Refraction by Lenses Questions in Hindi

(B) सूर्य का कोणीय व्यास $\theta = (1/2)^o$ दिया गया है।
इसे सूत्र में उपयोग करने के लिए,हम इसे रेडियन में बदलते हैं:
$\theta = (1/2) \times (\pi / 180) \, \text{रेडियन} = \pi / 360 \, \text{रेडियन}$.
अभिसारी लेंस की फोकस दूरी $f = 100 \, cm = 1 \, m$ है।
फोकस तल पर बने प्रतिबिंब का व्यास $d_I$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$d_I = f \times \theta$
$d_I = 100 \, cm \times (1/2) \times (\pi / 180) \, \text{रेडियन}$
$d_I = 100 \times (1/2) \times (3.14159 / 180) \, cm$
$d_I \approx 0.8726 \, cm$
मिलीमीटर में बदलने पर:
$d_I \approx 8.726 \, mm \approx 9 \, mm$.
अतः,बने प्रतिबिंब का व्यास लगभग $9 \, mm$ है।

(D) माध्यम में लेंस की फोकस दूरी का सूत्र: $\frac{1}{f_m} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
चूंकि हवा में फोकस दूरी $(f_a = 20 \ cm)$ है,$\frac{1}{f_a} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,इसलिए माध्यम में फोकस दूरी को $f_m = f_a \frac{(\mu - 1)}{(\frac{\mu}{\mu_m} - 1)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
ऊपरी आधे हिस्से के लिए,$\mu_m = \mu_1 = 1.2$:
$f_1 = 20 \times \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{1.2} - 1} = 20 \times \frac{0.5}{1.25 - 1} = 20 \times \frac{0.5}{0.25} = 40 \ cm$.
निचले आधे हिस्से के लिए,$\mu_m = \mu_2 = 2.5$:
$f_2 = 20 \times \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{2.5} - 1} = 20 \times \frac{0.5}{0.6 - 1} = 20 \times \frac{0.5}{-0.4} = -25 \ cm$.
चूंकि वस्तु अनंत पर है,प्रतिबिंब उनके संबंधित मुख्य फोकस पर बनेंगे।
दो प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $|f_1| + |f_2| = |40| + |-25| = 65 \ cm$ होगी।

(B) दिया गया है: $f = +10 \text{ cm}$,$u = -30 \text{ cm}$,$V_O = +4 \text{ cm/sec}$,$V_L = +2 \text{ cm/sec}$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
समय के सापेक्ष अवकलन करने पर: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$,जहाँ $\frac{dv}{dt} = V_{I/L}$ और $\frac{du}{dt} = V_{O/L}$.
$V_{I/L} = \left(\frac{v}{u}\right)^2 V_{O/L} = m^2 V_{O/L}$.
सबसे पहले,$v$ ज्ञात करें: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \implies v = +15 \text{ cm}$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{15}{-30} = -0.5$.
सापेक्ष वेग: $V_{O/L} = V_O - V_L = 4 - 2 = +2 \text{ cm/sec}$.
$V_{I/L} = m^2 V_{O/L} = (-0.5)^2 \times 2 = 0.25 \times 2 = 0.5 \text{ cm/sec}$.
चूंकि $V_{I/L} = V_I - V_L$,इसलिए $V_I = V_{I/L} + V_L = 0.5 + 2 = 2.5 \text{ cm/sec}$.

(A) माना लेंस से वस्तु की दूरी $u = -x \, cm$ है।
लेंस से पर्दे की दूरी $v = +(90 - x) \, cm$ है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए आवर्धन $m = \frac{v}{u} = -2$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{90 - x}{-x} = -2$.
$90 - x = 2x \Rightarrow 3x = 90 \Rightarrow x = 30 \, cm$.
अतः,$u = -30 \, cm$ और $v = 90 - 30 = 60 \, cm$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
इसलिए,$f = 20 \, cm$ प्राप्त होता है।

(D) चित्र से,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = 10 \ cm$ और $R_2 = 20 \ cm$ हैं। दोनों वक्रता केंद्र लेंस के दाईं ओर स्थित हैं,इसलिए चिह्न परिपाटी के अनुसार,$R_1$ और $R_2$ दोनों धनात्मक हैं।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\mu = 1.5$,$R_1 = 10 \ cm$,$R_2 = 20 \ cm$.
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2 - 1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{1}{20} = \frac{0.5}{20} = \frac{1}{40}$
अतः,$f = 40 \ cm$.

(A) कॉची के विक्षेपण सूत्र के अनुसार, किसी पदार्थ का अपवर्तनांक प्रकाश की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है। लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $(\mu_{R})$, नीले प्रकाश के अपवर्तनांक $(\mu_{B})$ से कम होता है, अर्थात $\mu_{R} < \mu_{B}$।
लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\mu_{R} < \mu_{B}$, इसलिए पद $(\mu_{R} - 1)$, $(\mu_{B} - 1)$ से छोटा है।
परिणामस्वरूप, $\frac{1}{f_{R}} < \frac{1}{f_{B}}$, जिसका अर्थ है कि $f_{R} > f_{B}$।
अतः, जब नीले प्रकाश के स्थान पर लाल प्रकाश का उपयोग किया जाता है, तो उत्तल लेंस की फोकस दूरी बढ़ जाएगी।

(D) दिया गया है: लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी,$d = 10\, cm$.
दो स्थितियों में प्रतिबिंबों के आकार का अनुपात,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{2}$.
माना वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D$ है।
पतले लेंस के लिए विस्थापन विधि के सूत्र का उपयोग करते हुए,प्रतिबिंब के आकार का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{(D+d)^2}{(D-d)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{2} = \frac{(D+10)^2}{(D-10)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{D+10}{D-10}$.
इससे प्राप्त होता है: $\sqrt{3}(D-10) = \sqrt{2}(D+10)$.
$D(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 10(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
$D = 10 \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 10 \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 10 \times (3 + 2 + 2\sqrt{6}) = 10(5 + 2\sqrt{6}) \approx 10(5 + 4.899) = 98.99\, cm \approx 99\, cm$.

(A) $\mu$ अपवर्तनांक वाले लेंस को $\mu_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोने पर लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस निर्माता के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu}{\mu_1} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
हवा में स्थित अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है क्योंकि $\mu > 1$ (जहाँ हवा के लिए $\mu_1 = 1$),जिससे पद $(\frac{\mu}{\mu_1} - 1)$ धनात्मक हो जाता है और कोष्ठक $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ऋणात्मक रहता है।
जब लेंस को ऐसे माध्यम में डुबोया जाता है कि $\mu_1 > \mu$ हो,तो पद $(\frac{\mu}{\mu_1} - 1)$ ऋणात्मक हो जाता है।
चूंकि ज्यामितीय कारक $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ अवतल लेंस के लिए ऋणात्मक रहता है,इसलिए दो ऋणात्मक पदों का गुणनफल धनात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि फोकस दूरी $f$ धनात्मक हो जाती है।
धनात्मक फोकस दूरी यह दर्शाती है कि लेंस अब एक अभिसारी लेंस की तरह कार्य करता है। इसलिए,लेंस पर आपतित प्रकाश की समानांतर किरण पुंज उससे गुजरने के बाद अभिसरित होगी। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) माना वस्तु वर्ग की भुजा $\ell$ है और प्रतिबिंब वर्ग की भुजा $\ell^{\prime}$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रतिबिंब का क्षेत्रफल वस्तु के क्षेत्रफल का $9$ गुना है,इसलिए $\frac{\ell^{\prime 2}}{\ell^2} = 9$.
वर्गमूल लेने पर,रैखिक आवर्धन $m = \frac{\ell^{\prime}}{\ell} = 3$.
चूंकि प्रतिबिंब पर्दे पर प्राप्त किया जाता है,यह एक वास्तविक प्रतिबिंब है,इसलिए $m = -3$.
वस्तु दूरी $u = -40\,cm$.
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,$v = m \times u = (-3) \times (-40) = 120\,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{120} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{120} + \frac{1}{40} = \frac{1+3}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.
अतः,फोकस दूरी $f = 30\,cm$ है।

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f$ को $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$ है।
जब लेंस को पानी में डुबोया जाता है,तो आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_{air} \approx 1$ से बढ़कर $\mu_{water} \approx 1.33$ हो जाता है। परिणामस्वरूप,सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu_{rel}$ कम हो जाता है,जिससे लेंस की फोकस दूरी $f$ बढ़ जाती है।
चूंकि फोकस दूरी बढ़ जाती है,इसलिए प्रतिबिंब की स्थिति लेंस से दूर स्थानांतरित हो जाती है। चूंकि वस्तु और स्क्रीन की स्थिति स्थिर है,इसलिए प्रतिबिंब अब स्क्रीन पर नहीं बनेगा। अतः,स्क्रीन से प्रतिबिंब गायब हो जाएगा।

(D) उत्तल लेंस के लिए,आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ होता है।
यहाँ $f = 20 \ cm$ और $|m| = 2$ दिया गया है।
स्थिति $1$: वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -2$.
$-2 = \frac{20}{20 + x_1} \implies -40 - 2x_1 = 20 \implies -2x_1 = 60 \implies x_1 = 30 \ cm$.
स्थिति $2$: आभासी प्रतिबिंब के लिए,$m = +2$.
$2 = \frac{20}{20 + x_2} \implies 40 + 2x_2 = 20 \implies 2x_2 = -20 \implies x_2 = 10 \ cm$.
अतः,अनुपात $\frac{x_1}{x_2} = \frac{30}{10} = 3:1$ है।

(D) एक पतले लेंस के लिए,आवर्धन $m$ को $m = \frac{v}{f} - 1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ प्रतिबिंब दूरी है और $f$ फोकस दूरी है।
यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ ढाल (slope) $\frac{1}{f}$ है।
ग्राफ से,ढाल आवर्धन में परिवर्तन को प्रतिबिंब दूरी में परिवर्तन से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
ढाल $= \frac{\Delta m}{\Delta v} = \frac{c}{b}$.
चूँकि ढाल $\frac{1}{f}$ के बराबर भी है,इसलिए हमारे पास $\frac{1}{f} = \frac{c}{b}$ है।
अतः,फोकस दूरी $f = \frac{b}{c}$ है।

(C) किसी माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
अवतल लेंस के लिए,पद $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ऋणात्मक होता है।
लेंस के अभिसारी (उत्तल) लेंस के रूप में व्यवहार करने के लिए,इसकी फोकस दूरी $f$ धनात्मक होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि पद $(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)$ ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{\mu_g}{\mu_l} < 1$,या $\mu_g < \mu_l$।
यहाँ,$\mu_g$ द्रव के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक है,जो $\frac{^a\mu_g}{^a\mu_l}$ है।
इसलिए,$\frac{^a\mu_g}{^a\mu_l} < 1$,जो $^a\mu_g < ^a\mu_l$ देता है।

(C) मान लीजिए कि दो समानांतर दीवारों के बीच की दूरी $D$ है। बल्ब पहली दीवार पर है और प्रतिबिंब दूसरी दीवार पर बनता है।
एक उत्तल लेंस द्वारा समान आकार का वास्तविक प्रतिबिंब (आवर्धन $m = -1$) बनाने के लिए,वस्तु दूरी $u$ और प्रतिबिंब दूरी $v$ को $u = v = 2f$ की शर्त को पूरा करना चाहिए।
वस्तु और पर्दे के बीच की कुल दूरी $D = u + v = 2f + 2f = 4f$ होती है।
इस प्रश्न में,लेंस को दूसरी दीवार से $d$ दूरी पर रखा गया है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब दूरी $v = d$ है।
चूंकि प्रतिबिंब समान आकार का है,इसलिए वस्तु दूरी $u$ भी $d$ के बराबर होनी चाहिए (क्योंकि $m = -1$ के लिए $u = v$ होता है)।
अतः,दीवारों के बीच की कुल दूरी $D = u + v = d + d = 2d$ है।
संबंध $D = 4f$ का उपयोग करने पर,हमें $2d = 4f$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए हल करने पर,हमें $f = 2d / 4 = d / 2$ प्राप्त होता है।

(D) किसी माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस निर्माता के सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
लेंस के ऊपरी आधे भाग के लिए,आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_2$ है। चूंकि $\mu_2 > \mu_1$,इसलिए पद $(\frac{\mu_1}{\mu_2} - 1)$ ऋणात्मक हो जाता है। अतः,ऊपरी आधा भाग एक अपसारी लेंस के रूप में कार्य करता है।
लेंस के निचले आधे भाग के लिए,आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_3$ है। चूंकि $\mu_1 > \mu_3$,इसलिए पद $(\frac{\mu_1}{\mu_3} - 1)$ धनात्मक है। अतः,निचला आधा भाग एक अभिसारी लेंस के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,लेंस निचले आधे भाग से एक अभिसारी किरण पुंज और ऊपरी आधे भाग से एक अपसारी किरण पुंज उत्पन्न करता है।

(C) उत्तल लेंस की फोकस दूरी ज्ञात करने की विस्थापन विधि में,वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी को $D$ और लेंस की दो संयुग्मी स्थितियों के बीच की दूरी को $d$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है:
$D = 100 \, cm$
$d = 40 \, cm$
फोकस दूरी $f$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f = \frac{100^2 - 40^2}{4 \times 100}$
$f = \frac{10000 - 1600}{400}$
$f = \frac{8400}{400}$
$f = 21 \, cm$
अतः,लेंस की फोकस दूरी $21 \, cm$ है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +10 \ cm$,वस्तु की दूरी $u = -30 \ cm$,वस्तु का वेग $\vec{V}_O = +4 \hat{i} \ cm/sec$,लेंस का वेग $\vec{V}_L = +2 \hat{i} \ cm/sec$.
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
अतः,$v = +15 \ cm$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{15}{-30} = -0.5$.
लेंस के सापेक्ष प्रतिबिंब के वेग का सूत्र $\vec{V}_{I/L} = m^2 \vec{V}_{O/L}$ है।
$\vec{V}_I - \vec{V}_L = m^2 (\vec{V}_O - \vec{V}_L)$.
$\vec{V}_I - 2 \hat{i} = (-0.5)^2 (4 \hat{i} - 2 \hat{i}) = 0.25 (2 \hat{i}) = 0.5 \hat{i}$.
$\vec{V}_I = 2 \hat{i} + 0.5 \hat{i} = 2.5 \hat{i} \ cm/sec$.

(C) किसी माध्यम में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
लेंस के स्वभाव (अभिसारी से अपसारी) को बदलने के लिए,पानी में रखे जाने पर फोकस दूरी का चिह्न बदलना चाहिए।
यह तब होता है जब लेंस सामग्री का अपवर्तनांक $\mu_l$,हवा $(\mu_a \approx 1)$ और पानी $(\mu_w \approx 1.33)$ के अपवर्तनांक के बीच स्थित हो।
अतः,शर्त $1 < \mu_l < 1.33$ है।

(A) लेंस दो अलग-अलग पदार्थों से बना है जिनके अपवर्तनांक $\mu_1$ और $\mu_2$ हैं।
चित्र से,लेंस के ऊपरी आधे भाग से गुजरने वाली किरण बिंदु $I_1$ पर अभिसरित होती है,जबकि निचले आधे भाग से गुजरने वाली किरण बिंदु $I_2$ पर अभिसरित होती है।
लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
चूंकि लेंस की ज्यामिति दोनों हिस्सों के लिए समान है,इसलिए फोकस दूरी अपवर्तनांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$.
चित्र में,प्रतिबिंब $I_1$,$I_2$ की तुलना में लेंस के अधिक करीब बनता है,जिसका अर्थ है कि फोकस दूरी $f_1$,$f_2$ से कम है $(f_1 < f_2)$।
चूंकि $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$,एक छोटी फोकस दूरी बड़े अपवर्तनांक के अनुरूप होती है।
इसलिए,$\mu_1 > \mu_2$.

(B) अभिसारी किरण पुंज के लिए,बिंदु $P$ लेंस के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
चूंकि किरण पुंज $P$ की ओर अभिसरित हो रही है,इसलिए वस्तु दूरी $u$ को धनात्मक लिया जाता है।
दिया गया है: $u = +12 \, cm$ और $f = +20 \, cm$ (उत्तल लेंस के लिए)।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$।
$v$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{12}$।
योग करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{3 + 5}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$।
अतः,$v = \frac{15}{2} = 7.5 \, cm$।
इस प्रकार,किरण पुंज लेंस से $7.5 \, cm$ की दूरी पर अभिसरित होगी।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = 20 \, cm$।
प्रथम स्थिति के लिए,आवर्धन $m_1 = +2$।
सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ का उपयोग करने पर,$2 = \frac{20}{20+u_1}$।
$40 + 2u_1 = 20 \Rightarrow 2u_1 = -20 \Rightarrow u_1 = -10 \, cm$।
दूसरी स्थिति के लिए,आवर्धन $m_2 = -2$।
उसी सूत्र का उपयोग करने पर,$-2 = \frac{20}{20+u_2}$।
$-40 - 2u_2 = 20 \Rightarrow 2u_2 = -60 \Rightarrow u_2 = -30 \, cm$।
वस्तु को जितनी दूरी तक खिसकाना होगा वह $\Delta u = |u_2 - u_1| = |-30 - (-10)| = |-20| = 20 \, cm$ है।

(B) हवा में लेंस की शक्ति लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f_{air}} = P_{air} = (\mu_g - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
दिया गया है $P_{air} = -5\,D$ और $\mu_g = 1.5$,इसलिए: $-5 = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right] = 0.5 \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
अतः,$\left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right] = \frac{-5}{0.5} = -10$.
अब,$1.6$ अपवर्तनांक वाले तरल में उसी लेंस की शक्ति: $P_{liquid} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
मान रखने पर: $P_{liquid} = \left( \frac{1.5}{1.6} - 1 \right) (-10)$.
$P_{liquid} = \left( \frac{1.5 - 1.6}{1.6} \right) (-10) = \left( \frac{-0.1}{1.6} \right) (-10) = \left( \frac{-1}{16} \right) (-10) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\,D$.

(A) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -15 \, cm$,फोकस दूरी $f = +20 \, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} - \frac{1}{15}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(60)$ लेने पर: $\frac{1}{v} = \frac{3 - 4}{60} = -\frac{1}{60}$.
अतः,$v = -60 \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है,जिसका अर्थ है कि यह एक आभासी प्रतिबिंब है।

(C) अभिसारी किरण पुंज के लिए,वस्तु आभासी होती है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = +12 \, cm$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f = -16 \, cm$ होती है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-16} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16}$.
$\frac{1}{v} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$.
अतः,$v = 48 \, cm$.
किरण पुंज लेंस से $48 \, cm$ की दूरी पर अभिसरित होती है।

(B) माना वस्तु (बल्ब) और पर्दे (सामने की दीवार) के बीच की दूरी $D = 3\, m$ है। माना लेंस की वस्तु से दूरी $u$ है और पर्दे से दूरी $v$ है। तब $u + v = D = 3\, m$।
लेंस सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$। चिह्न परिपाटी का उपयोग करने पर,$u$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{u+v}{uv}$।
$u+v = D$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = \frac{uv}{D}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v = D - u$,इसलिए $f = \frac{u(D-u)}{D} = \frac{Du - u^2}{D}$।
पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब बनने के लिए,शर्त $D \geq 4f$ पूरी होनी चाहिए।
इसलिए,$f \leq \frac{D}{4}$।
$D = 3\, m$ रखने पर,हमें $f_{\max} = \frac{3}{4} = 0.75\, m$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -9 \, cm$,फोकस दूरी $f = 10 \, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{10} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-9} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{9} = \frac{9-10}{90} = -\frac{1}{90}$.
अतः,प्रतिबिंब की दूरी $v = -90 \, cm$ है।
आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{v}{u}$ है।
$m = \frac{-90}{-9} = 10$.
इसलिए,लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन $10$ है।

(B) यह लेंस तीन अलग-अलग क्षैतिज खंडों से बना है,जिनमें से प्रत्येक एक अलग सामग्री से बना है जिसका अपवर्तनांक $(n_1, n_2, n_3)$ अद्वितीय है।
चूंकि लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र $1/f = (n - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$ द्वारा दी जाती है,इसलिए प्रत्येक खंड की फोकस दूरी अलग होगी क्योंकि प्रत्येक भाग के लिए अपवर्तनांक $n$ अलग है।
जब मुख्य अक्ष पर एक बिंदु वस्तु रखी जाती है,तो तीनों खंडों से गुजरने वाली प्रकाश किरणें अलग-अलग तरह से अपवर्तित होंगी।
परिणामस्वरूप,प्रत्येक खंड एक स्वतंत्र लेंस के रूप में कार्य करता है,जो अक्ष पर अलग-अलग स्थिति में अपना प्रतिबिंब बनाता है।
इसलिए,कुल $3$ अलग-अलग प्रतिबिंब बनेंगे।

(C) जब एक समतल तरंग उत्तल लेंस पर आपतित होती है,तो तरंगाग्र का मध्य भाग किनारों की तुलना में लेंस की अधिक मोटाई से होकर गुजरता है। चूंकि हवा की तुलना में कांच में प्रकाश की गति कम होती है,इसलिए मध्य भाग किनारों की तुलना में अधिक विलंबित हो जाता है। परिणामस्वरूप,तरंगाग्र अंदर की ओर मुड़ जाता है और एक अभिसारी गोलीय तरंगाग्र बनाता है जो लेंस के मुख्य फोकस पर केंद्रित होता है।

(D) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,एक पतले लेंस की फोकस दूरी $f$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब लेंस को उल्टा किया जाता है,तो $R_1$ और $R_2$ के मान आपस में बदल जाते हैं और उनके चिह्न भी बदल जाते हैं,लेकिन $\frac{1}{f}$ का कुल मान अपरिवर्तित रहता है क्योंकि यह सूत्र लेंस के अभिविन्यास के संबंध में सममित है।
चूंकि फोकस दूरी $f$ समान रहती है और वस्तु की दूरी $u$ स्थिर रखी गई है,इसलिए लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा निर्धारित प्रतिबिंब की दूरी $v$ भी दोनों स्थितियों में समान रहेगी।
अतः,दोनों स्थितियों में प्रतिबिंब की स्थिति में अंतर $0$ है।

(D) एक अपसारी (अवतल) लेंस के लिए,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक होती है,इसलिए हम फोकस दूरी को $-f$ लेंगे।
दिया गया है कि वस्तु की दूरी $u = -mf$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-mf} = \frac{1}{-f}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{mf} = -\frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} - \frac{1}{mf} = -\left(\frac{m+1}{mf}\right)$.
इसलिए,$v = -\frac{mf}{m+1}$.
आवर्धन $M$ को $M = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
$M = \frac{-mf/(m+1)}{-mf} = \frac{1}{m+1}$.
अतः,प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का $\frac{1}{m+1}$ गुना होगा।

(A) दिया गया है: वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D = 80 \, cm$। लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी $x = 20 \, cm$।
फोकस दूरी के लिए विस्थापन विधि के सूत्र का उपयोग करने पर:
$f = \frac{D^2 - x^2}{4D}$
मान रखने पर:
$f = \frac{80^2 - 20^2}{4 \times 80}$
$f = \frac{6400 - 400}{320}$
$f = \frac{6000}{320}$
$f = 18.75 \, cm$.
अतः,लेंस की फोकस दूरी $18.75 \, cm$ है।

(C) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
चूंकि लेंस खोखला है और हवा से भरा है,लेंस के अंदर के माध्यम का अपवर्तनांक $(\mu_l)$ बाहरी माध्यम के अपवर्तनांक $(\mu_m)$ के बराबर होता है (यदि लेंस हवा में रखा हो)।
इसलिए,$\frac{\mu_l}{\mu_m} = 1$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f} = (1 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = 0$.
इसका अर्थ है $f = \infty$.
अनंत फोकस दूरी वाला लेंस एक समतल कांच की प्लेट की तरह व्यवहार करता है,क्योंकि यह प्रकाश की किरणों को न तो अभिसरित करता है और न ही अपसरित।

(A) उभयोत्तल लेंस के लिए, वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होती हैं।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
दिया गया है कि फोकस दूरी $f = \frac{2}{3}R$, इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{1}{(2/3)R} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
$\frac{3}{2R} = (\mu - 1) \frac{2}{R}$.
दोनों पक्षों को $R$ से गुणा करने पर: $\frac{3}{2} = 2(\mu - 1)$.
$0.75 = \mu - 1$.
$\mu = 1.75$.

(A) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -9\, cm$,फोकस दूरी $f = 10\, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-9} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v} + \frac{1}{9} = \frac{1}{10}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{9} = \frac{9 - 10}{90} = -\frac{1}{90}$.
अतः,$v = -90\, cm$.
रैखिक आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{-90}{-9} = 10$.
क्षेत्रफल आवर्धन $m^2 = (10)^2 = 100$.
कार्ड का मूल क्षेत्रफल $A_0 = (1\, mm)^2 = 1\, mm^2 = 0.01\, cm^2$.
आभासी क्षेत्रफल $A_i = m^2 \times A_0 = 100 \times 0.01\, cm^2 = 1\, cm^2$.

(C) अभिसारी लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dv}{dt} = (\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$।
चूंकि आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{f}{f+u}$ है,इसलिए प्रतिबिंब का वेग $v_i = m^2 v_o$ होता है,जहाँ $v_o$ वस्तु का वेग है।
जैसे-जैसे वस्तु फोकस $(u \to -f)$ के करीब आती है,आवर्धन $m$ अनंत की ओर बढ़ता है।
चूंकि $v_i = m^2 v_o$ है,इसलिए जैसे-जैसे वस्तु फोकस के करीब आती है,प्रतिबिंब का वेग $v_i$ तेजी से बढ़ता है।
चूंकि प्रतिबिंब का वेग समय के साथ बदल रहा है,इसलिए प्रतिबिंब असमान त्वरण के साथ गति करता है।

(D) व्यक्ति का दूर बिंदु $6.0 \, m$ है,इसलिए कॉन्टैक्ट लेंस को दूर की वस्तु का आभासी प्रतिबिंब $v = -6.0 \, m$ पर बनाना होगा जब $u = \infty$ हो। अतः,लेंस की फोकस दूरी $f = -6.0 \, m$ है।
अब,$u = -18.0 \, m$ पर स्थित और $h = 2.0 \, m$ ऊँचे पेड़ के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{-6} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-18}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{6} - \frac{1}{18} = \frac{-3-1}{18} = -\frac{4}{18}$
$v = -\frac{18}{4} = -4.5 \, m$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{-4.5}{-18} = 0.25$.
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h' = m \times h = 0.25 \times 2.0 = 0.50 \, m$ है।

(B) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में लेंस के लिए $(\mu_a = 1)$:
$\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब द्रव में डुबोया जाता है $(\mu_l = 1.25)$,तो सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_l} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2 = \frac{6}{5}$ होता है।
द्रव में लेंस के लिए:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.2 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5$.
अतः,फोकस दूरी $2.5$ के गुणक से बढ़ जाती है।

(B) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में $(\mu_a = 1)$: $P_a = \frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -5\,D$.
अतः,$(1.5 - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -5$,जिससे $0.5 \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -5$,या $\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -10$ प्राप्त होता है।
तरल में $(\mu_m = 1.6)$: $P_m = \frac{\mu_m}{f_m} = \mu_m \left(\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$.
$P_m = 1.6 \left(\frac{1.5}{1.6} - 1\right) (-10)$.
$P_m = 1.6 \left(\frac{1.5 - 1.6}{1.6}\right) (-10)$.
$P_m = 1.6 \left(\frac{-0.1}{1.6}\right) (-10) = (-0.1) \times (-10) = 1\,D$.

(C) कॉची के समीकरण के अनुसार,पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,जहाँ $\mu$,$\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है। चूंकि लाल प्रकाश की तरंग दैर्ध्य बैंगनी प्रकाश से अधिक होती है $(\lambda_R > \lambda_V)$,इसलिए लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक बैंगनी प्रकाश की तुलना में कम होता है $(\mu_R < \mu_V)$।
लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ का उपयोग करने पर,हम देखते हैं कि $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$।
चूंकि $\mu_V > \mu_R$,इसलिए $(\mu_V - 1) > (\mu_R - 1)$ होगा।
अतः,$\frac{1}{f_V} > \frac{1}{f_R}$,जिसका अर्थ है कि $f_V < f_R$।

(A) लेंस मेकर का सूत्र $\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है,जिसे $\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l - \mu_m}{\mu_m} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,कारण सही है।
हवा में लेंस के लिए $(\mu_m = 1)$:
$\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \frac{1}{10} = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{5} \dots (i)$
पानी में लेंस के लिए $(\mu_m = 4/3)$:
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{1.5 - 4/3}{4/3} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{4.5/3 - 4/3}{4/3} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \left( \frac{0.5/3}{4/3} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \left( \frac{0.5}{4} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{40}$
अतः,$f' = 40 \, cm$। कथन भी सही है और कारण इसकी सही व्याख्या करता है।

(A) लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे वस्तु की दूरी $u$ अनंत $(\infty)$ की ओर बढ़ती है,पद $\frac{1}{u}$ का मान $0$ हो जाता है।
इसे लेंस सूत्र में रखने पर,हमें $\frac{1}{v} = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = f$।
अतः,जब वस्तु अनंत पर होती है तो प्रतिबिंब की स्थिति फोकस के निकट आ जाती है।
यह लेंस का एक मूलभूत गुण है,और दिया गया कारण सही ढंग से बताता है कि मुख्य अक्ष के समानांतर किरणें (जो अनंत पर स्थित वस्तु से आती हैं) अपवर्तन के बाद फोकस पर अभिसरित होती हैं।
इसलिए,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(B) गॉगल्स को सूर्य की हानिकारक $UV$ किरणों और धूल से आंखों की सुरक्षा के लिए बनाया जाता है, न कि दृष्टि दोषों को ठीक करने के लिए। इसलिए, वे समतल कांच से बने होते हैं, जिसकी शक्ति शून्य होती है।
कारण में कहा गया है कि लेंस के दोनों तरफ की वक्रता त्रिज्या समान है। हालांकि यह एक सत्य कथन है, लेकिन यह यह नहीं समझाता कि शक्ति शून्य क्यों है। लेंस की शक्ति लेंस मेकर सूत्र $P = (n-1)(1/R_1 - 1/R_2)$ द्वारा दी जाती है। लेंस की शक्ति शून्य होने के लिए फोकस दूरी अनंत होनी चाहिए, जो तब होती है जब सतहें समतल हों $(R_1 = R_2 = \infty)$। त्रिज्याओं का समान होना यह अनिवार्य नहीं करता कि वे अनंत हैं। अतः, कारण एक सत्य कथन है लेकिन यह कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दिया गया है: $f = 25\; cm$,$\mu = 1.5$. द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -2R$ लेने पर।
मान रखने पर: $\frac{1}{25} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-2R} \right)$.
$\frac{1}{25} = 0.5 \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right) = 0.5 \left( \frac{3}{2R} \right) = \frac{1.5}{2R} = \frac{3}{4R}$.
$4R = 25 \times 3 = 75$.
$R = \frac{75}{4} = 18.75\; cm$.
अतः,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = 18.75\; cm$ और $R_2 = 2R = 37.5\; cm$ हैं।

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$.
हवा में लेंस के लिए $(\mu_{a} = 1)$:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) \dots (1)$
द्रव में लेंस के लिए $(\mu_{l} = 1.42)$:
$\frac{1}{f_{l}} = \left( \frac{1.5}{1.42} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) = \left( \frac{1.5 - 1.42}{1.42} \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) = \frac{0.08}{1.42} \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) \dots (2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f_{l}}{f} = \frac{0.5 \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)}{\frac{0.08}{1.42} \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)} = \frac{0.5 \times 1.42}{0.08} = \frac{0.71}{0.08} = 8.875$.
मान $8.875$ पूर्णांक $9$ के सबसे निकट है।

(C) लेंस-मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक समतल-उत्तल लेंस के लिए,वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या $R_1 = 30 \; cm$ है और समतल सतह की वक्रता त्रिज्या अनंत होती है,इसलिए $R_2 = \infty$.
लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{30} - \frac{1}{\infty} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{30} - 0 \right)$
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{30} = \frac{1}{60}$
अतः,फोकस दूरी $f = 60 \; cm$ है।

(N/A) $(i)$ लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f(m)}$ द्वारा दी जाती है। $f = 0.5 \,m$ रखने पर,$P = \frac{1}{0.5} = +2 \,D$ प्राप्त होता है।
$(ii)$ दिया गया है $f = +12 \,cm$,$R_1 = +10 \,cm$,और $R_2 = -15 \,cm$। लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{12} = (n - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right) = (n - 1) \left( \frac{3+2}{30} \right) = (n - 1) \left( \frac{5}{30} \right) = (n - 1) \frac{1}{6}$.
अतः,$n - 1 = \frac{6}{12} = 0.5$,जिससे $n = 1.5$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ हवा में: $\frac{1}{f_a} = (n_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \frac{1}{20} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \frac{1}{20} = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{10}$.
पानी में: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{n_g}{n_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{1.5}{1.33} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} \right) = (1.1278 - 1) \times 0.1 = 0.1278 \times 0.1 = 0.01278$.
$f_w = \frac{1}{0.01278} \approx 78.2 \,cm$.

(D) कांच का अपवर्तनांक,$\mu = 1.55$.
द्वि-उत्तल लेंस की फोकस दूरी,$f = 20\; cm$.
समान वक्रता त्रिज्या वाले द्वि-उत्तल लेंस के लिए,मान लीजिए $R_1 = R$ और $R_2 = -R$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right]$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left[ \frac{2}{R} \right]$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 1.1 \times 20 = 22\; cm$.
अतः,आवश्यक वक्रता त्रिज्या $22\; cm$ है।

(N/A) दी गई स्थिति में,वस्तु आभासी है और बनने वाला प्रतिबिंब वास्तविक है।
वस्तु दूरी,$u = +12 \, cm$.
$(a)$ उत्तल लेंस की फोकस दूरी,$f = +20 \, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{12} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 5}{60} = \frac{8}{60}$.
$\therefore v = \frac{60}{8} = 7.5 \, cm$.
अतः,पुंज लेंस के दाईं ओर $7.5 \, cm$ की दूरी पर अभिसरित होता है।
$(b)$ अवतल लेंस की फोकस दूरी,$f = -16 \, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{12} = -\frac{1}{16} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$.
$\therefore v = 48 \, cm$.
अतः,पुंज लेंस के दाईं ओर $48 \, cm$ की दूरी पर अभिसरित होता है।

(N/A) वस्तु का आकार,$h_1 = 3.0 \, cm$.
वस्तु की दूरी,$u = -14 \, cm$.
अवतल लेंस की फोकस दूरी,$f = -21 \, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{-21} + \frac{1}{-14} = \frac{-2 - 3}{42} = \frac{-5}{42}$.
अतः,$v = -8.4 \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी और सीधा है,जो लेंस के सामने $8.4 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{-8.4}{-14} = 0.6$.
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_2 = m \times h_1 = 0.6 \times 3.0 = 1.8 \, cm$.
यदि वस्तु को लेंस से और दूर ले जाया जाता है,तो आभासी प्रतिबिंब लेंस के फोकस की ओर खिसकेगा और प्रतिबिंब का आकार छोटा होता जाएगा।

(D) वस्तु (एक दीवार पर बल्ब) और प्रतिबिंब (विपरीत दीवार पर) के बीच की दूरी $d = 3\;m$ दी गई है।
एक उत्तल लेंस द्वारा एक निश्चित दूरी $d$ पर वस्तु का वास्तविक प्रतिबिंब बनाने के लिए,प्रतिबिंब के अस्तित्व की शर्त $d \ge 4f$ है,जहाँ $f$ लेंस की फोकस दूरी है।
अधिकतम संभव फोकस दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $d = 4f$ रखते हैं।
इसलिए,$f_{\max} = \frac{d}{4}$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $f_{\max} = \frac{3}{4} = 0.75\;m$.
अतः,आवश्यक लेंस की अधिकतम संभव फोकस दूरी $0.75\;m$ है।