Trigonometry Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\cos A = \frac{3}{4}$.
ગુણાકારને સરવાળામાં ફેરવતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2\sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y)$.
અહીં,$X = \frac{A}{2}$ અને $Y = \frac{5A}{2}$ છે.
$32\sin \frac{A}{2}\cos \frac{5A}{2} = 16 \times (2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{5A}{2})$
$= 16 \times [\sin(\frac{A}{2} + \frac{5A}{2}) + \sin(\frac{A}{2} - \frac{5A}{2})]$
$= 16 \times [\sin(3A) + \sin(-2A)]$
$= 16 \times [\sin(3A) - \sin(2A)]$
$\sin(3A) = 3\sin A - 4\sin^3 A$ અને $\sin(2A) = 2\sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 16 \times [3\sin A - 4\sin^3 A - 2\sin A \cos A]$
$= 16\sin A [3 - 4\sin^2 A - 2\cos A]$
$\cos A = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\sin^2 A = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$,તેથી $\sin A = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
$= 16 \times \frac{\sqrt{7}}{4} [3 - 4(\frac{7}{16}) - 2(\frac{3}{4})]$
$= 4\sqrt{7} [3 - \frac{7}{4} - \frac{3}{2}]$
$= 4\sqrt{7} [\frac{12 - 7 - 6}{4}] = 4\sqrt{7} [-\frac{1}{4}] = -\sqrt{7}$.

(D) આપેલ છે કે,$\tan \theta = \frac{1}{7}$ અને $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
કારણ કે $\theta$ એ $1^{st}$ ચરણમાં છે,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{50}}$ અને $\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{50}}$.
કારણ કે $\phi$ એ $1^{st}$ ચરણમાં છે,તેથી $\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
હવે,$\cos 2\phi$ અને $\sin 2\phi$ ની ગણતરી કરીએ:
$\cos 2\phi = 2\cos^2 \phi - 1 = 2(\frac{9}{10}) - 1 = \frac{18}{10} - 1 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
$\sin 2\phi = 2\sin \phi \cos \phi = 2(\frac{1}{\sqrt{10}})(\frac{3}{\sqrt{10}}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
હવે,$\cos(\theta + 2\phi)$ ની ગણતરી કરીએ:
$\cos(\theta + 2\phi) = \cos \theta \cos 2\phi - \sin \theta \sin 2\phi$
$= (\frac{7}{\sqrt{50}})(\frac{8}{10}) - (\frac{1}{\sqrt{50}})(\frac{6}{10})$
$= \frac{56 - 6}{10\sqrt{50}} = \frac{50}{10\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\cos(\theta + 2\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\theta + 2\phi = 45^\circ$ થાય.

(D) આપણી પાસે $\frac{\cos A}{1 - \sin A}$ છે.
અંશ અને છેદને $(1 + \sin A)$ વડે ગુણતા:
$\frac{\cos A(1 + \sin A)}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)} = \frac{\cos A(1 + \sin A)}{1 - \sin^2 A} = \frac{\cos A(1 + \sin A)}{\cos^2 A} = \frac{1 + \sin A}{\cos A}$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ અને $\cos A = \cos^2 \frac{A}{2} - \sin^2 \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})^2}{(\cos \frac{A}{2} - \sin \frac{A}{2})(\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})} = \frac{\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2} - \sin \frac{A}{2}}$.
અંશ અને છેદને $\cos \frac{A}{2}$ વડે ભાગતા:
$= \frac{1 + \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{A}{2} \right)$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ અને $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (એટલે કે $\alpha$ એ $III$ ચરણમાં છે).
$III$ ચરણમાં $\cos \alpha$ ઋણ હોય છે.
$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.
કારણ કે $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2},$ તેને $2$ વડે ભાગતા $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\alpha}{2}$ એ $II$ ચરણમાં છે,જ્યાં $\cos$ ઋણ હોય છે.
અડધા ખૂણાનું સૂત્ર $\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$ છે.
$\cos \alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + (-4/5)}{2}} = -\sqrt{\frac{1/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sec 2x - \tan 2x$
$= \frac{1}{\cos 2x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{1 - \sin 2x}{\cos 2x}$
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$,અને $1 = \cos^2 x + \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{(\cos x - \sin x)^2}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$
$= \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$= \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{4} = 1$,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$= \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right)$.

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta + \cos \theta = x.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = x^2.$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1,$ તેથી $1 + \sin 2\theta = x^2,$ જેનો અર્થ છે કે $\sin 2\theta = x^2 - 1.$
કારણ કે $\sin 2\theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $-1 \le x^2 - 1 \le 1$ હોવું જોઈએ,જેનું સાદું રૂપ $0 \le x^2 \le 2$ થાય છે.
હવે,પદ ${\sin ^6}\theta + {\cos ^6}\theta$ ને ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \sin^2 \theta$ અને $b = \cos^2 \theta,$
${\sin ^6}\theta + {\cos ^6}\theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta).$
$= 1^3 - 3(\sin \theta \cos \theta)^2 (1) = 1 - 3(\frac{\sin 2\theta}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2\theta.$
$\sin 2\theta = x^2 - 1$ મૂકતા,
$= 1 - \frac{3}{4}(x^2 - 1)^2 = \frac{1}{4}[4 - 3(x^2 - 1)^2].$
આ નિત્યસમ ત્યારે જ સાચું ઠરે છે જ્યારે $\sin 2\theta$ વ્યાખ્યાયિત હોય,જેના માટે $x^2 \le 2$ હોવું જરૂરી છે.

(A) આપેલ છે કે $\tan \theta = t.$
આપણે ડબલ એંગલ (બમણા ખૂણા) ના સૂત્રો જાણીએ છીએ:
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2t}{1 - t^2}$
$\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$
તેથી,$\sec 2\theta = \frac{1}{\cos 2\theta} = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}$
હવે,$\tan 2\theta + \sec 2\theta = \frac{2t}{1 - t^2} + \frac{1 + t^2}{1 - t^2}$
$= \frac{2t + 1 + t^2}{1 - t^2} = \frac{(1 + t)^2}{(1 - t)(1 + t)}$
$= \frac{1 + t}{1 - t}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{{\sqrt 2 - \sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}$
$= \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \alpha + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos \alpha } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \alpha - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos \alpha } \right)}}$
$= \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)}}$
ધારો કે $\theta = \alpha - \frac{\pi }{4}$. તો પદાવલિ $\frac{{\sqrt 2 (1 - \cos \theta )}}{{\sqrt 2 \sin \theta }} = \frac{{1 - \cos \theta }}{{\sin \theta }}$ બને છે.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{{2{{\sin }^2}(\theta /2)}}{{2\sin (\theta /2)\cos (\theta /2)}} = \tan \frac{\theta }{2}$
$\theta = \alpha - \frac{\pi }{4}$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$= \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{8}} \right)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right)$.
નિત્યસમમાં $\cos \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos 3\theta = 4 \left[ \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right) \right]^3 - 3 \left[ \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right) \right]$
$\cos 3\theta = 4 \cdot \frac{1}{8} \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 - \frac{3}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right)$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 - \frac{3}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right)$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right) \left[ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 - 3 \right]$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right) \left[ a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} - 3 \right]$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right) \left[ a^2 - 1 + \frac{1}{a^2} \right]$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a^3 - a + \frac{1}{a} + a - \frac{1}{a} + \frac{1}{a^3} \right)$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a^3 + \frac{1}{a^3} \right)$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $25\cos^2\theta + 5\cos\theta - 12 = 0$ છે. ધારો કે $x = \cos\theta$,તેથી $25x^2 + 5x - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(25)(-12)}}{50} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{50} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{50} = \frac{-5 \pm 35}{50}$.
આમ,$\cos\alpha$ માટે બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $x_1 = 3/5$ અને $x_2 = -4/5$.
ચરણ $\pi/2 < \alpha < \pi$ હોવાથી,$\alpha$ બીજા ચરણમાં છે,જ્યાં $\cos\alpha$ ઋણ હોય છે. તેથી,$\cos\alpha = -4/5$.
હવે,$\sin\alpha$ શોધીએ: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (-4/5)^2} = 3/5$ (બીજા ચરણમાં $\sin$ ધન હોય છે).
અંતે,$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2(3/5)(-4/5) = -24/25$.

(C) આપેલ છે કે $A = 133^\circ$,તેથી $\frac{A}{2} = 66.5^\circ$.
કારણ કે $45^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ$,તેથી $\sin \frac{A}{2} > \cos \frac{A}{2} > 0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin A = \sin^2 \frac{A}{2} + \cos^2 \frac{A}{2} + 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2})^2$.
તેથી,$\sqrt{1 + \sin A} = |\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2}| = \sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2}$ (કારણ કે બંને ધન છે).
તે જ રીતે,$1 - \sin A = \sin^2 \frac{A}{2} + \cos^2 \frac{A}{2} - 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = (\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2})^2$.
તેથી,$\sqrt{1 - \sin A} = |\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}| = \sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}$ (કારણ કે $\sin \frac{A}{2} > \cos \frac{A}{2}$).
બંને પદોની બાદબાકી કરતા: $\sqrt{1 + \sin A} - \sqrt{1 - \sin A} = (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2}) - (\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}) = 2\cos \frac{A}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin A = \frac{4}{5}$ અને $90^\circ < A < 180^\circ$ (બીજું ચરણ).
બીજા ચરણમાં $\sin A$ ધન અને $\cos A$ ઋણ હોય છે,તેથી $\cos A = -\sqrt{1 - \sin^2 A} = -\sqrt{1 - (4/5)^2} = -\sqrt{1 - 16/25} = -\sqrt{9/25} = -3/5$.
હવે,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{4/5}{-3/5} = -4/3$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan A = \frac{2 \tan(A/2)}{1 - \tan^2(A/2)}$.
ધારો કે $P = \tan(A/2)$. તો $-4/3 = \frac{2P}{1 - P^2}$.
$-4(1 - P^2) = 6P \implies -4 + 4P^2 = 6P \implies 4P^2 - 6P - 4 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $2P^2 - 3P - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2P + 1)(P - 2) = 0$.
તેથી,$P = -1/2$ અથવા $P = 2$.
ચૂકવણી મુજબ $90^\circ < A < 180^\circ$ હોવાથી,$45^\circ < A/2 < 90^\circ$ થાય. આ અંતરાલમાં $\tan(A/2)$ ધન હોવું જોઈએ.
તેથી,$\tan(A/2) = 2$.

(B) આપેલ છે: $2\tan A = 3\tan B \implies \tan A = \frac{3}{2}\tan B$.
ધારો કે $\tan B = t$,તો $\tan A = \frac{3}{2}t$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2B = \frac{2t}{1 + t^2}$ અને $\cos 2B = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$.
આ કિંમતોને $\frac{\sin 2B}{5 - \cos 2B}$ માં મૂકતા:
$= \frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{5 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} = \frac{2t}{5(1 + t^2) - (1 - t^2)} = \frac{2t}{5 + 5t^2 - 1 + t^2} = \frac{2t}{4 + 6t^2} = \frac{t}{2 + 3t^2}$.
હવે,$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \frac{\frac{3}{2}t - t}{1 + (\frac{3}{2}t)(t)} = \frac{\frac{1}{2}t}{1 + \frac{3}{2}t^2} = \frac{t}{2 + 3t^2}$.
બંને પદ સમાન હોવાથી,જવાબ $\tan(A - B)$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = 2\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$.
વિસ્તરણ સૂત્રો $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ અને $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = 2 \left( \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}$.
પદોને ગોઠવતા:
$3 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}$.
બંને બાજુ $3 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{1}{3}$.

(B) આપેલ છે,$\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} = 2\cos \theta$ --- $(i)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$x + \frac{1}{x} + 2 = 4\cos^2 \theta$
$x + \frac{1}{x} = 4\cos^2 \theta - 2 = 2(2\cos^2 \theta - 1) = 2\cos 2\theta$ --- $(ii)$
$(ii)$ ની બંને બાજુ ફરીથી વર્ગ કરતા:
$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 4\cos^2 2\theta$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4\cos^2 2\theta - 2 = 2(2\cos^2 2\theta - 1) = 2\cos 4\theta$ --- $(iii)$
હવે,$(iii)$ ની બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(x^2 + \frac{1}{x^2})^3 = (2\cos 4\theta)^3$
$x^6 + \frac{1}{x^6} + 3(x^2 \cdot \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 8\cos^3 4\theta$
$x^6 + \frac{1}{x^6} + 3(2\cos 4\theta) = 8\cos^3 4\theta$
$x^6 + \frac{1}{x^6} = 8\cos^3 4\theta - 6\cos 4\theta$
$x^6 + \frac{1}{x^6} = 2(4\cos^3 4\theta - 3\cos 4\theta)$
નિત્યસમ $\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^6 + \frac{1}{x^6} = 2\cos(3 \cdot 4\theta) = 2\cos 12\theta$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$\sin 2\theta + \sin 2\phi = 1/2$ --- $(i)$
$\cos 2\theta + \cos 2\phi = 3/2$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin 2\theta + \sin 2\phi)^2 + (\cos 2\theta + \cos 2\phi)^2 = (1/2)^2 + (3/2)^2$
$(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) + (\sin^2 2\phi + \cos^2 2\phi) + 2(\sin 2\theta \sin 2\phi + \cos 2\theta \cos 2\phi) = 1/4 + 9/4$
$1 + 1 + 2 \cos(2\theta - 2\phi) = 10/4$
$2 + 2 \cos(2\theta - 2\phi) = 5/2$
$2 \cos(2\theta - 2\phi) = 5/2 - 2 = 1/2$
$\cos(2\theta - 2\phi) = 1/4$
નિત્યસમ $\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos^2(\theta - \phi) - 1 = 1/4$
$2 \cos^2(\theta - \phi) = 1 + 1/4 = 5/4$
$\cos^2(\theta - \phi) = 5/8$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = \cos 2(\theta + \phi ) - 4\cos (\theta + \phi )\sin \theta \sin \phi + 2\sin^2 \phi$
નિત્યસમ $2\sin \theta \sin \phi = \cos(\theta - \phi) - \cos(\theta + \phi)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos 2(\theta + \phi) - 2\cos(\theta + \phi)[\cos(\theta - \phi) - \cos(\theta + \phi)] + 2\sin^2 \phi$
$E = \cos 2(\theta + \phi) - 2\cos(\theta + \phi)\cos(\theta - \phi) + 2\cos^2(\theta + \phi) + 2\sin^2 \phi$
$2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos 2(\theta + \phi) - [\cos 2\theta + \cos 2\phi] + 2\cos^2(\theta + \phi) + 2\sin^2 \phi$
$2\cos^2 A = 1 + \cos 2A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos 2(\theta + \phi) - \cos 2\theta - \cos 2\phi + 1 + \cos 2(\theta + \phi) + 2\sin^2 \phi$
$1 - \cos 2\phi = 2\sin^2 \phi$ હોવાથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$E = 2\cos 2(\theta + \phi) - \cos 2\theta + 2\sin^2 \phi + 2\sin^2 \phi - \cos 2\phi$
વૈકલ્પિક રીતે,$\theta = \phi = \frac{\pi}{4}$ લેતા:
$E = \cos 2(\frac{\pi}{2}) - 4\cos(\frac{\pi}{2})\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) + 2\sin^2(\frac{\pi}{4}) = \cos \pi - 0 + 2(\frac{1}{2}) = -1 + 1 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,$\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે:
$(a) \cos 2(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
તેથી,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(C) દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$A) \sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$,જે અસંમેય છે.
$B) \cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$,જે અસંમેય છે.
$C) \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$,જે સંમેય છે.
$D) \sin 15^\circ \cos 75^\circ = \sin 15^\circ \sin 15^\circ = \sin^2 15^\circ = \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{8} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$,જે અસંમેય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે: $\sin A + \cos A = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin A + \cos A)^2 = (\sqrt{2})^2$
$\sin^2 A + \cos^2 A + 2 \sin A \cos A = 2$
કારણ કે $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,તેથી:
$1 + 2 \sin A \cos A = 2$
$2 \sin A \cos A = 1$
$\sin 2A = 1 = \sin 90^\circ$
$2A = 90^\circ \implies A = 45^\circ$.
હવે,$\cos^2 A$ ની કિંમત શોધીએ:
$\cos^2 45^\circ = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2\cos^2 \theta - 2\sin^2 \theta = 1$
$2$ ને સામાન્ય લેતા: $2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 1$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos 2\theta = 1$
$\cos 2\theta = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી:
$2\theta = 60^\circ$
$\theta = 30^\circ$

(C) આપેલ છે કે $\sin \alpha = \frac{336}{625}$ અને $450^\circ < \alpha < 540^\circ$.
કારણ કે $450^\circ < \alpha < 540^\circ$,$\alpha$ એ બીજા ચરણમાં છે $(90^\circ < \alpha - 360^\circ < 180^\circ)$.
બીજા ચરણમાં,$\cos \alpha$ ઋણ હોય છે.
$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left( \frac{336}{625} \right)^2} = -\sqrt{\frac{625^2 - 336^2}{625^2}} = -\sqrt{\frac{289 \times 961}{625^2}} = -\frac{527}{625}$.
હવે,$225^\circ < \frac{\alpha}{2} < 270^\circ$,તેથી $\frac{\alpha}{2}$ ત્રીજા ચરણમાં છે.
$\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{527}{625}}{2}} = -\sqrt{\frac{98}{1250}} = -\frac{7}{25}$.
છેલ્લે,$112.5^\circ < \frac{\alpha}{4} < 135^\circ$,તેથી $\frac{\alpha}{4}$ બીજા ચરણમાં છે.
બીજા ચરણમાં,$\sin \left( \frac{\alpha}{4} \right)$ ધન હોય છે.
$\sin \left( \frac{\alpha}{4} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha/2)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-7/25)}{2}} = \sqrt{\frac{32/25}{2}} = \frac{4}{5}$.

(B) આપેલ છે: $\tan^2 \theta = 2\tan^2 \phi + 1$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $1 + \tan^2 \theta = 2\tan^2 \phi + 2$
$\Rightarrow \sec^2 \theta = 2(1 + \tan^2 \phi)$
$\Rightarrow \sec^2 \theta = 2\sec^2 \phi$
વ્યસ્ત લેતા: $\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \cos^2 \phi$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \frac{1}{2} \cos^2 \phi$
$1 + \cos 2\theta = \cos^2 \phi$
$1 + \cos 2\theta = 1 - \sin^2 \phi$
$\cos 2\theta + \sin^2 \phi = 0$
વૈકલ્પિક રીતે,ધારો કે $\theta = 45^\circ$. તો $\tan^2 45^\circ = 2\tan^2 \phi + 1 \Rightarrow 1 = 2\tan^2 \phi + 1 \Rightarrow \tan^2 \phi = 0 \Rightarrow \phi = 0^\circ$.
તેથી,$\cos(2 \times 45^\circ) + \sin^2 0^\circ = \cos 90^\circ + 0 = 0 + 0 = 0$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = \cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^4 \frac{7\pi}{8}$
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{7\pi}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8}$ અને $\cos \frac{5\pi}{8} = \cos(\pi - \frac{3\pi}{8}) = -\cos \frac{3\pi}{8}$ થાય.
તેમની $4$ ઘાત લેતા,$\cos^4 \frac{7\pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$ અને $\cos^4 \frac{5\pi}{8} = \cos^4 \frac{3\pi}{8}$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા: $E = 2(\cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8})$.
નિત્યસમ $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \cos^2 \frac{\pi}{8}$ અને $b = \cos^2 \frac{3\pi}{8}$:
$E = 2[(\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8})^2 - 2\cos^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{3\pi}{8}]$
અહીં $\cos^2 \frac{3\pi}{8} = \sin^2 \frac{\pi}{8}$ હોવાથી,$\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} = 1$ થાય.
$E = 2[1^2 - 2(\cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8})^2] = 2[1 - 2(\frac{1}{2} (2 \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8}))^2]$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ સૂત્ર વાપરતા:
$2 \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} = \cos(\frac{4\pi}{8}) + \cos(-\frac{2\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{4} = 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$E = 2[1 - 2(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})^2] = 2[1 - 2(\frac{1}{2\sqrt{2}})^2] = 2[1 - 2(\frac{1}{8})] = 2[1 - \frac{1}{4}] = 2(\frac{3}{4}) = \frac{3}{2}$.

(D) આપેલ છે: $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin x + \cos x)^2 = (\frac{1}{5})^2$
$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ અને $2 \sin x \cos x = \sin 2x$:
$1 + \sin 2x = \frac{1}{25}$
$\sin 2x = \frac{1}{25} - 1 = -\frac{24}{25}$
હવે,$\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x = 1 - (-\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$
$\cos 2x = \pm \frac{7}{25}$
$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{-24/25}{\pm 7/25} = \mp \frac{24}{7}$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $\frac{24}{7}$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\cos^2 A(3 - 4\cos^2 A)^2 + \sin^2 A(3 - 4\sin^2 A)^2$
$= (3\cos A - 4\cos^3 A)^2 + (3\sin A - 4\sin^3 A)^2$
ત્રિ-ગુણિત ખૂણાના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A$ અને $\sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A$.
અહીં,$(3\cos A - 4\cos^3 A)^2 = (-(4\cos^3 A - 3\cos A))^2 = (-\cos 3A)^2 = \cos^2 3A$.
તેથી,પદાવલિ $\cos^2 3A + \sin^2 3A$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos^2 3A + \sin^2 3A = 1$ મળે છે.
ટ્રિક: $A = 0^\circ$ મૂકતા,પદાવલિ $\cos^2 0(3 - 4\cos^2 0)^2 + \sin^2 0(3 - 4\sin^2 0)^2 = 1(3 - 4)^2 + 0 = (-1)^2 = 1$ થાય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = \sec^2 A - \tan^2 A$. અંશમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{{\tan A + \sec A - (\sec^2 A - \tan^2 A)}}{{\tan A - \sec A + 1}}$
$= \frac{{(\tan A + \sec A) - (\sec A - \tan A)(\sec A + \tan A)}}{{\tan A - \sec A + 1}}$
$= \frac{{(\tan A + \sec A)(1 - (\sec A - \tan A))}}{{\tan A - \sec A + 1}}$
$= \frac{{(\tan A + \sec A)(1 - \sec A + \tan A)}}{{\tan A - \sec A + 1}}$
અહીં $(1 - \sec A + \tan A)$ પદ અંશ અને છેદમાં સમાન હોવાથી તે ઉડી જશે:
$= \tan A + \sec A$
$= \frac{{\sin A}}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos A}}$
$= \frac{{1 + \sin A}}{{\cos A}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \sin A = 1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - A} \right) = 2\sin^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)$ અને $1 + \sin A = 1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - A} \right) = 2\cos^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sqrt {\frac{{1 - \sin A}}{{1 + \sin A}}} = \sqrt {\frac{{2\sin^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)}}{{2\cos^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)}}} = \sqrt {\tan^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)$.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \frac{{\sin 3\theta - \cos 3\theta }}{{\sin \theta + \cos \theta }} + 1$ છે.
નિત્યસમ $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ અને $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$N = \sin 3\theta - \cos 3\theta = (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) - (4\cos^3 \theta - 3\cos \theta)$
$N = 3(\sin \theta + \cos \theta) - 4(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta)$
ઘનનો સરવાળો $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$N = 3(\sin \theta + \cos \theta) - 4(\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,આપણને મળે:
$N = (\sin \theta + \cos \theta) [3 - 4(1 - \sin \theta \cos \theta)]$
હવે,$D = \sin \theta + \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{N}{D} = 3 - 4 + 4\sin \theta \cos \theta = 4\sin \theta \cos \theta - 1$
પદાવલિમાં $1$ ઉમેરતા:
$E = (4\sin \theta \cos \theta - 1) + 1 = 4\sin \theta \cos \theta$
બમણા ખૂણાના નિત્યસમ $2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2\sin 2\theta$.

(B) આપણે નિત્યસમ $\tan A = \frac{\sin 2A}{1 + \cos 2A}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$A = 7\frac{1}{2}^\circ$ લેતા,આપણને $2A = 15^\circ$ મળે.
તેથી,$\tan 7\frac{1}{2}^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{1 + \cos 15^\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ અને $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\tan 7\frac{1}{2}^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}$.
અંશ અને છેદને $(4 + \sqrt{2}) - \sqrt{6}$ વડે ગુણતા,સાદું રૂપ આપતા આપણને $\sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{x - 1}{2x}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - 2\left(\frac{x - 1}{2x}\right) = 1 - \frac{x - 1}{x} = \frac{x - x + 1}{x} = \frac{1}{x}$.
વળી,$\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$.
$\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{x - 1}{2x}}$ હોવાથી,$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{1 - \frac{x - 1}{2x}} = \sqrt{\frac{2x - x + 1}{2x}} = \sqrt{\frac{x + 1}{2x}}$.
તેથી,$\sin \theta = 2 \sqrt{\frac{x - 1}{2x}} \cdot \sqrt{\frac{x + 1}{2x}} = 2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{2x} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$.
અંતે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}}{\frac{1}{x}} = \sqrt{x^2 - 1}$.

(C) આ પદ $a\cos \theta + b\sin \theta$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 3$ અને $b = -4$ છે.
$a\cos \theta + b\sin \theta$ પદની મહત્તમ કિંમત શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$.
આમ,$3\cos \theta - 4\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $5$ છે.

(D) ધારો કે $f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4(1 - \sin^2 \theta)$
$f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4 - 4 \sin^2 \theta$
$f(\theta) = \sin^2 \theta + 4$.
કારણ કે $\sin^2 \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે,તેથી $f(\theta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0 + 4 = 4$ થશે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$.
નિત્યસમ $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B - A) \sin(B + A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $A = \frac{\pi}{3} - x$ અને $B = \frac{\pi}{3} + x$.
તેથી $B - A = (\frac{\pi}{3} + x) - (\frac{\pi}{3} - x) = 2x$.
અને $B + A = (\frac{\pi}{3} + x) + (\frac{\pi}{3} - x) = \frac{2\pi}{3}$.
આમ,$f(x) = \sin(2x) \sin\left( \frac{2\pi}{3} \right)$.
કારણ કે $\sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x)$.
$\sin(2x)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,પદાવલિની મહત્તમ કિંમત $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x \neq 0$ માટે,વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $(x - \frac{1}{x})^2 \ge 0$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \ge 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$.
ધારો કે $x = \tan \theta$. કારણ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા આપણને $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta \ge 2$ મળે છે.
આમ,આ પદાવલિની કિંમત હંમેશા $2$ અથવા તેનાથી મોટી હોય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x$.
આ પદાવલિને $2$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખતા:
$f(x) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right)$.
$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ છે,આપણને મળે છે:
$f(x) = 2 \sin(x + 60^\circ)$.
સાઇન વિધેયની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે ખૂણો $90^\circ$ હોય.
તેથી,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત માટે:
$x + 60^\circ = 90^\circ$
$x = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

(D) આ પદાવલિ $a \cos x + b \sin x + c$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cos x + b \sin x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
તેથી,$3 \cos x + 4 \sin x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-\sqrt{9 + 16}, \sqrt{9 + 16}] = [-5, 5]$ છે.
$3 \cos x + 4 \sin x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે.
આમ,$3 \cos x + 4 \sin x + 5$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-5 + 5 = 0$ થાય.

(B) ધારો કે $f(x) = \sin x \cos x$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે $f(x) = \frac{2 \sin x \cos x}{2} = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $-1 \le \sin(2x) \le 1$.
આ અસમતાને $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \sin(2x) \le \frac{1}{2}$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{2}$ છે.

(B) ધારો કે $f(\theta) = \cos \theta + \sin \theta$.
આ પદાવલિને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખી શકાય છે:
$f(\theta) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \right)$
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(\theta) = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી:
$-1 \le \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \le 1$
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \le \sqrt{2}$
તેથી,આ પદાવલિની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 4\sin^2 x + 3\cos^2 x$.
નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $f(x) = 4\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x)$.
$f(x) = 4\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x$.
$f(x) = \sin^2 x + 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\sin^2 x$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ થાય.
મહત્તમ કિંમત મેળવવા માટે,આપણે $\sin^2 x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ લઈશું.
મહત્તમ કિંમત $= 1 + 3 = 4$.

(A) ધારો કે $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$.
આ પદાવલિને $f(x) = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \right]$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{5\pi}{12} \right)$ મળે છે.
સાઇન વિધેયની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોય.
તેથી,$x + \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$ લેતા,$x = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi - 5\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$ મળે છે.
અહીં $\frac{\pi}{12}$ એ અંતરાલ $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માં આવેલું હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $x = \frac{\pi}{12}$ પર મળે છે.

(D) અમે બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે દર્શાવે છે કે $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
ધારો કે $a = 9\tan^2\theta$ અને $b = 4\cot^2\theta$.
તેથી,$\frac{9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta}{2} \ge \sqrt{9\tan^2\theta \cdot 4\cot^2\theta}$.
કારણ કે $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$,તેથી આપણને $\sqrt{9 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$ મળે છે.
તેથી,$\frac{9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta}{2} \ge 6$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta \ge 12$ મળે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે,ખૂણાઓના સાઈનનો સરવાળો $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos(\alpha/2) \cos(\beta/2) \cos(\gamma/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ ત્રિકોણના ખૂણાઓ છે (અથવા સરવાળાની શરતનું પાલન કરે છે),તેથી તેઓ $(0, \pi)$ અંતરાલમાં હોવા જોઈએ.
પરિણામે,$\alpha/2, \beta/2, \gamma/2$ એ $(0, \pi/2)$ અંતરાલમાં છે.
$(0, \pi/2)$ અંતરાલમાં,કોસાઈન વિધેય હંમેશા ધન હોય છે.
તેથી,$4 \cos(\alpha/2) \cos(\beta/2) \cos(\gamma/2) > 0$.
આમ,પદાવલિ $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$ હંમેશા ધન હોય છે.

(D) આ પદાવલિ $a\sin \theta + b\cos \theta$ સ્વરૂપમાં છે.
આ પદાવલિનો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
તેથી,વિસ્તાર $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-\sqrt{9 + 16}, \sqrt{9 + 16}] = [-5, 5]$ થાય.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે.

(A) $\sin x - \cos x$ પદાવલિની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે તેને $R \sin(x - \alpha)$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \sin x + b \cos x$ સ્વરૂપની કોઈપણ પદાવલિનો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ હોય છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -1$ છે.
મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \cos^2 \theta + \sin^4 \theta$.
આપણે તેને $A = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cdot \sin^2 \theta$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\sin^2 \theta \le 1$,તેથી $A \le \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$,જેનો અર્થ છે કે $A \le 1$.
હવે,$A$ ને $\sin^2 \theta$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$A = (1 - \sin^2 \theta) + \sin^4 \theta$.
ધારો કે $x = \sin^2 \theta$,જ્યાં $0 \le x \le 1$.
તેથી $A = x^2 - x + 1$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $A = (x - 1/2)^2 + 3/4$.
કારણ કે $(x - 1/2)^2 \ge 0$,તેથી $A$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $3/4$ છે (જ્યારે $x = 1/2$ હોય).
આમ,$3/4 \le A \le 1$.

(B) આપેલ છે કે $A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$.
કારણ કે $\cos^2 \theta \le 1$,તેથી $\cos^4 \theta \le \cos^2 \theta$ થાય.
આમ,$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta \le \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. તેથી,$A \le 1$.
હવે,$A$ ને $\cos^2 \theta$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$A = (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta = \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$.
ધારો કે $x = \cos^2 \theta$,જ્યાં $0 \le x \le 1$.
તેથી $A = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3}{4}$ છે (જ્યારે $x = \frac{1}{2}$).
કારણ કે $x \in [0, 1]$,મહત્તમ કિંમત સીમાઓ $x=0$ અથવા $x=1$ પર મળે છે,જે $1$ છે.
તેથી,$\frac{3}{4} \le A \le 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ છે.
આપણે તેને $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
$f(x) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin(x + 30^\circ) = \sin x \cos 30^\circ + \cos x \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x$.
આમ,$f(x) = 2 \sin(x + 30^\circ)$.
સાઇન વિધેયની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે ખૂણો $90^\circ$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,$x + 30^\circ = 90^\circ$,જે આપણને $x = 60^\circ$ આપે છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta - \gamma = \pi$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = \alpha + \beta - \pi$.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A - B) \sin(A + B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = \sin^2 \alpha + (\sin^2 \beta - \sin^2 \gamma)$
$= \sin^2 \alpha + \sin(\beta - \gamma) \sin(\beta + \gamma)$
કારણ કે $\beta - \gamma = \pi - \alpha$,તેથી $\sin(\beta - \gamma) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.
વળી,$\gamma = \alpha + \beta - \pi$ હોવાથી,$\sin \gamma = \sin(\alpha + \beta - \pi) = -\sin(\alpha + \beta)$.
તેથી,$\sin^2 \gamma = \sin^2(\alpha + \beta)$.
પદાવલિ $= \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta)$
$= \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2$
$= \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - (\sin^2 \alpha \cos^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta)$
$= \sin^2 \alpha(1 - \cos^2 \beta) + \sin^2 \beta(1 - \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \alpha \cos \beta$
$= \sin^2 \alpha \sin^2 \beta + \sin^2 \beta \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \alpha \cos \beta$
$= 2 \sin \alpha \sin \beta (\sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta)$
$= 2 \sin \alpha \sin \beta (- \cos(\alpha + \beta))$
કારણ કે $\alpha + \beta = \pi + \gamma$,તેથી $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi + \gamma) = -\cos \gamma$.
તેથી,પદાવલિ $= 2 \sin \alpha \sin \beta (-(- \cos \gamma)) = 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.

(D) આપેલ છે કે $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે.
તેથી,$A + C = 180^\circ$ અને $B + D = 180^\circ$.
$A + C = 180^\circ$ પરથી,આપણને $A = 180^\circ - C$ મળે છે.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\cos A = \cos(180^\circ - C) = -\cos C$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos A + \cos C = 0$.
તે જ રીતે,$B + D = 180^\circ$ પરથી,આપણને $B = 180^\circ - D$ મળે છે.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\cos B = \cos(180^\circ - D) = -\cos D$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos B + \cos D = 0$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$.
ધારો કે $S = \frac{\cos A}{\sin B \sin C} + \frac{\cos B}{\sin C \sin A} + \frac{\cos C}{\sin A \sin B}$.
સામાન્ય છેદ $\sin A \sin B \sin C$ લેતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{\cos A \sin A + \cos B \sin B + \cos C \sin C}{\sin A \sin B \sin C}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$S = \frac{2 \sin A \cos A + 2 \sin B \cos B + 2 \sin C \cos C}{2 \sin A \sin B \sin C} = \frac{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}{2 \sin A \sin B \sin C}$.
ત્રિકોણ માટેની નિત્યસમ મુજબ,જ્યાં $A + B + C = \pi$,$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ થાય છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$S = \frac{4 \sin A \sin B \sin C}{2 \sin A \sin B \sin C} = 2$.