Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(A) माना कि चालक के दो भागों $ABC$ और $ADC$ की लंबाई क्रमशः $l_1$ और $l_2$ है और चालक का प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\rho$ है।
भाग $ABC$ का प्रतिरोध $R_1 = \rho l_1$ है।
भाग $ADC$ का प्रतिरोध $R_2 = \rho l_2$ है।
चूंकि दोनों भाग समानांतर में हैं,इसलिए $AC$ के सिरों पर विभवांतर समान होगा:
$V = I_1 R_1 = I_2 R_2$
$I_1 (\rho l_1) = I_2 (\rho l_2)$
$I_1 l_1 = I_2 l_2 \quad \dots (i)$
चाप $ABC$ में प्रवाहित धारा $I_1$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1 \theta_1}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I_1 l_1}{4 \pi R^2}$ (कागज के तल के अंदर की ओर,$\otimes$)
चाप $ADC$ में प्रवाहित धारा $I_2$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2 \theta_2}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I_2 l_2}{4 \pi R^2}$ (कागज के तल के बाहर की ओर,$\odot$)
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,$I_1 l_1 = I_2 l_2$,हमें प्राप्त होता है:
$B_2 = \frac{\mu_0 I_1 l_1}{4 \pi R^2}$
चूंकि $B_1$ और $B_2$ परिमाण में समान हैं और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए केंद्र $O$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र:
$B = B_2 - B_1 = 0$.

(A) $R$ त्रिज्या वाले और केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में,$r$,$2r$,और $3r$ त्रिज्या वाले तीन चाप हैं।
$1$. पहले चाप (त्रिज्या $r$) के लिए,धारा इस दिशा में बहती है कि $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर हो (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)। मान लीजिए यह $B_1 = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r}$ है।
$2$. दूसरे चाप (त्रिज्या $2r$) के लिए,धारा विपरीत दिशा में बहती है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर होगा। मान लीजिए यह $B_2 = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi (2r)} = \frac{\mu_0 I \theta}{8\pi r}$ है।
$3$. तीसरे चाप (त्रिज्या $3r$) के लिए,धारा पहले चाप की समान दिशा में बहती है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर होगा। मान लीजिए यह $B_3 = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi (3r)} = \frac{\mu_0 I \theta}{12\pi r}$ है।
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 + B_3$ होगा:
$B_{net} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{2r} + \frac{1}{3r} \right)$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} \left( \frac{6 - 3 + 2}{6} \right) = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} \left( \frac{5}{6} \right) = \frac{5\mu_0 I \theta}{24\pi r}$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार चाप के केंद्र पर, जो केंद्र पर $\alpha$ कोण बनाता है, चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi R}$ द्वारा दिया जाता है। दिए गए चित्र में, $R_1$ और $R_2$ त्रिज्या वाले दो वृत्ताकार चाप और दो सीधे त्रिज्यीय खंड हैं। केंद्र $O$ पर सीधे त्रिज्यीय खंडों के कारण चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि धारा अवयव $Idl$ और स्थिति सदिश $r$ संरेख हैं ($\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$)। $R_1$ त्रिज्या वाले चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi R_1}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर) है। $R_2$ त्रिज्या वाले चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi R_2}$ (पृष्ठ के बाहर की ओर) है। $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B = \frac{\mu_{0} n i}{2 r}$ है।
यहाँ,$n$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,और $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $B \propto \frac{n}{r}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B = k \frac{n}{r}$ है।
दिया गया है कि नए फेरों की संख्या $n' = 2n$ और नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B'$ इस प्रकार होगा: $B' = k \frac{n'}{r'} = k \frac{2n}{r/2} = 4 \left( k \frac{n}{r} \right) = 4B$।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र मूल मान का $4$ गुना हो जाएगा।

(D) $r$ त्रिज्या वाले और $i$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
लूप $A$ के लिए,$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$.
लूप $B$ के लिए,$B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$.
चुंबकीय फ्लक्स घनत्व का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{3}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{B_1}{B_2} = \frac{i_1}{r_1} \times \frac{r_2}{i_2} = \frac{1}{3}$.
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\frac{r_2}{r_1} = 2$.
इसे अनुपात समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{i_1}{i_2} \times 2 = \frac{1}{3}$.
अतः,$\frac{i_1}{i_2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

(A) वर्गाकार लूप को बिंदु $A$ और $D$ के बीच दो समानांतर पथों में विभाजित किया गया है। पथ $1$ में तीन भुजाएँ $(AB, BC, CD)$ हैं और पथ $2$ में एक भुजा $(AD)$ है।
चूंकि पथ समानांतर हैं,इसलिए उनके बीच विभवांतर समान है। $d$ लंबवत दूरी पर $i$ धारा ले जाने वाले सीधे तार के टुकड़े के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
वर्ग के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की दूरी $a/2$ है। प्रत्येक भुजा केंद्र पर $45^\circ$ का कोण बनाती है $(\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ)$।
$i$ धारा ले जाने वाली $a$ लंबाई की एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_s = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2)}(\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{2\pi a}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2}\pi a}$ है।
दिए गए परिपथ में,धारा $i$ दो भागों $i_1$ ($ABC-D$ के माध्यम से) और $i_2$ ($AD$ के माध्यम से) में विभाजित हो जाती है। चूंकि पथ $ABC-D$ का प्रतिरोध $3R/4$ है और पथ $AD$ का प्रतिरोध $R/4$ है,इसलिए धाराएँ $i_1 = i/4$ और $i_2 = 3i/4$ हैं।
तीन भुजाओं $AB, BC, CD$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 3 \times \frac{\mu_0 i_1}{\sqrt{2}\pi a}$ (अंदर की ओर) है और भुजा $AD$ के कारण $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{\sqrt{2}\pi a}$ (बाहर की ओर) है।
$B_{\text{net}} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{\sqrt{2}\pi a} (3i_1 - i_2) = \frac{\mu_0}{\sqrt{2}\pi a} (3(i/4) - 3i/4) = 0$.

(A) $n$ आवृत्ति के साथ गति करने वाले $q$ आवेश द्वारा उत्पन्न धारा $i = qn$ द्वारा दी जाती है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A}$ रखने पर,हमें $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ प्राप्त होता है।
अतः,$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (qn)}{2r}$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $B = \frac{2\pi qn}{r} \times 10^{-7} \text{ T}$ प्राप्त होता है।

(A) लंबाई के सीधे तार के कारण उसके केंद्र से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 2L$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की दूरी $r = \frac{a}{2 \tan 60^{\circ}} = \frac{2L}{2 \sqrt{3}} = \frac{L}{\sqrt{3}}$ है।
केंद्र पर भुजा के सिरों द्वारा बनाए गए कोण $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (L/\sqrt{3})} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{3}}{4 \pi L} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{3}}{4 \pi L} (\sqrt{3}) = \frac{3 \mu_0 i}{4 \pi L}$ है।
चूंकि $3$ समान भुजाएं हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3 \mu_0 i}{4 \pi L} = \frac{9 \mu_0 i}{4 \pi L}$ है।

(B) मान लीजिए कि दोनों तारों में धारा $i$ है। एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ होता है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,बिंदु $A$ (तारों के बीच का मध्य बिंदु) पर तार $1$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर ($-k$ दिशा) और तार $2$ के कारण पृष्ठ के बाहर की ओर ($+k$ दिशा) होता है। दूरियां समान $(R/2)$ होने के कारण,परिमाण समान हैं,इसलिए $B_A = 0$ है।
बिंदु $B$ पर,दोनों तार पृष्ठ के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। तार $1$ से दूरी $R/2$ है और तार $2$ से दूरी $3R/2$ है। अतः,$B_B = -\left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi (R/2)} + \frac{\mu_0 i}{2 \pi (3R/2)} \right) = -\frac{4 \mu_0 i}{3 \pi R}$ है।
बिंदु $C$ पर,दोनों तार पृष्ठ के बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। तार $2$ से दूरी $R/2$ है और तार $1$ से दूरी $3R/2$ है। अतः,$B_C = +\frac{4 \mu_0 i}{3 \pi R}$ है।
अनुपात $B_A : B_B : B_C = 0 : -1 : 1$ है। विकल्पों के अनुसार,$0 : 1 : -1$ सही उत्तर है।

(D) एक लंबे सीधे धारावाही चालक से $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ दूरी $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $B \propto \frac{1}{R}$।
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $D$ इस व्युत्क्रम परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है जहाँ $R$ बढ़ने पर $B$ का मान घटता है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार धारावाही लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तीनों छल्ले परस्पर लंबवत हैं और मूल बिंदु पर केंद्रित हैं,इसलिए उनके चुंबकीय क्षेत्र सदिश क्रमशः $x$,$y$ और $z$ अक्षों की दिशा में होंगे।
मान लीजिए कि $yz$,$zx$ और $xy$ तलों में स्थित छल्लों के कारण चुंबकीय क्षेत्र क्रमशः $\vec{B}_x$,$\vec{B}_y$ और $\vec{B}_z$ हैं।
अतः,$\vec{B}_x = \frac{\mu_0 I}{2R} \hat{i}$,$\vec{B}_y = \frac{\mu_0 I}{2R} \hat{j}$,और $\vec{B}_z = \frac{\mu_0 I}{2R} \hat{k}$ है।
मूल बिंदु पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ सदिश योग है: $\vec{B} = \vec{B}_x + \vec{B}_y + \vec{B}_z = \frac{\mu_0 I}{2R} (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $|\vec{B}| = \sqrt{(\frac{\mu_0 I}{2R})^2 + (\frac{\mu_0 I}{2R})^2 + (\frac{\mu_0 I}{2R})^2} = \sqrt{3 \left(\frac{\mu_0 I}{2R}\right)^2} = \sqrt{3} \frac{\mu_0 I}{2R}$ है।

(A) बिंदु $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र तार के तीन भागों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है: दो अर्ध-अनंत सीधे तार और एक अर्ध-वृत्ताकार चाप।
$1$. $x$-अक्ष पर अर्ध-अनंत सीधे तार के लिए (जो मूल बिंदु की ओर धारा ले जा रहा है),$C$ पर क्षेत्र ($r$ दूरी पर) $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (-\hat{i})$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. $r$ त्रिज्या वाले अर्ध-वृत्ताकार चाप के लिए,केंद्र पर क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4r} \hat{k}$ है।
$3$. मूल बिंदु से शुरू होने वाले अर्ध-अनंत सीधे तार के लिए (जो मूल बिंदु से दूर धारा ले जा रहा है),$C$ पर क्षेत्र $B_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} \hat{k}$ है।
इनका योग करने पर: $\vec{B}_C = B_1 + B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (-\hat{i}) + \frac{\mu_0 i}{4r} \hat{k} + \frac{\mu_0 i}{4\pi r} \hat{k}$।
$\frac{\mu_0 i}{4\pi r}$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{B}_C = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} [ (1 + \pi) \hat{k} - \hat{i} ]$।

(D) $r$ दूरी पर एक अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $M$ पर,जो दोनों तारों से $a$ दूरी पर है,प्रत्येक तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$ है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,ऊपर की ओर धारा ले जाने वाले ऊर्ध्वाधर तार के कारण बिंदु $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर है।
कागज के तल से बाहर की ओर धारा ले जाने वाले तार के कारण बिंदु $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र नीचे की ओर है।
चूंकि ये दोनों चुंबकीय क्षेत्र सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_M$ इस प्रकार है:
$B_M = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi a}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi a}\right)^2}$
$B_M = \sqrt{2 \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi a}\right)^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi a}$.

(C) तार दो अर्ध-अनंत खंडों से बना है। एक अर्ध-अनंत तार के लिए,लंबवत दूरी $d$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ होता है।
यहाँ,प्रत्येक खंड से बिंदु $P$ की लंबवत दूरी $d = r \sin 45^{\circ} = \frac{r}{\sqrt{2}}$ है।
एक खंड के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (r/\sqrt{2})} (\sin 45^{\circ} + \sin 90^{\circ}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{4 \pi r} (\frac{1}{\sqrt{2}} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (1 + \sqrt{2})$ है।
चूंकि दोनों खंड एक ही दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 B_1 = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (1 + \sqrt{2}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (1 + \sqrt{2})$ होगा।
हालाँकि,समद्विभाजक पर $r$ दूरी पर समकोण पर मुड़े हुए तार के लिए मानक सूत्र के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sqrt{2} + 1)$ होता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) $N$ फेरों,$R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली एक वृत्ताकार कॉइल की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
हेल्महोल्ट्ज़ कॉइल के लिए,दो लूप $R$ दूरी पर अलग-अलग हैं। बिंदु $P$ मध्य बिंदु पर है,इसलिए प्रत्येक केंद्र ($A$ और $C$) से $P$ की दूरी $x = R/2$ है।
एक लूप के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + (R/2)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + R^2/4)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(5R^2/4)^{3/2}}$ है।
इसे सरल करने पर,$B_1 = \frac{\mu_0 N I R^2}{2 \cdot (5/4)^{3/2} \cdot R^3} = \frac{\mu_0 N I}{2 \cdot (5^{3/2}/8) \cdot R} = \frac{4 \mu_0 N I}{5^{3/2} R}$ प्राप्त होता है।
चूंकि धाराएं एक ही दिशा में प्रवाहित होती हैं,इसलिए दोनों लूपों के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं। अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 B_1 = 2 \cdot \frac{4 \mu_0 N I}{5^{3/2} R} = \frac{8 \mu_0 N I}{5^{3/2} R}$ होगा।

(A) दिया गया है: त्रिभुज की भुजा,$l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$,धारा,$I = 1 \,A$.
लंबवत दूरी $d$ पर एक सीमित तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की दूरी $d = \frac{l}{2\sqrt{3}}$ होती है।
$l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$ रखने पर,हमें $d = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{2\sqrt{3}} \,m$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक भुजा के लिए,केंद्र पर बनने वाले कोण $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (2 \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{4\pi d}$ है।
$d = \frac{l}{2\sqrt{3}}$ रखने पर,$B_1 = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{4\pi (l / 2\sqrt{3})} = \frac{\mu_0 I (3)}{2\pi l} = \frac{3 \mu_0 I}{2\pi l}$ प्राप्त होता है।
तीनों भुजाओं के कारण केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3 \mu_0 I}{2\pi l} = \frac{9 \mu_0 I}{2\pi l}$ है।
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T\cdot m/A$,$I = 1 \,A$,और $l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$ का उपयोग करने पर:
$B_{net} = \frac{9 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 1}{2\pi \times 4.5 \times 10^{-2}} = \frac{18 \times 10^{-7}}{4.5 \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$ (या $Wb/m^2$)।

(B) $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार लूप के केंद्र में $I$ धारा के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ होता है।
पहले तार के लिए,इसे $R$ त्रिज्या के एक लूप में मोड़ा जाता है $(n_1 = 1)$। चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ है।
दूसरे तार की लंबाई $L = 2\pi R$ समान है। इसे $n_2 = 3$ लूप में मोड़ा जाता है। मान लीजिए कि प्रत्येक नए लूप की त्रिज्या $r$ है। तब $L = n_2 (2\pi r) = 3(2\pi r)$।
लंबाई की तुलना करने पर: $2\pi R = 6\pi r$,जिससे $r = R/3$ प्राप्त होता है।
दूसरी कुंडली से प्रवाहित होने वाली धारा $I_2 = I/3$ है।
दूसरी कुंडली के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 n_2 I_2}{2r} = \frac{\mu_0 (3) (I/3)}{2(R/3)} = \frac{\mu_0 I}{2(R/3)} = \frac{3\mu_0 I}{2R}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 2R}{3\mu_0 I / 2R} = \frac{1}{3}$।
अतः,$B_1 : B_2 = 1 : 3$।

(B) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
कुंडली के केंद्र से $x$ दूरी पर उसकी अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
केंद्र और अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \frac{\mu_0 I / 2R}{\mu_0 I R^2 / 2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}}{R^3} = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$.
यहाँ $x = 2\sqrt{2}R$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \left(1 + \frac{(2\sqrt{2}R)^2}{R^2}\right)^{3/2} = \left(1 + \frac{8R^2}{R^2}\right)^{3/2} = (1 + 8)^{3/2} = (9)^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$.

(D) एक परिमित सीधे तार के कारण तार से $R$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, बिंदु चालक की अक्ष पर स्थित है। एक सीधे चालक की अक्ष वह रेखा है जो स्वयं चालक से होकर गुजरती है।
एक सीधे धारावाही चालक की अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए, बिंदु के स्थिति सदिश और धारा अवयव के बीच का कोण $0^\circ$ या $180^\circ$ होता है।
बायो-सावर्ट नियम के अनुसार, $dB = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{dl \sin \theta}{r^2}$.
चूंकि $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ है, इसलिए $\sin \theta = 0$ होता है, जिसका अर्थ है कि $dB = 0$.
अतः, एक सीधे धारावाही चालक की अक्ष पर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\text{शून्य}$ होता है।

(D) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र, जो केंद्र पर $\theta$ (रेडियन में) कोण बनाता है, $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में, रेडियल खंड $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देते हैं क्योंकि धारा स्थिति सदिश के समानांतर है।
दो चापों की त्रिज्या $r_1 = 3 \, cm + 2 \, cm = 5 \, cm = 0.05 \, m$ और $r_2 = 3 \, cm = 0.03 \, m$ है। बनाया गया कोण $\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \, \text{रेडियन}$ है।
दो चापों के कारण चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं। शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र $B$ है:
$B = B_2 - B_1 = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r_2} - \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r_1} = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi} \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$
मान रखने पर:
$B = \frac{10^{-7} \times 10 \times \frac{\pi}{4}}{1} \left( \frac{1}{0.03} - \frac{1}{0.05} \right)$
$B = 10^{-6} \times \frac{\pi}{4} \left( \frac{5 - 3}{0.15} \right) = 10^{-6} \times \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{0.15} = 10^{-6} \times \frac{\pi}{0.3} = \frac{\pi}{3} \times 10^{-5} \approx 1.047 \times 10^{-5} \, T$.
अतः, मान $1.0 \times 10^{-5} \, T$ के करीब है।

(D) $L$ लंबाई के एक वृत्ताकार लूप के लिए,त्रिज्या $R$ का मान $L = 2\pi R$ से प्राप्त होता है,अतः $R = \frac{L}{2\pi}$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_L = \frac{\mu_0 i}{2R} = \frac{\mu_0 i}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{L}$ है।
$N$ फेरों वाली कुंडली के लिए,लंबाई $L = N(2\pi R')$,इसलिए त्रिज्या $R' = \frac{L}{2\pi N} = \frac{R}{N}$ होती है।
कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_C = \frac{N \mu_0 i}{2R'} = \frac{N \mu_0 i}{2(R/N)} = \frac{N^2 \mu_0 i}{2R}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{B_L}{B_C} = \frac{\mu_0 i / 2R}{N^2 \mu_0 i / 2R} = \frac{1}{N^2}$ प्राप्त होता है।

(C) दूरी $d$ पर स्थित एक अर्ध-अनंत तार खंड के कारण बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक तार के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में योगदान देने वाले दो अर्ध-अनंत खंड हैं।
बाएं तार के लिए,खंड $LP$ अर्ध-अनंत है और खंड $PS$ भी अर्ध-अनंत है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,बाएं तार के दोनों खंड $O$ पर पृष्ठ के अंदर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
इसी प्रकार,दाएं तार के दोनों खंड $O$ पर पृष्ठ के अंदर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total}$ चारों अर्ध-अनंत खंडों के क्षेत्रों का योग है:
$B_{total} = 4 \times \left( \frac{\mu_0 i}{4\pi d} \right) = \frac{\mu_0 i}{\pi d}$.
दिया गया है $B_{total} = 10^{-4}\, T$,$d = 4\, cm = 4 \times 10^{-2}\, m$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$:
$10^{-4} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times i}{\pi \times 4 \times 10^{-2}}$
$10^{-4} = i \times 10^{-5}$
$i = 10\, A$.
विकल्पों के अनुसार,$i = 20\, A$ सही उत्तर है।

(C) एक लंबे सीधे तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए:
$1$. $+y$ दिशा में धारा ले जाने वाले ऊर्ध्वाधर तार के लिए,बिंदु $P$ (जो $(d, d)$ पर स्थित है) पर चुंबकीय क्षेत्र समतल के अंदर की ओर,यानी $-\hat{k}$ दिशा में है।
$2$. $+x$ दिशा में धारा ले जाने वाले क्षैतिज तार के लिए,बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र समतल के बाहर की ओर,यानी $+\hat{k}$ दिशा में है।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}_{net} = \overrightarrow{B}_1 + \overrightarrow{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}(-\hat{k}) + \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}(\hat{k}) = 0$ होगा।

(D) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 1\,m$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्र से भुजा की दूरी $r = \frac{a}{2\tan(60^\circ)} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ है।
प्रत्येक भुजा के लिए,$\theta_1 = \theta_2 = 60^\circ$,इसलिए $\sin \theta_1 + \sin \theta_2 = 2 \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2\sqrt{3})} \times \sqrt{3} = \frac{\mu_0 i \sqrt{3}}{2\pi a} \times \sqrt{3} = \frac{3\mu_0 i}{2\pi a}$ है।
चूंकि $3$ भुजाएं हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3\mu_0 i}{2\pi a} = \frac{9\mu_0 i}{2\pi a}$ होगा।
मान रखने पर: $B = \frac{9 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 10}{2\pi \times 1} = 18 \times 10^{-6}\,T = 18\,\mu T$।

(D) घूर्णन करती आवेशित रिंग के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,तुल्य धारा $i = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $i$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 q \omega}{2R(2 \pi)} = \frac{\mu_0 q \omega}{4 \pi R}$.
दिया गया है: $R = 0.1 \, m$,$\omega = 40 \pi \, rad/s$,$B = 3.8 \times 10^{-9} \, T$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, N/A^2$.
$q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $q = \frac{B \cdot 4 \pi R}{\mu_0 \omega}$.
$q = \frac{3.8 \times 10^{-9} \times 4 \pi \times 0.1}{4 \pi \times 10^{-7} \times 40 \pi}$.
$q = \frac{3.8 \times 10^{-10}}{40 \pi \times 10^{-7}} = \frac{3.8 \times 10^{-3}}{40 \pi} \approx 3.02 \times 10^{-5} \, C$.
अतः,आवेश का मान लगभग $3 \times 10^{-5} \, C$ है।

(D) $I$ विद्युत धारा ले जाने वाले एक परिमित सीधे तार से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ है।
यहाँ,तार $AB$ की लंबाई $6\, cm$ है,इसलिए केंद्र से प्रत्येक सिरे की दूरी $3\, cm$ है।
बिंदु $P$ से तार की लंबवत दूरी $d = 4\, cm$ है ($3-4-5$ त्रिभुज की ज्यामिति के अनुसार)।
यहाँ,$\theta_1 = \theta_2 = \theta$,जहाँ $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5} = 0.6$ है।
अतः,$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(2 \sin \theta)$।
मान रखने पर: $B = \frac{(10^{-7} \times 4\pi) \times 5}{4\pi \times (4 \times 10^{-2})} \times 2 \times \frac{3}{5}$।
$B = \frac{10^{-7} \times 5}{4 \times 10^{-2}} \times \frac{6}{5} = \frac{10^{-5} \times 5}{4} \times 1.2 = 1.25 \times 1.2 \times 10^{-5} = 1.5 \times 10^{-5}\, T$।

(B) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \ T \cdot m/A$,हम लिख सकते हैं $B = \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\right) \frac{2\pi I}{r}$।
वृत्ताकार पथ पर गतिमान इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{e}{T}$ है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
चूंकि $T = \frac{2\pi}{\omega}$,धारा $I = \frac{e\omega}{2\pi}$ होगी।
$I$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$B = (10^{-7}) \times \frac{2\pi (e\omega / 2\pi)}{r} = \frac{e\omega}{r} \times 10^{-7} \ Wb/m^2$।

(B) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
चूंकि शर्त $(x >> R)$ दी गई है,इसलिए हर (denominator) में $x^2$ की तुलना में $R^2$ को नगण्य माना जा सकता है:
$(R^2 + x^2)^{3/2} \approx (x^2)^{3/2} = x^3$
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2 x^3}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B_1$ और $B_2$ का परिमाण समान $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ होगा।
चित्र की ज्यामिति से,चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक एक दूसरे को रद्द कर देते हैं,जबकि क्षैतिज घटक जुड़ जाते हैं।
क्षैतिज अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण $\theta$ है,जहाँ $\sin \theta = \frac{a}{r}$ है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = 2B \sin \theta = 2 \left( \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \right) \left( \frac{a}{r} \right) = \frac{\mu_0 ia}{\pi r^2}$.

(A) मान लीजिए कि दो तार $XX'$ अक्ष पर $A$ और $B$ स्थितियों पर हैं,जो $2d$ की दूरी से अलग हैं। दोनों तारों में धारा समान है और कागज के तल से बाहर की ओर बहती है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,कागज के तल से बाहर धारा ले जाने वाले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में होता है।
$1$. $A$ और $B$ के बीच के मध्य बिंदु $C$ पर,तार $A$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर है,और तार $B$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र नीचे की ओर है। चूंकि दूरियां और धाराएं समान हैं,इसलिए $C$ पर नेट चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
$2$. $A$ के बाईं ओर (जैसे,बिंदु $F$ पर),दोनों तार नीचे की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। अतः,नेट क्षेत्र ऋणात्मक है।
$3$. $A$ और $C$ के बीच,$A$ के कारण क्षेत्र (ऊपर की ओर) $B$ के कारण क्षेत्र (नीचे की ओर) से अधिक मजबूत है,इसलिए नेट क्षेत्र धनात्मक है।
$4$. $C$ और $B$ के बीच,$B$ के कारण क्षेत्र (नीचे की ओर) $A$ के कारण क्षेत्र (ऊपर की ओर) से अधिक मजबूत है,इसलिए नेट क्षेत्र ऋणात्मक है।
$5$. $B$ के दाईं ओर,दोनों तार ऊपर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। अतः,नेट क्षेत्र धनात्मक है।
यह परिवर्तन एक ऐसे ग्राफ के अनुरूप है जो मध्य बिंदु $C$ पर शून्य से गुजरता है,$A$ और $C$ के बीच धनात्मक है,और $C$ और $B$ के बीच ऋणात्मक है। सही ग्राफ विकल्प $A$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र, जो केंद्र पर $\theta$ कोण बनाता है, $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ त्रिज्या वाले आंतरिक चाप के लिए, अंतरित कोण $270^\circ$ या $\frac{3\pi}{2}$ रेडियन है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार चुंबकीय क्षेत्र की दिशा अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
$B_1 = \frac{\mu_0 I (3\pi/2)}{4\pi a} = \frac{3\mu_0 I}{8a}$ (अंदर की ओर)।
$b$ त्रिज्या वाले बाहरी चाप के लिए, अंतरित कोण $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार चुंबकीय क्षेत्र की दिशा भी अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
$B_2 = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi b} = \frac{\mu_0 I}{8b}$ (अंदर की ओर)।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं, इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र:
$B = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 I}{8a} + \frac{\mu_0 I}{8b} \otimes$.

(B) बेलनाकार चालक के अंदर $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 i r}{2 \pi R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,बिंदु सतह से $R/4$ अंदर है,इसलिए अक्ष से दूरी $r = R - R/4 = 3R/4$ है।
अतः,$B_{in} = \frac{\mu_0 i (3R/4)}{2 \pi R^2} = \frac{3 \mu_0 i}{8 \pi R} = 10 \, T$.
इससे,$\frac{\mu_0 i}{2 \pi R} = \frac{80}{3} \, T$ प्राप्त होता है।
बेलन के बाहर $r'$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r'}$ होता है।
बिंदु सतह से $4R$ बाहर है,इसलिए अक्ष से दूरी $r' = R + 4R = 5R$ है।
अतः,$B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (5R)} = \frac{1}{5} \left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi R} \right) = \frac{1}{5} \times \frac{80}{3} = \frac{16}{3} \, T$.

(A) वेग $\vec{v}$ से गतिमान बिंदु आवेश $q$ के लिए बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का मान निम्न होता है:
$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,वेग सदिश $\vec{v}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के क्रॉस गुणनफल (cross product) के समानुपाती होता है,इसलिए परिणामी सदिश $\vec{B}$,$\vec{v}$ और $\vec{r}$ दोनों के लंबवत होता है।
अतः,$\vec{B} \perp \vec{v}$।

(A) धारावाही वृत्ताकार कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की दिशा निर्धारित करने के लिए,हम दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हैं।
इस नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाहिने हाथ की उंगलियों को कुंडली में प्रवाहित धारा की दिशा में मोड़ते हैं,तो फैला हुआ अंगूठा कुंडली के अंदर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा को इंगित करता है।
दिए गए चित्रों में,ऊपर से देखने पर धारा $I$ वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में बहती है। दाहिने हाथ के नियम को लागू करने पर,अंगूठा ऊपर की ओर इशारा करता है,जो दर्शाता है कि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कुंडली के केंद्र से बाहर निकलती हैं और ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। चित्र $A$ इस विन्यास को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) बायो-सावर्ट के नियम और दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,एक गतिमान आवेश चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
प्रेक्षक से दूर जा रहे धनात्मक आवेश के लिए,धारा $I$ की दिशा प्रेक्षक से दूर होती है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,यदि आप अपने दाएं हाथ के अंगूठे को धनात्मक आयन की गति की दिशा (प्रेक्षक से दूर) में इंगित करते हैं,तो आपकी उंगलियां दक्षिणावर्त (घड़ी की दिशा में) मुड़ती हैं।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं (चुंबकीय प्रेरण की बल रेखाएं) आयन के पथ के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में बंद संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं।

(C) अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
$x$-अक्ष पर स्थित तार के लिए,बिंदु $P(2, 3)$ तक की लंबवत दूरी $d_x = 3 \ m$ है। दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा बाहर की ओर $(\odot)$ है।
$B_x = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi} \odot$
$y$-अक्ष पर स्थित तार के लिए,बिंदु $P(2, 3)$ तक की लंबवत दूरी $d_y = 2 \ m$ है। दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
$B_y = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (2)} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \otimes$
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}}$ दोनों क्षेत्रों का अंतर है क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में हैं:
$B_{\text{net}} = B_y - B_x = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} - \frac{\mu_0 I}{6 \pi}$
$B_{\text{net}} = \frac{3 \mu_0 I - 2 \mu_0 I}{12 \pi} = \frac{\mu_0 I}{12 \pi}$

(D) $N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $I$ धारा के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ होता है।
पहली कुंडली के लिए, जिसमें धारा $I_1 = I$ है, चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ होगा।
दूसरी कुंडली के लिए, जिसमें धारा $I_2 = I\sqrt{3}$ है, चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N(I\sqrt{3})}{2R} = \sqrt{3} \frac{\mu_0 NI}{2R}$ होगा।
चूंकि कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ भी एक-दूसरे के लंबवत होंगे $(\theta = 90^{\circ})$।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}}$ इस प्रकार होगा:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$
मान रखने पर:
$B_{\text{net}} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 NI}{2R}\right)^2 + \left(\sqrt{3} \frac{\mu_0 NI}{2R}\right)^2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 NI}{2R} \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 NI}{2R} \sqrt{1 + 3} = \frac{\mu_0 NI}{2R} \sqrt{4} = 2 \left(\frac{\mu_0 NI}{2R}\right) = \frac{\mu_0 NI}{R}$.

(C) $R$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
अक्ष पर केंद्र से $x = pR$ दूरी पर,चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $x = pR$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + (pR)^2)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2(1 + p^2))^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2R^3(1 + p^2)^{3/2}}$.
$B = \frac{\mu_0 i}{2R} \cdot \frac{1}{(1 + p^2)^{3/2}}$.
चूंकि $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2R}$,इसलिए हमारे पास $B = \frac{B_0}{(1 + p^2)^{3/2}}$ है।

(B) हेल्महोल्ट्ज़ कॉइल्स दो समान वृत्ताकार कॉइल्स से बनी होती हैं जिन्हें समाक्षीय रूप से रखा जाता है,और उनके बीच की दूरी उनकी त्रिज्या $(d = R)$ के बराबर होती है।
चूंकि उन्हें समाक्षीय रूप से रखा जाता है,इसलिए उनके तल एक-दूसरे के समानांतर होते हैं,लंबवत नहीं।
इसलिए,यह कथन कि हेल्महोल्ट्ज़ कॉइल्स के तल एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,गलत है।
दोनों कॉइल्स के बीच के केंद्रीय भाग में उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र वास्तव में एकसमान होता है।

(B) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0 I}}{{4\pi r}}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 1\,m$ भुजा वाले एक नियमित षट्कोण के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की दूरी $r = a \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,m$ है।
प्रत्येक भुजा के सिरों द्वारा केंद्र पर बनने वाले कोण $\theta_1 = \theta_2 = 30^\circ$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{{\mu _0 I}}{{4\pi r}}(\sin 30^\circ + \sin 30^\circ) = \frac{{\mu _0 I}}{{4\pi (\sqrt 3 / 2)}}(1/2 + 1/2) = \frac{{\mu _0 I}}{{2\pi \sqrt 3 }}$ है।
चूंकि इसमें $6$ भुजाएं हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{{\mu _0 I}}{{2\pi \sqrt 3 }} = \frac{{3\mu _0 I}}{{\pi \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 \mu _0 I}}{\pi }$ होगा।
$I = 1\,A$ दिए जाने पर,हमें $B = \frac{{\sqrt 3 \mu _0}}{\pi }\,Wb/m^2$ प्राप्त होता है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta$ होने पर,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{{{\mu _0}i\theta }}{{4\pi R}}$ होता है।
दिए गए चित्र में,चाप केंद्र पर $\alpha$ कोण बनाता है।
इसलिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{{\mu _0}i\alpha }}{{4\pi R}}$ होगा।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,यदि धारा वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में बहती है,तो चुंबकीय क्षेत्र तल से बाहर की ओर होता है,और यदि यह दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहती है,तो यह तल के अंदर की ओर होता है।
चित्र के आधार पर,धारा दक्षिणावर्त दिशा में बह रही है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र तल के अंदर की ओर होगा,जिसे $\otimes$ प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार की लंबाई $L$ स्थिर है,$L = N(2\pi R)$,जिसका अर्थ है $R = \frac{L}{2\pi N}$।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $R$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 N I}{2(L / 2\pi N)} = \frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}$।
अतः,$B \propto N^2$।
यहाँ $N_1 = 12$ और $N_2 = 3$ दिया गया है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $\frac{B_2}{B_1} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 = \left(\frac{3}{12}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} = 0.0625$ है।
इसका अर्थ है $B_2 = 0.0625 B_1$।
प्रतिशत कमी $\frac{B_1 - B_2}{B_1} \times 100 = \frac{B_1 - 0.0625 B_1}{B_1} \times 100 = (1 - 0.0625) \times 100 = 93.75\%$ है।

(A) $1$. इलेक्ट्रॉन एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर प्रेक्षक से दूर गति कर रहा है। यह पारंपरिक धारा $I$ के प्रेक्षक की ओर बहने के समान है।
$2$. दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाएं हाथ के अंगूठे को पारंपरिक धारा की दिशा (प्रेक्षक की ओर) में इंगित करते हैं,तो आपकी उंगलियां चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा में मुड़ती हैं।
$3$. चूंकि धारा प्रेक्षक की ओर निर्देशित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं क्षैतिज $(hz)$ तल में संकेंद्रित वृत्त बनाएंगी।
$4$. धारा की दिशा के चारों ओर उंगलियों को मोड़ने पर,वे $Counter-Clockwise$ $(ACW)$ दिशा में मुड़ती हैं।
$5$. इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $hz$ तल में $ACW$ होंगी।

(B) $f$ आवृत्ति के साथ घूमने वाले इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I = qf = ef$ होती है।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्तातीय लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 ef}{2R}$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{\mu_0 ef}{2B}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu_0$,$e$ और $2$ स्थिरांक हैं,इसलिए $R \propto \frac{f}{B}$ होता है।

(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार, धारा अवयव $I d\vec{l}$ द्वारा स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, तार $PQ$, $y$-अक्ष पर स्थित है, इसलिए धारा अवयव $I d\vec{l}$, $y$-अक्ष की दिशा में है (अर्थात $\vec{dl} = dy \hat{j}$)।
अवलोकन बिंदु $y$-अक्ष पर $y = +a$ पर है, इसलिए तार पर किसी भी बिंदु $y$ से अवलोकन बिंदु तक का स्थिति सदिश $\vec{r} = (a - y) \hat{j}$ है।
चूंकि दो समानांतर सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य होता है, इसलिए $d\vec{l} \times \vec{r} = (dy \hat{j}) \times ((a - y) \hat{j}) = 0$ होता है।
अतः, सीधे धारावाही तार की अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।

(A) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = 100 \, \text{turns/m}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में गति करने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए, चुंबकीय बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
$B$ के लिए सूत्र बनाने पर, हमें मिलता है $B = \frac{mv}{qr}$.
$B$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\mu_0 n i = \frac{mv}{qr} \Rightarrow i = \frac{mv}{\mu_0 n q r}$.
दी गई मान: $m = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg}$, $v = 0.046 \times 3 \times 10^8 \, \text{m/s} = 1.38 \times 10^7 \, \text{m/s}$, $q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$, $n = 100 \, \text{m}^{-1}$, $r = 0.023 \, \text{m}$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}$.
इन मानों को रखने पर: $i = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^7}{4\pi \times 10^{-7} \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.023}$.
$i = \frac{12.558 \times 10^{-24}}{4.62 \times 10^{-24}} \approx 2.718 \, \text{A}$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर, $i \approx 3 \, \text{A}$.

(A) $I$ धारा ले जाने वाले $b$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times \frac{\mu_0 I}{4\pi (b/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{\pi (b/2)} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi b}$ द्वारा दिया जाता है।
ज्यामिति के अनुसार,परिगत वृत्त की त्रिज्या $a$ है। केंद्र से कोने तक की दूरी $a$ है,और केंद्र से भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी $b/2$ है। केंद्र,भुजा के मध्य बिंदु और एक कोने द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\sin 45^{\circ} = \frac{b/2}{a}$ है।
इस प्रकार,$b/2 = a \sin 45^{\circ} = a / \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $b = \sqrt{2} a$.
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $b = \sqrt{2} a$ रखने पर:
$B = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi (\sqrt{2} a)} = \frac{2\mu_0 I}{\pi a}$.

(A) वृत्ताकार धारा लूप की धुरी पर $y$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_y = \frac{\mu_0 I r^2}{2(y^2 + r^2)^{3/2}}$ है।
जब $y \gg r$ हो,तो यह $B_y \approx \frac{\mu_0 I r^2}{2y^3}$ के रूप में सरल हो जाता है।
घूमती हुई आवेशित छड़ द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{q}{T} = qn$ है,जहाँ $q = \sigma(2 \pi r)$ है।
अतः,$I = \sigma(2 \pi r)n$।
$I$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$B_y = \frac{\mu_0 (\sigma 2 \pi r n) r^2}{2y^3} = \frac{\mu_0 \sigma \pi r^3 n}{y^3}$।

(B) एक लंबे सीधे धारावाही तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2I}{r}$
दिया गया है:
$I = 100\,A$
$r = 4\,m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\,TmA^{-1}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 100}{4}$
$B = 10^{-7} \times 50 = 5 \times 10^{-6}\,T$
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बहती है,तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं। तार के ठीक नीचे,चुंबकीय क्षेत्र की दिशा दक्षिण की ओर होती है।

(B) बायोट-सावर्ट नियम के अनुसार,स्रोत के सापेक्ष $\vec{r}'$ स्थिति सदिश पर स्थित धारा अवयव $i \, d\vec{l}$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i \, d\vec{l} \times \vec{r}_{rel}}{r_{rel}^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{r}_{rel}$ स्रोत से प्रेक्षण बिंदु तक का सदिश है।
यहाँ,धारा अवयव $\vec{r}$ स्थिति पर है और हमें मूल बिंदु $(0,0,0)$ पर क्षेत्र की गणना करनी है। अतः,स्रोत से मूल बिंदु तक का सदिश $\vec{r}_{rel} = \vec{0} - \vec{r} = -\vec{r}$ है।
इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times (-\vec{r})}{r^3} = -\frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$. यह अभिव्यक्ति $(ii)$ से मेल खाती है।
क्रॉस उत्पाद के गुण का उपयोग करते हुए,$d\vec{l} \times \vec{r} = -(\vec{r} \times d\vec{l})$ होता है।
इसे $d\vec{B}$ के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$d\vec{B} = -\frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{-(\vec{r} \times d\vec{l})}{r^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{\vec{r} \times d\vec{l}}{r^3}$. यह अभिव्यक्ति $(iii)$ से मेल खाती है।
अतः,अभिव्यक्ति $(ii)$ और $(iii)$ सही हैं।