Electric potential Questions in Hindi

(B) अनंत से मूल बिंदु तक आवेश $Q$ लाने के लिए किया गया कार्य $W = V \cdot Q$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ चार आवेशों के कारण मूल बिंदु पर विद्युत विभव है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से चारों आवेशों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$r_1 = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$
$r_2 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$r_3 = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$r_4 = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$
मूल बिंदु पर विभव $V$ है:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q}{r_1} + \frac{Q}{r_2} + \frac{Q}{r_3} + \frac{Q}{r_4} \right)$
$V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{1}{2} \right)$
$V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( 1 + \frac{2}{2\sqrt{5}} \right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$
अतः,किया गया कार्य $W = V \cdot Q = \frac{Q^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ है।

(B) $r_0$ त्रिज्या वाले एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < r_0)$ विद्युत विभव $V$ स्थिर रहता है और सतह पर विभव $V = \frac{kq}{r_0}$ के बराबर होता है।
$2$. कोश के बाहर $(r > r_0)$ विद्युत विभव $V$ का मान $V = \frac{kq}{r}$ के अनुसार घटता है,जो एक अतिपरवलयिक (hyperbolic) परिवर्तन है।
$3$. ग्राफ $r < r_0$ के लिए एक स्थिर मान और $r > r_0$ के लिए अतिपरवलयिक गिरावट दिखाता है,जो एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के विद्युत विभव के व्यवहार से मेल खाता है।

(D) मान लीजिए ठोस गोले की त्रिज्या $r_1$ है और खोखले कवच की त्रिज्या $r_2$ है।
पहली स्थिति में, ठोस गोले पर आवेश $Q$ है और कवच अनावेशित है।
ठोस गोले का विभव $V_{in} = \frac{kQ}{r_1} + \frac{k(0)}{r_2} = \frac{kQ}{r_1}$ है।
खोखले कवच का विभव $V_{out} = \frac{kQ}{r_2} + \frac{k(0)}{r_2} = \frac{kQ}{r_2}$ है।
विभवांतर $V = V_{in} - V_{out} = kQ \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ है।
दूसरी स्थिति में, कवच को $-4Q$ का आवेश दिया जाता है।
ठोस गोले का विभव $V'_{in} = \frac{kQ}{r_1} + \frac{k(-4Q)}{r_2} = \frac{kQ}{r_1} - \frac{4kQ}{r_2}$ है।
खोखले कवच का विभव $V'_{out} = \frac{kQ}{r_2} + \frac{k(-4Q)}{r_2} = -\frac{3kQ}{r_2}$ है।
नया विभवांतर $V' = V'_{in} - V'_{out} = \left( \frac{kQ}{r_1} - \frac{4kQ}{r_2} \right) - \left( -\frac{3kQ}{r_2} \right)$ है।
$V' = \frac{kQ}{r_1} - \frac{4kQ}{r_2} + \frac{3kQ}{r_2} = \frac{kQ}{r_1} - \frac{kQ}{r_2} = kQ \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = V$ है।
अतः, विभवांतर $V$ ही रहता है।

(D) $R$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाली रिंग की अक्ष पर $z$ दूरी पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + z^2}}$ होता है।
यहाँ,$R = 3a$ है। $z = 4a$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U_i = qV = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2}} = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (5a)}$ है।
मूल बिंदु $(z = 0)$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U_f = qV = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (3a)}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$K_i + U_i = K_f + U_f$। आवेश के मूल बिंदु को पार करने के लिए,$K_f = 0$ होना चाहिए।
$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (5a)} = 0 + \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (3a)}$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} (\frac{2}{15})$.
$v^2 = \frac{2}{m} \cdot \frac{2}{15} \cdot \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a}$.
$v = \sqrt{\frac{2}{m}} \left( \frac{2}{15} \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} \right)^{1/2}$.

(C) $Q$ आवेश वाले कण द्वारा $V$ विभवांतर से त्वरित होने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = QV$ होती है।
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए इसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $v$ वेग है।
संवेग $p$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच का संबंध $p = \sqrt{2mK}$ है।
इस समीकरण में $K = QV$ रखने पर,हमें $p = \sqrt{2mQV}$ प्राप्त होता है।

(A) दो बिंदुओं के बीच $q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W$,सूत्र $W = q(V_2 - V_1)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आवेश एक इलेक्ट्रॉन है,इसलिए $q = -e$ है।
प्रारंभिक विभव $V_1 = -60\, V$ और अंतिम विभव $V_2 = -20\, V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = -e(-20\, V - (-60\, V))$
$W = -e(-20\, V + 60\, V)$
$W = -e(40\, V)$
$W = -40\, eV$ प्राप्त होता है।
नोट: प्रश्न बाह्य बल द्वारा किए गए कार्य के बारे में पूछता है। चूँकि इलेक्ट्रॉन को निम्न विभव से उच्च विभव की ओर ले जाया जाता है,यदि हम स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन पर विचार करें तो बाह्य कार्य धनात्मक होता है। हालाँकि,मानक परिभाषा $W = q\Delta V$ का उपयोग करने पर,हमें $-40\, eV$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,परिमाण $40\, eV$ है।

(D) विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन को सूत्र $\Delta U = q \Delta V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ आवेश है और $\Delta V$ विभव में परिवर्तन है।
जब किसी आवेश को निम्न विभव वाले क्षेत्र से उच्च विभव वाले क्षेत्र में ले जाया जाता है,तो विभव में परिवर्तन $\Delta V = V_{final} - V_{initial}$ धनात्मक होता है।
यदि आवेश $q$ धनात्मक है,तो $\Delta U = (+q)(+\Delta V) > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।
यदि आवेश $q$ ऋणात्मक है,तो $\Delta U = (-q)(+\Delta V) < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा घटती है।
अतः,विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन आवेश $q$ के चिह्न पर निर्भर करता है।

(B) स्थिर-विद्युत बल एक संरक्षी बल है। स्थिर-विद्युत क्षेत्र में किसी भी बंद पथ के लिए,किया गया कुल कार्य शून्य होता है।
दिया गया है कि आवेश को $A$ से $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W_{AB} = 2 \, J$ है।
आवेश को $B$ से $C$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W_{BC} = -3 \, J$ है।
संरक्षी बल के गुण के अनुसार,बंद पथ $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ के अनुदिश किए गए कार्य का योग शून्य होता है:
$W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 0$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2 + (-3) + W_{CA} = 0$
$-1 + W_{CA} = 0$
$W_{CA} = 1 \, J$
अतः,आवेश को $C$ से $A$ तक लाने में किया गया कार्य $1 \, J$ है।

(D) किसी आवेश $q$ को बिंदु $P$ से बिंदु $Q$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_Q - V_P)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आवेश $q$,$100$ इलेक्ट्रॉनों का कुल आवेश है,इसलिए $q = 100 \times (-e) = 100 \times (-1.6 \times 10^{-19} \, C) = -1.6 \times 10^{-17} \, C$ है।
विभवांतर $V_Q - V_P = -4 \, V - 10 \, V = -14 \, V$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = (-1.6 \times 10^{-17} \, C) \times (-14 \, V) = 22.4 \times 10^{-17} \, J = 2.24 \times 10^{-16} \, J$ है।

(A) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है,$\sigma = \frac{q}{4 \pi R^2}$।
चूंकि दोनों गोलों के लिए पृष्ठीय आवेश घनत्व समान है,इसलिए $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ है।
अतः,गोलों पर आवेश $q_1 = \sigma (4 \pi R_1^2)$ और $q_2 = \sigma (4 \pi R_2^2)$ है।
एक आवेशित गोले की सतह पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$q$ का मान रखने पर,हमें $V = \frac{k (\sigma 4 \pi R^2)}{R} = k \sigma 4 \pi R$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k$,$\sigma$ और $4 \pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए विभव त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है: $V \propto R$।
अतः,उनके विभव का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1}{R_2}$ है।

(B) बिंदु आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण अलग-अलग विभवों का बीजगणितीय योग होता है: $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$.
$a$ भुजा वाले वर्ग $ABCD$ में:
$1$. $A$ से $D$ की दूरी $r_A = a$ है।
$2$. $B$ से $D$ की दूरी वर्ग का विकर्ण है,$r_B = a\sqrt{2}$।
$3$. $C$ से $D$ की दूरी $r_C = a$ है।
$D$ पर विभव $V_D = \frac{kq_A}{r_A} + \frac{kq_B}{r_B} + \frac{kq_C}{r_C}$ है।
मान रखने पर: $V_D = \frac{kq}{a} + \frac{k(\sqrt{2}q)}{a\sqrt{2}} + \frac{k(2q)}{a}$।
$V_D = \frac{kq}{a} + \frac{kq}{a} + \frac{2kq}{a} = \frac{kq}{a}(1 + 1 + 2) = \frac{4kq}{a}$।

(C) $R$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले चालक गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त के अनुसार,सतह के निकट विद्युत क्षेत्र समान हैं:
$\frac{kq_1}{r_1^2} = \frac{kq_2}{r_2^2}$
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \quad -(1)$
चालक गोले की सतह पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{R}$ होता है।
उनके विभव का अनुपात है:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{kq_1 / r_1}{kq_2 / r_2} = \frac{q_1}{q_2} \cdot \frac{r_2}{r_1}$
समीकरण $(1)$ से $\frac{q_1}{q_2}$ का मान रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1^2}{r_2^2} \right) \cdot \left( \frac{r_2}{r_1} \right) = \frac{r_1}{r_2}$
अतः,उनके विद्युत विभव का अनुपात $(r_1 / r_2)$ है।

(B) पहले गोले का विभव $V_1 = K \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{a} \right)$ है और दूसरे गोले का विभव $V_2 = K \left( \frac{q_2}{r} + \frac{q_1}{a} \right)$ है,जहाँ $K$ स्थिरवैद्युत नियतांक है।
हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है:
$V_1 = K \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{a} \right) \implies \frac{V_1}{K} = \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{a} \quad (1)$
$V_2 = K \left( \frac{q_2}{r} + \frac{q_1}{a} \right) \implies \frac{V_2}{K} = \frac{q_2}{r} + \frac{q_1}{a} \quad (2)$
समीकरण $(1)$ को $a$ से और समीकरण $(2)$ को $r$ से गुणा करने पर:
$a \frac{V_1}{K} = \frac{aq_1}{r} + q_2$
$r \frac{V_2}{K} = q_2 + \frac{rq_1}{a}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\frac{rV_2 - aV_1}{K} = q_1 \left( \frac{r}{a} - \frac{a}{r} \right) = q_1 \left( \frac{r^2 - a^2}{ar} \right)$
$q_1$ के लिए हल करने पर:
$q_1 = \frac{1}{K} \left( \frac{rV_2 - aV_1}{r^2 - a^2} \right) ra$
इसी प्रकार,$q_2$ के लिए हल करने पर:
$q_2 = \frac{1}{K} \left( \frac{rV_1 - aV_2}{r^2 - a^2} \right) ra$

(D) बिंदु आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $E$ के लिए,जो भुजा $BC$ का मध्य बिंदु है,दूरियाँ $AE = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}$,$BE = a$,$CE = a$,और $DE = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}$ हैं।
$E$ पर विभव $V_E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q}{a\sqrt{5}} + \frac{q}{a} - \frac{q}{a} - \frac{q}{a\sqrt{5}} \right) = 0$ है।
चूंकि $V_E = 0$,इसलिए $E$ पर विभव का $F$ पर विभव से अनुपात $\frac{V_E}{V_F} = \frac{0}{V_F} = 0$ है (यह मानते हुए कि $V_F \neq 0$)।

(A) माना $r$ त्रिज्या वाले आंतरिक कोश पर आवेश $Q_1$ है और $2r$ त्रिज्या वाले बाहरी कोश पर आवेश $Q_2$ है।
आंतरिक कोश की सतह पर विभव:
$V_{in} = \frac{kQ_1}{r} + \frac{kQ_2}{2r} = 10\,V$ --- $(1)$
बाहरी कोश की सतह पर विभव:
$V_{out} = \frac{kQ_1}{2r} + \frac{kQ_2}{2r} = 5\,V$ --- $(2)$
कोशों के केंद्र पर विभव दोनों कोशों के कारण विभव का योग है:
$V_{centre} = \frac{kQ_1}{r} + \frac{kQ_2}{2r}$
इस व्यंजक की समीकरण $(1)$ से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि केंद्र पर विभव आंतरिक कोश की सतह पर विभव के बिल्कुल बराबर है।
अतः, $V_{centre} = 10\,V$.

(B) एक आवेशित गोलीय चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश $q$ स्थिर है,इसलिए $E \propto \frac{1}{R^{2}}$ है।
जब त्रिज्या को आधा कर दिया जाता है $(R' = R/2)$,तो नया विद्युत क्षेत्र $E' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(R/2)^{2}} = 4 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R^{2}} \right) = 4E$ हो जाता है।
चालक का विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश $q$ स्थिर है,इसलिए $V \propto \frac{1}{R}$ है।
जब त्रिज्या को आधा कर दिया जाता है $(R' = R/2)$,तो नया विभव $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(R/2)} = 2 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R} \right) = 2V$ हो जाता है।
अतः,नए मान $4E$ और $2V$ होंगे।

(B) किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ को एक इकाई धनात्मक आवेश को अनंत से उस बिंदु तक लाने में बाह्य बल द्वारा किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसमें गतिज ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
सूत्र: $V = \frac{W_{ext}}{q}$
दिया गया है:
कार्य $W_{ext} = 20\,\mu J = 20 \times 10^{-6}\,J$
आवेश $q = 2\,\mu C = 2 \times 10^{-6}\,C$
गणना:
$V = \frac{20 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-6}} = 10\,V$
अतः,उस बिंदु पर विभव $10\,V$ होगा।

(B) $Q$ आवेश वाले $R$ त्रिज्या के एक चालक गोले के लिए,आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
चालक के अंदर,विद्युत क्षेत्र $E$ हर जगह शून्य होता है क्योंकि आवेश स्थिरवैद्युत संतुलन में होते हैं।
हालाँकि,चालक के अंदर विद्युत विभव $V$ स्थिर रहता है और इसकी सतह पर विभव के बराबर होता है।
सतह पर विभव $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,गोले के केंद्र पर,विद्युत विभव $\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ है और विद्युत क्षेत्र $0$ है।

(C) एक खोखले धात्विक गोले के लिए,इसके अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है $(E = 0)$।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव का ऋणात्मक प्रवणता (gradient) होता है $(E = -dV/dr)$,यदि $E = 0$ है,तो विभव $V$ गोले के भीतर स्थिर रहना चाहिए।
अतः,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर,केंद्र सहित,विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि सतह पर विभव $80 \; V$ है,इसलिए केंद्र पर भी विभव $80 \; V$ होगा।

(B) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B,$ और $C$ हैं। प्रत्येक शीर्ष पर $Q$ आवेश रखा गया है। माना $P$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है।
$P$ से शीर्षों $B$ और $C$ की दूरी $r_1 = r_2 = d/2$ है।
$P$ से शीर्ष $A$ की दूरी त्रिभुज की ऊँचाई है,$h = \frac{\sqrt{3}}{2}d$.
$P$ पर कुल विभव तीनों आवेशों के कारण उत्पन्न विभव का योग है: $V_P = V_A + V_B + V_C$.
$V_P = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{Q}{h} + \frac{Q}{d/2} + \frac{Q}{d/2} \right) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}d} + \frac{2}{d} + \frac{2}{d} \right)$.
$V_P = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 d} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + 4 \right) = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 d} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \right)$.

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ की दिशा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर होती है।
इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश $q = -e$ होता है।
विद्युत क्षेत्र में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश ऋणात्मक है,इसलिए इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में होता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन निम्न विभव से उच्च विभव की ओर गति करते हैं।
इस प्रकार,कथन गलत है और कारण सही है।

(D) $r$ त्रिज्या वाले चालक गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ गोले का विभव है।
दिया गया है,अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_{max} = 10^7\,V/m$ और त्रिज्या $r = 0.10\,m$ है।
अधिकतम विभव $V_{max}$ ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $V_{max} = E_{max} \times r$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $V_{max} = 10^7\,V/m \times 0.10\,m$.
$V_{max} = 10^7 \times 10^{-1} = 10^6\,V$.
अतः,गोले को $10^6\,V$ के अधिकतम विभव तक आवेशित किया जा सकता है।

(A) माना कि $+q$ आवेश से वह दूरी जहाँ विभव शून्य है,$x$ (मीटर में) है।
इस बिंदु पर कुल विभव $V$ दोनों आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{x} + \frac{-3q}{1-x} \right) = 0$
चूंकि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \neq 0$,इसलिए:
$\frac{q}{x} - \frac{3q}{1-x} = 0$
$\frac{1}{x} = \frac{3}{1-x}$
$1 - x = 3x$
$1 = 4x$
$x = \frac{1}{4} \, m = 0.25 \, m = 25 \, cm$.
अतः,अभीष्ट दूरी $25 \, cm$ है।

(D) बिंदु आवेशों की प्रणाली के कारण मूल बिंदु पर विभव $V = \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई प्रणाली के लिए,$+q$ आवेश $x = x_0, 3x_0, 5x_0, \dots$ पर और $-q$ आवेश $x = 2x_0, 4x_0, 6x_0, \dots$ पर स्थित हैं।
मूल बिंदु पर विभव:
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{x_0} - \frac{1}{2x_0} + \frac{1}{3x_0} - \frac{1}{4x_0} + \dots \right)$
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 x_0} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right)$
$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$x=1$ के लिए,हमें $\log_e(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ प्राप्त होता है।
इस मान को $V$ के व्यंजक में रखने पर:
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 x_0} \log_e 2$.

(A) मान लीजिए कि आंतरिक कोश $B$ की त्रिज्या $R_1$ और आवेश $Q_1$ है,और बाहरी कोश $A$ की त्रिज्या $R_2$ और आवेश $Q_2$ है।
बाहरी कोश $A$ की सतह पर विभव $V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 + Q_2}{R_2}$ है।
आंतरिक कोश $B$ की सतह पर विभव $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} \right)$ है।
कोशों के बीच विभवांतर $V_B - V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} - \frac{Q_1 + Q_2}{R_2} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} Q_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
यह दर्शाता है कि विभवांतर केवल आंतरिक कोश के आवेश $Q_1$ पर निर्भर करता है। अतः,कथन सही है।
बाहरी कोश के आवेश $Q_2$ के कारण उसके अंदर किसी भी बिंदु पर (आंतरिक कोश की सतह सहित) विभव स्थिर रहता है और यह $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_2}{R_2}$ के बराबर होता है। अतः,कारण भी सही है और यह स्पष्ट करता है कि विभवांतर की गणना में $Q_2$ पद क्यों कट जाता है।

(C) किसी बिंदु पर विद्युत विभव $(V)$ को अनंत से उस बिंदु तक इकाई धनात्मक आवेश को लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $V = W/q$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत स्थितिज ऊर्जा $(U)$ आवेशों के एक निकाय को बनाने में किया गया कुल कार्य है,जिसे $U = qV$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $U$ और $V$ की विमाएँ अलग-अलग हैं ($V$ के लिए $[ML^2T^{-3}A^{-1}]$ और $U$ के लिए $[ML^2T^{-2}A^{-1}]$),इसलिए वे अलग-अलग भौतिक राशियाँ हैं।
अतः कथन सही है।
कारण में कहा गया है कि $U = V$,जो विमीय रूप से असंगत और भौतिक रूप से गलत है।
इसलिए,कथन सही है लेकिन कारण गलत है।

(N/A) आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $Q = 4 \times 10^{-7} \; C$ और $r = 9 \; cm = 0.09 \; m$ है।
$V = (9 \times 10^{9} \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}) \times \frac{4 \times 10^{-7} \; C}{0.09 \; m} = 4 \times 10^{4} \; V$.
$(b)$ आवेश $q$ को अनंत से बिंदु $P$ तक लाने में किया गया कार्य $W = qV$ होता है।
यहाँ $q = 2 \times 10^{-9} \; C$ है।
$W = (2 \times 10^{-9} \; C) \times (4 \times 10^{4} \; V) = 8 \times 10^{-5} \; J$.
नहीं,किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है क्योंकि स्थिर-विद्युत बल एक संरक्षी बल है। कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।

(N/A) मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ धनात्मक आवेश के स्थान पर है। दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा को $x$-अक्ष माना गया है; ऋणात्मक आवेश मूल बिंदु के दाईं ओर स्थित है।
मान लीजिए $P$ $x$-अक्ष पर वह आवश्यक बिंदु है जहाँ विभव शून्य है।
यदि $x$ $P$ का $x$-निर्देशांक है,तो स्पष्ट रूप से $x$ धनात्मक होना चाहिए। यदि $x$ $O$ और $A$ के बीच स्थित है,तो हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{3 \times 10^{-8}}{x \times 10^{-2}} - \frac{2 \times 10^{-8}}{(15-x) \times 10^{-2}} \right] = 0$
जहाँ $x$ $cm$ में है। अर्थात,
$\frac{3}{x} - \frac{2}{15-x} = 0$
जिससे $x = 9 \; cm$ प्राप्त होता है।
यदि $x$ $OA$ रेखा के विस्तारित भाग पर स्थित है,तो आवश्यक शर्त है:
$\frac{3}{x} - \frac{2}{x-15} = 0$
जिससे $x = 45 \; cm$ प्राप्त होता है।
अतः,धनात्मक आवेश से $9 \; cm$ और $45 \; cm$ की दूरी पर ऋणात्मक आवेश की ओर विद्युत विभव शून्य होता है।

(A-D) चूँकि $V \propto \frac{1}{r}$,धनात्मक आवेश के निकट विभव अधिक होता है। अतः,$V_{P} > V_{Q}$,इसलिए $(V_{P}-V_{Q})$ धनात्मक है। ऋणात्मक आवेश के लिए,आवेश के निकट विभव अधिक ऋणात्मक होता है। अतः,$V_{B} > V_{A}$ (क्योंकि $V_{A}$ अधिक ऋणात्मक है),इसलिए $(V_{B}-V_{A})$ धनात्मक है।
$(b)$ स्थितिज ऊर्जा $U = qV$ होती है। ऋणात्मक आवेश $q < 0$ के लिए,यदि $V_{P} > V_{Q}$ है,तो $U_{P} < U_{Q}$ होगा। अतः अंतर $(U_{P}-U_{Q})$ ऋणात्मक है। इसी प्रकार,ऋणात्मक आवेश के लिए,चूँकि $V_{B} > V_{A}$ है,इसलिए $U_{B} > U_{A}$ होगा,अतः $(U_{A}-U_{B})$ ऋणात्मक है।
$(c)$ एक धनात्मक आवेश धनात्मक स्रोत आवेश से प्रतिकर्षण बल का अनुभव करता है। इसे $Q$ से $P$ (निकट) तक ले जाने के लिए क्षेत्र के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। अतः,क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।
$(d)$ एक ऋणात्मक आवेश को $B$ से $A$ (ऋणात्मक स्रोत के निकट) तक ले जाने के लिए प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। अतः,बाह्य एजेंसी द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।
$(e)$ जैसे-जैसे ऋणात्मक आवेश $B$ से $A$ की ओर जाता है,वह ऋणात्मक स्रोत आवेश के करीब पहुँचता है और अधिक प्रतिकर्षण बल का अनुभव करता है। यह बल ऋणात्मक कार्य करता है,जिससे गतिज ऊर्जा घट जाती है।

(N/A) चूंकि किया गया कार्य आवेशों की अंतिम व्यवस्था पर निर्भर करता है,न कि इस पर कि उन्हें कैसे एक साथ रखा गया है,हम $A, B, C$ और $D$ पर आवेशों को रखने के लिए आवश्यक कार्य की गणना करते हैं। मान लीजिए,पहले $+q$ आवेश को $A$ पर लाया जाता है,और फिर $-q, +q,$ और $-q$ आवेशों को क्रमशः $B, C$ और $D$ पर लाया जाता है। कुल आवश्यक कार्य की गणना चरणों में की जा सकती है:
$(i)$ जब कहीं और कोई आवेश मौजूद न हो तो $+q$ आवेश को $A$ पर लाने के लिए आवश्यक कार्य: यह $0$ है।
$(ii)$ जब $+q$ आवेश $A$ पर हो,तब $-q$ को $B$ पर लाने के लिए आवश्यक कार्य: यह ($B$ पर आवेश) $\times$ ($A$ पर $+q$ आवेश के कारण $B$ पर स्थिर वैद्युत विभव) द्वारा दिया जाता है:
$W_2 = -q \times \left(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} d}\right) = -\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} d}$
$(iii)$ जब $+q$ आवेश $A$ पर और $-q$ आवेश $B$ पर हो,तब $+q$ को $C$ पर लाने के लिए आवश्यक कार्य: यह ($C$ पर आवेश) $\times$ ($A$ और $B$ पर आवेशों के कारण $C$ पर विभव) द्वारा दिया जाता है:
$W_3 = +q \left(\frac{+q}{4 \pi \varepsilon_{0} d \sqrt{2}} + \frac{-q}{4 \pi \varepsilon_{0} d}\right) = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} d} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1\right)$
$(iv)$ जब $+q$ आवेश $A$ पर,$-q$ आवेश $B$ पर और $+q$ आवेश $C$ पर हो,तब $-q$ को $D$ पर लाने के लिए आवश्यक कार्य: यह ($D$ पर आवेश) $\times$ ($A, B$ और $C$ पर आवेशों के कारण $D$ पर विभव) द्वारा दिया जाता है:
$W_4 = -q \left(\frac{+q}{4 \pi \varepsilon_{0} d} + \frac{-q}{4 \pi \varepsilon_{0} d \sqrt{2}} + \frac{+q}{4 \pi \varepsilon_{0} d}\right) = -\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} d} \left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
चरण $(i), (ii), (iii)$ और $(iv)$ में किए गए कार्य को जोड़ने पर,कुल आवश्यक कार्य है:
$W = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = \frac{-q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} d} (4 - \sqrt{2})$
$(b)$ जब चारों आवेश $A, B, C$ और $D$ पर स्थित हों,तब $q_{0}$ आवेश को बिंदु $E$ पर लाने के लिए आवश्यक अतिरिक्त कार्य $q_{0} \times$ ($A, B, C$ और $D$ पर आवेशों के कारण $E$ पर स्थिर वैद्युत विभव) है। $E$ पर स्थिर वैद्युत विभव शून्य है क्योंकि $A$ और $C$ के कारण विभव $B$ और $D$ के कारण विभव द्वारा निरस्त हो जाता है। अतः,बिंदु $E$ पर किसी भी आवेश को लाने के लिए किसी कार्य की आवश्यकता नहीं है।

(N/A) दिए गए आवेश $q_{1} = 5 \times 10^{-8} \; C$ और $q_{2} = -3 \times 10^{-8} \; C$ हैं। उनके बीच की दूरी $d = 16 \; cm = 0.16 \; m$ है।
स्थिति $1$: बिंदु $P$ आवेशों के बीच $q_{1}$ से $r$ दूरी पर है।
बिंदु $P$ पर विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r} + \frac{q_{2}}{d-r} \right)$ होता है।
$V = 0$ रखने पर,$\frac{q_{1}}{r} = -\frac{q_{2}}{d-r}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{5 \times 10^{-8}}{r} = -\frac{-3 \times 10^{-8}}{0.16-r}$.
$5(0.16 - r) = 3r \Rightarrow 0.8 - 5r = 3r \Rightarrow 8r = 0.8 \Rightarrow r = 0.1 \; m = 10 \; cm$.
स्थिति $2$: बिंदु $P$ आवेशों के बाहर $q_{1}$ से $s$ दूरी पर है।
बिंदु $P$ पर विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{s} + \frac{q_{2}}{s-d} \right)$ होता है।
$V = 0$ रखने पर,$\frac{q_{1}}{s} = -\frac{q_{2}}{s-d}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{5 \times 10^{-8}}{s} = -\frac{-3 \times 10^{-8}}{s-0.16}$.
$5(s - 0.16) = 3s \Rightarrow 5s - 0.8 = 3s \Rightarrow 2s = 0.8 \Rightarrow s = 0.4 \; m = 40 \; cm$.
अतः,विभव धनात्मक आवेश के बीच $10 \; cm$ की दूरी पर और निकाय के बाहर $40 \; cm$ की दूरी पर शून्य होता है।

(D) दी गई आकृति एक समषट्भुज के शीर्षों पर छह समान आवेश,$q$ दर्शाती है।
आवेश,$q = 5 \; \mu C = 5 \times 10^{-6} \; C$
षट्भुज की भुजा,$l = 10 \; cm = 0.1 \; m$
एक समषट्भुज में,केंद्र $O$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी उसकी भुजा की लंबाई के बराबर होती है। इसलिए,दूरी $d = 10 \; cm = 0.1 \; m$ है।
दूरी $d$ पर स्थित एक आवेश $q$ के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि शीर्षों पर छह समान आवेश हैं,इसलिए केंद्र पर कुल विभव प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभव का योग होगा:
$V_{total} = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{d} \right)$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}$ का उपयोग करते हुए:
$V_{total} = 6 \times \frac{9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1}$
$V_{total} = \frac{270 \times 10^{3}}{0.1} = 2700 \times 10^{3} = 2.7 \times 10^{6} \; V$
अतः,षट्भुज के केंद्र पर विभव $2.7 \times 10^{6} \; V$ है।

(B) मूल बिंदु पर स्थित आवेश $q = 8 \; mC = 8 \times 10^{-3} \; C$ है।
स्थानांतरित होने वाला छोटा आवेश $q_1 = -2 \times 10^{-9} \; C$ है।
चूंकि स्थिर-विद्युत बल संरक्षी होता है,इसलिए किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है और केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
बिंदु $P$ पर विभव ($d_1 = 3 \; cm = 0.03 \; m$ की दूरी पर): $V_P = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{d_1} = 9 \times 10^9 \times \frac{8 \times 10^{-3}}{0.03} = 24 \times 10^8 \; V$.
बिंदु $Q$ पर विभव ($d_2 = 4 \; cm = 0.04 \; m$ की दूरी पर): $V_Q = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{d_2} = 9 \times 10^9 \times \frac{8 \times 10^{-3}}{0.04} = 18 \times 10^8 \; V$.
किया गया कार्य $W = q_1 (V_Q - V_P) = (-2 \times 10^{-9}) \times (18 \times 10^8 - 24 \times 10^8)$.
$W = (-2 \times 10^{-9}) \times (-6 \times 10^8) = 12 \times 10^{-1} = 1.2 \; J$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.27 \; J$ है।

(C) घन की भुजा की लंबाई $b$ है।
इसके प्रत्येक $8$ शीर्षों पर $q$ आवेश है।
घन के केंद्र से किसी भी शीर्ष की दूरी $r = \frac{1}{2} \times \text{घन का विकर्ण}$ होती है।
घन का विकर्ण $\sqrt{b^2 + b^2 + b^2} = b\sqrt{3}$ है।
अतः,$r = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.
एक आवेश के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ है।
चूंकि $8$ आवेश हैं,इसलिए कुल विभव $V = 8 \times V_1 = 8 \times \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(b\sqrt{3}/2)}$.
$V = \frac{8q}{4\pi\epsilon_0} \times \frac{2}{b\sqrt{3}} = \frac{4q}{\sqrt{3}\pi\epsilon_0 b}$.
प्रत्येक आवेश के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र आवेश से दूर (यदि $q>0$ है) विपरीत शीर्ष की ओर निर्देशित होता है। चूंकि आवेश सममित रूप से व्यवस्थित हैं,इसलिए विपरीत शीर्षों से उत्पन्न विद्युत क्षेत्र सदिश एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। अतः,केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $0$ है।

(N/A) इस निकाय में चार आवेश हैं: $x = -a$ पर $+q$,$x = 0$ पर $-q$,$x = 0$ पर $-q$ और $x = a$ पर $+q$। यह $x = -a$ पर $+q$,$x = 0$ पर $-2q$ और $x = a$ पर $+q$ आवेश वाले निकाय के समतुल्य है।
मान लीजिए कि बिंदु $P$ मूल बिंदु (जहाँ $-2q$ आवेश स्थित है) से $r$ दूरी पर अक्ष पर स्थित है।
बिंदु $P$ से आवेशों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$x = -a$ पर $+q$ के लिए: $d_1 = r + a$
$x = 0$ पर $-2q$ के लिए: $d_2 = r$
$x = a$ पर $+q$ के लिए: $d_3 = r - a$
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$ है:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{q}{r + a} - \frac{2q}{r} + \frac{q}{r - a} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{r(r - a) - 2(r^2 - a^2) + r(r + a)}{r(r^2 - a^2)} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{r^2 - ra - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ra}{r(r^2 - a^2)} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{2a^2}{r(r^2 - a^2)} \right]$
जब $r >> a$ हो,तो हम $r^2 - a^2 \approx r^2$ मान सकते हैं:
$V \approx \frac{2qa^2}{4 \pi \epsilon_{0} r^3}$
इस प्रकार,विद्युत चतुर्ध्रुव के लिए,$V \propto \frac{1}{r^3}$।
अन्य निकायों के साथ तुलना:
विद्युत एकलध्रुव (एकल आवेश) के लिए,$V \propto \frac{1}{r}$।
विद्युत द्विध्रुव के लिए,$V \propto \frac{1}{r^2}$।

(A) $r_{1}$ त्रिज्या वाले आंतरिक गोले का विभव $V_{1} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r_{1}} + \frac{q_{2}}{r_{2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
$r_{2}$ त्रिज्या वाले बाहरी कोश का विभव $V_{2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r_{2}} + \frac{q_{2}}{r_{2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
गोले और कोश के बीच विभवांतर $V = V_{1} - V_{2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r_{1}} + \frac{q_{2}}{r_{2}} - \frac{q_{1}}{r_{2}} - \frac{q_{2}}{r_{2}} \right)$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $V = \frac{q_{1}}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r_{2} > r_{1}$,पद $\left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right)$ हमेशा धनात्मक होता है।
यदि $q_{1} > 0$ है,तो $V > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $V_{1} > V_{2}$ है।
इसलिए,जब तार द्वारा जोड़ा जाता है,तो आवेश हमेशा आंतरिक गोले से बाहरी कोश की ओर प्रवाहित होगा,चाहे $q_{2}$ का मान कुछ भी हो।

(N/A) यदि किसी बल द्वारा एक कण को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है,तो वह बल संरक्षी होता है। स्थिर-विद्युत बल के लिए,एक आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = -(U_B - U_A)$ है,जो केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। चूंकि एक बंद लूप में किया गया कार्य शून्य होता है,इसलिए स्थिर-विद्युत बल संरक्षी होते हैं।
स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा की परिभाषा: एक इकाई धनात्मक आवेश को अनंत से विद्युत क्षेत्र के किसी विशिष्ट बिंदु तक एक स्थिर गति से (बिना त्वरण के) लाने में किसी बाहरी कारक द्वारा किए गए कार्य को उस बिंदु पर स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है।

(N/A) विद्युत क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर,$q$ आवेश वाला एक कण एक निश्चित स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा रखता है। इस आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के लिए एक बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य इसकी स्थितिज ऊर्जा को $R$ और $P$ बिंदुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा के अंतर के बराबर बढ़ा देता है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा का अंतर है:
$\Delta U = U_{P} - U_{R} = W_{RP}$
इसलिए,हम दो बिंदुओं के बीच विद्युत स्थितिज ऊर्जा अंतर को किसी भी मनमाने आवेश विन्यास के विद्युत क्षेत्र में एक आवेश $q$ को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक (बिना त्वरित किए) ले जाने के लिए बाहरी बल द्वारा किए जाने वाले कार्य के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।
निम्नलिखित टिप्पणियाँ की जा सकती हैं:
$(i)$ किया गया कार्य केवल आवेश की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। इसका अर्थ यह है कि एक आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में स्थिरवैद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य अपनाए गए पथ से स्वतंत्र होता है। यह एक संरक्षी बल की मूलभूत विशेषता है।
$(ii)$ स्थितिज ऊर्जा का वास्तविक मान महत्वपूर्ण नहीं है; केवल स्थितिज ऊर्जा का अंतर ही भौतिक रूप से महत्वपूर्ण है। यदि हम प्रत्येक बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा में एक मनमाना स्थिरांक $\alpha$ जोड़ते हैं,तो अंतर अपरिवर्तित रहता है: $(U_{P} + \alpha) - (U_{R} + \alpha) = U_{P} - U_{R}$।
यदि हम अनंत पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य परिभाषित करते हैं,तो अनंत से बिंदु $P$ तक आवेश लाने में किया गया कार्य $W_{\infty P} = U_{P}$ होता है। इस प्रकार,किसी बिंदु पर आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा को उस आवेश $q$ को अनंत से उस बिंदु तक लाने के लिए बाहरी बल (विद्युत क्षेत्र बल के बराबर और विपरीत) द्वारा किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(N/A) वोल्टेज,जिसे विद्युत विभवांतर भी कहा जाता है,विद्युत परिपथ में दो बिंदुओं के बीच आवेश को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक प्रति इकाई आवेश ऊर्जा का माप है।
यह उस 'दबाव' या 'बल' को दर्शाता है जो चालक के माध्यम से विद्युत धारा को प्रवाहित करता है।
गणितीय रूप से,इसे $V = \frac{W}{Q}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $Q$ आवेश है।
वोल्टेज की $SI$ इकाई वोल्ट $(V)$ है।

(N/A) $1 \ eV$ (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट) को उस गतिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक इलेक्ट्रॉन द्वारा $1 \ V$ के विभवांतर से त्वरित होने पर प्राप्त की जाती है।
गणितीय रूप से,$1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$।

(N/A) बिंदु आवेशों के एक निकाय की स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा को उस कुल कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो आवेशों को अनंत से उनकी वर्तमान स्थिति में लाने के लिए किसी बाह्य कारक द्वारा किया जाता है,बिना किसी त्वरण के।
गणितीय रूप से,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय के लिए स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$
जहाँ $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता (permittivity) है।

(N/A) विद्युत क्षेत्र में किसी इकाई धन आवेश को अनंत से किसी दिए गए बिंदु तक लाने में बाह्य बल द्वारा किए गए कार्य को उस बिंदु पर स्थिर वैद्युत या विद्युत विभव कहा जाता है। इसे $V$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान लीजिए मूल बिंदु $O$ पर एक स्रोत आवेश $Q$ है। $P$ एक बिंदु है जो $O$ से कुछ दूरी पर है,और $R$ अनंत पर स्थित एक बिंदु है।
इकाई धन आवेश को अनंत से बिंदु $P$ तक लाने में किया गया कार्य प्रति इकाई आवेश उसकी स्थितिज ऊर्जा है।
यदि $U_P$ बिंदु $P$ पर स्थितिज ऊर्जा है और $U_R$ बिंदु $R$ पर स्थितिज ऊर्जा है,तो इन बिंदुओं के बीच विद्युत विभवांतर $\frac{U_P - U_R}{q}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$V_P - V_R = \frac{U_P - U_R}{q}$,जहाँ $V_P$ और $V_R$ क्रमशः बिंदु $P$ और $R$ पर विभव हैं।
चूंकि विद्युत विभव का निरपेक्ष मान भौतिक रूप से महत्वपूर्ण नहीं है,केवल विभवांतर ही महत्वपूर्ण है। परंपरा के अनुसार,हम अनंत पर विभव को शून्य मानते हैं $(V_R = 0)$।
इसलिए,$V_P = \frac{U_P}{q}$.
विद्युत विभव का $SI$ मात्रक वोल्ट $(V)$ है,जहाँ $1 \ V = 1 \ J/C$ होता है। अन्य मात्रकों में $CGS$ प्रणाली में स्टेटवोल्ट $(statV)$ शामिल है,जहाँ $1 \ V = \frac{1}{300} \ statV$ होता है।

(A) किसी बिंदु पर स्थिरवैद्युत विभव को अनंत से एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश को विद्युत क्षेत्र में उस बिंदु तक लाने में किए गए कार्य की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि किया गया कार्य एक अदिश राशि है,इसलिए स्थिरवैद्युत विभव भी एक अदिश राशि है।
इसका केवल परिमाण होता है और इसके साथ कोई विशिष्ट दिशा जुड़ी नहीं होती है।

(N/A) मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ पर एक बिंदु आवेश $Q$ स्थित है। $Q$ से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत विभव को अनंत से एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश को बिंदु $P$ तक लाने में एक बाहरी एजेंट द्वारा किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि स्थिर-विद्युत बल संरक्षी होता है,इसलिए किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है। हम अनंत से $P$ तक एक त्रिज्यीय पथ चुनते हैं।
$O$ से $r^{\prime}$ दूरी पर स्थित एक मध्यवर्ती बिंदु $P^{\prime}$ पर,एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश पर लगने वाला स्थिर-विद्युत बल है:
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q \times 1}{(r^{\prime})^{2}} = \frac{kQ}{(r^{\prime})^{2}}$
आवेश की दिशा में $dr^{\prime}$ के छोटे विस्थापन के लिए स्थिर-विद्युत बल $F$ के विरुद्ध बाहरी बल $F_{ext}$ द्वारा किया गया कार्य है:
$dW = F_{ext} \cdot dr^{\prime} = -F \cdot dr^{\prime} = -\frac{kQ}{(r^{\prime})^{2}} dr^{\prime}$
अनंत से $r$ तक आवेश को लाने में किए गए कुल कार्य $W$ को ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का समाकलन करते हैं:
$W = \int_{\infty}^{r} -\frac{kQ}{(r^{\prime})^{2}} dr^{\prime}$
$W = -kQ \int_{\infty}^{r} (r^{\prime})^{-2} dr^{\prime}$
$W = -kQ \left[ -\frac{1}{r^{\prime}} \right]_{\infty}^{r}$
$W = kQ \left[ \frac{1}{r} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{kQ}{r}$
विद्युत विभव की परिभाषा के अनुसार $V = \frac{W}{q_{0}}$ और $q_{0} = 1 \text{ C}$ है,इसलिए:
$V(r) = \frac{kQ}{r} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r}$

(N/A) एक बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर स्थिर वैद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{kQ}{r}$ है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ कूलम्ब नियतांक है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $V \propto \frac{1}{r}$ है।
जैसे-जैसे दूरी $r$ बढ़ती है,विभव $V$ हाइपरबोलिक रूप से घटता है।
यदि आवेश $Q$ धनात्मक है,तो सभी $r > 0$ के लिए विभव $V$ धनात्मक होता है। यदि आवेश $Q$ ऋणात्मक है,तो सभी $r > 0$ के लिए विभव $V$ ऋणात्मक होता है।
$V$ बनाम $r$ का ग्राफ एक अतिपरवलय (hyperbola) है जो $r \to \infty$ होने पर $r$-अक्ष के करीब पहुंचता है और $r \to 0$ होने पर अनंत की ओर जाता है।

(N/A)

विद्युत विभव $(V)$	विद्युत स्थितिज ऊर्जा $(U)$
$(1)$ एकांक धनावेश को विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध अनंत से किसी बिंदु तक लाने में किए गए कार्य को विद्युत विभव कहते हैं।	$(1)$ $q$ आवेश को विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध अनंत से किसी बिंदु तक लाने में किए गए कार्य को विद्युत स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।
$(2)$ $SI$ मात्रक: $J \cdot C^{-1}$ या $\text{Volt} (V)$।	$(2)$ $SI$ मात्रक: $J$ (जूल)।
$(3)$ सूत्र: $V = \frac{W}{q}$, जहाँ $q$ एकांक धनावेश है।	$(3)$ सूत्र: $U = qV$।
$(4)$ विमीय सूत्र: $[M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}]$।	$(4)$ विमीय सूत्र: $[M^1 L^2 T^{-2}]$।

(N/A) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर स्थिर-वैद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$.
एक ऋणात्मक बिंदु आवेश के लिए,हम $q = -|q|$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,एक ऋणात्मक बिंदु आवेश के लिए स्थिर-वैद्युत विभव का समीकरण है: $V = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{r}$,जहाँ $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता (permittivity) है।

(B) एक बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर स्थिर वैद्युत विभव $V$ का सूत्र है: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विभव $V$ दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $V \propto \frac{1}{r}$।
जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$V$ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) वक्र का पालन करते हुए घटता है।
इसलिए,$V$ बनाम $r$ को दर्शाने वाला ग्राफ एक ऐसा वक्र है जहाँ $r$ बढ़ने पर $V$ घटता है,जो $V \propto \frac{1}{r}$ संबंध के अनुरूप है।

(N/A) मान लीजिए कि $q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{N}$ आवेशों का एक निकाय है जो बिंदु $P$ से क्रमशः $r_{1P}, r_{2P}, r_{3P}, \ldots, r_{NP}$ दूरी पर स्थित है।
एकल आवेश $q_{i}$ के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{i}}{r_{iP}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत विभव एक अदिश राशि है,इसलिए $N$ आवेशों के निकाय के कारण बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग होता है:
$V = V_{1} + V_{2} + V_{3} + \ldots + V_{N}$
प्रत्येक विभव के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{1P}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r_{2P}} + \ldots + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{N}}{r_{NP}}$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$ को बाहर निकालने पर:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}}{r_{iP}}$
यहाँ,$\epsilon_{0}$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता (permittivity) है और $r_{iP}$ बिंदु $P$ से $i$-वें आवेश की दूरी है।

(N/A) सतत आवेश वितरण के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}$ वाले बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ को सूक्ष्म आवेश तत्वों $dq$ से प्राप्त विभव के समाकलन द्वारा दिया जाता है।
$1$. रेखीय आवेश वितरण के लिए:
$V = k \int_{L} \frac{\lambda dl}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
जहाँ $\lambda$ रेखीय आवेश घनत्व है,$dl$ लंबाई का तत्व है,और $\vec{r}'$ आवेश तत्व का स्थिति सदिश है।
$2$. पृष्ठीय आवेश वितरण के लिए:
$V = k \int_{S} \frac{\sigma dS}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है और $dS$ क्षेत्रफल का तत्व है।
$3$. आयतन आवेश वितरण के लिए:
$V = k \int_{V} \frac{\rho dV}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
जहाँ $\rho$ आयतन आवेश घनत्व है और $dV$ आयतन का तत्व है।
सभी व्यंजकों में,$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ कूलम्ब नियतांक है।