Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(C) $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए वृत्ताकार चालक की त्रिज्या $R$ है। सेल से आने वाली धारा $I$ दो भागों में विभाजित हो जाती है,$I_1$ (चाप $ABC$ में) और $I_2$ (चाप $ADC$ में)।
चाप का प्रतिरोध उसकी लंबाई के समानुपाती होता है,जो केंद्र पर बने कोण के समानुपाती होता है। चाप $ABC$ के लिए कोण $\theta_1 = 300^o$ और चाप $ADC$ के लिए कोण $\theta_2 = 60^o$ है।
चूंकि चाप समानांतर में हैं,उनके बीच विभवांतर $V$ समान होगा: $V = I_1 R_1 = I_2 R_2$,जहाँ $R_1 \propto \theta_1$ और $R_2 \propto \theta_2$ है।
अतः,$I_1 \theta_1 = I_2 \theta_2$,जिसका अर्थ है $I_1 (300^o) = I_2 (60^o)$,या $I_1 = \frac{I_2}{5}$।
चाप $ABC$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1 \theta_1}{4 \pi R}$ है और चाप $ADC$ के कारण $B_2 = \frac{\mu_0 I_2 \theta_2}{4 \pi R}$ है।
अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{I_1 \theta_1}{I_2 \theta_2}$ है।
$I_1 \theta_1 = I_2 \theta_2$ का मान रखने पर,हमें $\frac{B_1}{B_2} = \frac{I_2 \theta_2}{I_2 \theta_2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) धारावाही कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार दिया जाता है:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} n i r^{2}}{2(r^{2} + x^{2})^{3/2}}$
केंद्र पर,$x = 0$,अतः चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{c} = \frac{\mu_{0} n i}{2r}$
अनुपात लेने पर:
$\frac{B_{c}}{B_{a}} = \frac{\mu_{0} n i}{2r} \times \frac{2(r^{2} + x^{2})^{3/2}}{\mu_{0} n i r^{2}} = \frac{(r^{2} + x^{2})^{3/2}}{r^{3}}$
दिया गया है $B_{c} = 5\sqrt{5} B_{a}$,अतः:
$5\sqrt{5} = \frac{(r^{2} + x^{2})^{3/2}}{r^{3}}$
$r = 10 \, cm$ रखने पर:
$5\sqrt{5} = \frac{(100 + x^{2})^{3/2}}{1000}$
$5000\sqrt{5} = (100 + x^{2})^{3/2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(5000)^{2} \times 5 = (100 + x^{2})^{3}$
$125 \times 10^{6} = (100 + x^{2})^{3}$
घनमूल लेने पर:
$500 = 100 + x^{2}$
$x^{2} = 400$
$x = 20 \, cm$

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$I = 50 \, A$
$r = 2.5 \, m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 50}{2 \pi \times 2.5}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 50}{2.5}$
$B = \frac{100 \times 10^{-7}}{2.5} = 40 \times 10^{-7} = 4 \times 10^{-6} \, T$
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार, यदि धारा उत्तर से दक्षिण की ओर बहती है और बिंदु तार के पूर्व में है, तो चुंबकीय क्षेत्र की दिशा लंबवत ऊपर की ओर (क्षैतिज तल से बाहर) होगी।

(B) $n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
दिया गया है:
फेरों की संख्या,$n = 100$
त्रिज्या,$r = 8.0 \, cm = 0.08 \, m$
धारा,$I = 0.40 \, A$
निर्वात की पारगम्यता,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 0.40}{2 \times 0.08}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 40}{0.16}$
$B = \frac{160\pi \times 10^{-7}}{0.16}$
$B = 1000\pi \times 10^{-7} \, T = \pi \times 10^{-4} \, T$
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $\pi \times 10^{-4} \, T$ है।

(A) लंबे सीधे तार से प्रवाहित होने वाली धारा $I = 35\, A$ है।
तार से बिंदु की दूरी $r = 20\, cm = 0.2\, m$ है।
एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}\, T \cdot m/A) \times 35\, A}{2 \pi \times 0.2\, m}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 35}{0.2}\, T$
$B = \frac{70 \times 10^{-7}}{0.2}\, T$
$B = 350 \times 10^{-7}\, T = 3.5 \times 10^{-5}\, T$.

(C) एक लंबे सीधे चालक के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$X$-अक्ष पर $I_1$ धारा ले जाने वाले चालक के लिए,$(x, y)$ बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y}$ है।
$Y$-अक्ष पर $I_2$ धारा ले जाने वाले चालक के लिए,$(x, y)$ बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$ है।
नेट चुंबकीय क्षेत्र को शून्य होने के लिए,चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण समान और दिशा विपरीत होनी चाहिए: $B_1 = B_2$.
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$
$\frac{I_1}{y} = \frac{I_2}{x}$
$Y$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $Y = \frac{I_1}{I_2} X$ प्राप्त होता है।

(B) अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$9 \text{ A}$ धारा ले जाने वाले तार के लिए (ऊपर की ओर),बिंदु $M$ दाईं ओर $r_1 = 2 \text{ m}$ की दूरी पर है। दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा कागज के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
$B_1 = \frac{\mu_0 (9)}{2\pi (2)} = \frac{9\mu_0}{4\pi} \otimes$.
$3 \text{ A}$ धारा ले जाने वाले तार के लिए (नीचे की ओर),बिंदु $M$ दाईं ओर $r_2 = 4 + 2 = 6 \text{ m}$ की दूरी पर है। दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा कागज के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
$B_2 = \frac{\mu_0 (3)}{2\pi (6)} = \frac{3\mu_0}{12\pi} = \frac{\mu_0}{4\pi} \otimes$.
चूंकि दोनों चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में (कागज के अंदर) हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ होगा:
$B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{9\mu_0}{4\pi} + \frac{\mu_0}{4\pi} = \frac{10\mu_0}{4\pi} = \frac{5\mu_0}{2\pi} \otimes$.

(A) बिंदु $P$ पर $\theta_1$ और $\theta_2$ कोण बनाने वाले $I$ धारावाही परिमित तार से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0}I}{{4\pi d}}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में,तार अर्ध-अनंत है,जिसका अर्थ है कि एक सिरा $P$ के तार पर लंबवत प्रक्षेप पर है (कोण $\theta_1 = 0^\circ$) और दूसरा सिरा अनंत तक फैला हुआ है (कोण $\theta_2 = 90^\circ$)।
हालाँकि,आरेख में दी गई ज्यामिति के अनुसार,कोण $\theta$ को लंबवत और तार के परिमित सिरे को $P$ से जोड़ने वाली रेखा के बीच परिभाषित किया गया है।
अतः,कोण $\theta_1 = \theta$ और $\theta_2 = 90^\circ$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $B_p = \frac{{\mu _0}I}{{4\pi d}}(\sin \theta + \sin 90^\circ)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 90^\circ = 1$,इसलिए व्यंजक $B_p = \frac{{\mu _0}I}{{4\pi d}}(\sin \theta + 1)$ बन जाता है।

(B) बायो-सावर्ट का नियम बताता है कि धारा अवयव $I d\vec l$ के कारण स्थिति सदिश $\vec r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $d\vec B$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec l \times \vec r}{r^3}$.
इस सदिश गुणनफल में,क्रॉस प्रोडक्ट का क्रम $d\vec l \times \vec r$ है। चूंकि क्रॉस प्रोडक्ट एंटी-कम्यूटेटिव होता है (अर्थात,$\vec A \times \vec B = -(\vec B \times \vec A)$),इसलिए दिशा विशेष रूप से $I d\vec l \times \vec r$ पद द्वारा निर्धारित होती है। अतः,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(C) तार की कुल लंबाई $L$,लूप की परिधि और फेरों की संख्या $n$ के गुणनफल के बराबर होती है: $L = n(2\pi R)$।
इससे,त्रिज्या $R = \frac{L}{2\pi n}$ प्राप्त होती है।
$n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = n \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $R$ का मान रखने पर: $B = n \left( \frac{\mu_0 I}{2(L / 2\pi n)} \right)$।
व्यंजक को सरल करने पर: $B = n \left( \frac{\mu_0 I \cdot 2\pi n}{2L} \right) = \frac{\mu_0 I \cdot 2\pi n^2}{2L} = \frac{\mu_0 I \cdot \pi n^2}{L}$।
दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए,$4\pi$ से गुणा और भाग करने पर: $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{4\pi^2 n^2}{L}$।

(D) $N$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{N \mu_0 I}{2r}$।
दिया गया है: $N = 50$,$r = 4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$,$I = 2 \text{ A}$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$।
मान रखने पर:
$B = \frac{50 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 2}{2 \times 4 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{50 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 2}{8 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{400\pi \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-2}}$
$B = 50\pi \times 10^{-5} \text{ T}$
$B = 50 \times 3.14159 \times 10^{-5} \text{ T} \approx 1.57 \times 10^{-3} \text{ T}$।
चूंकि $1 \text{ mT} = 10^{-3} \text{ T}$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $1.57 \text{ mT}$ है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले और केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में,तीन चाप हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r, 2r$ और $3r$ हैं,जो सभी बिंदु $O$ पर समान कोण $\theta$ बनाते हैं।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$r$ त्रिज्या वाले चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र कागज के अंदर की ओर,$2r$ त्रिज्या वाले चाप के कारण बाहर की ओर और $3r$ त्रिज्या वाले चाप के कारण अंदर की ओर निर्देशित होता है।
मान लीजिए $B_1, B_2, B_3$ क्रमशः $r, 2r, 3r$ त्रिज्या वाले चापों के कारण चुंबकीय क्षेत्र हैं।
$B_1 = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$ (अंदर की ओर)
$B_2 = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi (2r)} = \frac{\mu_0 I \theta}{8 \pi r}$ (बाहर की ओर)
$B_3 = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I \theta}{12 \pi r}$ (अंदर की ओर)
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2 + B_3$ होगा।
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi} \left[ \frac{1}{r} - \frac{1}{2r} + \frac{1}{3r} \right]$
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} \left[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right]$
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} \left[ \frac{6 - 3 + 2}{6} \right] = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} \left[ \frac{5}{6} \right] = \frac{5 \mu_0 I \theta}{24 \pi r}$.

(C) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ दूरी से अलग दो तारों के लिए,प्रत्येक तार से मध्य बिंदु की दूरी $r = R/2$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,मध्य बिंदु पर दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में (कागज के तल के अंदर) होता है।
इसलिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र दोनों तारों के क्षेत्रों का योग है:
$B_{total} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (R/2)} + \frac{\mu_0 I}{2\pi (R/2)}$
$B_{total} = \frac{\mu_0 I}{\pi R} + \frac{\mu_0 I}{\pi R} = \frac{2\mu_0 I}{\pi R}$.

(A) अनंत लंबे तार के कारण $a$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$ होता है। इसकी दिशा दाएं हाथ के नियम से ज्ञात की जाती है।
$1$. धनात्मक $x$-अक्ष के तार के लिए: बिंदु $(0, 0, -a)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \hat{j}$ होगा।
$2$. धनात्मक $y$-अक्ष के तार के लिए: बिंदु $(0, 0, -a)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} (-\hat{i})$ होगा।
$3$. धनात्मक $z$-अक्ष के तार के लिए: बिंदु $(0, 0, -a)$ तार की अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_3 = 0$ होगा।
$4$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{net} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3 = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} (\hat{j} - \hat{i})$ होगा।

(C) बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र तार के चारों खंडों के कारण चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. खंड $1$ और $3$ के लिए,बिंदु $O$ तार की अक्ष पर स्थित है। इसलिए,इन खंडों के कारण चुंबकीय क्षेत्र $0$ है।
$2$. वृत्ताकार चाप खंडों $2$ और $4$ के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta = \alpha$ केंद्र पर बना कोण है।
$3$. दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए:
- चाप $2$ (त्रिज्या $R_2$) के लिए,धारा उस दिशा में बहती है जो कागज के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
- चाप $4$ (त्रिज्या $R_1$) के लिए,धारा उस दिशा में बहती है जो कागज के बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
$4$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$:
$B_{net} = B_4 - B_2 = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi R_1} - \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi R_2}$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

(B) एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2I}{r}$
दिया गया है:
धारा $I = 100\, A$
दूरी $r = 4\, m$
पारगम्यता स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\, T\, m A^{-1}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 100}{4} = 10^{-7} \times 50 = 5 \times 10^{-6}\, T$
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि धारा पश्चिम से पूर्व की ओर बहती है,तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर गोलाकार होती हैं। तार के ठीक नीचे,चुंबकीय क्षेत्र दक्षिण दिशा की ओर निर्देशित होता है।

(B) वर्गाकार लूप को बिंदुओं $P$ और $S$ के बीच दो समानांतर पथों में विभाजित किया गया है। एक पथ स्वयं भुजा $PS$ है, और दूसरा पथ भुजाओं $PQ$, $QR$ और $RS$ का श्रेणी संयोजन है।
चूंकि तार समान है, इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध उसकी लंबाई के समानुपाती होता है। मान लीजिए भुजा की लंबाई $a$ है। पथ $PS$ का प्रतिरोध $R_1 = \lambda a$ है, और पथ $PQRS$ का प्रतिरोध $R_2 = 3\lambda a$ है, जहाँ $\lambda$ प्रति इकाई लंबाई का प्रतिरोध है।
बायो-सावर्ट नियम के अनुसार, $I$ धारा ले जाने वाले $L$ लंबाई के सीधे तार के टुकड़े के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $d$ केंद्र से तार की लंबवत दूरी है।
वर्गाकार लूप के लिए, धारा $P$ पर विभाजित होती है और $S$ पर फिर से जुड़ जाती है। पथ $PQRS$ द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र खंडों $PQ$, $QR$ और $RS$ द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है। समरूपता और धारा के प्रवाह की दिशा के कारण, पथ $PQRS$ द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र, पथ $PS$ द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के बराबर और विपरीत दिशा में होता है।
इसलिए, लूप के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।

(B) $O$ से गुजरने वाली अक्ष पर स्थित सीधे तार के खंड के कारण बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 0$ है क्योंकि बिंदु $O$ तार की अक्ष पर स्थित है।
दूसरे तार खंड के लिए, बिंदु $O$ से तार की लंबवत दूरी $d = r \sin 45^{\circ} = \frac{r}{\sqrt{2}}$ है।
सीमित तार खंड के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, एक सिरा अनंत पर है $(\theta_1 = 90^{\circ})$ और दूसरा सिरा लंबवत के साथ $\theta_2 = 45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
अतः, $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (r/\sqrt{2})} (\sin 90^{\circ} - \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{4 \pi r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sqrt{2} - 1)$.
$O$ पर कुल चुंबकीय प्रेरण $B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sqrt{2} - 1)$ है।

(B) माना तार की लंबाई $\ell$ है।
एक फेरे वाली कुंडली के लिए,जिसकी त्रिज्या $r$ है,परिधि $2\pi r = \ell$ है,इसलिए $r = \frac{\ell}{2\pi}$।
केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{\mu_0 I}{2(\ell / 2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{\ell}$ है।
दो फेरों वाली कुंडली के लिए,जिसकी त्रिज्या $r'$ है,कुल लंबाई $2(2\pi r') = \ell$ है,इसलिए $r' = \frac{\ell}{4\pi}$।
$N=2$ फेरों के लिए केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $B_2 = \frac{N \mu_0 I}{2r'} = \frac{2 \mu_0 I}{2(\ell / 4\pi)} = \frac{4 \mu_0 I \pi}{\ell}$ है।
दो फेरों वाली कुंडली और एक फेरे वाली कुंडली के चुंबकीय प्रेरण का अनुपात $\frac{B_2}{B_1} = \frac{4 \mu_0 I \pi / \ell}{\mu_0 I \pi / \ell} = \frac{4}{1}$ है।

(B) जब एक ऋण आवेश दक्षिणावर्त दिशा में घूमता है,तो यह वामावर्त दिशा में बहने वाली धनात्मक धारा के समतुल्य होता है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,इस धारा लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल से बाहर की ओर निर्देशित होगा।
यह रिंग को एक चुंबकीय द्विध्रुव के रूप में कार्य करने के लिए प्रेरित करता है जिसका उत्तरी ध्रुव प्रेक्षक की ओर (तल से बाहर) होता है।
रिंग के ऊपर रखे छोटे चुंबक का दक्षिणी ध्रुव रिंग के उत्तरी ध्रुव के सामने है।
चूंकि विपरीत ध्रुव एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,इसलिए छोटे चुंबक का दक्षिणी ध्रुव रिंग द्वारा निर्मित समतुल्य चुंबकीय द्विध्रुव के उत्तरी ध्रुव की ओर आकर्षित होगा।
जैसे-जैसे रिंग घूमती है,चुंबकीय क्षेत्र का वितरण बदलता है,जिससे छोटे चुंबक पर एक टॉर्क लगता है,जिसके परिणामस्वरूप नीचे से देखने पर चुंबक दक्षिणावर्त दिशा में घूमता है।

(B) $O$ बिंदु पर स्थित तार के खंड (खंड $1$ और $4$) $O$ बिंदु पर शून्य चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं क्योंकि $O$ बिंदु उनकी अक्ष पर स्थित है।
दो लंबवत खंडों (खंड $2$ और $3$) के लिए,प्रत्येक $O$ बिंदु से $r$ दूरी पर एक अर्ध-अनंत तार के रूप में कार्य करता है।
$r$ लंबवत दूरी पर एक अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,खंड $2$ और $3$ दोनों $O$ बिंदु पर बाहर की ओर (जिसे $\odot$ द्वारा दर्शाया गया है) चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
इसलिए,$O$ बिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{2\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \odot$ है।

(A) सीमित लंबाई के तार के कारण लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi r}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ है।
वैकल्पिक रूप से,तार के साथ कोणों $\alpha_1$ और $\alpha_2$ का उपयोग करते हुए,सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi r}(\cos \alpha_1 - \cos \alpha_2)$ है।
आरेख से,$P$ से तार की लंबवत दूरी $r = a \sin 30^{\circ} = a/2$ है।
कोण $\alpha_1 = 30^{\circ}$ और $\alpha_2 = 60^{\circ}$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2)}(\cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ})$.
$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi a}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{\mu_0 i}{4\pi a}(\sqrt{3} - 1) \odot $.

(A) बिंदु $C$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र तीन भागों के कारण चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है: सीधा तार $AB$, क्वार्टर-वृत्ताकार चाप $BC$, और $C$ से शुरू होने वाला अर्ध-अनंत सीधा तार।
$1$. तार से $R$ दूरी पर स्थित सीधे तार $AB$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} (\sin 45^\circ + \sin 0^\circ) = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \otimes$
$2$. $R$ त्रिज्या वाले क्वार्टर-वृत्ताकार चाप $BC$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 i}{8R} = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \times \frac{\pi}{2} \otimes$
$3$. $C$ से शुरू होने वाले अर्ध-अनंत सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} (\sin 90^\circ + \sin 0^\circ) = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \otimes$
चूंकि सभी क्षेत्र तल के अंदर की दिशा $(\otimes)$ में हैं, इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{\text{net}} = B_1 + B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{2} + 1 \right] \otimes$

(A) मूल बिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र तार के विभिन्न खंडों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है: $\overrightarrow{B}_{0} = \overrightarrow{B}_{1} + \overrightarrow{B}_{2} + \overrightarrow{B}_{3}$।
खंड $1$ एक अर्ध-अनंत सीधा तार है जो $y$-अक्ष पर मूल बिंदु की ओर $i$ धारा ले जा रहा है। इस खंड के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}_{1} = \frac{\mu_{0} i}{4 \pi r} (-\hat{i})$ है।
खंड $2$ $xy$-तल में $r$ त्रिज्या का एक चौथाई वृत्ताकार चाप है। एक पूर्ण वृत्ताकार लूप के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $\frac{\mu_{0} i}{2r}$ होता है। एक चौथाई वृत्त के लिए,यह $\frac{1}{4} \times \frac{\mu_{0} i}{2r} = \frac{\mu_{0} i}{8r}$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दिशा $(-\hat{k})$ की ओर है।
खंड $3$ मूल बिंदु से गुजरने वाला एक सीधा तार है,इसलिए इसके कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}_{3} = 0$ है।
इनका योग करने पर,$\overrightarrow{B}_{0} = -\frac{\mu_{0} i}{4r} \left[ \frac{\hat{i}}{\pi} + \frac{\hat{k}}{2} \right]$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\overrightarrow{B}_{0} = -\frac{\mu_{0} i}{4r} \left[ \frac{\hat{i}}{\pi} + \frac{\hat{j}}{2} \right]$ है।

(A) त्रिज्या वाले और समान अनुप्रस्थ काट वाले लंबे सीधे बेलनाकार चालक से बहने वाली स्थिर धारा $I$ के लिए:
$1$. चालक के अंदर $(r < a)$: चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ है। यह दर्शाता है कि $B \propto r$,जो मूल बिंदु ($r=0$ पर $B=0$) से शुरू होने वाला एक रैखिक संबंध है।
$2$. चालक के बाहर $(r > a)$: चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ है। यह दर्शाता है कि $B \propto \frac{1}{r}$,जो एक हाइपरबोलिक (व्युत्क्रम) संबंध है।
$3$. सतह पर $(r = a)$: चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है,$B_{max} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए ग्राफ से करने पर,विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ $r < a$ के लिए रैखिक वृद्धि और $r > a$ के लिए हाइपरबोलिक गिरावट को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) $I_c$ धारा प्रवाहित करने वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{loop} = \frac{\mu_0 I_c}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_e$ धारा प्रवाहित करने वाले लंबे सीधे तार से $H$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 I_e}{2 \pi H}$ द्वारा दिया जाता है।
लूप के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,इन दोनों क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$B_{loop} = B_{straight}$
$\frac{\mu_0 I_c}{2R} = \frac{\mu_0 I_e}{2 \pi H}$
$H$ के लिए हल करने पर:
$\frac{I_c}{R} = \frac{I_e}{\pi H}$
$H = \frac{I_e R}{\pi I_c}$

(B) स्थिर धारा $I$ ले जाने वाले बेलनाकार तार के लिए:
$1$. तार के अंदर,स्थिर धारा बनाए रखने के लिए विद्युत क्षेत्र $E = J/\sigma$ (जहाँ $J$ धारा घनत्व है और $\sigma$ चालकता है) मौजूद होता है। अतः,अक्ष पर विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है।
$2$. एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,अक्ष से $r$ दूरी पर $(r < R)$ चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$ द्वारा दिया जाता है। अक्ष पर $r = 0$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B = 0$ होता है।
$3$. तार के बाहर (निकटवर्ती क्षेत्र में),विद्युत क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि तार विद्युत रूप से उदासीन होता है। हालाँकि,बाहर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है,जो शून्य नहीं है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(B) विद्युत धारावाही वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा समान रहती है,हालांकि इसका परिमाण बदलता रहता है। इसलिए,अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ हमेशा धनात्मक रहता है।
परिणामस्वरूप,ग्राफ $(3)$ और $(4)$ गलत हैं क्योंकि वे चुंबकीय क्षेत्र के लिए ऋणात्मक मान दर्शाते हैं।
वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0} N i a^{2}}{2(a^{2} + x^{2})^{3/2}}$
जहाँ $a$ कुंडली की त्रिज्या है,$N$ फेरों की संख्या है और $i$ विद्युत धारा है।
मूल बिंदु $(x = 0)$ पर,चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है:
$B = \frac{\mu_{0} N i}{2a}$
जैसे-जैसे $x \rightarrow \pm \infty$,चुंबकीय क्षेत्र $B \rightarrow 0$ होता है।
ग्राफ की ढाल अवकलन द्वारा प्राप्त की जाती है:
$\frac{dB}{dx} = -\frac{3 \mu_{0} N i a^{2} x}{2(a^{2} + x^{2})^{5/2}}$
$x = 0$ पर,ढाल $\frac{dB}{dx} = 0$ होती है। इसका अर्थ है कि $x = 0$ पर ग्राफ की स्पर्श रेखा $x-$ अक्ष के समानांतर है,जो स्थानीय अधिकतम मान को इंगित करती है।
इस व्यवहार की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $(2)$ $x-$ अक्ष के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) $I$ धारा वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $R$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ चाल से गति करता है,इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{2\pi R}{v}$ है।
तुल्य धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi R}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0}{2R} \left( \frac{ev}{2\pi R} \right) = \frac{\mu_0 ev}{4\pi R^2}$ प्राप्त होता है।
$R^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $R^2 = \frac{\mu_0 ev}{4\pi B}$।
अतः,$R \propto \sqrt{\frac{v}{B}}$।

(D) तार के अंदर $r < a$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 i r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = a/2$ पर, चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i (a/2)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi a}$ है।
तार के बाहर $r > a$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = 2a$ पर, चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (2a)} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi a}$ है।
$a/2$ और $2a$ पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 i / 4 \pi a}{\mu_0 i / 4 \pi a} = 1$ है।

(A) $I_c$ धारा ले जाने वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{loop} = \frac{\mu_0 I_c}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_e$ धारा ले जाने वाले लंबे सीधे तार से $H$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 I_e}{2\pi H}$ द्वारा दिया जाता है।
लूप के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,इन दोनों चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण समान होना चाहिए और उनकी दिशाएं विपरीत होनी चाहिए।
परिमाणों की तुलना करने पर:
$\frac{\mu_0 I_c}{2R} = \frac{\mu_0 I_e}{2\pi H}$
$H$ के लिए हल करने पर:
$\frac{I_c}{R} = \frac{I_e}{\pi H}$
$H = \frac{I_e R}{\pi I_c}$

(B) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,$I$ धारा वहन करने वाली $r$ त्रिज्या की एक वृत्ताकार कुंडली के केंद्र से $R$ दूरी पर उसके अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
यहाँ,$\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$I$ धारा है,$r$ कुंडली की त्रिज्या है और $R$ कुंडली के केंद्र से अक्षीय दूरी है।

(D) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के लिए,केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी $r = a/2$ है।
केंद्र पर बनने वाले कोण $\theta_1 = 45^{\circ}$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi a}$ है।
चूंकि $4$ समान भुजाएं हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi a} = 2\sqrt{2} \frac{\mu_0 I}{\pi a}$ है।
पुनः गणना करने पर: $B = 4 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (2 \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{\pi a} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \frac{\mu_0 I}{\pi a}$।

(D) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $d$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ भुजा वाली वर्गाकार कुंडली के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की दूरी $d = a/2$ है।
केंद्र पर बने कोण $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ (या $\pi/4$ रेडियन) हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{side}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi (a/2)}(\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}(\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}\mu_0 I}{2\pi a} = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2}\pi a}$ है।
चूंकि $4$ समान भुजाएं हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{total}} = 4 \times B_{\text{side}} = 4 \times \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2}\pi a} = \frac{4}{\sqrt{2}} \frac{\mu_0 I}{\pi a} = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi a}$ होगा।

(C) $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार कुंडली के केंद्र से बड़ी दूरी $(x \gg R)$ पर उसकी अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2 x^{3}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली की त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है:
$B \propto R^{2}$
यदि त्रिज्या $R$ को दोगुना कर दिया जाए $(R' = 2R)$,तो नया चुंबकीय क्षेत्र $B'$ होगा:
$B' \propto (2R)^{2} = 4R^{2}$
अतः,$B' = 4B$.
इस प्रकार,चुंबकीय क्षेत्र अपने मूल मान का चार गुना हो जाएगा।

(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $idl$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{idl \sin \theta}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
तार के सीधे हिस्सों के लिए,धारा अवयव और केंद्र $O$ को जोड़ने वाले स्थिति सदिश के बीच का कोण $\theta$ या तो $0^{\circ}$ है या $180^{\circ}$ है। चूंकि $\sin(0^{\circ}) = 0$ और $\sin(180^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए सीधे हिस्से केंद्र $O$ पर शून्य चुंबकीय क्षेत्र का योगदान करते हैं।
अर्धवृत्ताकार भाग के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $r$ त्रिज्या वाले पूर्ण वृत्ताकार लूप द्वारा उत्पन्न क्षेत्र का आधा होता है। एक पूर्ण वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ होता है।
इसलिए,अर्धवृत्त के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{semi} = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right) = \frac{\mu_0 i}{4r}$ होगा।
इसे $\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{\pi i}{r} \text{ tesla}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

(A) जब विपरीत दिशाओं में धारा ले जाने वाले दो तारों को एक साथ मरोड़ा जाता है,तो एक तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र आसपास के स्थान में किसी भी बिंदु पर दूसरे तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के बराबर और विपरीत होता है।
परिणामस्वरूप,मरोड़े गए तारों के जोड़े के बाहर किसी भी बिंदु पर शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र प्रभावी रूप से शून्य होता है।
यदि तारों को मरोड़ा नहीं जाता है,तो वे एक लूप बनाते हैं जो एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है,जो पास के संवेदनशील इलेक्ट्रॉनिक घटकों या परिपथों में विद्युत चुम्बकीय हस्तक्षेप $(EMI)$ का कारण बन सकता है।
इसलिए,तारों को मरोड़ने से चुंबकीय फ्लक्स कम हो जाता है और आस-पास के परिपथों में अवांछित प्रेरण को रोकता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण कथन की सही व्याख्या है।

(D) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार चाप,जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है और जो केंद्र पर $\phi$ कोण बनाता है,के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\phi}{2\pi} \cdot \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई कुंडली के लिए,धारा $I$,$\theta$ और $(2\pi - \theta)$ कोण बनाने वाले चाप पर $I_1$ और $I_2$ में विभाजित हो जाती है।
चाप $I_1$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ है (कागज के अंदर की ओर)।
चाप $I_2$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{2\pi - \theta}{2\pi} \cdot \frac{\mu_0 I_2}{2R}$ है (कागज के बाहर की ओर)।
कुल चुंबकीय क्षेत्र के शून्य होने के लिए,$B_1 = B_2$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\theta I_1 = (2\pi - \theta) I_2$।
यह स्थिति केवल $I_1 = I_2$ होने से संतुष्ट नहीं होती है,जब तक कि $\theta = \pi$ न हो (अर्थात,धारा दो अर्धवृत्तों में विभाजित हो)। इसलिए,कथन सामान्यतः गलत है,और कारण भी गलत है क्योंकि जब तक ज्यामिति सममित न हो,$I_1 = I_2$ शून्य क्षेत्र की गारंटी नहीं देता है।

(A) जंक्शन पर धारा $i$,$i_1$ और $i_2$ में विभाजित हो जाती है। चूंकि दोनों चाप समानांतर हैं,इसलिए उनके बीच विभवांतर समान है। अतः,$i_1 R_1 = i_2 R_2$,जहाँ $R_1$ और $R_2$ चापों के प्रतिरोध हैं। चूंकि $R \propto \text{लंबाई} \propto \theta$,इसलिए $i_1 \theta_1 = i_2 \theta_2$ है। $\theta_1 = 90^\circ = \pi/2$ और $\theta_2 = 270^\circ = 3\pi/2$ दिए गए हैं,जिससे $i_1(\pi/2) = i_2(3\pi/2)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $i_2 = 3i_1$। चूंकि $i_1 + i_2 = i$ है,इसलिए $i_1 + 3i_1 = i$,जिससे $i_1 = i/4$ और $i_2 = 3i/4$ प्राप्त होता है।
$ heta$ कोण वाले चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi R}$ होता है।
ऊपरी चाप के लिए (कोण $270^\circ = 3\pi/2$): $B_1 = \frac{\mu_0 i_1 (3\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{3 \mu_0 i_1}{8 R} = \frac{3 \mu_0 (i/4)}{8 R} = \frac{3 \mu_0 i}{32 R}$ (अंदर की ओर)।
निचले चाप के लिए (कोण $90^\circ = \pi/2$): $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 (\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 i_2}{8 R} = \frac{\mu_0 (3i/4)}{8 R} = \frac{3 \mu_0 i}{32 R}$ (बाहर की ओर)।
चूंकि $B_1$ और $B_2$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए केंद्र $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ है।

(N/A) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $Idl$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $dB$ का मान है:
$|dB| = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}$
दिए गए मान:
$dl = \Delta x = 1 \; cm = 10^{-2} \; m$
$I = 10 \; A$
$r = 0.5 \; m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \; T \cdot m/A$
चूंकि अवयव $x$-अक्ष पर है और बिंदु $y$-अक्ष पर है,इसलिए कोण $\theta = 90^{\circ}$ है,अतः $\sin \theta = 1$.
मान रखने पर:
$|dB| = \frac{10^{-7} \times 10 \times 10^{-2}}{(0.5)^2}$
$|dB| = \frac{10^{-8}}{0.25} = 4 \times 10^{-8} \; T$
क्षेत्र की दिशा $dl \times r$ के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा निर्धारित होती है। चूंकि $dl = \Delta x \hat{i}$ और स्थिति सदिश $r = y \hat{j}$ है,इसलिए दिशा $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ होगी। अतः,चुंबकीय क्षेत्र $+z$-दिशा में है।

(N/A) सीधे खंडों के लिए,प्रत्येक बिंदु पर धारा अवयव $dl$ और स्थिति सदिश $r$ एक-दूसरे के समानांतर हैं। बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(dl \times r)}{r^3}$। चूंकि $dl \times r = 0$,इसलिए सीधे खंड केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोई योगदान नहीं देते हैं।
$(b)$ अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,सभी धारा अवयवों $dl$ का योगदान एक ही दिशा में (कागज के तल के लंबवत,अंदर की ओर) होता है। इस प्रकार,वे परिमाण में जुड़ जाते हैं। एक पूर्ण वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_{loop} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है। अर्धवृत्त के लिए,परिमाण इसका ठीक आधा होता है,यानी $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$।
दिया गया है $I = 12\; A$ और $R = 2.0 \times 10^{-2}\; m$,$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 12}{4 \times 2.0 \times 10^{-2}} = 1.884 \times 10^{-4}\; T \approx 1.9 \times 10^{-4}\; T$। दिशा कागज के तल के लंबवत,अंदर की ओर है।
$(c)$ हाँ,$B$ का परिमाण समान रहता है $(1.9 \times 10^{-4}\; T)$,लेकिन दिशा उलट जाती है (कागज के तल से बाहर की ओर) क्योंकि धारा विपरीत दिशा में बहती है।

(C) $N$ फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2 R}$
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 100$
त्रिज्या $R = 10 \; cm = 0.1 \; m$
धारा $I = 1 \; A$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \; T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 1}{2 \times 0.1}$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-5}}{0.2}$
$B = 2 \pi \times 10^{-4} \; T$
$B \approx 6.28 \times 10^{-4} \; T$

(B) वृत्ताकार कुंडली में फेरों की संख्या,$n = 100$.
प्रत्येक फेरे की त्रिज्या,$r = 8.0 \; cm = 0.08 \; m$.
कुंडली में प्रवाहित धारा,$I = 0.40 \; A$.
कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \; T \cdot m/A) \times 100 \times 0.40}{2 \times 0.08 \; m}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 40}{0.16}$
$B = \frac{160\pi \times 10^{-7}}{0.16} = 1000\pi \times 10^{-7} = \pi \times 10^{-4} \; T$
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = 3.14 \times 10^{-4} \; T$.

(C) तार में प्रवाहित धारा,$I = 35 \; A$.
तार से बिंदु की दूरी,$r = 20 \; cm = 0.2 \; m$.
एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2I}{r}$
जहाँ $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \; T \cdot m/A$.
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 35}{0.2}$
$B = 10^{-7} \times \frac{70}{0.2}$
$B = 10^{-7} \times 350$
$B = 3.5 \times 10^{-5} \; T$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $3.5 \times 10^{-5} \; T$ है।

(D) तार में प्रवाहित धारा,$I = 50 \; A$.
बिंदु तार से पूर्व दिशा में $2.5 \; m$ की दूरी पर स्थित है।
अतः,तार से बिंदु की दूरी $r = 2.5 \; m$ है।
एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 (2I)}{4 \pi r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 50}{2 \pi \times 2.5}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 50}{2.5}$
$B = \frac{100 \times 10^{-7}}{2.5} = 40 \times 10^{-7} = 4 \times 10^{-6} \; T$.
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि धारा उत्तर से दक्षिण की ओर बहती है,तो तार के पूर्व में स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर होती है।

(A) पावर लाइन में धारा,$I = 90 \;A$ है।
बिंदु पावर लाइन के नीचे $r = 1.5 \;m$ की दूरी पर स्थित है।
लंबे सीधे धारावाही तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 90}{2 \pi \times 1.5}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 90}{1.5} = 1.2 \times 10^{-5} \;T$ है।
धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बह रही है। दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि आप अपने अंगूठे को धारा की दिशा (पश्चिम) में रखते हैं,तो आपकी उंगलियां तार के चारों ओर मुड़ती हैं। तार के नीचे,उंगलियां दक्षिण दिशा की ओर इशारा करती हैं। अतः,चुंबकीय क्षेत्र की दिशा दक्षिण की ओर है।

(C) कुंडली $X$ की त्रिज्या,$r_{1} = 16\; cm = 0.16\; m$.
कुंडली $Y$ की त्रिज्या,$r_{2} = 10\; cm = 0.1\; m$.
कुंडली $X$ में फेरों की संख्या,$n_{1} = 20$.
कुंडली $Y$ में फेरों की संख्या,$n_{2} = 25$.
कुंडली $X$ में धारा,$I_{1} = 16\; A$.
कुंडली $Y$ में धारा,$I_{2} = 18\; A$.
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_{0} n I}{2 r}$ है।
कुंडली $X$ के लिए,$B_{1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 20 \times 16}{2 \times 0.16} = 4\pi \times 10^{-4}\; T$ (पूर्व की ओर)।
कुंडली $Y$ के लिए,$B_{2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 25 \times 18}{2 \times 0.10} = 9\pi \times 10^{-4}\; T$ (पश्चिम की ओर)।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{2} - B_{1} = (9\pi - 4\pi) \times 10^{-4} = 5\pi \times 10^{-4}\; T$ होगा।
$B \approx 1.57 \times 10^{-3}\; T$ (पश्चिम की ओर)।

(A) वृत्ताकार कुंडली की त्रिज्या $= R$
कुंडली पर फेरों की संख्या $= N$
कुंडली में धारा $= I$
अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र,
$B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$
जहाँ,$\mu_{0} =$ निर्वात की पारगम्यता (permeability).
$(a)$ यदि कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र पर विचार किया जाए,तो $x=0$.
$\therefore B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2 R^{3}}=\frac{\mu_{0} I N}{2 R}$
यह कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिचित परिणाम है।
$(b)$ दो समानांतर समाक्षीय कुंडलियों की त्रिज्या $= R$. प्रत्येक पर फेरे $= N$. दोनों में धारा $= I$. बीच की दूरी $= R$.
मध्य-बिंदु से $d$ दूरी पर बिंदु $Q$ लें। एक कुंडली $Q$ से $\frac{R}{2}+d$ दूरी पर और दूसरी $\frac{R}{2}-d$ दूरी पर है।
बिंदु $Q$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{1} + B_{2}$.
$B = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2} \left[ \left( (\frac{R}{2}+d)^{2} + R^{2} \right)^{-3/2} + \left( (\frac{R}{2}-d)^{2} + R^{2} \right)^{-3/2} \right]$
$d \ll R$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करने और $d/R$ के उच्च घात वाले पदों को उपेक्षित करने पर:
$B \approx \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2} \left( \frac{5R^{2}}{4} \right)^{-3/2} \left[ (1 - \frac{4d}{5R})^{-3/2} + (1 + \frac{4d}{5R})^{-3/2} \right]$
$(1+x)^{n} \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर:
$B \approx \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2} (\frac{4}{5R^{2}})^{3/2} [1 + \frac{6d}{5R} + 1 - \frac{6d}{5R}]$
$B = \frac{4}{5\sqrt{5}} \frac{\mu_{0} N I}{R} \approx 0.72 \frac{\mu_{0} N I}{R}$

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,एक चालक तार को बैटरी से जोड़ा जाता है।
चालक तार के पास एक चुंबकीय सुई रखी जाती है,जो उत्तर-दक्षिण दिशा में स्थिर रहती है।
जब कुंजी (key) बंद की जाती है,तो सीधे तार में बहने वाली धारा पास की चुंबकीय दिक्सूचक सुई में विक्षेप पैदा करती है। सुई का संरेखण एक काल्पनिक वृत्त के स्पर्शरेखा के रूप में होता है,जिसका केंद्र सीधा तार है और जिसका तल तार के लंबवत है। यह स्थिति चित्र $(a)$ में दर्शाई गई है।
यहाँ,सुई तार के पर्याप्त करीब है ताकि पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र को नगण्य माना जा सके।
धारा की दिशा उलटने पर सुई का अभिविन्यास भी उलट जाता है,जिसे चित्र $(b)$ में दर्शाया गया है।
धारा बढ़ाने या सुई को तार के करीब लाने पर विक्षेप बढ़ जाता है। यह अवलोकन इस निष्कर्ष की ओर ले जाता है कि गतिमान आवेश या धाराएँ आसपास के स्थान में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं।

(N/A) इस प्रयोग में एक लंबा,सीधा धारावाही तार कागज के तल के लंबवत रखा जाता है। चुंबकीय क्षेत्र को मैप करने के लिए तार के चारों ओर छोटी चुंबकीय दिक्सूचक सुइयों की एक रिंग रखी जाती है।
$(a)$ जब धारा कागज के तल से बाहर की ओर बहती है (जिसे एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है),तो दिक्सूचक सुइयां वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में संरेखित हो जाती हैं।
$(b)$ जब धारा कागज के तल में अंदर की ओर बहती है (जिसे एक क्रॉस द्वारा दर्शाया गया है),तो दिक्सूचक सुइयां दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में संरेखित हो जाती हैं।
$(c)$ यदि तार के चारों ओर कागज पर लोहे का बुरादा छिड़का जाता है,तो वे संकेंद्रित वृत्तों में व्यवस्थित हो जाते हैं,जो चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को दर्शाते हैं।
सुइयों के काले सिरे उत्तरी ध्रुव को दर्शाते हैं। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव को नगण्य माना जाता है। यह प्रयोग पुष्टि करता है कि जब किसी चालक तार से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो उसके चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र प्रेरित होता है,जो दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का पालन करता है।