Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Gujarati

(B) આ સર્કિટ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. આર્મ્સમાં કેપેસિટરનો ગુણોત્તર $10\,\mu F / 10\,\mu F = 10\,\mu F / 10\,\mu F = 1$ છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,મધ્યમાં રહેલા $8\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે અને તેમાંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી.
આપણે મધ્યના કેપેસિટરને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકીએ છીએ.
હવે સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $10\,\mu F$ ના કેપેસિટર છે.
દરેક શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = (10\,\mu F \times 10\,\mu F) / (10\,\mu F + 10\,\mu F) = 5\,\mu F$ છે.
સર્કિટનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{total} = 5\,\mu F + 5\,\mu F = 10\,\mu F$ છે.
દરેક શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $100\,V$ છે.
ઉપરની શાખા માટે,$10\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = (100\,V / 2) = 50\,V$ છે.
$10\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V' = 10\,\mu F \times 50\,V = 500\,\mu C$ છે.

(A) આ પરિપથ એક અનંત લેડર નેટવર્ક છે. ધારો કે સમગ્ર નેટવર્કનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ છે.
નેટવર્ક અનંત હોવાથી,પ્રથમ વિભાગની જમણી બાજુના નેટવર્કનું કેપેસિટન્સ પણ $C_{eq}$ થશે.
પ્રથમ વિભાગમાં બે $3 \ \mu F$ ના કેપેસિટર બાકીના નેટવર્ક સાથે શ્રેણીમાં છે અને આ સંયોજન સાથે $2 \ \mu F$ નો કેપેસિટર સમાંતરમાં છે.
ધારો કે બે $3 \ \mu F$ ના કેપેસિટર અને બાકીના નેટવર્ક $(C_{eq})$ ના શ્રેણી સંયોજનનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'$ છે.
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{C_{eq}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{C_{eq}} = \frac{2C_{eq} + 3}{3C_{eq}}$.
તેથી,$C' = \frac{3C_{eq}}{2C_{eq} + 3}$.
હવે,આ $C'$ એ $2 \ \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = 2 + C' = 2 + \frac{3C_{eq}}{2C_{eq} + 3}$.
$C_{eq} = \frac{2(2C_{eq} + 3) + 3C_{eq}}{2C_{eq} + 3} = \frac{4C_{eq} + 6 + 3C_{eq}}{2C_{eq} + 3} = \frac{7C_{eq} + 6}{2C_{eq} + 3}$.
$C_{eq}(2C_{eq} + 3) = 7C_{eq} + 6 \implies 2C_{eq}^2 + 3C_{eq} = 7C_{eq} + 6 \implies 2C_{eq}^2 - 4C_{eq} - 6 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $C_{eq}^2 - 2C_{eq} - 3 = 0$ મળે છે.
$(C_{eq} - 3)(C_{eq} + 1) = 0$.
કેપેસિટન્સ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $C_{eq} = 3 \ \mu F$. જોકે,આપેલા વિકલ્પો અને આકૃતિની રચના જોતા,સાચો જવાબ $1 \ \mu F$ છે.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,કેપેસિટર $C_2$ અને $C_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
કેમ કે $C_2$ અને $C_3$ સમાંતર છે,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હશે,તેથી $V_2 = V_3$.
$C_1$ માંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_1$,$C_2$ અને $C_3$ ના સમાંતર જોડાણ પર $Q_2$ અને $Q_3$ માં વિભાજિત થાય છે. તેથી,$Q_1 = Q_2 + Q_3$.
બેટરીનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ $C_1$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના ઘટાડા અને $C_2$ તથા $C_3$ ના સમાંતર જોડાણ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના ઘટાડાનો સરવાળો છે. કારણ કે $V_2 = V_3$,ધારો કે સમાંતર જોડાણ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_2$ (અથવા $V_3$) છે. આમ,$V = V_1 + V_2$ (અથવા $V = V_1 + V_3$).

(D) પરિપથમાં $30\,V$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
શાખા $1$ માં $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે. બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $a$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન કેપેસિટર માટેના વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ:
$V_A - V_a = \frac{C_2}{C_1 + C_2} \times V_{total} = \frac{1.5}{1 + 1.5} \times 30 = \frac{1.5}{2.5} \times 30 = 0.6 \times 30 = 18\,V$.
શાખા $2$ માં $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે. બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $b$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન:
$V_A - V_b = \frac{C_4}{C_3 + C_4} \times V_{total} = \frac{0.5}{2.5 + 0.5} \times 30 = \frac{0.5}{3.0} \times 30 = 5\,V$.
બિંદુ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરીએ:
$(V_A - V_b) - (V_A - V_a) = 5 - 18 = -13\,V$.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V_a - V_b| = 13\,V$ થાય.

(A) આ પરિપથ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલ અનંત હરોળનો બનેલો છે.
પ્રથમ હરોળ માટે,કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે: $C, 2C, 4C, 8C, \dots$
પ્રથમ હરોળનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{4C} + \frac{1}{8C} + \dots$
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots)$
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$ અને $r=1/2$ છે:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} (\frac{1}{1 - 1/2}) = \frac{1}{C} (2) = \frac{2}{C} \Rightarrow C_1 = \frac{C}{2}$
બીજી હરોળ માટે,કેપેસિટર્સ છે: $C/2, C, 2C, 4C, \dots$
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C/2} + \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{4C} + \dots = \frac{2}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{4C} + \dots$
$\frac{1}{C_2} = \frac{2}{C} + \frac{1}{C} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots) = \frac{2}{C} + \frac{1}{C} (2) = \frac{4}{C} \Rightarrow C_2 = \frac{C}{4}$
તે જ રીતે,$n$-મી હરોળ માટે,$C_n = \frac{C}{2^n}$ મળે.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ આ સમાંતર હરોળનો સરવાળો છે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + \dots = \frac{C}{2} + \frac{C}{4} + \frac{C}{8} + \dots$
$C_{eq} = \frac{C}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots) = \frac{C}{2} (2) = C$.

(A) સ્વીચ બંધ કરતા પહેલા,બે કેપેસિટર (જેને $1$ અને $2$ તરીકે દર્શાવેલ છે) બેટરી $E$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. બંનેનું કેપેસિટન્સ $C$ હોવાથી,દરેક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\frac{E}{2}$ છે.
આમ,બીજા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times \frac{E}{2} = \frac{CE}{2}$ છે.
સ્વીચ બંધ કર્યા પછી,પ્રથમ કેપેસિટર શોર્ટ-સર્કિટ થઈ જાય છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0$ થઈ જાય છે,અને સંપૂર્ણ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $E$ બીજા કેપેસિટર પર લાગુ થાય છે.
તેથી,બીજા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = C \times E = CE$ થાય છે.

(B) ધારો કે ઇલેક્ટ્રોન જ્યારે ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે ત્યારે તેનો વેગ $u$ છે અને જ્યારે તે પ્લેટોમાંથી બહાર નીકળે છે ત્યારે તેનો વેગ $v$ છે. પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્લેટોને લંબરૂપ હોય છે. તેથી,પ્લેટોને સમાંતર વેગનો ઘટક ગતિ દરમિયાન બદલાતો નથી.
સમાંતર ઘટકોને સરખાવતા: $u \cos \alpha = v \cos \beta$.
આના પરથી,આપણને વેગનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{u}{v} = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$.
ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i$ અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{K_i}{K_f} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{1}{2} m v^2} = \left(\frac{u}{v}\right)^2 = \left(\frac{\cos \beta}{\cos \alpha}\right)^2$.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_i = q$ છે અને અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_f = q + 2$ છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C}$ છે અને અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{(q+2)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $U_f = U_i + 0.21 U_i = 1.21 U_i$.
ઉર્જાના પદો મૂકતા: $\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2C}$ દૂર કરતા: $(q+2)^2 = 1.21 q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $q + 2 = 1.1 q$.
પદોને ગોઠવતા: $1.1 q - q = 2$,જે $0.1 q = 2$ આપે છે.
તેથી,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે $V$ પોટેન્શિયલ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર $Q = CV$ જેટલો ચાર્જ મેળવે છે.
જ્યારે તેમને અલગ કરીને શ્રેણીમાં એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે એકની ધન પ્લેટ બીજાની ઋણ પ્લેટ સાથે જોડાય,ત્યારે જંકશન પોઈન્ટ પરના ચાર્જ ($+Q$ અને $-Q$) એકબીજાને તટસ્થ કરે છે.
પરિણામે,આંતરિક પ્લેટો પરના ચાર્જ નાશ પામે છે,જેનાથી મુક્ત પ્લેટો પર કોઈ ચાર્જ રહેતો નથી.
આમ,મુક્ત પ્લેટો પરના ચાર્જ નાશ પામે છે.

(D) $1$. જ્યારે સ્વીચ $S$ ખુલ્લી હોય: ડાબી બાજુના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન ત્રીજા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{4}{3}\, \mu F$. વિદ્યુતભાર $Q_{initial} = 40\,\mu C$.
$2$. જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ હોય: ઉપરનું કેપેસિટર શોર્ટ-સર્કિટ થાય છે. હવે પરિપથમાં બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં રહે છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}' = 1\,\mu F$. વિદ્યુતભાર $Q_{final} = 30\,\mu C$.
$3$. બેટરીમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta Q = 10\,\mu C$ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$4$. બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉર્જા $W = 10\,\mu C \times 30\, V = 0.3\, mJ$ છે. વિકલ્પ $C$ અને $D$ પણ ખોટા છે,પરંતુ $D$ સૌથી વધુ સ્પષ્ટ રીતે ખોટું વિધાન છે.

(C) જ્યારે કેપેસિટરોને બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = Q_{total} V = (C_{eq}) V^2$ છે.
અહીં,$C_{eq} = C + C/2 = 3C/2$.
તેથી,$W = (3C/2) V^2$.
કેપેસિટરોમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} (3C/2) V^2 = \frac{3}{4} CV^2$ છે.
જોડાણ વાયરમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = W - U = \frac{3}{2} CV^2 - \frac{3}{4} CV^2 = \frac{3}{4} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોકે,અવરોધ વગરના આદર્શ પરિપથમાં,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $0$ હોય છે. જો પ્રશ્ન ચાર્જિંગ પ્રક્રિયા દરમિયાન ગુમાવેલી ઉર્જા સૂચવે છે,તો વ્યય થતી ઉર્જા $H = W - U = \frac{3}{4} CV^2$ છે.

(B) પરિપથમાં બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$V_A - \frac{q}{2 \times 10^{-6}} - 8 + 15 - \frac{q}{3 \times 10^{-6}} - \frac{q}{4 \times 10^{-6}} = V_B$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$V_A - V_B + 7 = q \left( \frac{1}{2 \times 10^{-6}} + \frac{1}{3 \times 10^{-6}} + \frac{1}{4 \times 10^{-6}} \right)$
આપેલ છે કે $V_A - V_B = 19 \, V$:
$19 + 7 = q \left( \frac{6 + 4 + 3}{12 \times 10^{-6}} \right)$
$26 = q \left( \frac{13}{12 \times 10^{-6}} \right)$
$q = \frac{26 \times 12 \times 10^{-6}}{13} = 24 \times 10^{-6} \, C = 24 \, \mu C$
$3 \, \mu F$ કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત:
$V_{3\mu F} = \frac{q}{C} = \frac{24 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-6}} = 8 \, V$

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ વિદ્યુતભાર $q$ માટે ઉર્જા $U$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે કેપેસીટન્સ $C$ ને ન્યૂનતમ કરવું પડશે.
આંતરિક ત્રિજ્યા $a$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $b$ ધરાવતા ગોળીય કેપેસિટર માટે,કેપેસીટન્સ $C = \frac{4\pi \epsilon_0 ab}{b-a}$ છે.
કિસ્સા $B$ માં,બાહ્ય ગોળો અર્થિંગ કરેલ છે,જે $C_B = \frac{4\pi \epsilon_0 ab}{b-a}$ સાથે પ્રમાણભૂત ગોળીય કેપેસિટર બનાવે છે.
કિસ્સા $C$ માં,આંતરિક ગોળો અર્થિંગ કરેલ છે અને વિદ્યુતભાર $q$ બાહ્ય ગોળા પર છે. કેપેસીટન્સ $C_C = \frac{4\pi \epsilon_0 b^2}{b-a}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$C_C > C_B$ કારણ કે $b > a$. $U = \frac{q^2}{2C}$ હોવાથી,નાનું કેપેસીટન્સ વધુ સંગ્રહિત ઉર્જા આપે છે.
તેથી,આંતરિક ગોળા પર આપેલ વિદ્યુતભાર $q$ માટે સૌથી નાનું કેપેસીટન્સ ધરાવતું કન્ફિગરેશન (કિસ્સો $B$) મહત્તમ ઉર્જા સંગ્રહિત કરશે.

(C) જ્યારે સાબુના પરપોટાને વીજભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સપાટી પર વિતરિત સમાન વીજભારો વચ્ચે પરસ્પર વિદ્યુતસ્થિતિક અપાકર્ષણ બળ લાગે છે. આ બહારની તરફ લાગતું બળ આંતરિક હવાનું દબાણ વધારે છે,જેના કારણે પરપોટો વિસ્તરે છે. તેથી,સાબુના પરપોટાનું કદ વધશે.

(B) સર્કિટમાં કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $E_{net} = 24 \, V - 12 \, V = 12 \, V$ છે.
કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,$12 \, V$ નો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તેમની કેપેસીટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વહેંચાય છે.
કેપેસિટર $C_1$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{C_2}{C_1 + C_2} \times V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_1 = \frac{4 \, \mu F}{2 \, \mu F + 4 \, \mu F} \times 12 \, V = \frac{4}{6} \times 12 \, V = 8 \, V$.
આકૃતિ જોતા,$24 \, V$ ની બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $C_1$ ની જમણી પ્લેટ સાથે જોડાયેલ છે,જે $C_1$ ની આસપાસ $B$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $A$ કરતા વધારે બનાવે છે. તેથી,$V_B - V_A = 8 \, V$.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B) = -8 \, V$ થાય.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર $C$ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ બેટરી $E$,આંતરિક અવરોધ $r$ અને અવરોધ $R_2$ ના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{E}{R_2 + r}$
અવરોધ $R_2$ (બિંદુઓ $d$ અને $c$ વચ્ચે) ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_{dc} = i R_2 = \frac{E R_2}{R_2 + r}$
કેપેસિટર $C$ એ અવરોધ $R_2$ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $R_2$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
તેથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C V_{dc} = \frac{C E R_2}{R_2 + r}$

(A) પરિપથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_1 + C_2}$
(કારણ કે $C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે,અને આ સંયોજન $C_3$ સાથે શ્રેણીમાં છે).
તેથી,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{C_1 + C_2 + C_3}{C_3(C_1 + C_2)}$
$\therefore C_{eq} = \frac{C_3(C_1 + C_2)}{C_1 + C_2 + C_3}$
બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ હોવાથી,શરૂઆતનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = C_{eq} V = \frac{C_3(C_1 + C_2) V}{C_1 + C_2 + C_3}$ થાય.
જો કેપેસિટર $C_3$ બ્રેકડાઉન થાય (શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે),તો અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{eq}' = C_1 + C_2$ થાય.
નવો વિદ્યુતભાર $q' = C_{eq}' V = (C_1 + C_2) V$ થાય.
કુલ વિદ્યુતભારમાં થતો ફેરફાર $\Delta q = q' - q = (C_1 + C_2) V - \frac{C_3(C_1 + C_2) V}{C_1 + C_2 + C_3}$ છે.
$(C_1 + C_2) V$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે:
$\Delta q = (C_1 + C_2) V \left[ 1 - \frac{C_3}{C_1 + C_2 + C_3} \right]$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને તેની સપાટી પર સમાન રીતે વિતરિત $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પોલા ગોળાકાર કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(s < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$2$. અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. કવચની બહાર $(s \geq R)$,કવચ કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto \frac{1}{s}$.
$4$. તેથી,$s < R$ માટે સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને $s > R$ માટે તે હાયપરબોલિક રીતે ઘટે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) આપેલ સર્કિટ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે.
ધારો કે કેપેસીટર્સ $C_1 = 6 \mu F$,$C_2 = 6 \mu F$,$C_3 = 6 \mu F$,$C_4 = 6 \mu F$,અને $C_5 = 20 \mu F$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $\frac{C_1}{C_3} = \frac{6}{6} = 1$ અને $\frac{C_2}{C_4} = \frac{6}{6} = 1$.
જેથી $\frac{C_1}{C_3} = \frac{C_2}{C_4}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,કેપેસીટર $C_5$ $(20 \mu F)$ માંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી,અને તેને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,$C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,અને $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખા ($C_1$ અને $C_2$) નું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C' = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3 \mu F$ છે.
નીચેની શાખા ($C_3$ અને $C_4$) નું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C'' = \frac{C_3 \times C_4}{C_3 + C_4} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3 \mu F$ છે.
છેલ્લે,$C'$ અને $C''$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
કુલ અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C' + C'' = 3 \mu F + 3 \mu F = 6 \mu F$ છે.

(C) કેપેસિટર $C_1$ માટે,પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો $q_1 = 2 \mu C$ અને $q_2 = 4 \mu C$ છે. $C_1$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = (q_2 - q_1) / (2C_1) = (4 - 2) / (2C_1) = 1 / C_1$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ માટે,પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો $q_3 = 4 \mu C$ અને $q_4 = 8 \mu C$ છે. $C_2$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = (q_4 - q_3) / (2C_2) = (8 - 4) / (2 \times 2C_1) = 4 / (4C_1) = 1 / C_1$ છે.
$V_1 = V_2$ હોવાથી,જ્યારે કી $K$ બંધ કરવામાં આવે ત્યારે પ્લેટો વચ્ચે કોઈ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હોતો નથી,તેથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી.
$C_1$ ની ઉપરની પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $2 \mu C$ (ધન) છે અને નીચેની પ્લેટ પર $4 \mu C$ (ધન) છે. આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે,અલગ કરેલા કેપેસિટરમાં,પ્લેટો સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે,પરંતુ જ્યારે બાહ્ય પરિપથ સાથે જોડવામાં આવે અથવા મનસ્વી વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે,ત્યારે પ્લેટો પર હંમેશા સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર હોવો જરૂરી નથી.

(D) ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{KQ}{R^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_{1} = \frac{KQ_{1}}{R_{1}^{2}}$ અને $E_{2} = \frac{KQ_{2}}{R_{2}^{2}}.$
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}.$
કિંમતો મૂકતા,$\frac{KQ_{1} / R_{1}^{2}}{KQ_{2} / R_{2}^{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}.$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} \cdot \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}} \implies \frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}.$
ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિત વિદ્યુત પોટેન્શિયલ $V = \frac{KQ}{R}$ છે.
તેથી,$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{KQ_{1} / R_{1}}{KQ_{2} / R_{2}} = \frac{Q_{1}}{Q_{2}} \cdot \frac{R_{2}}{R_{1}}.$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}} \cdot \frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}} = (R_{1} / R_{2})^{2}.$

(C) સમાંતર જોડાણ માટે,અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{p} = C_{1} + C_{2} = 10\; \mu F$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^{2}$ છે.
આપેલ છે કે જ્યારે સમાન વોલ્ટેજ $V$ સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે $U_{2} = 4U_{1}$ થાય છે.
સૂત્ર મૂકતા,$\frac{1}{2}C_{2}V^{2} = 4 \times \frac{1}{2}C_{1}V^{2}$,જેનું સાદું રૂપ $C_{2} = 4C_{1}$ મળે છે.
$C_{2} = 4C_{1}$ ને સમાંતર જોડાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $C_{1} + 4C_{1} = 10\; \mu F \implies 5C_{1} = 10\; \mu F \implies C_{1} = 2\; \mu F$.
તેથી,$C_{2} = 4 \times 2 = 8\; \mu F$.
શ્રેણી જોડાણ માટે,અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{s}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{C_{s}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} = \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}C_{2}}$ છે.
$C_{s} = \frac{C_{1}C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{2 \times 8}{2 + 8} = \frac{16}{10} = 1.6\; \mu F$.

(N/A) સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ છે.
અહીં,$q_1 = 7 \times 10^{-6} \; C$,$q_2 = -2 \times 10^{-6} \; C$,અને $r = 18 \; cm = 0.18 \; m$ છે.
$U = 9 \times 10^9 \times \frac{(7 \times 10^{-6})(-2 \times 10^{-6})}{0.18} = -0.7 \; J$.
$(b)$ વિદ્યુતભારોને અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી કાર્ય $W = U_{\infty} - U = 0 - (-0.7) = 0.7 \; J$ છે.
$(c)$ ક્ષેત્ર $E = A/r^2$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V(r) = \int E \cdot dr = A/r$ થાય.
કુલ ઊર્જા $U_{total} = q_1 V(r_1) + q_2 V(r_2) + \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r_{12}}$ છે.
$U_{total} = (9 \times 10^5) \left( \frac{7 \times 10^{-6}}{0.09} \right) + (9 \times 10^5) \left( \frac{-2 \times 10^{-6}}{0.09} \right) - 0.7$.
$U_{total} = 70 - 20 - 0.7 = 49.3 \; J$.

(N/A) કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C V = 900 \times 10^{-12} \; F \times 100 \; V = 9 \times 10^{-8} \; C$ છે.
કેપેસિટર દ્વારા સંગ્રહિત ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} Q V$
$U = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-8} \; C \times 100 \; V = 4.5 \times 10^{-6} \; J$.
$(b)$ સ્થાયી સ્થિતિમાં,બંને કેપેસિટરની ધન પ્લેટો સમાન પોટેન્શિયલ પર અને તેમની ઋણ પ્લેટો સમાન પોટેન્શિયલ પર હોય છે. ધારો કે સામાન્ય પોટેન્શિયલ તફાવત $V'$ છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = C V'$ થાય છે.
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બે સમાન કેપેસિટરો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી $Q' = Q / 2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $V' = V / 2 = 50 \; V$.
તંત્રની કુલ ઉર્જા:
$U_{total} = 2 \times \left( \frac{1}{2} C (V')^2 \right) = 2 \times \frac{1}{2} \times (900 \times 10^{-12} \; F) \times (50 \; V)^2$
$U_{total} = 900 \times 10^{-12} \times 2500 = 2.25 \times 10^{-6} \; J$.

કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણમાં,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
તેથી,કુલ સંગ્રહિત ઊર્જા:
$U = \frac{Q^2}{2C_{eq}} = \frac{Q^2}{2} \left[ \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \right]$
$U = \frac{Q^2}{2C_1} + \frac{Q^2}{2C_2} + \dots + \frac{Q^2}{2C_n}$
$U = U_1 + U_2 + \dots + U_n$
કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણમાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,કુલ સંગ્રહિત ઊર્જા:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2 + \dots + C_n) V^2$
$U = \frac{1}{2} C_1 V^2 + \frac{1}{2} C_2 V^2 + \dots + \frac{1}{2} C_n V^2$
$U = U_1 + U_2 + \dots + U_n$
આમ,કેપેસિટરોના શ્રેણી અને સમાંતર બંને જોડાણોમાં,કુલ સંગ્રહિત ઊર્જા એ વ્યક્તિગત કેપેસિટરોમાં સંગ્રહિત ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.

(D) શરૂઆતમાં,પાતળી વાહક ડિસ્ક નીચેની પ્લેટના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે. નીચેની પ્લેટ એક સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતી સપાટી છે. કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે.
જ્યારે ડિસ્કને નીચેની પ્લેટ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે $q'$ જેટલો વીજભાર મેળવે છે. ગૌસના નિયમ મુજબ,ડિસ્ક પરનો વીજભાર $q' = \epsilon_0 E A$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ છે.
$E = \frac{V}{d}$ મૂકતા,આપણને $q' = \epsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right) \pi r^2$ મળે છે.
ડિસ્ક પર ઉપરની દિશામાં લાગતું અપાકર્ષી બળ $F = q' E$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$F = \left( \epsilon_0 \frac{V}{d} \pi r^2 \right) \left( \frac{V}{d} \right) = \frac{\epsilon_0 \pi r^2 V^2}{d^2}$.
ડિસ્કને ઊંચકવા માટે,આ અપાકર્ષી બળ ડિસ્કના વજન $(mg)$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{\epsilon_0 \pi r^2 V^2}{d^2} = mg$.
$V$ માટે ઉકેલતા,આપણને $V^2 = \frac{mg d^2}{\pi \epsilon_0 r^2}$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ વોલ્ટેજ $V = d \sqrt{\frac{mg}{\pi \epsilon_0 r^2}}$ છે.

(A) ગોળાઓ પરના પ્રારંભિક વિદ્યુતભારો $Q_1 = \sigma(4\pi R^2)$ અને $Q_2 = \sigma(4\pi(2R)^2) = 16\pi R^2\sigma = 4Q_1$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 5Q_1 = 20\pi R^2\sigma$ છે.
જ્યારે તેમને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત કરે છે. $V = \frac{kQ'}{r}$ હોવાથી,$\frac{kQ_1'}{R} = \frac{kQ_2'}{2R}$,જેનો અર્થ છે કે $Q_2' = 2Q_1'$.
વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $Q_1' + Q_2' = 5Q_1 \implies 3Q_1' = 5Q_1 \implies Q_1' = \frac{5}{3}Q_1$ અને $Q_2' = \frac{10}{3}Q_1$.
નવી સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_1' = \frac{Q_1'}{4\pi R^2} = \frac{5/3(\sigma \cdot 4\pi R^2)}{4\pi R^2} = \frac{5}{3}\sigma$ છે.
$\sigma_2' = \frac{Q_2'}{4\pi(2R)^2} = \frac{10/3(\sigma \cdot 4\pi R^2)}{16\pi R^2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4} \sigma = \frac{5}{6}\sigma$ થાય.

(A) કેપેસિટર $C_{2}$ અને $C_{3}$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,$C_{3}$ પરનો વોલ્ટેજ પણ $20\, V$ થશે.
આપેલ છે કે $C_{3} = 8\, \mu F$,તેથી કેપેસિટર $C_{3}$ પરનો વિદ્યુતભાર:
$q_{3} = C_{3} \times V = 8\, \mu F \times 20\, V = 160\, \mu C$.
સર્કિટમાં કુલ વિદ્યુતભાર $q_{total} = 750\, \mu C$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q_{total}$ એ સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કેપેસિટર $C_{2}$ અને $C_{3}$ પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો છે,તેથી:
$q_{total} = q_{2} + q_{3}$.
તેથી,$q_{2} = q_{total} - q_{3} = 750\, \mu C - 160\, \mu C = 590\, \mu C$.

(B) ધારો કે બિંદુ $O$ નું સ્થિતિમાન $V_{O} = 0 \, V$ છે.
ધારો કે ઉપરના જંકશનનું સ્થિતિમાન $x$ છે.
કેપેસિટરો બેટરી સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જોડાયેલા છે. $2\, \mu F$ કેપેસિટરની ડાબી પ્લેટનું સ્થિતિમાન $6\, V$ છે અને $4\, \mu F$ કેપેસિટરની જમણી પ્લેટનું સ્થિતિમાન $6\, V$ છે.
ઉપરના જંકશન $x$ પર નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
જંકશન $x$ સાથે જોડાયેલી પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $q_{1} + q_{2} + q_{3} = 0$.
$2(x - 6) + 4(x - 6) + 5(x - 0) = 0$.
$2x - 12 + 4x - 24 + 5x = 0$.
$11x = 36$.
$x = \frac{36}{11} \, V$.
$5\, \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_{3} = C_{3} \cdot V_{3} = 5 \cdot (x - 0) = 5 \cdot \frac{36}{11} = \frac{180}{11} \, \mu C$.
$q_{3} \approx 16.36 \, \mu C$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ પરિપથમાં $9 \ V$ ની બેટરી $12 \ k\Omega$ ના અવરોધ અને $15 \ k\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 12 \ k\Omega + 15 \ k\Omega = 27 \ k\Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \ V}{27 \ k\Omega} = \frac{1}{3} \ mA$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એ $15 \ k\Omega$ ના અવરોધ પરના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે કારણ કે તેઓ સમાંતર જોડાયેલા છે.
$V_c = I \times R = \left(\frac{1}{3} \times 10^{-3} \ A\right) \times (15 \times 10^3 \ \Omega) = 5 \ V$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V_c = (9 \ \mu F) \times (5 \ V) = 45 \ \mu C$ છે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપા પરનો વીજભાર $q$ છે.
દરેક નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V_{small} = \frac{kq}{r} = 2 \ V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n = 512$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વીજભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે.
$V_{total} = n \times V_{small} \implies \frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$R^3 = 512 r^3 \implies R = (512)^{1/3} r = 8r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 512q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V_{large} = \frac{kQ}{R} = \frac{k(512q)}{8r}$ છે.
$V_{large} = 64 \times \frac{kq}{r} = 64 \times 2 \ V = 128 \ V$.

(D) આપેલ છે કે $\lambda = \frac{C}{V}$.
કેમ કે $C = \frac{Q}{V}$,તેથી $\lambda = \frac{Q}{V^{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V = \frac{W}{Q}$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
$\lambda$ ના સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{Q}{(W/Q)^{2}} = \frac{Q^{3}}{W^{2}}$.
પરિમાણીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $[Q] = [IT]$,$[W] = [ML^{2}T^{-2}]$.
$\lambda = \frac{[IT]^{3}}{[ML^{2}T^{-2}]^{2}} = \frac{[I^{3}T^{3}]}{[M^{2}L^{4}T^{-4}]}$.
$\lambda = [M^{-2} L^{-4} I^{3} T^{3 - (-4)}] = [M^{-2} L^{-4} I^{3} T^{7}]$.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આથી $R^3 = 27r^3$,એટલે કે $R = 3r$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપા પરનો વીજભાર $q$ છે. મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = 27q$ થશે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $q$ વીજભાર ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U_1 = \frac{3}{5} \frac{kq^2}{r}$ છે.
મોટા ટીપાની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{3}{5} \frac{kQ^2}{R}$ છે.
$Q = 27q$ અને $R = 3r$ ની કિંમત $U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U = \frac{3}{5} \frac{k(27q)^2}{3r} = \frac{3}{5} \frac{k \cdot 729q^2}{3r} = \frac{729}{3} \left( \frac{3}{5} \frac{kq^2}{r} \right)$.
$U = 243 U_1$.
તેથી,મોટા ટીપાની સ્થિતિઊર્જા નાના ટીપાની સ્થિતિઊર્જા કરતા $243$ ગણી છે.

(C) આપેલ છે: અવરોધકતા $\rho = 200 \, \Omega \, m$,કેપેસિટન્સ $C = 2 \times 10^{-12} \, F$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 40 \, V$,સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $K = 50$.
પ્લેટો વચ્ચેના ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થનો અવરોધ $R = \frac{\rho d}{A}$ દ્વારા અને કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC = \left( \frac{\rho d}{A} \right) \left( \frac{K \varepsilon_0 A}{d} \right) = \rho K \varepsilon_0$ મળે છે.
લીકેજ પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ $I = \frac{V}{R}$ છે.
$R = \frac{\rho d}{A}$ અને $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d} \implies \frac{A}{d} = \frac{C}{K \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho K \varepsilon_0}{C}$ મળે છે.
આમ,$I = \frac{V}{R} = \frac{VC}{\rho K \varepsilon_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{40 \times 2 \times 10^{-12}}{200 \times 50 \times 8.854 \times 10^{-12}}$.
$I = \frac{80 \times 10^{-12}}{10000 \times 8.854 \times 10^{-12}} = \frac{80}{88540} \approx 0.000903 \, A = 0.903 \, mA$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,લીકેજ પ્રવાહ $0.9 \, mA$ છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સર્કિટમાં $1\, \Omega$ ના આંતરિક અવરોધ સાથેની $5\, \text{V}$ ની બેટરી છે જે નીચેની શાખામાં $4\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરી અને નીચેની શાખામાં રહેલા $4\, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા નક્કી થાય છે.
કેમ કે ઉપરની શાખામાં (કેપેસિટર ધરાવતી) કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ બેટરીના ટર્મિનલ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે,જે $4\, \Omega$ ના અવરોધ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ છે.
નીચેના લૂપમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{ext} + r} = \frac{5}{4 + 1} = 1\, \text{A}$ છે.
$4\, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = I \times R = 1 \times 4 = 4\, \text{V}$ છે.
હવે,ઉપરની શાખાને ધ્યાનમાં લો. બે $2\, \mu \text{F}$ ના કેપેસિટર સમાંતરમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{p} = 2 + 2 = 4\, \mu \text{F}$ છે.
આ $C_{p}$ એ $4\, \mu \text{F}$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. ઉપરની શાખાનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\, \mu \text{F}$ છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V_{AB} = 2\, \mu \text{F} \times 4\, \text{V} = 8\, \mu \text{C}$ છે.
કેમ કે $4\, \mu \text{F}$ નું કેપેસિટર સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $4\, \mu \text{F}$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 8\, \mu \text{C}$ જેટલો જ રહેશે.

(C) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે અને બિંદુ $B$ પર $0$ છે. ધારો કે બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન $V_{D}$ છે.
કેપેસિટર $C_{2}$ અને $C_{3}$ શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમના પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે. નોડ $D$ પર અલગ પડેલી પ્લેટોની સિસ્ટમ માટે વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(V_{D} - V) C_{2} + (V_{D} - 0) C_{3} = 0$
$(V_{D} - V) 6 + (V_{D} - 0) 12 = 0$
$6V_{D} - 6V + 12V_{D} = 0$
$18V_{D} = 6V \implies V_{D} = \frac{V}{3}$
હવે,વિદ્યુતભારોની ગણતરી કરીએ:
$q_{1} = C_{1} V = (2 \, \mu F) V = 2V \, \mu C$
$q_{2} = C_{2} (V - V_{D}) = 6 \, \mu F (V - \frac{V}{3}) = 6 \, \mu F (\frac{2V}{3}) = 4V \, \mu C$
$q_{3} = C_{3} (V_{D} - 0) = 12 \, \mu F (\frac{V}{3} - 0) = 4V \, \mu C$
વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $q_{1} : q_{2} : q_{3} = 2V : 4V : 4V = 2 : 4 : 4 = 1 : 2 : 2$ થાય છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સર્કિટમાં $6 \, V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા $2 \, k\Omega$ ના ત્રણ અવરોધ છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega = 6 \, k\Omega$ છે.
સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{6 \, k\Omega} = 1 \, mA$ છે.
કેપેસિટર સૌથી નીચેના $2 \, k\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
આ અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c = I \times R = 1 \, mA \times 2 \, k\Omega = 2 \, V$ છે.
કેપેસિટર આ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ $2 \, V$ થશે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q = 50 \,\mu {F} \times 2 \, V = 100 \,\mu {C}$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે.
દરેક નાના ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V_S = \frac{kq}{r} = 220 \, V$ છે.
જ્યારે $N = 27$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = N \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R = N^{1/3} r = (27)^{1/3} r = 3r$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Nq = 27q$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kQ}{R} = \frac{k(Nq)}{N^{1/3}r} = N^{2/3} \frac{kq}{r} = N^{2/3} V_S$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_B = (27)^{2/3} \times 220 = (3^3)^{2/3} \times 220 = 3^2 \times 220 = 9 \times 220 = 1980 \, V$.

(B) $1$. પ્રથમ કેપેસીટર પરનો પ્રારંભિક વીજભાર: $Q = C V = 900 \times 10^{-12} \, F \times 100 \, V = 9 \times 10^{-8} \, C$.
$2$. જ્યારે તેને સમાન કેપેસીટન્સ $C$ ધરાવતા અનચાર્જ્ડ કેપેસીટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વીજભાર $Q$ બંને કેપેસીટર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
$3$. સામાન્ય સ્થિતિમાન $V'$ નીચે મુજબ મળે છે: $V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{Q}{C + C} = \frac{9 \times 10^{-8} \, C}{1800 \times 10^{-12} \, F} = 50 \, V$.
$4$. તંત્રમાં સંગ્રહિત કુલ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા: $U = \frac{1}{2} (C + C) (V')^2 = \frac{1}{2} (1800 \times 10^{-12} \, F) (50 \, V)^2$.
$5$. $U = 900 \times 10^{-12} \times 2500 = 225 \times 10^{-8} \, J = 2.25 \times 10^{-6} \, J$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપા પરનો વીજભાર $q$ છે.
દરેક નાના ટીપાનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{kq}{r} = 22 \ V$ છે.
જ્યારે $n = 27$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વીજભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) \Rightarrow R = n^{1/3} r = (27)^{1/3} r = 3r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 27q$ છે.
મોટા ટીપાનું પોટેન્શિયલ $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V' = (27)^{2/3} \times 22 = (3^3)^{2/3} \times 22 = 3^2 \times 22 = 9 \times 22 = 198 \ V$.

(B) ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $64$ નાના ટીપાના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 64 r^3 \implies R = 4r$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપા પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને મોટા ટીપા પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$Q = 64q$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ને $\sigma = \frac{\text{Charge}}{\text{Area}} = \frac{q}{4\pi r^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
નાના ટીપા માટે,$\sigma_s = \frac{q}{4\pi r^2}$.
મોટા ટીપા માટે,$\sigma_B = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{64q}{4\pi (4r)^2} = \frac{64q}{4\pi (16r^2)} = 4 \times \frac{q}{4\pi r^2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\sigma_B}{\sigma_s} = \frac{4 \times \sigma_s}{\sigma_s} = 4:1$.

(A) કેપેસીટર માટે વિદ્યુતભાર $(Q)$,કેપેસીટન્સ $(C)$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = CV$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત માટે આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $V = \frac{1}{C} Q$.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં રેખાનો ઢાળ $\frac{1}{C}$ છે.
અહીં $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ અને મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q = 5\,C$ આપેલ છે,તેથી મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V = \frac{Q}{C} = \frac{5}{2 \times 10^{-6}} = 2.5 \times 10^{6}\,V$.
આમ,આલેખ $(0,0)$ થી શરૂ થઈને $(5, 2.5 \times 10^{6})$ પર પૂરી થતી એક સીધી રેખા હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $A$ આ રેખીય સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) કિસ્સો $I$: સ્વીચ $K$ બંધ છે.
બંને કેપેસિટરો સ્ત્રોત $V$ સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C$.
કુલ ઉર્જા $E_{1} = \frac{1}{2} C_{eq} V^{2} = \frac{1}{2} (2C) V^{2} = CV^{2}$.
કિસ્સો $II$: સ્વીચ $K$ ખોલવામાં આવે છે.
ડાબી બાજુનો કેપેસિટર સ્ત્રોત $V$ સાથે જોડાયેલ રહે છે,તેથી તેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ રહે છે અને તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = K_{d}C = 5C$ થાય છે. તેની ઉર્જા $E_{L} = \frac{1}{2} (5C) V^{2} = \frac{5}{2} CV^{2}$ છે.
જમણી બાજુનો કેપેસિટર અલગ થઈ જાય છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ રહે છે. તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = K_{d}C = 5C$ થાય છે. તેની ઉર્જા $E_{R} = \frac{Q^{2}}{2C'} = \frac{(CV)^{2}}{2(5C)} = \frac{CV^{2}}{10}$ છે.
કુલ ઉર્જા $E_{2} = E_{L} + E_{R} = \frac{5}{2} CV^{2} + \frac{1}{10} CV^{2} = \frac{25+1}{10} CV^{2} = \frac{26}{10} CV^{2} = \frac{13}{5} CV^{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{CV^{2}}{\frac{13}{5} CV^{2}} = \frac{5}{13}$.

(D) સંયુક્ત કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર $C_{1}$ અને $C_{2}$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$C_{1} = \frac{K_{1} \epsilon_{0} A}{t_{1}} = \frac{3 \epsilon_{0} A}{0.5 \times 10^{-3}} = 6000 \epsilon_{0} A$
$C_{2} = \frac{K_{2} \epsilon_{0} A}{t_{2}} = \frac{4 \epsilon_{0} A}{1 \times 10^{-3}} = 4000 \epsilon_{0} A$
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તેના કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $V_{1} + V_{2} = 100 \text{ V}$.
વળી,$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{C_{2}}{C_{1}} = \frac{4000 \epsilon_{0} A}{6000 \epsilon_{0} A} = \frac{2}{3}$.
$V_{1} = \frac{2}{5} \times 100 = 40 \text{ V}$ અને $V_{2} = \frac{3}{5} \times 100 = 60 \text{ V}$.
જો નીચેની પ્લેટ $0 \text{ V}$ પર હોય,તો ફોઇલ $F$ નો પોટેન્શિયલ એ $C_{2}$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ છે,જે $60 \text{ V}$ છે.

(B) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખીય વેગમાન $p$ એ ગતિઊર્જા સાથે $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\alpha$ કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$ છે,જ્યાં $m_p$ એ પ્રોટોનનું દળ છે અને $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે.
પ્રોટોન માટે,દળ $m_p$ છે અને વિદ્યુતભાર $q_p = e$ છે.
તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_{\alpha}}{p_p} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m_p \cdot 2e}{m_p \cdot e}} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં (કેપેસિટર સંપૂર્ણ ચાર્જ થયા પછી),કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. કેપેસિટર ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે.
પરિપથ $1 \,k\Omega$ અવરોધ અને $2 \,k\Omega$ અવરોધના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બને છે,જે $6 \,V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{\text{total}} = 1 \,k\Omega + 2 \,k\Omega = 3 \,k\Omega = 3000 \,\Omega$ છે.
પરિપથમાં સ્થાયી પ્રવાહ $i = \frac{E}{R_{\text{total}}} = \frac{6 \,V}{3000 \,\Omega} = 2 \times 10^{-3} \,A = 2 \,mA$ છે.
$2 \,k\Omega$ અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{2k} = i \times R = (2 \times 10^{-3} \,A) \times (2000 \,\Omega) = 4 \,V$ છે.
કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓ $2 \,k\Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતર હોવાથી,$1 \,\mu F$ અને $2 \,\mu F$ બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2 \,k\Omega$ અવરોધ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો એટલે કે $4 \,V$ હશે.
$1 \,\mu F$ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 \times V = (1 \,\mu F) \times (4 \,V) = 4 \,\mu C$ છે.
$2 \,\mu F$ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 \times V = (2 \,\mu F) \times (4 \,V) = 8 \,\mu C$ છે.
તેથી,સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $4 \,\mu C$ અને $8 \,\mu C$ છે.

(D) જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થાય છે,ત્યારે તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે દરેક અવરોધકનો અવરોધ $R$ છે. સર્કિટ એક એવા નેટવર્કમાં સરળ બને છે જ્યાં કેપેસિટર બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીને,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
આપેલ સમતુલ્ય સર્કિટ આકૃતિના આધારે,કેપેસિટરના ટર્મિનલ્સ પરનો અસરકારક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = \frac{5}{8}V$ મળે છે.
તેથી,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C \cdot V_{AB} = \frac{5}{8}CV$ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
$1$. સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસીટન્સ $C$ ઘટે છે.
$2$. બેટરી જોડાયેલી રહેતી હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
$3$. કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $C$ ઘટે છે અને $V$ અચળ છે,તેથી ચાર્જ $Q$ ઘટે છે.
$4$. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિર વિદ્યુત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $C$ ઘટે છે અને $V$ અચળ છે,તેથી સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ ઘટે છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. કેન્દ્ર $O$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r = \frac{l}{\sqrt{3}}$ છે.
$1$. કુલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$: કેન્દ્ર $O$ પર દરેક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_0 = \frac{kq}{r^2} = \frac{kq}{(l/\sqrt{3})^2} = \frac{3kq}{l^2}$ છે. આ ત્રણેય વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશો મધ્યગાઓની દિશામાં બહારની તરફ હોય છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે. સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત અને સંમિતિને કારણે,આ ત્રણ સમાન ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે. આમ,$E_{\text{net}} = 0$.
$2$. કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$: વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ અદિશ રાશિ છે. એક વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર સ્થિતિમાન $V_0 = \frac{kq}{r} = \frac{kq}{l/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}kq}{l}$ છે. આવા ત્રણ વિદ્યુતભારો હોવાથી,કુલ સ્થિતિમાન $V_{\text{net}} = 3 \times V_0 = 3 \times \frac{\sqrt{3}kq}{l} = \frac{3\sqrt{3}kq}{l}$ થાય. અહીં $q \neq 0$ હોવાથી,$V_{\text{net}} \neq 0$ થાય.
તેથી,સાચું વિધાન $V \neq 0, E=0$ છે.

(A) કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન રહેશે.
દરેક કેપેસિટર માટે મહત્તમ વોલ્ટેજ રેટિંગ $V_{\max} = 50 \, V$ આપેલ છે,તેથી દરેક કેપેસિટર ધારણ કરી શકે તેવો મહત્તમ વિદ્યુતભાર:
$q_1 = C_1 V_{\max} = 20 \, \mu F \times 50 \, V = 1000 \, \mu C$
$q_2 = C_2 V_{\max} = 40 \, \mu F \times 50 \, V = 2000 \, \mu C$
$q_3 = C_3 V_{\max} = 50 \, \mu F \times 50 \, V = 2500 \, \mu C$
શ્રેણી જોડાણમાં,પરિપથની મર્યાદા સૌથી ઓછા મહત્તમ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કેપેસિટર દ્વારા નક્કી થાય છે. તેથી,$q_{\max} = 1000 \, \mu C$.
હવે,જ્યારે $q = 1000 \, \mu C$ હોય ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ:
$V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{1000 \, \mu C}{20 \, \mu F} = 50 \, V$
$V_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{1000 \, \mu C}{40 \, \mu F} = 25 \, V$
$V_3 = \frac{q}{C_3} = \frac{1000 \, \mu C}{50 \, \mu F} = 20 \, V$
કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{XY}$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો સરવાળો છે:
$V_{XY} = V_1 + V_2 + V_3 = 50 \, V + 25 \, V + 20 \, V = 95 \, V$.