Textbook - Polynomials Questions in Gujarati

(A) $(102)^{3}$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,આપણે $102$ ને $(100 + 2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમમાં $a = 100$ અને $b = 2$ મૂકતા:
$(100 + 2)^{3} = (100)^{3} + (2)^{3} + 3(100)(2)(100 + 2)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(100)^{3} = 1000000$
$(2)^{3} = 8$
$3(100)(2) = 600$
હવે,આ કિંમતો પાછી મૂકતા:
$1000000 + 8 + 600(102)$
$= 1000000 + 8 + 61200$
$= 1061208$

(B) આપણે $998$ ને $(1000 - 2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1000$ અને $b = 2$ છે:
$(998)^{3} = (1000 - 2)^{3}$
$= (1000)^{3} - (2)^{3} - 3(1000)(2)(1000 - 2)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 6000(998)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 5,988,000$
$= 994,011,992$

(A) આપેલ પદાવલિ $8 a^{3}+b^{3}+12 a^{2} b+6 a b^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $(2 a)^{3}+(b)^{3}+3(2 a)^{2}(b)+3(2 a)(b)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = 2a$ અને $y = b$ છે.
તેથી,આ પદાવલિનું સાદું રૂપ $(2 a+b)^{3}$ થાય છે.
આમ,અવયવ સ્વરૂપ $(2 a+b)(2 a+b)(2 a+b)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $8a^3 - b^3 - 12a^2b + 6ab^2$ છે.
આપણે તેને $(2a)^3 - (b)^3 - 3(2a)^2(b) + 3(2a)(b)^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = 2a$ અને $y = b$ છે.
તેથી,$8a^3 - b^3 - 12a^2b + 6ab^2 = (2a - b)^3$.
આને $(2a - b)(2a - b)(2a - b)$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $27-125 a^{3}-135 a+225 a^{2}$ છે.
આપણે તેને $(3)^{3}-(5 a)^{3}-3(3)^{2}(5 a)+3(3)(5 a)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}$ ને અનુસરે છે.
અહીં,$x = 3$ અને $y = 5a$ છે.
તેથી,$27-125 a^{3}-135 a+225 a^{2} = (3-5a)^{3}$.
આને $(3-5a)(3-5a)(3-5a)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $64 a^{3}-27 b^{3}-144 a^{2} b+108 a b^{2}$ છે.
આને $(4 a)^{3}-(3 b)^{3}-3(4 a)^{2}(3 b)+3(4 a)(3 b)^{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $x = 4a$ અને $y = 3b$ છે.
તેથી,આ પદાવલિનું સાદું રૂપ $(4 a-3 b)^{3}$ થાય છે.
આમ,તેના અવયવો $(4 a-3 b)(4 a-3 b)(4 a-3 b)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $27 p^{3} - \frac{1}{216} - \frac{9}{2} p^{2} + \frac{1}{4} p$ છે.
આપણે આ પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$(3p)^{3} - (\frac{1}{6})^{3} - 3(3p)(\frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})$.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $x^{3} - y^{3} - 3xy(x - y) = (x - y)^{3}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = 3p$ અને $y = \frac{1}{6}$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(3p - \frac{1}{6})^{3}$ થાય છે.
આને $(3p - \frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(N/A) આ નિત્યસમ ચકાસવા માટે,આપણે જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) નું વિસ્તરણ કરીશું.
$R.H.S. = (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$
$= x(x^{2}-xy+y^{2}) + y(x^{2}-xy+y^{2})$
$= (x^{3} - x^{2}y + xy^{2}) + (x^{2}y - xy^{2} + y^{3})$
સમાન પદોને સાથે લેતા,આપણને મળે છે:
$= x^{3} + (-x^{2}y + x^{2}y) + (xy^{2} - xy^{2}) + y^{3}$
$= x^{3} + 0 + 0 + y^{3}$
$= x^{3} + y^{3} = L.H.S.$
આમ,નિત્યસમ ચકાસાયેલ છે.

(N/A) આ નિત્યસમ ચકાસવા માટે,આપણે જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) થી શરૂઆત કરીએ:
$R.H.S. = (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$
પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$= x(x^{2}+xy+y^{2}) - y(x^{2}+xy+y^{2})$
$= (x^{3} + x^{2}y + xy^{2}) - (x^{2}y + xy^{2} + y^{3})$
$= x^{3} + x^{2}y + xy^{2} - x^{2}y - xy^{2} - y^{3}$
વિરુદ્ધ નિશાની ધરાવતા સમાન પદોને દૂર કરતા ($x^{2}y - x^{2}y = 0$ અને $xy^{2} - xy^{2} = 0$):
$= x^{3} - y^{3}$
$= L.H.S.$
આમ,$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,આ નિત્યસમ ચકાસાય છે.

(A) બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું અવયવીકરણ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,$27 y^{3}+125 z^{3} = (3 y)^{3}+(5 z)^{3}$ છે.
આને $a^{3}+b^{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3y$ અને $b = 5z$ મળે છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3 y)^{3}+(5 z)^{3} = (3 y+5 z)((3 y)^{2}-(3 y)(5 z)+(5 z)^{2})$
$= (3 y+5 z)(9 y^{2}-15 y z+25 z^{2})$.

(A) બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^{3} - y^{3} = (x - y)(x^{2} + xy + y^{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું અવયવીકરણ કરી શકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $64m^{3} - 343n^{3}$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(4m)^{3} - (7n)^{3}$
જ્યાં $x = 4m$ અને $y = 7n$ હોય તેવા નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(4m - 7n)((4m)^{2} + (4m)(7n) + (7n)^{2})$
$= (4m - 7n)(16m^{2} + 28mn + 49n^{2})$

(A) બીજગણિતીય નિત્યસમ આ મુજબ છે: $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$.
આપેલ પદાવલિને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$27x^3 + y^3 + z^3 - 9xyz = (3x)^3 + (y)^3 + (z)^3 - 3(3x)(y)(z)$.
આને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $x$ ની જગ્યાએ $3x$,$y$ ની જગ્યાએ $y$ અને $z$ ની જગ્યાએ $z$ મૂકતા:
$= (3x + y + z)((3x)^2 + y^2 + z^2 - (3x)(y) - (y)(z) - (z)(3x))$.
બીજા કૌંસમાં રહેલા પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= (3x + y + z)(9x^2 + y^2 + z^2 - 3xy - yz - 3zx)$.

(N/A) જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) થી શરૂઆત કરો:
$\text{R.H.S.} = \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}]$
કૌંસની અંદરના વર્ગોનું વિસ્તરણ કરો:
$= \frac{1}{2}(x+y+z)[(x^{2}-2xy+y^{2})+(y^{2}-2yz+z^{2})+(z^{2}-2zx+x^{2})]$
સમાન પદોને ભેગા કરો:
$= \frac{1}{2}(x+y+z)[2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz-2zx]$
ચોરસ કૌંસની અંદરની પદાવલિમાંથી $2$ સામાન્ય કાઢો:
$= \frac{1}{2}(x+y+z) \cdot 2[x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx]$
$= (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = \text{L.H.S.}$

(N/A) આપેલ છે કે $x+y+z=0.$
તેથી,$x+y=-z.$
બંને બાજુ ઘન લેતા,આપણને મળે $(x+y)^{3}=(-z)^{3}.$
નિત્યસમ $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^{3}+y^{3}+3xy(x+y) = -z^{3}.$
કારણ કે $x+y=-z,$ આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{3}+y^{3}+3xy(-z) = -z^{3}.$
$x^{3}+y^{3}-3xyz = -z^{3}.$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે:
$x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz.$
આમ,જો $x+y+z=0$ હોય,તો $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz$ થાય.

(C) ધારો કે $x = -12, y = 7$ અને $z = 5$.
તેથી,$x + y + z = -12 + 7 + 5 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ થાય.
તેથી,$(-12)^{3} + (7)^{3} + (5)^{3} = 3[(-12)(7)(5)]$,કારણ કે $(-12) + 7 + 5 = 0$.
ગુણાકાર કરતા: $3[-420] = -1260$.
આમ,$(-12)^{3} + (7)^{3} + (5)^{3} = -1260$.

(D) ધારો કે $x = 28$,$y = -15$,અને $z = -13$ છે.
પ્રથમ,$x, y,$ અને $z$ નો સરવાળો શોધો:
$x + y + z = 28 + (-15) + (-13) = 28 - 28 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ મુજબ: જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ થાય.
આ નિત્યસમમાં કિંમતો મૂકતા:
$(28)^{3} + (-15)^{3} + (-13)^{3} = 3(28)(-15)(-13)$.
ગુણાકાર કરતા:
$3 \times 28 = 84$
$(-15) \times (-13) = 195$
$84 \times 195 = 16380$.
તેથી,તેની કિંમત $16380$ છે.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \text{Length} \times \text{Breadth}$ (લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ).
આપેલ ક્ષેત્રફળ: $25a^2 - 35a + 12$.
લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત બહુપદી $25a^2 - 35a + 12$ ના અવયવો પાડવા પડશે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ જેનો ગુણાકાર $25 \times 12 = 300$ થાય અને જેનો સરવાળો $-35$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-20$ અને $-15$ છે,કારણ કે $(-20) \times (-15) = 300$ અને $(-20) + (-15) = -35$.
હવે,પદાવલિને ફરીથી લખતા:
$25a^2 - 20a - 15a + 12$
સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડતા:
$= 5a(5a - 4) - 3(5a - 4)$
$= (5a - 4)(5a - 3)$
આમ,લંબાઈ અને પહોળાઈ માટેની શક્ય પદાવલિઓ $(5a - 3)$ અને $(5a - 4)$ છે.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = (લંબાઈ) $\times$ (પહોળાઈ).
આપેલ ક્ષેત્રફળ $35y^2 + 13y - 12$ છે,તેથી આપણે આ દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવો પાડવા પડશે.
$35y^2 + 13y - 12$ ના અવયવો પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $13y$ ને એવી રીતે વિભાજિત કરીશું કે જેથી તેમનો સરવાળો $13y$ થાય અને તેમનો ગુણાકાર $y^2$ ના સહગુણક અને અચળ પદના ગુણાકાર $(35 \times -12 = -420)$ જેટલો થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $28y$ અને $-15y$ આ શરતોનું પાલન કરે છે કારણ કે $28y - 15y = 13y$ અને $28y \times (-15y) = -420y^2$.
હવે,પદાવલિને ફરીથી લખતા:
$35y^2 + 28y - 15y - 12$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$(35y^2 + 28y) - (15y + 12)$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$7y(5y + 4) - 3(5y + 4)$
$(7y - 3)(5y + 4)$
આમ,લંબાઈ અને પહોળાઈ માટેની શક્ય પદાવલિઓ $(7y - 3)$ અને $(5y + 4)$ છે.

(N/A) લંબઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ઘનફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ ઘનફળ $= 3x^2 - 12x$.
શક્ય પરિમાણો શોધવા માટે,આપણે પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$.
આમ,આ પદાવલિને ત્રણ અવયવોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે: $3$,$x$,અને $(x - 4)$.
તેથી,લંબઘનના શક્ય પરિમાણો $3$,$x$,અને $(x - 4)$ એકમ છે.

(A) લંબઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ઘનફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ ઘનફળ $= 12ky^{2} + 8ky - 20k$.
સૌ પ્રથમ,સામાન્ય પદ $4k$ ને બહાર કાઢતા:
$12ky^{2} + 8ky - 20k = 4k(3y^{2} + 2y - 5)$.
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $(3y^{2} + 2y - 5)$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડતા:
$3y^{2} + 2y - 5 = 3y^{2} + 5y - 3y - 5$
$= y(3y + 5) - 1(3y + 5)$
$= (3y + 5)(y - 1)$.
આમ,ઘનફળ $= 4k \times (3y + 5) \times (y - 1)$.
તેથી,લંબઘનની શક્ય પરિમાણો $4k$,$(3y + 5)$ અને $(y - 1)$ એકમ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $y^{2} + \sqrt{2}$ છે.
આને $y^{2} + \sqrt{2}y^{0}$ તરીકે લખી શકાય છે.
એક ચલવાળી બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોય છે.
પદાવલિ $y^{2} + \sqrt{2}$ માં,ચલ $y$ નો ઘાતાંક $2$ છે,જે એક પૂર્ણ સંખ્યા છે.
તેથી,$y^{2} + \sqrt{2}$ એ એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $3 \sqrt{t} + t \sqrt{2}$ છે.
આને $3 t^{1/2} + \sqrt{2} \cdot t$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
એક ચલવાળી બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોવો જોઈએ.
પદ $3 t^{1/2}$ માં,ચલ $t$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
તેથી,$3 \sqrt{t} + t \sqrt{2}$ એ બહુપદી નથી.

(D) આપેલ પદાવલિ $y + \frac{2}{y}$ છે.
આને $y + 2 \cdot y^{-1}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
એક ચલવાળી બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોવો જોઈએ.
પદ $2 \cdot y^{-1}$ માં,ચલ $y$ નો ઘાતાંક $-1$ છે.
કારણ કે $-1$ એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી,તેથી પદાવલિ $y + \frac{2}{y}$ એ બહુપદી નથી.

(D) આપેલ પદાવલિ $x^{10} + y^{3} + t^{50}$ છે.
$1$. એક ચલવાળી બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય અને માત્ર એક જ ચલ હોય.
$2$. પદાવલિ $x^{10} + y^{3} + t^{50}$ માં ત્રણ અલગ-અલગ ચલ છે: $x$,$y$,અને $t$.
$3$. જોકે દરેક ચલનો ઘાતાંક $(10, 3, 50)$ પૂર્ણ સંખ્યા છે,પરંતુ આ પદાવલિમાં ત્રણ ચલનો સમાવેશ થાય છે.
$4$. તેથી,$x^{10} + y^{3} + t^{50}$ એ ત્રણ ચલવાળી બહુપદી છે,એક ચલવાળી નહીં.

(A) $(i)$ પદાવલિ $\frac{\pi}{2} x^2 + x$ માં,$x^2$ વાળું પદ $\frac{\pi}{2} x^2$ છે. તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $\frac{\pi}{2}$ છે.
$(ii)$ પદાવલિ $\sqrt{2} x - 1$ માં,$x^2$ વાળું કોઈ પદ નથી. આપણે આ પદાવલિને $\sqrt{2} x - 1 + 0 \cdot x^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ. તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $0$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
$(i)$ $5t - \sqrt{7}$
આ $t$ ચલવાળી બહુપદી છે. અહીં ચલ $t$ ની સૌથી મોટી ઘાત $1$ છે. તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $1$ છે.
$(ii)$ $3$
આ અચળ બહુપદી છે. કોઈપણ શૂન્યતર અચળ બહુપદીની ઘાત હંમેશા $0$ હોય છે,કારણ કે $3$ ને $3 \times t^0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(N/A) $(i)$ $1+x$
કારણ કે $1+x$ ની ઘાત $1$ છે,તેથી તે સુરેખ બહુપદી છે.
$(ii)$ $3t$
કારણ કે $3t$ ની ઘાત $1$ છે,તેથી તે સુરેખ બહુપદી છે.
$(iii)$ $r^{2}$
કારણ કે $r^{2}$ ની ઘાત $2$ છે,તેથી તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.
$(iv)$ $7x^{3}$
કારણ કે $7x^{3}$ ની ઘાત $3$ છે,તેથી તે ત્રિઘાત બહુપદી છે.

$(16+\sqrt{11})$ આપેલ બહુપદી $q(y) = 3y^3 - 4y + \sqrt{11}$ છે.
$y = 2$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $y$ ની જગ્યાએ $2$ મૂકીશું:
$q(2) = 3(2)^3 - 4(2) + \sqrt{11}$
ઘાતની ગણતરી કરતા: $2^3 = 8$.
કિંમત મૂકતા: $q(2) = 3(8) - 8 + \sqrt{11}$.
ગુણાકાર કરતા: $q(2) = 24 - 8 + \sqrt{11}$.
બાદબાકી કરતા: $q(2) = 16 + \sqrt{11}$.

(N/A) આપેલ બહુપદી $p(t) = 4t^4 + 5t^3 - t^2 + 6$ છે.
બહુપદીની કિંમત $t = a$ માટે શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $t$ ની જગ્યાએ $a$ મૂકીશું.
$p(a) = 4(a)^4 + 5(a)^3 - (a)^2 + 6$.
તેથી,$t = a$ આગળ બહુપદીની કિંમત $4a^4 + 5a^3 - a^2 + 6$ થાય છે.

(B) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ છે.
$x = -1$ આગળ કિંમત શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x$ ની જગ્યાએ $-1$ મૂકો:
$p(-1) = 5(-1) - 4(-1)^2 + 3$
$p(-1) = -5 - 4(1) + 3$
$p(-1) = -5 - 4 + 3$
$p(-1) = -9 + 3$
$p(-1) = -6$

(C) આપેલી બહુપદી $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ છે.
$x = 2$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $2$ મૂકતા:
$p(2) = 5(2) - 4(2)^2 + 3$
$p(2) = 10 - 4(4) + 3$
$p(2) = 10 - 16 + 3$
$p(2) = -6 + 3$
$p(2) = -3$
આમ,$x = 2$ આગળ બહુપદીની કિંમત $-3$ છે.

(B) અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ ત્યારે જ કહેવાય જો $p(-1) = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $p(x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{4} + (-1)^{3} + (-1)^{2} + (-1) + 1$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$p(-1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$p(-1) = 1$
અહીં $p(-1) \neq 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ નથી.

(NONE) અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ ત્યારે જ હોય જો $p(-1) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(x) = x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + x + 1$.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{4} + 3(-1)^{3} + 3(-1)^{2} + (-1) + 1$
$p(-1) = 1 + 3(-1) + 3(1) - 1 + 1$
$p(-1) = 1 - 3 + 3 - 1 + 1$
$p(-1) = 1$
અહીં $p(-1) = 1 \neq 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.

(NONE) અવયવ પ્રમેય મુજબ, જો $p(-1) = 0$ હોય, તો $(x + 1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ છે.
ધારો કે $p(x) = x^{3} - x^{2} - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}$.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - (2 + \sqrt{2})(-1) + \sqrt{2}$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$p(-1) = -1 - 1 + (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2}$
$p(-1) = -2 + 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$p(-1) = 2\sqrt{2}$
અહીં $p(-1) = 2\sqrt{2} \neq 0$ હોવાથી, $(x + 1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.

(D) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો જ $g(x) = x - a$ એ $p(x)$ નો અવયવ કહેવાય.
અહીં,$g(x) = x + 2$ છે,તેથી $x + 2 = 0$ લેતા,આપણને $x = -2$ મળે છે.
હવે,આપણે $p(-2)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 1$
$p(-2) = -8 + 3(4) - 6 + 1$
$p(-2) = -8 + 12 - 6 + 1$
$p(-2) = 4 - 6 + 1 = -1$
અહીં $p(-2) \neq 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ નથી.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય તો $g(x) = x - a$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$g(x) = x - 3$ છે,તેથી $a = 3$ લેતા.
$p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ માં $x = 3$ મૂકીને $p(3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + (3) + 6$
$p(3) = 27 - 4(9) + 3 + 6$
$p(3) = 27 - 36 + 3 + 6$
$p(3) = 36 - 36 = 0$
અહીં $p(3) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $g(x) = x - 3$ એ $p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ નો અવયવ છે.