Textbook - Polynomials Questions in Gujarati

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $g(x) = x - a$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$g(x) = x + 1$ છે,જેને $x - (-1)$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$a = -1$.
આપણે $p(-1)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) - 1$
$p(-1) = 2(-1) + 1 + 2 - 1$
$p(-1) = -2 + 1 + 2 - 1$
$p(-1) = 0$
કારણ કે $p(-1) = 0$ છે,તેથી અવયવ પ્રમેય મુજબ $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} + x + k$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(1) = 0$ થવું જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{2} + 1 + k$
$p(1) = 1 + 1 + k$
$p(1) = 2 + k$
કારણ કે $p(1) = 0$,તેથી:
$2 + k = 0$
$k = -2$

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2}$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ, જો $(x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય, તો $p(1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = 2(1)^2 + k(1) + \sqrt{2} = 0$
$2 + k + \sqrt{2} = 0$
$k$ માટે ઉકેલતા:
$k = -2 - \sqrt{2}$
તેથી, $k$ ની કિંમત $-(2 + \sqrt{2})$ છે.

(B) અહીં $p(x) = kx^2 - \sqrt{2}x + 1$ આપેલ છે અને $(x - 1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ, જો $(x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય, તો $p(1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = k(1)^2 - \sqrt{2}(1) + 1 = 0$
$k - \sqrt{2} + 1 = 0$
$k$ માટે ઉકેલતા:
$k = \sqrt{2} - 1$.

(C) આપેલ છે કે $x - 1$ એ $p(x) = kx^2 - 3x + k$ નો એક અવયવ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x - a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
અહીં,$a = 1$ છે,તેથી $p(1) = 0$.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = k(1)^2 - 3(1) + k = 0$
$k - 3 + k = 0$
$2k - 3 = 0$
$2k = 3$
$k = 3/2$.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $12 x^{2}-7 x+1$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x^{2}$ નો સહગુણક $a = 12$ છે,$x$ નો સહગુણક $b = -7$ છે અને અચળ પદ $c = 1$ છે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $l$ અને $m$ શોધવાની છે જેનો સરવાળો $l + m = b = -7$ થાય અને ગુણાકાર $lm = a \times c = 12 \times 1 = 12$ થાય.
આ શરતોને સંતોષતી બે સંખ્યાઓ $-4$ અને $-3$ છે,કારણ કે $(-4) + (-3) = -7$ અને $(-4) \times (-3) = 12$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-7x$ ને $-4x - 3x$ તરીકે લખતા:
$12 x^{2} - 7 x + 1 = 12 x^{2} - 4 x - 3 x + 1$
પદોના જૂથ બનાવીને સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા:
$= 4 x(3 x - 1) - 1(3 x - 1)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(3 x - 1)$ ને સામાન્ય લેતા:
$= (3 x - 1)(4 x - 1)$
આમ,અવયવો $(3 x - 1)(4 x - 1)$ છે.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $2 x^{2}+7 x+3$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,પદાવલિ $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2$,$b = 7$,અને $c = 3$ છે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $l$ અને $m$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $l + m = b = 7$ અને $l \times m = a \times c = 2 \times 3 = 6$ થાય.
આ શરતોને સંતોષતી બે સંખ્યાઓ $1$ અને $6$ છે,કારણ કે $1 + 6 = 7$ અને $1 \times 6 = 6$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $7x$ ને $x + 6x$ તરીકે લખતા:
$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + x + 6 x + 3$
પદોને જૂથમાં વહેંચીને સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા:
$= x(2 x + 1) + 3(2 x + 1)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2 x + 1)$ ને સામાન્ય લેતા:
$= (2 x + 1)(x + 3)$
આમ,અવયવો $(2 x + 1)(x + 3)$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $6x^2 + 5x - 6$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $l$ અને $m$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $l + m = 5$ ($x$ નો સહગુણક) અને $lm = 6 \times (-6) = -36$ ($x^2$ નો સહગુણક અને અચળ પદનો ગુણાકાર) થાય.
આપણે જોઈએ છીએ કે $9 + (-4) = 5$ અને $9 \times (-4) = -36$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $5x$ ને $9x - 4x$ તરીકે લખતા:
$6x^2 + 9x - 4x - 6$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$(6x^2 + 9x) - (4x + 6)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદ બહાર કાઢતા:
$3x(2x + 3) - 2(2x + 3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2x + 3)$ ને સામાન્ય લેતા:
$(2x + 3)(3x - 2)$

(A) આપેલ બહુપદી: $3x^{2}-x-4$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3$,$b=-1$ અને $c=-4$ મળે છે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $l$ અને $m$ શોધવાની છે કે જેથી $l+m = b = -1$ અને $lm = a \times c = 3 \times (-4) = -12$ થાય.
આ શરતોને સંતોષતી બે સંખ્યાઓ $-4$ અને $3$ છે,કારણ કે $-4+3 = -1$ અને $(-4) \times 3 = -12$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-x$ ને $-4x+3x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$3x^{2}-4x+3x-4$
પદોના જૂથ બનાવો:
$= x(3x-4) + 1(3x-4)$
સામાન્ય દ્વિપદી $(3x-4)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$= (3x-4)(x+1)$
આમ,અવયવો $(3x-4)(x+1)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $x^{3}-2x^{2}-x+2$
પગલું $1$: પદોને એવી રીતે ગોઠવો કે જેથી સામાન્ય અવયવ કાઢી શકાય.
$x^{3}-2x^{2}-x+2 = (x^{3}-2x^{2}) - (x-2)$
પગલું $2$: દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદ બહાર કાઢો.
$= x^{2}(x-2) - 1(x-2)$
પગલું $3$: સામાન્ય દ્વિપદી $(x-2)$ ને સામાન્ય લો.
$= (x^{2}-1)(x-2)$
પગલું $4$: નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને $(x^{2}-1)$ ના અવયવ પાડો.
$= (x-1)(x+1)(x-2)$
આમ,આપેલ પદાવલિના અવયવો $(x-1)(x+1)(x-2)$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}-3x^{2}-9x-5$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = -1$:
$p(-1) = (-1)^{3} - 3(-1)^{2} - 9(-1) - 5$
$p(-1) = -1 - 3(1) + 9 - 5$
$p(-1) = -1 - 3 + 9 - 5 = 0$.
તેથી $p(-1) = 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$p(x)$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}-3x^{2}-9x-5 = (x+1)(x^{2}-4x-5)$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}-4x-5$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડતા:
$x^{2}-5x+x-5 = x(x-5) + 1(x-5) = (x-5)(x+1)$.
તેથી,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ:
$x^{3}-3x^{2}-9x-5 = (x+1)(x+1)(x-5) = (x+1)^{2}(x-5)$.

(D) ધારો કે $p(x) = x^{3}+13x^{2}+32x+20$.
પ્રયત્ન દ્વારા,$p(1)$ શોધીએ:
$p(1) = (1)^{3}+13(1)^{2}+32(1)+20 = 1+13+32+20 = 66 \neq 0$.
હવે,$p(-1)$ શોધીએ:
$p(-1) = (-1)^{3}+13(-1)^{2}+32(-1)+20 = -1+13-32+20 = 0$.
$\therefore$ અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$p(x)$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}+13x^{2}+32x+20 = (x+1)(x^{2}+12x+20)$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+12x+20$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$x^{2}+12x+20 = x^{2}+2x+10x+20$
$= x(x+2)+10(x+2)$
$= (x+2)(x+10)$.
તેથી,અવયવો $(x+1)(x+2)(x+10)$ છે.

(A) ધારો કે $p(y) = 2y^{3} + y^{2} - 2y - 1$.
પ્રયત્ન દ્વારા,આપણે $p(1)$ ચકાસીએ:
$p(1) = 2(1)^{3} + (1)^{2} - 2(1) - 1 = 2 + 1 - 2 - 1 = 0$.
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(y - 1)$ એ $p(y)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$p(y)$ ને $(y - 1)$ વડે ભાગતા:
$2y^{3} + y^{2} - 2y - 1 = 2y^{2}(y - 1) + 3y(y - 1) + 1(y - 1)$
$= (y - 1)(2y^{2} + 3y + 1)$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $2y^{2} + 3y + 1$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડતા:
$2y^{2} + 2y + y + 1 = 2y(y + 1) + 1(y + 1) = (y + 1)(2y + 1)$.
આમ,અવયવો $(y - 1)(y + 1)(2y + 1)$ છે.

(N/A) $(i)$ અહીં,આપણે નિત્યસમ $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આ નિત્યસમમાં $y = 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x + 3)(x + 3) = (x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + (3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
$(ii)$ નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -3$ અને $b = 5$ છે,આપણને મળે છે:
$(x - 3)(x + 5) = x^2 + (-3 + 5)x + (-3)(5) = x^2 + 2x - 15$.

(A) સીધા ગુણાકાર કર્યા વગર $105 \times 106$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને $(100 + 5)$ અને $(100 + 6)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 100$,$a = 5$,અને $b = 6$ છે:
$105 \times 106 = (100 + 5)(100 + 6)$
$= (100)^2 + (5 + 6)(100) + (5 \times 6)$
$= 10000 + 11(100) + 30$
$= 10000 + 1100 + 30$
$= 11130$

(B) આપેલ પદાવલિ $49 a^{2}+70 a b+25 b^{2}$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે પદોનું અવલોકન કરીએ:
$49 a^{2} = (7 a)^{2}$
$25 b^{2} = (5 b)^{2}$
$70 a b = 2(7 a)(5 b)$
આને નિત્યસમ $(x+y)^{2} = x^{2}+2 x y+y^{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 7 a$ અને $y = 5 b$ મળે છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$49 a^{2}+70 a b+25 b^{2} = (7 a+5 b)^{2} = (7 a+5 b)(7 a+5 b)$.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ છે: $\frac{25}{4} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\left(\frac{5}{2} x\right)^{2}-\left(\frac{y}{3}\right)^{2}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{5}{2} x$ અને $b = \frac{y}{3}$ છે,આપણને મળે છે:
$\frac{25}{4} x^{2}-\frac{y^{2}}{9} = \left(\frac{5}{2} x+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{5}{2} x-\frac{y}{3}\right)$

આપેલ પદાવલિની સરખામણી $(x + y + z)^2$ સાથે કરતા,આપણને $x = 3a$,$y = 4b$ અને $z = 5c$ મળે છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ નો ઉપયોગ કરતા,કિંમતો મૂકતા:
$(3a + 4b + 5c)^2 = (3a)^2 + (4b)^2 + (5c)^2 + 2(3a)(4b) + 2(4b)(5c) + 2(5c)(3a)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(3a)^2 = 9a^2$
$(4b)^2 = 16b^2$
$(5c)^2 = 25c^2$
$2(3a)(4b) = 24ab$
$2(4b)(5c) = 40bc$
$2(5c)(3a) = 30ac$
આમ,વિસ્તૃત સ્વરૂપ $9a^2 + 16b^2 + 25c^2 + 24ab + 40bc + 30ac$ છે.

(N/A) બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(4a - 2b - 3c)^2 = [4a + (-2b) + (-3c)]^2$
$= (4a)^2 + (-2b)^2 + (-3c)^2 + 2(4a)(-2b) + 2(-2b)(-3c) + 2(-3c)(4a)$
$= 16a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 16ab + 12bc - 24ac$

(A) આપેલ પદાવલિ $4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 2yz + 4xz$ છે.
આને નિત્યસમ $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખીએ:
$(2x)^2 + (-y)^2 + (z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(2x)(z)$.
આ નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2x$,$b = -y$,અને $c = z$ મળે છે.
તેથી,પદાવલિ $(2x - y + z)^2$ બને છે.
આમ,અવયવો $(2x - y + z)(2x - y + z)$ છે.

(N/A) $(3a + 4b)^3$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$(3a + 4b)^3$ ની સરખામણી $(x + y)^3$ સાથે કરતા,આપણને $x = 3a$ અને $y = 4b$ મળે છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3a + 4b)^3 = (3a)^3 + (4b)^3 + 3(3a)(4b)(3a + 4b)$
$= 27a^3 + 64b^3 + 36ab(3a + 4b)$
$= 27a^3 + 64b^3 + 108a^2b + 144ab^2$.

(N/A) $(5 p-3 q)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(x-y)^{3} = x^{3} - y^{3} - 3xy(x-y)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$(5 p-3 q)^{3}$ ની સરખામણી $(x-y)^{3}$ સાથે કરતા,આપણને $x = 5p$ અને $y = 3q$ મળે છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(5 p-3 q)^{3} = (5 p)^{3} - (3 q)^{3} - 3(5 p)(3 q)(5 p-3 q)$
ઘન અને ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$= 125 p^{3} - 27 q^{3} - 45 pq(5 p-3 q)$
$-45 pq$ ને કૌંસમાં ગુણતા:
$= 125 p^{3} - 27 q^{3} - 225 p^{2} q + 135 p q^{2}$

(A) આપણી પાસે $(104)^{3} = (100 + 4)^{3}$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 100$ અને $y = 4$ છે:
$(100 + 4)^{3} = (100)^{3} + (4)^{3} + 3(100)(4)(100 + 4)$
$= 1000000 + 64 + 1200(104)$
$= 1000000 + 64 + 124800$
$= 1124864$.

(B) આપણે $999$ ને $(1000 - 1)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x - y)^{3} = x^{3} - y^{3} - 3xy(x - y)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 1000$ અને $y = 1$ છે:
$(1000 - 1)^{3} = (1000)^{3} - (1)^{3} - 3(1000)(1)(1000 - 1)$
$= 1,000,000,000 - 1 - 3000(999)$
$= 1,000,000,000 - 1 - 2,997,000$
$= 1,000,000,000 - 2,997,001$
$= 997,002,999$

(A) આપેલ પદાવલિ $8 x^{3}+27 y^{3}+36 x^{2} y+54 x y^{2}$ છે.
આ પદાવલિને આપણે નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$(2 x)^{3}+(3 y)^{3}+3(2 x)^{2}(3 y)+3(2 x)(3 y)^{2}$.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $a^{3}+b^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2} = (a+b)^{3}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2 x$ અને $b = 3 y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(2 x+3 y)^{3}$.
આમ,અવયવ સ્વરૂપ $(2 x+3 y)(2 x+3 y)(2 x+3 y)$ છે.

(N/A) અહીં આપણે નિત્યસમ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 2x$,$b = y$ અને $c = 3z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$8x^{3} + y^{3} + 27z^{3} - 18xyz = (2x)^{3} + (y)^{3} + (3z)^{3} - 3(2x)(y)(3z)$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= (2x + y + 3z)((2x)^{2} + (y)^{2} + (3z)^{2} - (2x)(y) - (y)(3z) - (2x)(3z))$.
બીજા કૌંસમાં રહેલા પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= (2x + y + 3z)(4x^{2} + y^{2} + 9z^{2} - 2xy - 3yz - 6xz)$.

(A) $(x+4)(x+10)$ નો ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે નીચેના બૈજિક નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
અહીં,$a = 4$ અને $b = 10$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x+4)(x+10) = x^2 + (4+10)x + (4 \times 10)$
પદોની ગણતરી કરતા:
$= x^2 + 14x + 40$
આમ,ગુણાકાર $x^2 + 14x + 40$ મળે છે.

(A) $(x+8)(x-10)$ નો ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(x+a)(x+b) = x^{2} + (a+b)x + ab$।
અહીં,$a = 8$ અને $b = -10$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x+8)(x-10) = x^{2} + (8 + (-10))x + (8 \times (-10))$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$= x^{2} + (-2)x + (-80)$
$= x^{2} - 2x - 80$.

(A) $(3x + 4)(3x - 5)$ નો ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,આપણે $x = 3x$,$a = 4$ અને $b = -5$ લઈએ છીએ.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3x + 4)(3x - 5) = (3x)^2 + (4 + (-5))(3x) + (4 \times (-5))$
$= 9x^2 + (-1)(3x) - 20$
$= 9x^2 - 3x - 20$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right)$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = y^{2}$ અને $b = \frac{3}{2}$ છે,આપણને મળે છે:
$\left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right) = (y^{2})^{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$
$= y^{4} - \frac{9}{4}$

(A) $(3-2 x)(3+2 x)$ નો ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 2x$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3-2 x)(3+2 x) = (3)^{2} - (2x)^{2}$.
વર્ગોની ગણતરી કરતા:
$(3)^{2} = 9$ અને $(2x)^{2} = 4x^{2}$ મળે છે.
તેથી,ગુણાકાર $9 - 4x^{2}$ છે.

(B) આપણે ગુણાકારને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $103 \times 107 = (100 + 3)(100 + 7)$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 100$,$a = 3$,અને $b = 7$ છે:
$103 \times 107 = (100)^2 + (3 + 7) \times 100 + (3 \times 7)$
$= 10000 + (10 \times 100) + 21$
$= 10000 + 1000 + 21$
$= 11021$

(C) આપણે ગુણાકારને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $95 \times 96 = (100 - 5) \times (100 - 4)$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 100$,$a = -5$,અને $b = -4$ છે:
$95 \times 96 = (100)^2 + [(-5) + (-4)] \times 100 + [(-5) \times (-4)]$.
$= 10000 + (-9) \times 100 + 20$.
$= 10000 - 900 + 20$.
$= 9100 + 20 = 9120$.

(D) આપણી પાસે $104 \times 96 = (100 + 4)(100 - 4)$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 100$ અને $b = 4$ છે:
$= (100)^2 - (4)^2$
$= 10000 - 16$
$= 9984$.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $9x^{2}+6xy+y^{2}$ છે.
આને $(3x)^{2} + 2(3x)(y) + (y)^{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 3x$ અને $b = y$ છે,આપણને મળે છે:
$(3x+y)^{2} = (3x+y)(3x+y)$.

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $4y^{2}-4y+1$ છે.
આને $(2y)^{2}-2(2y)(1)+(1)^{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=2y$ અને $b=1$ છે,આપણને મળે છે:
$(2y-1)^{2}$.
આમ,અવયવો $(2y-1)(2y-1)$ છે.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $x^{2} - \frac{y^{2}}{100}$ છે.
આને $x^{2} - (\frac{y}{10})^{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = x$ અને $b = \frac{y}{10}$ છે,આપણને મળે છે:
$x^{2} - (\frac{y}{10})^{2} = (x + \frac{y}{10})(x - \frac{y}{10})$.

(A) અહીં આપણે બૈજિક નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$.
$(x + 2y + 4z)^2$ ની સરખામણી નિત્યસમ સાથે કરતા,આપણને મળે છે $x = x$,$y = 2y$,અને $z = 4z$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x + 2y + 4z)^2 = (x)^2 + (2y)^2 + (4z)^2 + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)$.
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$= x^2 + 4y^2 + 16z^2 + 4xy + 16yz + 8zx$.

(A) $(2x - y + z)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 2x$,$b = -y$,અને $c = z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2x - y + z)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(2x)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(2x)^2 = 4x^2$
$(-y)^2 = y^2$
$(z)^2 = z^2$
$2(2x)(-y) = -4xy$
$2(-y)(z) = -2yz$
$2(z)(2x) = 4zx$
આ બધા પદોને જોડતા,આપણને મળે છે:
$(2x - y + z)^2 = 4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 2yz + 4zx$.

(N/A) $(-2x + 3y + 2z)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = -2x$,$b = 3y$,અને $c = 2z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(-2x + 3y + 2z)^2 = (-2x)^2 + (3y)^2 + (2z)^2 + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(-2x)^2 = 4x^2$
$(3y)^2 = 9y^2$
$(2z)^2 = 4z^2$
$2(-2x)(3y) = -12xy$
$2(3y)(2z) = 12yz$
$2(2z)(-2x) = -8zx$
આ પરિણામોને જોડતા,આપણને મળે છે:
$4x^2 + 9y^2 + 4z^2 - 12xy + 12yz - 8zx$

(N/A) $(3a - 7b - c)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2zx$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x = 3a$,$y = -7b$,અને $z = -c$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3a - 7b - c)^{2} = (3a)^{2} + (-7b)^{2} + (-c)^{2} + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$= 9a^{2} + 49b^{2} + c^{2} + (-42ab) + (14bc) + (-6ca)$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$= 9a^{2} + 49b^{2} + c^{2} - 42ab + 14bc - 6ca$

(N/A) $(-2x + 5y - 3z)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = -2x$,$b = 5y$,અને $c = -3z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(-2x + 5y - 3z)^2 = (-2x)^2 + (5y)^2 + (-3z)^2 + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(-2x)^2 = 4x^2$
$(5y)^2 = 25y^2$
$(-3z)^2 = 9z^2$
$2(-2x)(5y) = -20xy$
$2(5y)(-3z) = -30yz$
$2(-3z)(-2x) = 12zx$
આ પરિણામોને જોડતા,આપણને મળે છે:
$4x^2 + 25y^2 + 9z^2 - 20xy - 30yz + 12zx$

અહીં આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x+y+z)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x = \frac{1}{4}a$,$y = -\frac{1}{2}b$,અને $z = 1$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^{2} = \left(\frac{1}{4} a\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2} b\right)^{2} + (1)^{2} + 2\left(\frac{1}{4} a\right)\left(-\frac{1}{2} b\right) + 2\left(-\frac{1}{2} b\right)(1) + 2(1)\left(\frac{1}{4} a\right)$
$= \frac{1}{16} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + 1 - \frac{1}{4} ab - b + \frac{1}{2} a$.

(A) આપેલ પદાવલિ $4x^{2} + 9y^{2} + 16z^{2} + 12xy - 24yz - 16xz$ છે.
આપણે નિત્યસમ $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા:
$4x^{2} = (2x)^{2}$
$9y^{2} = (3y)^{2}$
$16z^{2} = (-4z)^{2}$ (અહીં $-24yz$ અને $-16xz$ પદો ઋણ હોવાથી,$z$ વાળું પદ ઋણ લેવું પડશે).
હવે,પદાવલિને આ રીતે લખી શકાય:
$= (2x)^{2} + (3y)^{2} + (-4z)^{2} + 2(2x)(3y) + 2(3y)(-4z) + 2(-4z)(2x)$
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આનું સાદું રૂપ:
$= (2x + 3y - 4z)^{2}$
આમ,અવયવ સ્વરૂપ $(2x + 3y - 4z)(2x + 3y - 4z)$ થાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $2x^2 + y^2 + 8z^2 - 2\sqrt{2}xy + 4\sqrt{2}yz - 8xz$ છે.
આપણે નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$(-\sqrt{2}x)^2 + (y)^2 + (2\sqrt{2}z)^2 + 2(-\sqrt{2}x)(y) + 2(y)(2\sqrt{2}z) + 2(2\sqrt{2}z)(-\sqrt{2}x)$
અહીં,$a = -\sqrt{2}x$,$b = y$,અને $c = 2\sqrt{2}z$ છે.
તેથી,પદાવલિ $(-\sqrt{2}x + y + 2\sqrt{2}z)^2$ અથવા $(y - \sqrt{2}x + 2\sqrt{2}z)^2$ બને છે.

(A) $(2x + 1)^3$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 2x$ અને $b = 1$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2x + 1)^3 = (2x)^3 + (1)^3 + 3(2x)(1)(2x + 1)$
પદોની ગણતરી કરતા:
$= 8x^3 + 1 + 6x(2x + 1)$
$6x$ ને કૌંસમાં ગુણતા:
$= 8x^3 + 1 + 12x^2 + 6x$
ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

(N/A) $(2a - 3b)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x - y)^{3} = x^{3} - y^{3} - 3xy(x - y)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x = 2a$ અને $y = 3b$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2a - 3b)^{3} = (2a)^{3} - (3b)^{3} - 3(2a)(3b)(2a - 3b)$
ઘન અને ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$= 8a^{3} - 27b^{3} - 18ab(2a - 3b)$
$-18ab$ ને કૌંસની અંદર ગુણતા:
$= 8a^{3} - 27b^{3} - (36a^{2}b - 54ab^{2})$
$= 8a^{3} - 27b^{3} - 36a^{2}b + 54ab^{2}$

$\left[\frac{3}{2} x+1\right]^{3}$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \frac{3}{2}x$ અને $b = 1$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left[\frac{3}{2} x+1\right]^{3} = \left(\frac{3}{2} x\right)^{3} + (1)^{3} + 3\left(\frac{3}{2} x\right)(1)\left(\frac{3}{2} x + 1\right)$
ઘાત અને ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$= \frac{27}{8} x^{3} + 1 + \frac{9}{2} x \left(\frac{3}{2} x + 1\right)$
$\frac{9}{2}x$ ને કૌંસમાં ગુણતા:
$= \frac{27}{8} x^{3} + 1 + \left(\frac{9}{2} x \cdot \frac{3}{2} x\right) + \left(\frac{9}{2} x \cdot 1\right)$
$= \frac{27}{8} x^{3} + 1 + \frac{27}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x$
પદોને ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$= \frac{27}{8} x^{3} + \frac{27}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x + 1$

(N/A) $\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a-b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a-b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = x$ અને $b = \frac{2}{3}y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3} = x^{3} - \left(\frac{2}{3} y\right)^{3} - 3(x)\left(\frac{2}{3} y\right)\left(x-\frac{2}{3} y\right)$
$= x^{3} - \frac{8}{27} y^{3} - 2xy\left(x-\frac{2}{3} y\right)$
$= x^{3} - \frac{8}{27} y^{3} - 2x^{2}y + \left(2xy \cdot \frac{2}{3}y\right)$
$= x^{3} - \frac{8}{27} y^{3} - 2x^{2}y + \frac{4}{3}xy^{2}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $99 = 100 - 1$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 100$ અને $b = 1$ છે:
$(100 - 1)^{3} = 100^{3} - 1^{3} - 3(100)(1)(100 - 1)$
$= 1000000 - 1 - 300(99)$
$= 1000000 - 1 - 29700$
$= 1000000 - 29701$
$= 970299$