$6x^2 + 17x + 5$ ના અવયવો મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અને અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવો.

(મધ્યમપદને વિભાજિત કરવાની રીત) :

આપણે એવી બે સંખ્યા $p$ અને $q$ શોધીએ કે જેથી $p +q = 17$ અને $pq = 6 \times 5 = 30$ થાય. હવે આપણે અવયવો મેળવીએ.

ચાલો આપણે $30$ ના અવયવોની જોડનો વિચાર કરીએ. તેમાંની કેટલીક $1$ અને $30$, $2$ અને $15$, $3$ અને $10$, $5$ અને $6$ આ બધી જોડમાંથી $2$ અને $15$ ની જોડ આપણને $p + q = 17$ આપે છે.

તેથી $6 x^{2}+17 x+5 =6 x^{2}+(2+15) x+5$

$=6 x^{2}+2 x+15 x+5$

$=2 x(3 x+1)+5(3 x+1) $

$=(3 x+1)(2 x+5) $

અવયવ પ્રમેયની મદદથી 

$6 x^{2}+17 x+5=6\left(x^{2}+\frac{17}{6} x+\frac{5}{6}\right)=6 p(x)$ કહો. જો $a$ અને $b$, $p(x)$ ના શૂન્ય હોય તો, $6 x^{2}+17 x+5=6(x-a)(x-b)$. તેથી $a b=\frac{5}{6}$ . ચાલો $a$ અને $b$ ની કેટલીક સંભવિત કિંમતો જોઈએ.

$\pm \frac{1}{2}, \,\pm \frac{1}{3}, \,\pm \frac{5}{3}, \,\pm \frac{5}{2},\,\pm 1$ હવે $p\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{17}{6}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{5}{6} \neq 0$. પરંતુ $p\left(\frac{-1}{3}\right)=\left(\frac{-1}{3}\right)^{2}+\frac{17}{6}\left(\frac{-1}{3}\right)+\frac{5}{6}=0$.

તેથી $\left(x+\frac{1}{3}\right)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

તે જ પ્રમાણે પ્રયત્નો દ્વારા  $\left(x+\frac{5}{2}\right)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે તે નક્કી થઈ શકે.

$6 x^{2}+17 x+5 =6\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$

$=6\left(\frac{3 x+1}{3}\right)\left(\frac{2 x+5}{2}\right)$

$=(3 x+1)(2 x+5)$