Refraction by Lenses Questions in Hindi

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ उसके अपवर्तनांक और उसकी सतहों की वक्रता त्रिज्या पर निर्भर करती है। एपर्चर के एक हिस्से को अवरुद्ध करने से ये पैरामीटर नहीं बदलते हैं, इसलिए फोकस दूरी $f$ ही रहेगी।
प्रतिबिंब की तीव्रता $I$ एपर्चर के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है, जो $A = \pi (d/2)^2 = \pi d^2/4$ है।
जब $d/2$ व्यास वाले केंद्रीय भाग को अवरुद्ध किया जाता है, तो अवरुद्ध भाग की त्रिज्या $d/4$ होती है। अवरुद्ध भाग का क्षेत्रफल $A_{blocked} = \pi (d/4)^2 = \pi d^2/16$ है।
शेष क्षेत्रफल $A_{remaining} = A - A_{blocked} = \frac{\pi d^2}{4} - \frac{\pi d^2}{16} = \frac{3\pi d^2}{16}$ है।
शेष क्षेत्रफल और मूल क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{3\pi d^2/16}{\pi d^2/4} = 3/4$ है।
इसलिए, नई तीव्रता $3I/4$ हो जाएगी।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$.
चूंकि लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक बैंगनी प्रकाश की तुलना में कम होता है $(\mu_{red} < \mu_{violet})$,इसलिए फोकस दूरी $f$,$(\mu - 1)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
उत्तल लेंस के लिए,$f_v < f_r$ क्योंकि $\mu_{violet} > \mu_{red}$.
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $F$ का परिमाण भी इसी संबंध का पालन करता है,इसलिए $F_v < F_r$ क्योंकि $\mu_{violet} > \mu_{red}$.
अतः,सही संबंध $f_v < f_r$ और $F_v < F_r$ है।

(A) एक पतले लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब आप लेंस को दबाते हैं,तो सतहों की वक्रता बढ़ जाती है,जिसका अर्थ है कि वक्रता त्रिज्या $R_1$ और $R_2$ कम हो जाती है।
जैसे-जैसे $R_1$ और $R_2$ कम होते हैं,पद $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ बढ़ जाता है,जिसका अर्थ है कि लेंस की शक्ति बढ़ जाती है और फोकस दूरी $f$ कम हो जाती है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ है,जहाँ $u$ वस्तु की दूरी (ऋणात्मक) है और $v$ प्रतिबिंब की दूरी है।
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{uf}{u+f}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वस्तु फोकस बिंदु के बाहर है,इसलिए $|u| > f$ है। जैसे-जैसे $f$ घटता है,प्रतिबिंब की दूरी $v$ भी कम हो जाती है।
इसलिए,प्रतिबिंब लेंस की ओर बढ़ता है।

(B) एक पतले लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब लेंस को दबाया जाता है,तो सतहों की वक्रता बढ़ जाती है,जिसका अर्थ है कि वक्रता त्रिज्या $R_1$ और $R_2$ कम हो जाती है।
जैसे-जैसे $R_1$ और $R_2$ कम होते हैं,पद $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि लेंस की शक्ति बढ़ जाती है और फोकस दूरी $f$ कम हो जाती है।
लेंस का आवर्धन $m$,$m = \frac{f}{f - u}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ वस्तु की दूरी है (जो ऋणात्मक है,इसलिए $u = -|u|$ लें)। अतः,$m = \frac{f}{f + |u|}$.
जैसे-जैसे $f$ कम होता है,प्रतिबिंब का आकार भी कम हो जाता है।
अतः,प्रतिबिंब की पार्श्व ऊँचाई घटती है।

(A) लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ वस्तु की दूरी (ऋणात्मक),$v$ प्रतिबिंब की दूरी और $f$ फोकस दूरी है।
जैसे-जैसे शलजम (वस्तु) लेंस से दूर जाती है,$|u|$ का मान बढ़ता है।
निश्चित प्रतिबिंब दूरी $v$ के लिए (क्योंकि कार्ड की स्थिति स्थिर है),पद $\frac{1}{v}$ स्थिर रहता है।
जैसे-जैसे $|u|$ बढ़ता है,$\frac{1}{|u|}$ घटता है।
समीकरण $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{|u|}$ को बनाए रखने के लिए,जैसे-जैसे $\frac{1}{|u|}$ घटता है,$\frac{1}{f}$ को कम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि फोकस दूरी $f$ को बढ़ना चाहिए।
लेंस की फोकस दूरी $f$ बढ़ाने के लिए इसकी वक्रता को कम करना आवश्यक है।
चूंकि लेंस को दबाने से इसकी वक्रता बढ़ जाती है (इसे अधिक उत्तल बनाकर और $f$ को कम करके),इसलिए $f$ को बढ़ाने के लिए,हमें लेंस पर दबाव कम करना होगा।

(C) एक पतले लेंस के ध्रुव पर,सतह प्रकाशिक अक्ष के लंबवत होती है। इसलिए,ध्रुव पर सतह का अभिलंब प्रकाशिक अक्ष के साथ संपाती होता है।
$1$. पहली सतह (ध्रुव) पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu \sin(2^{\circ}) = (2\mu) \sin(r_1)$
छोटे कोणों के लिए,$\sin(\theta) \approx \theta$ (रेडियन में),इसलिए:
$\mu(2^{\circ}) = 2\mu(r_1) \implies r_1 = 1^{\circ}$
$2$. दूसरी सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
चूंकि लेंस पतला है,किरण सीधे दूसरी सतह पर समान ऊंचाई (ध्रुव) पर पहुंचती है। दूसरे ध्रुव पर अभिलंब भी प्रकाशिक अक्ष के साथ संपाती होता है।
$(2\mu) \sin(r_1) = (3\mu) \sin(e)$
छोटे कोण सन्निकटन का उपयोग करने पर:
$2\mu(r_1) = 3\mu(e)$
$2(1^{\circ}) = 3(e)$
$e = (2/3)^{\circ}$
अतः,निर्गत किरण द्वारा प्रकाशिक अक्ष के साथ बनाया गया कोण $(2/3)^{\circ}$ है।

(C) जब लेंस को एक छोटे कोण $\theta$ से झुकाया जाता है,तो लेंस का फोकस $x$-अक्ष से हट जाता है।
प्रारंभ में,फोकस $(f, 0)$ पर है।
जब लेंस को $\theta$ कोण से झुकाया जाता है,तो फोकस की नई स्थिति $(x', y')$ को निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
ऑप्टिकल केंद्र $O$ से फोकस की दूरी $f$ बनी रहती है।
फोकस के नए निर्देशांक $(f \cos \theta, f \sin \theta)$ हैं।
चूंकि $\theta$ छोटा है,$\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ और $\sin \theta \approx \theta$.
अतः,फोकस $(f(1 - \frac{\theta^2}{2}), f \theta)$ पर है।
$x$-अक्ष के अनुदिश प्रतिबिंब का विस्थापन $f - f \cos \theta = f(1 - \cos \theta) \approx f \frac{\theta^2}{2}$ है।
$y$-अक्ष के अनुदिश विस्थापन $f \sin \theta \approx f \theta$ है।
हालाँकि,प्रश्न में प्रतिबिंब के दोलन का आयाम पूछा गया है। जैसे-जैसे लेंस $-\theta$ और $+\theta$ के बीच दोलन करता है,प्रतिबिंब $f$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप पर चलता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न लेंस के झुकाव के कारण $x$-अक्ष पर होने वाले विस्थापन के बारे में है,जो $\frac{f \theta^2}{2}$ है।

(A) माना लेंस की $P$ से दूरी $x$ है। तब $Q$ से दूरी $(24-x)$ होगी।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए,यदि प्रतिबिंब एक ही स्थान पर बनते हैं,तो $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u}$ होगा।
दोनों के लिए $\frac{1}{9} + \frac{1}{x} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x}$ रखने पर $x = 12$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि हम समीकरण $(x-6)(x-18)=0$ का उपयोग करें,तो $x = 6 \ cm$ या $x = 18 \ cm$ प्राप्त होता है। अतः,लेंस को $6 \ cm$ या $18 \ cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(A) अवतल लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
यहाँ,आपतित किरणें अभिसरित हो रही हैं,इसलिए वस्तु आभासी है। अभिसरण बिंदु से ध्रुव की दूरी $u$ है,जो धनात्मक है $(u > 0)$।
अवतल लेंस की फोकस दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए हम $f_{lens} = -f$ लेते हैं (जहाँ $f > 0$)।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = -\frac{1}{f}$ हो जाता है,जिसे सरल करने पर $\frac{1}{v} = \frac{1}{u} - \frac{1}{f} = \frac{f - u}{uf}$ प्राप्त होता है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,प्रतिबिंब दूरी $v$ धनात्मक होनी चाहिए $(v > 0)$।
चूँकि $u > 0$ और $f > 0$ है,$v$ को धनात्मक होने के लिए अंश $(f - u)$ को धनात्मक होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $f - u > 0$,या $u < f$।
अतः,दूरी $u$ को $0$ और $f$ के बीच स्थित होना चाहिए।

(A) $+10\, cm$ फोकस दूरी $(f)$ वाले अभिसारी लेंस (उत्तल लेंस) के लिए,जब वस्तु को प्रकाशीय केंद्र और फोकस के बीच $(u < 10\, cm)$ रखा जाता है,तो एक आभासी और आवर्धित प्रतिबिंब बनता है।
विकल्प $A$ में,वस्तु को $5\, cm$ पर रखा गया है,जो फोकस दूरी से कम है $(5\, cm < 10\, cm)$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} - \frac{1}{-5} = \frac{1}{10}$,जिससे $\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = -\frac{1}{10}$ प्राप्त होता है,अतः $v = -10\, cm$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{-10}{-5} = +2$ है। चूँकि $|m| > 1$ है,इसलिए प्रतिबिंब आभासी,सीधा और वस्तु से बड़ा है।
अपसारी लेंस हमेशा वास्तविक वस्तुओं के लिए आभासी और छोटा प्रतिबिंब ही बनाते हैं।

(C) लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
यहाँ,$u = -OA$ और $v = OB$ है,इसलिए $\frac{1}{f} = \frac{1}{OB} - \frac{1}{-OA} = \frac{1}{OB} + \frac{1}{OA} = \frac{OA + OB}{OA \cdot OB}$.
अतः,$f = \frac{(OA)(OB)}{OA + OB} = \frac{(OA)(OB)}{AB} \dots(i)$.
समकोण त्रिभुज $\triangle BCA$ में,$OC$ कर्ण $AB$ पर डाला गया लंब है। समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,$OC^2 = (OA)(OB)$ होता है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = \frac{OC^2}{AB}$ प्राप्त होता है।

(C) उत्तल लेंस के लिए विस्थापन विधि (displacement method) के अनुसार,जब वस्तु और पर्दे को एक निश्चित दूरी $D$ पर रखा जाता है,और लेंस को दो स्थितियों के बीच स्थानांतरित करके पर्दे पर स्पष्ट प्रतिबिंब प्राप्त किया जाता है,तो प्रतिबिंबों की ऊँचाई $h_1$ और $h_2$ वस्तु की ऊँचाई $h$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित होती हैं: $h = \sqrt{h_1 h_2}$.
दिया गया है: $h_1 = 8\,cm$ और $h_2 = 12.5\,cm$.
मान रखने पर: $h = \sqrt{8 \times 12.5}$.
$h = \sqrt{100}$.
$h = 10\,cm$.
अतः,वस्तु की ऊँचाई $10\,cm$ है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +20\, cm$,वस्तु की दूरी $u = -30\, cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = +60\, cm$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$.
माना वस्तु मुख्य अक्ष ($XY$ रेखा) से $h_O = 0.5\, cm$ ऊपर है।
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_I = m \times h_O = -2 \times 0.5\, cm = -1\, cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब मुख्य अक्ष $XY$ के नीचे बनता है।
इस प्रकार,प्रतिबिंब $XY$ रेखा के $1\, cm$ नीचे बनेगा।

(B) वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D = 90\, cm$ है।
उत्तल लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी $d = 20\, cm$ है।
विस्थापन विधि में उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ का सूत्र $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$ होता है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{(90)^2 - (20)^2}{4 \times 90}$
$f = \frac{8100 - 400}{360}$
$f = \frac{7700}{360}$
$f = \frac{770}{36} \approx 21.388\, cm$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $f = 21.4\, cm$ प्राप्त होता है।

(D) माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है। दो प्रतिबिंबों का आकार $I_1 = 6 \, cm$ और $I_2 = 3 \, cm$ है। उत्तल लेंस के लिए विस्थापन विधि के अनुसार,वस्तु की ऊँचाई का सूत्र $h = \sqrt{I_1 \times I_2}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $h = \sqrt{6 \times 3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \, cm$.
गणना करने पर: $3 \times 1.414 = 4.242 \, cm$.
चूँकि $4.242 \, cm$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) $1$. पहले लेंस के लिए,आपतित किरण का अपवर्तन इस प्रकार होता है कि वह मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती है। इसका अर्थ है कि आपतित किरण पहले लेंस के फोकस बिंदु की ओर निर्देशित है। आरेख से,इस फोकस बिंदु की पहले लेंस से दूरी $5 \text{ cm}$ है। चूंकि लेंस उत्तल है,इसलिए इसकी फोकस दूरी $f_{1} = +5 \text{ cm}$ है।
$2$. दूसरे लेंस के लिए,मुख्य अक्ष के समानांतर किरण लेंस पर आपतित होती है और अपवर्तित होकर अपने फोकस बिंदु से गुजरती है। निर्गत किरण मुख्य अक्ष के साथ उतना ही कोण $\theta$ बनाती है जितना आपतित किरण बनाती है। आरेख की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{h}{5} = \frac{h}{f_{2}}$,जहाँ $h$ मुख्य अक्ष से किरण की ऊंचाई है। इस प्रकार,दूसरे लेंस की फोकस दूरी $f_{2} = 5 \text{ cm}$ है। चूंकि यह एक उत्तल लेंस है,इसलिए $f_{2} = +5 \text{ cm}$ है।

(D) अभिसारी लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dv}{dt} = \left( \frac{v}{u} \right)^2 \frac{du}{dt}$।
मान लीजिए $v_o = \frac{du}{dt}$ वस्तु का वेग है और $v_i = \frac{dv}{dt}$ प्रतिबिंब का वेग है।
चूंकि वस्तु लेंस की ओर गति कर रही है,$\frac{du}{dt}$ ऋणात्मक है। प्रतिबिंब के भी लेंस की ओर गति करने के लिए,$\frac{dv}{dt}$ ऋणात्मक होना चाहिए।
हालाँकि,पद $\left( \frac{v}{u} \right)^2$ हमेशा धनात्मक होता है। यह दर्शाता है कि वास्तविक प्रतिबिंब $(v > 0)$ के लिए,प्रतिबिंब वस्तु की विपरीत दिशा में गति करता है।
यदि वस्तु को फोकस और प्रकाशीय केंद्र के बीच $(u < f)$ रखा जाता है,तो बनने वाला प्रतिबिंब आभासी और सीधा होता है। इस स्थिति में,$v$ ऋणात्मक है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
जैसे-जैसे वस्तु $F$ से $O$ की ओर गति करती है (अर्थात $u$,$f$ से $0$ तक घटता है),आभासी प्रतिबिंब $-\infty$ से $O$ की ओर गति करता है। इस प्रकार,वस्तु और प्रतिबिंब दोनों लेंस की ओर गति करते हैं।
इसलिए,शर्त $u < f$ है।

(D) माना वस्तु की स्थिति $u$ है और प्रतिबिंब की स्थिति $v$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dv}{dt} = \left(\frac{v}{u}\right)^2 \frac{du}{dt}$.
यहाँ,लेंस के सापेक्ष वस्तु का वेग $v_{ol} = v_o - v_l = V - (-V) = 2V$ है। अतः,$\frac{du}{dt} = 2V$.
$u = -2f$ पर,प्रतिबिंब दूरी $v$ को $\frac{1}{v} - \frac{1}{-2f} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है,जिससे $v = 2f$ प्राप्त होता है।
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{2f}{-2f} = -1$.
इस प्रकार,लेंस के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $v_{il} = m^2 v_{ol} = (-1)^2 (2V) = 2V$ है।
चूंकि $v_{il} = v_i - v_l$,हमारे पास $2V = v_i - (-V)$ है,जिससे $v_i = 2V - V = V$ प्राप्त होता है।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
चूंकि अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (कॉशी का समीकरण: $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2}$),इसलिए फोकस दूरी $f$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती होती है।
दृश्य स्पेक्ट्रम में लाल रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है।
अतः,लेंस की फोकस दूरी लाल रंग के लिए सबसे अधिक होती है।

(B) लेंस की शक्ति $P$ को लेंस मेकर सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक उभयोत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +10 \ cm = +0.1 \ m$ और $R_2 = -10 \ cm = -0.1 \ m$ है।
अपवर्तनांक $\mu = 1.6$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{0.1} - \frac{1}{-0.1} \right)$
$P = (0.6) \left( 10 + 10 \right)$
$P = 0.6 \times 20 = 12 \ D$.
अतः,लेंस की शक्ति $+12 \ D$ है।

(C) पर्दे पर प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए प्रतिबिंब का वास्तविक होना आवश्यक है। उत्तल दर्पण और अवतल लेंस हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनाते हैं,इसलिए विकल्प $A$,$B$ और $D$ गलत हैं। एक उत्तल लेंस पर्दे पर वास्तविक और छोटा प्रतिबिंब बना सकता है।
उत्तल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,वस्तु और पर्दे के बीच की न्यूनतम दूरी $4f$ होती है।
यहाँ वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $d = 1\, m$ दी गई है,इसलिए $4f \leq d$ होना चाहिए।
$4f \leq 1\, m \Rightarrow f \leq 0.25\, m$।
अतः,$0.25\, m$ से कम फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस की आवश्यकता है।

(C) आवर्धक लेंस एक उत्तल लेंस (अभिसारी लेंस) होता है जिसका उपयोग किसी वस्तु का आवर्धित,आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनाने के लिए किया जाता है।
उत्तल लेंस द्वारा आभासी और आवर्धित प्रतिबिंब बनाने के लिए,वस्तु को लेंस के प्रकाशिक केंद्र और मुख्य फोकस के बीच रखा जाना चाहिए,अर्थात $u < f$ दूरी पर।
जब वस्तु को फोकस दूरी $f$ से कम दूरी पर रखा जाता है,तो लेंस वस्तु की ओर ही एक आभासी,सीधा और आवर्धित प्रतिबिंब बनाता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही कथन है।

(C) लेंस समीकरण $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
उत्तल लेंस के लिए चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,वस्तु की दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए हम $u = -x$ लेते हैं (जहाँ $x > 0$)।
समीकरण $\frac{1}{v} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{f}$ हो जाता है,जो सरल होकर $\frac{1}{v} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f}$ बन जाता है।
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{x - f}{xf}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v = \frac{xf}{x - f}$।
जैसे-जैसे $x$,$f$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$v$,$\infty$ से $f$ तक घटता है। यह $v-u$ तल के प्रथम चतुर्थांश में एक अतिपरवलयिक (hyperbolic) वक्र को दर्शाता है ($u$ और $v$ के परिमाणों को ध्यान में रखते हुए),जो विकल्प $C$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(A) उत्तल लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,$u$ ऋणात्मक है,इसलिए मान लें $u = -|u|$ और $v = |v|$।
समीकरण $\frac{1}{|v|} - \frac{1}{-|u|} = \frac{1}{f}$ हो जाता है,जो सरल होकर $\frac{1}{|v|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$ बन जाता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण $|v| = |u|$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ पर,हम लेंस सूत्र में $|v| = |u|$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{|u|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$
$\frac{2}{|u|} = \frac{1}{f}$
$|u| = 2f$।
चूंकि $|v| = |u|$,इसलिए $|v| = 2f$ है।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2f, 2f)$ हैं।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
यहाँ,$n$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
कॉची के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $n$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(n \propto \frac{1}{\lambda^2})$।
नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_b)$ लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_r)$ से कम होती है।
इसलिए,नीले प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $(n_b)$ लाल प्रकाश के अपवर्तनांक $(n_r)$ से अधिक होता है।
चूंकि $\frac{1}{f} \propto (n - 1)$,उच्च अपवर्तनांक का अर्थ है $\frac{1}{f}$ का मान अधिक होना,जिसका अर्थ है कि फोकस दूरी $f$ कम हो जाती है।
अतः,जब नीले प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो उत्तल लेंस की फोकस दूरी घट जाती है।

(A) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
यहाँ $v = 12 \ cm$ और $u = -240 \ cm$ $(2.4 \ m = 240 \ cm)$ है।
$\frac{1}{f} = \frac{1}{12} - \frac{1}{-240} = \frac{20+1}{240} = \frac{21}{240} \ cm^{-1}$.
जब $t = 1 \ cm$ मोटाई और $\mu = 1.5$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट रखी जाती है,तो प्रतिबिंब लेंस की ओर $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu}) = 1(1 - \frac{1}{1.5}) = 1(1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} \ cm$ स्थानांतरित हो जाता है।
नई प्रतिबिंब स्थिति $v' = 12 - \frac{1}{3} = \frac{35}{3} \ cm$ है।
स्पष्ट फोकस बनाए रखने के लिए,नई वस्तु दूरी $u'$ को संतुष्ट करना चाहिए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u'}$.
$\frac{1}{u'} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{f} = \frac{3}{35} - \frac{21}{240} = \frac{3}{35} - \frac{7}{80}$.
$\frac{1}{u'} = \frac{3 \times 16 - 7 \times 7}{560} = \frac{48 - 49}{560} = -\frac{1}{560} \ cm^{-1}$.
अतः,$u' = -560 \ cm = -5.6 \ m$.
वस्तु के लिए आवश्यक विस्थापन $|u'| - |u| = 5.6 \ m - 2.4 \ m = 3.2 \ m$ है।

(C) अपवर्तनांक $n = \frac{c}{v}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $v = 2 \times 10^8 \ m/s$ माध्यम में गति है।
$n = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.
माना $R$ वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या है। लेंस की ज्यामिति से,वृत्त में जीवा के गुण का उपयोग करते हुए: $r^2 = t(2R - t)$,जहाँ $r = 3 \ cm$ लेंस की त्रिज्या है और $t = 3 \ mm = 0.3 \ cm$ मोटाई है।
$3^2 = 0.3(2R - 0.3) \Rightarrow 9 = 0.6R - 0.09 \Rightarrow 0.6R = 9.09 \Rightarrow R = 15.15 \ cm \approx 15 \ cm$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (n - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
समतल-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R = 15 \ cm$ और $R_2 = \infty$.
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1)(\frac{1}{15} - \frac{1}{\infty}) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$.
अतः,$f = 30 \ cm$.

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f_m} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में उत्तल लेंस के लिए,$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = (\frac{3}{2} - 1) \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$. अतः,$f = R$.
द्रव $1$ में जहाँ $\mu_{L1} = \frac{4}{3}$ है: $\frac{1}{f_1} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \frac{2}{R} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{R} = \frac{1}{4R}$. अतः,$f_1 = 4R = 4f$. यहाँ $f_1 > f$ है,इसलिए फोकस दूरी बढ़ जाती है।
द्रव $2$ में जहाँ $\mu_{L2} = \frac{5}{3}$ है: $\frac{1}{f_2} = \left( \frac{3/2}{5/3} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{9}{10} - 1 \right) \frac{2}{R} = -\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{R} = -\frac{1}{5R}$. अतः,$f_2 = -5R = -5f$. चूँकि $f_2$ ऋणात्मक है,लेंस अवतल लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
चूंकि अपवर्तनांक $\mu$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,और $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$ होता है,इसलिए अपवर्तनांक का क्रम $\mu_R < \mu_G < \mu_B$ होता है।
सूत्र से,$f \propto \frac{1}{\mu - 1}$,जिसका अर्थ है कि $f_R > f_G > f_B$ होगा।
यहाँ नीले,लाल और हरे प्रकाश के लिए प्रतिबिंब दूरियाँ क्रमशः $x$,$y$ और $z$ दी गई हैं,इसलिए $x = f_B$,$y = f_R$,और $z = f_G$ है।
अतः,दूरियों का सही क्रम $y > z > x$ है।

(B) अवतल लेंस एक अपसारी (diverging) लेंस के रूप में कार्य करता है,जो प्रकाश की किरणों को लेंस से गुजरते समय फैला देता है।
जब पर्दे को बहुत दूर रखा जाता है,तो प्रकाश की किरणें एक बड़े क्षेत्र में फैल जाती हैं,जिसके परिणामस्वरूप तीव्रता कम होती है।
जैसे-जैसे पर्दे को लेंस के करीब लाया जाता है,पर्दे पर अपसारी प्रकाश पुंज द्वारा कवर किया गया क्षेत्र कम हो जाता है।
चूंकि प्रकाश स्रोत की कुल शक्ति (या फोटॉन की संख्या) स्थिर रहती है,इसलिए जैसे-जैसे पर्दे पर प्रकाशित क्षेत्र का क्षेत्रफल कम होता है,तीव्रता (प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति) बढ़ती जाती है।
इसलिए,जैसे-जैसे पर्दे को लेंस के करीब लाया जाता है,पर्दे पर प्रकाश की तीव्रता लगातार बढ़ती जाती है।

(B) मोटे लेंस के लिए,फोकस दूरी $f$ मोटे लेंस के लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(\mu - 1)t}{\mu R_1 R_2} \right]$.
स्थिति $1$: किरणें समतल सतह पर आपतित होती हैं $(R_1 = \infty, R_2 = -R)$.
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ 0 - \frac{1}{-R} + 0 \right] = \frac{\mu - 1}{R}$.
अतः,$f = \frac{R}{\mu - 1}$. दूरी $x$ समतल सतह से मापी जाती है,इसलिए $x = f = \frac{R}{\mu - 1}$.
स्थिति $2$: किरणें वक्रीय सतह पर आपतित होती हैं $(R_1 = R, R_2 = \infty)$.
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - 0 + 0 \right] = \frac{\mu - 1}{R}$.
यहाँ,फोकस दूरी समान है,लेकिन अपवर्तन पहले वक्रीय सतह पर होता है। किरणें वक्रीय सतह से $y$ दूरी पर अभिसरित होती हैं। लेंस की मोटाई $t$ के कारण,वक्रीय सतह से प्रभावी दूरी $y$ का मान $y = f + \frac{t}{\mu} = \frac{R}{\mu - 1} + \frac{t}{\mu}$ है।
$x$ और $y$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $y = x + \frac{t}{\mu}$,जिसका अर्थ है कि $y > x$ या $x < y$.

(D) मान लीजिए लेंस की फोकस दूरी $f$ है। वस्तु की दूरी $u = -30\, cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{-30} = \frac{30-f}{30f}$,इसलिए $v = \frac{30f}{30-f}$ प्राप्त होता है।
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{30f/(30-f)}{-30} = \frac{f}{f-30}$ है।
चूंकि लेंस को काटकर $h$ दूरी पर अलग किया गया है,इसलिए प्रत्येक आधा हिस्सा मूल मुख्य अक्ष से $h/2$ विस्थापित हो जाता है। प्रत्येक आधे हिस्से द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब उस हिस्से की नई मुख्य अक्ष से $m \times (h/2)$ विस्थापित होता है।
प्रत्येक प्रतिबिंब की मूल केंद्रीय अक्ष से दूरी $\frac{h}{2} + |m| \frac{h}{2} = \frac{h}{2}(1 + |m|)$ है।
दो प्रतिबिंबों के बीच की कुल दूरी $d = 2 \times \frac{h}{2}(1 + |m|) = h(1 + |m|)$ है।
ग्राफ से,ढाल $\frac{d}{h} = \frac{6\, cm}{2\, cm} = 3$ है।
अतः,$1 + |m| = 3$,जिसका अर्थ है $|m| = 2$।
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक हैं,आवर्धन $m$ ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $m = -2$।
$m = \frac{f}{f-30} = -2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = -2f + 60$ प्राप्त होता है,इसलिए $3f = 60$,जिससे $f = 20\, cm$ प्राप्त होता है।

(B) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\frac{\mu}{\mu_2} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र में,समानांतर प्रकाश किरणें उत्तल लेंस से गुजरने के बाद अपसरित (diverging) हो रही हैं,जिसका अर्थ है कि लेंस एक अवतल (अपसारी) लेंस की तरह व्यवहार कर रहा है।
एक उत्तल लेंस अपसारी लेंस के रूप में कार्य करता है यदि आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक $(\mu_2)$ लेंस सामग्री के अपवर्तनांक $(\mu)$ से अधिक हो।
इसलिए,लेंस के अपसारी लेंस के रूप में व्यवहार करने के लिए,हमारे पास $\mu < \mu_2$ होना चाहिए।

(D) सम-उत्तल लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
चूंकि फोकस दूरी $f$ स्थिर रहती है,इसलिए $df = 0$ होगा। तापमान के सापेक्ष सूत्र का अवकलन करने पर: $0 = d\mu \left( \frac{2}{R} \right) + (\mu - 1) \left( -\frac{2}{R^2} \right) dR$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $d\mu \left( \frac{2}{R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R^2} \right) dR$.
दोनों पक्षों को $\frac{2}{R}$ से विभाजित करने पर: $d\mu = (\mu - 1) \frac{dR}{R}$.
चूंकि $\frac{dR}{R} = \alpha \Delta \theta$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $d\mu = (\mu - 1) \alpha \Delta \theta$.
यहाँ $\mu = 1.5$,$\alpha = 2.5 \times 10^{-4} / ^\circ C$,और $\Delta \theta = 40\, ^\circ C$ दिया गया है।
$d\mu = (1.5 - 1) \times (2.5 \times 10^{-4}) \times 40$.
$d\mu = 0.5 \times 2.5 \times 10^{-4} \times 40 = 0.5 \times 100 \times 10^{-4} = 50 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-3}$.

(A) लेंस का अपवर्तनांक मुख्य अक्ष से $y$ दूरी के साथ $\mu(y) = 2[1 + \frac{|y|}{d}]$ के अनुसार बदलता है।
पतले लेंस के लिए,लेंस निर्माता का सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ है।
मुख्य अक्ष पर $(y = 0)$,$\mu = 2[1 + 0] = 2$ है। अतः,$\frac{1}{f_1} = (2 - 1)(\frac{2}{R}) = \frac{2}{R}$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,$u = -R$ के साथ,हमें मिलता है $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-R} = \frac{2}{R} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{R} \implies v_1 = R$।
लेंस के किनारे पर $(y = d)$,$\mu = 2[1 + \frac{d}{d}] = 4$ है। अतः,$\frac{1}{f_2} = (4 - 1)(\frac{2}{R}) = \frac{6}{R}$।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-R} = \frac{6}{R} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{5}{R} \implies v_2 = \frac{R}{5}$।
प्रतिबिंब का फैलाव प्रतिबिंब की स्थितियों के बीच का अंतर है: $\Delta v = |v_1 - v_2| = |R - \frac{R}{5}| = \frac{4R}{5}$।
दिया गया है कि प्रतिबिंब का फैलाव $6 \ m$ है,इसलिए $\frac{4R}{5} = 6 \implies R = 7.5 \ m$।
चूंकि प्रश्न में फैलाव $n$ मीटर दिया गया है,इसलिए $n = 6$।

(B) लेंस के लिए,आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{f}{f+u}$ होता है।
लेंस के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $V_i = m^2 V_o$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_o$ वस्तु का वेग है।
चूंकि वस्तु लेंस की ओर बढ़ रही है,$u$ ऋणात्मक है। मान लीजिए $u = -x$,जहाँ $x$ लेंस से दूरी है।
अतः $m = \frac{f}{f-x}$।
प्रतिबिंब का वेग $V_i = \left(\frac{f}{f-x}\right)^2 V_o$ होगा।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच सापेक्ष वेग $V_{\text{rel}} = |V_o - V_i| = V_o \left| 1 - \left(\frac{f}{f-x}\right)^2 \right|$ है।
जैसे-जैसे वस्तु अनंत $(x \to \infty)$ से करीब आती है,$m \to 0$,इसलिए $V_i \to 0$ और $V_{\text{rel}} \to V_o$ होता है।
जैसे-जैसे वस्तु लेंस के करीब आती है ($x$ घटता है),पद $\left(\frac{f}{f-x}\right)^2$ बढ़ता है,जिससे $V_i$ बढ़ता है।
परिणामस्वरूप,जैसे-जैसे वस्तु लेंस के करीब आती है,सापेक्ष वेग $V_{\text{rel}} = V_o(1 - m^2)$ घटता जाता है।

(D) मान लीजिए कि मूल लेंस की फोकल लंबाई $F$ है। जब समानांतर किरणें प्रणाली पर गिरती हैं,तो प्रतिबिंब फोकल तल पर बनता है। प्रतिबिंब के निर्देशांक $(30, -1)$ हैं,जिसका अर्थ है कि फोकल लंबाई $f = 30 \, cm$ है।
यह प्रणाली दो लेंस भागों से बनी है। ऊपरी भाग की ऑप्टिकल अक्ष $y = x = 2.5 \, cm$ पर है। निचले भाग की ऑप्टिकल अक्ष $y = -y \, cm$ पर है।
ऊपरी लेंस के लिए,आपतित किरण $y = 0$ पर है। ऑप्टिकल अक्ष से किरण की ऊंचाई $h_1 = 0 - 2.5 = -2.5 \, cm$ है। प्रतिबिंब की ऊंचाई $y_1 = h_1 \cdot (f/f) = -2.5 \, cm$ द्वारा दी जाती है।
निचले लेंस के लिए,आपतित किरण $y = 0$ पर है। ऑप्टिकल अक्ष से किरण की ऊंचाई $h_2 = 0 - (-y) = y \, cm$ है। प्रतिबिंब की ऊंचाई $y_2 = h_2 \cdot (f/f) = y \, cm$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रतिबिंब $y = -1 \, cm$ पर बनता है,और किरणें दोनों भागों द्वारा केंद्रित होती हैं,हम ऑप्टिकल अक्ष के विस्थापन पर विचार करते हैं। ऑप्टिकल अक्ष से प्रतिबिंब का विस्थापन ऑप्टिकल अक्ष से आपतित किरण की दूरी के समानुपाती होता है। समरूपता और अंतिम निर्देशांक $(30, -1)$ को देखते हुए,हम पाते हैं कि $y = 4.5 \, cm$ ज्यामितीय विस्थापन को संतुष्ट करता है।

(B) इंडेक्स त्रुटि प्रेक्षित दूरी और वास्तविक दूरी के बीच का अंतर है।
वास्तविक दूरी $u = u_{obs} - (\text{index error}) = 9 - 1 = 8 \, cm$.
वास्तविक दूरी $v = v_{obs} - (\text{index error}) = 17 - (-1) = 18 \, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
यहाँ, चिह्न परिपाटी के अनुसार, $u = -8 \, cm$ और $v = +18 \, cm$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{18} - \frac{1}{-8} = \frac{1}{18} + \frac{1}{8}$.
$\frac{1}{f} = \frac{4 + 9}{72} = \frac{13}{72}$.
$f = \frac{72}{13} \approx 5.538 \, cm \approx 5.54 \, cm$.

(B) सामान्यतः एक उत्तल लेंस एक अभिसारी लेंस (converging lens) होता है जब इसका अपवर्तनांक $\mu$ इसके चारों ओर के माध्यम के अपवर्तनांक $\mu_2$ से अधिक होता है।
दिए गए चित्र में,आपतित समांतर किरणें लेंस से गुजरने के बाद अपसरित (diverge) हो रही हैं।
यह दर्शाता है कि लेंस एक अपसारी लेंस (diverging lens) की तरह व्यवहार कर रहा है।
एक उत्तल लेंस केवल तभी अपसारी लेंस की तरह व्यवहार करता है जब लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक उसके चारों ओर के माध्यम के अपवर्तनांक से कम हो,अर्थात $\mu < \mu_2$।

(C) किसी माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
यहाँ, $\mu_l$ लेंस का अपवर्तनांक है, $\mu_m$ आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक है, और $R_1, R_2$ वक्रता त्रिज्याएँ हैं।
यदि लेंस कांच की एक समतल शीट के रूप में कार्य करता है, तो इसकी फोकस दूरी $f$ अनंत $(\infty)$ हो जाती है।
इसका तात्पर्य है $\frac{1}{f} = 0$, जिसका अर्थ है $(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) = 0$.
इसलिए, $\frac{\mu_l}{\mu_m} = 1$, या $\mu_l = \mu_m$.
अतः, द्रव का अपवर्तनांक कांच के अपवर्तनांक के बराबर होना चाहिए।

(A) लेंस द्वारा पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,वस्तु और पर्दे के बीच की न्यूनतम दूरी $D = 4f$ होती है,जहाँ $f$ लेंस की फोकस दूरी है।
दिया गया है $D = 2.0 \ m = 200 \ cm$,इसलिए $4f = 200 \ cm$,जिससे $f = 50 \ cm$ प्राप्त होता है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
यहाँ,$R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ है,इसलिए $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{1}{R}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{50} = (1.5 - 1) \frac{1}{R} \Rightarrow \frac{1}{50} = 0.5 \times \frac{1}{R} \Rightarrow R = 25 \ cm$.
समतल-उत्तल लेंस की द्वारक त्रिज्या $r$,उसकी मोटाई $t$ और वक्रता त्रिज्या $R$ के साथ $t = R - \sqrt{R^2 - r^2}$ सूत्र द्वारा संबंधित है। पतले लेंस के लिए,यह लगभग $t \approx \frac{r^2}{2R}$ होता है,इसलिए $r = \sqrt{2Rt}$.
द्वारक व्यास $a = 2r = 2\sqrt{2Rt} = \sqrt{8Rt}$.
मान रखने पर: $a = \sqrt{8 \times 25 \times 0.5} = \sqrt{100} = 10 \ cm$.

(A) एक्रोमैटिक डबलट के लिए शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$.
यहाँ $\omega_1 = 0.024$ और $\omega_2 = 0.036$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{0.024}{0.036} = -\frac{2}{3}$,अर्थात $f_1 = -\frac{2}{3}f_2$.
संयुक्त फोकस दूरी का सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{90}$ है।
समीकरण में $f_1 = -\frac{2}{3}f_2$ रखने पर: $\frac{1}{f_2} - \frac{3}{2f_2} = \frac{1}{90}$.
$-\frac{1}{2f_2} = \frac{1}{90}$,जिससे $f_2 = -45\,cm$ प्राप्त होता है।
अतः $f_1 = -\frac{2}{3}(-45) = 30\,cm$.
इस प्रकार,लेंसों की फोकस दूरियाँ $30\,cm$ और $-45\,cm$ हैं।

(A) माना वस्तु दूरी $u_1$ और प्रतिबिंब दूरी $v_1$ है। वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m_1 = -v_1/u_1$ है। चूंकि प्रतिबिंब पर्दे पर है,$v_1$ धनात्मक है। माना $v_1 = q$ है। तो $u_1 = -q/m_1$ होगा।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{q} - \frac{1}{-q/m_1} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1+m_1}{q} = \frac{1}{f} \Rightarrow q = f(1+m_1)$।
जब लेंस को $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो नई प्रतिबिंब दूरी $v_2 = q+x$ हो जाती है। नया आवर्धन $m_2 = -v_2/u_2$ है। अतः $u_2 = -v_2/m_2 = -(q+x)/m_2$ होगा।
पुनः लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{q+x} - \frac{1}{-(q+x)/m_2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1+m_2}{q+x} = \frac{1}{f} \Rightarrow q+x = f(1+m_2)$।
$q$ और $q+x$ के लिए प्राप्त दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(q+x) - q = f(1+m_2) - f(1+m_1)$
$x = f(m_2 - m_1)$
$f = \frac{x}{m_2 - m_1}$।

(A) माना वस्तु की दूरी $u$ है और प्रतिबिंब की दूरी $v$ है। चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है,इसलिए $v = -3u$ (जहाँ वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $M = v/u = -3$,यहाँ आवर्धन का परिमाण $3$ है,इसलिए $v/u = -3$ का अर्थ है $v = -3u$)।
यह दिया गया है कि वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $80 \, cm$ है,इसलिए $v - u = 80 \, cm$।
समीकरण में $v = -3u$ रखने पर: $-3u - u = 80 \, cm$।
$-4u = 80 \, cm$,जिससे $u = -20 \, cm$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = -3(-20) = 60 \, cm$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{60} + \frac{3}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$।
इसलिए,$f = 15 \, cm$।

(B) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -4\,cm$,फोकस दूरी $f = -12\,cm$ (अवतल लेंस के लिए)।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-4} = \frac{1}{-12}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{12}$.
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{12} - \frac{1}{4} = \frac{-1 - 3}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$.
अतः,$v = -3\,cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब आभासी और सीधा है। इसकी स्थिति लेंस से $3\,cm$ है।

(D) माना $D = 100 \, cm$ वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d = 40 \, cm$ लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी है।
फोकस दूरी $f$ के लिए विस्थापन विधि के सूत्र का उपयोग करते हुए: $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
$f = \frac{100^2 - 40^2}{4 \times 100} = \frac{10000 - 1600}{400} = \frac{8400}{400} = 21 \, cm$.
चूंकि $f = 21 \, cm = 0.21 \, m$ है,इसलिए शक्ति $P = \frac{1}{f(m)} = \frac{1}{0.21} \approx 4.76 \, D$ है।
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक मान को लेने पर,$P \approx 5 \, D$ प्राप्त होता है।

(C) उत्तल लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब का वेग $v_i = \frac{dv}{dt} = (\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$ है।
चूंकि $v = \frac{uf}{u+f}$,इसलिए $v_i = (\frac{f}{u+f})^2 v_o$ प्राप्त होता है,जहाँ $v_o$ वस्तु की चाल है।
जैसे-जैसे वस्तु फोकस $(u \to -f)$ के करीब आती है,हर $(u+f) \to 0$ हो जाता है,जिससे प्रतिबिंब का वेग $v_i$ तेजी से अनंत की ओर बढ़ता है।
चूंकि वेग समय और स्थिति के साथ बदल रहा है,इसलिए त्वरण असमान है।
अतः,प्रतिबिंब असमान त्वरण के साथ लेंस से दूर जाता है।

(B) लेंस के लिए आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है।
दिया गया है कि $u_1 = 0.15 \ m$ के लिए $m_1 = 2m_2$ और $u_2 = 0.2 \ m$ के लिए।
मान रखने पर: $\frac{f}{f-0.15} = 2 \times \frac{f}{f-0.2}$.
दोनों पक्षों से $f$ को हटाने पर: $\frac{1}{f-0.15} = \frac{2}{f-0.2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $f - 0.2 = 2(f - 0.15)$.
$f - 0.2 = 2f - 0.3$.
$0.3 - 0.2 = 2f - f$.
$f = 0.1 \ m$.

(B) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दिया गया है:
$f = +12\,cm$
$R_1 = +10\,cm$
$R_2 = -15\,cm$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{3 + 2}{30} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{5}{30} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{6} \right)$
$\mu - 1 = \frac{6}{12} = 0.5$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(A) माना स्रोत का क्षेत्रफल $A_0$ है। लेंस की दो स्थितियों के लिए,आवर्धन $m_1$ और $m_2$ को $m_1^2 = \frac{A_1}{A_0}$ और $m_2^2 = \frac{A_2}{A_0}$ द्वारा दिया जाता है।
लेंस की संयुग्मी स्थितियों के गुणधर्म से,आवर्धन का गुणनफल $m_1 \times m_2 = 1$ होता है।
इसलिए,$(m_1 \times m_2)^2 = 1^2 = 1$ होगा।
$m_1^2$ और $m_2^2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{A_1}{A_0} \times \frac{A_2}{A_0} = 1$ प्राप्त होता है।
यह $A_0^2 = A_1 A_2$ में सरल हो जाता है।
अतः,स्रोत का क्षेत्रफल $A_0 = \sqrt{A_1 A_2}$ है।