AIEEE 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{Fl}{A\Delta l}$ છે.
બંને તારનું કદ $V = A \times L$ સમાન હોવાથી,અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ અને $A_2 = 3A$ હોવાથી,તેમની લંબાઈ અનુક્રમે $L_1 = 3l$ અને $L_2 = l$ થશે.
પ્રથમ તાર માટે:
$\Delta l = \frac{F \cdot (3l)}{A \cdot Y} = \frac{3Fl}{AY} \quad ...(i)$
બીજા તાર માટે,ધારો કે જરૂરી બળ $F'$ છે. લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ સમાન છે:
$\Delta l = \frac{F' \cdot l}{(3A) \cdot Y} = \frac{F'l}{3AY} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{3Fl}{AY} = \frac{F'l}{3AY}$
$3F = \frac{F'}{3}$
$F' = 9F$

(B) ત્રણ ધ્વનિ તરંગોની આવૃત્તિઓ $f_1 = n - 1$,$f_2 = n$,અને $f_3 = n + 1$ છે.
બીટ્સ ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે અલગ-અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
તરંગોની જોડીઓ વચ્ચેની બીટ આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:
$|f_2 - f_1| = |n - (n - 1)| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_2| = |(n + 1) - n| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_1| = |(n + 1) - (n - 1)| = 2 \text{ Hz}$
પરિણામી બીટ આવૃત્તિ એ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા: $(n + 1) - (n - 1) = 2 \text{ Hz}$ છે.

(C) આપેલ છે કે વર્નિયર સ્કેલના $30$ વિભાગો મુખ્ય સ્કેલના $29$ વિભાગો સાથે સંપાત થાય છે.
તેથી,$1$ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(VSD) = \frac{29}{30}$ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$.
સાધનનું લઘુત્તમ માપ એ એક મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ અને એક વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ વચ્ચેનો તફાવત છે.
લઘુત્તમ માપ $= 1\,MSD - 1\,VSD$.
લઘુત્તમ માપ $= 1\,MSD - \frac{29}{30}\,MSD = \frac{1}{30}\,MSD$.
આપેલ છે કે $1\,MSD = 0.5^\circ$.
લઘુત્તમ માપ $= \frac{1}{30} \times 0.5^\circ = \frac{0.5}{30}^\circ = \frac{1}{60}^\circ$.
કારણ કે $1^\circ = 60$ મિનિટ $(')$,
લઘુત્તમ માપ $= \frac{1}{60} \times 60' = 1'$.

(B) નીચેની તરફની ગતિ માટે,વેગ $v = -gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વેગ નીચેની દિશામાં વધે છે,જેના પરિણામે $v$ અને $t$ વચ્ચે ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા મળે છે.
ગતિનું સમીકરણ $y - y_0 = ut + \frac{1}{2}at^2$ લાગુ પાડતા,આપણને $y - h = -\frac{1}{2}gt^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ થાય છે. આ $t = 0$ સમયે $y = h$ થી શરૂ થતો નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી ઉપરની તરફની ગતિ માટે,વેગની દિશા ઉલટાય છે અને તેનું મૂલ્ય સમાન રહે છે. વેગ $v = u - gt$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $u$ એ અથડામણ પછીનો તરતનો વેગ છે. જેમ $t$ વધે છે,તેમ $v$ ઋણ ઢાળ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
ઉપરની તરફની ગતિ માટે સમયના વિધેય તરીકે ઊંચાઈ $y = ut - \frac{1}{2}gt^2$ ને અનુસરે છે,જે ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલયનો ભાગ છે. આ બંનેને જોડતા,વેગ-સમયનો આલેખ ઋણ ઢાળ સાથે 'સો-ટૂથ' (sawtooth) પેટર્ન દર્શાવે છે અને ઊંચાઈ-સમયનો આલેખ પરવલયાકાર કમાનની શ્રેણી દર્શાવે છે. આલેખ $B$ આ ભૌતિક વર્તણૂકોને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \; ms^{-1}$,પ્રવેગ $\vec{a} = (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \; ms^{-2}$,અને સમય $t = 10 \; s$.
વેક્ટર માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \times 10$.
$\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j}) = 7\hat{i} + 7\hat{j}$.
ઝડપ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ નું મૂલ્ય છે.
$|\vec{v}| = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \; ms^{-1}$.

(A) સમાન ધાતુના સળિયામાંથી સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહન દરમિયાન,ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt}$ સમગ્ર સળિયામાં અચળ રહે છે.
ફુરિયરના ઉષ્મા વહનના નિયમ મુજબ:
$\frac{dQ}{dt} = -kA \frac{d\theta}{dx}$
જ્યાં $k$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{d\theta}{dx}$ એ તાપમાનનો ઢાળ છે.
કારણ કે $\frac{dQ}{dt}$,$k$,અને $A$ અચળ છે,તેથી તાપમાનનો ઢાળ $\frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{kA} \frac{dQ}{dt}$ પણ અચળ હોવો જોઈએ.
આ સૂચવે છે કે તાપમાન $\theta$ ગરમ છેડાથી અંતર $x$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
તેથી,$\theta$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે,જે આકૃતિ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(B) વાયુનું કદ $V$ એ દળ $m$ અને ઘનતા $\rho$ ના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$V = \frac{m}{\rho} = \frac{1 \; kg}{4 \; kg/m^3} = 0.25 \; m^3$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ (અથવા ઉષ્મીય ગતિને કારણે ઉર્જા) નું સૂત્ર:
$U = \frac{f}{2} PV$,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 5$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{5}{2} \times (8 \times 10^4 \; N/m^2) \times (0.25 \; m^3)$
$U = \frac{5}{2} \times 8 \times 10^4 \times \frac{1}{4}$
$U = 5 \times 10^4 \; J$.
આમ,ઉર્જા $5 \times 10^4 \; J$ છે.

(D) સળિયાના છેડા $O$ માંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} m l^2$ છે.
જ્યારે સળિયો તેની સૌથી નીચી સ્થિતિમાં હોય ત્યારે તેની કોણીય ઝડપ મહત્તમ $\omega$ હોય છે. આ બિંદુએ ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m l^2) \omega^2 = \frac{1}{6} m l^2 \omega^2$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,સળિયાનો કોણીય વેગ ક્ષણિક રીતે શૂન્ય થઈ જાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી નીચા બિંદુએ રહેલી ચાકગતિ ઉર્જા એ સૌથી ઊંચા બિંદુએ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.M.)$ દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
તેથી,$mgh = \frac{1}{6} m l^2 \omega^2$.
$h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{l^2 \omega^2}{6g}$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{9}$,તેથી:
$\frac{g}{9} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{9} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{3} = \frac{R}{R+h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $R + h = 3R$.
તેથી,$h = 3R - R = 2R$.

(B) થી $B$ સુધીની પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે કારણ કે દબાણ $P$,$2 \times 10^5 \text{ Pa}$ પર અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{by}} = nR\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 2 \text{ મોલ}$,$T_A = 300 \text{ K}$,અને $T_B = 500 \text{ K}$ છે.
$W_{\text{by}} = 2 \times R \times (500 - 300) = 400R$.
પ્રશ્નમાં વાયુ પર થયેલ કાર્ય પૂછવામાં આવ્યું છે.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} = -400R$ થાય.
જોકે,આવા ભૌતિકવિજ્ઞાનના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,સામાન્ય રીતે મૂલ્ય (magnitude) અપેક્ષિત હોય છે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$400R$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) પ્રક્રિયા $DA$ એ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે કારણ કે તાપમાન $T$ એ $300 \text{ K}$ પર અચળ છે જ્યારે દબાણ $1 \times 10^5 \text{ Pa}$ થી $2 \times 10^5 \text{ Pa}$ સુધી બદલાય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{by}} = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $V = \frac{nRT}{P}$ મળે છે,તેથી $\frac{V_f}{V_i} = \frac{P_i}{P_f}$.
આમ,$W_{\text{by}} = nRT \ln\left(\frac{P_D}{P_A}\right) = 2.303 nRT \log_{10}\left(\frac{P_D}{P_A}\right)$.
અહીં $n = 2$,$T = 300 \text{ K}$,$P_D = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,અને $P_A = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ આપેલ છે.
$W_{\text{by}} = 2.303 \times 2 \times R \times 300 \times \log_{10}\left(\frac{1 \times 10^5}{2 \times 10^5}\right) = 2.303 \times 600 \times R \times \log_{10}(0.5)$.
$W_{\text{by}} = 1381.8 \times R \times (-0.3) = -414.54 R \approx -414 R$.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} = -(-414 R) = +414 R$ થાય છે.

(D) $P-T$ આલેખમાં, પ્રક્રિયા માટે થયેલું કાર્ય $W = \int P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $V = \frac{nRT}{P}$ મળે છે, તેથી $dV = nR \left( \frac{dT}{P} - \frac{T}{P^2} dP \right)$.
સમકદ પ્રક્રિયા $(V = \text{અચળ})$ માટે, $W = 0$. સમદાબ પ્રક્રિયા $(P = \text{અચળ})$ માટે, $W = P \Delta V = nR \Delta T$.
પ્રક્રિયા $AB$: $P = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ પર સમદાબ વિસ્તરણ। $T$ એ $300 \text{ K}$ થી $500 \text{ K}$ સુધી જાય છે। $W_{AB} = nR(T_B - T_A) = 2 \times R \times (500 - 300) = 400R$.
પ્રક્રિયા $BC$: $T = 500 \text{ K}$ પર સમકદ ઠારણ। $W_{BC} = 0$.
પ્રક્રિયા $CD$: $P = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$ પર સમદાબ સંકોચન। $T$ એ $500 \text{ K}$ થી $300 \text{ K}$ સુધી જાય છે। $W_{CD} = nR(T_D - T_C) = 2 \times R \times (300 - 500) = -400R$.
પ્રક્રિયા $DA$: $T = 300 \text{ K}$ પર સમકદ ગરમ કરવાની પ્રક્રિયા। $W_{DA} = 0$.
વાયુ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 400R + 0 - 400R + 0 = 0$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી, વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન છે, પરંતુ પ્રશ્નમાં વાયુ પર થયેલું કાર્ય પૂછવામાં આવ્યું છે, જે $W_{on} = -W_{by} = 0$ થશે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ છે.
પ્રવેગના સમીકરણ પરથી,આપણને $\frac{a}{x} = -\omega^2$ મળે છે.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{a}{x} = -\frac{4\pi^2}{T^2}$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{aT^2}{x} = -4\pi^2$ મળે છે,જે અચળ છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$\frac{a}{x} = -\omega^2$ થાય છે. આપેલ $SHM$ માટે $\omega$ અને $T$ અચળ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{a}{x}$ અચળ છે. તેથી,$\frac{aT}{x}$ પણ અચળ રહે છે કારણ કે $T$ અચળ છે.

(B) અવલોકનકાર (મોટરસાઇકલ) ગતિમાં છે અને ઉદગમ (સાયરન) સ્થિર છે. ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $n' = n \left( \frac{v - v_O}{v} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_O$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $n' = 0.94n$,તેથી $0.94n = n \left( \frac{330 - v_O}{330} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$0.94 \times 330 = 330 - v_O$.
$v_O = 330 - 310.2 = 19.8 \; m/s$.
મોટરસાઇકલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(u = 0)$ અને $a = 2 \; m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. ગતિના સમીકરણ $v_O^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(19.8)^2 = 0^2 + 2 \times 2 \times s$.
$392.04 = 4s$.
$s = 98.01 \; m \approx 98 \; m$.

(B) આપેલ છે: $R = 150 \; \Omega$,$R_{0} = 100 \; \Omega$,અને $\Delta t = 227^{\circ} C - 27^{\circ} C = 200^{\circ} C$.
સૂત્ર $R = R_{0}(1 + \alpha \Delta t)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$150 = 100(1 + \alpha \times 200)$
$1.5 = 1 + 200\alpha$
$0.5 = 200\alpha$
$\alpha = 0.5 / 200 = 2.5 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ ના સંદર્ભમાં: રેખીય અંદાજ $R = R_{0}(1 + \alpha \Delta t)$ એ ટેલર વિસ્તરણ $R = R_{0} e^{\alpha \Delta t} \approx R_{0}(1 + \alpha \Delta t + \dots)$ પરથી મેળવવામાં આવે છે,જે ફક્ત ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે $\alpha \Delta t << 1$ હોય. આ પ્રશ્નમાં,$\Delta R = 50 \; \Omega$ છે,જે $R_{0}$ ના $50\%$ છે. તેથી,વિધાન-$2$ પણ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ માં વપરાયેલ સૂત્રની મર્યાદાઓ માટે સૈદ્ધાંતિક આધાર પૂરો પાડે છે.

(C) કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
$r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટી માટે,$E(4\pi r_1^2) = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
આવરી લેવાયેલ વિદ્યુતભાર $q_{enc}$ એ $r_1$ ત્રિજ્યાના ગોળાના કદ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho(r)$ નું સંકલન છે:
$q_{enc} = \int_0^{r_1} \rho(r) (4\pi r^2) dr = \int_0^{r_1} \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) (4\pi r^2) dr = \frac{4Q}{R^4} \int_0^{r_1} r^3 dr = \frac{4Q}{R^4} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4}$.
આ કિંમતને ગૌસના નિયમમાં મૂકતા:
$E(4\pi r_1^2) = \frac{Q r_1^4}{\varepsilon_0 R^4} \implies E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \varepsilon_0 R^4 r_1^2} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4}$.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ખૂણાઓમાંથી એક ખૂણાનો વિચાર કરો.
આ $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વિકર્ણની સામેના ખૂણા પર રહેલા $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું અપાકર્ષી બળ: $F = k \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kQ^2}{2a^2}$ (વિકર્ણની દિશામાં બહારની તરફ).
$2$. પાસપાસેના ખૂણાઓ પર રહેલા બે $q$ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતા બે આકર્ષી બળો: $F' = k \frac{Qq}{a^2}$ (બાજુઓની દિશામાં).
આ બે બળો $F'$ નું પરિણામી બળ $R = \sqrt{F'^2 + F'^2} = \sqrt{2} F' = \sqrt{2} \frac{kQq}{a^2}$ (વિકર્ણની દિશામાં).
$Q$ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,પરિણામી બળ $R$ નું મૂલ્ય બળ $F$ ના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ અને તે વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
$\sqrt{2} \frac{kQq}{a^2} = - \frac{kQ^2}{2a^2}$
$\sqrt{2} q = - \frac{Q}{2}$
$\frac{Q}{q} = -2\sqrt{2}$

(D) બિંદુ $P$ થી બિંદુ $Q$ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = q(V_Q - V_P)$.
અહીં,વિદ્યુતભાર $q$ એ $100$ ઇલેક્ટ્રોનનો કુલ વિદ્યુતભાર છે. એક ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $-1.6 \times 10^{-19} \ C$ હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $q = 100 \times (-1.6 \times 10^{-19} \ C) = -1.6 \times 10^{-17} \ C$ થાય.
પોટેન્શિયલ $V_P = 10 \ V$ અને $V_Q = -4 \ V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (-1.6 \times 10^{-17} \ C) \times (-4 \ V - 10 \ V)$
$W = (-1.6 \times 10^{-17}) \times (-14) \ J$
$W = 22.4 \times 10^{-17} \ J = 2.24 \times 10^{-16} \ J$.

(A) સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો કોઈ બળ દ્વારા બે બિંદુઓ વચ્ચે ગતિ કરતા કણ પર થયેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત ન હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે.
આ ગુણધર્મ એ વિધાનને સમકક્ષ છે કે બંધ ગાળામાં ગતિ કરતા પદાર્થ પર સંરક્ષી બળ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી,વિધાન-$1$ સાચું છે કારણ કે તે માર્ગની સ્વતંત્રતાનું વર્ણન કરે છે.
વિધાન-$2$ પણ સાચું છે કારણ કે તે સંરક્ષી બળોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ દર્શાવે છે.
વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ શા માટે સાચું છે તેની સાચી સમજૂતી આપે છે,કારણ કે માર્ગની સ્વતંત્રતા એ બંધ ગાળામાં થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોવાનું સીધું પરિણામ છે.

(B) ચાપ $DA$ માં વહેતા પ્રવાહને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{a} \times \theta$ છે,જ્યાં $\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તેની દિશા કાગળના સમતલને લંબ (બહારની તરફ) છે.
ચાપ $BC$ માં વહેતા પ્રવાહને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{b} \times \theta$ છે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તેની દિશા કાગળના સમતલને લંબ (અંદરની તરફ) છે.
સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$ ને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે ઉગમબિંદુ $O$ આ વિભાગોની રેખા પર આવેલું છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $B_1$ અને $B_2$ નો તફાવત છે:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \times \frac{\pi}{6}$
$B = \frac{\mu_0 I}{24} \left( \frac{b - a}{ab} \right) = \frac{\mu_0 I (b - a)}{24ab}$

(B) $1$. ઉગમબિંદુ પર રહેલા $I_1$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $O$ ને કેન્દ્રિત વર્તુળોને સ્પર્શક હોય છે.
$2$. સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$ માટે,પ્રવાહ ખંડ $I \vec{dl}$ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં હોય છે. $\vec{B}$ સ્પર્શક હોવાથી,$\vec{dl} \perp \vec{B}$,તેથી આ વિભાગો પર બળ લાગે છે.
$3$. ચાપ $AD$ અને $BC$ માટે,પ્રવાહ ખંડ $I \vec{dl}$ ચાપને સ્પર્શક હોય છે,જે $O$ પરના તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર છે.
$4$. $\vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$ હોવાથી અને $\vec{dl} \parallel \vec{B}$ હોવાથી,ચાપ $AD$ અને $BC$ પર લાગતું બળ શૂન્ય છે.
$5$. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ધારો કે સળિયાનો વક્રીભવનાંક $n = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
સળિયાની દીવાલ પરના બિંદુ $Q$ પાસે,પ્રકાશનું કિરણ સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભવન કોણ $90^{\circ}$ છે. ધારો કે $C$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
$Q$ પાસે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $n \sin C = 1 \cdot \sin 90^{\circ} = 1$.
$\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{2/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$C = 60^{\circ}$.
હવે,છેડાના બિંદુ $P$ પર વક્રીભવન ધ્યાનમાં લો. આપાતકોણ $\theta$ છે અને વક્રીભવન કોણ $r = 90^{\circ} - C$ છે.
$P$ પાસે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $1 \cdot \sin \theta = n \cdot \sin(90^{\circ} - C) = n \cos C$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,$u$ ઋણ છે,તેથી ધારો કે $u = -|u|$ અને $v = |v|$.
સમીકરણ $\frac{1}{|v|} - \frac{1}{-|u|} = \frac{1}{f}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{|v|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$ થાય છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી સીધી રેખાનું સમીકરણ $|v| = |u|$ છે.
છેદબિંદુ $P$ પર,આપણે લેન્સના સૂત્રમાં $|v| = |u|$ મૂકીએ છીએ:
$\frac{1}{|u|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$
$\frac{2}{|u|} = \frac{1}{f}$
$|u| = 2f$.
કારણ કે $|v| = |u|$,તેથી $|v| = 2f$.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(2f, 2f)$ છે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 400 \ nm$,ઊર્જા અચળાંક $hc = 1240 \ eV \ nm$,ગતિઊર્જા $K.E. = 1.68 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = W + K.E._{max}$,જ્યાં $E = \frac{hc}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{1240}{400} = 3.1 \ eV$.
હવે,કાર્ય વિધેય $W$ ની ગણતરી કરતા: $W = E - K.E._{max} = 3.1 \ eV - 1.68 \ eV = 1.42 \ eV$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $1.41 \ eV$ (વિકલ્પ $A$) છે.

(D) જ્યારે સ્વિચ $S$ ને $t = 0$ સમયે બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $R_1$ ધરાવતી શાખા એ $L$ અને $R_2$ ધરાવતી શાખા સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. $L-R_2$ શાખાની આસપાસનો સ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના emf $E = 12 \ V$ જેટલો હોય છે.
$L-R_2$ શાખામાં પ્રવાહ $i$ નીચેના સમીકરણ મુજબ વધે છે: $i = \frac{E}{R_2}(1 - e^{-R_2 t / L})$.
ઇન્ડક્ટર $L$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_L = L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહના સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{di}{dt} = \frac{E}{R_2} \cdot \frac{R_2}{L} e^{-R_2 t / L} = \frac{E}{L} e^{-R_2 t / L}$.
આ કિંમતને $V_L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V_L = L \left( \frac{E}{L} e^{-R_2 t / L} \right) = E e^{-R_2 t / L}$.
અહીં $E = 12 \ V$,$R_2 = 2 \ \Omega$,અને $L = 400 \ mH = 0.4 \ H$ આપેલ છે,તેથી ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R_2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ s$ થાય.
આમ,$V_L = 12 e^{-t / 0.2} = 12 e^{-5t} \ V$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે જાણીતા પ્રકાશની $( \lambda_1 = 590 \ nm)$ $3^{rd}$ પ્રકાશિત શલાકા અજ્ઞાત પ્રકાશની $( \lambda_2 = \lambda)$ $4^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા સાથે સંપાત થાય છે:
$\frac{3 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$
$3 \lambda_1 = 4 \lambda_2$
$\lambda_2 = \frac{3}{4} \times 590 \ nm$
$\lambda_2 = 0.75 \times 590 \ nm = 442.5 \ nm$.

(D) ઉર્જા સ્તરો $n_i$ અને $n_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 Z^2 (\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ ઉચ્ચ ઉર્જાના સંક્રમણો (લાયમન શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે,જ્યારે ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ ઓછી ઉર્જાના સંક્રમણો (પાશ્ચન,બ્રેકેટ અથવા ફંડ શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે કે આ પરમાણુ માટે $n=4 \rightarrow n=3$ સંક્રમણ અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ આપે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉર્જા તફાવત $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ ઘણો મોટો છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ મેળવવા માટે,આપણે $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ કરતા ઘણો ઓછો ઉર્જા તફાવત ધરાવતું સંક્રમણ જોઈએ.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $2 \rightarrow 1$: આ નીચા ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનું સંક્રમણ છે,જે $4 \rightarrow 3$ કરતા મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે.
$(B)$ $3 \rightarrow 2$: આ પણ નીચા ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનું સંક્રમણ છે,જે $4 \rightarrow 3$ કરતા મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે.
$(C)$ $4 \rightarrow 2$: આમાં ક્વોન્ટમ નંબર્સમાં મોટો તફાવત છે,જે મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે.
$(D)$ $5 \rightarrow 4$: આ સંક્રમણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે થાય છે જ્યાં ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ઘણો ઓછો હોય છે. તેથી,$5 \rightarrow 4$ સૌથી ઓછો ઉર્જા તફાવત ધરાવશે અને ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ આપશે.

(A) જો ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોય, તો ઉર્જા મુક્ત થાય છે $(\varepsilon > 0)$.
$1$. પ્રક્રિયા $(i)$, $A + B \to C + \varepsilon$ માટે: ન્યુક્લિયસ $C$ ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $A$ અને $B$ કરતા વધારે છે. આમ, નીપજ $C$ ની કુલ બંધન ઉર્જા એ $A$ અને $B$ ની બંધન ઉર્જાના સરવાળા કરતા વધારે છે. તેથી, $\varepsilon > 0$.
$2$. પ્રક્રિયા $(iv)$, $F \to D + E + \varepsilon$ માટે: ન્યુક્લિયસ $D$ અને $E$ ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $F$ કરતા વધારે છે. આમ, નીપજો $D$ અને $E$ ની કુલ બંધન ઉર્જા એ પ્રક્રિયક $F$ ની બંધન ઉર્જા કરતા વધારે છે. તેથી, $\varepsilon > 0$.
આમ, પ્રક્રિયા $(i)$ અને $(iv)$ માં $\varepsilon$ ધન છે.

(C) એક $p-n$ જંકશન ડાયોડ જે અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(A.C.)$ સોર્સ અને લોડ અવરોધ $(R)$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય છે,તે હાફ-વેવ રેક્ટિફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે.
ઇનપુટ $A.C.$ ના ધન અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન,ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે અને અવરોધ $(R)$ માંથી પ્રવાહ વહે છે.
ઇનપુટ $A.C.$ ના ઋણ અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન,ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે અને તેમાંથી પ્રવાહ વહેતો નથી,પરિણામે અવરોધ $(R)$ માંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,આઉટપુટ પ્રવાહનો આલેખ માત્ર ધન અર્ધ-ચક્રનો બનેલો હોય છે,જેમાં ઋણ અર્ધ-ચક્રના સ્થાને અંતરાલ જોવા મળે છે. આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $NOR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$AND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

ઇનપુટ વેવફોર્મ $A$ અને $B$ ને $AND$ ગેટના લોજિક સાથે સરખાવતા,આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ હાઈ $(1)$ મળે છે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને હાઈ $(1)$ હોય. આપેલ વેવફોર્મ જોતા,આ વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.