એક પદાર્થ હવામાં બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે અને પાણીમાં અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે,તો તેનો વક્રીભવનાંક કેટલો હશે?

જો લેન્સની બંને બહિર્ગોળ સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $20 \, cm$ હોય,તો આપેલ ગોઠવણીમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ શોધો. ($, cm$ માં)

સ્ત્રોત $(S)$ અને અવલોકનકાર $(O)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવેલ એક પાતળા લેન્સનો વિચાર કરો (આકૃતિ જુઓ). ધારો કે લેન્સની જાડાઈ $w(b) = w_0 - \alpha b^2$ મુજબ બદલાય છે, જ્યાં $b$ એ ધ્રુવથી શિરોલંબ અંતર છે। $w_0$ અને $\alpha$ અચળાંકો છે। ફર્માના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, એટલે કે સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચેના કિરણ માટે મુસાફરીનો સમય અત્યંત (extremum) હોય, તો એવી શરત શોધો કે જેથી સ્ત્રોતમાંથી નીકળતા તમામ પેરાક્સિયલ કિરણો અક્ષ પરના બિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત થાય। કેન્દ્રલંબાઈ શોધો।
$(ii)$ ગુરુત્વાકર્ષણીય લેન્સની બદલાતી પહોળાઈ $W = K_1 \log \left( \frac{K_2}{b} \right)$ (જ્યાં $b_{\min} < b < b_{\max}$) સ્વરૂપની છે તેમ માની શકાય। સાબિત કરો કે અવલોકનકાર બિંદુવત પદાર્થની છબીને લેન્સના કેન્દ્રની આસપાસ $\beta = \sqrt{\frac{(n - 1)K_1 u}{v(u + v)}}$ કોણીય ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ તરીકે જોશે।

એક લેન્સ $1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાચનો બનેલો છે. લેન્સની એક બાજુ સપાટ છે અને બીજી બાજુ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બહિર્ગોળ છે. જો કોઈ વસ્તુને લેન્સની બહિર્ગોળ બાજુ તરફ $60 \ cm$ અંતરે મૂકવામાં આવે,તો તેનું પ્રતિબિંબ લેન્સની બીજી બાજુ $120 \ cm$ અંતરે રચાય છે. $R$ નું મૂલ્ય શોધો. ($cm$ માં)

એક લેન્સ જે દીવાલથી $10 \,cm$ દૂર રાખેલ છે,તે તેના પર મીણબત્તીનું સ્પષ્ટ ઉલટું પ્રતિબિંબ પાડે છે. જ્યારે લેન્સને દીવાલથી વધુ $20 \,cm$ દૂર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ફરીથી સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ પાડે છે. હવે,મીણબત્તી અને લેન્સને એવી રીતે ખસેડવામાં આવે છે કે જેથી દીવાલ પર એકમ મોટવણીવાળું સ્પષ્ટ ઉલટું પ્રતિબિંબ રચાય. આ ગોઠવણી પ્રાપ્ત કરવા માટે,મીણબત્તીને ખસેડવામાં આવી હતી

$f_V$ અને $f_R$ એ અનુક્રમે જાંબલી અને લાલ પ્રકાશ માટે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $F_V$ અને $F_R$ એ અનુક્રમે જાંબલી અને લાલ પ્રકાશ માટે અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે,તો: