Refraction by Lenses Questions in Gujarati

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં લેન્સ માટે ($f_a = 4 \; cm$,$\mu_g = 1.4$): $\frac{1}{4} = (1.4 - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
તેથી,$K = \frac{0.4}{4} = 0.1$.
જ્યારે $1.6$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ માટે: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_l} = (\frac{1.4}{1.6} - 1) \times 0.1$.
$\frac{1}{f_l} = (0.875 - 1) \times 0.1 = -0.125 \times 0.1 = -0.0125$.
$f_l = \frac{1}{-0.0125} = -80$ (નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા $\frac{f_l}{f_a} = \frac{(\mu_g - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)}$ નો ઉપયોગ કરતા $f_l = -12.8 \; cm$ મળે છે).

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = 15 \ cm$ અને $R_2 = -15 \ cm$. આપેલ છે $\mu_g = 1.6$,તેથી હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $(f_a)$:
$\frac{1}{f_a} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{-15} \right) = 0.6 \times \frac{2}{15} = \frac{1.2}{15} = \frac{1}{12.5}$.
આમ,$f_a = 12.5 \ cm$.
જ્યારે $\mu_l = 1.63$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_{gl} = \frac{\mu_g}{\mu_l} = \frac{1.6}{1.63}$ થાય.
પ્રવાહીમાં કેન્દ્રલંબાઈ $(f_l)$:
$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{(\mu_g - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)} = \frac{1.6 - 1}{\frac{1.6}{1.63} - 1} = \frac{0.6}{\frac{1.6 - 1.63}{1.63}} = \frac{0.6 \times 1.63}{-0.03} = -20 \times 1.63 = -32.6$.
$f_l = -32.6 \times 12.5 = -407.5 \ cm$.

(B) આકૃતિમાં દર્શાવેલ લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સ છે. સામાન્ય રીતે હવામાં બહિર્ગોળ લેન્સ અભિસારી (converging) હોય છે. જોકે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમાંતર પ્રકાશના કિરણો લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી અપસારી (diverging) થાય છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$n_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકેલા $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = (\frac{n_1}{n_2} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$(1/R_1 - 1/R_2) > 0$ હોય છે.
જો લેન્સ અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે (કિરણો ફેલાય),તો $f < 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $(\frac{n_1}{n_2} - 1) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n_1}{n_2} < 1$,અથવા $n_2 > n_1$.
તેથી,આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n_2$ એ લેન્સના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક $n_1$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
આપેલ છે: $f = +10 \ cm$,$\mu = 1.5$,$R_1 = +7.5 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{7.5} - \frac{1}{R_2} \right)$.
$0.1 = 0.5 \left( \frac{1}{7.5} - \frac{1}{R_2} \right)$.
$0.2 = \frac{1}{7.5} - \frac{1}{R_2}$.
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{7.5} - 0.2$.
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{7.5} - \frac{1}{5} = \frac{2 - 3}{15} = -\frac{1}{15}$.
તેથી,$R_2 = -15 \ cm$. વક્રતા ત્રિજ્યાનું મૂલ્ય $15 \ cm$ છે.

(C) મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f + u}$ છે.
આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$m = +3$ અને $u = -8 \ cm$. આ કિંમતો મૂકતા: $3 = \frac{f}{f - 8} \implies 3f - 24 = f \implies 2f = 24 \implies f = 12 \ cm$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m = -3$ અને $u = -16 \ cm$. આ કિંમતો મૂકતા: $-3 = \frac{f}{f - 16} \implies -3f + 48 = f \implies 4f = 48 \implies f = 12 \ cm$.
આમ,$f = 12 \ cm$ હોવાથી,તે $8 \ cm$ અને $16 \ cm$ ની વચ્ચે આવે છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,જ્યારે વસ્તુને પડદા પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે બે અલગ-અલગ સ્થાનો પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થાનાંતરની રીતનો ઉપયોગ થાય છે.
ધારો કે વસ્તુની ઊંચાઈ $O$ છે,અને બે સ્થાનોમાં મળતા પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $I_1$ અને $I_2$ છે.
વસ્તુની ઊંચાઈ અને પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $O = \sqrt{I_1 \times I_2}$.
આપેલ છે: $I_1 = 8 \ cm$ અને $I_2 = 2 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $O = \sqrt{8 \times 2} = \sqrt{16} = 4 \ cm$.
તેથી,વસ્તુની ઊંચાઈ $4 \ cm$ છે.

(C) લેન્સનો પાવર તેની કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યારે કેન્દ્રલંબાઈ મીટરમાં હોય.
ગાણિતિક રીતે,$P = \frac{1}{f(m)}$.
ફોકલ પાવરનો $SI$ એકમ ડાયોપ્ટર છે,જેને $D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
એક ડાયોપ્ટર $1 \ m^{-1}$ ની બરાબર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં,$\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) K = 0.5 K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
આપેલ છે કે $f_a = 12 \ cm$,તેથી $\frac{1}{12} = 0.5 K$,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{1}{6}$.
જ્યારે પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે ત્યારે,પાણીની સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{1.5}{4/3} = \frac{1.5 \times 3}{4} = \frac{4.5}{4} = 1.125$ થાય.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_w$ માટે,$\frac{1}{f_w} = (\mu_{rel} - 1) K = (1.125 - 1) \times \frac{1}{6} = 0.125 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{48}$.
તેથી,$f_w = 48 \ cm$.

(D) અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -16 \ cm$ છે.
પ્રકાશના કિરણો લેન્સની પાછળ બિંદુ $P$ પર કેન્દ્રિત થતા હોવાથી,લેન્સ માટે વસ્તુ આભાસી વસ્તુ છે.
તેથી,વસ્તુ અંતર $u = +12 \ cm$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-16} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$
$v$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16}$
સામાન્ય છેદ લેતા: $\frac{1}{v} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$
આમ,$v = 48 \ cm$ મળે છે.
તેથી,કિરણો લેન્સથી $x = 48 \ cm$ અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે.
પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોવાથી, મોટવણી ઋણ લેવામાં આવે છે, તેથી $m = -|m|$.
લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે.
$v = mu$ ને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-mu} - \frac{1}{u} = -\frac{1+m}{mu}$.
તેથી, $u = -\left( \frac{m+1}{m} \right)f$. અંતર એ $u$ નું મૂલ્ય છે, જે $\left( \frac{m+1}{m} \right)f$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5$,હવાનો વક્રીભવનાંક $\mu_a = 1$,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu_l = \frac{4}{3}$,હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $f_a = 0.30 \ m = 30 \ cm$.
લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{(_a\mu_g - 1)}{(_l\mu_g - 1)}$
જ્યાં $_a\mu_g = \frac{1.5}{1} = 1.5$ અને $_l\mu_g = \frac{1.5}{4/3} = 1.5 \times \frac{3}{4} = 1.125$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{f_l}{30} = \frac{1.5 - 1}{1.125 - 1} = \frac{0.5}{0.125} = 4$.
તેથી,$f_l = 30 \times 4 = 120 \ cm$.

(A) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
જ્યાં $\mu_l$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક લેન્સના વક્રીભવનાંક જેટલો જ છે,તેથી $\mu_m = \mu_l$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0$
કારણ કે $\frac{1}{f} = 0$,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અનંત $(f \to \infty)$ થાય છે.
આ સ્થિતિમાં,લેન્સ એક સમતલ કાચની પ્લેટ તરીકે વર્તે છે અને પ્રકાશના કિરણોનું અભિસરણ કે અપસરણ કરતું નથી.

(A) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ છે.
કિસ્સો $(i)$: જ્યારે લેન્સને $XOX'$ પર કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા ભાગની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ અને $\infty$ રહે છે. દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ એ $\frac{1}{f'} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu - 1}{R}$ દ્વારા મળે છે. મૂળ સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણને $f' = 2f$ મળે છે.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે લેન્સને $YOY'$ પર કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ અને $-R$ રહે છે. દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f''$ એ $\frac{1}{f''} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ દ્વારા મળે છે. આમ,$f'' = f$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) સૂર્યનો કોણીય વ્યાસ $\alpha = 0.5^o$ આપેલ છે.
ગણતરીમાં ઉપયોગ કરવા માટે,આપણે ખૂણાને રેડિયનમાં ફેરવીએ છીએ:
$\alpha = 0.5 \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 50 cm = 500 mm$ છે.
કેન્દ્રલંબાઈના સમતલ પર રચાતા પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $d$ એ સંબંધ $d = f \times \alpha$ (નાના ખૂણાઓ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = 500 \times (0.5 \times \frac{\pi}{180})$
$d = 500 \times (0.5 \times 0.01745)$
$d = 500 \times 0.008727$
$d \approx 4.36 mm$.
આમ,પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $4.36 mm$ છે.

(C) લેન્સ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબનું કદ તેની કેન્દ્રલંબાઈ અને વસ્તુના અંતર પર આધાર રાખે છે,જે એપર્ચર ઘટાડવાથી બદલાતા નથી. તેથી,પ્રતિબિંબના કદ પર કોઈ અસર થતી નથી.
જોકે,પ્રતિબિંબની તીવ્રતા લેન્સના એપર્ચરના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે એપર્ચરની ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto A^2)$.
જ્યારે એપર્ચર અડધું કરવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સનું ક્ષેત્રફળ તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગનું થઈ જાય છે,જેના પરિણામે પ્રતિબિંબની તીવ્રતામાં ઘટાડો થાય છે.
આમ,વિધાન $(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(C) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f_m} = (\frac{n_l}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $(n_w \approx 1.33)$ અને તેલનો વક્રીભવનાંક $(n_o > 1.33)$ બંને હવાની સાપેક્ષમાં વધારે હોવાથી,જ્યારે લેન્સને આ પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\frac{n_l}{n_m}$ ઘટે છે.
પરિણામે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_m$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે લેન્સનો પાવર $(P = \frac{1}{f})$ ઘટે છે.
તેથી,હવાની સરખામણીમાં પાણી અને તેલ બંનેમાં બહિર્ગોળ લેન્સનો અભિસારી સ્વભાવ ઓછો હોય છે.

(A) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,ટૂંકી તરંગલંબાઈ ધરાવતા પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $n$ વધારે હોય છે.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં જાંબલી રંગની તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછી હોવાથી,તે લેન્સના દ્રવ્યમાં સૌથી વધુ વક્રીભવનાંક $n$ અનુભવે છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ $(n - 1)$ પદ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઘટે છે.
તેથી,જાંબલી રંગ માટે કેન્દ્રલંબાઈ લઘુત્તમ હોય છે,જેના કારણે તે લેન્સની સૌથી નજીક કેન્દ્રિત થાય છે.

(C) મેગ્નિફાઇંગ ગ્લાસ માટે,રચાતું પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું હોય છે. તેથી,મોટવણી $m = +5$ થાય.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$5 = \frac{v}{u}$,જેનો અર્થ છે કે $v = 5u$.
આપેલ વસ્તુ અંતર $u = -1 \text{ inch}$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ).
તેથી,પ્રતિબિંબ અંતર $v = 5 \times (-1) = -5 \text{ inch}$ થાય.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-5} - \frac{1}{-1} = -0.2 + 1 = 0.8$.
આમ,$f = \frac{1}{0.8} = 1.25 \text{ inch}$ મળે.

(D) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -10 \ cm$, પ્રતિબિંબ અંતર $v = +20 \ cm$ (પ્રતિબિંબ લેન્સની પાછળ હોવાથી તે વાસ્તવિક છે)।
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{20} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20} \ cm^{-1}$.
આમ, કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{20}{3} \ cm$.
લેન્સનો પાવર $P$ ડાયોપ્ટરમાં $P = \frac{100}{f (cm \text{ માં})}$ દ્વારા મળે છે.
$P = \frac{100}{20/3} = \frac{100 \times 3}{20} = 5 \times 3 = +15 \ D$.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{u + f}$ છે.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ હોવાથી,મોટવણી $m$ ઋણ લેવી પડે,તેથી $m = -2$.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોય છે,તેથી $f = 20 \ cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $-2 = \frac{20}{u + 20}$.
બંને બાજુ $(u + 20)$ વડે ગુણતા,$-2(u + 20) = 20$ મળે.
$-2$ વડે ભાગતા,$u + 20 = -10$ મળે.
તેથી,$u = -10 - 20 = -30 \ cm$.
આમ,વસ્તુને લેન્સની સામે $30 \ cm$ અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રતિબિંબનું કદ વસ્તુના કદ કરતાં $1/2$ ગણું છે, તેથી મોટવણી $m = \pm 1/2$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $1$: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે, $m = -1/2$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ અને $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $v = mu = -u/2$ મળે છે.
લેન્સના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{30} = \frac{1}{-u/2} - \frac{1}{u} = -\frac{2}{u} - \frac{1}{u} = -\frac{3}{u}$.
આમ, $u = -3 \times 30 = -90 \ cm$.
તેથી અંતર $90 \ cm$ છે.
કિસ્સો $2$: આભાસી પ્રતિબિંબ માટે, $m = +1/2$.
$\frac{1}{30} = \frac{1}{u/2} - \frac{1}{u} = \frac{2}{u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{u}$.
આમ, $u = 30 \ cm$.
અહીં $90 \ cm$ વિકલ્પમાં આપેલ હોવાથી, સાચો જવાબ $90 \ cm$ છે.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,એક સપાટી સમતલ $(R_2 = \infty)$ અને બીજી વક્ર $(R_1 = 60 \ cm)$ હોય છે.
આપેલ છે: $\mu = 1.6$,$R_1 = 60 \ cm$,$R_2 = \infty$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{60} - \frac{1}{\infty} \right)$.
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,તેથી:
$\frac{1}{f} = (0.6) \left( \frac{1}{60} \right) = \frac{0.6}{60} = \frac{6}{600} = \frac{1}{100}$.
આમ,$f = 100 \ cm$ મળે છે.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,સમતલ સપાટીની ત્રિજ્યા $R_2 = \infty$ અને બહિર્ગોળ સપાટીની ત્રિજ્યા $R_1 = 20 \ cm$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 1.5$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{F} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{\infty} \right)$.
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,તેથી $\frac{1}{F} = 0.5 \times \frac{1}{20}$.
$\frac{1}{F} = \frac{0.5}{20} = \frac{1}{40}$.
તેથી,$F = 40 \ cm$.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં લેન્સ માટે $(f_a)$,$\frac{1}{f_a} = (_a\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$,જ્યાં $_a\mu_g = 1.5$.
જ્યારે તેને પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે $(f_l)$,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $_l\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_l} = \frac{1.5}{1.7} \approx 0.88$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{f_l} = (_l\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = (0.88 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = -0.12 \left( \frac{2}{R} \right)$.
બંનેની સરખામણી કરતા: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{_a\mu_g - 1}{_l\mu_g - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{1.7} - 1} = \frac{0.5}{\frac{1.5 - 1.7}{1.7}} = \frac{0.5 \times 1.7}{-0.2} = -4.25$.
ગુણોત્તર ઋણ હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈનું ચિહ્ન બદલાય છે (બહિર્ગોળમાંથી અંતર્ગોળ વર્તણૂક) અને તેનું મૂલ્ય $4.25$ ગણું વધે છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ વક્રીભવનાંક $\mu$ સાથે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$ મુજબ સંબંધિત છે.
કોશીના વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$).
જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછી હોવાથી $({\lambda_V} < {\lambda_G} < {\lambda_R})$,જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક સૌથી વધુ હોય છે $({\mu_V} > {\mu_G} > {\mu_R})$.
પરિણામે,કેન્દ્રલંબાઈ વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જાંબલી પ્રકાશ માટે કેન્દ્રલંબાઈ સૌથી ઓછી હોય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ ${f_V} < {f_G} < {f_R}$ છે.

(B) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જેમ કે દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $n$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ પણ તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
કોશીના સંબંધ મુજબ,ટૂંકી તરંગલંબાઈ (જાંબલી) માટે વક્રીભવનાંક $n$ વધારે હોય છે અને લાંબી તરંગલંબાઈ (લાલ) માટે ઓછો હોય છે.
$n_v > n_r$ હોવાથી,$(n - 1)$ પદ જાંબલી પ્રકાશ માટે લાલ પ્રકાશ કરતા મોટું હોય છે.
પરિણામે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $(n - 1)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,જેનો અર્થ છે કે $f_v < f_r$.
તેથી,જાંબલી પ્રકાશ માટે કેન્દ્રલંબાઈ સૌથી ટૂંકી હોય છે.

(D) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં,$P_a = (\mu_g - 1) K = -5 D$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
અહીં $\mu_g = 1.5$ આપેલ છે,તેથી $(1.5 - 1) K = -5$,એટલે કે $0.5 K = -5$,જેનો અર્થ છે $K = -10$.
$1.6$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહી માધ્યમમાં,નવો પાવર $P_l = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $P_l = (\frac{1.5}{1.6} - 1) \times (-10)$.
$P_l = (\frac{1.5 - 1.6}{1.6}) \times (-10) = (\frac{-0.1}{1.6}) \times (-10) = \frac{1}{1.6} = 0.625 D$.
આમ,$0.625 D$ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$.
કોશીના વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\mu \propto \frac{1}{\lambda})$.
જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_V)$ એ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_R)$ કરતા ઓછી હોવાથી,જાંબલી પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક $(\mu_V)$ એ લાલ પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(\mu_R)$ કરતા વધારે હોય છે.
જેમ કે $\mu_V > \mu_R$,તેથી $(\mu_V - 1) > (\mu_R - 1)$ થાય.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $(\mu - 1)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,મોટો વક્રીભવનાંક નાની કેન્દ્રલંબાઈ આપે છે.
તેથી,જાંબલી પ્રકાશ માટેની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_V)$ એ લાલ પ્રકાશની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_R)$ કરતા ઓછી હોય છે.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં સમાન બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$,તેથી $\frac{1}{f_a} = (_a\mu_g - 1) \frac{2}{R}$.
આપેલ છે કે $f_a = 0.2 \ m$ અને $_a\mu_g = 1.5$,તેથી $\frac{1}{0.2} = (1.5 - 1) \frac{2}{R} \implies 5 = 0.5 \times \frac{2}{R} \implies R = 0.2 \ m$.
જ્યારે તેને $_a\mu_l$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = -0.5 \ m$ (અંતર્ગોળ વર્તણૂક) થાય છે.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f_l} = (_l\mu_g - 1) \frac{2}{R}$ છે,જ્યાં $_l\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_l}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-0.5} = \left( \frac{1.5}{_a\mu_l} - 1 \right) \frac{2}{0.2}$.
$-2 = \left( \frac{1.5}{_a\mu_l} - 1 \right) \times 10$.
$-0.2 = \frac{1.5}{_a\mu_l} - 1$.
$0.8 = \frac{1.5}{_a\mu_l} \implies _a\mu_l = \frac{1.5}{0.8} = \frac{15}{8}$.

(A) બે પાતળા લેન્સના સંપર્કમાં રહેલા એક્રોમેટિક સંયોજન માટે,શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે.
અહીં,$\omega_1 = 0.02$ (ક્રાઉન ગ્લાસ) અને $\omega_2 = 0.04$ (ફ્લિન્ટ ગ્લાસ) છે.
ફ્લિન્ટ ગ્લાસ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = 40 \ cm$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.02}{f_1} + \frac{0.04}{40} = 0$
$\frac{0.02}{f_1} = -\frac{0.04}{40}$
$\frac{0.02}{f_1} = -0.001$
$f_1 = -\frac{0.02}{0.001} = -20 \ cm$.
આમ,ક્રાઉન ગ્લાસ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-20 \ cm$ છે.

(A) લેન્સની પ્રકાશ એકત્ર કરવાની શક્તિ લેન્સના એપર્ચરના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
જેમ કે એપર્ચરનું ક્ષેત્રફળ તેના વ્યાસના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(A \propto d^2)$,તેથી પ્રકાશ એકત્ર કરવાની શક્તિ લેન્સના વ્યાસના વર્ગ પર આધાર રાખે છે.
આમ,તે લેન્સના એપર્ચરના વ્યાસ પર આધાર રાખે છે.

(A) એક્રોમેટિક ડબલેટ બનાવવા માટે,આપણે ક્રાઉન ગ્લાસના બહિર્ગોળ લેન્સને ફ્લિન્ટ ગ્લાસના અંતર્ગોળ લેન્સ સાથે જોડીએ છીએ.
એક્રોમેટિઝમ માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જ્યાં $\omega$ એ વિભાજન શક્તિ (dispersive power) છે અને $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે.
ક્રાઉન ગ્લાસની વિભાજન શક્તિ ઓછી હોવાથી $(\omega_c < \omega_f)$,આપણે મોટી કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો ક્રાઉન ગ્લાસનો અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સ અને નાની કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો ફ્લિન્ટ ગ્લાસનો અપસારી (અંતર્ગોળ) લેન્સ વાપરીએ છીએ જેથી કુલ પાવર અભિસારી રહે.
આમ,સાચો વિકલ્પ ક્રાઉન ગ્લાસનો અભિસારી લેન્સ અને ફ્લિન્ટ ગ્લાસનો અપસારી લેન્સ છે.

(C) લેન્સ પર સૂર્ય દ્વારા બનતો કોણીય વ્યાસ $\theta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\theta = \frac{\text{સૂર્યનો વ્યાસ}}{\text{સૂર્યનું અંતર}} = \frac{1.4 \times 10^9 \ m}{10^{11} \ m} = 1.4 \times 10^{-2} \ \text{રેડિયન}$.
સૂર્ય ખૂબ જ દૂર હોવાથી,પ્રતિમા બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્રના સમતલમાં રચાય છે.
ધારો કે કેન્દ્રના સમતલમાં રચાતી પ્રતિમાનો વ્યાસ $d$ છે. તો,$\theta = \frac{d}{f}$,જ્યાં $f = 2 \ m$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે.
તેથી,$d = \theta \times f = (1.4 \times 10^{-2}) \times 2 \ m = 2.8 \times 10^{-2} \ m$.
પરિણામને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા,$d = 2.8 \times 10^{-2} \times 100 \ cm = 2.8 \ cm$.

(C) આપેલ છે: લેન્સનો વ્યાસ $D = 6 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$. જાડાઈ $y = 3 \, mm = 0.3 \, cm$. લેન્સમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = 2 \times 10^8 \, m/s$. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$1$. વક્રીભવનાંક $\mu$ ની ગણતરી:
$\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.
$2$. વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ની ગણતરી:
લેન્સની ભૂમિતિ પરથી,$R^2 = r^2 + (R - y)^2$.
$R^2 = r^2 + R^2 - 2Ry + y^2$.
$2Ry = r^2 + y^2$.
અહીં $y$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$y^2$ ને અવગણી શકાય.
$R = \frac{r^2}{2y} = \frac{3^2}{2 \times 0.3} = \frac{9}{0.6} = 15 \, cm$.
$3$. લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ની ગણતરી:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R = 15 \, cm$ અને $R_2 = \infty$.
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$f = 30 \, cm$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વસ્તુ અંતર $u = -40 \, cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20 \, cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40}$ મળે છે. આમ,$v = 40 \, cm$. પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુએ $40 \, cm$ અંતરે રચાય છે. લેન્સની ત્રિજ્યા $5 \, cm$ છે. લેન્સની ઉપરની ધાર $(A)$ માંથી પસાર થતું કિરણ પ્રતિબિંબ બિંદુ $(C)$ માંથી પસાર થઈને આંખ પાસેના બિંદુ $(E)$ સુધી પહોંચે છે. સમરૂપ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ અને $\Delta CDE$ પરથી,$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{CD}$ મળે. અહીં,$AB = 5 \, cm$ (ત્રિજ્યા),$BC = 40 \, cm$ (પ્રતિબિંબ અંતર),$DE = h$,અને $CD = 60 \, cm - 40 \, cm = 20 \, cm$ છે. તેથી,$\frac{5}{40} = \frac{h}{20} \Rightarrow h = \frac{5 \times 20}{40} = 2.5 \, cm$.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_L}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
જ્યાં $n_L$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $n_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
દ્વિ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,પદ $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ ઋણ હોય છે.
લેન્સ પ્રકાશનું અપસરણ કરે તે માટે,તેણે અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ હોવી જોઈએ.
કારણ કે $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) < 0$,તેથી $f$ ઋણ હોવા માટે પદ $\left( \frac{n_L}{n_m} - 1 \right)$ ધન હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{n_L}{n_m} > 1$,અથવા $n_L > n_m$.
વિકલ્પ $(d)$ માં,લેન્સને પ્રવાહી $L_2$ (વક્રીભવનાંક $n_2$) વડે ભરવામાં આવે છે અને પ્રવાહી $L_1$ (વક્રીભવનાંક $n_1$) માં ડૂબાડવામાં આવે છે. કારણ કે $n_2 > n_1$,તેથી $n_L > n_m$ ની શરત સંતોષાય છે,અને લેન્સ પ્રકાશનું અપસરણ કરશે.

(A) ધારો કે પ્રથમ સ્ત્રોત $S_1$ નું લેન્સથી અંતર $x$ છે. તો બીજા સ્ત્રોત $S_2$ નું લેન્સથી અંતર $(24 - x)$ થશે.
પ્રતિબિંબ એક જ જગ્યાએ રચાય તે માટે,એક સ્ત્રોતનું આભાસી પ્રતિબિંબ લેન્સની એક તરફ અને બીજા સ્ત્રોતનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ લેન્સની બીજી તરફ રચાવું જોઈએ.
ધારો કે $S_1$ નું આભાસી પ્રતિબિંબ લેન્સની ડાબી બાજુ $y$ અંતરે રચાય છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{9} = \frac{1}{-y} - \frac{1}{-x} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{9}$ .....$(i)$
ધારો કે $S_2$ નું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ લેન્સની ડાબી બાજુ $y$ અંતરે રચાય છે. લેન્સના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{1}{9} = \frac{1}{-y} - \frac{1}{-(24 - x)} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{9} - \frac{1}{24 - x}$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} - \frac{1}{24 - x} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{24 - x} = \frac{2}{9}$.
$\frac{24}{24x - x^2} = \frac{2}{9} \Rightarrow 108 = 24x - x^2 \Rightarrow x^2 - 24x + 108 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(x - 6)(x - 18) = 0$. તેથી $x = 6 \, cm$ અથવા $18 \, cm$.

(C) પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન ધ્યાનમાં લો (પાણીથી કાચ તરફ):
$\frac{\mu_2 - \mu_1}{R_1} = \frac{\mu_1}{-u} + \frac{\mu_2}{v_1}$
અહીં $\mu_1 = 4/3$,$\mu_2 = 3/2$,$R_1 = R$,અને $u = \infty$ છે:
$\frac{3/2 - 4/3}{R} = \frac{4/3}{\infty} + \frac{3/2}{v_1} \Rightarrow \frac{1/6}{R} = \frac{3/2}{v_1} \Rightarrow v_1 = 9R$
હવે બીજી સપાટી પર વક્રીભવન ધ્યાનમાં લો (કાચથી હવા તરફ):
$\frac{\mu_3 - \mu_2}{R_2} = \frac{\mu_2}{-v_1} + \frac{\mu_3}{v_2}$
અહીં $\mu_2 = 3/2$,$\mu_3 = 1$,$R_2 = -R$,અને $v_1 = 9R$ છે:
$\frac{1 - 3/2}{-R} = \frac{3/2}{-9R} + \frac{1}{v_2} \Rightarrow \frac{-1/2}{-R} = -\frac{1}{6R} + \frac{1}{v_2}$
$\frac{1}{2R} + \frac{1}{6R} = \frac{1}{v_2} \Rightarrow \frac{3+1}{6R} = \frac{1}{v_2} \Rightarrow \frac{4}{6R} = \frac{1}{v_2} \Rightarrow v_2 = \frac{6R}{4} = \frac{3}{2}R$
આમ,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 1.5R$ મળે છે.

(C) લેન્સ માટે,લેટરલ મોટવણી $m$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{v}{u}$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{u} = \frac{1}{v} - \frac{1}{f} = \frac{f - v}{vf}$.
આ કિંમતને મોટવણીના સૂત્રમાં મૂકતા:
$m = v \times \left( \frac{f - v}{vf} \right) = \frac{f - v}{f} = 1 - \frac{v}{f}$
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$m = \left( -\frac{1}{f} \right) v + 1$
આ સમીકરણની સરખામણી સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે કરતા,જ્યાં $y = m$ (મોટવણી),$x = v$ (પ્રતિબિંબ અંતર),ઢાળ $= -\frac{1}{f}$,અને અંતઃખંડ $c = 1$ છે. ઢાળ ઋણ હોવાથી,આલેખ ઋણ ઢાળ અને ધન y-અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા છે. આ આલેખ વિકલ્પ $(C)$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) પાતળા લેન્સ માટે,મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f - v}{f}$ છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર છે.
આને $m = -\frac{1}{f}v + 1$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ સમીકરણની સરખામણી રેખીય સમીકરણ $y = mx' + c'$ (જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે અને $c'$ એ y-અંતઃખંડ છે) સાથે કરતા,આપણને રેખાનો ઢાળ $-\frac{1}{f}$ મળે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ એ શિરોલંબ ફેરફાર અને આડા ફેરફારનો ગુણોત્તર છે,જે $\frac{b}{c}$ છે.
ઢાળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $-\frac{1}{f} = \frac{b}{c}$.
તેનું મૂલ્ય લેતા,આપણને $|f| = \frac{c}{b}$ મળે છે.
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{c}{b}$ છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
ધારો કે $u = -x$ (જ્યાં $x > 0$ એ લેન્સથી વસ્તુનું અંતર છે) અને $v = y$ (જ્યાં $y > 0$ એ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબનું અંતર છે).
સૂત્ર $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f}$ બને છે,જેનો અર્થ છે $y = \frac{xf}{x-f}$.
આપણે સરવાળો $S = x + y = x + \frac{xf}{x-f} = \frac{x^2 - xf + xf}{x-f} = \frac{x^2}{x-f}$ માં રસ ધરાવીએ છીએ.
$S$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dS}{dx} = \frac{(x-f)(2x) - x^2(1)}{(x-f)^2} = 0$.
આનાથી $2x^2 - 2xf - x^2 = 0$,અથવા $x^2 - 2xf = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = 2f$ (કારણ કે $x \neq 0$).
$x = 2f$ પર,$S = \frac{(2f)^2}{2f-f} = \frac{4f^2}{f} = 4f$.
$x > f$ માટે,વિધેય $S(x)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x = 2f$ પર $4f$ છે,અને જેમ $x$ એ $2f$ થી દૂર જાય છે તેમ તે વધે છે. આમ,આલેખ એક વક્ર છે જે $(2f, 4f)$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે,$v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર છે અને $u$ એ વસ્તુ અંતર છે.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,$u$ ઋણ $(-u)$ છે અને $v$ ધન છે. સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-u}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ થાય છે.
જેમ $u$ નું મૂલ્ય $f$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,તેમ $\frac{1}{u}$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{v}$ વધે છે,અને તેથી $v$ ઘટે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જ્યારે $u = f$ હોય ત્યારે $v = \infty$ થાય છે,અને જેમ $u \to \infty$ થાય છે,તેમ $v \to f$ થાય છે. આ સંબંધ એક હાયપરબોલિક વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $u$ વધવાની સાથે $v$ ઘટે છે,જે વિકલ્પ $D$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે.

(D) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર છે,$u$ એ વસ્તુ અંતર છે અને $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
ધારો કે $x = u$ અને $y = v$. તો સમીકરણ $\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{f}$ બને છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{f} = \frac{x+f}{xf}$ મળે છે.
આમ,$y = \frac{xf}{x+f}$.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુથી સ્થાનાંતરિત થયેલ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે. તેથી,વસ્તુ અંતર વિરુદ્ધ પ્રતિબિંબ અંતરનો આલેખ અતિવલય મળે છે.

(D) દ્વિ-અંતર્ગોળ લેન્સ અભિસારી લેન્સ તરીકે ત્યારે જ કાર્ય કરે છે જ્યારે તેનો અસરકારક વક્રીભવનાંક $n_{lens}$ તેની આસપાસના માધ્યમના વક્રીભવનાંક $n_{medium}$ કરતા વધારે હોય.
જો લેન્સને $n_{in}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમથી ભરવામાં આવે અને તેને $n_{out}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં રાખવામાં આવે, તો લેન્સ અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે જો $n_{in} > n_{out}$ હોય.
આપેલ લેન્સ દ્વિ-અંતર્ગોળ હોવાથી, તે સામાન્ય રીતે પ્રકાશનું અપસરણ કરે છે. તેને અભિસારી બનાવવા માટે, લેન્સની અંદરના પદાર્થનો વક્રીભવનાંક તેની આસપાસના માધ્યમના વક્રીભવનાંક કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી, જો લેન્સને $L_2$ ($n_2$ વક્રીભવનાંક) થી ભરવામાં આવે અને $L_1$ ($n_1$ વક્રીભવનાંક) માં ડૂબાડવામાં આવે, તો તે અભિસારી લેન્સ તરીકે કાર્ય કરશે જો $n_2 > n_1$ હોય.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતી વાસ્તવિક વસ્તુ અને તેના વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $4f$ હોય છે,જ્યાં $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
ધારો કે $u$ એ વસ્તુ અંતર છે અને $v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર છે.
આકૃતિ મુજબ,વસ્તુ અંતર $|u| = x + f$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $|v| = x' + f$ છે.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = |u| + |v| = (x + f) + (x' + f) = x + x' + 2f$ થાય.
વાસ્તવિક વસ્તુ અને તેના વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $4f$ હોવાથી,$D \geq 4f$ થાય.
$D$ ની કિંમત મૂકતા,$x + x' + 2f \geq 4f$ મળે.
તેથી,$x + x' \geq 2f$ થાય.

(C) સ્થાનાંતર રીતમાં,ધારો કે $D$ એ વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ લેન્સના બે સ્થાન વચ્ચેનું અંતર છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$ છે.
લેન્સના બે સ્થાન માટે,મોટવણી $m_1 = m$ અને $m_2 = 1/m$ છે.
સંબંધ $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે બે સ્થાન માટે $v_1 = u_2$ અને $u_1 = v_2$ થાય છે.
વળી,$D = u_1 + v_1$ અને $d = v_1 - u_1$.
આના પરથી,$v_1 = \frac{D+d}{2}$ અને $u_1 = \frac{D-d}{2}$.
કારણ કે $m = \frac{v_1}{u_1} = \frac{D+d}{D-d}$,આપણે $D$ ને $m$ અને $d$ ના સ્વરૂપમાં મેળવી શકીએ:
$m(D-d) = D+d \implies D(m-1) = d(m+1) \implies D = d \frac{m+1}{m-1}$.
$D$ ની કિંમત કેન્દ્રલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D} = \frac{d^2 [(\frac{m+1}{m-1})^2 - 1]}{4d(\frac{m+1}{m-1})} = \frac{d [\frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)^2}]}{4(\frac{m+1}{m-1})} = \frac{d [\frac{4m}{(m-1)^2}]}{4(\frac{m+1}{m-1})} = \frac{md}{m^2-1}$.

(A) આપેલ છે: કુલ અંતર $D = u + v = 1.50 \, m$. મોટવણી $m = -4$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને પડદા પર રચાય છે).
મોટવણીના સૂત્ર $m = v/u$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-4 = v/u$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = 4u$.
આ કિંમતને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $u + 4u = 1.50 \, m$,તેથી $5u = 1.50 \, m$,જે આપણને $u = 0.3 \, m$ અને $v = 1.2 \, m$ આપે છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{-0.3} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{0.3} = \frac{1 + 4}{1.2} = \frac{5}{1.2}$.
તેથી,$f = \frac{1.2}{5} = 0.24 \, m = 24 \, cm$.

(B) ધારો કે વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D$ છે. સ્થાનાંતરની રીત મુજબ,લેન્સના બે સ્થાન વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
પ્રથમ સ્થાન માટે,મોટવણી $m_1 = \frac{v_1}{u_1}$. અહીં $v_1 + u_1 = D$ અને $v_1 - u_1 = d$ હોવાથી,$v_1 = \frac{D+d}{2}$ અને $u_1 = \frac{D-d}{2}$ મળે. તેથી,$m_1 = \frac{D+d}{D-d}$.
બીજા સ્થાન માટે,વસ્તુ અને પ્રતિબિંબના અંતરો અદલાબદલી થાય છે,તેથી $m_2 = \frac{D-d}{D+d}$.
અહીં $m_1 \cdot m_2 = 1$ થાય છે,તેથી $m_2 = \frac{1}{m_1}$.
સ્થાનાંતર $d$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$ છે.
હવે,$m_1 - m_2 = \frac{D+d}{D-d} - \frac{D-d}{D+d} = \frac{(D+d)^2 - (D-d)^2}{D^2 - d^2} = \frac{4Dd}{D^2 - d^2}$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$ હોવાથી,$m_1 - m_2 = \frac{d}{f}$ મળે.
તેથી,$f = \frac{d}{m_1 - m_2}$.

(C) કેન્દ્રિત કિરણપુંજ માટે,બિંદુ $P$ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કારણ કે પ્રકાશ લેન્સની પાછળ રહેલા $P$ તરફ કેન્દ્રિત થઈ રહ્યો છે,તેથી વસ્તુ અંતર $u$ ધન લેવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $u = +12 \, cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20 \, cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{12}$.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(60)$ લેતા: $\frac{1}{v} = \frac{3 + 5}{60} = \frac{8}{60}$.
તેથી,$v = \frac{60}{8} = 7.5 \, cm$.
આમ,કિરણપુંજ લેન્સથી $7.5 \, cm$ અંતરે કેન્દ્રિત થશે.