જો $x-2$ અને $x-\frac{1}{2}$ બંને $p x^{2}+5 x+r$ ના અવયવો હોય,તો સાબિત કરો કે $p=r$.

(A) ધારો કે $f(x) = p x^{2} + 5 x + r$.
કારણ કે $(x-2)$ એ $f(x)$ નો અવયવ છે,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$f(2) = 0$.
$p(2)^{2} + 5(2) + r = 0$
$4p + 10 + r = 0$
$4p + r = -10$ --- $(1)$
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})$ એ $f(x)$ નો અવયવ છે,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$f(\frac{1}{2}) = 0$.
$p(\frac{1}{2})^{2} + 5(\frac{1}{2}) + r = 0$
$\frac{1}{4}p + \frac{5}{2} + r = 0$
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$p + 10 + 4r = 0$
$p + 4r = -10$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,બંને $-10$ ની બરાબર હોવાથી:
$4p + r = p + 4r$
$4p - p = 4r - r$
$3p = 3r$
$p = r$
આમ,સાબિત થાય છે.