$I$ धारावाही, $N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए, इसके अक्ष पर, केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र के लिए निम्न व्यंजक है :

$B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$

$(a)$ स्पष्ट कीजिए, इससे कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र के लिए सुपरिचित परिणाम कैसे प्राप्त किया जा सकता है।

$(b)$ बराबर त्रिज्या $R$, एवं फेरों की संख्या $N$, वाली दो वृत्ताकार कुंडलियाँ एक-दूसरे से $R$ दूरी पर एक-दूसरे के समांतर, अक्ष मिला कर रखी गई हैं। दोनों में समान विध्यूत धारा एक ही दिशा में प्रवाहित हो रही है। दर्शाइए कि कुंडलियों के अक्ष के लगभग मध्यबिंदु पर क्षेत्र, एक बहुत छोटी दूरी के लिए जो कि $R$ से कम है, एकसमान है और इस क्षेत्र का लगभग मान निम्न है :

$B=0.72 \frac{\mu_{0} N I}{R}$

Radius of circular coil $= R$

Number of turns on the coil $= N$

Current in the coil $=$ $I$

Magnetic field at a point on its axis at distance $x$ is given by the relation,

$B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$

Where,

$\mu_{0}=$ Permeability of free space

$(a)$ If the magnetic field at the centre of the coil is considered, then $x=0$.

$\therefore B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2 R^{3}}=\frac{\mu_{0} I N}{2 R}$

This is the familiar result for magnetic field at the centre of the coil.

$(b)$ Radii of two parallel co-axial circular coils $= R$

Number of turns on each coil $= N$

Current in both coils $=I$

Distance between both the coils $= R$

Let us consider point $Q$ at distance $d$ from the centre.

Then, one coil is at a distance of $\frac{R}{2}+d$ from point $Q$.

Magnetic field at point $Q$ is given as

$B_{1}=\frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2\left[\left(\frac{R}{2}+d\right)^{2}+R^{2}\right]^{3 / 2}}$

Also, the other coil is at a distance of $\frac{R}{2}-d$ from point $Q$.

Magnetic field due to this coil is given as

$B_{2}=\frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2\left[\left(\frac{R}{2}-d\right)^{2}+R^{2}\right]^{3 / 2}}$

Total magnetic field, $B=B_{1}+B_{2}$

$=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2}\left[\left\{\left(\frac{R}{2}-d\right)^{2}+R^{2}\right\}^{-3 / 2}+\right]\left\{\left(\frac{R}{2}+d\right)^{2}+R^{2}\right\}^{-3 / 2} \times N$

$=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2}\left[\left(\frac{5 R^{2}}{4}+d^{2}-R d\right)^{-3 / 2}+\left(\frac{5 R^{2}}{4}+d^{2}+R d\right)^{-3 / 2}\right] \times N$

$=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2} \times\left(\frac{5 R^{2}}{4}\right)^{-3 / 2}\left[\left(1+\frac{4}{5} \frac{d^{2}}{R^{2}}-\frac{4}{5} \frac{d}{R}\right)^{-3 / 2}+\left(1+\frac{4}{5} \frac{d^{2}}{R^{2}}+\frac{4}{5} \frac{d}{R}\right)^{-3 / 2}\right] \times N$

For $d < < R ,$ neglecting the factor $\frac{d^{2}}{R^{2}},$ we get:

$\approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2} \times\left(\frac{5 R^{2}}{4}\right)^{-3 / 2} \times\left[\left(1-\frac{4 d}{5 R}\right)^{-3 / 2}+\left(1+\frac{4 d}{5 R}\right)^{-3 / 2}\right] \times N$

$\approx \frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2 R^{3}} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{3 / 2}\left[1-\frac{6 d}{5 R}+1+\frac{6 d}{5 R}\right]$

$B=\left(\frac{4}{5}\right)^{3 / 2} \frac{\mu_{0} I N}{R}=0.72\left(\frac{\mu_{0} I N}{R}\right)$

Hence, it is proved that the field on the axis around the mid-point between the coils is uniform.