AIEEE 2006 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = I\omega = Mr^2\omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળ ધરાવતી બે વસ્તુઓને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ એ રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા અને બે બિંદુવત દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો થાય છે: $I' = Mr^2 + m(r)^2 + m(r)^2 = (M + 2m)r^2$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,$L_{initial} = L_{final}$ થાય.
$Mr^2\omega = (M + 2m)r^2\omega'$
નવા કોણીય વેગ $\omega'$ માટે ઉકેલતા:
$\omega' = \frac{Mr^2\omega}{(M + 2m)r^2} = \frac{M\omega}{M + 2m}$.

(B) આપેલ વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ છે.
ચલને અલગ પાડતા:
$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$.
$t=0$ સમયે $x=0$ ની પ્રારંભિક શરત સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \alpha dt$.
સંકલન ઉકેલતા:
$[2x^{1/2}]_{0}^{x} = \alpha [t]_{0}^{t}$.
આથી:
$2\sqrt{x} = \alpha t$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4x = \alpha^2 t^2$.
તેથી,સ્થાનાંતર $x$ એ $t^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે:
$x \propto t^2$.

(D) ધારો કે દડો જ્યારે હાથ છોડે છે ત્યારે તેનો વેગ $v$ છે. દડાની હાથ છોડ્યા પછીની ગતિ માટે,$v_f^2 - v_i^2 = 2as$ સૂત્ર વાપરતા:
$0^2 - v^2 = 2(-10)(2)$
$v^2 = 40 \ m^2/s^2$
હવે,દડો હાથમાં હોય ત્યારની ગતિનો વિચાર કરીએ. ધારો કે પ્રવેગ $a'$ છે. $v^2 - u^2 = 2a's'$ સૂત્ર વાપરતા,જ્યાં $u=0$ અને $s'=0.2 \ m$ છે:
$40 - 0 = 2(a')(0.2)$
$40 = 0.4a'$
$a' = 100 \ m/s^2$
દડો હાથમાં હોય ત્યારે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F - mg = ma'$
$F - (0.2)(10) = (0.2)(100)$
$F - 2 = 20$
$F = 22 \ N$

(D) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $\ell$ છે. જ્યારે દળને $\theta = 45^\circ$ ના ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે દળ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = \ell - \ell \cos 45^\circ = \ell(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
દળનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = \ell \sin 45^\circ = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ દળની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોવું જોઈએ (ધારી લઈએ કે તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે પણ સ્થિર થાય છે,તેથી $\Delta K = 0$):
$W_F + W_g = 0$
$F \cdot x - Mg \cdot h = 0$
$F \cdot (\frac{\ell}{\sqrt{2}}) = Mg \cdot \ell(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$F = Mg \cdot \sqrt{2}(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$F = Mg(\sqrt{2} - 1)$

(C) ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનું દળ અને વેગ $m_1 = 4 \ kg$ અને $v_1$ છે,અને બીજા ટુકડાનું દળ અને વેગ $m_2 = 12 \ kg$ અને $v_2 = 4 \ m s^{-1}$ છે.
બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તેનું પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$
$4 v_1 + 12 \times 4 = 0$
$4 v_1 = -48$
$v_1 = -12 \ m s^{-1}$
વેગનું મૂલ્ય $12 \ m s^{-1}$ છે.
$4 \ kg$ ના ટુકડાની ગતિઊર્જા:
$K.E. = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2$
$K.E. = 2 \times 144 = 288 \ J.$

(A) કણનું દળ $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \ m/s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{total} = \Delta K.E$.
અહીં,ઉપરની ગતિ દરમિયાન માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(W_g)$ કાર્ય કરે છે.
$W_g = K.E_{final} - K.E_{initial} = 0 - \frac{1}{2} m u^2$.
$W_g = -\frac{1}{2} \times 0.1 \times (5)^2 = -0.5 \times 0.1 \times 25 = -1.25 \ J$.

(A) કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ નો સરવાળો છે: $E = K + U = 2 \ J$.
મહત્તમ ઝડપ શોધવા માટે,આપણે ગતિઊર્જા $K = E - U$ ને મહત્તમ બનાવવી પડશે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સ્થિતિઊર્જા $U(x)$ ન્યૂનતમ હોય.
$U(x)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિકલન $\frac{dU}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{dU}{dx} = \frac{4x^3}{4} - \frac{2x}{2} = x^3 - x = 0$.
$x(x^2 - 1) = 0$,જે $x = 0, 1, -1$ આપે છે.
આ બિંદુઓ પર $U(x)$ ની કિંમત તપાસતા:
$U(0) = 0 \ J$.
$U(1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \ J$.
$U(-1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \ J$.
ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જા $U_{\min} = -\frac{1}{4} \ J$ છે.
તેથી,$K_{\max} = E - U_{\min} = 2 - (-0.25) = 2.25 \ J = \frac{9}{4} \ J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$ સૂત્રમાં $m = 1 \ kg$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 1 \times v_{\max}^2 = \frac{9}{4}$.
$v_{\max}^2 = \frac{9}{2}$.
$v_{\max} = \frac{3}{\sqrt{2}} \ m/s$.

(C) સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{sun} = \sigma T^4 \times (4\pi R^2)$.
સૂર્યથી $r$ અંતરે વિકિરણની તીવ્રતા $I$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર છે: $I = \frac{P_{sun}}{4\pi r^2} = \frac{\sigma T^4 \times 4\pi R^2}{4\pi r^2} = \frac{\sigma T^4 R^2}{r^2}$.
પૃથ્વી આ વિકિરણને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ પર મેળવે છે,જે $\pi r_0^2$ છે.
તેથી,પૃથ્વી પર આપાત થતો કુલ વિકિરણ પાવર $P_{earth} = I \times \pi r_0^2 = \frac{\sigma T^4 R^2}{r^2} \times \pi r_0^2 = \frac{\pi r_0^2 R^2 \sigma T^4}{r^2}$ થાય છે.

(D) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. શરૂઆતમાં,કણોના સ્થાન $-x_1$ અને $x_2$ છે,જેથી $m_1(-x_1) + m_2(x_2) = 0$,જેનો અર્થ થાય છે $m_1 x_1 = m_2 x_2$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે પ્રથમ કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું સ્થાન $-(x_1 - d)$ થાય છે. ધારો કે બીજા કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d'$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,તેથી તેનું નવું સ્થાન $(x_2 - d')$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ઉગમબિંદુ પર રાખવા માટે,નવી શરત છે:
$m_1(-(x_1 - d)) + m_2(x_2 - d') = 0$
$-m_1 x_1 + m_1 d + m_2 x_2 - m_2 d' = 0$
સમીકરણ $1$ મુજબ $m_1 x_1 = m_2 x_2$ હોવાથી,$m_1 x_1$ અને $m_2 x_2$ પદો રદ થાય છે:
$m_1 d - m_2 d' = 0$
$m_2 d' = m_1 d$
$d' = \frac{m_1}{m_2} d$

(D) બિંદુ $P(1, -1)$ ની સાપેક્ષે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (0 - 1)\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} = -\hat{i} + \hat{j}$ છે.
ઉગમબિંદુ પર લાગતું બળ $\vec{F} = -F\hat{k}$ છે.
બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{\tau} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-F\hat{k})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = F(\hat{i} \times \hat{k}) - F(\hat{j} \times \hat{k})$
$\vec{\tau} = F(-\hat{j}) - F(\hat{i})$
$\vec{\tau} = -F(\hat{i} + \hat{j})$.

(B) કિસ્સો $(i)$: જ્યારે $L$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદ ધરાવતા તાર પર $W$ જેટલો ભાર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = W$ હોય છે. યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર મુજબ લંબાઈમાં વધારો $l = \frac{WL}{AY}$ થાય છે.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે તારને ગરગડી પરથી પસાર કરી બંને છેડે $W$ જેટલા વજન લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે પણ તારમાં તણાવબળ $T = W$ જ રહે છે. તારની કુલ લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહે છે. તેથી,લંબાઈમાં થતો નવો વધારો $l' = \frac{TL}{AY} = \frac{WL}{AY}$ થશે.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં લંબાઈમાં થતો વધારો સમાન એટલે કે $l$ જ રહેશે.

(D) ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ જેની ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનતા $\rho$ છે, જે $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડે છે, તેનું સૂત્ર: $v_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r$, પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$, સ્નિગ્ધતા $\eta$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ બંને ગોળાઓ માટે સમાન હોવાથી, $v_T \propto (\rho - \sigma)$ થાય.
તેથી, $\frac{v_{T, \text{silver}}}{v_{T, \text{gold}}} = \frac{\rho_{\text{silver}} - \sigma}{\rho_{\text{gold}} - \sigma}$.
આપેલ છે કે $\rho_{\text{gold}} = 19.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, $\rho_{\text{silver}} = 10.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, $\sigma = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, અને $v_{T, \text{gold}} = 0.2 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{T, \text{silver}}}{0.2} = \frac{10.5 - 1.5}{19.5 - 1.5} = \frac{9}{18} = 0.5$.
આમ, $v_{T, \text{silver}} = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m/s$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{1 - \gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 1 \text{ kilo mole} = 1000 \text{ moles}$,$R = 8.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$,$\Delta T = 7 \ K$,અને $W = -146 \ kJ = -146000 \ J$ (કાર્ય વાયુ પર થાય છે).
કિંમતો મૂકતા: $-146000 = \frac{1000 \times 8.3 \times 7}{1 - \gamma}$.
$1 - \gamma = -\frac{58100}{146000} \approx -0.3979 \approx -0.4$.
$1 - \gamma = -0.4 \Rightarrow \gamma = 1.4$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે $\gamma = 1.4$ હોવાથી,વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય છે.

(D) કારણ કે બોક્સ ઉષ્મીય સંપર્કમાં છે અને આસપાસના વાતાવરણથી અલગ છે,હિલિયમ વાયુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ નાઈટ્રોજન વાયુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હશે.
હિલિયમ (એકપરમાણ્વિક વાયુ) માટે,$C_v = \frac{3}{2}R$. નાઈટ્રોજન (દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ) માટે,$C_v = \frac{5}{2}R$.
ધારો કે $n_1 = 1$ મોલ He અને $n_2 = 1$ મોલ $N_2$.
હિલિયમ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $n_1 C_{v,He} (T_{initial,He} - T_f) = 1 \cdot \frac{3}{2}R \cdot (\frac{7}{3}T_0 - T_f)$.
નાઈટ્રોજન દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $n_2 C_{v,N_2} (T_f - T_{initial,N_2}) = 1 \cdot \frac{5}{2}R \cdot (T_f - T_0)$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{3}{2}R (\frac{7}{3}T_0 - T_f) = \frac{5}{2}R (T_f - T_0)$.
$R/2$ વડે ભાગતા: $3(\frac{7}{3}T_0 - T_f) = 5(T_f - T_0)$.
$7T_0 - 3T_f = 5T_f - 5T_0$.
$12T_0 = 8T_f$.
$T_f = \frac{12}{8}T_0 = \frac{3}{2}T_0$.

(B) ઉગમબિંદુથી શરૂ થતા પદાર્થનું સ્થાનાંતર $SHM$ માં $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$ છે.
આપેલ છે કે $K.E. = 75\% \text{ of } T.E. = 0.75 \ T.E.$
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = 0.75 \times \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$.
$\cos^2(\omega t) = 0.75 = \frac{3}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અને $T = 2 \ s$,તેથી $\omega = \frac{2\pi}{2} = \pi \ rad/s$.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $\pi t = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$t = \frac{1}{6} \ s$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = a \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી,આપણને $v_{\max} = a \times \frac{2 \pi}{T}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$T = \frac{2 \pi a}{v_{\max}}$ મળે.
અહીં $a = 7 \ mm = 7 \times 10^{-3} \ m$ અને $v_{\max} = 4.4 \ m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 3.14 \times 7 \times 10^{-3}}{4.4}$.
$T = \frac{43.96 \times 10^{-3}}{4.4} \approx 9.99 \times 10^{-3} \ s \approx 0.01 \ s$.

(D) જ્યારે ઉદ્ગમ $v_s$ વેગથી સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
આપેલ છે: ઉદ્ગમની આવૃત્તિ $f = 9500 \ Hz$,ધ્વનિનો વેગ $v = 300 \ ms^{-1}$,અને મહત્તમ શ્રાવ્ય આવૃત્તિ $f' = 10000 \ Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $10000 = 9500 \left( \frac{300}{300 - v} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{10000}{9500} = \frac{300}{300 - v} \Rightarrow \frac{20}{19} = \frac{300}{300 - v}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $20(300 - v) = 19 \times 300 \Rightarrow 6000 - 20v = 5700$.
$20v = 300 \Rightarrow v = 15 \ ms^{-1}$.
આમ,$v$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $15 \ ms^{-1}$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. દળ $A, B, C, D$ પર છે.
અક્ષ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને વિકર્ણ $BD$ ને સમાંતર છે.
અક્ષથી બિંદુ $A$ નું અંતર $0$ છે.
અક્ષથી બિંદુ $B$ નું અંતર $d_B = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
અક્ષથી બિંદુ $D$ નું અંતર $d_D = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
અક્ષથી બિંદુ $C$ નું અંતર $d_C = l\sqrt{2}$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = m(0)^2 + m(l/\sqrt{2})^2 + m(l\sqrt{2})^2 + m(l/\sqrt{2})^2$
$I = 0 + m(l^2/2) + 2ml^2 + m(l^2/2)$
$I = ml^2 + 2ml^2 = 3ml^2$.

(B) ધારો કે સિક્કાનું દળ $m$ છે અને પ્લેટફોર્મ દ્વારા સિક્કા પર લાગતું લંબબળ $N$ છે.
સિક્કા માટે ઉર્ધ્વ દિશામાં ગતિનું સમીકરણ:
$mg - N = ma$
જ્યાં $a$ એ પ્લેટફોર્મનો પ્રવેગ છે. સરળ આવર્ત ગતિ માટે,પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે,જ્યાં $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
જ્યારે પ્લેટફોર્મ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રવેગ નીચેની તરફ હોય છે. જ્યારે પ્લેટફોર્મ તેના સૌથી ઊંચા બિંદુએ હોય છે,ત્યારે પ્રવેગ $a = -\omega^2 A$ (જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે) નીચેની તરફ હોય છે.
સિક્કો ત્યારે સંપર્ક છોડશે જ્યારે લંબબળ $N = 0$ થાય.
$mg - 0 = m(\omega^2 A)$
$g = \omega^2 A$
$A = \frac{g}{\omega^2}$
આમ,જ્યારે કંપવિસ્તાર $\frac{g}{\omega^2}$ થાય ત્યારે સિક્કો પ્લેટફોર્મ પરથી સંપર્ક છોડશે.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરીની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = n \times f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1 = \frac{v}{2L}$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે અને $n = 1, 2, 3, \dots$ એ પૂર્ણાંક છે.
બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = 315\, Hz$ અને $f_{n+1} = 420\, Hz$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1$ જેટલો હોય છે.
$f_1 = f_{n+1} - f_n = 420\, Hz - 315\, Hz = 105\, Hz$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\frac{f_{n+1}}{f_n} = \frac{n+1}{n} = \frac{420}{315} = \frac{4}{3}$.
આ સૂચવે છે કે $n = 3$,તેથી $f_3 = 315\, Hz$ અને $f_4 = 420\, Hz$.
કારણ કે $f_3 = 3 \times f_1 = 315\, Hz$,આપણને $f_1 = \frac{315}{3} = 105\, Hz$ મળે છે.
સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 105\, Hz$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 150 \ g = 0.15 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$,સમયગાળો $\Delta t = 0.1 \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30 \ N$
બળનું મૂલ્ય $|F| = 30 \ N$ છે.

(D) બલ્બનો અવરોધ $R$ અચળ રહે છે અને તેની ગણતરી રેટ કરેલ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: $R = \frac{V_{rated}^2}{P_{rated}} = \frac{220^2}{100} = \frac{48400}{100} = 484\,\Omega$.
જ્યારે બલ્બને નવા વોલ્ટેજ $V' = 110\, V$ પર ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે વપરાતો પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે: $P' = \frac{(V')^2}{R} = \frac{110^2}{484} = \frac{12100}{484} = 25\, W$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના પ્રાયોગિક અવલોકનો અનુસાર,ધાતુની સપાટી પરથી ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન એ એક ત્વરિત પ્રક્રિયા છે. ફોટોન આપાત થાય અને ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય તે વચ્ચેનો સમયગાળો આશરે $10^{-10} \ s$ જેટલો હોય છે.

(A) કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ,જેને જંકશનના નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે. આ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે જંકશન પર વિદ્યુતભાર એકઠો થઈ શકતો નથી.
કિર્ચોફનો બીજો નિયમ,જેને લૂપના નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે. આ ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્રમાં બંધ લૂપની આસપાસ એકમ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(C) કાર્ય વિધેય $\Phi = 6.2\, eV$ આપેલ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 5\, V$ છે,તેથી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = e V_s = 5\, eV$ થાય.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \Phi + K_{\max} = 6.2\, eV + 5\, eV = 11.2\, eV$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{E}$ દ્વારા મળે છે. $hc \approx 12400\, eV\cdot\mathring{A}$ લેતા,$\lambda = \frac{12400}{11.2} \approx 1107\, \mathring{A}$ મળે.
આ તરંગલંબાઇ $1107\, \mathring{A}$ એ $100\, \mathring{A}$ થી $4000\, \mathring{A}$ ની વચ્ચે હોવાથી,તે અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તારમાં આવે છે.

(C) નજીકના અભિગમના અંતર $(r_0)$ પર,આલ્ફા કણની સંપૂર્ણ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_0$ અંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$ છે,જ્યાં $2e$ એ આલ્ફા કણનો વિદ્યુતભાર છે.
ગતિ ઉર્જાને સ્થિતિ ઉર્જા સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2Ze^2}{r_0}$
$r_0$ માટે ઉકેલતા:
$r_0 = \frac{4Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 mv^2} = \frac{Ze^2}{\pi\varepsilon_0 m v^2}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $r_0 \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,નજીકના અભિગમનું અંતર $\frac{1}{m}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,ડાયપોલના બે વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ ના સ્થાનો પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ હોય છે.
ધારો કે $+q$ ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1$ છે અને $-q$ ના સ્થાન પર $E_2$ છે.
ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_1 = qE_1$ છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2 = -qE_2$ છે.
કેમ કે $E_1 \neq E_2$,બળોના મૂલ્યો અસમાન છે $(|F_1| \neq |F_2|)$.
બળો અસમાન હોવાથી અને અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરતા નથી,જેના પરિણામે ચોખ્ખું સ્થાનાંતરિત બળ ઉદ્ભવે છે.
વધુમાં,બળો એકરેખસ્થ ન હોવાથી,તેઓ ડાયપોલ પર ટોર્ક પણ લગાડે છે.
તેથી,ડાયપોલ ટોર્ક અને સ્થાનાંતરિત બળ બંને અનુભવે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$e V = \frac{1}{2} m_e v^2 - 0$
અહીં,$V = 20\ V$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\ C$,અને $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\ kg$ છે.
$v = \sqrt{\frac{2 e V}{m_e}}$
$v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 20}{9.11 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{\frac{64 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{7.025 \times 10^{12}}$
$v \approx 2.65 \times 10^6 \ m/s$

(C) જ્યારે બે વાહકોને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વીજભાર વહે છે. તેથી,$V_A = V_B$.
સ્થિતિમાનના સૂત્ર $V = \frac{KQ}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{KQ_A}{r_A} = \frac{KQ_B}{r_B}$
$\Rightarrow \frac{Q_A}{r_A} = \frac{Q_B}{r_B} \Rightarrow \frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$
ગોલીય વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{KQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રો $E_A$ અને $E_B$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{K Q_A / r_A^2}{K Q_B / r_B^2} = \frac{Q_A}{Q_B} \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$
સમીકરણમાં $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$ મૂકતા:
$\frac{E_A}{E_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right) \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2 = \frac{r_B}{r_A}$
અહીં $r_A = 1 \ mm$ અને $r_B = 2 \ mm$ આપેલ છે:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{2 \ mm}{1 \ mm} = \frac{2}{1} = 2 : 1$
ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર તેમના વ્યાસની સરખામણીમાં ઘણું મોટું હોવાથી,પ્રેરિત અસરોને અવગણી શકાય છે.

(A) થર્મોઈલેક્ટ્રિક શ્રેણીમાં,ઠંડા જંકશન પર વિદ્યુત પ્રવાહની દિશા તે ધાતુથી હોય છે જે શ્રેણીમાં પછી આવે છે તે ધાતુ તરફ જે શ્રેણીમાં પહેલા આવે છે.
એન્ટિમની-બિસ્મથ થર્મોકપલ માટે,થર્મોઈલેક્ટ્રિક શ્રેણીનો ક્રમ બિસ્મથ અને ત્યારબાદ એન્ટિમની છે.
તેથી,ઠંડા જંકશન પર,પ્રવાહ એન્ટિમનીથી બિસ્મથ તરફ વહે છે.
આ એક સતત લૂપ બનાવે છે જ્યાં ગરમ જંકશન પર પ્રવાહ બિસ્મથથી એન્ટિમની તરફ વહે છે.

(C) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે સંતુલિત સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ ચોથી ભુજાનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
ચોથી ભુજામાં $S_1$ અને $S_2$ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $S = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$ થાય છે.
આ કિંમતને સંતુલિત સ્થિતિના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left( \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2} \right)}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$ થાય છે.

(C) પરિપથને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
પરિપથ જોતા,$10 \Omega$ અને $20 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે કુલ $30 \Omega$ આપે છે.
$5 \Omega$ અને $10 \Omega$ ના અવરોધો પણ શ્રેણીમાં છે,જે કુલ $15 \Omega$ આપે છે.
આ બે શાખાઓ ($30 \Omega$ અને $15 \Omega$) એકબીજા સાથે સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{30 \times 15}{30 + 15} = \frac{450}{45} = 10 \Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$5 \text{ V}$ ના સ્ત્રોતમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5}{10} = 0.5 \text{ A}$.

(C) તાપમાન $T$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે,જ્યાં $R_0$ એ $0\,^{\circ}C$ પરનો અવરોધ છે.
આપેલ છે:
$R_1 = 100\,\Omega$ તાપમાન $T_1 = 100\,^{\circ}C$ પર
$R_2 = 200\,\Omega$ તાપમાન $T_2 = T$ પર
$\alpha = 0.005\,^{\circ}C^{-1}$
સૂત્ર $R = R_0(1 + \alpha T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$100 = R_0(1 + 0.005 \times 100) = R_0(1 + 0.5) = 1.5 R_0$
$R_0 = \frac{100}{1.5} = \frac{200}{3}\,\Omega$
હવે,$R_2 = 200\,\Omega$ માટે:
$200 = R_0(1 + 0.005 \times T)$
$200 = \frac{200}{3}(1 + 0.005 T)$
$3 = 1 + 0.005 T$
$2 = 0.005 T$
$T = \frac{2}{0.005} = 400\,^{\circ}C$.

(A) આપેલ છે: $\rho_B = 2\rho_A$ અને $d_B = 2d_A$.
તાર વર્તુળાકાર હોવાથી,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ થાય.
અવરોધ સમાન હોવા માટે,$R_B = R_A$.
સૂત્ર $R = \frac{\rho l}{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\rho_B l_B}{A_B} = \frac{\rho_A l_A}{A_A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2\rho_A l_B}{\frac{\pi (2d_A)^2}{4}} = \frac{\rho_A l_A}{\frac{\pi d_A^2}{4}}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2\rho_A l_B}{4 A_A} = \frac{\rho_A l_A}{A_A} \Rightarrow \frac{2 l_B}{4} = l_A$.
તેથી,$\frac{l_B}{l_A} = \frac{4}{2} = 2$.

(C) વીજભારિત કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $v = 0$ છે.
ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જો $v = 0$ હોય,તો $F_m = 0$ થાય.
વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ સ્થિર હોવાથી,તે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ની દિશામાં (જો $q > 0$ હોય) અથવા તેની વિરુદ્ધ દિશામાં (જો $q < 0$ હોય) પ્રવેગિત થશે.
વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાંતર હોવાથી,કણ વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં ગતિ કરશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની સમાંતર ગતિ કરતા કણ પર કોઈ બળ લગાડતું નથી,તેથી કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ પ્રવાહ છે.
પ્રથમ સોલેનોઈડ માટે: $B_1 = \mu_0 n_1 i_1 = 6.28 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$,જ્યાં $n_1 = 200 \ turns/cm$ અને $i_1 = i$.
બીજા સોલેનોઈડ માટે: $n_2 = 100 \ turns/cm$ અને $i_2 = i/3$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 n_2 i_2}{\mu_0 n_1 i_1} = \frac{n_2 i_2}{n_1 i_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_2}{6.28 \times 10^{-2}} = \frac{100 \times (i/3)}{200 \times i} = \frac{100}{200 \times 3} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$B_2 = \frac{6.28 \times 10^{-2}}{6} \approx 1.05 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$.

(A) ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા પ્રબળ રીતે આકર્ષાય છે કારણ કે તેમની પાસે કાયમી ચુંબકીય ડોમેન્સ હોય છે જે બાહ્ય ક્ષેત્ર સાથે સરળતાથી ગોઠવાય છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે આકર્ષાય છે કારણ કે તેમની પાસે કાયમી ચુંબકીય ડાયપોલ્સ હોય છે જે બાહ્ય ક્ષેત્ર સાથે નિર્બળ રીતે ગોઠવાય છે.
ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિને લીધે તેઓ લાગુ કરેલા ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રેરિત ચુંબકીય મોમેન્ટ વિકસાવે છે.
તેથી,ચુંબક $N_1$ ને પ્રબળ રીતે આકર્ષશે,$N_2$ ને નિર્બળ રીતે આકર્ષશે અને $N_3$ ને નિર્બળ રીતે અપાકર્ષશે.

(B) પ્રિઝમ માટે લઘુત્તમ વિચલનકોણ $D$ નું સૂત્ર $D = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમકોણ છે.
અહીં લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $\mu_r = 1.520$ અને વાદળી પ્રકાશ માટે $\mu_b = 1.525$ આપેલ છે.
આમ,$\mu_b > \mu_r$ હોવાથી,$(\mu_b - 1) > (\mu_r - 1)$ થાય.
તેથી,$D_2 > D_1$,જેને $D_1 < D_2$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(C) ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I$ એ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે,જે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે,જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય. જો કે,જો એનોડ વોલ્ટેજ નિશ્ચિત હોય અને બધા ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનને એકત્રિત કરવા માટે પૂરતો ન હોય,તો પ્રવાહ ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા પર આધાર રાખે છે. જેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટે છે,તેમ આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E = hc/\lambda)$ વધે છે. આના પરિણામે ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે. ઉચ્ચ ગતિ ઊર્જા સાથે,વધુ સંખ્યામાં ફોટોઇલેક્ટ્રોન પોટેન્શિયલ બેરિયરને પાર કરીને એનોડ સુધી પહોંચી શકે છે,જેનાથી પ્લેટ પ્રવાહ $I$ વધે છે. તેથી,જેમ $\lambda$ ઘટે છે,તેમ $I$ વધે છે. આ સંબંધ એક વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં જેમ $\lambda$ વધે છે તેમ $I$ ઘટે છે,જે આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(A) શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત થાય છે,ત્યારે સર્કિટમાં પ્રવાહ $i_0 = \frac{E}{R} = \frac{100 \ V}{100 \ \Omega} = 1 \ A$ હોય છે.
જ્યારે બેટરીને દૂર કરવામાં આવે છે અને બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LR$ ક્ષય સર્કિટ બની જાય છે.
પ્રવાહના ક્ષય માટેનું સમીકરણ $i(t) = i_0 e^{-\frac{R}{L}t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 100 \ \Omega$,$L = 100 \ mH = 0.1 \ H$,અને $t = 1 \ ms = 10^{-3} \ s$ આપેલ છે.
સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R} = \frac{0.1 \ H}{100 \ \Omega} = 10^{-3} \ s$ છે.
ક્ષય સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$i(t) = 1 \times e^{-\frac{10^{-3}}{10^{-3}}} = 1 \times e^{-1} = \frac{1}{e} \ A$.

(A) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ કોઈ પણ સમયે $t$ માટે $\phi = N B A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $e$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt}(N B A \cos(\omega t))$.
$e = -N B A \frac{d}{dt}(\cos(\omega t)) = -N B A (-\omega \sin(\omega t)) = N B A \omega \sin(\omega t)$.
$emf$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{\max})$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ હોય.
તેથી,$e_{\max} = N B A \omega$.

(C) ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નું પરિમાણ $L = \frac{\phi}{I}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-1} Q^{-1}]$ છે.
પ્રવાહ $I$ નું પરિમાણ $[Q T^{-1}]$ છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સનું પરિમાણ $[L] = \frac{[M L^2 T^{-1} Q^{-1}]}{[Q T^{-1}]} = [M L^2 Q^{-2}]$ થાય છે.
ઇન્ડક્ટન્સનો એકમ $Henry$ $(H)$ છે.
આમ,$\frac{M L^2}{Q^2}$ પરિમાણ $Henry$ $(H)$ એકમ સાથે સુસંગત છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_R = 100 \ V$ અને $R = 1 \ k\Omega = 1000 \ \Omega$,તેથી $I = \frac{100}{1000} = 0.1 \ A$.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
આપેલ છે કે $\omega = 200 \ rad/s$ અને $C = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$,તેથી $X_L = X_C = \frac{1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{400 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{400} = 2500 \ \Omega$.
ઇન્ડક્ટર $L$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_L = 0.1 \times 2500 = 250 \ V$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ કુલ ઉર્જા ઘનતા $u$ એ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા અને ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતાનો સરવાળો છે.
$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 + \frac{1}{2\mu_0} B_{rms}^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $B_{rms} = \frac{E_{rms}}{c}$,તેથી $u_B = \frac{1}{2\mu_0} \left(\frac{E_{rms}}{c}\right)^2 = \frac{1}{2\mu_0} (E_{rms}^2 \varepsilon_0 \mu_0) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2$.
આમ,કુલ ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 + \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \varepsilon_0 E_{rms}^2$ થાય.
અહીં $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \; F/m$ અને $E_{rms} = 720 \; N/C$ આપેલ છે:
$u = (8.85 \times 10^{-12}) \times (720)^2$
$u = 8.85 \times 10^{-12} \times 518400$
$u = 4.58784 \times 10^{-6} \; J/m^3 \approx 4.58 \times 10^{-6} \; J/m^3$.

(D) $\beta$-ક્ષયમાં,મુક્ત થતી ઉર્જા $\beta$-કણ અને એન્ટિન્યુટ્રિનો (અથવા ન્યુટ્રિનો) વચ્ચે વહેંચાય છે. ઉર્જા સતત રીતે વહેંચાતી હોવાથી,$\beta$-કણો શૂન્યથી લઈને મહત્તમ મૂલ્ય $E_0$ સુધીની ગતિજ ઉર્જાના સતત ગાળા સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે. $N(E)$ વિરુદ્ધ $E$ નો વિતરણ આલેખ $E=0$ પર શૂન્યથી શરૂ થાય છે,મધ્યવર્તી ઉર્જા પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને મહત્તમ ઉર્જા $E_0$ પર શૂન્ય થઈ જાય છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $_3^7Li + _1^1p \to _4^8Be + X$.
દળ સંખ્યાના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $7 + 1 = 8 + A \implies A = 0$.
પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $3 + 1 = 4 + Z \implies Z = 0$.
જે કણની દળ સંખ્યા $0$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $0$ હોય તે ગામા ફોટોન ($\gamma$) છે.
તેથી, ઉત્સર્જિત કણ $\gamma$-કણ છે.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિઓન્સની સંખ્યા અને ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જાના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$_3^7Li$ માટે,કુલ બંધન ઉર્જા $7 \times 5.60 \, MeV = 39.20 \, MeV$ છે.
$_2^4He$ માટે,એક ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા $4 \times 7.06 \, MeV = 28.24 \, MeV$ છે.
પ્રક્રિયા $p + {}_3^7Li \to 2 {}_2^4He$ માં,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
પ્રોટોનની ઉર્જા $(E_p)$ વત્તા પ્રક્રિયક ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા એ નીપજ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
$E_p + 39.20 \, MeV = 2 \times (28.24 \, MeV)$.
$E_p + 39.20 = 56.48$.
$E_p = 56.48 - 39.20 = 17.28 \, MeV$.

(C) $rad$ (રેડિયેશન એબ્સોર્બ્ડ ડોઝ) એ શોષાયેલા રેડિયેશન ડોઝનો એકમ છે.
તેને પદાર્થના પ્રતિ ગ્રામ (સામાન્ય રીતે પેશી) દીઠ $100 \ erg$ ઉર્જાના શોષણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,તે રેડિયેશન દ્વારા લક્ષ્ય પદાર્થને આપવામાં આવતી ઉર્જાનું માપન કરે છે.
એક $rad$ એ $0.01 \ J/kg$ અથવા $0.01 \ Gray$ $(Gy)$ ની સમકક્ષ છે.

(C) તાપમાન વધવાની સાથે વાહકતામાં વધારો થવો એ અર્ધવાહકોની લાક્ષણિકતા છે.
અર્ધવાહકો સામાન્ય રીતે સહસંયોજક બંધ દ્વારા બનેલા હોય છે (દા.ત.,સિલિકોન,જર્મેનિયમ).
ધાતુઓ (ધાત્વિક બંધ) માં તાપમાન વધતા વાહકતામાં ઘટાડો થાય છે.
આયનીય ઘન પદાર્થો સામાન્ય રીતે દ્રશ્ય પ્રકાશ માટે પારદર્શક હોય છે અને અવાહક હોય છે.
તેથી,વર્ણવેલ ઘન પદાર્થ સહસંયોજક બંધ દ્વારા બને છે.

(D) સેમિકન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ $I = n e A v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ સાંદ્રતા છે,$e$ એ વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ માટે,પ્રવાહનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_e}{I_h} = \frac{n_e e A v_e}{n_h e A v_h} = \frac{n_e}{n_h} \times \frac{v_e}{v_h}$
આપેલ છે કે $\frac{n_e}{n_h} = \frac{7}{5}$ અને $\frac{I_e}{I_h} = \frac{7}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{7}{4} = \frac{7}{5} \times \frac{v_e}{v_h}$
$\frac{v_e}{v_h} = \frac{7}{4} \times \frac{5}{7} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ છે: કલેક્ટર કરંટ $I_C = 5.488 \ mA$ અને એમિટર કરંટ $I_E = 5.60 \ mA$.
સૌ પ્રથમ,$I_B = I_E - I_C$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને બેઝ કરંટ $I_B$ ની ગણતરી કરો.
$I_B = 5.60 \ mA - 5.488 \ mA = 0.112 \ mA$.
બેઝ કરંટ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર $\beta$ એ કલેક્ટર કરંટ અને બેઝ કરંટનો ગુણોત્તર છે: $\beta = \frac{I_C}{I_B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\beta = \frac{5.488}{0.112} = 49$.
આમ,$\beta$ નું મૂલ્ય $49$ છે.

(C) સેમિકન્ડક્ટર સ્ફટિકમાં,લેટીસ અચળાંક એ પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
જ્યારે લેટીસ અચળાંક ઘટે છે,ત્યારે પરમાણુઓ એકબીજાની નજીક આવે છે,જેનાથી પરમાણુ ઓર્બિટલ્સનું ઓવરલેપ વધે છે.
આ વધેલા ઓવરલેપને કારણે એનર્જી બેન્ડ્સ પહોળા થાય છે,એટલે કે કન્ડક્શન બેન્ડ $(E_c)$ અને વેલેન્સ બેન્ડ $(E_v)$ ની પહોળાઈ વધે છે.
તે જ સમયે,પરમાણુઓ વચ્ચેની વધેલી આંતરક્રિયાને કારણે બેન્ડ ગેપ $(E_g)$ ઘટે છે.
તેથી,$E_c$ અને $E_v$ વધે છે,જ્યારે $E_g$ ઘટે છે.

(A) જ્યારે ડાયોડનો $p$-ભાગ નીચા પોટેન્શિયલ સાથે અને $n$-ભાગ ઊંચા પોટેન્શિયલ સાથે જોડાયેલ હોય ત્યારે તે રિવર્સ બાયસમાં હોય છે.
ચાલો વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: $p$-ભાગ $0 \ V$ (ગ્રાઉન્ડ) પર છે અને $n$-ભાગ $+5 \ V$ પર છે. $0 \ V < +5 \ V$ હોવાથી,આ રિવર્સ બાયસ છે.
$B$: $p$-ભાગ $+5 \ V$ પર છે અને $n$-ભાગ $+10 \ V$ પર છે. $5 \ V < 10 \ V$ હોવાથી,આ પણ રિવર્સ બાયસ છે.
$C$: $p$-ભાગ $-12 \ V$ પર છે અને $n$-ભાગ $-5 \ V$ પર છે. $-12 \ V < -5 \ V$ હોવાથી,આ પણ રિવર્સ બાયસ છે.
$D$: $p$-ભાગ $0 \ V$ (ગ્રાઉન્ડ) પર છે અને $n$-ભાગ $-10 \ V$ પર છે. $0 \ V > -10 \ V$ હોવાથી,આ ફોરવર્ડ બાયસ છે.
નોંધ: આ પ્રકારના પ્રમાણિત બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોમાં સામાન્ય રીતે એક જ વિકલ્પ સાચો હોય છે. જોકે,આપેલ આકૃતિઓ મુજબ,વિકલ્પો $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય રિવર્સ બાયસ સ્થિતિ દર્શાવે છે. સામાન્ય માળખાને જોતા,$A$ એ રિવર્સ બાયસ ડાયોડનું સૌથી પ્રમાણિત નિરૂપણ છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં,$12 \ V$ ની બેટરીનો ધન ટર્મિનલ એવી રીતે જોડાયેલ છે કે જેથી ડાયોડ $D_2$ ફોરવર્ડ બાયસમાં અને ડાયોડ $D_1$ રિવર્સ બાયસમાં હોય.
કારણ કે $D_1$ રિવર્સ બાયસમાં છે,તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને $3 \ \Omega$ ના અવરોધવાળી શાખામાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
કારણ કે $D_2$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને આદર્શ છે,તે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ $4 \ \Omega$ ના અવરોધ અને $2 \ \Omega$ ના અવરોધવાળી શાખામાંથી વહે છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = 4 \ \Omega + 2 \ \Omega = 6 \ \Omega$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i = \frac{V}{R} = \frac{12 \ V}{6 \ \Omega} = 2 \ A$.

(B) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 10t^2 - 50t + 250$ છે.
ફેરાડેના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(e)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફ્લક્સનું વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(10t^2 - 50t + 250) = 20t - 50$.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ $e = -(20t - 50) = 50 - 20t$ છે.
$t = 3 \ s$ સમયે,પ્રેરિત $emf$:
$e = 50 - 20(3) = 50 - 60 = -10 \ V$ થાય.