Refraction by Lenses Questions in Gujarati

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,પ્રથમ સપાટી બહિર્ગોળ $(R_1 = +40 \ cm)$ અને બીજી સપાટી અંતર્ગોળ $(R_2 = -40 \ cm)$ હોય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right) = 0.5 \times \frac{2}{40} = 0.5 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{40}$.
તેથી,$f = 40 \ cm$.

(A) ધારો કે વસ્તુનું લેન્સથી અંતર $u$ છે અને પ્રતિબિંબનું (પડદાનું) લેન્સથી અંતર $v$ છે। પ્રતિબિંબ પડદા પર રચાતું હોવાથી તે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ છે।
વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $x$ આપેલું છે, તેથી $v + u = x$।
મોટવણી $m = |v/u| = v/u$ છે, તેથી $v = mu$।
$v = mu$ ને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $mu + u = x$, જે આપણને $u(m + 1) = x$ અથવા $u = x / (m + 1)$ આપે છે।
તેથી, $v = x - u = x - x / (m + 1) = mx / (m + 1)$।
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે $v$ ધન અને $u$ ઋણ લેતા, $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u_0} = \frac{1+m}{mx} + \frac{1+m}{x} = \frac{(1+m)^2}{mx}$।
તેથી, $f = \frac{mx}{(m+1)^2}$।

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ તેના વક્રીભવનાંક અને તેની સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે. લેન્સના કોઈ ભાગને ઢાંકવાથી આ ગુણધર્મો બદલાતા નથી,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જ રહે છે.
લેન્સ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબની તીવ્રતા $I$ એ લેન્સના ખુલ્લા ભાગના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto A)$.
શરૂઆતનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (d/2)^2 = \pi d^2/4$ છે.
જ્યારે $d/2$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $d/4$) ધરાવતા મધ્ય ભાગને ઢાંકવામાં આવે છે,ત્યારે ઢંકાયેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{covered} = \pi (d/4)^2 = \pi d^2/16$ થાય છે.
પ્રકાશ પસાર થઈ શકે તેવા લેન્સનું નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = A_1 - A_{covered} = \frac{\pi d^2}{4} - \frac{\pi d^2}{16} = \frac{3\pi d^2}{16}$ થાય છે.
નવી તીવ્રતા $I_2$ અને પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_1$ નો ગુણોત્તર ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{3\pi d^2/16}{\pi d^2/4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,નવી તીવ્રતા $I_2 = \frac{3}{4}I$ થશે અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અચળ રહેશે.

(C) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આપેલ છે કે લેન્સ સમતલ-બહિર્ગોળ છે,તેથી $R_1 = 10 \ cm$ અને $R_2 = \infty$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = 30 \ cm$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{\infty} \right)$
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,તેથી:
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} \right)$
$\frac{10}{30} = \mu - 1$
$\frac{1}{3} = \mu - 1$
$\mu = 1 + 0.333 = 1.33$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સના કિસ્સામાં,જો પ્રકાશના કિરણો મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી આવતા હોય,તો વક્રીભવન પછી બહાર નીકળતા કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.
અહીં સ્લિટ $S$ અને કોલિમેટિંગ લેન્સ $L$ વચ્ચેનું અંતર લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલું હોવાથી,સ્લિટ $S$ એ મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકાયેલા બિંદુવત સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,લેન્સમાંથી બહાર નીકળતા પ્રકાશના કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હશે,જે આકૃતિ $2$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે.

(D) જ્યારે લેન્સનો ઉપરનો અડધો ભાગ ઢાંકી દેવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો લેન્સના બાકી રહેલા નીચેના અડધા ભાગમાંથી પસાર થાય છે.
વસ્તુના દરેક બિંદુમાંથી પ્રકાશના કિરણો લેન્સના તમામ ભાગો પર પડે છે,તેથી લેન્સનો નીચેનો અડધો ભાગ વસ્તુનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ તે જ સ્થાને રચવા માટે પૂરતો છે.
જોકે,લેન્સમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો કુલ જથ્થો ઘટી જાય છે (કારણ કે છિદ્રનો અડધો ભાગ બંધ છે),તેથી પ્રતિબિંબની તીવ્રતા ઘટે છે.
તેથી,સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ રચાય છે,પરંતુ તેની તીવ્રતા ઓછી હોય છે.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સની સ્થાનાંતર પદ્ધતિ માટે,જ્યારે વસ્તુ અને પડદો $D$ અંતરે નિશ્ચિત હોય,ત્યારે લેન્સની બે એવી સ્થિતિઓ હોય છે જ્યાં પડદા પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે.
ધારો કે વસ્તુનું કદ $O$ છે,અને બે પ્રતિબિંબોના કદ $I_1$ અને $I_2$ છે.
વસ્તુનું કદ અને પ્રતિબિંબના કદ વચ્ચેનો સંબંધ $O = \sqrt{I_1 \times I_2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $I_1 = 4 \, cm$ અને $I_2 = 16 \, cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$O = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
તેથી,વસ્તુની લંબાઈ $8 \, cm$ છે.

(C) આપેલ કિરણ આકૃતિમાં બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી સમાંતર આપાત કિરણો અપસારી (diverge) થાય છે.
આ સૂચવે છે કે બહિર્ગોળ લેન્સ અંતર્ગોળ લેન્સની જેમ વર્તે છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\frac{n_g}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n_m$ (અહીં $n_1 = n_2 = n_m$) એ લેન્સના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક $n_g$ કરતા વધારે હોય,ત્યારે પદ $(\frac{n_g}{n_m} - 1)$ ઋણ બને છે.
પરિણામે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ બને છે,અને બહિર્ગોળ લેન્સ અપસારી (અંતર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,આ વર્તણૂક માટેની શરત $n_1 = n_2$ અને $n_1 > n_g$ છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવા માટે: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{15}$.
પ્રવાહી માટે: $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{(\mu_g - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)}$.
અહીં $\mu_g = 1.5$,$\mu_l = 4/3$,અને $f_a = 15\, cm$ આપેલ છે.
$\frac{f_l}{15} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{4/3} - 1} = \frac{0.5}{1.125 - 1} = \frac{0.5}{0.125} = 4$.
તેથી,$f_l = 15 \times 4 = 60\, cm$.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f_l} = (_{\mu} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં $_{\mu}$ એ માધ્યમની સાપેક્ષે લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
જો લેન્સ કાચની પ્લેટ જેવું વર્તે,તો તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ અનંત $(\infty)$ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે લેન્સ પાસે કોઈ અભિસારી કે અપસારી પાવર નથી.
$f_l = \infty$ માટે,$(_{\mu} - 1)$ પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $_{\mu} = 1$.
કારણ કે $_{\mu} = \frac{\mu_g}{\mu_m}$ (જ્યાં $\mu_g$ એ કાચનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_m$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે),તેથી $\frac{\mu_g}{\mu_m} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_g = \mu_m$.
તેથી,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક કાચના વક્રીભવનાંક જેટલો જ હોવો જોઈએ.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સ્થાનાંતરની રીતમાં,લેન્સના બે સ્થાન માટે મોટવણી $m_1$ અને $m_2$ નીચે મુજબ છે:
$m_1 = \frac{I_1}{O} = \frac{v}{u}$
$m_2 = \frac{I_2}{O} = \frac{u}{v}$
આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા:
$\frac{I_1}{O} \times \frac{I_2}{O} = \frac{v}{u} \times \frac{u}{v} = 1$
$\frac{I_1 I_2}{O^2} = 1$
$O^2 = I_1 I_2$
$O = \sqrt{I_1 I_2}$
તેથી,વસ્તુનું કદ $\sqrt{I_1 I_2}$ છે.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,પદ $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ધન હોય છે.
જો માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n_m$ એ લેન્સના વક્રીભવનાંક $n_l$ કરતા વધારે હોય,તો પદ $(\frac{n_l}{n_m} - 1)$ ઋણ બને છે.
પરિણામે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ બને છે અને લેન્સ અપસારી (અંતર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
અહીં $n_l = 1.525$ આપેલ છે,તેથી લેન્સ ત્યારે જ અપસારી તરીકે વર્તશે જો $n_m > 1.525$ હોય.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,કાર્બન ડાયસલ્ફાઇડનો વક્રીભવનાંક $n = 1.66$ છે,જે $1.525$ કરતા વધારે છે.

(A) અપસારી લેન્સ,જેને અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે કિનારીઓ કરતા કેન્દ્રમાં પાતળો હોય છે.
અંતર્ગોળ લેન્સની સામે મૂકવામાં આવેલી કોઈપણ વાસ્તવિક વસ્તુ માટે,વક્રીભવન પછી પ્રકાશના કિરણો અપસારી (diverge) થાય છે.
જ્યારે આ કિરણોને પાછળની તરફ લંબાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે વસ્તુની બાજુએ જ એક બિંદુ પર મળતા હોય તેવું લાગે છે.
તેથી,અંતર્ગોળ લેન્સ તમામ વાસ્તવિક વસ્તુઓ માટે હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ બનાવે છે.

(A) લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -20 \ cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = +10 \ cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{10} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{10} = \frac{1}{v} + \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{2 - 1}{20} = \frac{1}{20}$
તેથી,$v = 20 \ cm$.
પ્રતિબિંબ લેન્સની બીજી બાજુએ $20 \ cm$ અંતરે રચાશે.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં,$\frac{1}{f_a} = (_{a}\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં $f_a = 20 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{20}$,જેનો અર્થ છે કે $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{10}$.
પાણીમાં,$\frac{1}{f_w} = (_{w}\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં $_{w}\mu_{g} = \frac{_{a}\mu_{g}}{_{a}\mu_{w}} = \frac{1.5}{4/3} = \frac{1.5 \times 3}{4} = \frac{4.5}{4} = 1.125$.
તેથી,$\frac{1}{f_w} = (1.125 - 1) \times \frac{1}{10} = 0.125 \times \frac{1}{10} = \frac{0.125}{10} = \frac{1}{80}$.
આમ,$f_w = 80 \ cm$ મળે.

(A) લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
આપેલ છે કે વસ્તુ અંતર $u = -f/2$ (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ).
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-f/2} = \frac{1}{v} + \frac{2}{f}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{2}{f} = -\frac{1}{f}$.
આમ,$v = -f$. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે આભાસી છે.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{-f}{-f/2} = 2$.
ચું $m$ ધન છે અને $1$ કરતા મોટું છે,તેથી પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને વસ્તુ કરતા બમણી સાઈઝનું હશે.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે લેન્સ ડબલ બહિર્ગોળ છે,તેથી $R_1 = +20 \ cm$ અને $R_2 = -20 \ cm$,અને વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2}{20} \right) = (0.5) \left( \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{20}$.
તેથી,$f = 20 \ cm$.
લેન્સની અક્ષને સમાંતર આપાત થતા પ્રકાશના કિરણો મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે,તેથી અંતર $L$ એ કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જેટલું હોય છે,એટલે કે $L = 20 \ cm$.

(C) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
હવામાં $(\mu_m = 1)$,લેન્સ અભિસારી છે,તેથી $f > 0$,જે સૂચવે છે કે $\mu_l > 1$.
પાણીમાં $(\mu_m = 1.33)$,લેન્સ અપસારી છે,તેથી $f < 0$,જે સૂચવે છે કે $\frac{\mu_l}{1.33} - 1 < 0$.
આનાથી $\frac{\mu_l}{1.33} < 1$,અથવા $\mu_l < 1.33$ મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $1 < \mu_l < 1.33$ મળે છે.

(D) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, $R_1 = R = 15 \, cm$ અને $R_2 = \infty$ લેવાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.6 \times \frac{1}{15} = \frac{0.6}{15} = \frac{1}{25} \, cm^{-1}$.
આમ, કેન્દ્રલંબાઈ $f = 25 \, cm = 0.25 \, m$ મળે છે.
લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f(meters)} = \frac{1}{0.25} = +4 \, D$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રકાશના સ્ત્રોતનું ક્ષેત્રફળ $O$ છે. લેન્સની બે અલગ-અલગ સ્થિતિઓ માટે,મોટવણી $m_1$ અને $m_2$ છે.
પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ $A = m^2 O$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $m^2 = \frac{A}{O}$.
બે સ્થિતિઓ માટે,આપણી પાસે $m_1^2 = \frac{A_1}{O}$ અને $m_2^2 = \frac{A_2}{O}$ છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $m_1^2 m_2^2 = \frac{A_1 A_2}{O^2}$ મળે છે.
સ્થાનાંતરની રીત માટે,મોટવણીનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = 1$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $m_1^2 m_2^2 = 1$.
તેથી,$1 = \frac{A_1 A_2}{O^2}$,જે $O^2 = A_1 A_2$ આપે છે.
આમ,પ્રકાશના સ્ત્રોતનું ક્ષેત્રફળ $O = \sqrt{A_1 A_2}$ છે.

(B) જ્યારે બહિર્ગોળ લેન્સનો મધ્ય ભાગ કાળા કાગળથી ઢાંકવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સનું અસરકારક એપર્ચર ઘટે છે.
વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો હજુ પણ લેન્સના બાકીના ખુલ્લા ભાગોમાંથી પસાર થઈ શકે છે,તેથી વસ્તુનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ તે જ સ્થાને રચાય છે.
જો કે,લેન્સમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો કુલ જથ્થો ઘટવાને કારણે,પ્રતિબિંબની તીવ્રતા ઘટે છે,જેનાથી તે ઓછું તેજસ્વી બને છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પ્રતિબિંબ પડદા પર મેળવવાનું હોવાથી,તે વાસ્તવિક હોવું જોઈએ.
બહિર્ગોળ અરીસા અને અંતર્ગોળ લેન્સ હંમેશા આભાસી પ્રતિબિંબ રચે છે,તેથી તેઓ પડદા પર પ્રતિબિંબ રચી શકતા નથી.
અંતર્ગોળ અરીસો વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચી શકે છે,પરંતુ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ નાનું (diminished) મળે તે માટે વસ્તુને વક્રતા કેન્દ્રની પાછળ $(u > 2f)$ મૂકવી પડે છે. જોકે,પડદા પર પ્રતિબિંબ મેળવવા માટેની શરત મુજબ,$1.0 \ m$ ના અંતરે વાસ્તવિક અને નાનું પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે બહિર્ગોળ લેન્સનો ઉપયોગ કરવો સૌથી યોગ્ય છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$D$ અંતરે આવેલા પડદા પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવાની શરત $f \leq D/4$ છે. અહીં $D = 1.0 \ m$ હોવાથી,$f \leq 0.25 \ m$ થાય. તેથી,$0.25 \ m$ કરતા ઓછી કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બહિર્ગોળ લેન્સ નાનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ આપશે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f + u}$ છે.
અહીં પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું છે (કારણ કે બહિર્ગોળ લેન્સ નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે),તેથી મોટવણી $m = -\frac{1}{4}$ થાય.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = +30 \ cm$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$-\frac{1}{4} = \frac{30}{30 + u}$
$-(30 + u) = 120$
$-30 - u = 120$
$-u = 150$
$u = -150 \ cm$.
તેથી,વસ્તુ અંતર $150 \ cm$ છે.

(C) જ્યારે લેન્સનો અમુક ભાગ ઢાંકી દેવામાં આવે અથવા કાળો રંગવામાં આવે,ત્યારે લેન્સનો બાકીનો ભાગ હજુ પણ પદાર્થનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ રચે છે.
આનું કારણ એ છે કે પદાર્થ પરનું દરેક બિંદુ લેન્સના તમામ ભાગો પર પ્રકાશના કિરણો મોકલે છે,અને આ કિરણો વક્રીભવન પામીને સમાન પ્રતિબિંબ બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે.
લેન્સનો અડધો ભાગ ઢાંકવાથી પ્રતિબિંબની તીવ્રતા (તેજસ્વિતા) ઘટે છે કારણ કે પ્રતિબિંબના સમતલ સુધી ઓછા પ્રકાશના કિરણો પહોંચે છે,પરંતુ પ્રતિબિંબનું સ્થાન અને કદ બદલાતા નથી.

(A) આ લેન્સ હવાનો બનેલો છે $(\mu_l = 1)$ અને તેને કાચના માધ્યમમાં $(\mu_m = 1.5)$ મૂકવામાં આવ્યો છે.
માધ્યમમાં રહેલા લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં $R_1 = 10 \ cm$ અને $R_2 = -10 \ cm$ (દ્વિ-અંતર્ગોળ હવાના લેન્સ માટે):
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1}{1.5} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{3} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( -\frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{10} \right) = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$
$f = -15 \ cm$.
ઋણ કેન્દ્રલંબાઈ દર્શાવે છે કે લેન્સ અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(C) દૂરની વસ્તુ માટે,પ્રતિબિંબ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્રના સમતલમાં રચાય છે.
પ્રતિબિંબનું કદ $(h_i)$ સૂત્ર $h_i = f \times \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $\theta$ એ વસ્તુ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો રેડિયનમાં છે.
આપેલ છે:
કેન્દ્રલંબાઈ $f = 50 \ cm = 500 \ mm$.
ખૂણો $\theta = 1 \text{ milliradian} = 1 \times 10^{-3} \text{ radians}$.
તેથી,પ્રતિબિંબનું કદ $h_i = 500 \ mm \times (1 \times 10^{-3}) = 0.5 \ mm$.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
હવામાં લેન્સ માટે $(f_a = 12 \ cm)$: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1)K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રવાહીમાં લેન્સ માટે $(f_l)$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)K$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{\mu_g - 1}{\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1}$.
કિંમતો મુકતા: $\frac{f_l}{12} = \frac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{3/2}{5/4} - 1} = \frac{1/2}{\frac{6}{5} - 1} = \frac{1/2}{1/5} = \frac{5}{2}$.
તેથી,$f_l = 12 \times \frac{5}{2} = 30 \ cm$.

(A) એક્રોમેટિક ડબલેટ માટે,શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{f_1}{f_2}$.
ડિસ્પર્સિવ પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{5}{3}$ આપેલ છે.
ધારો કે અંતર્ગોળ લેન્સ એ પ્રથમ લેન્સ છે,તેથી $f_1 = -15 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{3} = -\frac{-15}{f_2}$.
$\frac{5}{3} = \frac{15}{f_2} \Rightarrow 5f_2 = 45 \Rightarrow f_2 = 9 \ cm$.
કારણ કે $f_2$ ધન છે,તેથી બીજો લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સ હોવો જોઈએ.
તેથી,બીજો લેન્સ $9 \ cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બહિર્ગોળ લેન્સ છે.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +40 \; cm$ અને $R_2 = -40 \; cm$ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = 1.65$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.65 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.65) \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.65 \times \frac{2}{40} = \frac{0.65}{20} = 0.0325$
$f = \frac{1}{0.0325} \approx 30.77 \; cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,કેન્દ્રલંબાઈ આશરે $31 \; cm$ થાય છે.

(A) હવામાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે લેન્સને $n'$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{n}{n'} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{n - n'}{n'} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f'}{f} = \frac{(n - 1)}{\frac{n - n'}{n'}} = \frac{n'(n - 1)}{n - n'}$.
$f'$ માટે ગોઠવતા: $f' = \frac{fn'(n - 1)}{n - n'} = - \frac{fn'(n - 1)}{n' - n}$.

(B) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o = 1.5 \ cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = +25 \ cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે),પ્રતિબિંબ અંતર $v = +75 \ cm$ (એક લેન્સ દ્વારા રચાતું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ ઉલટું અને વિરુદ્ધ બાજુએ હોય છે).
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u} \Rightarrow \frac{1}{u} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$.
તેથી,$u = -37.5 \ cm$.
મોટવણી $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{v}{u}$.
$h_i = h_o \times \frac{v}{u} = 1.5 \times \frac{75}{-37.5} = 1.5 \times (-2) = -3 \ cm$.
પ્રતિબિંબનું કદ (મૂલ્ય) $3 \ cm$ છે.

(B) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,એક સપાટી સમતલ $(R_1 = \infty)$ છે અને બીજી સપાટી વક્ર ($R_2 = -R = -60 \ cm$,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ) છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-60} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.6) \left( 0 + \frac{1}{60} \right) = \frac{0.6}{60} = \frac{1}{100}$.
તેથી,$f = 100 \ cm$.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ લેતા,$\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right) = 0.5 \left( -\frac{2}{R} \right) = -\frac{1}{R}$,એટલે કે $f_a = -R$.
જ્યારે તેને $1.75$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_m} = \frac{1.5}{1.75} = \frac{6}{7}$ થાય.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ માટે,$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{6}{7} - 1 \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$.
આમ,$f_l = +3.5 R$.
કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોવાથી,લેન્સ અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તશે.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{30} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$.
$\frac{1}{30} = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right)$.
$\frac{1}{30} = \frac{1}{R}$.
તેથી,$R = 30 \ cm$.
આમ,$30 \ cm$ એ વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) હવામાં લેન્સનો પાવર તેની સપાટીઓના પાવરના સરવાળા જેટલો હોય છે: $P_a = P_1 + P_2 = 11 D - 6 D = 5 D$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,માધ્યમમાં લેન્સનો પાવર અને હવામાં પાવરનો ગુણોત્તર: $\frac{P_l}{P_a} = \frac{_l\mu_g - 1}{_a\mu_g - 1}$.
અહીં,$_a\mu_g = 1.5$ અને $_l\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_l} = \frac{1.5}{1.6} = 0.9375$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_l}{5} = \frac{0.9375 - 1}{1.5 - 1} = \frac{-0.0625}{0.5} = -0.125$.
તેથી,$P_l = 5 \times (-0.125) = -0.625 D$.

(B) કિસ્સો $1$: જ્યારે વસ્તુ અનંત અંતરે હોય,ત્યારે પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્ર $F_2$ પર રચાય છે. તેથી,$v_1 = f$.
કિસ્સો $2$: વસ્તુને ફોકલ પ્લેનથી $20 \ cm$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. આથી વસ્તુ અંતર $u = -(f + 20) \ cm$ થાય.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-(f + 20)} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f + 20} = \frac{f + 20 - f}{f(f + 20)} = \frac{20}{f(f + 20)}$.
તેથી,$v_2 = \frac{f(f + 20)}{20}$.
બંને પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $|v_2 - v_1| = 5 \ cm$ છે.
$\frac{f^2 + 20f}{20} - f = 5 \Rightarrow f^2 + 20f - 20f = 100 \Rightarrow f^2 = 100 \Rightarrow f = 10 \ cm$.
વૈકલ્પિક રીતે,ન્યૂટનના લેન્સના સમીકરણ $x_1 x_2 = f^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x_1 = 20 \ cm$ અને $x_2 = 5 \ cm$,આપણને $f^2 = 20 \times 5 = 100$ મળે છે,તેથી $f = 10 \ cm$.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ શોધવા માટેની સ્થાનાંતર પદ્ધતિ મુજબ,વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D$ નિશ્ચિત હોય અને લેન્સને $x$ અંતરે રહેલા બે સ્થાનો પર મૂકવામાં આવે,તો કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{D^2 - x^2}{4D}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $D = 100 \ cm$ અને $x = 40 \ cm$.
આ કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{(100)^2 - (40)^2}{4 \times 100} = \frac{10000 - 1600}{400} = \frac{8400}{400} = 21 \ cm$.
લેન્સનો પાવર $P = \frac{100}{f(cm)} = \frac{100}{21} \approx 4.76 \ D$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પાવર આશરે $5 \ D$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +5 \ cm$,વસ્તુ અંતર $u = -10 \ cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{5} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{1}{v} + \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{2-1}{10} = \frac{1}{10}$.
તેથી,$v = 10 \ cm$.

(D) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સના એરોમેટિક સંયોજન માટે,શરત નીચે મુજબ છે:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
આપેલ છે:
$f_1 = f$
$\omega_1 = \omega$
$\omega_2 = 2\omega$
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$\frac{\omega}{f} + \frac{2\omega}{f_2} = 0$
$\frac{2\omega}{f_2} = -\frac{\omega}{f}$
$\frac{2}{f_2} = -\frac{1}{f}$
$f_2 = -2f$
તેથી,બીજા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-2f$ છે.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેવાય છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
અહીં $f = 10 \ cm$ અને $\mu = 1.6$ આપેલ છે,તેથી: $\frac{1}{10} = (1.6 - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
$\frac{1}{10} = (0.6) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1.2}{R}$.
તેથી,$R = 1.2 \times 10 = 12 \ cm$ મળે છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ કિનારીઓ કરતા કેન્દ્રમાં જાડો હોય છે. જ્યારે સમાંતર પ્રકાશના કિરણો બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનું વક્રીભવન થાય છે અને તે મુખ્ય કેન્દ્ર તરીકે ઓળખાતા એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે. તેથી,બહિર્ગોળ લેન્સને અભિસારી (converging) લેન્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે વસ્તુના લેન્સની સાપેક્ષ સ્થાનના આધારે વાસ્તવિક અને આભાસી બંને પ્રકારના પ્રતિબિંબ રચી શકે છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચું વિધાન છે.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં,કેન્દ્રલંબાઈ $f_a = R$ છે,તેથી $\frac{1}{R} = (\mu_g - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
આપેલ છે કે $\mu_g = 1.5$,તેથી $\frac{1}{R} = (1.5 - 1) K = 0.5 K$,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{2}{R}$.
જ્યારે લેન્સને પાણીમાં $(\mu_w = 1.33 \approx 4/3)$ ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_w$ માટે $\frac{1}{f_w} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1) K$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_w} = (\frac{1.5}{4/3} - 1) \times \frac{2}{R} = (\frac{4.5}{4} - 1) \times \frac{2}{R} = (1.125 - 1) \times \frac{2}{R} = 0.125 \times \frac{2}{R} = \frac{0.25}{R} = \frac{1}{4R}$.
તેથી,$f_w = 4R$.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં લેન્સ માટે ($f_a = 2 \ cm$,$\mu_g = 1.5$): $\frac{1}{2} = (1.5 - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
તેથી,$K = \frac{1}{2 \times 0.5} = 1$.
જ્યારે તેને $\mu_l = 1.25$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_l} = (\frac{1.5}{1.25} - 1) \times 1$.
$\frac{1}{f_l} = (1.2 - 1) = 0.2$.
તેથી,$f_l = \frac{1}{0.2} = 5 \ cm$.

(B) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં,$\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષમાં લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,જે $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2} + \dots$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ અને $B$ અચળાંકો છે.
જેમ કે $\mu$ એ $\lambda$ સાથે બદલાય છે,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $f$ પણ પ્રકાશના કિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે બદલાય છે.
આવૃત્તિ એ પ્રકાશના સ્ત્રોતનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે માધ્યમ સાથે બદલાતી નથી,તેથી તે વક્રીભવનાંક અથવા કેન્દ્રલંબાઈને અસર કરતી નથી.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ પ્રકાશના કિરણની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે.

(B) કોઈપણ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક લાલ પ્રકાશ કરતા જાંબલી પ્રકાશ માટે વધુ હોય છે $(n_V > n_R)$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$. $n_V > n_R$ હોવાથી,જાંબલી પ્રકાશ માટે લેન્સનો પાવર વધુ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f_V$ એ $f_R$ કરતા નાની હોય છે $(f_V < f_R)$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે. કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $|F|$ બહિર્ગોળ લેન્સની જેમ જ વર્તે છે,જ્યાં $|F_V| < |F_R|$ થાય. બંને ઋણ હોવાથી,ઋણ સંખ્યામાં નાનું મૂલ્ય એ મોટી કિંમત દર્શાવે છે: $F_V > F_R$ (દા.ત.,$-2 > -5$).

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f + u}$ છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે.
આપેલ છે કે પ્રતિબિંબનું કદ વસ્તુના કદ કરતાં $\frac{1}{n}$ ગણું છે,તેથી મોટવણી $m = -\frac{1}{n}$ (વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે).
કિંમતો મૂકતા: $-\frac{1}{n} = \frac{f}{f + u}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $-(f + u) = nf$.
$-f - u = nf$.
$u = -nf - f = -(n + 1)f$.
લેન્સથી વસ્તુનું અંતર એ $u$ નું મૂલ્ય છે,જે $(n + 1)f$ થાય છે.

(C) લેન્સનું કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu_{lens} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
હવામાં,લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે કામ કરે છે,તેથી $f > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_{lens} > 1$ (કારણ કે $\mu_{air} = 1$).
પાણીમાં,લેન્સ અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે કામ કરે છે,તેથી $f < 0$. સૂત્ર આ મુજબ બને છે: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_{lens}}{\mu_{water}} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
$f$ ની નિશાની બદલાવા માટે,પદ $(\frac{\mu_{lens}}{\mu_{water}} - 1)$ ઋણ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\mu_{lens}}{\mu_{water}} < 1$,અથવા $\mu_{lens} < \mu_{water}$.
આમ,$\mu_{air} < \mu_{lens} < \mu_{water}$,એટલે કે પદાર્થનો વક્રીભવનાંક હવા કરતા વધારે પણ પાણી કરતા ઓછો છે.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સની સ્થાનાંતરની રીત (displacement method) માટે,જો વસ્તુ અને પડદો $D$ અંતરે નિશ્ચિત હોય,તો લેન્સના બે એવા સ્થાન મળે છે જ્યાં પડદા પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે.
ધારો કે વસ્તુની ઊંચાઈ $O$ છે અને બે પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $I_1$ અને $I_2$ છે.
વસ્તુની ઊંચાઈ અને પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $O = \sqrt{I_1 \times I_2}$.
અહીં $I_1 = 4 \ cm$ અને $I_2 = 9 \ cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$O = \sqrt{4 \times 9}$
$O = \sqrt{36}$
$O = 6 \ cm$.
તેથી,વસ્તુની ઊંચાઈ $6 \ cm$ છે.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
ડબલ બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +0.2 \ m$ અને $R_2 = -0.2 \ m$ લેવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\mu = 1.5$,તેથી:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{0.2} - \frac{1}{-0.2} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} \right) = 0.5 \times \frac{2}{0.2} = 0.5 \times 10 = 5 \ m^{-1}$.
પાવર $P = \frac{1}{f}$ (મીટરમાં) હોવાથી,$P = +5 \ D$ મળે છે.

(C) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ છે.
અહીં પાવર $P = 0.5 D$ આપેલ છે.
પાવર ધન હોવાથી,લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સ છે.
સૂત્રમાં $P$ ની કિંમત મૂકતા: $0.5 = \frac{1}{f}$.
તેથી,$f = \frac{1}{0.5} = 2 m$.
આમ,તે $2 m$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બહિર્ગોળ લેન્સ છે.