Trigonometry Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $b \sin \alpha = a \sin (\alpha + 2\beta)$.
$\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha + 2\beta)}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin \alpha + \sin (\alpha + 2\beta)}{\sin \alpha - \sin (\alpha + 2\beta)}$.
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રો $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ અને $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\sin \alpha + \sin (\alpha + 2\beta) = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(-\beta) = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos \beta$.
છેદ: $\sin \alpha - \sin (\alpha + 2\beta) = 2 \cos(\alpha + \beta) \sin(-\beta) = -2 \cos(\alpha + \beta) \sin \beta$.
તેથી,$\frac{a + b}{a - b} = \frac{2 \sin(\alpha + \beta) \cos \beta}{-2 \cos(\alpha + \beta) \sin \beta} = -\tan(\alpha + \beta) \cot \beta$.
આને $-\frac{\cot \beta}{\cot(\alpha + \beta)}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{{\sin (B + A) + \cos (B - A)}}{{\sin (B - A) + \cos (B + A)}}$
નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{{\sin (B + A) + \sin(90^\circ - (B - A))}}{{\sin (B - A) + \sin(90^\circ - (B + A))}}$
$= \frac{{\sin (B + A) + \sin(90^\circ - B + A)}}{{\sin (B - A) + \sin(90^\circ - B - A)}}$
સરવાળામાંથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $2 \sin(\frac{B+A+90^\circ-B+A}{2}) \cos(\frac{B+A-90^\circ+B-A}{2}) = 2 \sin(45^\circ+A) \cos(B-45^\circ)$
છેદ: $2 \sin(\frac{B-A+90^\circ-B-A}{2}) \cos(\frac{B-A-90^\circ+B+A}{2}) = 2 \sin(45^\circ-A) \cos(B-45^\circ)$
$\cos(B-45^\circ) = \cos(45^\circ-B)$ હોવાથી:
$= \frac{2 \sin(A+45^\circ) \cos(45^\circ-B)}{2 \sin(45^\circ-A) \cos(45^\circ-B)} = \frac{\sin(A+45^\circ)}{\sin(45^\circ-A)}$
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ અને $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin A \cos 45^\circ + \cos A \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ \cos A - \cos 45^\circ \sin A}$
અંશ અને છેદને $\sin 45^\circ$ વડે ભાગતા:
$= \frac{\sin A + \cos A}{\cos A - \sin A} = \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A}$.

(B) આપેલ છે: $\frac{\sin(x + y)}{\sin(x - y)} = \frac{a + b}{a - b}$
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જે જણાવે છે કે જો $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ હોય,તો $\frac{p + q}{p - q} = \frac{r + s}{r - s}$:
$\frac{\sin(x + y) + \sin(x - y)}{\sin(x + y) - \sin(x - y)} = \frac{(a + b) + (a - b)}{(a + b) - (a - b)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2\sin A \cos B$ અને $\sin(A + B) - \sin(A - B) = 2\cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2\sin x \cos y}{2\cos x \sin y} = \frac{2a}{2b}$
$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{a}{b}$
$\tan x \cdot \frac{1}{\tan y} = \frac{a}{b}$
$\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{a}{b}$

(A) આપેલ છે: $x = \sin A + \sin 2A$ અને $y = \cos A + \cos 2A$.
$x^2 + y^2$ ની ગણતરી કરતા:
$x^2 + y^2 = (\sin A + \sin 2A)^2 + (\cos A + \cos 2A)^2$
$= \sin^2 A + \sin^2 2A + 2 \sin A \sin 2A + \cos^2 A + \cos^2 2A + 2 \cos A \cos 2A$
$= (\sin^2 A + \cos^2 A) + (\sin^2 2A + \cos^2 2A) + 2(\cos 2A \cos A + \sin 2A \sin A)$
$= 1 + 1 + 2 \cos(2A - A)$
$= 2 + 2 \cos A = 2(1 + \cos A)$.
હવે,આ કિંમતને $({x^2} + {y^2})({x^2} + {y^2} - 3)$ પદમાં મૂકતા:
$= [2(1 + \cos A)][2(1 + \cos A) - 3]$
$= [2(1 + \cos A)][2 + 2 \cos A - 3]$
$= [2(1 + \cos A)][2 \cos A - 1]$
$= 2(2 \cos^2 A + \cos A - 1)$
$= 2(2 \cos^2 A - 1 + \cos A)$
$= 2(\cos 2A + \cos A) = 2y$.

(B) ધારો કે અંશ $N = \cos 6x + 6\cos 4x + 15\cos 2x + 10$ છે.
નિત્યસમ $(2\cos x)^n = 2\cos(nx) + 2n\cos((n-2)x) + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(2\cos x)^6 = 2\cos 6x + 12\cos 4x + 30\cos 2x + 20$.
તેથી,$\cos 6x + 6\cos 4x + 15\cos 2x + 10 = \frac{(2\cos x)^6}{2} = 32\cos^6 x$.
તે જ રીતે,છેદ $D = \cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x$ માટે,$(2\cos x)^5 = 2\cos 5x + 10\cos 3x + 20\cos x$.
તેથી,$\cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x = \frac{(2\cos x)^5}{2} = 16\cos^5 x$.
આમ,પદાવલિની કિંમત $\frac{32\cos^6 x}{16\cos^5 x} = 2\cos x$ થાય છે.

(A) દરેક પદને નિત્યસમ $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરો.
$\cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) + \cos \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) + \cos \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 0$.
પદોનું વિતરણ કરતા:
$\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta = 0$.
બધા જ પદો એકબીજા સાથે ઉડી જાય છે:
$(\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta) + (-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha) + (-\cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta) = 0 + 0 + 0 = 0$.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \sin (\beta + \gamma - \alpha ) + \sin (\gamma + \alpha - \beta ) + \sin (\alpha + \beta - \gamma ) - \sin (\alpha + \beta + \gamma )$ છે.
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ,પ્રથમ બે પદોને જોડો:
$\sin (\beta + \gamma - \alpha ) + \sin (\gamma + \alpha - \beta ) = 2 \sin \gamma \cos (\alpha - \beta) = 2 \sin \gamma \cos (\beta - \alpha)$.
ત્યારબાદ,છેલ્લા બે પદોને જોડો:
$\sin (\alpha + \beta - \gamma ) - \sin (\alpha + \beta + \gamma ) = 2 \cos (\alpha + \beta) \sin (-\gamma) = -2 \sin \gamma \cos (\alpha + \beta)$.
હવે,આ પરિણામોને જોડતા:
$E = 2 \sin \gamma [\cos (\beta - \alpha) - \cos (\alpha + \beta)]$.
નિત્યસમ $\cos (A-B) - \cos (A+B) = 2 \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2 \sin \gamma [2 \sin \alpha \sin \beta] = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.

(A) આપેલ છે: $m \tan (\theta - 30^\circ) = n \tan (\theta + 120^\circ)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે: $\frac{m}{n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ)}{\tan (\theta - 30^\circ)}$.
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ) + \tan (\theta - 30^\circ)}{\tan (\theta + 120^\circ) - \tan (\theta - 30^\circ)}$.
નિત્યસમ $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ અને $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\sin((\theta + 120^\circ) + (\theta - 30^\circ))}{\sin((\theta + 120^\circ) - (\theta - 30^\circ))}$.
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\sin(2\theta + 90^\circ)}{\sin(150^\circ)}$.
કારણ કે $\sin(2\theta + 90^\circ) = \cos 2\theta$ અને $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\cos 2\theta}{1/2} = 2 \cos 2\theta$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $2\cos x - (\cos 5x + \cos 3x)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 5x + \cos 3x = 2\cos\left(\frac{5x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 2\cos 4x \cos x$
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$2\cos x - 2\cos 4x \cos x = 2\cos x(1 - \cos 4x)$
નિત્યસમ $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $2\theta = 4x$ (તેથી $\theta = 2x$):
$2\cos x(2\sin^2 2x) = 4\cos x \sin^2 2x$
બમણા ખૂણાના નિત્યસમ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4\cos x (2\sin x \cos x)^2 = 4\cos x (4\sin^2 x \cos^2 x) = 16\sin^2 x \cos^3 x$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $1 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવા માટે પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$= (1 + \cos 6x) + (\cos 2x + \cos 4x)$
$1 + \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ અને $\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2\cos^2 3x + 2\cos(\frac{4x+2x}{2})\cos(\frac{4x-2x}{2})$
$= 2\cos^2 3x + 2\cos 3x \cos x$
$2\cos 3x$ સામાન્ય લેતા:
$= 2\cos 3x (\cos 3x + \cos x)$
$(\cos 3x + \cos x)$ માટે ફરીથી સરવાળાથી ગુણાકારનું સૂત્ર વાપરતા:
$= 2\cos 3x [2\cos(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2})]$
$= 2\cos 3x [2\cos 2x \cos x]$
$= 4\cos x \cos 2x \cos 3x$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\sin A - \sin C}{\cos C - \cos A} = \cot B$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A - \sin C = 2 \cos \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}$
$\cos C - \cos A = 2 \sin \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2 \cos \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}}{2 \sin \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}} = \cot B$
$\cot \frac{A + C}{2} = \cot B$
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{A + C}{2} = B$,અથવા $A + C = 2B$.
આ શરત દર્શાવે છે કે $A, B, C$ એ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) માં છે.

(D) આપણે સૂત્ર $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$\theta = \frac{2\pi}{15}$ અને $n = 4$ છે.
તેથી,$\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{8\pi}{15} \cos \frac{16\pi}{15} = \frac{\sin(2^4 \cdot \frac{2\pi}{15})}{2^4 \sin \frac{2\pi}{15}}$.
$= \frac{\sin(\frac{32\pi}{15})}{16 \sin \frac{2\pi}{15}}$.
કારણ કે $\frac{32\pi}{15} = 2\pi + \frac{2\pi}{15}$,તેથી $\sin(\frac{32\pi}{15}) = \sin(2\pi + \frac{2\pi}{15}) = \sin \frac{2\pi}{15}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\sin \frac{2\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}} = \frac{1}{16}$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\cos^2 \frac{\pi}{12} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{5\pi}{12}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{6})}{2} + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \frac{1 + \cos(\frac{5\pi}{6})}{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{6}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\frac{5\pi}{6})$
$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{5\pi}{6})$
કારણ કે $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$:
$= \frac{3}{2} + \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{6} - \cos \frac{\pi}{6})$
$= \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}$.

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $E = \sin \frac{\pi }{16} \sin \frac{3\pi }{16} \sin \frac{5\pi }{16} \sin \frac{7\pi }{16}$ છે.
નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને નીચે મુજબ જૂથબદ્ધ કરી શકીએ:
$E = \frac{1}{4} [ (2 \sin \frac{\pi }{16} \sin \frac{3\pi }{16}) (2 \sin \frac{5\pi }{16} \sin \frac{7\pi }{16}) ]$
$E = \frac{1}{4} [ (\cos \frac{2\pi }{16} - \cos \frac{4\pi }{16}) (\cos \frac{2\pi }{16} - \cos \frac{12\pi }{16}) ]$
$E = \frac{1}{4} [ (\cos \frac{\pi }{8} - \cos \frac{\pi }{4}) (\cos \frac{\pi }{8} - \cos \frac{3\pi }{4}) ]$
કારણ કે $\cos \frac{3\pi }{4} = -\cos \frac{\pi }{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$E = \frac{1}{4} [ (\cos \frac{\pi }{8} - \frac{1}{\sqrt{2}}) (\cos \frac{\pi }{8} + \frac{1}{\sqrt{2}}) ]$
$E = \frac{1}{4} [ \cos^2 \frac{\pi }{8} - \frac{1}{2} ] = \frac{1}{8} [ 2 \cos^2 \frac{\pi }{8} - 1 ]$
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{8} [ \cos(2 \times \frac{\pi }{8}) ] = \frac{1}{8} \cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16}$.

(D) આપણે નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ અને ગુણાકાર-થી-સરવાળાના સૂત્ર $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $E = \cos^2 76^\circ + \cos^2 16^\circ - \cos 76^\circ \cos 16^\circ$
સરળ બનાવવા માટે $2/2$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{1}{2} [2\cos^2 76^\circ + 2\cos^2 16^\circ - 2\cos 76^\circ \cos 16^\circ]$
$2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 152^\circ) + (1 + \cos 32^\circ) - (\cos(76^\circ + 16^\circ) + \cos(76^\circ - 16^\circ))]$
$E = \frac{1}{2} [2 + \cos 152^\circ + \cos 32^\circ - \cos 92^\circ - \cos 60^\circ]$
$\cos 152^\circ + \cos 32^\circ = 2\cos(\frac{152+32}{2})\cos(\frac{152-32}{2}) = 2\cos 92^\circ \cos 60^\circ = 2\cos 92^\circ (1/2) = \cos 92^\circ$ હોવાથી:
$E = \frac{1}{2} [2 + \cos 92^\circ - \cos 92^\circ - 1/2]$
$E = \frac{1}{2} [3/2] = 3/4$.

(D) આપણે કોસાઇનના ગુણાકાર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$.
અહીં,$\theta = \frac{\pi}{7}$ અને $n = 3$ છે.
તેથી,$\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = \frac{\sin(2^3 \cdot \frac{\pi}{7})}{2^3 \sin(\frac{\pi}{7})}$.
$= \frac{\sin(\frac{8\pi}{7})}{8 \sin(\frac{\pi}{7})}$.
કારણ કે $\sin(\frac{8\pi}{7}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin(\frac{\pi}{7})$.
$= \frac{-\sin(\frac{\pi}{7})}{8 \sin(\frac{\pi}{7})} = -\frac{1}{8}$.

(B) આપણને પદાવલિ $\frac{\tan 70^\circ - \tan 20^\circ}{\tan 50^\circ}$ આપેલ છે.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{\sin 70^\circ}{\cos 70^\circ} - \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}}{\frac{\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}}$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$= \frac{\frac{\sin 70^\circ \cos 20^\circ - \cos 70^\circ \sin 20^\circ}{\cos 70^\circ \cos 20^\circ}}{\frac{\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin(70^\circ - 20^\circ)}{\cos 70^\circ \cos 20^\circ} \times \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}$
$= \frac{\sin 50^\circ}{\cos 70^\circ \cos 20^\circ} \times \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{\cos 50^\circ}{\cos 70^\circ \cos 20^\circ}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2 \cos 50^\circ}{2 \cos 70^\circ \cos 20^\circ}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \cos 50^\circ}{\cos(70^\circ + 20^\circ) + \cos(70^\circ - 20^\circ)}$
$= \frac{2 \cos 50^\circ}{\cos 90^\circ + \cos 50^\circ}$
$\cos 90^\circ = 0$ હોવાથી:
$= \frac{2 \cos 50^\circ}{0 + \cos 50^\circ} = 2$.

(A) નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(\alpha + 120^\circ) + \cos^2(\alpha - 120^\circ) = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos(2\alpha + 240^\circ)}{2} + \frac{1 + \cos(2\alpha - 240^\circ)}{2}$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + \cos(2\alpha + 240^\circ) + \cos(2\alpha - 240^\circ)]$
$\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + 2\cos 2\alpha \cos 240^\circ]$
અહીં $\cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -1/2$ હોવાથી:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + 2\cos 2\alpha (-1/2)]$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha - \cos 2\alpha]$
$= \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\tan 20^\circ + 2\tan 50^\circ - \tan 70^\circ$
$= (\tan 20^\circ - \tan 70^\circ) + 2\tan 50^\circ$
$= (\frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} - \frac{\sin 70^\circ}{\cos 70^\circ}) + 2\tan 50^\circ$
$= \frac{\sin 20^\circ \cos 70^\circ - \cos 20^\circ \sin 70^\circ}{\cos 20^\circ \cos 70^\circ} + 2\tan 50^\circ$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin(20^\circ - 70^\circ)}{\cos 20^\circ \cos 70^\circ} + 2\tan 50^\circ$
$= \frac{\sin(-50^\circ)}{\cos 20^\circ \sin 20^\circ} + 2\tan 50^\circ$ (કારણ કે $\cos 70^\circ = \sin 20^\circ$)
$= \frac{-2\sin 50^\circ}{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ} + 2\tan 50^\circ$
$= \frac{-2\sin 50^\circ}{\sin 40^\circ} + 2\tan 50^\circ$
$\sin 40^\circ = \cos 50^\circ$ હોવાથી:
$= \frac{-2\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ} + 2\tan 50^\circ$
$= -2\tan 50^\circ + 2\tan 50^\circ = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cot^2 15^\circ - 1}{\cot^2 15^\circ + 1} = \frac{\frac{\cos^2 15^\circ}{\sin^2 15^\circ} - 1}{\frac{\cos^2 15^\circ}{\sin^2 15^\circ} + 1}$
$= \frac{\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ}{\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ અને $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\cos(2 \times 15^\circ)}{1} = \cos 30^\circ$
કારણ કે $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી અંતિમ જવાબ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \phi = \frac{4}{5}$.
કારણ કે $\theta$ અને $\phi$ લઘુકોણ છે,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ અને $\sin \phi = \sqrt{1 - \cos^2 \phi} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$.
સૂત્ર $\cos(\theta - \phi) = \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\theta - \phi) = (\frac{3}{5})(\frac{4}{5}) + (\frac{4}{5})(\frac{3}{5}) = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $2\cos^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = 1 + \cos(\theta - \phi)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$.
$\cos^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = \frac{49}{50}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\cos(\frac{\theta - \phi}{2}) = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ છે કે $\sec \theta = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sec \theta = \frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$.
$\sec \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{5}{4} = \frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5(1 - \tan^2(\theta/2)) = 4(1 + \tan^2(\theta/2))$.
$5 - 5\tan^2(\theta/2) = 4 + 4\tan^2(\theta/2)$.
$5 - 4 = 4\tan^2(\theta/2) + 5\tan^2(\theta/2)$.
$1 = 9\tan^2(\theta/2)$.
$\tan^2(\theta/2) = \frac{1}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\tan(\theta/2) = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $\tan \frac{A}{2} = \frac{3}{2}$.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $1 + \cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$ અને $1 - \cos A = 2 \sin^2 \frac{A}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 + \cos A}{1 - \cos A} = \frac{2 \cos^2 \frac{A}{2}}{2 \sin^2 \frac{A}{2}}$
$= \cot^2 \frac{A}{2}$
કારણ કે $\tan \frac{A}{2} = \frac{3}{2}$,તેથી $\cot \frac{A}{2} = \frac{1}{\tan \frac{A}{2}} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\cot^2 \frac{A}{2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$.

(D) આપેલ છે કે $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય,તેથી $A = 30^{\circ}$ મળે.
હવે,આપણે $\tan 3A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$A = 30^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\tan 3(30^{\circ}) = \tan 90^{\circ}$ મળે.
$\tan 90^{\circ}$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,તેની કિંમત $\infty$ થાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2A = 2\sin A \cos A$.
$\sin 4\theta$ માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta$.
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ અને $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\sin 4\theta = 2(2\sin \theta \cos \theta)(1 - 2\sin^2 \theta)$.
કારણ કે $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$,તેથી આ કિંમત મૂકતા આખું સમીકરણ $\sin \theta$ ના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ મળે છે:
$\sin 4\theta = 4\sin \theta \sqrt{1 - \sin^2 \theta} (1 - 2\sin^2 \theta)$.

(B) આપેલ છે: $\cos 2B = \frac{\cos (A + C)}{\cos (A - C)}$
$\cos(A+C)$ અને $\cos(A-C)$ માટેના વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2B = \frac{\cos A \cos C - \sin A \sin C}{\cos A \cos C + \sin A \sin C}$
અંશ અને છેદને $\cos A \cos C$ વડે ભાગતા:
$\cos 2B = \frac{1 - \tan A \tan C}{1 + \tan A \tan C}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2B = \frac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B}$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B} = \frac{1 - \tan A \tan C}{1 + \tan A \tan C}$
ક્રોસ ગુણાકાર કરતા:
$(1 - \tan^2 B)(1 + \tan A \tan C) = (1 + \tan^2 B)(1 - \tan A \tan C)$
$1 + \tan A \tan C - \tan^2 B - \tan^2 B \tan A \tan C = 1 - \tan A \tan C + \tan^2 B - \tan^2 B \tan A \tan C$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2 \tan A \tan C = 2 \tan^2 B$
$\tan^2 B = \tan A \tan C$
જેથી,$\tan A, \tan B, \tan C$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે કે $a \tan \theta = b$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{b}{a}$.
આપણે પદાવલિ $a \cos 2\theta + b \sin 2\theta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\tan \theta$ ના સ્વરૂપમાં બેવડા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
આ સૂત્રોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
$\tan \theta = \frac{b}{a}$ મૂકતા:
$= a \left( \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right) + b \left( \frac{2 \frac{b}{a}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right)$
$= a \left( \frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}{\frac{a^2 + b^2}{a^2}} \right) + b \left( \frac{\frac{2b}{a}}{\frac{a^2 + b^2}{a^2}} \right)$
$= a \left( \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right) + b \left( \frac{2ab}{a^2 + b^2} \right)$
$= \frac{a^3 - ab^2 + 2ab^2}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a^3 + ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left( \frac{\sin 2A}{1 + \cos 2A} \right) \left( \frac{\cos A}{1 + \cos A} \right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$
$1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$
આ કિંમતો પ્રથમ ભાગમાં મૂકતા:
$\frac{2 \sin A \cos A}{2 \cos^2 A} = \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A$
હવે,પદાવલિ નીચે મુજબ બનશે:
$\tan A \cdot \frac{\cos A}{1 + \cos A} = \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\cos A}{1 + \cos A} = \frac{\sin A}{1 + \cos A}$
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$
$1 + \cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$
તેથી:
$\frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{2 \cos^2 \frac{A}{2}} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} = \tan \frac{A}{2}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{{\tan 3A - \tan A}} - \frac{1}{{\cot 3A - \cot A}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$. આ કિંમત બીજા પદમાં મૂકતા:
$\frac{1}{{\cot 3A - \cot A}} = \frac{1}{{\frac{1}{\tan 3A} - \frac{1}{\tan A}}} = \frac{1}{{\frac{\tan A - \tan 3A}{\tan 3A \tan A}}} = \frac{\tan 3A \tan A}{\tan A - \tan 3A} = -\frac{\tan 3A \tan A}{\tan 3A - \tan A}$
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{1}{{\tan 3A - \tan A}} - \left( -\frac{\tan 3A \tan A}{\tan 3A - \tan A} \right)$
$= \frac{1 + \tan 3A \tan A}{\tan 3A - \tan A}$
નિત્યસમ $\tan(X - Y) = \frac{\tan X - \tan Y}{1 + \tan X \tan Y}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan(3A - A) = \frac{\tan 3A - \tan A}{1 + \tan 3A \tan A}$.
તેથી,$\frac{1 + \tan 3A \tan A}{\tan 3A - \tan A} = \frac{1}{\tan(3A - A)} = \frac{1}{\tan 2A} = \cot 2A$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\text{cosec } A - 2 \cot 2A \cos A$
$= \frac{1}{\sin A} - \frac{2 \cos A \cos 2A}{\sin 2A}$
$= \frac{1}{\sin A} - \frac{2 \cos A \cos 2A}{2 \sin A \cos A}$
$= \frac{1}{\sin A} - \frac{\cos 2A}{\sin A}$
$= \frac{1 - \cos 2A}{\sin A}$
નિત્યસમ $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin^2 A}{\sin A}$
$= 2 \sin A$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos 4\theta } }$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos 2A = 2\cos^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $2 + 2\cos 4\theta = 2(1 + \cos 4\theta) = 2(2\cos^2 2\theta) = 4\cos^2 2\theta$.
આ કિંમતને અંદરના વર્ગમૂળમાં મૂકતા:
$\sqrt {2 + \sqrt {4\cos^2 2\theta } } = \sqrt {2 + 2\cos 2\theta }$
ફરીથી,$1 + \cos 2A = 2\cos^2 A$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$2 + 2\cos 2\theta = 2(1 + \cos 2\theta) = 2(2\cos^2 \theta) = 4\cos^2 \theta$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt {4\cos^2 \theta } = 2\cos \theta$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + 2\cos \alpha \cos \beta) + (\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta)$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$
$= 1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta)$
$= 2 + 2\cos(\alpha - \beta)$
$= 2(1 + \cos(\alpha - \beta))$
નિત્યસમ $1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 2(2\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2}))$
$= 4\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2})$.

(B) આપેલ છે કે,$\tan x = \frac{b}{a}.$
ધારો કે પદાવલિ $E = \sqrt {\frac{{a + b}}{{a - b}}} + \sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}}.$
વર્ગમૂળની અંદરના દરેક પદના અંશ અને છેદને $a$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$E = \sqrt {\frac{{1 + b/a}}{{1 - b/a}}} + \sqrt {\frac{{1 - b/a}}{{1 + b/a}}} = \sqrt {\frac{{1 + \tan x}}{{1 - \tan x}}} + \sqrt {\frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}}.$
સામાન્ય છેદ લેતા:
$E = \frac{{(1 + \tan x) + (1 - \tan x)}}{{\sqrt {(1 - \tan x)(1 + \tan x)} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 - \tan^2 x} }}.$
$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ મૂકતા:
$E = \frac{2}{{\sqrt {1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} }} = \frac{2}{{\sqrt {\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}} }} = \frac{2\cos x}{{\sqrt {\cos 2x} }}.$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{{\sin 3A - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - A} \right)}}{{\cos A + \cos (\pi + 3A)}}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - A} \right) = \sin A$
$2$. $\cos (\pi + 3A) = -\cos 3A$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મુકતા:
$= \frac{{\sin 3A - \sin A}}{{\cos A - \cos 3A}}$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin C - \sin D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$
$\cos D - \cos C = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$
અંશ: $\sin 3A - \sin A = 2 \cos 2A \sin A$
છેદ: $\cos A - \cos 3A = 2 \sin 2A \sin A$
$= \frac{{2 \cos 2A \sin A}}{{2 \sin 2A \sin A}}$
$= \frac{{\cos 2A}}{{\sin 2A}} = \cot 2A$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 3A$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}$
આપેલ છે કે $\tan A = \frac{1}{2}$.
સૂત્રમાં $\tan A$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tan 3A = \frac{3(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^3}{1 - 3(\frac{1}{2})^2}$
$= \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{8}}{1 - 3(\frac{1}{4})}$
$= \frac{\frac{12 - 1}{8}}{1 - \frac{3}{4}}$
$= \frac{\frac{11}{8}}{\frac{4 - 3}{4}}$
$= \frac{11}{8} \times \frac{4}{1} = \frac{11}{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{{\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 - \sin x} }}{{\sqrt {1 + \sin x} - \sqrt {1 - \sin x} }}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin x = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$
અને $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$
જ્યારે $x$ એ $II^{nd}$ ચરણમાં હોય,ત્યારે $\frac{\pi}{2} < x < \pi$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$.
આ અંતરાલમાં,$\cos \frac{x}{2} > 0$ અને $\sin \frac{x}{2} > 0$,અને $\cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2}$.
તેથી,$\sqrt{1 + \sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ અને $\sqrt{1 - \sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}$
$E = \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} = \cot \frac{x}{2}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(\sec 2A + 1){\sec ^2}A$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec 2A = \frac{1}{\cos 2A} = \frac{1 + \tan^2 A}{1 - \tan^2 A}$ અને $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \left( \frac{1 + \tan^2 A}{1 - \tan^2 A} + 1 \right) (1 + \tan^2 A)$
$= \left( \frac{1 + \tan^2 A + 1 - \tan^2 A}{1 - \tan^2 A} \right) (1 + \tan^2 A)$
$= \left( \frac{2}{1 - \tan^2 A} \right) (1 + \tan^2 A)$
$= 2 \cdot \frac{1 + \tan^2 A}{1 - \tan^2 A}$
કારણ કે $\cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$,તેથી $\sec 2A = \frac{1 + \tan^2 A}{1 - \tan^2 A}$ થાય.
આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $2 \sec 2A$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $2\sin A{\cos ^3}A - 2{\sin ^3}A\cos A$
પગલું $1$: પદાવલિમાંથી $2\sin A\cos A$ સામાન્ય કાઢતા:
$= 2\sin A\cos A(\cos^2 A - \sin^2 A)$
પગલું $2$: બે ખૂણાના નિત્યસમ $\sin 2A = 2\sin A\cos A$ અને $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin 2A \cdot \cos 2A$
પગલું $3$: $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરવા માટે $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,જ્યાં $\theta = 2A$:
$= \frac{1}{2}(2\sin 2A \cos 2A)$
$= \frac{1}{2}\sin 4A$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin \theta + \sin 2\theta }{1 + \cos \theta + \cos 2\theta }$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ અને $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{\sin \theta + 2\sin \theta \cos \theta }{1 + \cos \theta + (2\cos^2 \theta - 1)}$
$= \frac{\sin \theta (1 + 2\cos \theta )}{\cos \theta + 2\cos^2 \theta }$
$= \frac{\sin \theta (1 + 2\cos \theta )}{\cos \theta (1 + 2\cos \theta )}$
$= \frac{\sin \theta }{\cos \theta } = \tan \theta $.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$\frac{2\sin \alpha}{1 + \cos \alpha + \sin \alpha} = y$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$,$1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{2(2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2})}{2\cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = y$.
અંશ અને છેદને $2\cos \frac{\alpha}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}} = y$.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{1 - \cos \alpha + \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}$ ને ધ્યાનમાં લો.
$1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$ અને $\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $2\sin^2 \frac{\alpha}{2} + 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2\sin \frac{\alpha}{2} (\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})$ થાય છે.
છેદ $1 + \sin \alpha = (\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})^2$ થાય છે.
આમ,$E = \frac{2\sin \frac{\alpha}{2} (\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})}{(\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})^2} = \frac{2\sin \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2}} = y$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$. કારણ કે $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
આમ,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$.
હવે,$\tan 2\beta = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/3)}{1 - (1/3)^2} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$.
હવે,$\tan(\alpha + 2\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2\beta}{1 - \tan \alpha \tan 2\beta} = \frac{1/7 + 3/4}{1 - (1/7)(3/4)} = \frac{(4+21)/28}{(28-3)/28} = \frac{25}{25} = 1$.
કારણ કે $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ અને $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $0 < 2\beta < \frac{\pi}{2}$ (કારણ કે $\tan 2\beta = 3/4 > 0$).
આમ,$0 < \alpha + 2\beta < \pi$. તેથી $\tan(\alpha + 2\beta) = 1$ હોવાથી,$\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{4}$ થાય.
તેથી,$2\beta = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

(A) આપેલ છે કે $\cos (\theta - \alpha ), \cos \theta, \cos (\theta + \alpha )$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{\cos (\theta - \alpha )}, \frac{1}{\cos \theta}, \frac{1}{\cos (\theta + \alpha )}$ એ $A.P.$ માં હશે.
આનો અર્થ એ છે કે: $\frac{2}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos (\theta - \alpha )} + \frac{1}{\cos (\theta + \alpha )}$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos (\theta + \alpha ) + \cos (\theta - \alpha )}{\cos (\theta - \alpha ) \cos (\theta + \alpha )}$
નિત્યસમ $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ અને $\cos (A-B) \cos (A+B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \alpha}{\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha = \cos^2 \theta \cos \alpha$
$\cos^2 \theta (1 - \cos \alpha ) = \sin^2 \alpha$
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ અને $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2})^2$
$\cos^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\cos^2 \theta \sec^2 \frac{\alpha}{2} = 2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\cos \theta \sec \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે: $\sin \theta + \sin \phi = a$ $(i)$ અને $\cos \theta + \cos \phi = b$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin \theta + \sin \phi)^2 + (\cos \theta + \cos \phi)^2 = a^2 + b^2$
$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) + 2(\sin \theta \sin \phi + \cos \theta \cos \phi) = a^2 + b^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\theta - \phi) = a^2 + b^2$
$2 \cos(\theta - \phi) = a^2 + b^2 - 2$
$\cos(\theta - \phi) = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2}$.
નિત્યસમ $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 - \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})}{1 + \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})} = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2}$.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{(1 + \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})) + (1 - \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2}))}{(1 + \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})) - (1 - \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2}))} = \frac{2 + (a^2 + b^2 - 2)}{2 - (a^2 + b^2 - 2)}$
$\frac{2}{2 \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})} = \frac{a^2 + b^2}{4 - a^2 - b^2}$
$\tan^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = \frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$
$\tan(\frac{\theta - \phi}{2}) = \sqrt{\frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}}$.

(A) આપેલ છે કે $\tan A = \frac{1 - \cos B}{\sin B}$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1 - \cos B = 2\sin^2(B/2)$ અને $\sin B = 2\sin(B/2)\cos(B/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan A = \frac{2\sin^2(B/2)}{2\sin(B/2)\cos(B/2)} = \frac{\sin(B/2)}{\cos(B/2)} = \tan(B/2)$.
તેથી,$A = B/2$,જેનો અર્થ છે કે $2A = B$.
આમ,$\tan 2A = \tan B$.

(D) કારણ કે $\sin \beta$ એ $\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ વચ્ચેનો ગુણોત્તર મધ્યક છે,
$\sin^2 \beta = \sin \alpha \cos \alpha.$
હવે,$\cos 2\beta = 1 - 2\sin^2 \beta = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha.$
નિત્યસમ $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos 2\beta = 1 - \sin 2\alpha.$
કારણ કે $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha,$ તેથી $\cos 2\beta = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)^2.$
આને આ રીતે લખી શકાય: $2\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha \right)^2 = 2\left( \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha \right)^2 = 2\sin^2\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right).$
આ વિકલ્પ $(a)$ સાથે મેળ ખાય છે.
વળી,$\cos^2 \theta = \sin^2(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\sin^2\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = 2\cos^2\left( \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha) \right) = 2\cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right).$
આ વિકલ્પ $(b)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sec 8A - 1}{\sec 4A - 1}$
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\frac{1}{\cos 8A} - 1}{\frac{1}{\cos 4A} - 1} = \frac{1 - \cos 8A}{\cos 8A} \cdot \frac{\cos 4A}{1 - \cos 4A}$
નિત્યસમ $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2\sin^2 4A}{\cos 8A} \cdot \frac{\cos 4A}{2\sin^2 2A}$
$= \frac{(2\sin 4A \cos 4A) \cdot \sin 4A}{\cos 8A \cdot 2\sin^2 2A}$
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ હોવાથી,$\sin 8A = 2\sin 4A \cos 4A$:
$= \frac{\sin 8A}{\cos 8A} \cdot \frac{\sin 4A}{2\sin^2 2A}$
$= \tan 8A \cdot \frac{2\sin 2A \cos 2A}{2\sin^2 2A}$
$= \tan 8A \cdot \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \tan 8A \cdot \cot 2A = \frac{\tan 8A}{\tan 2A}$

(C) આપણે ગુણાકારને સરવાળામાં ફેરવવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: $2\sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)$.
આ સૂત્રને $32\sin \left( \frac{A}{2} \right)\sin \left( \frac{5A}{2} \right)$ પદ માટે લાગુ પાડતા:
$= 16 \times [2\sin \left( \frac{A}{2} \right)\sin \left( \frac{5A}{2} \right)]$
$= 16 \times [\cos \left( \frac{5A}{2} - \frac{A}{2} \right) - \cos \left( \frac{5A}{2} + \frac{A}{2} \right)]$
$= 16 \times [\cos(2A) - \cos(3A)]$
નિત્યસમ $\cos(2A) = 2\cos^2 A - 1$ અને $\cos(3A) = 4\cos^3 A - 3\cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 16 \times [(2\cos^2 A - 1) - (4\cos^3 A - 3\cos A)]$
આપેલ છે કે $\cos A = \frac{3}{4}$,આ કિંમત મૂકતા:
$= 16 \times [2(\frac{3}{4})^2 - 1 - 4(\frac{3}{4})^3 + 3(\frac{3}{4})]$
$= 16 \times [2(\frac{9}{16}) - 1 - 4(\frac{27}{64}) + \frac{9}{4}]$
$= 16 \times [\frac{9}{8} - 1 - \frac{27}{16} + \frac{9}{4}]$
$= 16 \times [\frac{18 - 16 - 27 + 36}{16}]$
$= 18 - 16 - 27 + 36 = 11$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
$\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ)$
$= \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$
$= \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1 \cdot (1/\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} - 1)/\sqrt{3}}{(\sqrt{3} + 1)/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan \alpha = \frac{1}{7}$.
સૂત્ર $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\alpha = \frac{1 - (1/7)^2}{1 + (1/7)^2} = \frac{1 - 1/49}{1 + 1/49} = \frac{48/49}{50/49} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25}$.
આપેલ છે કે $\tan \beta = \frac{1}{3}$.
સૂત્ર $\sin 2\beta = \frac{2 \tan \beta}{1 + \tan^2 \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2\beta = \frac{2(1/3)}{1 + (1/3)^2} = \frac{2/3}{1 + 1/9} = \frac{2/3}{10/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $\sin 2\beta = \frac{3}{5}$,તેથી $\cos 2\beta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \frac{4}{5}$.
હવે,$\sin 4\beta = 2 \sin 2\beta \cos 2\beta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$.
આમ,$\cos 2\alpha = \sin 4\beta$.

(C) આપેલ છે કે $\tan \beta = \cos \theta \tan \alpha$,તેથી $\cos \theta = \frac{\tan \beta}{\tan \alpha}$ મળે.
નિત્યસમ $\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $\cos \theta$ ની કિંમત મૂકીએ:
$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \frac{\tan \beta}{\tan \alpha}}{1 + \frac{\tan \beta}{\tan \alpha}}$
$= \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta}$
$= \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}$
$= \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$
$= \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\sin (\alpha + \beta)}$.