AIEEE 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) સ્ક્રૂ ગેજનું પિચ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર છે. કારણ કે $2$ પૂર્ણ પરિભ્રમણ $1 \ mm$ અંતર કાપે છે,તેથી પિચ $= \frac{1 \ mm}{2} = 0.5 \ mm$ થાય.
લીસ્ટ કાઉન્ટ $(LC)$ એ $\frac{\text{પિચ}}{\text{કુલ વિભાગોની સંખ્યા}} = \frac{0.5 \ mm}{50} = 0.01 \ mm$ દ્વારા મળે છે.
અવલોકિત રીડિંગની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\text{મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ} + (\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ વિભાગ} \times LC) = 3 \ mm + (35 \times 0.01 \ mm) = 3.35 \ mm$.
સાચો વ્યાસ અવલોકિત રીડિંગમાંથી શૂન્ય ત્રુટિ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે: $\text{વ્યાસ} = \text{અવલોકિત રીડિંગ} - (\text{શૂન્ય ત્રુટિ}) = 3.35 \ mm - (-0.03 \ mm) = 3.35 \ mm + 0.03 \ mm = 3.38 \ mm$.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $x=0$ પર અચળ પ્રવેગ $a$ સાથે શરૂ થતા પદાર્થ માટે:
$x_{1} = \frac{1}{2}at^{2}$
$x=0$ થી શરૂ કરીને અચળ ઝડપ $v$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે:
$x_{2} = vt$
ધારો કે $f(t) = x_{1} - x_{2} = \frac{1}{2}at^{2} - vt$.
આ $t$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જે ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે.
$t=0$ સમયે,$f(0) = 0$.
વિકલન $f'(t) = at - v$ છે.
$f'(t) = 0$ લેતા $t = \frac{v}{a}$ મળે છે.
$t = \frac{v}{a}$ સમયે,વિધેય તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે: $f(\frac{v}{a}) = \frac{1}{2}a(\frac{v}{a})^{2} - v(\frac{v}{a}) = \frac{v^{2}}{2a} - \frac{v^{2}}{a} = -\frac{v^{2}}{2a}$.
ન્યૂનતમ કિંમત ઋણ હોવાથી અને પરવલય ઉપરની તરફ ખુલતો હોવાથી,આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,$t$-અક્ષની નીચે જાય છે,$t = \frac{v}{a}$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,અને પછી વધે છે,જે $t = \frac{2v}{a}$ પર $t$-અક્ષને છેદે છે.
આ સોલ્યુશન ઇમેજમાં દર્શાવેલ આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(B) વેગમાન $p$ એ દળ $m$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $p = m \times v$.
અહીં $m = 3.513 \; kg$ ($4$ સાર્થક અંકો) અને $v = 5.00 \; ms^{-1}$ ($3$ સાર્થક અંકો) આપેલ છે.
ગુણાકાર કરતા: $p = 3.513 \times 5.00 = 17.565 \; kg \; ms^{-1}$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકારના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં $5.00$ માં $3$ સાર્થક અંકો હોવાથી,અંતિમ પરિણામને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડે.
તેથી,$17.565$ ને $3$ સાર્થક અંકોમાં ફેરવતા $17.6 \; kg \; ms^{-1}$ મળે છે.

(A) એથ્લેટની સરેરાશ ઝડપ $v = \frac{100 \ m}{10 \ s} = 10 \ m/s$ છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ધારો કે એથ્લેટનું દળ $(m)$ સામાન્ય રીતે $40 \ kg$ થી $100 \ kg$ ની વચ્ચે હોય છે:
$m = 40 \ kg$ માટે: $K.E. = \frac{1}{2} \times 40 \times (10)^2 = 20 \times 100 = 2000 \ J$.
$m = 100 \ kg$ માટે: $K.E. = \frac{1}{2} \times 100 \times (10)^2 = 50 \times 100 = 5000 \ J$.
આમ,ગતિઊર્જાની રેન્જ $2000 \ J - 5000 \ J$ છે.

(D) આપેલ છે: $m_1 = 0.50 \ kg$,$u_1 = 2.00 \ m/s$,$m_2 = 1.00 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
અથડામણ પછી પદાર્થો સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ઉર્જાના વ્યયનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\Delta K = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} (u_1 - u_2)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta K = \frac{0.50 \times 1.00}{2(0.50 + 1.00)} (2.00 - 0)^2$
$\Delta K = \frac{0.50}{2(1.50)} (4)$
$\Delta K = \frac{0.50}{3.00} \times 4 = \frac{2}{3} \approx 0.67 \ J$.

(B) પાત્ર અવાહક હોવાથી,$Q = 0$. વિભાજકને કોઈ પણ કાર્ય કર્યા વગર દૂર કરવામાં આવે છે,તેથી $W = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q + W = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કુલ આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે: $U_{initial} = U_{final}$.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n C_v T$ છે.
તેથી,$n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2 = (n_1 + n_2) C_v T$.
બંને બાજુથી $C_v$ દૂર કરતા,આપણને $T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$ મળે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$ અને $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = \frac{(\frac{P_1 V_1}{R T_1}) T_1 + (\frac{P_2 V_2}{R T_2}) T_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}} = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}}$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$T = \frac{R(P_1 V_1 + P_2 V_2)}{\frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{T_1 T_2}} = \frac{T_1 T_2 (P_1 V_1 + P_2 V_2)}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$.

(A) રેખીય દળ ઘનતા $\lambda(x)$ ધરાવતા સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{CM}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{CM} = \frac{\int_0^L x \lambda(x) dx}{\int_0^L \lambda(x) dx}$
$\lambda(x) = k(\frac{x}{L})^n$ મૂકતા:
$x_{CM} = \frac{\int_0^L x \cdot k(\frac{x}{L})^n dx}{\int_0^L k(\frac{x}{L})^n dx} = \frac{\frac{k}{L^n} \int_0^L x^{n+1} dx}{\frac{k}{L^n} \int_0^L x^n dx} = \frac{[\frac{x^{n+2}}{n+2}]_0^L}{[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^L} = \frac{L^{n+2}/(n+2)}{L^{n+1}/(n+1)} = L \frac{n+1}{n+2}$
વિધેય $f(n) = L \frac{n+1}{n+2} = L (1 - \frac{1}{n+2})$ નું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. $n = 0$ માટે,$x_{CM} = L(1 - 1/2) = L/2$.
$2$. જેમ $n \to \infty$,તેમ $x_{CM} \to L$.
$3$. વિકલન $\frac{dx_{CM}}{dn} = L \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+2)^2} = \frac{L}{(n+2)^2} > 0$,તેથી $x_{CM}$ એ વધતું વિધેય છે.
$4$. દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2x_{CM}}{dn^2} = -\frac{2L}{(n+2)^3} < 0$,તેથી આલેખ નીચેની તરફ અંતર્મુખ (concave down) છે.
આ ગુણધર્મો વિકલ્પ $(A)$ ના આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(A) '$a$' બાજુ અને '$m$' દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I_{cm} = \frac{1}{12}m(a^2 + a^2) = \frac{ma^2}{6}$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,ખૂણામાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_{cm} + md^2$
અહીં,'$d$' એ ચોરસના કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર છે. '$a$' બાજુવાળા ચોરસ માટે,વિકર્ણ '$a\sqrt{2}$' છે,તેથી કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર:
$d = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{ma^2}{6} + m\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = \frac{ma^2}{6} + \frac{ma^2}{2}$
$I = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_e$ અને $R_e$ છે,અને ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_p$ અને $R_p$ છે.
આપેલ છે: $M_p = 10 M_e$ અને $R_p = \frac{R_e}{10}$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{(v_e)_p}{(v_e)_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(v_e)_p}{(v_e)_e} = \sqrt{\frac{10 M_e}{M_e} \times \frac{R_e}{R_e/10}} = \sqrt{10 \times 10} = \sqrt{100} = 10$.
તેથી,$(v_e)_p = 10 \times (v_e)_e = 10 \times 11 \ km/s = 110 \ km/s$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ગુરુત્વાકર્ષી ફ્લક્સ $\Phi_g = \oint \vec{E_g} \cdot d\vec{S} = -4\pi GM_{enclosed}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિધાન-$1$ માં ફ્લક્સ $4\pi GM$ આપેલું છે,પરંતુ સાચું મૂલ્ય $-4\pi GM$ છે (ગુરુત્વાકર્ષણના આકર્ષી સ્વભાવને કારણે). તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે.
વિધાન-$2$ ગૌસના નિયમના સામાન્ય સિદ્ધાંતનું વર્ણન કરે છે,જે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમનું પાલન કરતા કોઈપણ ક્ષેત્ર (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા સ્થિર વિદ્યુત) ને લાગુ પડે છે. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે અને વિધાન-$2$ સાચું છે.

(A) આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે પ્રવાહી $1$ એ પ્રવાહી $2$ પર તરે છે.
હલકું પ્રવાહી ભારે પ્રવાહી પર તરતું હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $\rho_1 < \rho_2$.
દડો બંને પ્રવાહીના આંતરપૃષ્ઠ પર સંતુલનમાં છે.
કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાં તરે તે માટે તેની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
દડો આંશિક રીતે પ્રવાહી $1$ માં અને આંશિક રીતે પ્રવાહી $2$ માં ડૂબેલો હોવાથી,તેની ઘનતા $\rho_3$ એ ઉપરના પ્રવાહીની ઘનતા $(\rho_1)$ કરતા વધારે અને નીચેના પ્રવાહીની ઘનતા $(\rho_2)$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી,સંતુલન માટેની શરત $\rho_1 < \rho_3 < \rho_2$ છે.

(B) ટર્મિનલ ઝડપ $(v_t)$ પર,દડા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,દડાનું નીચેની તરફનું વજન એ ઉપરની તરફ લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) અને સ્નિગ્ધ બળ (viscous force) દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$Weight = \text{Buoyant force} + \text{Viscous force}$
$V\rho_1 g = V\rho_2 g + kv_t^2$
$kv_t^2 = Vg(\rho_1 - \rho_2)$
$v_t^2 = \frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}$
$v_t = \sqrt{\frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}}$

(D) કેશ નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ ઉત્થાન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$.
અહીં,$T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાણી માટે,સંપર્ક કોણ $\theta$ લઘુકોણ હોય છે,જેના પરિણામે અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ અને ધન ઊંચાઈ $h$ (વધારો) મળે છે.
સાબુના પાણીના દ્રાવણ માટે,પૃષ્ઠતાણ $T$ શુદ્ધ પાણી કરતા ઘણું ઓછું હોય છે. કારણ કે $h \propto T$,સાબુના દ્રાવણના સ્તંભની ઊંચાઈ પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ કરતા ઓછી હશે.
પાણી અને સાબુનું દ્રાવણ બંને કાચને ભીંજવે છે,તેથી બંને કેશ નળીમાં અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ (ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ) બનાવશે.
તેથી,સાચું નિરૂપણ બંને નળીઓને અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ સાથે દર્શાવે છે,પરંતુ નળી $(B)$ માં પ્રવાહીનું સ્તર નળી $(A)$ કરતા નીચું છે.

(B) રેઝોનન્સ કોલમ પ્રયોગમાં,ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
શિયાળામાં પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે,લંબાઈ $\ell_1 = 18 \ cm$ છે. આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4 \ell_1} = \frac{v}{4 \times 18}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ શિયાળામાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
ઉનાળામાં બીજા રેઝોનન્સ માટે,લંબાઈ $\ell_2 = x \ cm$ છે. આવૃત્તિ $f = \frac{3v'}{4 \ell_2} = \frac{3v'}{4x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v'$ એ ઉનાળામાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{v}{4 \times 18} = \frac{3v'}{4x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 54 \times \frac{v'}{v} \ cm$.
ઉનાળામાં તાપમાન શિયાળા કરતા વધારે હોવાથી,ધ્વનિની ઝડપ $v' > v$ થાય છે (કારણ કે $v \propto \sqrt{T}$).
તેથી,$x > 54 \ cm$.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = 0.005 \cos(\alpha x - \beta t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = a \cos(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \alpha$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \beta$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યાનું સૂત્ર $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે. અહીં $\lambda = 0.08 \ m$ આપેલ હોવાથી,$\alpha = \frac{2\pi}{0.08} = 25\pi \ rad/m$ થાય.
કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે. અહીં $T = 2.0 \ s$ આપેલ હોવાથી,$\beta = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \ rad/s$ થાય.
આમ,$\alpha = 25\pi$ અને $\beta = \pi$ મળે છે.

(B) ટ્રાવેલિંગ માઇક્રોસ્કોપ એ નાનું અંતર માપવા માટે વપરાતું એક ચોકસાઈપૂર્વકનું સાધન છે.
તેમાં માઇક્રોસ્કોપ એસેમ્બલી સાથે જોડાયેલ મુખ્ય સ્કેલ અને વર્નિયર સ્કેલ હોય છે.
કાચના સ્લેબનો વક્રીભવનાંક માપતી વખતે,માઇક્રોસ્કોપને ટેબલ પરના નિશાન પર,પછી કાચના સ્લેબ દ્વારા તે નિશાન પર અને અંતે સ્લેબની ઉપરની સપાટી પરના ધૂળના કણ પર ફોકસ કરવામાં આવે છે.
વર્ટિકલ સ્થાનાંતર માઇક્રોસ્કોપ પર આપેલી વર્નિયર સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને ચોકસાઈપૂર્વક માપવામાં આવે છે.

(B) ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે:
મોલર દળ,$M_1 = 32 \,g/mol$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર,$\gamma_1 = C_p / C_V = 7/5$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે).
ધ્વનિની ઝડપ,$v_1 = 460 \,ms^{-1}$.
હિલિયમ $(He)$ માટે:
મોલર દળ,$M_2 = 4 \,g/mol$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર,$\gamma_2 = C_p / C_V = 5/3$ (એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે).
આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\gamma_2}{\gamma_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{5/3}{7/5} \cdot \frac{32}{4}} = \sqrt{\frac{25}{21} \cdot 8} = \sqrt{\frac{200}{21}} \approx 3.085$.
તેથી,$v_2 = 460 \times 3.085 \approx 1420 \,ms^{-1}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = qvB \sin \theta$.
પરિમાણોને ધ્યાનમાં લેતા,$[F] = [q][v][B]$.
અહીં પરિમાણો છે: $[F] = MLT^{-2}$,$[q] = C$,અને $[v] = LT^{-1}$.
$B$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $[B] = \frac{[F]}{[q][v]} = \frac{MLT^{-2}}{C \cdot LT^{-1}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $[B] = M \cdot L^1 L^{-1} \cdot T^{-2} T^1 \cdot C^{-1} = MT^{-1}C^{-1}$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ઘેરાયેલો હોતો નથી.
$2$. કવચની બહાર $(r \ge R)$: કવચ તેના કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = k\frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ છે.
આમ,$E(r)$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ $0 \le r < R$ માટે $E = 0$ અને $r \ge R$ માટે $1/r^2$ મુજબ ઘટતો હોવો જોઈએ. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) હવાથી ભરેલા કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ છે.
જ્યારે જગ્યાને $d_1 = d/3$ અને $d_2 = 2d/3$ જાડાઈના બે ડાયલેક્ટ્રિક્સથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ સિસ્ટમ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{k_1 \epsilon_0 A}{d_1} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d/3} = 9 \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 C_0 = 9 \times 9 = 81 \ pF$ છે.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{k_2 \epsilon_0 A}{d_2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{2d/3} = 9 \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 C_0 = 9 \times 9 = 81 \ pF$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{81} + \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{81}{2} = 40.5 \ pF$ થાય છે.

(B) ધારો કે $V_{P1} = 0\,V$. તો $P_2$ આગળનું સ્થિતિમાન $V$ છે.
નોડ $P_2$ પર નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V - 5}{2} + \frac{V}{10} + \frac{V - 2}{1} = 0$
$10$ વડે ગુણતા:
$5(V - 5) + V + 10(V - 2) = 0$
$5V - 25 + V + 10V - 20 = 0$
$16V = 45$
$V = \frac{45}{16} = 2.8125\,V$
$10\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{2.8125}{10} = 0.28125\,A \approx 0.28\,A$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $0.27\,A$ છે. $V_{P2} > V_{P1}$ હોવાથી,પ્રવાહ $P_2$ થી $P_1$ તરફ વહે છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$,જ્યાં $P$ અને $Q$ એ બે ગેપમાં રહેલા અવરોધો છે,અને $l_1$ અને $l_2$ એ તારની અનુરૂપ લંબાઈ છે.
આપેલ છે,$P = 55 \, \Omega$ અને $l_1 = 20 \, \text{cm}$.
મીટર બ્રિજના તારની કુલ લંબાઈ $100 \, \text{cm}$ છે,તેથી $l_2 = 100 - 20 = 80 \, \text{cm}$.
આ કિંમતોને સંતુલન સ્થિતિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{55}{R} = \frac{20}{80}$
$\frac{55}{R} = \frac{1}{4}$
$R = 55 \times 4 = 220 \, \Omega$.

(B) ધારો કે $j$ એ પ્રવાહ ઘનતા છે.
પ્રવાહ $I$ અર્ધગોળાકાર સપાટી પર ફેલાતો હોવાથી,$j \times 2 \pi r^2 = I$,જે $j = \frac{I}{2 \pi r^2}$ આપે છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \rho j = \frac{\rho I}{2 \pi r^2}$ છે.
$A$ આગળ દાખલ થતા પ્રવાહ $I$ ને કારણે $B$ અને $C$ બિંદુઓ વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $\Delta V_{BC, A} = V_B - V_C = \int_{r_B}^{r_C} E dr = \int_{a}^{a+b} \frac{\rho I}{2 \pi r^2} dr = \frac{\rho I}{2 \pi} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{a}^{a+b} = \frac{\rho I}{2 \pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right)$ છે.
તે જ રીતે,$D$ આગળ બહાર નીકળતા પ્રવાહ $I$ માટે,પોટેન્શિયલ તફાવત $\Delta V_{BC, D}$ પણ $\frac{\rho I}{2 \pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right)$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત દ્વારા,કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત $\Delta V = \Delta V_{BC, A} + \Delta V_{BC, D} = 2 \times \frac{\rho I}{2 \pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right) = \frac{\rho I}{\pi a} - \frac{\rho I}{\pi(a+b)}$ છે.

(D) ધારો કે $j$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા છે.
કારણ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ $2 \pi r^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી અર્ધગોળાકાર સપાટી પર ફેલાય છે,તેથી વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $j = \frac{I}{2 \pi r^2}$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ $E = \rho j$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E = \rho \left( \frac{I}{2 \pi r^2} \right) = \frac{\rho I}{2 \pi r^2}$.

(D) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$I = 100 \, A$
$r = 4 \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100}{2 \pi \times 4}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 100}{4}$
$B = \frac{2 \times 10^{-5}}{4} = 0.5 \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-6} \, T$
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો અંગૂઠો વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં (પશ્ચિમ) હોય,તો તારની નીચેના બિંદુએ આંગળીઓ દક્ષિણ દિશા તરફ નિર્દેશ કરશે.

(C) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ માટે,સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ હંમેશા $1$ કરતા ઓછી હોય છે (એટલે કે,$\mu_r < 1$).
કોઈપણ ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ માટે,સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $\varepsilon_r$ હંમેશા $1$ કરતા વધારે હોય છે (એટલે કે,$\varepsilon_r > 1$).
આ શરતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વિકલ્પ $C$ બંને શરતોનું પાલન કરે છે: $\varepsilon_r = 1.5 > 1$ અને $\mu_r = 0.5 < 1$.

(C) લેન્સનું સમીકરણ $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,વસ્તુનું અંતર ઋણ હોય છે,તેથી આપણે $u = -x$ લઈએ છીએ (જ્યાં $x > 0$).
સમીકરણ $\frac{1}{v} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{f}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{v} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f}$ થાય છે.
$v$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{x - f}{xf}$ મળે છે,તેથી $v = \frac{xf}{x - f}$.
જેમ $x$ એ $f$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,તેમ $v$ એ $\infty$ થી $f$ સુધી ઘટે છે. આ $v-u$ સમતલના પ્રથમ ચરણમાં એક અતિવલય (hyperbolic) વક્ર દર્શાવે છે ($u$ અને $v$ ના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા),જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(A) બે કોએક્સિયલ સોલેનોઇડ્સના મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ માટેનું સૂત્ર $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{\ell}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$A = 10 \ cm^2 = 10 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-3} \ m^2$
$\ell = 20 \ cm = 0.2 \ m$
$N_1 = 300$
$N_2 = 400$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \ m \ A^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 300 \times 400 \times 10^{-3}}{0.2}$
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 120000 \times 10^{-3}}{0.2}$
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 120}{0.2}$
$M = 4\pi \times 10^{-7} \times 600$
$M = 2400\pi \times 10^{-7} \ H = 2.4\pi \times 10^{-4} \ H$.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન તેમની ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સાથે તુલનાત્મક એવી '$d$' પહોળાઈની સાંકડી સ્લિટમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તેઓ તરંગ જેવું વર્તન દર્શાવે છે અને વિવર્તન અનુભવે છે।
એકલ-સ્લિટ વિવર્તન પેટર્ન મુજબ, તીવ્રતા (અથવા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા '$N$') કેન્દ્ર $(y = 0)$ પર મહત્તમ હોય છે।
પ્રથમ ન્યૂનતમ $d \sin \theta = \lambda$ શરત દ્વારા આપવામાં આવેલી સ્થિતિ પર થાય છે, જ્યાં $\theta \approx y/D$।
આમ, $y = \pm \lambda D / d$।
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ '$d$' સાથે તુલનાત્મક હોવાથી, કેન્દ્રીય મહત્તમની પહોળાઈ નોંધપાત્ર હોય છે, અને વિવર્તન પેટર્ન ફેલાય છે।
આલેખ $A$ એ એકલ-સ્લિટ વિવર્તન માટે પ્રમાણભૂત તીવ્રતા વિતરણ રજૂ કરે છે, જ્યાં કેન્દ્રીય મહત્તમ $y = 0$ પર છે અને તીવ્રતા $y = \pm \lambda D / d$ પર શૂન્ય થઈ જાય છે।

(C) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = \frac{k}{r}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે,આ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{k}{r} = \frac{mv^2}{r}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $mv^2 = k$,જેનો અર્થ છે કે ગતિઊર્જા $K_n = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{k}{2}$ એ અચળ છે અને $n$ થી સ્વતંત્ર છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
કારણ કે $v = \sqrt{\frac{k}{m}}$ અચળ છે,તેથી $m \sqrt{\frac{k}{m}} r_n = \frac{nh}{2\pi}$.
તેથી,$r_n \propto n$.

(A) વિધાન-$1$ સાચું છે. ભારે ન્યુક્લિયસના ન્યુક્લિયર વિખંડન અને હલકા ન્યુક્લિયસના ન્યુક્લિયર સંલયનમાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે કારણ કે નીપજ ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા પ્રક્રિયક ન્યુક્લિયસ કરતા વધારે હોય છે,જે વધુ સ્થિર રચના તરફ દોરી જાય છે.
વિધાન-$2$ ખોટું છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાના વક્ર મુજબ,ભારે ન્યુક્લિયસ (દળ ક્રમાંક $A > 170$) માટે,જેમ $Z$ વધે છે તેમ ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઘટે છે. હલકા ન્યુક્લિયસ (દળ ક્રમાંક $A < 30$) માટે,સામાન્ય રીતે જેમ $Z$ વધે છે તેમ ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધે છે. વિધાન-$2$ માં આપવામાં આવેલ વિધાન આ ભૌતિક વાસ્તવિકતાથી બિલકુલ વિરુદ્ધ છે.

(B) ટ્રાન્ઝિસ્ટર બે $pn$ જંકશનનું બનેલું હોય છે.
$1$. $P$ અને $Q$ વચ્ચે કોઈ વહન નથી,જેનો અર્થ છે કે $P$ અને $Q$ એ કલેક્ટર અને એમિટર ટર્મિનલ છે (અથવા તેનાથી ઉલટું),કારણ કે તેમની વચ્ચે કોઈ સીધું $pn$ જંકશન નથી.
$2$. જ્યારે મલ્ટિમીટરના ઋણ ટર્મિનલને $R$ સાથે અને ધન ટર્મિનલને $P$ અથવા $Q$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વહન (અવરોધ) જોવા મળે છે.
$3$. મલ્ટિમીટરમાં,સામાન્ય (ઋણ) ટર્મિનલ આંતરિક બેટરીના ઋણ ધ્રુવ સાથે જોડાયેલ હોય છે અને ધન ટર્મિનલ ધન ધ્રુવ સાથે જોડાયેલ હોય છે.
$4$. જ્યારે $pn$ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય ત્યારે વહન થાય છે.
$5$. કારણ કે ઋણ ટર્મિનલ $R$ પર છે અને ધન ટર્મિનલ $P$ અથવા $Q$ પર છે,તેથી $R$ એ $p$-પ્રકારનું મટીરીયલ (બેઝ) હોવું જોઈએ અને $P, Q$ એ $n$-પ્રકારના મટીરીયલ હોવા જોઈએ.
$6$. આ ગોઠવણી $npn$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરને અનુરૂપ છે જ્યાં $R$ એ બેઝ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં બે ડાયોડ સમાંતર રીતે જોડાયેલા છે,જેનો સામાન્ય છેડો ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલા અવરોધ સાથે જોડાયેલ છે.
આ પરિપથ માટે ટ્રુથ ટેબલ (સત્યતા કોષ્ટક) નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$C$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

$1$. જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લો પોટેન્શિયલ $(0)$ પર હોય,ત્યારે બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે (અથવા વહન કરતા નથી),તેથી આઉટપુટ $C$ ગ્રાઉન્ડ પોટેન્શિયલ $(0)$ પર રહે છે.
$2$. જ્યારે $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ એક હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર હોય,ત્યારે સંબંધિત ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં આવે છે અને વહન કરે છે,જેનાથી આઉટપુટ $C$ હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર જાય છે.
$3$. આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $C = A + B$ ને અનુરૂપ છે,જે $OR$ ગેટની લાક્ષણિક કામગીરી છે.

(B) સ્ફટિક વિવર્તનમાં સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત (બ્રેગનો નિયમ) $2d \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ છે.
આકૃતિ પરથી, આપાતકોણ $i$ એ લંબ સાથે માપવામાં આવે છે. ગ્લેન્સિંગ એંગલ $\theta$ એ આપાત કિરણ અને સ્ફટિક સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે, તેથી $\theta = 90^{\circ} - i$.
આપેલ છે $i = 30^{\circ}$, તેથી $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
પ્રથમ ક્રમના વિવર્તન માટે, $n = 1$. કિંમતો મૂકતા:
$2 \times (1 \times 10^{-10}\; m) \times \sin(60^{\circ}) = 1 \times \lambda$
$\lambda = 2 \times 10^{-10} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{-10}\; m \approx 1.732 \times 10^{-10}\; m$.
$V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV} \Rightarrow V = \frac{h^2}{2me\lambda^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times (\sqrt{3} \times 10^{-10})^2}$
$V = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{29.12 \times 10^{-50} \times 3} = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{87.36 \times 10^{-50}} \approx 49.86\; V$.
આમ, $V$ આશરે $50\; V$ હોવું જોઈએ.

(D) સહાયક વ્યતિકરણ માટે,ક્રમિક પરમાણુ સમતલો પરથી પરાવર્તિત થતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,જે બ્રેગના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $2d \sin \theta = n \lambda_{dB}$,જ્યાં $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ (આપાત કિરણ અને સ્ફટિક સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો) છે.
આપેલી આકૃતિ પરથી,ખૂણો $i$ એ આપાત કિરણ અને સ્ફટિક સમતલના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તેથી,ગ્લેન્સિંગ એંગલ $\theta$ એ $\theta = 90^{\circ} - i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને બ્રેગના નિયમમાં મૂકતા:
$2d \sin(90^{\circ} - i) = n \lambda_{dB}$
કારણ કે $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,તેથી આપણને મળે છે:
$2d \cos i = n \lambda_{dB}$