Refraction by Lenses Questions in Gujarati

(B) ધારો કે પદાર્થ અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
ધારો કે લેન્સથી પદાર્થનું અંતર $u = -x$ છે (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ).
તો લેન્સથી પ્રતિબિંબનું અંતર $v = d - x$ થશે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{d - x} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{d - x} + \frac{1}{x}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1}{f} = \frac{x + d - x}{x(d - x)} = \frac{d}{dx - x^2}$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ફેરવતા: $x^2 - dx + fd = 0$.
$x$ ની વાસ્તવિક કિંમત માટે,વિવેચક શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ: $D = b^2 - 4ac \geq 0$.
$(-d)^2 - 4(1)(fd) \geq 0$.
$d^2 - 4fd \geq 0$.
$d(d - 4f) \geq 0$.
કારણ કે $d > 0$ છે,તેથી $d \geq 4f$ હોવું જોઈએ.
આમ,પદાર્થ અને તેના વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $4f$ છે.

(B) સ્થાનાંતરની રીતમાં,પદાર્થ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D$ નિશ્ચિત હોય ત્યારે લેન્સની બે એવી સ્થિતિઓ મળે છે જ્યાં સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ રચાય છે.
ધારો કે પ્રથમ સ્થિતિ માટે પદાર્થ અંતર $u$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ છે. તેથી $m_1 = v/u$.
બીજી સ્થિતિ માટે,પ્રતિવર્તીતાના સિદ્ધાંત મુજબ,પદાર્થ અંતર $v$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $u$ થાય છે. તેથી $m_2 = u/v$.
અહીં $m_1 \times m_2 = (v/u) \times (u/v) = 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે લેન્સનું સ્થાનાંતર $x = v - u$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 - m_2 = v/u - u/v = (v^2 - u^2) / (uv) = (v - u)(v + u) / (uv) = x(v + u) / (uv)$.
લેન્સના સૂત્ર મુજબ,$1/f = 1/v - 1/(-u) = (u + v) / (uv)$.
આ કિંમત $m_1 - m_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $m_1 - m_2 = x \times (1/f) = x/f$ મળે છે.
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = x / (m_1 - m_2)$ થાય.

(A) ક્ષેત્રફળની મોટવણી $(A_m)$ એ રેખીય મોટવણી $(m)$ ના વર્ગ જેટલી હોય છે.
આપેલ છે: રેખીય મોટવણી $m = 4$ અને વસ્તુનું ક્ષેત્રફળ $A_0 = 100 \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળની મોટવણીનું સૂત્ર $A_m = \frac{A_i}{A_0} = m^2$ છે.
તેથી,પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ $A_i = m^2 \times A_0$.
કિંમતો મૂકતા: $A_i = (4)^2 \times 100 = 16 \times 100 = 1600 \, cm^2$.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલીય બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,પ્રથમ સપાટી બહિર્ગોળ છે $(R_1 = R)$ અને બીજી સપાટી સમતલ છે $(R_2 = \infty)$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right)$.
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{1}{R} = \frac{1}{2R}$.
આમ,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 2R$ થાય છે.

(B) આ લેન્સ ત્રણ અલગ-અલગ આડા વિભાગોનો બનેલો છે,જેમાંથી દરેક અલગ વક્રીભવનાંક ધરાવતા અલગ પદાર્થમાંથી બનેલો છે.
લેન્સનો દરેક વિભાગ તેના પોતાના કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા સ્વતંત્ર લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
ત્રણ અલગ-અલગ પદાર્થો હોવાથી,ત્રણ અલગ-અલગ વક્રીભવનાંક $(\mu_1, \mu_2, \mu_3)$ મળે છે,જેના પરિણામે ત્રણ અલગ-અલગ કેન્દ્રલંબાઈ $(f_1, f_2, f_3)$ મળે છે.
જ્યારે મુખ્ય અક્ષ પર બિંદુવત્ પદાર્થ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક વિભાગ લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ મુજબ પ્રતિબિંબ બનાવશે.
પદાર્થનું અંતર $u$ ત્રણેય વિભાગો માટે સમાન હોવા છતાં,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અલગ-અલગ હોવાથી,દરેક વિભાગ માટે પ્રતિબિંબનું અંતર $v$ અલગ-અલગ હશે.
તેથી,લેન્સના દરેક વિભાગ દ્વારા એક એમ કુલ ત્રણ અલગ-અલગ પ્રતિબિંબ રચાશે.

(C) ધારો કે લેન્સનું સ્થાન $x = L$ પર છે. વસ્તુ $x_o = -40 \, cm$ પર અને પ્રતિબિંબ $x_i = 50 \, cm$ પર છે. વસ્તુ અંતર $u = -(L - x_o) = -(L + 40)$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = (x_i - L) = (50 - L)$ છે.
મોટવણી $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{-2 \, cm}{1 \, cm} = -2$ થાય.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$-2 = \frac{50 - L}{-(L + 40)}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $2 = \frac{50 - L}{L + 40}$ મળે.
$2(L + 40) = 50 - L \implies 2L + 80 = 50 - L$.
$3L = -30 \implies L = -10 \, cm$.
આમ,લેન્સનું સ્થાન $x = -10 \, cm$ પર છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f} = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_l$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષમાં લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
જ્યારે લેન્સ હવામાં હોય,ત્યારે $n_l = \frac{n_g}{n_a} \approx n_g$ થાય છે. $n_g > 1$ હોવાથી,લેન્સ અભિસારી (converging) છે.
જ્યારે લેન્સને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $n_l' = \frac{n_g}{n_w}$ બને છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $(n_w \approx 1.33)$ એ હવાના વક્રીભવનાંક $(n_a \approx 1.0)$ કરતા વધારે હોવાથી,સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $n_l'$ ઘટે છે $(n_l' < n_l)$.
જેમ કે $P \propto (n_l - 1)$,સાપેક્ષ વક્રીભવનાંકમાં ઘટાડો થવાથી લેન્સનો પાવર $P$ ઘટે છે.

(C) ધારો કે લેન્સનું વસ્તુથી અંતર $x$ છે. તો લેન્સનું પડદાથી અંતર $(1.5 - x)$ થશે.
પ્રતિબિંબ પડદા પર મળતું હોવાથી તે વાસ્તવિક છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે મોટવણી $m = -4$ લેવાય.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = (1.5 - x)$ અને $u = -x$:
$-4 = \frac{1.5 - x}{-x}$
$4x = 1.5 - x$
$5x = 1.5$
$x = 0.3 \, m$.
આમ,લેન્સને વસ્તુથી $0.3 \, m$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં $(f_a = 8\, cm)$: $\frac{1}{8} = (1.5 - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
તેથી,$K = \frac{1}{8 \times 0.5} = \frac{1}{4}$.
પાણીમાં,પાણીની સાપેક્ષ લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{1.5}{4/3} = 1.125$ થાય છે.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_w$ માટે: $\frac{1}{f_w} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1) K$.
$\frac{1}{f_w} = (1.125 - 1) \times \frac{1}{4} = 0.125 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$.
તેથી,$f_w = 32\, cm$.

(D) પડદા પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d = \sqrt{D^2 - 4fD}$
જ્યાં $D$ એ વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $D = 70 \; cm$ અને $f = 16 \; cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(70)^2 - 4 \times 16 \times 70}$
$d = \sqrt{4900 - 4480}$
$d = \sqrt{420}$
$d \approx 20.49 \; cm \approx 20.5 \; cm$.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં કાચના લેન્સ માટે $(\mu_g = 1.5)$: $\frac{1}{2} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \frac{1}{2} = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 1$.
જ્યારે પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે $(\mu_l = 1.25)$: $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{1.5}{1.25} - 1 \right) (1) = (1.2 - 1) = 0.2$.
તેથી,$f_l = \frac{1}{0.2} = 5 \, cm$.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
આપેલ છે કે $f_a = 4 \, cm$ અને $\mu_g = 1.5$,તેથી $\frac{1}{4} = (1.5 - 1) K \Rightarrow K = \frac{1}{2} = 0.5$.
પાણીમાં: $\frac{1}{f_w} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1) K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_w} = (\frac{1.5}{1.33} - 1) \times 0.5$.
$1.33 \approx \frac{4}{3}$ હોવાથી,$\frac{1.5}{1.33} \approx 1.5 \times \frac{3}{4} = 1.125$.
$\frac{1}{f_w} = (1.125 - 1) \times 0.5 = 0.125 \times 0.5 = 0.0625$.
$f_w = \frac{1}{0.0625} = 16 \, cm$.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ લેન્સ માટે $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ અચળ હોવાથી,$\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$.
કોશીના વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ લાલ પ્રકાશ કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે $\mu_v > \mu_R$.
$\mu_v > \mu_R$ હોવાથી,$(\mu_v - 1) > (\mu_R - 1)$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{f_v} > \frac{1}{f_R}$,જેનો અર્થ છે કે $f_R > f_v$.

(C) મેગ્નિફાયર લેન્સ (બહિર્ગોળ લેન્સ) ના કિસ્સામાં,પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે.
આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +10 \, cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
પ્રતિબિંબ આભાસી હોવાથી,પ્રતિબિંબ અંતર $v = -30 \, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-30} - \frac{1}{u} = \frac{1}{10}$
પદોને ગોઠવતા: $-\frac{1}{u} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30}$
$-\frac{1}{u} = \frac{3 + 1}{30} = \frac{4}{30}$
$-\frac{1}{u} = \frac{2}{15}$
$u = -7.5 \, cm$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વસ્તુને લેન્સની સામે $7.5 \, cm$ અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(A) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકર્સના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f_m} = (\frac{\mu_L}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
અહીં,$\mu_L = 1.5$ (લેન્સનો વક્રીભવનાંક) અને $\mu_m = 1.33$ (પાણીનો વક્રીભવનાંક) છે.
કારણ કે $\mu_L > \mu_m$ છે,તેથી પદ $(\frac{\mu_L}{\mu_m} - 1)$ ધન મળે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ પણ ધન હોય છે.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f_m$ ધન રહે છે,જેનો અર્થ છે કે લેન્સ અભિસારી લેન્સ તરીકે જ વર્તે છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$,જ્યાં $\mu$ એ સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\mu_L}{\mu_M}$ છે.
હવામાં: $\frac{1}{f_a} = \left( \frac{3/2}{1} - 1 \right) K = \frac{1}{2} K$,જ્યાં $K = \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
આપેલ છે કે $f_a = 0.3 \ m$,તેથી $\frac{1}{0.3} = \frac{1}{2} K \implies K = \frac{2}{0.3} = \frac{20}{3}$.
પાણીમાં: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) K = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) K = \frac{1}{8} K$.
$K$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{f_w} = \frac{1}{8} \times \frac{20}{3} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.
તેથી,$f_w = \frac{6}{5} = 1.2 \ m$.

(D) કેમેરા લેન્સની મોટવણી $m$ એ પ્રતિબિંબના કદ અને વસ્તુના કદના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે પ્રતિબિંબ અંતર $v$ અને વસ્તુ અંતર $u$ ના ગુણોત્તર જેટલું પણ હોય છે.
વસ્તુ ખૂબ દૂર હોવાથી,પ્રતિબિંબ કેન્દ્રલંબાઈના સમતલ પર રચાય છે,તેથી $v = f = 0.5\; m$.
વસ્તુ અંતર $u = 2000\; m$.
રેખીય મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{f}{u} = \frac{0.5\; m}{2000\; m} = \frac{1}{4000}$.
જમીન પર આવરી લેવાયેલ રેખીય પરિમાણો $L_{ground} = \frac{L_{film}}{m} = L_{film} \times 4000$ છે.
ફિલ્મનું કદ $18\; cm \times 18\; cm = 0.18\; m \times 0.18\; m$ આપેલ છે.
તેથી,જમીનના પરિમાણો $(0.18 \times 4000\; m) \times (0.18 \times 4000\; m) = 720\; m \times 720\; m$ થશે.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +10 \, cm$ છે.
પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર $(F_1)$ લેન્સના ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી ડાબી બાજુ $10 \, cm$ અંતરે હોય છે.
પદાર્થ $F_1$ થી લેન્સ તરફ $5 \, cm$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે,તેથી પદાર્થનું અંતર $u = -(10 + 5) = -15 \, cm$ થાય.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{15} = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v = +30 \, cm$.
આમ,પ્રતિબિંબ લેન્સથી $30 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $n$ ટૂંકી તરંગલંબાઈ ધરાવતા પ્રકાશ (જેમ કે વાદળી) માટે વધુ અને લાંબી તરંગલંબાઈ ધરાવતા પ્રકાશ (જેમ કે લાલ) માટે ઓછો હોય છે.
ચૂંક $n_{blue} > n_{red}$ હોવાથી,$(n - 1)$ પદ વાદળી પ્રકાશ માટે લાલ પ્રકાશ કરતા મોટું હોય છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $(n - 1)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$(n - 1)$ ની નાની કિંમત મોટી કેન્દ્રલંબાઈ આપે છે.
તેથી,લાલ પ્રકાશ,જેની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ અને વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો છે,તે બહિર્ગોળ લેન્સ માટે મહત્તમ કેન્દ્રલંબાઈ આપે છે.

(B) આપેલ છે: $h_1 = 25 \ cm$,$f = 30 \ cm$,$h_2 = \pm 50 \ cm$.
કિસ્સો $1$: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ $(h_2 = -50 \ cm)$
મોટવણી $m = \frac{h_2}{h_1} = \frac{-50}{25} = -2$.
$m = \frac{f}{f + u}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$-2 = \frac{30}{30 + u} \Rightarrow 30 + u = -15 \Rightarrow u = -45 \ cm$.
$m = \frac{v}{u}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$-2 = \frac{v}{-45} \Rightarrow v = 90 \ cm$.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $d = |v| + |u| = 90 + 45 = 135 \ cm$.
કિસ્સો $2$: આભાસી પ્રતિબિંબ $(h_2 = +50 \ cm)$
મોટવણી $m = \frac{h_2}{h_1} = \frac{50}{25} = +2$.
$m = \frac{f}{f + u}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2 = \frac{30}{30 + u} \Rightarrow 60 + 2u = 30 \Rightarrow 2u = -30 \Rightarrow u = -15 \ cm$.
$m = \frac{v}{u}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2 = \frac{v}{-15} \Rightarrow v = -30 \ cm$.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $d = |v - u| = |-30 - (-15)| = |-15| = 15 \ cm$.
અહીં $15 \ cm$ વિકલ્પમાં આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $15 \ cm$ છે.

(A) હવામાં લેન્સનો પાવર $P_a = \frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = -5 \ D$ છે.
અહીં $\mu_g = 1.5$ આપેલ છે,તેથી $-5 = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
આથી,$\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{-5}{0.5} = -10 \ m^{-1}$.
જ્યારે લેન્સને $\mu_l = 1.6$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે,ત્યારે તેનો પાવર $P_l = (\mu_g - \mu_l) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_l = (1.5 - 1.6) (-10) = (-0.1) (-10) = +1 \ D$.

(D) મેગ્નિફાઈંગ લેન્સ (બહિર્ગોળ લેન્સ) ના કિસ્સામાં,વસ્તુને પ્રકાશીય કેન્દ્ર અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે. રચાતું પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને મોટું હોય છે.
આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +10 \, cm$,પ્રતિબિંબ અંતર $v = -30 \, cm$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે).
લેન્સના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-30} - \frac{1}{u} = \frac{1}{10}$
$-\frac{1}{u} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{3+1}{30} = \frac{4}{30}$
$u = -\frac{30}{4} = -7.5 \, cm$
મોટવણી $m$ નું સૂત્ર: $m = \frac{v}{u}$
$m = \frac{-30}{-7.5} = 4$
આમ,મોટવણી $4$ છે.

(C) આપેલ છે: વ્યાસ $D = 6\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $a = 3\, cm = 0.03\, m$. કેન્દ્ર પાસે જાડાઈ $t = 3\, mm = 0.003\, m$.
લેન્સમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = 2 \times 10^{8}\, m/s$. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8}\, m/s$.
વક્રીભવનાંક $\mu = c/v = (3 \times 10^{8}) / (2 \times 10^{8}) = 1.5$.
સમતલીય બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ એ ત્રિજ્યા $a$ અને જાડાઈ $t$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $R = (a^2 + t^2) / (2t)$.
અહીં $t$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$t^2$ ને અવગણી શકાય,તેથી $R \approx a^2 / (2t) = (3^2) / (2 \times 0.3) = 9 / 0.6 = 15\, cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $1/f = (\mu - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$.
અહીં $R_1 = R = 15\, cm$ અને $R_2 = \infty$.
$1/f = (1.5 - 1)(1/15 - 0) = 0.5 / 15 = 1 / 30$.
તેથી,$f = 30\, cm$.

(C) આપાત કિરણપુંજ કેન્દ્રિત છે,તેથી વસ્તુ આભાસી છે. લેન્સથી બિંદુ $P$ નું અંતર $u = +12 \, cm$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = -16 \, cm$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-16} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$
તેથી,$v = +48 \, cm$.
આમ,કિરણપુંજ લેન્સથી $48 \, cm$ દૂરના બિંદુએ કેન્દ્રિત થશે.

(D) સમતલીય બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં,$f = R$,$R_1 = R$,અને $R_2 = \infty$ (સમતલ સપાટી માટે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{R} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right)$
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{1}{R} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} \right)$
$1 = \mu - 1$
$\mu = 2$

(D) આપેલ છે: પદાર્થનું અંતર $u = -10 \, cm$,પ્રતિબિંબનું અંતર $v = +20 \, cm$ (કારણ કે તે લેન્સની પાછળ રચાય છે).
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{20} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20} \, cm^{-1}$.
લેન્સનો પાવર $P$ (ડાયોપ્ટરમાં) $P = \frac{100}{f(cm)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = 100 \times \frac{3}{20} = 5 \times 3 = +15 \, D$.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
આપેલ છે: $\mu = 1.5$,$R_1 = +20 \ cm$ અને $R_2 = -20 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = (0.5) \left( \frac{2}{20} \right) = (0.5) \left( \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{20}$.
તેથી,$f = 20 \ cm$.
જ્યારે આપાત કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોય,ત્યારે તે મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે. તેથી,$L = f = 20 \ cm$.

(B) આપેલ છે:
લેમ્પ અને દીવાલ વચ્ચેનું અંતર,$D = 6.0\; m$.
લેમ્પથી લેન્સનું અંતર,$u = -1.2\; m$ (ચિન્હ પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા).
દીવાલથી લેન્સનું અંતર (જ્યાં પ્રતિબિંબ રચાય છે),$v = 6.0\; m - 1.2\; m = 4.8\; m$.
મોટવણી $m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$m = \frac{v}{u}$
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{4.8\; m}{-1.2\; m} = -4$
આમ,પ્રતિબિંબની મોટવણી $-4$ છે.

(B) લેન્સ મેકર્સના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
સમતલીય બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,સમતલ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_2 = \infty$ અને બહિર્ગોળ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = 10 \ cm$ છે.
આપેલ કેન્દ્રલંબાઈ $f = 30 \ cm$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{10} - \frac{1}{\infty} \right]$
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} \right)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$\frac{10}{30} = \mu - 1$
$\frac{1}{3} = \mu - 1$
તેથી,$\mu = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

(D) સ્થાનાંતરની રીતમાં,વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D = 70 \, cm$ છે અને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 16 \, cm$ છે.
લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર $d$ જેના માટે પડદા પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ રચાય છે,તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d = \sqrt{D^2 - 4fD}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(70)^2 - 4 \times 16 \times 70}$
$d = \sqrt{4900 - 4480}$
$d = \sqrt{420}$
$d \approx 20.4939 \, cm$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $d \approx 20.5 \, cm$ મળે છે.

(B) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,વસ્તુ અંતર $u$ ઋણ $(-u)$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ધન $(+v)$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
$v$ ને કર્તા બનાવતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{u-f}{fu}$.
તેથી,$v = \frac{fu}{u-f}$.
જેમ જેમ $u$ નું મૂલ્ય $f$ થી $\infty$ તરફ વધે છે,તેમ $v$ નું મૂલ્ય $\infty$ થી $f$ તરફ ઘટે છે. આ સંબંધ પ્રથમ ચરણમાં લંબગોળ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં આપેલ આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (આશરે $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$).
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_r)$ એ ભૂરા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_b)$ કરતા વધારે હોવાથી,લાલ પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક $(\mu_r)$ એ ભૂરા પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(\mu_b)$ કરતા ઓછો હોય છે.
સૂત્ર પરથી,$f \propto \frac{1}{(\mu - 1)}$.
અહીં $\mu_r < \mu_b$ હોવાથી,$(\mu_r - 1)$ એ $(\mu_b - 1)$ કરતા નાનું મૂલ્ય છે.
તેથી,લાલ પ્રકાશ માટેની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_r)$ એ ભૂરા પ્રકાશની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_b)$ કરતા વધારે હશે.
આમ,કેન્દ્રલંબાઈ વધશે.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માત્ર તેની સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા અને દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે. તે લેન્સના એપર્ચર (વ્યાસ) પર આધારિત નથી. તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જ રહેશે.
લેન્સ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબની તીવ્રતા $I$ એ એપર્ચરના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto A$.
શરૂઆતમાં,ક્ષેત્રફળ $A = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
જ્યારે $\frac{d}{2}$ વ્યાસવાળા કેન્દ્ર ભાગને ઢાંકવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A'$ એ કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી ઢંકાયેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતા મળે છે:
$A' = \pi (\frac{d}{2})^2 - \pi (\frac{d/2}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4} - \frac{\pi d^2}{16} = \frac{3\pi d^2}{16}$.
નવી તીવ્રતા $I'$ અને મૂળ તીવ્રતા $I$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{I'}{I} = \frac{A'}{A} = \frac{3\pi d^2 / 16}{\pi d^2 / 4} = \frac{3}{4}$.
આમ,નવી તીવ્રતા $I' = \frac{3I}{4}$ થશે.

(A) હવામાં લેન્સનો પાવર $P_a = +5.0 \, D$ છે. તેથી હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $f_a = \frac{1}{P_a} = \frac{1}{5} \, m = 20 \, cm$ થાય.
લેન્સ મેકરના સૂત્રના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{_a\mu_g - 1}{_l\mu_g - 1}$,જ્યાં $_l\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_l} = \frac{1.5}{\mu_l}$.
અહીં પ્રવાહીમાં લેન્સ અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = -100 \, cm$ લેવી.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{-100}{20} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{\mu_l} - 1}$.
$-5 = \frac{0.5}{\frac{1.5}{\mu_l} - 1}$.
$-5 \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) = 0.5$.
$-\frac{7.5}{\mu_l} + 5 = 0.5$.
$4.5 = \frac{7.5}{\mu_l}$.
$\mu_l = \frac{7.5}{4.5} = \frac{5}{3}$.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતાત્રિજ્યા $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેવામાં આવે છે. અહીં $R = 40\, cm$ અને $\mu = 1.65$ આપેલ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.65 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.65) \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right) = 0.65 \times \frac{2}{40} = \frac{0.65}{20}$.
$f = \frac{20}{0.65} \approx 30.77\, cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$f \approx 31\, cm$ મળે છે.

(B) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટે સ્થાનાંતરની રીતનું સૂત્ર $f = \frac{D^2 - x^2}{4D}$ છે,જ્યાં $D$ એ વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $x$ એ લેન્સના બે સ્થાન વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D = 100 \, cm$ અને $x = 40 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{100^2 - 40^2}{4 \times 100} = \frac{10000 - 1600}{400} = \frac{8400}{400} = 21 \, cm$.
લેન્સનો પાવર $P$ ડાયોપ્ટર $(D)$ માં $P = \frac{100}{f(cm)}$ દ્વારા મળે છે.
$P = \frac{100}{21} \approx 4.76 \, D$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$P \approx 5 \, D$ મળે છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,જ્યારે વસ્તુને બે અલગ-અલગ સ્થાનો પર મૂકવામાં આવે છે જેથી પડદા પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ મળે (સ્થળાંતરની રીત),ત્યારે વસ્તુની ઊંચાઈ $O$ એ બે પ્રતિબિંબો $I_1$ અને $I_2$ ની ઊંચાઈના ગુણોત્તર મધ્યક જેટલી હોય છે.
$O = \sqrt{I_1 \times I_2}$
અહીં $I_1 = 8 \, cm$ અને $I_2 = 2 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$O = \sqrt{8 \times 2} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
આમ,વસ્તુની ઊંચાઈ $4 \, cm$ છે.

(C) ધારો કે સૂર્યનો વ્યાસ $D$ છે અને લેન્સ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $d$ છે.
લેન્સથી સૂર્યનું અંતર $u = 10^{11} \, m$ છે.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 2 \, m$ છે.
સૂર્ય ખૂબ દૂર હોવાથી,પ્રતિબિંબ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે.
પ્રકાશના કિરણો ઓપ્ટિકલ સેન્ટર (પ્રકાશીય કેન્દ્ર) માંથી પસાર થાય છે,તેથી ભૂમિતિ મુજબ:
$\tan \alpha = \frac{D}{u} = \frac{d}{f}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.4 \times 10^9}{10^{11}} = \frac{d}{2}$
$d = \frac{2 \times 1.4 \times 10^9}{10^{11}} \, m$
$d = 2.8 \times 10^{-2} \, m$
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$d = 2.8 \times 10^{-2} \times 10^2 \, cm = 2.8 \, cm$.

(C) પૃથ્વી પરથી જોતા સૂર્યનો કોણીય વ્યાસ $\alpha = \frac{\text{સૂર્યનો વ્યાસ}}{\text{સૂર્યનું અંતર}} = \frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}} \approx 9.26 \times 10^{-3}\, \text{રેડિયન}$ છે.
જ્યારે સૂર્યપ્રકાશને $f = 10\, cm = 0.1\, m$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા લેન્સ દ્વારા કેન્દ્રિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સૂર્યનું પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે.
પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $d$ એ $d = f \times \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 0.1\, m \times (\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}})$.
$d = 0.1 \times 0.926 \times 10^{-2} = 0.0926 \times 10^{-2} = 9.26 \times 10^{-4}\, m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $9.2 \times 10^{-4}\, m$ છે.

(C) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ તેના વક્રીભવનાંક અને તેની સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે,લેન્સના એપર્ચર (દ્વારા) પર નહીં. તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જ રહેશે.
લેન્સ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબની તીવ્રતા લેન્સના પ્રકાશ માટે ખુલ્લા રહેલા ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તીવ્રતા $I \propto \text{ક્ષેત્રફળ} (A)$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{A_2}{A_1}$
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
મધ્ય ભાગમાં $\frac{d}{2}$ વ્યાસનો ભાગ ઢાંકી દેતા,ઢંકાયેલા ભાગની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{4}$ થશે.
ઢંકાયેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{covered} = \pi \left(\frac{d}{4}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{16}$.
બાકી રહેલું ખુલ્લું ક્ષેત્રફળ $A_2 = A_1 - A_{covered} = \frac{\pi d^2}{4} - \frac{\pi d^2}{16} = \frac{3\pi d^2}{16}$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{3\pi d^2 / 16}{\pi d^2 / 4} = \frac{3}{4}$.
આમ,નવી તીવ્રતા $I_2 = \frac{3}{4} I$ થશે.

(D) ધારો કે લેન્સ વગર અભિસારી કિરણપુંજનું કેન્દ્ર લેન્સથી $x$ અંતરે છે. જ્યારે લેન્સ હાજર હોય,ત્યારે પ્રતિબિંબ $v = +15\, cm$ પર રચાય છે.
જ્યારે લેન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કિરણો $5\, cm$ નજીક મળે છે,તેથી લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u = 15 - 5 = +10\, cm$ થશે.
કિરણપુંજ અભિસારી હોવાથી,વસ્તુ આભાસી છે,તેથી $u$ ધન લેવામાં આવે છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{1}{f}$.
$\frac{2 - 3}{30} = \frac{1}{f}$.
$\frac{-1}{30} = \frac{1}{f}$.
તેથી,$f = -30\, cm$.

(C) ધારો કે લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે અને વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = 20\, cm$ અને $R_2 = -20\, cm$ છે,તો લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f$:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1.5 - 1)(\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}) = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$. તેથી,$f = 20\, cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -30\, cm$:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v = 60\, cm$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$.
$m = \frac{h_i}{h_o}$ હોવાથી,$h_i = m \times h_o = -2 \times 2\, cm = -4\, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ઉલટું છે અને ઊંચાઈનું મૂલ્ય $4\, cm$ છે. $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે.

(D) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
જ્યાં $\mu_l$ એ લેન્સનો વક્રીભવનાંક છે,$\mu_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,અને $R_1, R_2$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
જો લેન્સ કાચની સમતલ પ્લેટ તરીકે વર્તે,તો તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અનંત $(f \to \infty)$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{f} = 0$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $0 = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
લેન્સ બહિર્ગોળ હોવાથી,$(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) \neq 0$.
તેથી,$(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\mu_l}{\mu_m} = 1$,અથવા $\mu_l = \mu_m$.
આમ,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક કાચના વક્રીભવનાંક $(1.47)$ જેટલો જ હોવો જોઈએ.

(D) ન્યૂટનના લેન્સના સૂત્ર મુજબ,બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વસ્તુ અને પ્રતિબિંબના તેમના સંબંધિત મુખ્ય કેન્દ્રોથી અંતરનો ગુણાકાર એ કેન્દ્રલંબાઈના વર્ગ જેટલો હોય છે,એટલે કે $xx' = f^2$.
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચવા માટે,વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્રની બહાર મૂકવી આવશ્યક છે $(x > 0)$.
એરિથમેટિક મીન-જ્યોમેટ્રિક મીન ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $x'$ માટે,આપણી પાસે $\frac{x + x'}{2} \ge \sqrt{xx'}$ છે.
$xx' = f^2$ મૂકતા,આપણને $\frac{x + x'}{2} \ge \sqrt{f^2} = f$ મળે છે.
તેથી,$x + x' \ge 2f$.

(C) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$,જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$.
$1$. હવામાં,$\mu_{medium} = 1$. તે અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે,તેથી $f > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_{lens} > 1$.
$2$. પાણીમાં,$\mu_{medium} = 1.33$ (અથવા $4/3$). તે અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે,તેથી $f < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_{rel} < 1$.
$3$. તેથી,$\frac{\mu_{lens}}{\mu_{water}} < 1$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_{lens} < \mu_{water}$.
$4$. આપેલ છે કે $\mu_{water} = 4/3$,તેથી શરત $1 < \mu_{lens} < 4/3$ થાય છે.

(A) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
દ્વિ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ છે.
આપેલ છે: $\mu_l = 1.5$,$\mu_m = 1.75$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\frac{1.5}{1.75} - 1) (\frac{1}{-R} - \frac{1}{R})$.
$\frac{1}{f} = (\frac{6}{7} - 1) (-\frac{2}{R}) = (-\frac{1}{7}) (-\frac{2}{R}) = \frac{2}{7R}$.
આમ,$f = 3.5 R$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોવાથી,લેન્સ અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(C) ધારો કે વસ્તુ અંતર $u$ છે અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ છે. આપેલ છે કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને વસ્તુના કદ કરતાં બમણું છે,તેથી મોટવણી $m = -v/u = -2$. આમ,$v = 2u$.
લેન્સના સૂત્ર મુજબ,$1/f = 1/v - 1/u$. $v = 2u$ મૂકતા,આપણને $1/f = 1/(2u) - 1/u = -1/(2u)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $u = -2f$ અને $v = 4f$.
વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D = |u| + v = 2f + 4f = 6f$ છે.
જ્યારે વસ્તુ અને પડદાના સ્થાન અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું વસ્તુ અંતર $u' = -4f$ અને નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v' = 2f$ બને છે.
નવી મોટવણી $m' = -v'/u' = -(2f)/(-4f) = 1/2$.
તેથી,નવા પ્રતિબિંબનું કદ વસ્તુના કદ કરતાં અડધું છે.

(B) ધારો કે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ છે.
$u_1$ અંતરે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m_1 = \frac{f}{f - u_1}$ થાય. પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોવાથી $m_1$ ઋણ છે,તેથી $m_1 = -\frac{f}{u_1 - f}$.
$u_2$ અંતરે આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m_2 = \frac{f}{f - u_2}$ થાય. પ્રતિબિંબ આભાસી હોવાથી $m_2$ ધન છે,તેથી $m_2 = \frac{f}{f - u_2}$.
આપેલ છે કે પ્રતિબિંબના કદ સમાન છે,તેથી $|m_1| = |m_2|$.
આમ,$|-\frac{f}{u_1 - f}| = |\frac{f}{f - u_2}|$.
અહીં $u_1 > f$ (વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે) અને $u_2 < f$ (આભાસી પ્રતિબિંબ માટે) હોવાથી,$\frac{f}{u_1 - f} = \frac{f}{f - u_2}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $f - u_2 = u_1 - f$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2f = u_1 + u_2$,એટલે કે $f = \frac{u_1 + u_2}{2}$ મળે.

(D) આપેલ છે:
કાચના લેન્સનો વક્રીભવનાંક,$n_2 = 1.5$
પ્રવાહી માધ્યમનો વક્રીભવનાંક,$n_1 = 1.75$
બાય-કોન્કેવ લેન્સ માટે વક્રતા ત્રિજ્યા: $R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$.
લેન્સ મેકર્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_2}{n_1} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5}{1.75} - 1 \right) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5 - 1.75}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{-0.25}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$
$f = 3.5 \,R$
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોવાથી,લેન્સ $3.5 \,R$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તશે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +80\, cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે),વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o = 0.5\, cm$,અને વસ્તુ અંતર $u = -60\, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{80} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-60} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{80} - \frac{1}{60}$.
ગણતરી કરતા: $\frac{1}{v} = \frac{3 - 4}{240} = -\frac{1}{240}$.
તેથી,$v = -240\, cm$. $v$ ઋણ હોવાથી,પ્રતિબિંબ આભાસી છે.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{-240}{-60} = +4$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = m \times h_o = 4 \times 0.5\, cm = 2\, cm$.
$m$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ ચત્તું છે. તેથી,પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને $2\, cm$ ઊંચું છે.