Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Gujarati

(A) પરિપથમાં $3 \mu F$ અને $9 \mu F$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે $4 \mu F$ નું કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે.
પ્રથમ,સમાંતર ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો: $C_p = 3 \mu F + 9 \mu F = 12 \mu F$.
હવે,આ શાખામાં $8 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે $4 \mu F$ અને $C_p = 12 \mu F$ શ્રેણીમાં છે.
આ શાખાનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3 \mu F$ છે.
આ શાખામાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $q = C_{eq} \times V = 3 \mu F \times 8 \ V = 24 \mu C$ છે.
આ વિદ્યુતભાર $q$ એ $4 \mu F$ ના કેપેસિટરમાંથી પસાર થાય છે.
સમાંતર જોડાણ $C_p$ પરનો વોલ્ટેજ $V_p = V - V_{4\mu F} = 8 \ V - \frac{24 \mu C}{4 \mu F} = 8 \ V - 6 \ V = 2 \ V$ છે.
$9 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_{9\mu F} = C_{9\mu F} \times V_p = 9 \mu F \times 2 \ V = 18 \mu C$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $4 \mu F$ અને $9 \mu F$ ના કેપેસિટર્સ પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો છે: $Q = 24 \mu C + 18 \mu C = 42 \mu C = 42 \times 10^{-6} \ C$.
$r = 30 \ m$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 42 \times 10^{-6}}{30^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 42 \times 10^{-6}}{900} = 420 \ N/C$ થાય.

(A) સ્વિચ $S$ બંધ કરતા પહેલા,બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. ડાબી બાજુનું કેપેસિટર $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડાયેલું છે અને જમણી બાજુનું કેપેસિટર $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બીજી બેટરી સાથે જોડાયેલું છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ જ રહે છે કારણ કે તેઓ તેમની સંબંધિત બેટરીઓ સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે.
કેપેસિટર પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં કોઈ ફેરફાર થતો ન હોવાથી,વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થતું નથી.
તેથી,સિસ્ટમની ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે અને સર્કિટમાં મુક્ત થતી ઉષ્મા $H = 0$ છે.

(A) સ્થિર અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. સર્કિટ $16 \ V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $2 \ \Omega$ ના અવરોધકોમાં સરળ બને છે. સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{16 \ V}{2 \ \Omega + 2 \ \Omega} = 4 \ A$ છે. કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ તેની સાથે સમાંતર જોડાયેલા $2 \ \Omega$ ના અવરોધક પરના વોલ્ટેજ જેટલો હોય છે. તેથી,$V_c = I \times R = 4 \ A \times 2 \ \Omega = 8 \ V$. સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની અંદર,વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન (uniform) હોય છે. સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ $\vec{F} = q\vec{E} + (-q)\vec{E} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ $0$ છે.

(A) ટેટ્રાહેડ્રોન (ચતુષ્ફલક) ને $4$ શિરોબિંદુઓ અને $6$ ધાર હોય છે। જો દરેક ધાર પર $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતું કેપેસિટર હોય, તો આપણે કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ (જંકશન) વચ્ચે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધવું છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ છે. આપણે $A$ અને $B$ વચ્ચે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધવા માંગીએ છીએ.
સંમિતિ દ્વારા, જો $A$ અને $B$ વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવે, તો $C$ અને $D$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હશે.
કારણ કે $C$ અને $D$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે, તેથી $C$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલા કેપેસિટરમાંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેશે નહીં. આમ, આ કેપેસિટરને દૂર કરી શકાય છે.
ત્યારબાદ સર્કિટ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે:
$1$. $A-C-B$ માર્ગમાં શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર $(C/2)$ છે અને $A-D-B$ માર્ગમાં શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર $(C/2)$ છે. આ બંને માર્ગો સીધા $A-B$ કેપેસિટર $(C)$ સાથે સમાંતરમાં છે.
તેથી, $C_{eq} = C + \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = 2C$.

(A) જ્યારે $K_1$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે કેપેસિટર $C$ એ $R_1$ અને બેટરી $E$ સાથે શ્રેણીમાં હોય છે. સ્ટેડી સ્ટેટમાં,કેપેસિટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના $EMF$ જેટલો હોય છે,$V_1 = E$. તેથી,વિદ્યુતભાર $q_1 = CE$ થાય.
જ્યારે $K_1$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ પોટેન્શિયલ ડિવાઈડર બનાવે છે. કેપેસિટર એ અવરોધ $R_2$ સાથે સમાંતરમાં છે. કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $R_2$ પરનો વોલ્ટેજ છે,જે વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા મળે છે: $V_2 = E \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = E \times \frac{3}{2 + 3} = E \times \frac{3}{5} = 0.6E$.
તેથી,વિદ્યુતભાર $q_2 = C \times V_2 = 0.6CE$ થાય.
વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{CE}{0.6CE} = \frac{1}{0.6} = 1.666... \approx 1.67$ થાય.

(D) $1$. જ્યારે સ્વીચ સ્થિતિ $A$ પર હોય છે, ત્યારે કેપેસિટર $C_1$ ને $V_0$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે। આમ, $C_1$ એ $Q_1 = C V_0$ સુધી ચાર્જ થાય છે।
$2$. જ્યારે સ્વીચને સ્થિતિ $B$ પર ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટર $C_1$ ને $C_2, C_3,$ અને $C_4$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે। શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ ધારો। $C_2 = C_3 = C_4 = C$ હોવાથી, $1/C_{eq} = 1/C + 1/C + 1/C = 3/C$, તેથી $C_{eq} = C/3$.
$3$. કુલ ચાર્જ $Q_1$ હવે $C_1$ અને શ્રેણી જોડાણ $C_{eq}$ વચ્ચે વહેંચાય છે। અંતિમ સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V$ ધારો। તો $Q_1 = (C + C/3)V = (4/3)CV$. પ્રારંભિક ચાર્જ $CV_0$ હોવાથી, $CV_0 = (4/3)CV$, જે $V = (3/4)V_0$ આપે છે.
$4$. $C_1$ પરનો ચાર્જ $Q_1' = CV = (3/4)CV_0$ છે। શ્રેણી જોડાણ પરનો ચાર્જ $Q_{series} = (C/3)V = (1/4)CV_0$ છે। $C_2, C_3, C_4$ શ્રેણીમાં હોવાથી, તે બધા પર સમાન ચાર્જ $Q_2 = Q_3 = Q_4 = (1/4)CV_0$ હોય છે.
$5$. $Q_1'$ અને $Q_3$ ની સરખામણી કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે $Q_1' = 3 \times (1/4)CV_0 = 3 Q_3$. આમ, $Q_1 = 3Q_3$ સાચું છે।

(D) પ્રોટોનનું દળ પોઝિટ્રોનના દળ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી $(m_p \gg m_e)$,પોઝિટ્રોન પ્રોટોન કરતા ખૂબ ઝડપથી અનંત અંતરે પહોંચી જશે.
તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા:
$U_i = \frac{kq^2}{a} \times 4 - \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} \times 2 = \frac{kq^2}{a}(4 - \sqrt{2})$.
ખૂબ લાંબા સમય પછી,પોઝિટ્રોન અનંત અંતરે છે અને પ્રોટોન એકબીજાથી $a\sqrt{2}$ અંતરે છે.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા: $U_f = \frac{kq^2}{a\sqrt{2}}$.
કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે: $U_i = U_f + 2K_{e^+} + 2K_p$.
પોઝિટ્રોન પહેલા દૂર જાય છે,તેથી પ્રોટોન સ્થિર રહે છે જ્યારે પોઝિટ્રોન ગતિઊર્જા મેળવે છે.
$2K_{e^+} = U_i - U_f = \frac{kq^2}{a}(4 - \sqrt{2}) - \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} = \frac{kq^2}{a} \left( 4 - \frac{3}{\sqrt{2}} \right)$.
આથી $K_{e^+} = \frac{q^2}{2\pi \epsilon_0 a} (1 + \frac{1}{4\sqrt{2}})$ અને એક પ્રોટોન માટે $K_p = \frac{q^2}{8\sqrt{2}\pi \epsilon_0 a}$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = 10\,\mu F$ છે અને બેટરીનો વોલ્ટેજ $V = 200\, V$ છે.
કિસ્સો $1$: સ્વીચ $S$ ખુલ્લી છે.
પરિપથમાં ત્રણ કેપેસીટર સમાંતરમાં છે જે એક કેપેસીટર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq1} = \frac{(3C) \times C}{3C + C} = \frac{3C^2}{4C} = \frac{3}{4}C = \frac{3}{4} \times 10 = 7.5\,\mu F$ થાય.
બેટરીમાંથી ખેંચાયેલ પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_i = C_{eq1} V = 7.5 \times 200 = 1500\,\mu C$ છે.
કિસ્સો $2$: સ્વીચ $S$ બંધ છે.
સ્વીચ સાથે સમાંતરમાં રહેલ કેપેસીટર શોર્ટ-સર્કિટ થઈ જાય છે. હવે પરિપથમાં ત્રણ કેપેસીટર સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq2} = 3C = 3 \times 10 = 30\,\mu F$ થાય.
બેટરીમાંથી ખેંચાયેલ અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_f = C_{eq2} V = 30 \times 200 = 6000\,\mu C$ છે.
$AB$ માંથી વહેતો વિદ્યુતભાર એ બેટરીમાંથી ખેંચાયેલ વિદ્યુતભારમાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta q = q_f - q_i = 6000 - 1500 = 4500\,\mu C$.

(B) $KVL$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$100 - \frac{120}{4} - \frac{q_2}{4} = 0 \Rightarrow q_2 = 280\, \mu C$
તે જ રીતે,$q_2 + q_3 = q_1$ પરથી,$q_3 = -160\, \mu C$ મળે છે.

(A) જ્યારે સ્વીચ $S_1$ અને $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર્સની પ્લેટો એવી રીતે જોડાય છે કે જે એક બંધ લૂપ બનાવે છે.
ધારો કે નોડ્સ પરનો સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V$ છે.
સ્વીચો દ્વારા જોડાયેલ $C_1$,$C_2$,અને $C_3$ ની પ્લેટો દ્વારા રચાયેલા અલગ જંકશન પર ચાર્જ સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત લાગુ કરતા:
કેન્દ્રીય નોડ સાથે જોડાયેલ પ્લેટો પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ છે:
$q_1 = -C_1 V_1 = -17 \ \mu F \times 60 \ V = -1020 \ \mu C$
$q_2 = +C_2 V_2 = +34 \ \mu F \times 90 \ V = +3060 \ \mu C$
$q_3 = +C_3 V_3 = +41 \ \mu F \times 50 \ V = +2050 \ \mu C$
કુલ ચાર્જ $Q_{total} = q_1 + q_2 + q_3 = -1020 + 3060 + 2050 = 4090 \ \mu C$.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 = 17 + 34 + 41 = 92 \ \mu F$ છે.
અંતિમ સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = Q_{total} / C_{eq} = 4090 \ \mu C / 92 \ \mu F \approx 44.46 \ V$.
$C_3$ પરનો અંતિમ ચાર્જ $q_3' = C_3 \times V = 41 \ \mu F \times 44.46 \ V \approx 1822.86 \ \mu C \approx 1.82 \ mC$.
જો કે,સર્કિટ ડાયાગ્રામનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા,જ્યારે $S_1$ અને $S_2$ બંધ થાય છે,ત્યારે $C_3$ અસરકારક રીતે શોર્ટ-સર્કિટ થાય છે અથવા એવી ગોઠવણીમાં મૂકવામાં આવે છે જ્યાં તેની પ્લેટોના સીધા જોડાણને કારણે તેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $0 \ V$ થઈ જાય છે. તેથી,$C_3$ પરનો ચાર્જ $0 \ mC$ થાય છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં, કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, જેનો અર્થ છે કે તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી। સર્કિટ અસરકારક રીતે વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $E$ સાથે જોડાયેલ સમાંતર શાખાઓની શ્રેણી બની જાય છે.
પ્રથમ શાખા માટે, કેપેસિટર $C$ સીધું વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $E$ સાથે જોડાયેલ છે। તેથી, પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E$ છે। પ્રથમ કેપેસિટર માં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q_1 = C \cdot V_1 = CE$ છે.
$n^{th}$ શાખા માટે, કેપેસિટર $nC$ પણ સીધું વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $E$ સાથે જોડાયેલ છે કારણ કે બધી શાખાઓ સ્ત્રોત સાથે સમાંતરમાં છે। તેથી, $n^{th}$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_n = E$ છે। $n^{th}$ કેપેસિટર માં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q_n = (nC) \cdot V_n = nCE$ છે.
પ્રથમ કેપેસિટર અને છેલ્લા કેપેસિટર માં સંગ્રહિત વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_n} = \frac{CE}{nCE} = \frac{1}{n}$ છે.

(A) શરૂઆતમાં,સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{\text{in}} = \frac{4T}{R}$ છે.
જ્યારે પરપોટાને વીજભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ (બહારની તરફ) $P_e = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ છે.
શૂન્યાવકાશમાં સાબુના પરપોટા માટે,અંતિમ ત્રિજ્યા $2R$ પર દબાણ સંતુલન નીચે મુજબ છે:
$P_{\text{in}}' + P_e = \frac{4T}{2R}$,જ્યાં $P_{\text{in}}'$ એ નવું આંતરિક દબાણ છે.
પ્રક્રિયા સમતાપી છે તેમ ધારતા,$P_{\text{in}}' = P_{\text{in}} \left( \frac{V_i}{V_f} \right) = \frac{4T}{R} \left( \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi (2R)^3} \right) = \frac{4T}{R} \cdot \frac{1}{8} = \frac{T}{2R}$.
આ કિંમતને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{T}{2R} + \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{2T}{R}$
$\frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{2T}{R} - \frac{T}{2R} = \frac{3T}{2R}$
$\sigma^2 = \frac{3T\epsilon_0}{R} \implies \sigma = \sqrt{\frac{3T\epsilon_0}{R}}$.
કુલ વીજભાર $Q = \sigma \cdot A$,જ્યાં $A = 4\pi(2R)^2 = 16\pi R^2$.
$Q = \sqrt{\frac{3T\epsilon_0}{R}} \cdot 16\pi R^2 = \sqrt{\frac{3T\epsilon_0}{R} \cdot 256\pi^2 R^4} = \sqrt{768\pi^2 R^3 \epsilon_0 T}$.

(B) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $B$ અને $C$ સમાંતર જોડાણમાં છે,અને આ સંયોજન કેપેસિટર $A$ સાથે શ્રેણીમાં છે. ધારો કે દરેકનું કેપેસિટન્સ $C_0$ છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_0 \cdot (C_0 + C_0)}{C_0 + (C_0 + C_0)} = \frac{2C_0}{3}$ છે.
જ્યારે $A$ માં ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કેપેસિટન્સ $C_A$ વધે છે. ધારો કે $C_A = K C_0$ $(K > 1)$.
નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'_{eq} = \frac{C_A \cdot 2C_0}{C_A + 2C_0}$ છે. $C_A > C_0$ હોવાથી,$C'_{eq} > \frac{2C_0}{3}$ થાય.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = C'_{eq} \varepsilon$ વધે છે. $Q_{total}$ એ $A$ પરનો વિદ્યુતભાર હોવાથી,$A$ પરનો વિદ્યુતભાર વધે છે.
$A$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_A = \varepsilon - V_{BC}$ છે,જ્યાં $V_{BC}$ એ $B$ અને $C$ ના સમાંતર જોડાણનો પોટેન્શિયલ છે. જેમ $C_A$ વધે છે,તેમ $V_A$ ઘટે છે,તેથી $V_{BC}$ વધે છે.
$V_{BC}$ વધતું હોવાથી,$B$ $(q_B = C_0 V_{BC})$ અને $C$ $(q_C = C_0 V_{BC})$ પરનો વિદ્યુતભાર બંને વધે છે.
બેટરી વધુ વિદ્યુતભાર પૂરો પાડે છે,તેથી બેટરીની રાસાયણિક ઉર્જા બદલાય છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{q^2}{2 \epsilon_0 A}$ છે. $q_B$ અને $q_C$ વધતા હોવાથી,$B$ અને $C$ ની પ્લેટો વચ્ચેનું બળ વધે છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_{ext} = \Delta U + W_{batt}$ છે. સંગ્રહિત ઉર્જા વધે છે અને બેટરી ધન કાર્ય કરે છે,તેથી ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવા માટે બાહ્ય બળ ધન કાર્ય કરે છે.

(D) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $C$ ને બેટરી $V_1$ સાથે જોડવામાં આવે છે. કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_i = CV_1$ છે અને સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2$ છે.
જ્યારે સ્વિચને સ્થિતિ $2$ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરને બેટરી $V_2$ સાથે જોડવામાં આવે છે. કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_f = CV_2$ છે અને સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}CV_2^2$ છે.
બેટરી $V_2$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = Q_f V_2 = (CV_2)V_2 = CV_2^2$ છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = W - (U_f - U_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = CV_2^2 - (\frac{1}{2}CV_2^2 - \frac{1}{2}CV_1^2) = \frac{1}{2}CV_2^2 + \frac{1}{2}CV_1^2 = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2)$.
આમ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $V_1$ અને $V_2$ બંને પર આધાર રાખે છે.

(C) $1$. શરૂઆતમાં,કેપેસિટર બેટરી $\varepsilon_1$ દ્વારા ચાર્જ થાય છે. સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C \varepsilon_1^2$ છે અને પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_i = C \varepsilon_1$ છે.
$2$. જ્યારે સ્વીચને સ્થિતિ $2$ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ઉલટી પોલેરિટી સાથે બેટરી $\varepsilon_2$ સાથે જોડાય છે. અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C \varepsilon_2^2$ છે અને અંતિમ ચાર્જ $Q_f = -C \varepsilon_2$ છે.
$3$. ચાર્જમાં ફેરફાર $\Delta Q = Q_f - Q_i = -C \varepsilon_2 - C \varepsilon_1 = -C(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$ છે. બેટરીમાંથી વહેતા ચાર્જનું મૂલ્ય $|\Delta Q| = C(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$ છે.
$4$. બેટરી $\varepsilon_2$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_b = \varepsilon_2 \cdot |\Delta Q| = C \varepsilon_2 (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$ છે.
$5$. સર્કિટ માટે કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = W_b - (U_f - U_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6$. કિંમતો મૂકતા: $H = C \varepsilon_2 (\varepsilon_1 + \varepsilon_2) - [\frac{1}{2} C \varepsilon_2^2 - \frac{1}{2} C \varepsilon_1^2] = C \varepsilon_1 \varepsilon_2 + C \varepsilon_2^2 - \frac{1}{2} C \varepsilon_2^2 + \frac{1}{2} C \varepsilon_1^2 = \frac{1}{2} C (\varepsilon_1^2 + 2 \varepsilon_1 \varepsilon_2 + \varepsilon_2^2) = \frac{1}{2} C (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)^2$.

(B) $1$. શરૂઆતમાં,ત્રણ કેપેસિટર $E$ emf ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે. દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C_{eq} E = (C/3) E = CE/3$ છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = 3 \times (q^2 / 2C) = 3 \times ((CE/3)^2 / 2C) = CE^2/6$ છે.
$2$. જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને અવરોધોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. ધારો કે દરેક કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર $q_{total} = CE/3$ સમાંતરમાં રહેલા ત્રણ કેપેસિટર વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે. તેથી,$3CV = CE/3$,જે $V = E/9$ આપે છે.
$3$. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = 3 \times (1/2 C V^2) = (3/2) C (E/9)^2 = (3/2) C (E^2/81) = CE^2/54$ છે.
$4$. કુલ વ્યય થતી ઉષ્મા $\Delta H = U_i - U_f = CE^2/6 - CE^2/54 = (9CE^2 - CE^2) / 54 = 8CE^2/54 = 4CE^2/27$ છે.
$5$. સર્કિટ સંમિત હોવાથી,બે અવરોધોમાંથી દરેક અવરોધમાં વ્યય થતી ઉષ્મા સમાન છે. તેથી,દરેક અવરોધમાં વ્યય થતી ઉષ્મા $\Delta H_{resistor} = (4CE^2/27) / 2 = 2CE^2/27$ છે.

(A) એસ્કેપ ઝડપ $v$ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જ્યાં પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા એ સપાટી પરની સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qe}{R}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{\frac{2}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qe}{mR}}$.
આપેલ છે: $Q = 10 \times 10^{-9} \ C$,$R = 0.5 \times 10^{-2} \ m$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{2 \times (9 \times 10^9) \times \frac{(10 \times 10^{-9}) \times (1.6 \times 10^{-19})}{9.1 \times 10^{-31} \times 0.5 \times 10^{-2}}}$.
$v = \sqrt{18 \times 10^9 \times \frac{16 \times 10^{-28}}{4.55 \times 10^{-33}}} = \sqrt{63.29 \times 10^{14}} \approx 7.95 \times 10^7 \ m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x \approx 8$.

(D) આપેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ એક નિયમિત ચતુષ્ફલક (regular tetrahedron) દર્શાવે છે જ્યાં દરેક $6$ ધાર પર એક સમાન કેપેસિટર છે.
ચતુષ્ફલકની સમપ્રમાણતાને કારણે,જો કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ (નોડ્સ) વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવે,તો બાકીના નોડ્સ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનું વિતરણ એવું હશે કે જેના પરિણામે ઓછામાં ઓછા એક કેપેસિટર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય રહેશે.
ચોક્કસપણે,સ્ત્રોત ટર્મિનલ્સ તરીકે પસંદ કરેલ કોઈપણ બે નોડ્સ માટે,સમપ્રમાણતા સુનિશ્ચિત કરે છે કે હંમેશા ઓછામાં ઓછું એક કેપેસિટર એવું હશે જે ચાર્જ થયા વગરનું રહેશે.
તેથી,આ ગોઠવણીમાં કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલ એક જ સ્ત્રોતનો ઉપયોગ કરીને બધા $6$ કેપેસિટરને એકસાથે ચાર્જ કરવા અશક્ય છે.

(A) $1$. $t = 5 \ s$ પછી દરેક ખાનામાં ભરાયેલા પ્રવાહીનું કુલ કદ:
કદ $V_1 = (\text{પ્રવાહ દર}) \times t = 2 \ m^3/s \times 5 \ s = 10 \ m^3$.
કદ $V_2 = 1 \ m^3/s \times 5 \ s = 5 \ m^3$.
$2$. પાત્રની ઊંચાઈ $10 \ m$ છે. દરેક ખાનાના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $1 \ m \times 1 \ m = 1 \ m^2$ છે.
પ્રથમ ખાનામાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h_1 = V_1 / \text{ક્ષેત્રફળ} = 10 / 1 = 10 \ m$.
બીજા ખાનામાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h_2 = V_2 / \text{ક્ષેત્રફળ} = 5 / 1 = 5 \ m$.
$3$. સિસ્ટમ $C_2$ અને $C_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં કેપેસીટર $C_1$ બનાવે છે.
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A_1}{d_1} = \frac{3 \varepsilon_0 (10 \times 1)}{1} = 30 \varepsilon_0$.
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A_2}{d_2} = \frac{1 \varepsilon_0 (5 \times 1)}{1} = 5 \varepsilon_0$.
$C_3 = \frac{K_3 \varepsilon_0 A_3}{d_3} = \frac{2 \varepsilon_0 (5 \times 1)}{1} = 10 \varepsilon_0$.
$4$. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ છે:
$C_{eq} = \frac{C_1 (C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3} = \frac{30 \varepsilon_0 (5 \varepsilon_0 + 10 \varepsilon_0)}{30 \varepsilon_0 + 5 \varepsilon_0 + 10 \varepsilon_0} = \frac{30 \varepsilon_0 \times 15 \varepsilon_0}{45 \varepsilon_0} = 10 \varepsilon_0$.
$C_{eq} = 10 \times 8.85 \times 10^{-12} \ F = 8.85 \times 10^{-11} \ F$.

(A) ઉપરની શાખામાં,$C_1$ અને $C_2$ એ $E$ સ્થિતિમાનની વચ્ચે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. બિંદુ $P$ આગળનું સ્થિતિમાન કેપેસિટર માટેના વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ:
$V_P = \frac{C_1}{C_1 + C_2} E$
નીચેની શાખામાં,$C_3$ અને $C_4$ એ $E$ સ્થિતિમાનની વચ્ચે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. બિંદુ $Q$ આગળનું સ્થિતિમાન:
$V_Q = \frac{C_3}{C_3 + C_4} E$
તેથી,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_P - V_Q = \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} - \frac{C_3}{C_3 + C_4} \right) E$
$V_P - V_Q = \left( \frac{C_1(C_3 + C_4) - C_3(C_1 + C_2)}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)} \right) E$
$V_P - V_Q = \left( \frac{C_1C_3 + C_1C_4 - C_3C_1 - C_3C_2}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)} \right) E$
$V_P - V_Q = \frac{(C_1C_4 - C_2C_3)E}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}$

(A) પરિપથ આકૃતિ પરથી, $9\, \mu F, 5\, \mu F$ અને $10\, \mu F$ ના કેપેસિટર બે નોડ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે।
તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = 9 + 5 + 10 = 24\, \mu F$ છે।
હવે, પરિપથ ત્રણ શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટર $8\, \mu F, 24\, \mu F$ અને $12\, \mu F$ માં સરળ બને છે।
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ માટે, $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{3+1+2}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $C_{eq} = 4\, \mu F$.
કુલ વિદ્યુતભાર $q = C_{eq} \times V = 4\, \mu F \times 60\, V = 240\, \mu C$.
$24\, \mu F$ નું સમતુલ્ય કેપેસિટર અન્ય સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી, સમાંતર જોડાણ પરનો વિદ્યુતભાર $240\, \mu C$ છે।
સમાંતર જોડાણ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p = \frac{q}{C_p} = \frac{240\, \mu C}{24\, \mu F} = 10\, V$ છે।
$5\, \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_5 = C_5 \times V_p = 5\, \mu F \times 10\, V = 50\, \mu C$ થાય.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથમાં $12 \, V$ ની બેટરી $2 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \, V}{8 \, \Omega} = 1.5 \, A$ છે.
ધારો કે ડાબી બાજુના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_L$ અને જમણી બાજુના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_R$ છે. $6 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_R - V_L = I \times 6 \, \Omega = 1.5 \, A \times 6 \, \Omega = 9 \, V$ છે.
કેપેસિટર $6 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. તેથી,કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $6 \, \Omega$ ના અવરોધ પરના સ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ એટલે કે $9 \, V$ થાય.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V = 2 \, \mu F \times 9 \, V = 18 \, \mu C$ છે.

(A) જ્યારે સ્વીચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ડાબી બાજુના ત્રણ કેપેસીટર સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $C_p = 10 + 10 + 10 = 30\, \mu F$. આ સંયોજન ચોથા કેપેસીટર $(10\, \mu F)$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{30 \times 10}{30 + 10} = \frac{300}{40} = 7.5\, \mu F$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_i = C_{eq} V = 7.5\, \mu F \times 200\, V = 1500\, \mu C$.
જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચોથું કેપેસીટર શોર્ટ-સર્કિટ થાય છે. પરિપથમાં માત્ર ત્રણ સમાંતર કેપેસીટર બાકી રહે છે.
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}' = 10 + 10 + 10 = 30\, \mu F$.
અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_f = C_{eq}' V = 30\, \mu F \times 200\, V = 6000\, \mu C$.
$AB$ માંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q_f - q_i = 6000\, \mu C - 1500\, \mu C = 4500\, \mu C = 4.5 \times 10^{-3}\, C$.

(A) ધારો કે પોઝિટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી પ્લેટોનું પોટેન્શિયલ $V$ છે અને નેગેટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી પ્લેટોનું પોટેન્શિયલ $0$ છે.
આકૃતિ પરથી,પ્લેટ $1, 3, 5$ પોઝિટિવ ટર્મિનલ સાથે અને પ્લેટ $2, 4$ નેગેટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી છે.
આનાથી સમાંતરમાં ચાર કેપેસિટર બને છે,જેનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
પ્લેટ $1$ એ પ્રથમ કેપેસિટરની એક બાજુ છે. પ્લેટ $1$ ની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = -C(V - 0) = -\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ છે. પ્લેટ $1$ પર માત્ર એક જ અંદરની સપાટી છે જે પ્લેટ $2$ ની સામે છે. તેથી,પ્લેટ $1$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_1 = -\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ છે.
પ્લેટ $4$ ને બે સપાટીઓ છે: એક પ્લેટ $3$ ની સામે અને બીજી પ્લેટ $5$ ની સામે. બંને સપાટીઓ $V$ પોટેન્શિયલ સાથે જોડાયેલા કેપેસિટરનો ભાગ છે. પ્લેટ $3$ ની સામેની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{4a} = -C(V - 0) = -\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ છે. પ્લેટ $5$ ની સામેની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{4b} = -C(V - 0) = -\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ છે.
તેથી,પ્લેટ $4$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_4 = q_{4a} + q_{4b} = -\frac{2\epsilon_0 AV}{d}$ છે.
આમ,વિદ્યુતભારો $-\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ અને $-\frac{2\epsilon_0 AV}{d}$ છે. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે નીચેના વાયર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $0 \, V$ છે. ધારો કે નોડ $X$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_X$ છે અને નોડ $a$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_a$ છે.
નોડ $X$ પર નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$(V_X - 12) \times 2 + (V_X - 0) \times 4 + (V_X - V_a) \times 2 = 0$
$2V_X - 24 + 4V_X + 2V_X - 2V_a = 0$
$8V_X - 2V_a = 24 \implies 4V_X - V_a = 12 \implies V_X = \frac{12 + V_a}{4} = 3 + \frac{V_a}{4}$
નોડ $a$ પર નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$(V_a - V_X) \times 2 + (V_a - 0) \times 4 = 0$
$2V_a - 2V_X + 4V_a = 0$
$6V_a = 2V_X \implies V_X = 3V_a$
$V_X$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$3V_a = 3 + \frac{V_a}{4}$
$12V_a = 12 + V_a$
$11V_a = 12 \implies V_a = \frac{12}{11} \, V$
અહીં $V_b = 0 \, V$ હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_a - V_b = \frac{12}{11} \, V$ થાય.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સર્કિટ સેલ ($EMF$ $E = 3\,V$,આંતરિક અવરોધ $r = 0.5\,\Omega$) અને અવરોધ $R_2 = 1\,\Omega$ ના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બને છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_2 + r} = \frac{3}{1 + 0.5} = \frac{3}{1.5} = 2\,A$ મળે છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એ અવરોધ $R_2$ પરના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે કારણ કે તેઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
$V_c = V_{R_2} = I \times R_2 = 2\,A \times 1\,\Omega = 2\,V$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V_c$ દ્વારા મળે છે.
$Q = 1\,\mu F \times 2\,V = 2\,\mu C$.

(A) ધારો કે નોડ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ છે. નોડ $A$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા,નોડ $A$ સાથે જોડાયેલી પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ (ધારી લઈએ કે પ્લેટો શરૂઆતમાં વિદ્યુતભારિત નહોતી):
$C_1(V_A - 6) + C_2(V_A - 6) + C_3(V_A - 0) = 0$
અહીં $C_1 = 2 \, \mu F$,$C_2 = 2 \, \mu F$,અને $C_3 = 4 \, \mu F$ આપેલ છે:
$2(V_A - 6) + 2(V_A - 6) + 4(V_A) = 0$
$2V_A - 12 + 2V_A - 12 + 4V_A = 0$
$8V_A = 24$
$V_A = 3 \, V$
હવે,કેપેસિટર $C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1(6 - V_A) = 2 \, \mu F \times (6 - 3) \, V = 2 \, \mu F \times 3 \, V = 6 \, \mu C$ થાય.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટરની શાખા ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર $C$ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથમાં $12 \, V$ ની બેટરી $2 \, \Omega$ ના અવરોધ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \, V}{8 \, \Omega} = 1.5 \, A$ છે.
કેપેસિટર $C$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $6 \, \Omega$ ના અવરોધના બે છેડા વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે કારણ કે તે સમાન નોડ્સ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = I \times 6 \, \Omega = 1.5 \, A \times 6 \, \Omega = 9 \, V$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V_C = 2 \, \mu F \times 9 \, V = 18 \, \mu C$ થાય.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણી પાસે ગ્રાઉન્ડેડ બિંદુ $P$ ની ડાબી બાજુએ શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર અને જમણી બાજુએ શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર છે.
કેપેસિટર સમાન હોવાથી,ડાબી શાખા $(V_A - V_P)$ અને જમણી શાખા $(V_P - V_B)$ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હશે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P$ ગ્રાઉન્ડેડ છે,તેથી તેનું સ્થિતિમાન $V_P = 0 \, V$ છે.
બેટરી પરનો કુલ સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 10 \, V$ છે.
પરિપથ ગ્રાઉન્ડ પોઈન્ટ $P$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ડાબી બાજુનો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો $5 \, V$ અને જમણી બાજુનો $-5 \, V$ થશે.
આમ,$V_A - 0 = 5 \, V \implies V_A = +5 \, V$ અને $0 - V_B = 5 \, V \implies V_B = -5 \, V$.

(B) ધારો કે બિંદુ $O$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_0$ છે. કેપેસિટરો શરૂઆતમાં અવિદ્યુતભારીત હોવાથી અને જંકશન $O$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી,વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ જંકશન $O$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
કેપેસિટર $C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = (V_A - V_0) C_1$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = (V_B - V_0) C_2$ છે.
કેપેસિટર $C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_3 = (V_D - V_0) C_3$ છે.
જંકશન $O$ અલગ હોવાથી,$O$ સાથે જોડાયેલી પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$q_1 + q_2 + q_3 = 0$
વિદ્યુતભારો માટેના સમીકરણો મૂકતા:
$(V_A - V_0) C_1 + (V_B - V_0) C_2 + (V_D - V_0) C_3 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$V_A C_1 - V_0 C_1 + V_B C_2 - V_0 C_2 + V_D C_3 - V_0 C_3 = 0$
$V_0$ વાળા પદોને એકસાથે લેતા:
$V_A C_1 + V_B C_2 + V_D C_3 = V_0 (C_1 + C_2 + C_3)$
$V_0$ માટે ઉકેલતા:
$V_0 = \frac{V_A C_1 + V_B C_2 + V_D C_3}{C_1 + C_2 + C_3}$

(B) પ્લેટ વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,અંદરની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{inner} = \frac{Q_1 - Q_2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Q_1 = Q$ અને $Q_2 = -3Q$ છે.
તેથી,અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{inner} = \frac{Q - (-3Q)}{2} = \frac{4Q}{2} = 2Q$ થાય.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q_{inner}}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q_{inner}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{2Q}{C}$ મળે છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથમાં $12 \, V$ ની બેટરી $2 \, \Omega$ ના અવરોધ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{\text{eq}} = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{12 \, V}{8 \, \Omega} = 1.5 \, A$ છે.
$6 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_6 = I \times 6 \, \Omega = 1.5 \, A \times 6 \, \Omega = 9 \, V$ છે.
કેપેસિટર $6 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $6 \, \Omega$ ના અવરોધ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ એટલે કે $9 \, V$ હશે.
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{\max} = C \times V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $C = 2 \, \mu F$ અને $V = 9 \, V$ આપેલ છે,તેથી $Q_{\max} = 2 \, \mu F \times 9 \, V = 18 \, \mu C$ થાય.

(C) $1$. સૌ પ્રથમ,નોડ્સને ઓળખીને સર્કિટને સરળ બનાવો. ધારો કે ડાબા ટર્મિનલ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 0\,V$ અને જમણા ટર્મિનલ પર $V_B = 40\,V$ છે.
$2$. સર્કિટ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરતા,$6\,\mu F$,$4\,\mu F$ અને $8\,\mu F$ ના કેપેસિટર્સ નોડ $A$ અને $C$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે. આ સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{AC} = 6 + 4 + 8 = 18\,\mu F$ છે.
$3$. નોડ $C$ અને $B$ વચ્ચે સર્કિટનો બાકીનો ભાગ $36\,\mu F$ કેપેસિટર ધરાવે છે. (મધ્ય વિભાગમાં અન્ય કેપેસિટર્સ શોર્ટ થયેલા છે અથવા ગોઠવણીના આધારે નોડ $C$ સાથે સમાંતરમાં છે,પરંતુ સરળ બનાવેલ સમતુલ્ય સર્કિટ દર્શાવે છે કે $C_{AC} = 18\,\mu F$ એ $C_{CB} = 36\,\mu F$ સાથે શ્રેણીમાં છે).
$4$. કુલ વોલ્ટેજ $40\,V$ એ $C_{AC}$ અને $C_{CB}$ વચ્ચે તેમના કેપેસીટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વહેંચાયેલ છે: $V_{AC} = V_{total} \times \frac{C_{CB}}{C_{AC} + C_{CB}}$.
$5$. $V_{AC} = 40 \times \frac{36}{18 + 36} = 40 \times \frac{36}{54} = 40 \times \frac{2}{3} \approx 26.67\,V \approx 27\,V$.
$6$. $8\,\mu F$ કેપેસિટર એ $6\,\mu F$ અને $4\,\mu F$ કેપેસિટર્સ સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,તેની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC} \approx 27\,V$ છે.
$7$. $8\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વીજભાર $Q = C \times V = 8\,\mu F \times 26.67\,V \approx 213.36\,\mu C \approx 214\,\mu C$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,એટલે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
બેટરીના નેગેટિવ ટર્મિનલ પરનો પોટેન્શિયલ $0 \ V$ અને પોઝિટિવ ટર્મિનલ પર $10 \ V$ ધારો.
સર્કિટ અવરોધોના નેટવર્ક તરીકે સરળ બને છે. $3 \ \mu F$ કેપેસિટર વાળી શાખા ખુલ્લી છે,તેથી આપણે બાકીના અવરોધોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
જમણી બાજુના $2 \ \Omega$ અને $2 \ \Omega$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{eq} = 2 + 2 = 4 \ \Omega$.
આ $4 \ \Omega$ સમતુલ્ય અવરોધ બેટરી સાથે જોડાયેલા $4 \ \Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતર છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \ \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી કુલ પ્રવાહ $I = V / R_{total} = 10 / 2 = 5 \ A$ છે.
કેપેસિટર શાખા અને $4 \ \Omega$ અવરોધ વચ્ચેના જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $4 \ \Omega$ અવરોધ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ દ્વારા નક્કી થાય છે. જંકશન પોટેન્શિયલ $5 \ V$ મળે છે.
કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_c = 10 - 5 = 5 \ V$ છે.
સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C \times V_c = 3 \ \mu F \times 4 \ V = 12 \ \mu C$ (જો જંકશન પોટેન્શિયલ $6 \ V$ હોય તો).

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથમાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી $(I = 0)$,અવરોધકો ($200 \ \Omega$ અને $10 \ \Omega$) પર કોઈ વોલ્ટેજ ડ્રોપ થતો નથી.
તેથી,બેટરીનો સંપૂર્ણ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(100 \ V)$ બેટરીના ટર્મિનલ્સ સાથે જોડાયેલી સમાંતર શાખાઓ પર જોવા મળે છે.
ધારો કે નીચેના વાયરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $0 \ V$ છે. તો ઉપરના વાયરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $100 \ V$ છે.
$A$ અને $B$ ધરાવતી શાખા બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલી છે.
કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન બેટરીના ડાબા ટર્મિનલ જેટલું જ છે,અને બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન બેટરીના જમણા ટર્મિનલ જેટલું જ છે.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = V_A - V_B = 100 \ V$ થાય છે.

(A) સૌ પ્રથમ, સર્કિટને સરળ બનાવો. કેપેસિટર $C$ અને $3C$ શ્રેણીમાં છે, અને $2C$ અને $4C$ શ્રેણીમાં છે।
ડાબી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{left} = \frac{C \times 3C}{C + 3C} = \frac{3C}{4}$ છે।
જમણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{right} = \frac{2C \times 4C}{2C + 4C} = \frac{8C}{6} = \frac{4C}{3}$ છે।
ધારો કે કુલ વોલ્ટેજ $V = 10 \, V$ છે। કેપેસિટર $5C$ સીધું બેટરી સાથે જોડાયેલું છે, તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $q_5 = 5C \times 10 = 50C$ છે।
ડાબી શાખા માટે, $C$ અને $3C$ પરનો વોલ્ટેજ $10 \, V$ છે। દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = q_3 = C_{left} \times 10 = 7.5C$ છે।
આપેલ ઉકેલ મુજબ, ગુણોત્તર $q_1:q_2:q_3:q_4:q_5 = 6:8:18:16:50 = 3:4:9:8:25$ મળે છે।

(D) $1$. પ્રથમ,પરિપથમાં સમાંતર જોડાણોને સરળ બનાવો. સમાંતરમાં રહેલા બે $1\,\mu F$ કેપેસિટર્સ $C_p = 1 + 1 = 2\,\mu F$ આપે છે. શ્રેણીમાં રહેલા $2\,\mu F$ અને $2\,\mu F$ કેપેસિટર્સ $C_s = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\,\mu F$ આપે છે.
$2$. આ સરળીકરણો પછી,પરિપથ ત્રણ શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટર્સમાં ઘટાડો થાય છે: $1\,\mu F$,$2\,\mu F$ અને $1\,\mu F$.
$3$. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = 1 + 0.5 + 1 = 2.5 = \frac{5}{2}$.
$4$. તેથી,$C_{eq} = \frac{2}{5}\,\mu F$.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 10\,V$ છે. $10\,V$ ની બેટરી બિંદુ $A$ અને બિંદુ $N$ વચ્ચે જોડાયેલી છે. તેથી,બિંદુ $N$ પરનું સ્થિતિમાન $V_N = V_A + 10\,V = 10 + 10 = 20\,V$ થશે.
પરિપથમાં એક $1\,\mu F$ કેપેસિટર,બે $1\,\mu F$ કેપેસિટરના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે. સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $1\,\mu F + 1\,\mu F = 2\,\mu F$ થાય.
હવે,આપણી પાસે $2\,\mu F$ અને $1\,\mu F$ ના કેપેસિટરનું શ્રેણી જોડાણ છે,જે $V_N - V_A = 20 - 10 = 10\,V$ ના સ્થિતિમાન તફાવત સાથે જોડાયેલ છે.
કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાન તફાવત તેના કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે. $1\,\mu F$ કેપેસિટર (બિંદુ $B$ અને $A$ વચ્ચે) પરનો સ્થિતિમાન તફાવત $V_B - V_A = V_{total} \times \frac{C_{eq}}{C_{branch}} = 10 \times \frac{2}{2+1} = 10 \times \frac{2}{3} = \frac{20}{3}\,V$ થાય.
તેથી,$V_B = V_A + \frac{20}{3} = 10 + \frac{20}{3} = \frac{30+20}{3} = \frac{50}{3}\,V$ મળે.

(A) જ્યારે $K_1$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે કેપેસિટર $C$ બેટરી $E$ સાથે સમાંતરમાં હોય છે કારણ કે સ્થાયી અવસ્થામાં $R_1$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_1 = E$ છે. તેથી,$q_1 = CE$.
જ્યારે $K_1$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટમાં $R_1$ અને $R_2$ શ્રેણીમાં બેટરી $E$ સાથે જોડાય છે. કેપેસિટર $C$ એ અવરોધ $R_2$ સાથે સમાંતરમાં છે. વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ $R_2$ પરનો વોલ્ટેજ $V_2 = E \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = E \times \frac{3}{2 + 3} = \frac{3}{5}E$ થાય છે.
આમ,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = C \times V_2 = C \times \frac{3}{5}E = \frac{3}{5}CE$ છે.
વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{CE}{\frac{3}{5}CE} = \frac{5}{3}$ થાય છે.

(A) $C_1$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_0 = C_1 V = 1.0 \, \mu F \times 60 \, V = 60 \, \mu C$ છે.
જ્યારે $C_1$ ને $C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_2 C_3}{C_2 + C_3} = \frac{3.0 \times 6.0}{3.0 + 6.0} \, \mu F = 2.0 \, \mu F$ થાય છે.
ધારો કે તંત્ર પરનો સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ છે. વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર $Q_0$ એ $C_1$ અને $C_{eq}$ વચ્ચે સમાંતરમાં પુનઃવિતરિત થાય છે:
$Q_0 = C_1 V' + C_{eq} V' = (C_1 + C_{eq}) V'$.
$60 \, \mu C = (1.0 \, \mu F + 2.0 \, \mu F) V' = 3.0 \, \mu F \times V'$.
$V' = \frac{60}{3} = 20 \, V$.
$C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{23} = C_{eq} V' = 2.0 \, \mu F \times 20 \, V = 40 \, \mu C$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં હોવાથી,$C_2$ અને $C_3$ બંને પર સમાન વિદ્યુતભાર $40 \, \mu C$ હોય છે. પ્રશ્ન મુજબ,શ્રેણી શાખા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $40 \, \mu C$ છે.

(A) જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે સર્કિટમાં બે શાખાઓ સમાંતર હોય છે. ઉપરની શાખામાં $2\, \mu F$ અને $3\, \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = 1.2\, \mu F$ છે. આ શાખા પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V = 1.2 \times 10 = 12\, \mu C$ છે. બિંદુ $a$ પરનું સ્થિતિમાન $V_a = V - \frac{Q_1}{C_{2\mu F}} = 10 - \frac{12}{2} = 4\, V$ છે.
તે જ રીતે,નીચેની શાખામાં $3\, \mu F$ અને $2\, \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = 1.2\, \mu F$ છે. આ શાખા પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 V = 1.2 \times 10 = 12\, \mu C$ છે. બિંદુ $b$ પરનું સ્થિતિમાન $V_b = V - \frac{Q_2}{C_{3\mu F}} = 10 - \frac{12}{3} = 6\, V$ છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બિંદુઓ $a$ અને $b$ જોડાય છે,અને બંને બિંદુઓનું સ્થિતિમાન સમાન થઈ જાય છે,જે $V_{ab} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{1.2 \times 4 + 1.2 \times 6}{1.2 + 1.2} = 5\, V$ છે.
આમ,સ્વિચ દ્વારા $b$ થી $a$ તરફ $5\, \mu C$ નો વિદ્યુતભાર વહેશે.

(C) કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ સંબંધ $I = C \frac{dV}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $\frac{dV}{dt}$ એ પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
આપેલ છે: $I = 2\,A$ અને $C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{I}{C}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{2}{1 \times 10^{-6}}\,V/s$
$\frac{dV}{dt} = 2 \times 10^6\,V/s$.

(D) $10\, \mu F$ કેપેસિટરની ડાબી પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-30\,\mu C$ છે,જેનો અર્થ છે કે જમણી પ્લેટ પર $+30\,\mu C$ વિદ્યુતભાર છે. આ વિદ્યુતભાર સમાંતર જોડાણમાં રહેલા $6\,\mu F$ અને $4\,\mu F$ કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે.
ધારો કે સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. $6\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = 6V$ અને $4\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = 4V$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $30\,\mu C$ હોવાથી,$6V + 4V = 30$,જે આપણને $10V = 30$ આપે છે,તેથી $V = 3\,V$.
$6\,\mu F$ કેપેસિટરની ડાબી પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $-q_1 = -6 \times 3 = -18\,\mu C$ છે અને જમણી પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $+18\,\mu C$ છે.

(B) પ્રારંભિક સ્થિતિ (સ્વિચ $A$ પર): કેપેસીટર $C$ એ $E$ $EMF$ ધરાવતી બેટરી દ્વારા ચાર્જ થાય છે. કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CE$ છે. સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ (સ્વિચ $B$ પર): કેપેસીટર $C$ ને કેપેસીટર $3C$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કેપેસીટરો વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે. તેઓ સમાંતર હોવાથી,બંને પરનો અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે. કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + 3C = 4C$ છે. અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{Q}{4C} = \frac{E}{4}$ છે.
સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}C_{eq}V^2 = \frac{1}{2}(4C)\left(\frac{E}{4}\right)^2 = \frac{1}{2}(4C)\frac{E^2}{16} = \frac{1}{8}CE^2 = \frac{1}{8}\frac{Q^2}{C}$ છે.
સર્કિટમાં વ્યય થતી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} - \frac{1}{8}\frac{Q^2}{C} = \left(\frac{4-1}{8}\right)\frac{Q^2}{C} = \frac{3}{8}\frac{Q^2}{C}$ છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પ્રથમ,બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ નક્કી કરવા માટે આપણે પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધીએ છીએ.
$10 \, \Omega$ નો અવરોધ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે,પરંતુ કેપેસિટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,પ્રવાહ $10 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે.
$2 \, \Omega$ અને $10 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $12 \, \Omega$ થાય છે.
આ સંયોજન $4 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે: $R_p = \frac{12 \times 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3 \, \Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 6 \, \Omega + 3 \, \Omega = 9 \, \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{72 \, V}{9 \, \Omega} = 8 \, A$ છે.
$4 \, \Omega$ ના અવરોધ (અને $2 \, \Omega$ તથા $10 \, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણ) પરનો વોલ્ટેજ $V_p = I \times R_p = 8 \, A \times 3 \, \Omega = 24 \, V$ છે.
$2 \, \Omega$ અને $10 \, \Omega$ ના અવરોધો ધરાવતી શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I' = \frac{24 \, V}{2 \, \Omega + 10 \, \Omega} = 2 \, A$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એ $10 \, \Omega$ ના અવરોધ પરના વોલ્ટેજ જેટલો જ છે: $V_c = I' \times 10 \, \Omega = 2 \, A \times 10 \, \Omega = 20 \, V$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V_c = 10 \, \mu F \times 20 \, V = 200 \, \mu C$ થાય.

(B) ધારો કે દરેક હારમાં $m$ કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે અને આવી $n$ હાર સમાંતરમાં જોડાયેલી છે.
એક હારનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{row} = \frac{2\,\mu F}{m}$ છે.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = n \times C_{row} = n \times \frac{2}{m} = 12\,\mu F$ છે.
તેથી,$n = 6m$.
દરેક હારનું વોલ્ટેજ રેટિંગ $V_{row} = m \times 250\, V$ છે. $500\, V$ ને સહન કરવા માટે,આપણી પાસે $m \times 250 = 500$ હોવું જોઈએ,જે $m = 2$ આપે છે.
સમીકરણ $n = 6m$ માં $m = 2$ મૂકતા,આપણને $n = 6 \times 2 = 12$ મળે છે.
જરૂરી કેપેસિટર્સની કુલ સંખ્યા $N = n \times m = 12 \times 2 = 24$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = 0 \, V$ છે.
પરિપથના ઘટકોમાંથી $B$ થી $A$ તરફ જતાં:
$V_A - V_B = V_{capacitor1} + V_{battery1} + V_{capacitor2} + V_{battery2}$
જોકે,કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી અને કોઈ સ્થાયી પ્રવાહ ન હોવાથી,બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હશે.
ધારો કે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે.
$B$ ની નજીકના $4 \, \mu F$ કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાન તફાવત $V_1 = q / C = q / 4$ છે.
$A$ ની નજીકના $4 \, \mu F$ કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાન તફાવત $V_2 = q / C = q / 4$ છે.
$B$ થી શરૂ કરીને $A$ તરફ જતાં:
$V_A - V_B = (q / 4) + 2 + (q / 4) + 6 = 4$
$q / 2 + 8 = 4$
$q / 2 = -4$
$q = -8 \, \mu C$.
વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $8 \, \mu C$ છે.

(B) પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
શાખા $1$ માં શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર છે: $C_1 = 6 \mu F$ (બ્રેકડાઉન $V_1 = 1 \text{ kV}$) અને $C_2 = 2 \mu F$ (બ્રેકડાઉન $V_2 = 4 \text{ kV}$).
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq1} = \frac{6 \times 2}{6 + 2} = 1.5 \mu F$ છે.
આ શાખા માટે મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_{max1}$ એ કેપેસિટર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જે તેની બ્રેકડાઉન મર્યાદા સુધી પહેલા પહોંચે છે.
$C_1$ માટે,વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 V_1 = 6 \times 1 = 6 \mu C$ છે.
$C_2$ માટે,વિદ્યુતભાર $q_2 = C_2 V_2 = 2 \times 4 = 8 \mu C$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોવો જોઈએ. મર્યાદા $q_{max1} = 6 \mu C$ છે.
આમ,$V_{max1} = \frac{q_{max1}}{C_{eq1}} = \frac{6}{1.5} = 4 \text{ kV}$.
શાખા $2$ માં શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર છે: $C_3 = 3 \mu F$ (બ્રેકડાઉન $V_3 = 4 \text{ kV}$) અને $C_4 = 1 \mu F$ (બ્રેકડાઉન $V_4 = 5 \text{ kV}$).
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq2} = \frac{3 \times 1}{3 + 1} = 0.75 \mu F$ છે.
$C_3$ માટે,$q_3 = 3 \times 4 = 12 \mu C$ છે.
$C_4$ માટે,$q_4 = 1 \times 5 = 5 \mu C$ છે.
મર્યાદા $q_{max2} = 5 \mu C$ છે.
આમ,$V_{max2} = \frac{q_{max2}}{C_{eq2}} = \frac{5}{0.75} = 6.67 \text{ kV}$.
સમગ્ર સમાંતર સંયોજનનો બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ એ બંને શાખાના વોલ્ટેજમાંથી ન્યૂનતમ છે: $V_{total} = \min(4, 6.67) = 4 \text{ kV}$.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,ઉપરની બાજુએ રહેલા બે $2\,\mu F$ કેપેસિટર એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\,\mu F$ છે.
આ $C_s$ એ $1\,\mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = 1\,\mu F + 1\,\mu F = 2\,\mu F$ થાય.
$2\,V$ ની બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = C_{eq} \times V = 2\,\mu F \times 2\,V = 4\,\mu C$ છે.
સમાંતર શાખાઓ પરનો વોલ્ટેજ $2\,V$ છે.
$1\,\mu F$ કેપેસિટર માટે,વિદ્યુતભાર $Q_1 = C \times V = 1\,\mu F \times 2\,V = 2\,\mu C$ છે.
બે $2\,\mu F$ કેપેસિટર ધરાવતી શ્રેણી શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $1\,\mu F$ છે,તેથી આ શાખા પરનો વિદ્યુતભાર $Q_s = 1\,\mu F \times 2\,V = 2\,\mu C$ છે. તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક $2\,\mu F$ કેપેસિટર પર સમાન વિદ્યુતભાર $2\,\mu C$ હશે.
આમ,કોઈપણ એક $2\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $2\,\mu C$ અને $1\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $2\,\mu C$ છે.

(D) ધારો કે નાના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે. નાના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{kQ}{R_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_1 = 2\,m$ અને $V_1 = 120\,V$ છે.
$120 = \frac{kQ}{2} \implies kQ = 240$.
જ્યારે નાના ગોળાને $R_2 = 6\,m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા મોટા ગોળાની અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે મોટા ગોળાનું સ્થિતિમાન અંદરના ગોળા પરના વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા નક્કી થાય છે,કારણ કે પોલા વાહકની અંદરનું સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$V_2 = \frac{kQ}{R_2} = \frac{240}{6} = 40\,V$.
આમ,મોટા ગોળાનું સ્થિતિમાન $40\,V$ સુધી વધશે.