AIEEE 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે નીચેના નિયમોનું પાલન કરીએ છીએ:
$(i)$ તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે.
$(ii)$ બે શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે આવતા તમામ શૂન્યો સાર્થક છે.
$(iii)$ $1$ કરતા નાની સંખ્યાઓ માટે,દશાંશ ચિહ્નની જમણી બાજુએ અને પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુએ આવતા શૂન્યો સાર્થક નથી.
$(iv)$ $10$ ની ઘાતને સાર્થક અંકો માટે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી.
આ નિયમો લાગુ પાડતા:
$1$. $23.023$ માટે: બધા $5$ અંકો સાર્થક છે. તેથી,સાર્થક અંકો $= 5$.
$2$. $0.0003$ માટે: $3$ ની આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી. માત્ર અંક $3$ સાર્થક છે. તેથી,સાર્થક અંકો $= 1$.
$3$. $2.1 \times 10^3$ માટે: $10$ ની ઘાતને અવગણવામાં આવે છે. અંકો $2$ અને $1$ સાર્થક છે. તેથી,સાર્થક અંકો $= 2$.
આમ,સાર્થક અંકોની સંખ્યા અનુક્રમે $5, 1, 2$ છે.

(A) આપેલ વેગ સદિશ $\vec v = K(y\hat i + x\hat j)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec v = v_x \hat i + v_y \hat j = \frac{dx}{dt} \hat i + \frac{dy}{dt} \hat j$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = Ky$ અને $\frac{dy}{dt} = Kx$ મળે છે.
કણનો પથ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ: $\frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{Kx}{Ky}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y \, dy = x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int y \, dy = \int x \, dx$ મળે છે.
આના પરિણામે $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C'$ મળે છે,જ્યાં $C'$ એક અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $y^2 = x^2 + C$ મળે છે,જ્યાં $C = 2C'$ એ બીજો અચળાંક છે.
આમ,પથનું સમીકરણ $y^2 = x^2 + \text{અચળાંક}$ છે.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ છે,જે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલા બિંદુ $P$ માટે,સ્થાન સદિશ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_c$ એ $P$ થી ઉગમબિંદુ $O$ તરફ નિર્દેશિત છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_c = \frac{V^2}{R}$ છે.
આ સદિશના ઘટકો પાડતા:
$x$-ઘટક $a_x = -a_c \cos\theta = -\frac{V^2}{R} \cos\theta$ થાય.
$y$-ઘટક $a_y = -a_c \sin\theta = -\frac{V^2}{R} \sin\theta$ થાય.
આમ,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = -\frac{V^2}{R} \cos\theta \hat{i} - \frac{V^2}{R} \sin\theta \hat{j}$ મળે.

(A) આપેલ છે કે,પથની લંબાઈ $s = t^3 + 5$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 5) = 3t^2 \ m/s$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t \ m/s^2$.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(3t^2)^2}{R} = \frac{9t^4}{R} \ m/s^2$.
$t = 2 \ s$ સમયે:
$a_t = 6 \times 2 = 12 \ m/s^2$.
$a_c = \frac{9 \times (2)^4}{20} = \frac{9 \times 16}{20} = \frac{144}{20} = 7.2 \ m/s^2$.
પરિણામી પ્રવેગ $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$.
$a = \sqrt{(12)^2 + (7.2)^2} = \sqrt{144 + 51.84} = \sqrt{195.84} \approx 14 \ m/s^2$.

(C) આઘાત $J$ એ રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર બરાબર હોય છે,$\Delta p = m(v_f - v_i)$.
આલેખ પરથી,ગતિ અચળ વેગ ધરાવતા વિભાગોની બનેલી છે.
સમયગાળા $t = 0$ થી $t = 2 \; s$ માટે,સ્થાનાંતર $2 \; m$ છે. તેથી,પ્રારંભિક વેગ $v_i = \frac{2 \; m}{2 \; s} = 1 \; m/s$.
સમયગાળા $t = 2 \; s$ થી $t = 4 \; s$ માટે,સ્થાનાંતર $-2 \; m$ છે. તેથી,અંતિમ વેગ $v_f = \frac{-2 \; m}{2 \; s} = -1 \; m/s$.
પદાર્થનું દળ $m = 0.4 \; kg$ છે.
દરેક અથડામણ સમયે ($t = 2, 6, 10, 14 \; s$ પર) આઘાત $J$ નીચે મુજબ મળે:
$J = m(v_f - v_i) = 0.4 \; kg \times (-1 \; m/s - 1 \; m/s) = 0.4 \times (-2) = -0.8 \; kg \cdot m/s$.
આઘાતનું મૂલ્ય $|J| = |-0.8| = 0.8 \; N \cdot s$ થાય.

(B) ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર રહેલા બ્લોક માટે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેનો ઢળતા સમતલ પરનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
આ પ્રવેગનો શિરોલંબ ઘટક $a_v = a \sin \theta = (g \sin \theta) \sin \theta = g \sin^2 \theta$ છે.
બ્લોક $A$ માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ છે. તેથી,તેનો શિરોલંબ પ્રવેગ $a_{vA} = g \sin^2(30^\circ) = g(1/2)^2 = g/4$ છે.
બ્લોક $B$ માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ છે. તેથી,તેનો શિરોલંબ પ્રવેગ $a_{vB} = g \sin^2(60^\circ) = g(\sqrt{3}/2)^2 = 3g/4$ છે.
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ શિરોલંબ પ્રવેગ $a_{rel} = a_{vA} - a_{vB} = g/4 - 3g/4 = -g/2 = -4.9 \ m/s^2$ છે.
તેનું મૂલ્ય નીચેની શિરોલંબ દિશામાં $4.9 \ m/s^2$ છે.

(B) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,કણો એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સમાન વેગથી ગતિ કરે છે. તંત્રની ગતિ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે નાશ પામતી નથી કારણ કે વેગમાન સંરક્ષણના કારણે અંતિમ તંત્ર પાસે કેટલીક ગતિ ઉર્જા બાકી રહે છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત એ એક પાયાનો નિયમ છે જે બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીમાં તમામ પ્રકારની અથડામણો (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક) માટે લાગુ પડે છે. તેથી,વિધાન $-2$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ એ સમજાવે છે કે અથડામણ પછી તંત્ર શા માટે ઉર્જા જાળવી રાખે છે,કારણ કે વેગમાન સંરક્ષણ આપણને અંતિમ સમાન વેગ અને સંયુક્ત પદાર્થની બાકી રહેલી ગતિ ઉર્જાની ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) સંતુલન સ્થિતિમાં,બળ શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે અંતરની સાપેક્ષમાં સ્થિતિ ઊર્જાનું વિકલન શૂન્ય થાય: $\frac{dU(x)}{dx} = 0$.
આપેલ $U(x) = ax^{-12} - bx^{-6}$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dU}{dx} = -12ax^{-13} + 6bx^{-7} = 0$.
$12ax^{-13} = 6bx^{-7} \Rightarrow \frac{2a}{x^6} = b \Rightarrow x^6 = \frac{2a}{b}$.
હવે,$U_{\text{at equilibrium}}$ શોધવા માટે $x^6 = \frac{2a}{b}$ ને સ્થિતિ ઊર્જાના વિધેયમાં મૂકતા:
$U_{\text{at equilibrium}} = \frac{a}{(x^6)^2} - \frac{b}{x^6} = \frac{a}{(2a/b)^2} - \frac{b}{(2a/b)} = \frac{a}{4a^2/b^2} - \frac{b^2}{2a} = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} = -\frac{b^2}{4a}$.
કારણ કે $U(x = \infty) = 0$,તેથી વિયોજન ઊર્જા $D$:
$D = U(\infty) - U_{\text{at equilibrium}} = 0 - (-\frac{b^2}{4a}) = \frac{b^2}{4a}$.

(C) આપેલ ઘનતાની શરત: $\rho_{\text{oil}} < \rho < \rho_{\text{water}}$.
$1$. તેલ પાણી કરતા ઓછી ઘનતા ધરાવતું હોવાથી,તે પાણીના સ્તરની ઉપર તરશે.
$2$. દડાની ઘનતા $\rho$ એ તેલની ઘનતા કરતા વધારે $(\rho > \rho_{\text{oil}})$ હોવાથી,તે તેલના સ્તરમાં નીચે બેસી જશે.
$3$. દડાની ઘનતા $\rho$ એ પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી $(\rho < \rho_{\text{water}})$ હોવાથી,તે પાણીના સ્તર પર તરશે.
$4$. પરિણામે,દડો તેલ અને પાણી વચ્ચેની સપાટી પર સ્થિર થશે,જે બંનેમાં આંશિક રીતે ડૂબેલો હશે. આ સ્થિતિ તે ગોઠવણીને અનુરૂપ છે જ્યાં તેલ ઉપર છે અને પાણી નીચે છે,અને દડો તેમની સીમા પર છે.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.02 \sin \left[ 2\pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.50} \right) \right]$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{0.04} \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{0.50} \ rad/m$.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi / 0.04}{2\pi / 0.50} = \frac{0.50}{0.04} = 12.5 \ m/s$.
ખેંચાયેલી દોરી પરના તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવબળ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 0.04 \ kg/m$ આપેલ છે,તેથી $T = v^2 \mu$.
કિંમતો મૂકતા,$T = (12.5)^2 \times 0.04 = 156.25 \times 0.04 = 6.25 \ N$.

(C) $t$ સમયે કણનો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ છે:
$\vec{r} = (v_0 \cos \theta) t \hat{i} + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}$
$t$ સમયે કણનો વેગ સદિશ નીચે મુજબ છે:
$\vec{v} = (v_0 \cos \theta) \hat{i} + (v_0 \sin \theta - gt) \hat{j}$
કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ની વ્યાખ્યા $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે:
$\vec{L} = m [((v_0 \cos \theta) t \hat{i} + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}) \times ((v_0 \cos \theta) \hat{i} + (v_0 \sin \theta - gt) \hat{j})]$
ક્રોસ પ્રોડક્ટ કરતા:
$\vec{L} = m [((v_0 \cos \theta) t) (v_0 \sin \theta - gt) (\hat{i} \times \hat{j}) + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) (v_0 \cos \theta) (\hat{j} \times \hat{i})]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$\vec{L} = m [((v_0^2 \sin \theta \cos \theta) t - v_0 g t^2 \cos \theta) \hat{k} - ((v_0^2 \sin \theta \cos \theta) t - \frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta) \hat{k}]$
$\vec{L} = m [v_0^2 \sin \theta \cos \theta t - v_0 g t^2 \cos \theta - v_0^2 \sin \theta \cos \theta t + \frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta] \hat{k}$
$\vec{L} = m [-\frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta] \hat{k} = -\frac{1}{2} mg v_0 t^2 \cos \theta \hat{k}$

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_H V_1^{\gamma-1} = T_C V_2^{\gamma-1}$,જ્યાં $T_H$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_C$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે વાયુ દ્વિ-પરમાણ્વિક છે,તેથી એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$ છે.
કદ $V_1 = V$ થી બદલાઈને $V_2 = 32V$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_C}{T_H} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V}{32V}\right)^{1.4-1} = \left(\frac{1}{32}\right)^{0.4}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,આપણને મળે છે $\left(\frac{1}{2^5}\right)^{0.4} = \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ છે.
$\eta = 1 - 0.25 = 0.75$.

(B) જો પ્રવાહ કાગળમાંથી બહારની તરફ વહેતો હોય,તો તારની જમણી બાજુના બિંદુઓ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉપરની તરફ અને ડાબી બાજુએ નીચેની તરફ હશે. ધારો કે તાર $A$ અને $B$ પર છે,અને મધ્યબિંદુ $C$ છે. $C$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે $A$ અને $B$ ના ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
$B$ ની જમણી બાજુના વિસ્તારમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉપરની તરફ $(+ve)$ છે કારણ કે બધા બિંદુઓ બંને તારની જમણી બાજુએ છે. તેવી જ રીતે,$A$ ની ડાબી બાજુના વિસ્તારમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેની તરફ $(-ve)$ છે.
$AC$ વિસ્તારમાં,બિંદુઓ $B$ કરતા $A$ ની નજીક છે,તેથી $A$ ને કારણે ક્ષેત્ર પ્રભાવી છે અને તે ઉપરની તરફ $(+ve)$ છે.
$BC$ વિસ્તારમાં,બિંદુઓ $A$ કરતા $B$ ની નજીક છે,તેથી $B$ ને કારણે ક્ષેત્ર પ્રભાવી છે અને તે નીચેની તરફ $(-ve)$ છે.
આલેખ $(b)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતા આ ફેરફારોને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા સુધી ઘટવા માટે: $\frac{U_0}{2} = \frac{q^2}{2C} \Rightarrow \frac{q_0^2}{2} = q^2 \Rightarrow q = \frac{q_0}{\sqrt{2}}$.
ડિસ્ચાર્જિંગ સમીકરણ $q = q_0 e^{-t/RC}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{q_0}{\sqrt{2}} = q_0 e^{-t_1/RC}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-\frac{t_1}{RC} = \ln(1/\sqrt{2}) = -\frac{1}{2} \ln 2$,તેથી $t_1 = \frac{RC \ln 2}{2}$.
વિદ્યુતભાર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના એક-ચતુર્થાંશ સુધી ઘટવા માટે: $\frac{q_0}{4} = q_0 e^{-t_2/RC}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-\frac{t_2}{RC} = \ln(1/4) = -2 \ln 2$,તેથી $t_2 = 2RC \ln 2$.
ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{(RC \ln 2) / 2}{2RC \ln 2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) ધારો કે $\theta$ એ દરેક દોરી શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. દોરીઓ વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $30^{\circ}$ હોવાથી,$\theta = 15^{\circ}$ થાય.
હવામાં,ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$,અને વજન $mg$ છે. બળોને સંતુલિત કરતા:
$T \sin \theta = F$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{F}{mg}$.
જ્યારે ગોળાઓને $\rho_l = 0.8 \; g \, cm^{-3}$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે અને પદાર્થની ઘનતા $\rho_s = 1.6 \; g \, cm^{-3}$ છે,ત્યારે અસરકારક વજન $mg' = mg(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})$ થાય છે અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F' = \frac{F}{K}$ થાય છે.
ખૂણો સમાન રહેતો હોવાથી,$\tan \theta = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{mg(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})}$
$K = \frac{1}{1 - \frac{\rho_l}{\rho_s}} = \frac{1}{1 - \frac{0.8}{1.6}} = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$.

(D) અર્ધ-વર્તુળાકાર રીંગ પર એક નાનો ખંડ $dl$ ધ્યાનમાં લો. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl$ છે,જ્યાં $\lambda = \frac{q}{\pi r}$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
$dl = r d\theta$ હોવાથી,$dq = \left(\frac{q}{\pi r}\right) (r d\theta) = \frac{q}{\pi} d\theta$ મળે.
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{\pi r^2} d\theta = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,ઉર્ધ્વ અક્ષની બંને બાજુએ આવેલા ખંડોના સમક્ષિતિજ ઘટકો $(dE \cos\theta)$ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર એ ઉર્ધ્વ ઘટકો $(dE \sin\theta)$ નું $\theta = 0$ થી $\pi$ સુધીનું સંકલન છે.
$E = \int_0^{\pi} dE \sin\theta = \int_0^{\pi} \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} \sin\theta d\theta$.
$E = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} [-\cos\theta]_0^{\pi} = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (-(-1) - (-1)) = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (2) = \frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2}$.
વિદ્યુતભાર ધન હોવાથી અને તે ઉપરના અર્ધ-વર્તુળ પર હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર નીચેની તરફ એટલે કે $-\hat{j}$ દિશામાં હશે.
તેથી,$\vec{E} = -\frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j}$.

(C) ધારો કે $x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતી એક ગોલીય કવચ છે. આ કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \rho(x) \cdot 4 \pi x^2 dx = \rho_0 \left( \frac{5}{4} - \frac{x}{R} \right) \cdot 4 \pi x^2 dx$ છે.
$r (r < R)$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ નીચે મુજબ છે:
$q = \int_0^r dq = 4 \pi \rho_0 \int_0^r \left( \frac{5}{4} x^2 - \frac{x^3}{R} \right) dx$
$q = 4 \pi \rho_0 \left[ \frac{5}{4} \cdot \frac{r^3}{3} - \frac{1}{R} \cdot \frac{r^4}{4} \right] = 4 \pi \rho_0 \left( \frac{5 r^3}{12} - \frac{r^4}{4R} \right) = \pi \rho_0 r^3 \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right)$.
ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$:
$E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \left[ \pi \rho_0 r^3 \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right) \right]$
$E = \frac{\rho_0 r}{4 \varepsilon_0} \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right)$.

(A) ધારો કે $0\,^{\circ}C$ તાપમાને બંને વાહકોનો અવરોધ $R_0$ છે. $\Delta t$ તાપમાને અવરોધ $R = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે: $R_s = R_1 + R_2 = R_0(1 + \alpha_1 \Delta t) + R_0(1 + \alpha_2 \Delta t) = 2R_0(1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$. આને $R_s = 2R_0(1 + \alpha_s \Delta t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha_s = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ મળે છે.
સમાંતર જોડાણ માટે: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_0(1 + \alpha_1 \Delta t)} + \frac{1}{R_0(1 + \alpha_2 \Delta t)}$. દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{R_p} \approx \frac{1}{R_0}(1 - \alpha_1 \Delta t + 1 - \alpha_2 \Delta t) = \frac{2}{R_0}(1 - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$ મળે છે.
આમ,$R_p \approx \frac{R_0}{2}(1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$. આને $R_p = \frac{R_0}{2}(1 + \alpha_p \Delta t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha_p = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ મળે છે.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે કિરણપુંજની તીવ્રતા $I$ અક્ષ પર મહત્તમ છે અને ત્રિજ્યા વધવાની સાથે ઘટે છે,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ પણ અક્ષ પર મહત્તમ હશે અને પરિઘ તરફ ઘટશે.
પ્રકાશના કિરણો હંમેશા વધુ વક્રીભવનાંક ધરાવતા વિસ્તાર તરફ વળે છે.
વક્રીભવનાંક અક્ષની નજીક વધુ હોવાથી અને પરિઘ તરફ ઓછો હોવાથી,પ્રકાશના કિરણો અક્ષ તરફ વળશે.
તેથી,કિરણપુંજ અભિસારી (converge) થશે.

(A) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ જેમ ત્રિજ્યા વધે છે તેમ કિરણપુંજની તીવ્રતા $I$ ઘટે છે,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ પણ અક્ષથી પરિઘ તરફ જતાં ઘટે છે.
કિરણપુંજ શરૂઆતમાં સમાંતર અને નળાકાર હોવાથી,પ્રકાશના કિરણો એકબીજાને સમાંતર હોય છે. વ્યાખ્યા મુજબ,સમાંતર પ્રકાશના કિરણપુંજનું તરંગાગ્ર એ પ્રસરણની દિશાને લંબ સમતલ હોય છે.
તેથી,તરંગાગ્રનો પ્રારંભિક આકાર સમતલ છે.

(B) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c_0}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$\mu$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $v = \frac{c_0}{\mu_0 + \mu_2I}$ મળે છે.
જેમ કે કિરણપુંજની તીવ્રતા $I$ અક્ષ પર મહત્તમ છે અને ત્રિજ્યા વધવાની સાથે ઘટે છે,તેથી છેદ $(\mu_0 + \mu_2I)$ અક્ષ પર મહત્તમ હશે.
પરિણામે,પ્રકાશની ઝડપ $v$ કિરણપુંજની અક્ષ પર ન્યૂનતમ હશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $eV_0 = K_{max} = h\nu - \phi$, જ્યાં $\phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
$X$-કિરણોની આવૃત્તિ $(\nu_X)$ અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu_{UV})$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી, જ્યારે $X$-કિરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ વધે છે.
પરિણામે, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = K_{max}/e$ પણ વધે છે. તેથી, વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ ખોટું છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રોન શૂન્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધીની ઝડપ સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે કારણ કે ધાતુની અંદર ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય તે પહેલાં અથડામણ દરમિયાન ઊર્જા ગુમાવે છે, નહીં કે આપાત પ્રકાશમાં રહેલી આવૃત્તિઓની શ્રેણીને કારણે (જે એકવર્ણી હોય છે).

(A) $t = 0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. તેથી,$L$ અને $R_1$ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_2}$ છે.
$t = \infty$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (શૂન્ય અવરોધ ધરાવતું આદર્શ ઇન્ડક્ટર). હવે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સર્કિટનો અસરકારક અવરોધ $R_{eff} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ છે.
તેથી,બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eff}} = \frac{V(R_1 + R_2)}{R_1 R_2}$ થાય છે.

(C) ગતિશીલ સળિયો $PQ$ એ $\varepsilon = Blv$ જેટલા પ્રેરિત $emf$ ના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,જેનો આંતરિક અવરોધ $R$ છે.
પરિપથમાં આ $emf$ સ્ત્રોત શ્રેણીમાં એક અવરોધ $R$ સાથે જોડાયેલ છે,જે પછી સમાંતરમાં અન્ય બે શાખાઓ સાથે જોડાયેલ છે,જેમાં દરેકનો અવરોધ $R$ છે.
ધારો કે $Q$ પાસેનું પોટેન્શિયલ $V_Q$ અને $P$ પાસેનું પોટેન્શિયલ $V_P$ છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ એ આંતરિક અવરોધ $R$ અને બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R/2$ નો સરવાળો છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + \frac{R \times R}{R + R} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$.
સળિયામાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{Blv}{3R/2} = \frac{2Blv}{3R}$.
બે સમાંતર શાખાઓ સમાન અવરોધ $R$ ધરાવતી હોવાથી,પ્રવાહ $I$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે: $I_1 = I_2 = \frac{I}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2Blv}{3R} = \frac{Blv}{3R}$.
આમ,$I_1 = I_2 = \frac{Blv}{3R}$ અને $I = \frac{2Blv}{3R}$.

(A) જ્યારે કેપેસિટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LR$ સર્કિટ બને છે.
ફેઝ એંગલ $\phi = 30^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$.
$\omega L = R \tan 30^\circ = 200 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, \Omega$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $CR$ સર્કિટ બને છે.
ફેઝ એંગલ $\phi = 30^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\tan \phi = \frac{1}{\omega C R}$.
$\frac{1}{\omega C} = R \tan 30^\circ = 200 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, \Omega$.
મૂળ $LCR$ સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{200^2 + (\frac{200}{\sqrt{3}} - \frac{200}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{200^2 + 0} = 200 \, \Omega$.
$AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$.
કારણ કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,સર્કિટ રેઝોનન્સમાં છે,તેથી $\phi = 0^\circ$ અને $\cos \phi = 1$.
$P = \frac{V_{rms}^2}{Z^2} \times R = \frac{220^2}{200^2} \times 200 = \frac{220 \times 220}{200} = 242 \, W$.

(B) સ્ત્રોતનો પાવર $P = n \cdot E_{photon} = n \cdot h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $P = 4 \ kW = 4 \times 10^3 \ W$ અને $n = 10^{20} \ photons/s$.
આવૃત્તિ માટે સૂત્ર: $\nu = \frac{P}{n \cdot h}$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{4 \times 10^3}{10^{20} \times 6.63 \times 10^{-34}} \approx 6.03 \times 10^{16} \ Hz$.
આ આવૃત્તિ $6 \times 10^{16} \ Hz$ એ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના $X$-કિરણોના વિસ્તારમાં આવે છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિઘટન પહેલાની કુલ ઉર્જા એ વિઘટન પછીની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા એ સ્થિર દળ ઉર્જા છે: $E_i = (M + \Delta m)c^2$.
અંતિમ ઉર્જા એ બે ડોટર ન્યુક્લિયસની સ્થિર દળ ઉર્જા અને તેમની ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E_f = 2 \times (\frac{M}{2})c^2 + 2 \times (\frac{1}{2} \times \frac{M}{2} \times v^2)$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$(M + \Delta m)c^2 = Mc^2 + \frac{M}{2}v^2$.
બંને બાજુથી $Mc^2$ બાદ કરતા:
$\Delta m c^2 = \frac{M}{2}v^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{2 \Delta m c^2}{M} \Rightarrow v = c \sqrt{\frac{2 \Delta m}{M}}$.

(D) ન્યુક્લિયર ક્ષય અથવા વિખંડન પ્રક્રિયામાં,તંત્ર વધુ સ્થાયી અવસ્થા તરફ ગતિ કરે છે.
સ્થિરતા ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જે ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધારે હોય તે વધુ સ્થાયી હોય છે.
કારણ કે પિતૃ ન્યુક્લિયસ બે ડોટર ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે,તેથી ઉર્જા મુક્ત થવાની શરત સંતોષવા માટે ડોટર ન્યુક્લિયસ પિતૃ ન્યુક્લિયસ કરતા વધુ સ્થાયી હોવા જોઈએ.
તેથી,ડોટર ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(E_2)$ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $(E_1)$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
આમ,$E_2 > E_1$.

(B) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $_Z^AX$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે।
$\alpha$-કણ $_2^4He$ છે અને પોઝિટ્રોન $_1^0e^+$ છે।
$3$ $\alpha$-કણો અને $2$ પોઝિટ્રોનનું ઉત્સર્જન કર્યા પછી, અંતિમ ન્યુક્લિયસ $_Z^AY$ બને છે।
નવી દળ સંખ્યા $A' = A - (3 \times 4) = A - 12$ છે।
નવો પરમાણુ ક્રમાંક $Z' = Z - (3 \times 2) + (2 \times 1) = Z - 6 + 2 = Z - 4$ છે।
અંતિમ ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનની સંખ્યા $P = Z' = Z - 4$ છે।
અંતિમ ન્યુક્લિયસમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A' - Z' = (A - 12) - (Z - 4) = A - Z - 8$ છે।
ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનનો ગુણોત્તર $\frac{N}{P} = \frac{A - Z - 8}{Z - 4}$ છે।

(B) આ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{A}$ છે.
બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $X$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
આમ,સમીકરણ $X = A + B$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.