुटि सूत्र में रखने पर: $\frac{dP}{P} = 2 \times 0.5\% = 1\%$.
अतः,बल्ब की चमक $1\%$ कम हो जाती है।
चूंकि शक्ति वास्तव में धारा के वर्ग के आनुपातिक है $(P \propto I^2)$,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(C) परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है।
चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा घनत्व $u = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2$ है।
चूंकि ऊर्जा घनत्व $u$,$I^2$ के समानुपाती है,इसलिए धारा की दिशा को उलटने (अर्थात $I$ को $-I$ करने) से $I^2$ के मान में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,परिनालिका में संचित चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि कथन में ऊर्जा घटने का दावा किया गया है,इसलिए कथन गलत है।
कारण बताता है कि ऊर्जा घनत्व धारा के वर्ग के समानुपाती है,जो सही है।
इस प्रकार,कथन गलत है और कारण सही है।

(C) क्यूरी के नियम के अनुसार,एक अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति (susceptibility) उसके परम तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $\chi = C/T$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे तापमान $T$ घटता है,प्रवृत्ति $\chi$ बढ़ती है,जिससे समान बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के लिए अधिक चुंबकन होता है।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि कम तापमान पर,परमाणु द्विध्रुवों (atomic dipoles) के संरेखण को बाधित करने वाली यादृच्छिक ऊष्मीय गति कम हो जाती है,जिससे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के लिए उन्हें संरेखित करना आसान हो जाता है।
इसलिए,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है क्योंकि अनुचुंबकीय पदार्थों में चुंबकन तापमान पर दृढ़ता से निर्भर करता है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$W$ चौड़ाई वाले पर्दे पर देखी जा सकने वाली चमकीली फ्रिंजों की संख्या $N = \frac{W}{\beta} = \frac{Wd}{\lambda D}$ है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि फ्रिंजों की संख्या $N$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(N \propto \frac{1}{\lambda})$।
यदि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को दोगुना कर दिया जाए,तो फ्रिंजों की संख्या $N$ आधी हो जाएगी,जिसका अर्थ है कि यह घट जाएगी।
इसलिए,कथन गलत है क्योंकि फ्रिंजों की संख्या बढ़ती नहीं बल्कि घटती है।
कारण भी गलत है क्योंकि फ्रिंजों की संख्या तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है,न कि सीधे आनुपातिक।
अतः,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(D) प्रकाश-विद्युत संतृप्ति धारा केवल आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है,जो प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या के अनुरूप होती है।
यह आपतित प्रकाश की आवृत्ति से स्वतंत्र है।
आपतित प्रकाश की आवृत्ति बढ़ाने से उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है,लेकिन यह प्रति इकाई समय में उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या को नहीं बदलता है।
इसलिए,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(B) कथन सही है क्योंकि एकवर्णी प्रकाश स्रोत के लिए भी, धातु की गहरी परतों से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन बाहर निकलने से पहले टक्करों के कारण ऊर्जा खो देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप $0$ से $K_{max}$ तक की गतिज ऊर्जा प्राप्त होती है।
कारण भी सही है क्योंकि आइंस्टीन के प्रकाशवैद्युत समीकरण $K_{max} = h\nu - \Phi$ के अनुसार, यदि आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य अलग-अलग है (और इसलिए आवृत्ति $\nu$ अलग है), तो इलेक्ट्रॉनों द्वारा प्राप्त ऊर्जा अलग-अलग होगी।
हालाँकि, कारण, कथन की सही व्याख्या नहीं है क्योंकि गतिज ऊर्जा में भिन्नता का प्राथमिक कारण (एकवर्णी प्रकाश के लिए भी) धातु के भीतर विभिन्न गहराइयों से इलेक्ट्रॉनों के बाहर निकलने के दौरान होने वाली ऊर्जा की हानि है।

(A) अवशोषण संक्रमण में,निम्न ऊर्जा अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन एक फोटॉन को अवशोषित करता है और उच्च ऊर्जा अवस्था में कूदता है। $A, B, C$ ऊर्जा स्तरों वाली प्रणाली के लिए (जहाँ $A < B < C$),अवशोषण केवल ग्राउंड स्टेट $A$ से $B$ या $A$ से $C$ तक हो सकता है। इस प्रकार,$2$ संभावित अवशोषण संक्रमण हैं।
उत्सर्जन संक्रमण में,उच्च ऊर्जा अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन एक फोटॉन उत्सर्जित करके निम्न ऊर्जा अवस्था में आता है। समान स्तरों के लिए,उत्सर्जन $C \rightarrow B$,$C \rightarrow A$,और $B \rightarrow A$ से हो सकता है। इस प्रकार,$3$ संभावित उत्सर्जन संक्रमण हैं।
चूंकि $2 < 3$,अवशोषण संक्रमणों की संख्या उत्सर्जन संक्रमणों की संख्या से कम है। कारण सही ढंग से बताता है कि अवशोषण निचले स्तर से शुरू होने तक सीमित है,जबकि उत्सर्जन किन्हीं भी दो स्तरों के बीच हो सकता है जहाँ प्रारंभिक अवस्था अंतिम अवस्था से उच्च होती है।

(C) कथन सही है क्योंकि भारी नाभिकों के नाभिकीय विखंडन और हल्के नाभिकों के नाभिकीय संलयन में ऊर्जा मुक्त होती है,क्योंकि अभिकारकों की तुलना में उत्पाद नाभिकों की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा में वृद्धि होती है।
कारण गलत है क्योंकि प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का वक्र दर्शाता है कि भारी नाभिकों के लिए,परमाणु क्रमांक $Z$ बढ़ने के साथ प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा घटती है (जो उन्हें अस्थिर बनाती है और विखंडन के लिए प्रेरित करती है),जबकि हल्के नाभिकों के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $Z$ बढ़ने के साथ बढ़ती है (जो उन्हें अधिक स्थिर अवस्था प्राप्त करने के लिए संलयन के लिए प्रेरित करती है)।

(A) अर्धचालकों में चालन बैंड और संयोजी बैंड के बीच ऊर्जा अंतराल छोटा $(\approx 1 \ eV)$ होता है।
तापमान में वृद्धि के कारण,संयोजी बैंड में मौजूद इलेक्ट्रॉन तापीय ऊर्जा प्राप्त करते हैं और इस छोटे ऊर्जा अंतराल को पार करके चालन बैंड में जा सकते हैं।
जैसे-जैसे आवेश वाहकों की संख्या बढ़ती है,अर्धचालक की चालकता बढ़ जाती है।
चूंकि चालकता प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए अर्धचालक का प्रतिरोध कम हो जाता है।
अतः,कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

(A) किसी पदार्थ की चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ को चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B$ और चुम्बकन क्षेत्र $H$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\mu = \frac{B}{H}$ द्वारा दिया जाता है।
एक लौह-चुंबकीय पदार्थ के लिए,जैसे-जैसे चुम्बकन क्षेत्र $H$ बढ़ता है,चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B$ शुरू में बढ़ता है लेकिन अंततः चुंबकीय संतृप्ति (magnetic saturation) की स्थिति तक पहुँच जाता है।
चूंकि $B$ एक स्थिर संतृप्ति मान के करीब पहुंचता है जबकि $H$ लगातार बढ़ता रहता है,इसलिए अनुपात $\mu = \frac{B}{H}$ घट जाता है। अतः,चुम्बकन क्षेत्र में वृद्धि के साथ लौह-चुंबकीय पदार्थ की पारगम्यता घट जाती है।

(A) कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को संबंध $\phi = L \times I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है और $I$ कुंडली में प्रवाहित धारा है।
दिया गया है:
स्व-प्रेरकत्व $L = 50\,mH = 50 \times 10^{-3}\,H$
धारा $I = 8\,mA = 8 \times 10^{-3}\,A$
सूत्र में मान रखने पर:
$\phi = (50 \times 10^{-3}\,H) \times (8 \times 10^{-3}\,A)$
$\phi = 400 \times 10^{-6}\,Wb$
$\phi = 4 \times 10^{-4}\,Wb$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र तार के चार खंडों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
$1$. $O$ की ओर या $O$ से दूर जाने वाले दो सीधे खंड $O$ पर शून्य चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं क्योंकि धारा तत्व और स्थिति सदिश के बीच का कोण $0^\circ$ या $180^\circ$ है।
$2$. $R$ त्रिज्या वाला आंतरिक वृत्ताकार चाप केंद्र पर $270^\circ$ (या $\frac{3\pi}{2}$ रेडियन) का कोण बनाता है। चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \theta = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \times \frac{3\pi}{2} = \frac{3\mu_0 i}{8R}$ (नीचे की ओर) है।
$3$. $2R$ त्रिज्या वाला बाहरी वृत्ताकार चाप केंद्र पर $90^\circ$ (या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन) का कोण बनाता है। चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi (2R)} \theta = \frac{\mu_0 i}{8\pi R} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 i}{16R}$ (नीचे की ओर) है।
$4$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 i}{8R} + \frac{\mu_0 i}{24R} = \frac{5\mu_0 i}{12R}$ (नीचे की ओर) है।

(D) बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:
$P + \overline{P}Q = (P + \overline{P}) \cdot (P + Q)$
चूँकि $(P + \overline{P}) = 1$,व्यंजक बन जाता है:
$1 \cdot (P + Q) = P + Q$
व्यंजक $P + Q$ एक $OR$ गेट के आउटपुट को दर्शाता है।
वैकल्पिक रूप से,हम सत्यता सारणी बना सकते हैं:

$P$	$Q$	$\overline{P}$	$\overline{P}Q$	$P + \overline{P}Q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

$P + \overline{P}Q$ के लिए आउटपुट कॉलम $OR$ गेट की सत्यता सारणी से मेल खाता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) जब $150\,\Omega$ प्रतिरोध वाले वोल्टमीटर को $A$ और $B$ के बीच के $100\,\Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इस प्रकार होगा:
$R_{AB} = \frac{150 \times 100}{150 + 100} = \frac{15000}{250} = 60\,\Omega$
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq}$,$R_{AB}$ और $B$ तथा $C$ के बीच के प्रतिरोध $(R_{BC} = 100\,\Omega)$ का योग है:
$R_{eq} = R_{AB} + R_{BC} = 60 + 100 = 160\,\Omega$
परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{50}{160} = 0.3125\,A$
$B$ और $C$ के बीच विभवांतर:
$V_{BC} = I \times R_{BC} = 0.3125 \times 100 = 31.25\,V$
निकटतम पूर्णांक में,विभवांतर $31\,V$ है।

(A) नाभिक की त्रिज्या $(R)$ और उसकी द्रव्यमान संख्या $(A)$ के बीच का संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ एक आनुभविक स्थिरांक है।
दी गई द्रव्यमान संख्या $A_1 = 216$ और $A_2 = 64$ के लिए,हम उनकी त्रिज्याओं का अनुपात इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 A_1^{1/3}}{R_0 A_2^{1/3}} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^{1/3}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{216}{64} \right)^{1/3}$
चूंकि $216 = 6^3$ और $64 = 4^3$ है:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{6^3}{4^3} \right)^{1/3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
अतः,अनुपात $\frac{R_1}{R_2}$ का मान $3:2$ है।

(A) अर्धचालक की चालकता $\sigma$ को $\sigma = e(n\mu_{n} + p\mu_{p})$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
द्रव्यमान क्रिया के नियम से,$np = n_{i}^{2}$,इसलिए $n = \frac{n_{i}^{2}}{p}$।
इसे चालकता समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sigma = e\left(\frac{n_{i}^{2}}{p}\mu_{n} + p\mu_{p}\right)$।
न्यूनतम चालकता ज्ञात करने के लिए,हम $\sigma$ का $p$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{d\sigma}{dp} = e\left(-\frac{n_{i}^{2}}{p^{2}}\mu_{n} + \mu_{p}\right) = 0$।
इसका तात्पर्य है कि $\frac{n_{i}^{2}}{p^{2}}\mu_{n} = \mu_{p}$।
$p$ के लिए हल करने पर,हमें $p^{2} = n_{i}^{2} \frac{\mu_{n}}{\mu_{p}}$ प्राप्त होता है,जिससे $p = n_{i} \sqrt{\frac{\mu_{n}}{\mu_{p}}}$ मिलता है।

(A) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\mu_0 = \frac{2\pi r F}{l I_1 I_2}$ प्राप्त होता है।
विमाएँ इस प्रकार हैं: $[r] = [L]$,$[F] = [MLT^{-2}]$,$[l] = [L]$,और $[I] = [QT^{-1}]$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $[\mu_0] = \frac{[L][MLT^{-2}]}{[L][QT^{-1}]^2}$।
$[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}]}{[Q^2T^{-2}]} = [MLQ^{-2}]$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) एक आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\,eV\cdot nm}{400\,nm} = 3.1\,eV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E = 3.1 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J = 4.96 \times 10^{-19}\,J$.
प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या $n = \frac{P}{E} = \frac{1.55 \times 10^{-3}\,W}{4.96 \times 10^{-19}\,J} = 3.125 \times 10^{15}\,\text{फोटॉन/सेकंड}$.
चूंकि केवल $10\%$ फोटॉन ही फोटोइलेक्ट्रॉन उत्पन्न करते हैं,इसलिए प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $N_e = 0.10 \times n = 0.10 \times 3.125 \times 10^{15} = 3.125 \times 10^{14}\,\text{इलेक्ट्रॉन/सेकंड}$.
फोटोइलेक्ट्रिक धारा $I = N_e \times e = 3.125 \times 10^{14} \times 1.6 \times 10^{-19}\,A = 5.0 \times 10^{-5}\,A$.
$\mu A$ में बदलने पर: $I = 50\,\mu A$.

(A) किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करते हुए:
लूप $ABCDA$ के लिए,$2i_1 + 5(i_1 + i_2) = 12$,जो सरल होकर $7i_1 + 5i_2 = 12 \dots (1)$ हो जाता है।
लूप $EBCFE$ के लिए,$2i_2 + 5(i_1 + i_2) = 12$,जो सरल होकर $5i_1 + 7i_2 = 12 \dots (2)$ हो जाता है।
अब,समीकरण $(1)$ को $7$ से और समीकरण $(2)$ को $5$ से गुणा करने पर:
$49i_1 + 35i_2 = 84 \dots (3)$
$25i_1 + 35i_2 = 60 \dots (4)$
समीकरण $(3)$ से $(4)$ को घटाने पर $24i_1 = 24$ प्राप्त होता है,इसलिए $i_1 = 1\,A$.
$i_1 = 1\,A$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,$7(1) + 5i_2 = 12$,इसलिए $5i_2 = 5$,जिसका अर्थ है $i_2 = 1\,A$.
अतः $5\,\Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहने वाली कुल धारा $i_1 + i_2 = 1 + 1 = 2\,A$ है।

(C) दिया गया है:
धारिता, $C = 250\,\mu F = 250 \times 10^{-6}\,F$
प्रेरकत्व, $L = 0.16\,mH = 0.16 \times 10^{-3}\,H$
प्रतिरोध, $R = 20\,\Omega$
$LC$ परिपथ के लिए अनुनाद आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{250 \times 10^{-6} \times 0.16 \times 10^{-3}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{40 \times 10^{-9}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times 20 \times 10^{-5}}$
$f \approx 796\,Hz$
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार, गणना करने पर $f \approx 796\,Hz$ प्राप्त होता है। प्रश्न में इकाइयों में विसंगति हो सकती है।

(B) क्यूरी-वाइस नियम क्यूरी तापमान $T_c$ से ऊपर के तापमान पर एक फेरोमैग्नेटिक पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के तापमान $T$ के साथ व्यवहार का वर्णन करता है:
$\chi = \frac{C}{T - T_c}$
जहाँ $C$ क्यूरी स्थिरांक है।
जैसे-जैसे $T$,$T_c$ से ऊपर बढ़ता है,हर $(T - T_c)$ बढ़ता है,जिससे चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ कम हो जाती है। संबंध $\chi \propto \frac{1}{T - T_c}$ एक हाइपरबोलिक वक्र को दर्शाता है जो तापमान बढ़ने के साथ घटता है। दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $(B)$ में दिया गया ग्राफ इस व्युत्क्रम संबंध को सही ढंग से दर्शाता है जहाँ $T > T_c$ के लिए $T$ बढ़ने पर $\chi$ घटती है।

(C) क्रिस्टल द्वारा विवर्तन के लिए ब्रैग का नियम इस समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$n\lambda = 2d \sin\theta$
जहाँ $n$ विवर्तन का क्रम है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$d$ अंतर-परमाणु दूरी है और $\theta$ ग्लैंसिंग कोण है।
चूंकि $\sin\theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए समीकरण $n\lambda \leq 2d$ हो जाता है।
प्रथम क्रम के विवर्तन $(n=1)$ के लिए,शर्त $\lambda \leq 2d$ होती है।
अतः,विवर्तन होने के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $2d$ से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए।

(A) जैसे ही तार $v$ तात्क्षणिक वेग के साथ गति करता है,तार में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (e.m.f.) $\varepsilon = Bvl$ होता है।
चूंकि तार $C$ धारिता वाले संधारित्र से जुड़ा है,संधारित्र पर संचित आवेश $q = C\varepsilon = CBvl$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i$,संधारित्र पर आवेश के परिवर्तन की दर है:
$i = \frac{dq}{dt} = CBl \frac{dv}{dt} = CBla$,जहाँ $a$ तार का त्वरण है।
इस धारा के कारण तार पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = Bil = (CBla)Bl = CB^2 l^2 a$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,तार पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - F_m = ma$ है।
$F_m$ का मान रखने पर:
$F - CB^2 l^2 a = ma$
$F = ma + CB^2 l^2 a = a(m + CB^2 l^2)$
अतः,त्वरण $a$ है:
$a = \frac{F}{m + CB^2 l^2}$

(B) ऊर्ध्वाधर सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,ऊर्ध्वाधर सतह पर आपतन कोण $i'$,क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
यहाँ $\mu_1 = 1.0$ और $\mu_2 = 1.25 = \frac{5}{4}$ दिया गया है।
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,$i' \ge C$,जिसका अर्थ है $\sin i' \ge \frac{4}{5}$।
किरण आरेख की ज्यामिति से,शीर्ष क्षैतिज सतह पर अपवर्तन कोण $r$ और ऊर्ध्वाधर सतह पर आपतन कोण $i'$ के बीच संबंध $r + i' = 90^{\circ}$ है,इसलिए $i' = 90^{\circ} - r$।
$TIR$ के लिए,$i' \ge C \implies 90^{\circ} - r \ge C \implies r \le 90^{\circ} - C$।
अधिकतम $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हमें अधिकतम $r$ की आवश्यकता है,जो $r = 90^{\circ} - C$ होने पर प्राप्त होता है।
क्षैतिज सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1.0 \times \sin \theta = 1.25 \times \sin r$।
$\sin \theta_{\max} = 1.25 \times \sin(90^{\circ} - C) = 1.25 \times \cos C$।
चूँकि $\sin C = \frac{4}{5}$,इसलिए $\cos C = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \frac{3}{5}$।
अतः,$\sin \theta_{\max} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{4}$।
इस प्रकार,$\theta_{\max} = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(C) व्यक्ति हाइपरमेट्रोपिया (दूरदृष्टि दोष) से पीड़ित है क्योंकि उसका निकट बिंदु सामान्य $25\,cm$ से खिसककर $40\,cm$ हो गया है।
$25\,cm$ की दूरी पर रखी पुस्तक को पढ़ने के लिए,लेंस को वस्तु का आभासी प्रतिबिंब व्यक्ति के निकट बिंदु $v = -40\,cm$ पर बनाना चाहिए।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $P = \frac{1}{-0.4} - \frac{1}{-0.25}$.
$P = -2.5 + 4.0 = 1.5\,D$.
अतः,लेंस की आवश्यक शक्ति $1.5\,D$ है।

(A) विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ को विद्युत क्षेत्र $E$ और क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\phi_E = E \cdot A$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत क्षेत्र $E$ का मात्रक $N/C$ या $V/m$ है। बल का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है और आवेश का विमीय सूत्र $[IT]$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E$ की विमा $E = \frac{[MLT^{-2}]}{[IT]} = [MLT^{-3} I^{-1}]$ होती है।
क्षेत्रफल $A$ की विमा $[L^2]$ है।
इसलिए,विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ के लिए विमीय सूत्र $\phi_E = [MLT^{-3} I^{-1}] \times [L^2] = [ML^3 T^{-3} I^{-1}]$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(A) दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ को पैरेक्सियल सन्निकटन (paraxial approximation) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है,जो यह मानता है कि किरणें मुख्य अक्ष के करीब हैं और दर्पण का द्वारक (aperture) वक्रता त्रिज्या की तुलना में छोटा है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
परावर्तन के नियम (आपतन कोण = परावर्तन कोण) प्रकाशिकी के मौलिक नियम हैं और किसी भी परावर्तक सतह के लिए मान्य हैं,चाहे वह समतल हो या गोलीय,आकार की परवाह किए बिना। इसलिए,कारण $(R)$ असत्य है।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ अज्ञात प्रतिरोध है और $S$ मानक प्रतिरोध है।
जब अज्ञात प्रतिरोध $R$ को उच्च तापमान वाले बाड़े में रखा जाता है,तो इसका प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि धातुओं का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है $(R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T))$।
शून्य विक्षेप बिंदु $(l)$ की स्थिति को समान बनाए रखने के लिए,अनुपात $\frac{R}{S}$ को स्थिर रहना चाहिए।
चूंकि $R$ बढ़ गया है,इसलिए अनुपात $\frac{R}{S}$ को स्थिर रखने के लिए $S$ को भी बढ़ाया जाना चाहिए।
कथन में कहा गया है कि $S$ को कम करना चाहिए,जो गलत है।
इसलिए,कथन असत्य है,जबकि कारण सत्य है।

$(A)$ नाभिकीय बल आवेश से स्वतंत्र होता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी दो न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन-प्रोटॉन, प्रोटॉन-न्यूट्रॉन, या न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन) के बीच प्रबल नाभिकीय बल एक निश्चित दूरी पर लगभग समान होता है।
हालाँकि, दो प्रोटॉनों के मामले में, उनके धनात्मक आवेश के कारण उनके बीच एक अतिरिक्त स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल कार्य करता है।
चूंकि नाभिकीय बल आकर्षण का होता है और स्थिर-वैद्युत बल प्रतिकर्षण का, इसलिए दो प्रोटॉनों के बीच शुद्ध बल $f_{pp} = f_{\text{nuclear}} - f_{\text{electrostatic}}$ होता है।
प्रोटॉन-न्यूट्रॉन या न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन युग्मों के लिए, कोई स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण नहीं होता है, इसलिए शुद्ध बल केवल आकर्षक नाभिकीय बल होता है $(f_{pn} = f_{nn} = f_{\text{nuclear}})$।
अतः, $f_{pp} < f_{pn} = f_{nn}$।
कथन और कारण दोनों सत्य हैं, और कारण सही ढंग से बताता है कि प्रोटॉनों के बीच शुद्ध बल कम क्यों होता है।

(D) बोर के सिद्धांत के अनुसार,कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$,$\mu = \frac{e}{2m} L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है।
चूंकि $L = \frac{nh}{2\pi}$,हमारे पास $\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right) = \frac{enh}{4\pi m}$ है।
यह दर्शाता है कि $\mu \propto n$ है। जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ बढ़ती है,चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ बढ़ता है।
इसलिए,कथन $(A)$ असत्य है क्योंकि यह कहता है कि चुंबकीय आघूर्ण घटता है।
कारण $(R)$ भी असत्य है क्योंकि यह $\mu \propto n$ कहता है,जो आनुपातिकता के संदर्भ में गणितीय रूप से सही है,लेकिन कथन स्वयं गलत है और संबंध वृद्धि का संकेत देता है,कमी का नहीं। हालाँकि,मानक कथन-कारण प्रश्नों के संदर्भ में,चूंकि कथन गलत है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि $M$ द्रव्यमान का प्रारंभिक कण स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
अतः,परिणामी दो कणों के पास समान और विपरीत संवेग होना चाहिए: $|p_1| = |p_2| = p$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कणों का संवेग परिमाण $p$ समान है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ और $\lambda_2 = \frac{h}{p}$ होगी।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1$ है,जिसका अर्थ है कि अनुपात इकाई है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
हालाँकि,कारण $(R)$ कहता है कि हम रैखिक संवेग संरक्षण को लागू नहीं कर सकते,जो गलत है क्योंकि बाहरी बलों की अनुपस्थिति में रैखिक संवेग संरक्षण हमेशा लागू होता है। इसलिए,कारण असत्य है।

(C) दूरबीन की विभेदन क्षमता को दो वस्तुओं के बीच के उस न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें दूरबीन द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है।
दूरबीन की विभेदन क्षमता का सूत्र $RP = \frac{a}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $a$ अभिदृश्यक लेंस के द्वारक का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $RP \propto a$ है। इसलिए,विभेदन क्षमता बढ़ाने के लिए,अभिदृश्यक का द्वारक $(a)$ बड़ा होना चाहिए।
कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि बड़ा द्वारक विवर्तन सीमा को कम करता है,जिससे बेहतर विभेदन प्राप्त होता है।
कारण $(R)$ में सूत्र $\frac{2 a }{1.22 \lambda}$ दिया गया है,जो गलत है क्योंकि सही सूत्र $\frac{a}{1.22 \lambda}$ है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है।

(C) श्रेणी $R-L$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \theta = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = 2 \pi f$ है।
यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना कर दिया जाए,तो $\omega$ बढ़ जाता है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ बढ़ जाती है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{R}{Z}$,जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,शक्ति गुणांक $\cos \theta$ कम हो जाता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ में दिया गया सूत्र $\cos \theta = \frac{2R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ है,जो गलत है क्योंकि अंश में $2$ का गुणांक गलत है। अतः,कारण $(R)$ असत्य है।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(A) विद्युतचुंबकत्व के सिद्धांत के अनुसार,एक त्वरित आवेश विद्युतचुंबकीय तरंगों का स्रोत होता है।
वृत्ताकार कक्षा में,आवेश का वेग सदिश लगातार दिशा बदलता रहता है,भले ही गति स्थिर रहे। वेग में यह परिवर्तन इंगित करता है कि आवेश अभिकेंद्री त्वरण का अनुभव कर रहा है।
चूंकि आवेश त्वरित गति में है,इसलिए यह विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में विद्युतचुंबकीय ऊर्जा का उत्सर्जन करेगा।
अतः,कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(C) लेंज के नियम के अनुसार,जब एक छड़ चुंबक का उत्तरी ध्रुव एक क्षैतिज कुंडली की ओर गिरता है,तो कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है। इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,कुंडली में एक धारा प्रेरित होती है जिससे कुंडली का ऊपरी फलक उत्तरी ध्रुव की तरह व्यवहार करता है।
यह प्रेरित उत्तरी ध्रुव चुंबक के गिरते हुए उत्तरी ध्रुव को प्रतिकर्षित करता है,जिससे ऊपर की ओर एक प्रतिकर्षण बल उत्पन्न होता है। यह बल नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का विरोध करता है,जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध त्वरण $a < g$ होता है।
चूंकि कुंडली का ऊपरी फलक उत्तरी ध्रुव के रूप में कार्य करता है,इसलिए कुंडली में प्रेरित धारा वामावर्त (एंटी-क्लॉकवाइज) होनी चाहिए (ऊपर से देखने पर),न कि दक्षिणावर्त। अतः,कथन सत्य है,लेकिन कारण असत्य है।

(D) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ है।
स्थिर विभव $V$ के लिए,दूरी $r$ स्थिर होनी चाहिए। यह बिंदु आवेश को केंद्र मानकर एक गोला परिभाषित करता है। अतः,बिंदु आवेश के लिए एक गोलीय समविभव पृष्ठ संभव है। इसलिए,कथन $(A)$ असत्य है।
गोलीय संधारित्र के अंदर,विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय होता है और समविभव पृष्ठ संधारित्र की प्लेटों के साथ संकेंद्रित गोलीय कोश होते हैं। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
चूंकि कथन असत्य है और कारण सत्य है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) कथन सत्य है। जब अनियमित लूप से विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होती है,तो एक-दूसरे के निकट स्थित तार के खंडों में धारा विपरीत दिशाओं में बहती है। चुंबकीय बल के नियम के अनुसार,विपरीत दिशाओं में धारा प्रवाहित करने वाले दो समानांतर तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। यह प्रतिकर्षण बल अनियमित लूप के सभी भागों पर कार्य करता है,जो तार के खंडों को बाहर की ओर धकेलता है ताकि घिरा हुआ क्षेत्रफल अधिकतम हो जाए और अंततः यह एक वृत्ताकार आकार लेने की प्रवृत्ति रखता है।
कारण भी सत्य है। यह विद्युत चुंबकत्व का एक मूलभूत सिद्धांत है कि विपरीत दिशाओं में समानांतर धाराएं एक-दूसरे पर प्रतिकर्षण बल लगाती हैं।
चूंकि तार के खंडों के बीच प्रतिकर्षण बल घिरे हुए क्षेत्रफल में वृद्धि का सीधा कारण है,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या है। अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(D) किसी सतह से गुजरने वाला फ्लक्स उस सतह द्वारा आवेश की स्थिति पर अंतरित ठोस कोण (solid angle) पर निर्भर करता है।
$b$ भुजा वाले वर्ग के लिए,जिसके केंद्र से $d = h/4$ ऊँचाई पर $q$ आवेश है,वर्ग द्वारा अंतरित ठोस कोण $\Omega = 4 \arcsin \left( \frac{b^2}{b^2 + 4d^2} \right)$ है।
फ्लक्स $\phi = \frac{q \Omega}{4\pi \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ ठोस कोण $\Omega$ भुजा की लंबाई $b$ और ऊँचाई $d$ के अनुपात पर निर्भर करता है,इसलिए फ्लक्स भुजा की लंबाई $b$ पर निर्भर करता है। अतः,$Assertion$ असत्य है।
गॉस का नियम बताता है कि एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $q_{enclosed} / \epsilon_0$ होता है,जो गॉसियन सतह के आकार या माप से स्वतंत्र होता है। अतः,$Reason$ सत्य है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।