નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$1.$ કણોની સિસ્ટમનું રેખીય વેગમાન શૂન્ય છે.
$2.$ કણોની સિસ્ટમની ગતિઊર્જા શૂન્ય છે.
તો:

કણોની સિસ્ટમની ગતિનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ ગતિમાં વિભાજન:
$(a)$ સાબિત કરો કે $p = \sum p_{i}^{\prime} + M V$,જ્યાં $p$ એ સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન છે,$p_{i}^{\prime} = m_{i} v_{i}^{\prime}$,અને $v_{i}^{\prime}$ એ $i^{th}$ કણનો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ વેગ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\sum p_{i}^{\prime} = 0$.
$(b)$ સાબિત કરો કે $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$,જ્યાં $K$ એ સિસ્ટમની કુલ ગતિઊર્જા છે,$K^{\prime}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ સિસ્ટમની કુલ ગતિઊર્જા છે,અને $\frac{1}{2} M V^{2}$ એ સમગ્ર સિસ્ટમના સ્થાનાંતરની ગતિઊર્જા છે.
$(c)$ સાબિત કરો કે $L = L^{\prime} + R \times M V$,જ્યાં $L^{\prime} = \sum r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન છે. નોંધો કે $r_{i}^{\prime} = r_{i} - R$.
$(d)$ સાબિત કરો કે $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t}$. વધુમાં,સાબિત કરો કે $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \tau_{ext}^{\prime}$,જ્યાં $\tau_{ext}^{\prime}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ સિસ્ટમ પર લાગતા તમામ બાહ્ય ટોર્કનો સરવાળો છે.

નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન $I$: ઘણા કણોની યાંત્રિક પ્રણાલી માટે,કુલ ગતિઊર્જા એ તમામ કણોની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
વિધાન $II$: કુલ ગતિઊર્જાને ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જા અને સંદર્ભ તરીકે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તમામ કણોની ગતિઊર્જાના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

બે માણસો $A$ અને $B$ એ $120 \ cm$ લંબાઈ અને $40 \ kg$ દળ ધરાવતા પાટિયા પર ઉભા છે. $B$ ($60 \ kg$ દળ) પાટિયાની મધ્યમાં છે અને $A$ ($40 \ kg$ દળ) પાટિયાના ડાબા છેડે છે. તંત્ર શરૂઆતમાં લીસી આડી સપાટી પર સ્થિર છે. $A$ અને $B$ એવી રીતે ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે કે જેથી $A$ અને $B$ મળે ત્યાં સુધી $B$ નું સ્થાન જમીનની સાપેક્ષમાં નિશ્ચિત રહે. $A$ અને $B$ જ્યાં મળે છે તે બિંદુ ક્યાં આવેલું છે?

$M$ દળ અને $L$ લંબાઈનો એક સમાન સળિયો લીસા આડા સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યો છે. $v$ વેગથી ગતિ કરતો $m$ દળનો એક કણ સળિયાના એક છેડા પર લંબરૂપે અથડાય છે અને સ્થિર થઈ જાય છે. અથડામણ પછી સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કેટલો હશે?

$N$ કણોની એક સિસ્ટમ કોઈપણ બાહ્ય બળોથી મુક્ત છે. સિસ્ટમના વ્યક્તિગત કણોના વેગમાનના મૂલ્યોના સરવાળા માટે નીચેનામાંથી શું સાચું હોવું જોઈએ?