Refraction by Lenses Questions in Gujarati

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ તેના વક્રીભવનાંક અને તેની સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે. એપર્ચરનો અમુક ભાગ ઢાંકવાથી આ પરિમાણો બદલાતા નથી, તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જ રહેશે.
પ્રતિબિંબની તીવ્રતા $I$ એ એપર્ચરના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જે $A = \pi (d/2)^2 = \pi d^2/4$ છે।
જ્યારે $d/2$ વ્યાસવાળો મધ્ય ભાગ ઢાંકવામાં આવે છે, ત્યારે ઢંકાયેલા ભાગની ત્રિજ્યા $d/4$ થાય છે. ઢંકાયેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{blocked} = \pi (d/4)^2 = \pi d^2/16$ છે.
બાકી રહેલું ક્ષેત્રફળ $A_{remaining} = A - A_{blocked} = \frac{\pi d^2}{4} - \frac{\pi d^2}{16} = \frac{3\pi d^2}{16}$ છે.
બાકી રહેલા ક્ષેત્રફળ અને મૂળ ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{3\pi d^2/16}{\pi d^2/4} = 3/4$ થાય છે.
તેથી, નવી તીવ્રતા $3I/4$ થશે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$,જે સૂચવે છે કે $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$.
લાલ પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક જાંબલી પ્રકાશ કરતા ઓછો હોવાથી $(\mu_{red} < \mu_{violet})$,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $(\mu - 1)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_v < f_r$ કારણ કે $\mu_{violet} > \mu_{red}$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું મૂલ્ય પણ સમાન સંબંધ અનુસરે છે,તેથી $F_v < F_r$ કારણ કે $\mu_{violet} > \mu_{red}$.
તેથી,સાચો સંબંધ $f_v < f_r$ અને $F_v < F_r$ છે.

(A) પાતળા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે તમે લેન્સને દબાવો છો,ત્યારે સપાટીઓની વક્રતા વધે છે,જેનો અર્થ છે કે વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ ઘટે છે.
જેમ $R_1$ અને $R_2$ ઘટે છે,તેમ પદ $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે લેન્સનો પાવર વધે છે અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઘટે છે.
લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે,જ્યાં $u$ એ વસ્તુનું અંતર (ઋણ) છે અને $v$ એ પ્રતિબિંબનું અંતર છે.
$v$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $v = \frac{uf}{u+f}$ મળે છે.
વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્રબિંદુની બહાર હોવાથી,$|u| > f$ છે. જેમ $f$ ઘટે છે,તેમ પ્રતિબિંબનું અંતર $v$ પણ ઘટે છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ લેન્સ તરફ ખસે છે.

(B) પાતળા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે લેન્સને દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે સપાટીઓની વક્રતા વધે છે,જેનો અર્થ છે કે વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ ઘટે છે.
જેમ $R_1$ અને $R_2$ ઘટે છે,તેમ પદ $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે લેન્સનો પાવર વધે છે અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઘટે છે.
લેન્સની મોટવણી $m$ એ $m = \frac{f}{f - u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે (જે ઋણ છે,તેથી $u = -|u|$ લો). આમ,$m = \frac{f}{f + |u|}$.
જેમ $f$ ઘટે છે,તેમ પ્રતિબિંબનું કદ પણ ઘટે છે.
તેથી,પ્રતિબિંબની પાર્શ્વીય ઊંચાઈ ઘટે છે.

(A) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ વસ્તુનું અંતર (ઋણ),$v$ એ પ્રતિબિંબનું અંતર અને $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે.
જેમ ટર્નિપ (વસ્તુ) લેન્સથી દૂર જાય છે,તેમ $|u|$ નું મૂલ્ય વધે છે.
નિશ્ચિત પ્રતિબિંબ અંતર $v$ માટે (કારણ કે કાર્ડનું સ્થાન નિશ્ચિત છે),પદ $\frac{1}{v}$ અચળ રહે છે.
જેમ $|u|$ વધે છે,તેમ $\frac{1}{|u|}$ ઘટે છે.
સમીકરણ $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{|u|}$ ને જાળવી રાખવા માટે,જેમ $\frac{1}{|u|}$ ઘટે છે,તેમ $\frac{1}{f}$ ઘટવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ વધવી જોઈએ.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ વધારવા માટે તેની વક્રતા ઘટાડવી જરૂરી છે.
લેન્સને દબાવવાથી તેની વક્રતા વધે છે (તેને વધુ બહિર્ગોળ બનાવે છે અને $f$ ઘટાડે છે),તેથી $f$ વધારવા માટે,આપણે લેન્સ પરનું દબાણ ઘટાડવું જોઈએ.

(C) પાતળા લેન્સના ધ્રુવ પર,સપાટી ઓપ્ટિકલ અક્ષને લંબ હોય છે. તેથી,ધ્રુવ પર સપાટીનો લંબ ઓપ્ટિકલ અક્ષ સાથે સંપાત થાય છે.
$1$. પ્રથમ સપાટી (ધ્રુવ) પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu \sin(2^{\circ}) = (2\mu) \sin(r_1)$
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin(\theta) \approx \theta$ (રેડિયનમાં),તેથી:
$\mu(2^{\circ}) = 2\mu(r_1) \implies r_1 = 1^{\circ}$
$2$. બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
લેન્સ પાતળો હોવાથી,કિરણ સીધું જ બીજી સપાટી પર સમાન ઊંચાઈએ (ધ્રુવ પર) પહોંચે છે. બીજા ધ્રુવ પરનો લંબ પણ ઓપ્ટિકલ અક્ષ સાથે સંપાત થાય છે.
$(2\mu) \sin(r_1) = (3\mu) \sin(e)$
નાના ખૂણાના અંદાજનો ઉપયોગ કરતા:
$2\mu(r_1) = 3\mu(e)$
$2(1^{\circ}) = 3(e)$
$e = (2/3)^{\circ}$
આમ,નિર્ગમન કિરણ દ્વારા ઓપ્ટિકલ અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $(2/3)^{\circ}$ છે.

(C) જ્યારે લેન્સને નાના ખૂણા $\theta$ થી નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સનું મુખ્ય કેન્દ્ર $x$-અક્ષ પરથી સ્થાનાંતરિત થાય છે.
શરૂઆતમાં,મુખ્ય કેન્દ્ર $(f, 0)$ પર છે.
જ્યારે લેન્સને $\theta$ ખૂણે નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે મુખ્ય કેન્દ્રનું નવું સ્થાન $(x', y')$ યામ ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.
પ્રકાશિક કેન્દ્ર $O$ થી મુખ્ય કેન્દ્રનું અંતર $f$ રહે છે.
મુખ્ય કેન્દ્રના નવા યામ $(f \cos \theta, f \sin \theta)$ છે.
$\theta$ નાનો હોવાથી,$\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ અને $\sin \theta \approx \theta$.
આમ,મુખ્ય કેન્દ્ર $(f(1 - \frac{\theta^2}{2}), f \theta)$ પર છે.
$x$-અક્ષ પર પ્રતિબિંબનું સ્થાનાંતર $f - f \cos \theta = f(1 - \cos \theta) \approx f \frac{\theta^2}{2}$ છે.
$y$-અક્ષ પર સ્થાનાંતર $f \sin \theta \approx f \theta$ છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં પ્રતિબિંબના દોલનનો કંપવિસ્તાર પૂછવામાં આવ્યો છે. જેમ લેન્સ $-\theta$ અને $+\theta$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,તેમ પ્રતિબિંબ $f$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરે છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,પ્રશ્ન લેન્સના નમનને કારણે $x$-અક્ષ પર થતા સ્થાનાંતર વિશે છે,જે $\frac{f \theta^2}{2}$ છે.

(A) ધારો કે લેન્સનું $P$ થી અંતર $x$ છે. તો $Q$ થી અંતર $(24-x)$ થશે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ મુજબ,જો પ્રતિબિંબ એક જ જગ્યાએ રચાય તો,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u}$.
બંને માટે $\frac{1}{9} + \frac{1}{x} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x}$ લેતા $x = 12$ મળે છે.
પરંતુ આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે સમીકરણ $(x-6)(x-18)=0$ નો ઉપયોગ કરીએ,તો $x = 6 \ cm$ અથવા $x = 18 \ cm$ મળે છે. તેથી,લેન્સને $6 \ cm$ અથવા $18 \ cm$ અંતરે મૂકવો જોઈએ.

(A) અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
અહીં,આપાત કિરણો કેન્દ્રિત થાય છે,તેથી વસ્તુ આભાસી છે. કેન્દ્રિત બિંદુથી ધ્રુવનું અંતર $u$ છે,જે ધન છે $(u > 0)$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે,તેથી આપણે $f_{lens} = -f$ લઈએ છીએ (જ્યાં $f > 0$).
લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = -\frac{1}{f}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{v} = \frac{1}{u} - \frac{1}{f} = \frac{f - u}{uf}$ થાય છે.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ધન હોવું જોઈએ $(v > 0)$.
$u > 0$ અને $f > 0$ હોવાથી,$v$ ધન રહે તે માટે અંશ $(f - u)$ ધન હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $f - u > 0$,અથવા $u < f$.
તેથી,અંતર $u$ એ $0$ અને $f$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.

(A) $+10\, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ ધરાવતા અભિસારી લેન્સ (બહિર્ગોળ લેન્સ) માટે,જ્યારે વસ્તુને પ્રકાશીય કેન્દ્ર અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે $(u < 10\, cm)$ મૂકવામાં આવે ત્યારે આભાસી અને વિવર્ધિત પ્રતિબિંબ રચાય છે.
વિકલ્પ $A$ માં,વસ્તુ $5\, cm$ પર મૂકવામાં આવી છે,જે કેન્દ્રલંબાઈ કરતા ઓછી છે $(5\, cm < 10\, cm)$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{-5} = \frac{1}{10}$,જે આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = -\frac{1}{10}$ આપે છે,તેથી $v = -10\, cm$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{-10}{-5} = +2$. અહીં $|m| > 1$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને વસ્તુ કરતા મોટું મળે છે.
અપસારી લેન્સ હંમેશા વાસ્તવિક વસ્તુ માટે આભાસી અને નાનું પ્રતિબિંબ જ આપે છે.

(C) લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
અહીં,$u = -OA$ અને $v = OB$ છે,તેથી $\frac{1}{f} = \frac{1}{OB} - \frac{1}{-OA} = \frac{1}{OB} + \frac{1}{OA} = \frac{OA + OB}{OA \cdot OB}$.
આમ,$f = \frac{(OA)(OB)}{OA + OB} = \frac{(OA)(OB)}{AB} \dots(i)$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BCA$ માં,$OC$ એ કર્ણ $AB$ પરનો વેધ છે. કાટકોણ ત્રિકોણના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$OC^2 = (OA)(OB)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $f = \frac{OC^2}{AB}$ મળે છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સ્થાનાંતરની રીત (displacement method) મુજબ,જ્યારે વસ્તુ અને પડદાને નિશ્ચિત અંતર $D$ પર રાખવામાં આવે છે,અને લેન્સને બે સ્થાનો વચ્ચે ખસેડીને પડદા પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ મેળવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_1$ અને $h_2$ એ વસ્તુની ઊંચાઈ $h$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $h = \sqrt{h_1 h_2}$.
આપેલ છે: $h_1 = 8\,cm$ અને $h_2 = 12.5\,cm$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \sqrt{8 \times 12.5}$.
$h = \sqrt{100}$.
$h = 10\,cm$.
તેથી,વસ્તુની ઊંચાઈ $10\,cm$ છે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20\, cm$,વસ્તુ અંતર $u = -30\, cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v = +60\, cm$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$.
ધારો કે વસ્તુ મુખ્ય અક્ષ ($XY$ રેખા) થી $h_O = 0.5\, cm$ ઉપર છે.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_I = m \times h_O = -2 \times 0.5\, cm = -1\, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ મુખ્ય અક્ષ $XY$ ની નીચે રચાય છે.
આમ,પ્રતિબિંબ $XY$ રેખાની $1\, cm$ નીચે રચાશે.

(B) વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D = 90\, cm$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર $d = 20\, cm$ છે.
ડિસ્પ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિમાં બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{(90)^2 - (20)^2}{4 \times 90}$
$f = \frac{8100 - 400}{360}$
$f = \frac{7700}{360}$
$f = \frac{770}{36} \approx 21.388\, cm$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $f = 21.4\, cm$ મળે છે.

(D) ધારો કે વસ્તુની ઊંચાઈ $h$ છે. બે પ્રતિબિંબનું કદ $I_1 = 6 \, cm$ અને $I_2 = 3 \, cm$ છે. બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સ્થાનાંતરની રીત મુજબ,વસ્તુની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \sqrt{I_1 \times I_2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $h = \sqrt{6 \times 3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \, cm$.
ગણતરી કરતા: $3 \times 1.414 = 4.242 \, cm$.
આમ,$4.242 \, cm$ એ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $1$. પ્રથમ લેન્સ માટે,આપાત કિરણનું વક્રીભવન એવી રીતે થાય છે કે તે મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે. આનો અર્થ એ છે કે આપાત કિરણ પ્રથમ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત છે. આકૃતિ પરથી,આ મુખ્ય કેન્દ્રનું પ્રથમ લેન્સથી અંતર $5 \text{ cm}$ છે. લેન્સ બહિર્ગોળ હોવાથી,તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{1} = +5 \text{ cm}$ છે.
$2$. બીજા લેન્સ માટે,મુખ્ય અક્ષને સમાંતર કિરણ લેન્સ પર આપાત થાય છે અને વક્રીભવન પામીને તેના મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. નિર્ગમન કિરણ મુખ્ય અક્ષ સાથે તેટલો જ ખૂણો $\theta$ બનાવે છે જેટલો આપાત કિરણ બનાવે છે. આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{h}{5} = \frac{h}{f_{2}}$,જ્યાં $h$ એ મુખ્ય અક્ષથી કિરણની ઊંચાઈ છે. આમ,બીજા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{2} = 5 \text{ cm}$ છે. તે બહિર્ગોળ લેન્સ હોવાથી,$f_{2} = +5 \text{ cm}$ છે.

(D) અભિસારી લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dv}{dt} = \left( \frac{v}{u} \right)^2 \frac{du}{dt}$.
ધારો કે $v_o = \frac{du}{dt}$ એ પદાર્થનો વેગ છે અને $v_i = \frac{dv}{dt}$ એ પ્રતિબિંબનો વેગ છે.
પદાર્થ લેન્સ તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,$\frac{du}{dt}$ ઋણ છે. પ્રતિબિંબ પણ લેન્સ તરફ ગતિ કરે તે માટે,$\frac{dv}{dt}$ ઋણ હોવું જોઈએ.
જો કે,પદ $\left( \frac{v}{u} \right)^2$ હંમેશા ધન હોય છે. આ સૂચવે છે કે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ $(v > 0)$ માટે,પ્રતિબિંબ પદાર્થની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
જો પદાર્થ મુખ્ય કેન્દ્ર અને પ્રકાશીય કેન્દ્રની વચ્ચે $(u < f)$ મૂકવામાં આવે,તો રચાતું પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું હોય છે. આ કિસ્સામાં,$v$ ઋણ છે. લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
જેમ જેમ પદાર્થ $F$ થી $O$ તરફ ગતિ કરે છે (એટલે કે $u$ એ $f$ થી $0$ સુધી ઘટે છે),તેમ આભાસી પ્રતિબિંબ $-\infty$ થી $O$ તરફ ગતિ કરે છે. આમ,પદાર્થ અને પ્રતિબિંબ બંને લેન્સ તરફ ગતિ કરે છે.
તેથી,શરત $u < f$ છે.

(D) ધારો કે વસ્તુનું સ્થાન $u$ છે અને પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v$ છે. લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dv}{dt} = \left(\frac{v}{u}\right)^2 \frac{du}{dt}$.
અહીં,લેન્સની સાપેક્ષમાં વસ્તુનો વેગ $v_{ol} = v_o - v_l = V - (-V) = 2V$ છે. તેથી,$\frac{du}{dt} = 2V$.
$u = -2f$ પર,પ્રતિબિંબ અંતર $v$ એ $\frac{1}{v} - \frac{1}{-2f} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરીને મળે છે,જે $v = 2f$ આપે છે.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{2f}{-2f} = -1$.
આમ,લેન્સની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો વેગ $v_{il} = m^2 v_{ol} = (-1)^2 (2V) = 2V$ છે.
કારણ કે $v_{il} = v_i - v_l$,આપણી પાસે $2V = v_i - (-V)$ છે,જે $v_i = 2V - V = V$ આપે છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી (કોશીનું સમીકરણ: $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2}$),કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટમાં લાલ રંગની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લાલ રંગ માટે સૌથી વધુ હોય છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +10 \ cm = +0.1 \ m$ અને $R_2 = -10 \ cm = -0.1 \ m$ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = 1.6$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{0.1} - \frac{1}{-0.1} \right)$
$P = (0.6) \left( 10 + 10 \right)$
$P = 0.6 \times 20 = 12 \ D$.
આમ,લેન્સનો પાવર $+12 \ D$ છે.

(C) પડદા પર પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોવું જરૂરી છે. બહિર્ગોળ અરીસા અને અંતર્ગોળ લેન્સ હંમેશા આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે,તેથી વિકલ્પ $A$,$B$ અને $D$ ખોટા છે. બહિર્ગોળ લેન્સ પડદા પર વાસ્તવિક અને નાનું પ્રતિબિંબ બનાવી શકે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $4f$ હોય છે.
અહીં વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $d = 1\, m$ આપેલું છે,તેથી $4f \leq d$.
$4f \leq 1\, m \Rightarrow f \leq 0.25\, m$.
આમ,$0.25\, m$ કરતા ઓછી કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સની જરૂર પડે છે.

(C) મેગ્નિફાઈંગ ગ્લાસ એ બહિર્ગોળ લેન્સ (અભિસારી લેન્સ) છે જેનો ઉપયોગ વસ્તુની મોટી,આભાસી અને ચત્તી પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે થાય છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા આભાસી અને મોટી પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,વસ્તુને લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્ર અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે મૂકવી આવશ્યક છે,એટલે કે $u < f$ અંતરે.
જ્યારે વસ્તુને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ કરતા ઓછા અંતરે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સ વસ્તુની બાજુએ જ આભાસી,ચત્તી અને મોટી પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચું વિધાન છે.

(C) લેન્સનું સમીકરણ $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,વસ્તુનું અંતર ઋણ હોય છે,તેથી આપણે $u = -x$ લઈએ છીએ (જ્યાં $x > 0$).
સમીકરણ $\frac{1}{v} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{f}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{v} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f}$ થાય છે.
$v$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{x - f}{xf}$ મળે છે,તેથી $v = \frac{xf}{x - f}$.
જેમ $x$ એ $f$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,તેમ $v$ એ $\infty$ થી $f$ સુધી ઘટે છે. આ $v-u$ સમતલના પ્રથમ ચરણમાં એક અતિવલય (hyperbolic) વક્ર દર્શાવે છે ($u$ અને $v$ ના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા),જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,$u$ ઋણ છે,તેથી ધારો કે $u = -|u|$ અને $v = |v|$.
સમીકરણ $\frac{1}{|v|} - \frac{1}{-|u|} = \frac{1}{f}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{|v|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$ થાય છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી સીધી રેખાનું સમીકરણ $|v| = |u|$ છે.
છેદબિંદુ $P$ પર,આપણે લેન્સના સૂત્રમાં $|v| = |u|$ મૂકીએ છીએ:
$\frac{1}{|u|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$
$\frac{2}{|u|} = \frac{1}{f}$
$|u| = 2f$.
કારણ કે $|v| = |u|$,તેથી $|v| = 2f$.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(2f, 2f)$ છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં,$n$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $n$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto \frac{1}{\lambda^2})$.
વાદળી રંગની તરંગલંબાઈ $(\lambda_b)$ એ લાલ રંગની તરંગલંબાઈ $(\lambda_r)$ કરતા ઓછી હોય છે.
તેથી,વાદળી રંગ માટે વક્રીભવનાંક $(n_b)$ એ લાલ રંગના વક્રીભવનાંક $(n_r)$ કરતા વધારે હોય છે.
જેમ કે $\frac{1}{f} \propto (n - 1)$,તેથી ઊંચો વક્રીભવનાંક $\frac{1}{f}$ ની મોટી કિંમત આપે છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઘટે છે.
આમ,જ્યારે વાદળી રંગનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ ઘટે છે.

(A) લેન્સનું કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
અહીં $v = 12 \ cm$ અને $u = -240 \ cm$ $(2.4 \ m = 240 \ cm)$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{12} - \frac{1}{-240} = \frac{20+1}{240} = \frac{21}{240} \ cm^{-1}$.
જ્યારે $t = 1 \ cm$ જાડાઈ અને $\mu = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ લેન્સ તરફ $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu}) = 1(1 - \frac{1}{1.5}) = 1(1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} \ cm$ જેટલું ખસે છે.
નવું પ્રતિબિંબ સ્થાન $v' = 12 - \frac{1}{3} = \frac{35}{3} \ cm$.
સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ જાળવી રાખવા માટે,નવું વસ્તુ અંતર $u'$ નીચે મુજબ હોવું જોઈએ: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u'}$.
$\frac{1}{u'} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{f} = \frac{3}{35} - \frac{21}{240} = \frac{3}{35} - \frac{7}{80}$.
$\frac{1}{u'} = \frac{3 \times 16 - 7 \times 7}{560} = \frac{48 - 49}{560} = -\frac{1}{560} \ cm^{-1}$.
તેથી,$u' = -560 \ cm = -5.6 \ m$.
વસ્તુને ખસેડવા માટેનું જરૂરી અંતર $|u'| - |u| = 5.6 \ m - 2.4 \ m = 3.2 \ m$ છે.

(C) વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v = 2 \times 10^8 \ m/s$ એ માધ્યમમાં ઝડપ છે.
$n = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.
ધારો કે $R$ એ વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા છે. લેન્સની ભૂમિતિ પરથી,વર્તુળમાં જીવાની ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $r^2 = t(2R - t)$,જ્યાં $r = 3 \ cm$ એ લેન્સની ત્રિજ્યા છે અને $t = 3 \ mm = 0.3 \ cm$ એ જાડાઈ છે.
$3^2 = 0.3(2R - 0.3) \Rightarrow 9 = 0.6R - 0.09 \Rightarrow 0.6R = 9.09 \Rightarrow R = 15.15 \ cm \approx 15 \ cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (n - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R = 15 \ cm$ અને $R_2 = \infty$.
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1)(\frac{1}{15} - \frac{1}{\infty}) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$f = 30 \ cm$.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f_m} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = (\frac{3}{2} - 1) \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$. તેથી,$f = R$.
પ્રવાહી $1$ માં જ્યાં $\mu_{L1} = \frac{4}{3}$ છે: $\frac{1}{f_1} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \frac{2}{R} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{R} = \frac{1}{4R}$. તેથી,$f_1 = 4R = 4f$. અહીં $f_1 > f$ હોવાથી કેન્દ્રલંબાઈ વધે છે.
પ્રવાહી $2$ માં જ્યાં $\mu_{L2} = \frac{5}{3}$ છે: $\frac{1}{f_2} = \left( \frac{3/2}{5/3} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{9}{10} - 1 \right) \frac{2}{R} = -\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{R} = -\frac{1}{5R}$. તેથી,$f_2 = -5R = -5f$. $f_2$ ઋણ હોવાથી,લેન્સ અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,અને $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$ હોવાથી,વક્રીભવનાંકનો ક્રમ $\mu_R < \mu_G < \mu_B$ થાય છે.
સૂત્ર પરથી,$f \propto \frac{1}{\mu - 1}$,જેનો અર્થ છે કે $f_R > f_G > f_B$.
અહીં વાદળી,લાલ અને લીલા પ્રકાશ માટે પ્રતિબિંબ અંતર અનુક્રમે $x$,$y$ અને $z$ આપેલ છે,તેથી $x = f_B$,$y = f_R$,અને $z = f_G$.
તેથી,અંતરનો ક્રમ $y > z > x$ થશે.

(B) અંતર્ગોળ લેન્સ એ અપસારી (diverging) લેન્સ તરીકે વર્તે છે,જે પ્રકાશના કિરણોને લેન્સમાંથી પસાર થતી વખતે ફેલાવે છે.
જ્યારે પડદો ખૂબ દૂર રાખવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો મોટા વિસ્તારમાં ફેલાય છે,જેના પરિણામે તીવ્રતા ઓછી હોય છે.
જેમ જેમ પડદાને લેન્સની નજીક લાવવામાં આવે છે,તેમ પડદા પર ફેલાતા પ્રકાશના કિરણો દ્વારા આવરી લેવાયેલ વિસ્તાર ઘટે છે.
પ્રકાશના સ્ત્રોતની કુલ પાવર (અથવા ફોટોનની સંખ્યા) અચળ રહેતી હોવાથી,જેમ પડદા પર પ્રકાશિત વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે તેમ તીવ્રતા (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર) વધે છે.
તેથી,જેમ પડદાને લેન્સની નજીક લાવવામાં આવે છે તેમ પડદા પર પ્રકાશની તીવ્રતા સતત વધે છે.

(B) જાડા લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ જાડા લેન્સના લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(\mu - 1)t}{\mu R_1 R_2} \right]$.
કિસ્સો $1$: કિરણો સમતલ સપાટી પર આપાત થાય છે $(R_1 = \infty, R_2 = -R)$.
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ 0 - \frac{1}{-R} + 0 \right] = \frac{\mu - 1}{R}$.
આમ,$f = \frac{R}{\mu - 1}$. અંતર $x$ સમતલ સપાટીથી માપવામાં આવે છે,તેથી $x = f = \frac{R}{\mu - 1}$.
કિસ્સો $2$: કિરણો વક્ર સપાટી પર આપાત થાય છે $(R_1 = R, R_2 = \infty)$.
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - 0 + 0 \right] = \frac{\mu - 1}{R}$.
અહીં,કેન્દ્રલંબાઈ સમાન છે,પરંતુ વક્રીભવન પહેલા વક્ર સપાટી પર થાય છે. કિરણો વક્ર સપાટીથી $y$ અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે. લેન્સની જાડાઈ $t$ ને કારણે,વક્ર સપાટીથી અસરકારક અંતર $y$ એ $y = f + \frac{t}{\mu} = \frac{R}{\mu - 1} + \frac{t}{\mu}$ છે.
$x$ અને $y$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $y = x + \frac{t}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $y > x$ અથવા $x < y$.

(D) ધારો કે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. વસ્તુ અંતર $u = -30\, cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{-30} = \frac{30-f}{30f}$,તેથી $v = \frac{30f}{30-f}$ મળે છે.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{30f/(30-f)}{-30} = \frac{f}{f-30}$ છે.
લેન્સને કાપીને $h$ અંતરે અલગ કરવામાં આવ્યો હોવાથી,દરેક અડધો ભાગ મૂળ મુખ્ય અક્ષથી $h/2$ જેટલો ખસેડાય છે. દરેક ભાગ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ તે ભાગની નવી મુખ્ય અક્ષથી $m \times (h/2)$ જેટલું ખસેડાય છે.
દરેક પ્રતિબિંબનું મૂળ મધ્ય અક્ષથી અંતર $\frac{h}{2} + |m| \frac{h}{2} = \frac{h}{2}(1 + |m|)$ છે.
બે પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું કુલ અંતર $d = 2 \times \frac{h}{2}(1 + |m|) = h(1 + |m|)$ છે.
આલેખ પરથી,ઢાળ $\frac{d}{h} = \frac{6\, cm}{2\, cm} = 3$ છે.
તેથી,$1 + |m| = 3$,જેનો અર્થ છે કે $|m| = 2$.
પ્રતિબિંબો વાસ્તવિક હોવાથી,મોટવણી $m$ ઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $m = -2$.
$m = \frac{f}{f-30} = -2$ મૂકતા,આપણને $f = -2f + 60$ મળે છે,તેથી $3f = 60$,જે $f = 20\, cm$ આપે છે.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\frac{\mu}{\mu_2} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં,સમાંતર પ્રકાશના કિરણો બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી અપસારી (diverging) થાય છે,જેનો અર્થ છે કે લેન્સ અંતર્ગોળ (અપસારી) લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ અપસારી લેન્સ તરીકે ત્યારે જ વર્તે છે જો આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(\mu_2)$ લેન્સના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક $(\mu)$ કરતા વધારે હોય.
તેથી,લેન્સ અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે તે માટે,આપણી પાસે $\mu < \mu_2$ હોવું જોઈએ.

(D) સમાન-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અચળ રહેતી હોવાથી,$df = 0$ થાય. તાપમાનની સાપેક્ષમાં સૂત્રનું વિકલન કરતા: $0 = d\mu \left( \frac{2}{R} \right) + (\mu - 1) \left( -\frac{2}{R^2} \right) dR$.
પદોને ગોઠવતા: $d\mu \left( \frac{2}{R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R^2} \right) dR$.
બંને બાજુ $\frac{2}{R}$ વડે ભાગતા: $d\mu = (\mu - 1) \frac{dR}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dR}{R} = \alpha \Delta \theta$,તેથી કિંમત મુકતા: $d\mu = (\mu - 1) \alpha \Delta \theta$.
અહીં $\mu = 1.5$,$\alpha = 2.5 \times 10^{-4} / ^\circ C$,અને $\Delta \theta = 40\, ^\circ C$ આપેલ છે.
$d\mu = (1.5 - 1) \times (2.5 \times 10^{-4}) \times 40$.
$d\mu = 0.5 \times 2.5 \times 10^{-4} \times 40 = 0.5 \times 100 \times 10^{-4} = 50 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-3}$.

(A) લેન્સનો વક્રીભવનાંક મુખ્ય અક્ષથી $y$ અંતર સાથે $\mu(y) = 2[1 + \frac{|y|}{d}]$ મુજબ બદલાય છે.
પાતળા લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ છે.
મુખ્ય અક્ષ પર $(y = 0)$,$\mu = 2[1 + 0] = 2$. તેથી,$\frac{1}{f_1} = (2 - 1)(\frac{2}{R}) = \frac{2}{R}$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$u = -R$ સાથે,આપણને મળે છે $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-R} = \frac{2}{R} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{R} \implies v_1 = R$.
લેન્સની ધાર પર $(y = d)$,$\mu = 2[1 + \frac{d}{d}] = 4$. તેથી,$\frac{1}{f_2} = (4 - 1)(\frac{2}{R}) = \frac{6}{R}$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-R} = \frac{6}{R} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{5}{R} \implies v_2 = \frac{R}{5}$.
પ્રતિબિંબનો ફેલાવો એ પ્રતિબિંબના સ્થાનો વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta v = |v_1 - v_2| = |R - \frac{R}{5}| = \frac{4R}{5}$.
આપેલ છે કે પ્રતિબિંબનો ફેલાવો $6 \ m$ છે,તેથી $\frac{4R}{5} = 6 \implies R = 7.5 \ m$.
પ્રશ્ન મુજબ પ્રતિબિંબનો ફેલાવો $n$ મીટર છે,તેથી $n = 6$.

(B) લેન્સ માટે,મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{f}{f+u}$ છે.
લેન્સની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો વેગ $V_i = m^2 V_o$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_o$ એ વસ્તુનો વેગ છે.
વસ્તુ લેન્સ તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,$u$ ઋણ છે. ધારો કે $u = -x$,જ્યાં $x$ એ લેન્સથી અંતર છે.
તેથી $m = \frac{f}{f-x}$.
પ્રતિબિંબનો વેગ $V_i = \left(\frac{f}{f-x}\right)^2 V_o$ થાય.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $V_{\text{rel}} = |V_o - V_i| = V_o \left| 1 - \left(\frac{f}{f-x}\right)^2 \right|$ છે.
જેમ વસ્તુ અનંત અંતરેથી $(x \to \infty)$ નજીક આવે છે,તેમ $m \to 0$,તેથી $V_i \to 0$ અને $V_{\text{rel}} \to V_o$ થાય.
જેમ વસ્તુ લેન્સની નજીક આવે છે ($x$ ઘટે છે),તેમ $\left(\frac{f}{f-x}\right)^2$ પદ વધે છે,જેનાથી $V_i$ વધે છે.
પરિણામે,જેમ વસ્તુ લેન્સની નજીક આવે છે તેમ સાપેક્ષ વેગ $V_{\text{rel}} = V_o(1 - m^2)$ ઘટતો જાય છે.

(D) ધારો કે મૂળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $F$ છે. જ્યારે સમાંતર કિરણો સિસ્ટમ પર પડે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ કેન્દ્રલંબાઈના સમતલમાં રચાય છે. પ્રતિબિંબના યામ $(30, -1)$ છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f = 30 \, cm$ છે.
આ સિસ્ટમ બે લેન્સના ભાગોની બનેલી છે. ઉપરના ભાગની ઓપ્ટિકલ અક્ષ $y = x = 2.5 \, cm$ પર છે. નીચેના ભાગની ઓપ્ટિકલ અક્ષ $y = -y \, cm$ પર છે.
ઉપરના લેન્સ માટે,આપાત કિરણ $y = 0$ પર છે. ઓપ્ટિકલ અક્ષથી કિરણની ઊંચાઈ $h_1 = 0 - 2.5 = -2.5 \, cm$ છે. પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $y_1 = h_1 \cdot (f/f) = -2.5 \, cm$ દ્વારા મળે છે.
નીચેના લેન્સ માટે,આપાત કિરણ $y = 0$ પર છે. ઓપ્ટિકલ અક્ષથી કિરણની ઊંચાઈ $h_2 = 0 - (-y) = y \, cm$ છે. પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $y_2 = h_2 \cdot (f/f) = y \, cm$ દ્વારા મળે છે.
પ્રતિબિંબ $y = -1 \, cm$ પર રચાય છે,અને કિરણો બંને ભાગો દ્વારા કેન્દ્રિત થાય છે,તેથી આપણે ઓપ્ટિકલ અક્ષના સ્થાનાંતરને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. ઓપ્ટિકલ અક્ષથી પ્રતિબિંબનું સ્થાનાંતર એ ઓપ્ટિકલ અક્ષથી આપાત કિરણના અંતરના પ્રમાણમાં હોય છે. સમપ્રમાણતા અને અંતિમ યામ $(30, -1)$ ને જોતા,આપણને મળે છે કે $y = 4.5 \, cm$ ભૌમિતિક સ્થાનાંતરને સંતોષે છે.

(B) ઇન્ડેક્સ એરર એ અવલોકિત અંતર અને વાસ્તવિક અંતર વચ્ચેનો તફાવત છે।
વાસ્તવિક અંતર $u = u_{obs} - (\text{index error}) = 9 - 1 = 8 \, cm$.
વાસ્તવિક અંતર $v = v_{obs} - (\text{index error}) = 17 - (-1) = 18 \, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
અહીં, સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ, $u = -8 \, cm$ અને $v = +18 \, cm$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{18} - \frac{1}{-8} = \frac{1}{18} + \frac{1}{8}$.
$\frac{1}{f} = \frac{4 + 9}{72} = \frac{13}{72}$.
$f = \frac{72}{13} \approx 5.538 \, cm \approx 5.54 \, cm$.

(B) સામાન્ય રીતે જ્યારે બહિર્ગોળ લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu$ તેની આસપાસના માધ્યમના વક્રીભવનાંક $\mu_2$ કરતા વધારે હોય ત્યારે તે અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,આપાત સમાંતર કિરણો લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી અપસારી (દૂર જાય છે) થાય છે.
આ સૂચવે છે કે લેન્સ અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તી રહ્યો છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ ત્યારે જ અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે જો લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક તેની આસપાસના માધ્યમના વક્રીભવનાંક કરતા ઓછો હોય,એટલે કે $\mu < \mu_2$.

(C) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકર્સના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
અહીં, $\mu_l$ એ લેન્સનો વક્રીભવનાંક છે, $\mu_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે, અને $R_1, R_2$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
જો લેન્સ કાચની સમતલ પ્લેટ તરીકે વર્તે, તો તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અનંત $(\infty)$ થઈ જાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{f} = 0$, જેનો અર્થ છે કે $(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) = 0$.
તેથી, $\frac{\mu_l}{\mu_m} = 1$, અથવા $\mu_l = \mu_m$.
આમ, પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક કાચના વક્રીભવનાંક જેટલો જ હોવો જોઈએ.

(A) લેન્સ દ્વારા પડદા પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $D = 4f$ હોય છે,જ્યાં $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $D = 2.0 \ m = 200 \ cm$,તેથી $4f = 200 \ cm$,જે આપણને $f = 50 \ cm$ આપે છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં,$R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ છે,તેથી $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{1}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{50} = (1.5 - 1) \frac{1}{R} \Rightarrow \frac{1}{50} = 0.5 \times \frac{1}{R} \Rightarrow R = 25 \ cm$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની એપર્ચર ત્રિજ્યા $r$ એ તેની જાડાઈ $t$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ સાથે $t = R - \sqrt{R^2 - r^2}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે. પાતળા લેન્સ માટે,આ આશરે $t \approx \frac{r^2}{2R}$ થાય છે,તેથી $r = \sqrt{2Rt}$.
એપર્ચર વ્યાસ $a = 2r = 2\sqrt{2Rt} = \sqrt{8Rt}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \sqrt{8 \times 25 \times 0.5} = \sqrt{100} = 10 \ cm$.

(A) એક્રોમેટિક ડબલેટ માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$.
અહીં $\omega_1 = 0.024$ અને $\omega_2 = 0.036$ આપેલ છે,તેથી $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{0.024}{0.036} = -\frac{2}{3}$,એટલે કે $f_1 = -\frac{2}{3}f_2$.
સંયુક્ત કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{90}$ છે.
સમીકરણમાં $f_1 = -\frac{2}{3}f_2$ મૂકતા: $\frac{1}{f_2} - \frac{3}{2f_2} = \frac{1}{90}$.
$-\frac{1}{2f_2} = \frac{1}{90}$,જેનાથી $f_2 = -45\,cm$ મળે છે.
તેથી $f_1 = -\frac{2}{3}(-45) = 30\,cm$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $30\,cm$ અને $-45\,cm$ છે.

(A) ધારો કે વસ્તુ અંતર $u_1$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v_1$ છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m_1 = -v_1/u_1$ છે. પ્રતિબિંબ પડદા પર હોવાથી,$v_1$ ધન છે. ધારો કે $v_1 = q$. તો $u_1 = -q/m_1$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{q} - \frac{1}{-q/m_1} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1+m_1}{q} = \frac{1}{f} \Rightarrow q = f(1+m_1)$.
જ્યારે લેન્સને $x$ અંતર જેટલું ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v_2 = q+x$ થાય છે. નવી મોટવણી $m_2 = -v_2/u_2$ છે. તેથી $u_2 = -v_2/m_2 = -(q+x)/m_2$.
ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{q+x} - \frac{1}{-(q+x)/m_2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1+m_2}{q+x} = \frac{1}{f} \Rightarrow q+x = f(1+m_2)$.
$q$ અને $q+x$ માટેના બે સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(q+x) - q = f(1+m_2) - f(1+m_1)$
$x = f(m_2 - m_1)$
$f = \frac{x}{m_2 - m_1}$.

(A) ધારો કે વસ્તુ અંતર $u$ છે અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ છે. પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું હોવાથી,$v = -3u$ (જ્યાં $M = v/u = -3$ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,અહીં મોટવણીનું મૂલ્ય $3$ છે,તેથી $v/u = -3$ એટલે કે $v = -3u$).
આપેલ છે કે વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $80 \, cm$ છે,તેથી $v - u = 80 \, cm$.
સમીકરણમાં $v = -3u$ મૂકતા: $-3u - u = 80 \, cm$.
$-4u = 80 \, cm$,જે આપણને $u = -20 \, cm$ આપે છે.
તેથી,$v = -3(-20) = 60 \, cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{60} + \frac{3}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$.
તેથી,$f = 15 \, cm$.

(B) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -4\,cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -12\,cm$ (અંતર્ગોળ લેન્સ માટે).
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-4} = \frac{1}{-12}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{12}$.
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{12} - \frac{1}{4} = \frac{-1 - 3}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$v = -3\,cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું છે. તેનું સ્થાન લેન્સથી $3\,cm$ છે.

(D) ધારો કે $D = 100 \, cm$ એ વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d = 40 \, cm$ એ લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટે સ્થાનાંતર પદ્ધતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
$f = \frac{100^2 - 40^2}{4 \times 100} = \frac{10000 - 1600}{400} = \frac{8400}{400} = 21 \, cm$.
અહીં $f = 21 \, cm = 0.21 \, m$ હોવાથી,પાવર $P = \frac{1}{f(m)} = \frac{1}{0.21} \approx 4.76 \, D$ મળે.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત લેતા,$P \approx 5 \, D$ થાય.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i = \frac{dv}{dt} = (\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$ છે.
$v = \frac{uf}{u+f}$ હોવાથી,$v_i = (\frac{f}{u+f})^2 v_o$ મળે,જ્યાં $v_o$ એ પદાર્થની ઝડપ છે.
જેમ પદાર્થ મુખ્ય કેન્દ્ર $(u \to -f)$ ની નજીક આવે છે,તેમ છેદ $(u+f) \to 0$ થાય છે,જેના કારણે પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i$ અનંત તરફ ઝડપથી વધે છે.
વેગ સમય અને સ્થાન સાથે બદલાતો હોવાથી,પ્રવેગ અસમાન છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ અસમાન પ્રવેગ સાથે લેન્સથી દૂર જાય છે.

(B) લેન્સ માટે મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે.
આપેલ છે કે $u_1 = 0.15 \ m$ માટે $m_1 = 2m_2$ અને $u_2 = 0.2 \ m$ માટે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f}{f-0.15} = 2 \times \frac{f}{f-0.2}$.
બંને બાજુથી $f$ ને દૂર કરતા: $\frac{1}{f-0.15} = \frac{2}{f-0.2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $f - 0.2 = 2(f - 0.15)$.
$f - 0.2 = 2f - 0.3$.
$0.3 - 0.2 = 2f - f$.
$f = 0.1 \ m$.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
આપેલ છે:
$f = +12\,cm$
$R_1 = +10\,cm$
$R_2 = -15\,cm$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{3 + 2}{30} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{5}{30} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{6} \right)$
$\mu - 1 = \frac{6}{12} = 0.5$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(A) ધારો કે સ્ત્રોતનું ક્ષેત્રફળ $A_0$ છે. લેન્સની બે સ્થિતિઓ માટે,મોટવણી $m_1$ અને $m_2$ એ $m_1^2 = \frac{A_1}{A_0}$ અને $m_2^2 = \frac{A_2}{A_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લેન્સની સંયુગ્મી સ્થિતિઓના ગુણધર્મ મુજબ,મોટવણીનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = 1$ થાય છે.
તેથી,$(m_1 \times m_2)^2 = 1^2 = 1$.
$m_1^2$ અને $m_2^2$ માટેના પદો મૂકતા,આપણને $\frac{A_1}{A_0} \times \frac{A_2}{A_0} = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $A_0^2 = A_1 A_2$ મળે છે.
આમ,સ્ત્રોતનું ક્ષેત્રફળ $A_0 = \sqrt{A_1 A_2}$ થાય છે.