Electric potential Questions in Hindi

(A) अनंत से $q_0$ आवेश को किसी बिंदु तक लाने में किया गया कार्य $W = q_0 V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ उस बिंदु पर मौजूद आवेशों के कारण विद्युत विभव है।
$d$ भुजा वाले एक नियमित षट्भुज में,केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $d$ होती है।
छह आवेशों के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V$ प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश के कारण विभव का योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{+q}{d} + \frac{-q}{d} + \frac{+q}{d} + \frac{-q}{d} + \frac{+q}{d} + \frac{-q}{d} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 d} (q - q + q - q + q - q)$
$V = 0$
अतः,किया गया कार्य $W = q_0 \times 0 = 0$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित पतले गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि विद्युत विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,अर्थात $V_{\text{inside}} = \frac{kQ}{R}$।
$2$. कोश के बाहर $(r \ge R)$,कोश अपने केंद्र पर रखे बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विभव व्युत्क्रम संबंध $V_{\text{outside}} = \frac{kQ}{r}$ का पालन करता है,जहाँ $r$ केंद्र से दूरी है।
$3$. इस प्रकार,$V$ बनाम $r$ का ग्राफ़ $r \le R$ के लिए एक क्षैतिज रेखा है और $r > R$ के लिए एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है।

(C) बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ है।
दिया गया है: $V = 50 \; V$,$Q = 5 \times 10^{-9} \; C$,और $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N m^2 C^{-2}$.
सूत्र में मान रखने पर: $50 = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-9}}{r}$.
अंश को सरल करने पर: $50 = \frac{45}{r}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{45}{50} = 0.9 \; m$.
मीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर: $r = 0.9 \times 100 \; cm = 90 \; cm$.

(D) कोशों पर आवेश इस प्रकार हैं:
$q_x = \sigma(4\pi a^2)$
$q_y = -\sigma(4\pi b^2)$
$q_z = \sigma(4\pi c^2)$
चूंकि कोश $X$ और $Z$ समान विभव पर हैं $(V_x = V_z)$:
$V_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_x}{a} + \frac{q_y}{b} + \frac{q_z}{c} \right)$
$V_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_x}{c} + \frac{q_y}{c} + \frac{q_z}{c} \right)$
$V_x$ और $V_z$ को बराबर करने पर:
$\frac{\sigma 4\pi a^2}{a} - \frac{\sigma 4\pi b^2}{b} + \frac{\sigma 4\pi c^2}{c} = \frac{\sigma 4\pi a^2}{c} - \frac{\sigma 4\pi b^2}{c} + \frac{\sigma 4\pi c^2}{c}$
समीकरण को सरल करने पर:
$a - b + c = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{c}$
$c(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2$
$c(a - b) + c^2 = a^2 - b^2 + c^2$
$c(a - b) = a^2 - b^2$
$c(a - b) = (a - b)(a + b)$
$c = a + b$
यहाँ $a = 2\,cm$ और $b = 3\,cm$ दिया गया है:
$c = 2 + 3 = 5\,cm$.

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद का आवेश $q$ और त्रिज्या $r$ है।
प्रत्येक छोटी बूंद का विभव $V = \frac{Kq}{r} = 10 \, mV$ है।
जब $n = 64$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$64 r^3 = R^3 \implies R = 4r$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq = 64q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{KQ}{R} = \frac{K(64q)}{4r} = 16 \times (\frac{Kq}{r})$ होगा।
$V$ का मान रखने पर,हमें $V' = 16 \times 10 \, mV = 160 \, mV$ प्राप्त होता है।

(B) आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$,व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग होता है।
चित्र से,$+q$ आवेश से बिंदु $P$ की दूरी $r_1 = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ है।
$-q$ आवेश से बिंदु $P$ की दूरी $r_2 = 3 \ cm + 3 \ cm + 2 \ cm = 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$ है।
बिंदु $P$ पर विभव इस प्रकार दिया जाता है:
$V = V_{+q} + V_{-q} = \frac{Kq}{r_1} + \frac{K(-q)}{r_2}$
$V = Kq \left( \frac{1}{2 \times 10^{-2}} - \frac{1}{8 \times 10^{-2}} \right)$
$V = Kq \left( \frac{4 - 1}{8 \times 10^{-2}} \right) = Kq \left( \frac{3}{8 \times 10^{-2}} \right)$
$V = Kq \left( \frac{3}{8} \right) \times 10^2 \ V$.
अतः,$10^2 \ V$ की इकाइयों में विभव $\left( \frac{3}{8} \right) qK$ है।

(C) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से बिंदु $P(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ की दूरी $r_1 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6} \text{ m}$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से बिंदु $Q(\sqrt{6}, 0)$ की दूरी $r_2 = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 0^2} = \sqrt{6} \text{ m}$ है।
चूंकि $r_1 = r_2 = \sqrt{6} \text{ m}$ है,इसलिए बिंदु $P$ पर विभव $V_P = \frac{kQ}{r_1}$ और बिंदु $Q$ पर विभव $V_Q = \frac{kQ}{r_2}$ समान होंगे।
अतः,विभवांतर $V_P - V_Q = \frac{kQ}{r_1} - \frac{kQ}{r_2} = 0 \text{ V}$ होगा।

(B) आवेशित रिंग के केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{dq}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या वाली अर्ध-रिंग के लिए,कुल आवेश $Q = \lambda \times (\pi R)$ होता है।
चूंकि अर्ध-रिंग का प्रत्येक बिंदु केंद्र से समान दूरी $R$ पर है,इसलिए विभव $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$ होगा।
$Q = \lambda \pi R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R}{R} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\lambda = 4 \times 10^{-9} \ C/m$ और $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$ दिया गया है।
$V = k \lambda \pi = (9 \times 10^9) \times (4 \times 10^{-9}) \times \pi$.
$V = 36 \pi \ V$.
इसे $x \pi \ V$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 36$ प्राप्त होता है।

(C) $R$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित पतले गोलीय कोश के लिए,कोश के अंदर किसी भी बिंदु (केंद्र सहित) पर विद्युत विभव स्थिर होता है और सतह पर विभव के बराबर होता है।
$r \leq R$ के लिए विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बिंदु $C$ केंद्र पर $(r = 0)$ है और बिंदु $P$ सतह पर $(r = R)$ है,इसलिए दोनों बिंदु समान विभव पर हैं।
अतः,$V_C = V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$.
बिंदुओं $C$ और $P$ के बीच विभवांतर $V_C - V_P = 0$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $\lambda$ रेखीय आवेश घनत्व वाले आवेशित चालक बेलन के लिए,$r > R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब आंतरिक बेलन को आवेश दिया जाता है,तो दोनों बेलनों के बीच के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र मौजूद होता है,जिसके परिणामस्वरूप विभवांतर $V = \int_{R_1}^{R_2} E \, dr$ प्राप्त होता है।
यदि बाहरी बेलन को आवेश दिया जाता है,तो खोखले चालक के गुणों (गॉस के नियम) के कारण बाहरी बेलन के अंदर के भाग में विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,बेलनों के बीच कोई विभवांतर नहीं होता है।
यदि दोनों को समान आवेश घनत्व $\lambda$ दिया जाता है,तो आंतरिक बेलन क्षेत्र बनाता है,लेकिन बाहरी बेलन उनके बीच के क्षेत्र में योगदान नहीं देता है। इसलिए,आंतरिक बेलन के कारण विभवांतर बना रहेगा।
अतः,विकल्प $A$ सही है क्योंकि आंतरिक बेलन को आवेशित करने से बेलनों के बीच एक त्रिज्यीय विद्युत क्षेत्र बनता है,जिससे विभवांतर उत्पन्न होता है।

(A) एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए,कोश के अंदर स्थिर-वैद्युत विभव स्थिर होता है और इसकी सतह पर विभव के बराबर होता है।
दिया गया है: सतह पर विभव $V_{surface} = 120 \ V$ और त्रिज्या $R = 10 \ cm$ है।
$1$. केंद्र पर $(r = 0 \ cm)$: चूंकि $r < R$,विभव सतह के विभव के बराबर होगा,इसलिए $V_{centre} = 120 \ V$.
$2$. केंद्र से $r = 5 \ cm$ की दूरी पर: चूंकि $r < R$,विभव पूरे आंतरिक भाग में स्थिर रहता है,इसलिए $V_{r=5cm} = 120 \ V$.
$3$. केंद्र से $r = 15 \ cm$ की दूरी पर: चूंकि $r > R$,कोश एक बिंदु आवेश की तरह कार्य करता है। विभव का सूत्र $V = \frac{kQ}{r}$ है।
हम जानते हैं कि $V_{surface} = \frac{kQ}{R} = 120 \ V$,इसलिए $kQ = 120 \times 10 = 1200 \ V \cdot cm$.
अतः,$V_{r=15cm} = \frac{1200}{15} = 80 \ V$.
इसलिए,विभव $120 \ V, 120 \ V, 80 \ V$ होंगे।

(A) आवेशों $q_1$ और $q_2$ के कारण बिंदु $C$ पर विभव:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AC} + \frac{q_2}{BC} \right)$
यहाँ $AC = 40\ cm = 0.4\ m$ दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = 0.5\ m$.
अतः,$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right)$.
बिंदु $D$ पर विभव:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AD} + \frac{q_2}{BD} \right)$
यहाँ $AD = 40\ cm = 0.4\ m$ और $BD = AD - AB = 40\ cm - 30\ cm = 10\ cm = 0.1\ m$.
अतः,$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right)$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$:
$\Delta U = q_3 (V_D - V_C) = q_3 \left[ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right) - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right) \right]$
$\Delta U = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_2}{0.1} - \frac{q_2}{0.5} \right) = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} (10 q_2 - 2 q_2) = \frac{8 q_2 q_3}{4 \pi \epsilon_0}$.
इस प्रकार,$K = 8 q_2$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोलाकार कोश के लिए,कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
$2$. चूंकि अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए विभव $V$ पूरे आंतरिक भाग में स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,जो $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. कोश के अंदर दो बिंदुओं $1$ और $2$ के बीच एक परीक्षण आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W$,$W = q(V_2 - V_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. चूंकि कोश के अंदर किन्हीं भी दो बिंदुओं पर $V_1 = V_2$ होता है,इसलिए $W = q(0) = 0$ होता है।
$5$. इस प्रकार,अभिकथन $A$ सत्य है क्योंकि विभव स्थिर है,और कारण $R$ सत्य है और यह सही व्याख्या प्रदान करता है कि कार्य शून्य क्यों है।

(A) गोलीय कोश के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. कोश के अंदर $(r < \text{त्रिज्या})$: $V = \frac{KQ}{\text{त्रिज्या}}$
$2$. कोश के बाहर $(r > \text{त्रिज्या})$: $V = \frac{KQ}{r}$
$r = \frac{3R}{2}$ पर स्थित बिंदु के लिए:
- यह बिंदु आंतरिक कोश (त्रिज्या $R$) के बाहर है, इसलिए आंतरिक कोश के कारण विभव $V_1 = \frac{KQ}{3R/2} = \frac{2KQ}{3R}$ है।
- यह बिंदु बाहरी कोश (त्रिज्या $2R$) के अंदर है, इसलिए बाहरी कोश के कारण विभव $V_2 = \frac{K(-Q)}{2R} = -\frac{KQ}{2R}$ है।
कुल विभव $V$ दोनों कोशों के कारण विभव का योग है:
$V = V_1 + V_2 = \frac{2KQ}{3R} - \frac{KQ}{2R}$
$V = \frac{4KQ - 3KQ}{6R} = \frac{KQ}{6R}$

(D) आवेश $q_0$ को बिंदु $I$ से $F$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q_0 (V_F - V_I)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,स्थानांतरित किया जाने वाला आवेश $q_0 = -q$ है।
अनंत पर विभव $V_F = 0$ है।
$a$ भुजा वाले घन के केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।
$8$ आवेशों $q$ के कारण केंद्र पर विभव $V_I = 8 \times \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r} = 8 \times \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{(\sqrt{3} a / 2)} = \frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \epsilon_0 a}$ है।
अतः,$W = -q (0 - V_I) = q V_I = q \left( \frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \epsilon_0 a} \right) = \frac{4 q^2}{\sqrt{3} \pi \epsilon_0 a}$।

(D) कोश के अंदर बिंदु $P$ पर विभव,केंद्र पर स्थित आवेश $Q$ के कारण विभव और कोश पर स्थित आवेश $q$ के कारण विभव का योग होता है।
एक चालक कोश के अंदर किसी भी बिंदु के लिए,कोश के आवेश $q$ के कारण विभव स्थिर रहता है और यह उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है,जो $V_{shell} = \frac{kq}{R}$ है।
$R/2$ की दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण विभव $V_{point} = \frac{kQ}{R/2} = \frac{2kQ}{R}$ है।
अतः,बिंदु $P$ पर कुल विभव $V_P = V_{point} + V_{shell} = \frac{2kQ}{R} + \frac{kq}{R}$ होगा।
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर,हमें $V_P = \frac{2Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} + \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ प्राप्त होता है।

(C) कोनों पर स्थित चार आवेशों $Q$ के कारण वर्ग के केंद्र पर विभव $V = 4 \times \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ कोने से केंद्र की दूरी है। $a$ भुजा वाले वर्ग के लिए,विकर्ण $a\sqrt{2}$ है,इसलिए $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
अतः,$V = 4 \times \frac{kQ}{a/\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}kQ}{a}$.
केंद्र पर $-Q$ आवेश की स्थितिज ऊर्जा $U_i = (-Q)V = -\frac{4\sqrt{2}kQ^2}{a}$ है।
अनंत पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = 0$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 0 - (-\frac{4\sqrt{2}kQ^2}{a}) = \frac{4\sqrt{2}kQ^2}{a}$.
$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ रखने पर,हमें $W = \frac{4\sqrt{2}Q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} = \frac{\sqrt{2}Q^2}{\pi\varepsilon_0 a}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि $R$ और $r$ त्रिज्या वाले गोलों पर आवेश क्रमशः $Q_1$ और $Q_2$ हैं,ताकि $Q_1 + Q_2 = Q$ हो।
दिया गया है कि पृष्ठीय आवेश घनत्व समान हैं,$\sigma = \frac{Q_1}{4\pi R^2} = \frac{Q_2}{4\pi r^2}$।
इसका अर्थ है $\frac{Q_1}{R^2} = \frac{Q_2}{r^2} = k'$,जहाँ $k'$ एक स्थिरांक है।
अतः,$Q_1 = k' R^2$ और $Q_2 = k' r^2$।
चूंकि $Q_1 + Q_2 = Q$,इसलिए $k'(R^2 + r^2) = Q$,जिससे $k' = \frac{Q}{R^2 + r^2}$ प्राप्त होता है।
सामान्य केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{r} \right)$ है।
$Q_1$ और $Q_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{k' R^2}{R} + \frac{k' r^2}{r} \right) = \frac{k'}{4\pi\varepsilon_0} (R + r)$।
$k' = \frac{Q}{R^2 + r^2}$ का मान रखने पर:
$V = \frac{Q(R+r)}{4\pi\varepsilon_0(R^2+r^2)}$।

(B) विभवांतर '$V$' के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कण विरामावस्था से शुरू होते हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है: $\frac{1}{2}mv^2 = qV$.
कण '$A$' के लिए: $\frac{1}{2}mv_A^2 = qV \implies v_A = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
कण '$B$' के लिए: $\frac{1}{2}mv_B^2 = (4q)V \implies v_B = \sqrt{\frac{8qV}{m}}$.
उनकी चालों का अनुपात $(v_A : v_B)$ लेने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{2qV/m}}{\sqrt{8qV/m}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,उनकी चालों का अनुपात $1: 2$ है।

(A) आवेशों की प्रणाली के कारण किसी बिंदु $P$ पर विभव $V = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ द्वारा दिया जाता है।
समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ में,$+q$ आवेश $A, B$ और $C$ पर रखे गए हैं। $D, AB$ का मध्य बिंदु है और $E, AC$ का मध्य बिंदु है।
समरूपता के कारण,$D$ की $A$ से दूरी $a$ है,$B$ से दूरी $a$ है,और $C$ से दूरी $\sqrt{AC^2 + AD^2 - 2(AC)(AD) \cos A} = \sqrt{(2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a) \cos A}$ है।
इसी प्रकार,$E$ की $A$ से दूरी $a$ है,$C$ से दूरी $a$ है,और $B$ से दूरी $\sqrt{AB^2 + AE^2 - 2(AB)(AE) \cos A} = \sqrt{(2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a) \cos A}$ है।
चूंकि विन्यास कोण $A$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $D$ पर विभव $(V_D)$ और $E$ पर विभव $(V_E)$ समान हैं।
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AD} + \frac{q}{BD} + \frac{q}{CD} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{q}{a} + \frac{q}{CD} \right)$.
$V_E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AE} + \frac{q}{CE} + \frac{q}{BE} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{q}{a} + \frac{q}{BE} \right)$.
चूंकि समरूपता के कारण $CD = BE$,इसलिए $V_D = V_E$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = Q(V_E - V_D) = Q(0) = 0$ है।

(A) एक चालक गोले के लिए,आवेश $Q$ पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
गॉस के नियम के अनुसार,चालक गोले के अंदर कोई आवेश न होने के कारण $(q_{enclosed} = 0)$,अंदर विद्युत क्षेत्र $E$ हर जगह शून्य होता है।
चूंकि गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए विभव $V$ पूरे आंतरिक भाग में स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है।
सतह पर (और इसलिए केंद्र पर) विभव $V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $0$ है और विद्युत विभव $\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}$ है।

(D) $q$ कूलम्ब के आवेश को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = q(V_B - V_A)$
यहाँ,बिंदु $A$ पर विभव $V_A = -5 \ V$ है और बिंदु $B$ पर विभव $V_B = V$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = q(V - (-5))$
$W = q(V + 5)$
अब,$V$ के लिए हल करने पर:
$\frac{W}{q} = V + 5$
$V = \frac{W}{q} - 5$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेशों के युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है: $U = k \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$.
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,किन्हीं भी दो आवेशों के बीच की दूरी $a$ है।
दिए गए आवेश $q_1 = Q$,$q_2 = 2Q$ और $q_3 = q$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k}{a} (Q \cdot 2Q + 2Q \cdot q + q \cdot Q)$ है।
निकाय की स्थितिज ऊर्जा शून्य होने के लिए $U = 0$ रखने पर:
$2Q^2 + 2Qq + qQ = 0$.
$2Q^2 + 3Qq = 0$.
$Q(2Q + 3q) = 0$.
चूंकि $Q \neq 0$,इसलिए $2Q + 3q = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = -\frac{2}{3} Q$ होगा।

(A) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_A = +\sigma$,$\sigma_B = -\sigma$,और $\sigma_C = +\sigma$ हैं। कोशों पर आवेश $Q_A = 4\pi a^2 \sigma$,$Q_B = -4\pi b^2 \sigma$,और $Q_C = 4\pi c^2 \sigma$ हैं।
कोश $A$ की सतह पर विभव तीनों कोशों के कारण विभव का योग है: $V_A = V_{A,A} + V_{A,B} + V_{A,C}$.
चूंकि $A$,$B$ और $C$ के अंदर है,इसलिए $B$ और $C$ के कारण $A$ की सतह पर विभव उनकी अपनी सतहों पर विभव के बराबर होगा: $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_A}{a} + \frac{Q_B}{b} + \frac{Q_C}{c} \right)$.
मान रखने पर: $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{4\pi a^2 \sigma}{a} + \frac{-4\pi b^2 \sigma}{b} + \frac{4\pi c^2 \sigma}{c} \right)$.
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (4\pi a \sigma - 4\pi b \sigma + 4\pi c \sigma)$.
$V_A = \frac{\sigma}{\epsilon_0} (a - b + c)$.

(B) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$, $+2q$ और $+2q$ आवेशों वाली भुजा का मध्य बिंदु है। इन आवेशों में से प्रत्येक से $A$ की दूरी $L$ है।
विपरीत कोनों पर स्थित $-2q$ आवेशों से $A$ की दूरी पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ज्ञात की जा सकती है। क्षैतिज दूरी $2L$ और ऊर्ध्वाधर दूरी $L$ है, इसलिए दूरी $r = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$ है।
$A$ पर कुल विभव चारों आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{2q}{L} + \frac{2q}{L} + \frac{-2q}{L\sqrt{5}} + \frac{-2q}{L\sqrt{5}} \right]$
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{4q}{L} - \frac{4q}{L\sqrt{5}} \right]$
$V_A = \frac{4q}{4\pi\epsilon_0 L} \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right] = \frac{q}{\pi\epsilon_0 L} \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right]$.

(B) एक समषट्भुज में,केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी उसकी भुजा की लंबाई के बराबर होती है। दी गई भुजा $a = 6 \ cm = 0.06 \ m$ है।
चूंकि $6$ शीर्ष हैं,प्रत्येक पर $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$ आवेश है,केंद्र पर कुल विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण विभव का योग है।
$V = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{a} \right)$
मान रखने पर:
$V = 6 \times 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{0.06}$
$V = 54 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-2}}$
$V = 54 \times 10^9 \times \frac{1}{3} \times 10^{-4}$
$V = 18 \times 10^5 \ V = 1.8 \times 10^6 \ V$.

(A) माना कि वह बिंदु जहाँ कुल विभव शून्य है,आवेश $A$ $(2 \mu C)$ से $x$ दूरी पर स्थित है।
बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
कुल विभव शून्य होने के लिए,दोनों आवेशों के कारण विभव का योग शून्य होना चाहिए:
$V_A + V_B = 0$
$\frac{k(2 \times 10^{-6})}{x} + \frac{k(-3 \times 10^{-6})}{1 - x} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{3}{1 - x}$
$2(1 - x) = 3x$
$2 - 2x = 3x$
$2 = 5x$
$x = \frac{2}{5} = 0.4 \ m$.
अतः,$A$ से दूरी $0.4 \ m$ है।

(D) $q$ आवेश वाले $r$ त्रिज्या के एक चालक गोले का विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोलों पर समान आवेश है,इसलिए $q_1 = q_2 = q$ मान लें।
पहले गोले का विभव $V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_1}$ है।
दूसरे गोले का विभव $V_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_2}$ है।
उनके विभव का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_1}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_2}} = \frac{r_2}{r_1}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = q(V_B - V_A)$।
दिया गया है:
किया गया कार्य $W = 90 \ J$
आवेश $q = 3 \ C$
$A$ पर विभव $V_A = -10 \ V$
$B$ पर विभव $V_B = V_1$
सूत्र में मान रखने पर:
$90 = 3 \times (V_1 - (-10))$
$90 = 3 \times (V_1 + 10)$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$30 = V_1 + 10$
$V_1 = 30 - 10$
$V_1 = 20 \ V$.

(B) आवेश $2d$ व्यास वाले वृत्त की परिधि पर रखे गए हैं। वृत्त की त्रिज्या $r = \text{व्यास} / 2 = (2d) / 2 = d$ है।
चूंकि आवेश वृत्त के भीतर एक वर्ग बनाते हैं,इसलिए प्रत्येक आवेश केंद्र से $r = d$ की दूरी पर है।
एक बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ होता है।
चूंकि चार समान आवेश हैं,इसलिए केंद्र पर कुल विभव $V_{total}$ प्रत्येक आवेश के कारण विभव का योग होगा:
$V_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{d} \right)$
$V_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{4q}{d} \right) = \frac{q}{\pi \varepsilon_0 d}$.
अतः,केंद्र पर विभव $q/d$ के समानुपाती है।

(C) षट्भुज के प्रत्येक शीर्ष पर स्थित आवेश $q$ के कारण केंद्र $O$ पर विभव प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश के कारण उत्पन्न विभव का योग होता है।
एक समषट्भुज में केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी उसकी भुजा की लंबाई $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ के बराबर होती है,इसलिए केंद्र पर विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r} \right)$
यहाँ $q = 1 \mu\text{C} = 1 \times 10^{-6} \text{ C}$,$r = 0.1 \text{ m}$,और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ है:
$V = 6 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.1} \right)$
$V = 6 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-5}$
$V = 54 \times 10^4 = 5.4 \times 10^5 \text{ volt}$.

(B) आवेशित चाप के कारण उसके केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ चाप पर कुल आवेश है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
$R$ त्रिज्या वाले अर्ध-वलय के लिए,कुल आवेश $Q = \lambda \times (\pi R)$ होता है।
अतः,पहले अर्ध-वलय के कारण केंद्र पर विभव $V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda (\pi R_1)}{R_1} = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे अर्ध-वलय के कारण केंद्र पर विभव $V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda (\pi R_2)}{R_2} = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0}$ है।
केंद्र पर कुल विभव $V_{net} = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0} + \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0} = \frac{\lambda}{2 \varepsilon_0}$ होगा।

(A) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{kQ}{r}$ होता है।
चूंकि $10 \mu C$ का आवेश वर्ग के केंद्र में स्थित है,इसलिए चारों कोने $(A, B, C, D)$ केंद्र से समान दूरी $r$ पर हैं।
अतः,कोने $A$ पर विद्युत विभव $(V_A)$ और कोने $B$ पर विद्युत विभव $(V_B)$ समान हैं,अर्थात $V_A = V_B$।
आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ का सूत्र $W = q(V_B - V_A)$ है।
चूंकि $V_A = V_B$ है,इसलिए विभवांतर $(V_B - V_A) = 0$ होगा।
इस प्रकार,किया गया कार्य $W = 2 \mu C \times 0 = 0$ होगा।

(B) माना कि वर्ग $ABCD$ है जिसकी भुजा की लंबाई $2L$ है। आवेश इस प्रकार रखे गए हैं: $A(+q), B(+q), C(-q), D(-q)$। बिंदु $P$ भुजा $AB$ का मध्य बिंदु है।
बिंदु $P$ से आवेशों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$AP = L$
$BP = L$
$DP = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$
$CP = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$ अलग-अलग आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V = V_A + V_B + V_C + V_D$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{CP} + \frac{-q}{DP} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{L\sqrt{5}} - \frac{q}{L\sqrt{5}} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{2q}{L} - \frac{2q}{L\sqrt{5}} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{L} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

(A) विद्युत विभव $V$ में स्थित आवेश $q$ की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = qV$ द्वारा दी जाती है।
जब एक इकाई धनात्मक आवेश $(q = 1)$ को निम्न विभव $(V_L)$ वाले क्षेत्र से उच्च विभव $(V_H)$ वाले क्षेत्र में ले जाया जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = q(V_H - V_L)$ होता है।
चूंकि $V_H > V_L$,इसलिए पद $(V_H - V_L)$ धनात्मक है।
अतः,$\Delta U > 0$,जिसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।
वैकल्पिक रूप से,एक धनात्मक आवेश को निम्न विभव से उच्च विभव तक ले जाने के लिए एक बाहरी एजेंट द्वारा विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है,और यह कार्य निकाय में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।

(C) दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच $r$ दूरी पर स्थित स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{K q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$d$ दूरी पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{K q_1 q_2}{d}$ है।
जब आवेश $q_2$ को $q_1$ की ओर $x$ दूरी तक ले जाया जाता है,तो नई दूरी $r' = d - x$ हो जाती है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{K q_1 q_2}{d - x}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i$ है।
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{K q_1 q_2}{d - x} - \frac{K q_1 q_2}{d}$
$\Delta U = K q_1 q_2 \left( \frac{1}{d - x} - \frac{1}{d} \right)$
$\Delta U = K q_1 q_2 \left( \frac{d - (d - x)}{d(d - x)} \right)$
$\Delta U = \frac{K q_1 q_2 x}{d(d - x)}$.

(C) मान लीजिए कि वर्ग के कोने $A, B, C, D$ हैं,जहाँ $A$ और $B$ पर $+q$ आवेश है और $C$ और $D$ पर $-q$ आवेश है। वर्ग की भुजा की लंबाई $2r$ है। बिंदु $P$ भुजा $CD$ का मध्य बिंदु है।
अतः,दूरियाँ हैं: $DP = PC = r$।
$A$ और $B$ से $P$ तक की दूरियाँ हैं: $AP = BP = \sqrt{AD^2 + DP^2} = \sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V_P$ चारों आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{CP} + \frac{-q}{DP} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{r\sqrt{5}} + \frac{q}{r\sqrt{5}} - \frac{q}{r} - \frac{q}{r} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2q}{r\sqrt{5}} - \frac{2q}{r} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{r} \left[ \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 \right]$

(B) गोले की सतह पर विभव $V_s = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ है।
केंद्र से $5R$ की दूरी पर विभव $V_p = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{5R}$ है।
विभवांतर $V = V_s - V_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{1}{R} - \frac{1}{5R}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{4}{5R}) = \frac{q}{5\pi\epsilon_0 R}$ है।
इससे,आवेश $q = \frac{5\pi\epsilon_0 RV}{1}$ प्राप्त होता है।
$r = 5R$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(5R)^2} = \frac{q}{100\pi\epsilon_0 R^2}$ है।
$q$ का मान $V$ के पदों में रखने पर: $E = \frac{1}{100\pi\epsilon_0 R^2} \cdot (5\pi\epsilon_0 RV) = \frac{5}{100} \frac{V}{R} = \frac{V}{20R}$।

(D) वलय के केंद्र पर एक छोटे आवेश तत्व $dq$ के कारण विद्युत विभव $dV = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{dq}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह एक अर्ध-वलय है,इसलिए कुल आवेश $q$,रैखिक आवेश घनत्व $\sigma$ और अर्ध-वलय की लंबाई $(L = \pi R)$ का गुणनफल है।
अतः,$q = \sigma \cdot \pi R$.
केंद्र पर कुल विभव $V$,पूरे अर्ध-वलय पर $dV$ का समाकलन है:
$V = \int dV = \int \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{dq}{R} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R} \int dq$.
कुल आवेश $q = \sigma \pi R$ प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R} \cdot (\sigma \pi R) = \frac{\sigma}{4 \epsilon_0}$.

(A) दिया गया है कि दोनों गोलाकार चालक समान विभव $V$ पर हैं।
$r$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले गोलाकार चालक के लिए,विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_1 = V_2$,इसलिए $\frac{q_1}{r_1} = \frac{q_2}{r_2}$,जिसका अर्थ है $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2}$।
पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ को $\sigma = \frac{q}{4 \pi r^2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,पृष्ठ आवेश घनत्वों का अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1 / (4 \pi r_1^2)}{q_2 / (4 \pi r_2^2)} = \frac{q_1}{q_2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2}$ है।
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_2}{r_1}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r_1 = 4 \ cm$ और $r_2 = 5 \ cm$ दिए गए हैं,इसलिए अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{5}{4}$ है।

(A) $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण द्वारा $V$ विभवांतर से गिरने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
$q$ आवेश वाले कण $A$ के लिए:
$\frac{1}{2}mv_A^2 = qV$ (समीकरण $1$)
$4q$ आवेश वाले कण $B$ के लिए:
$\frac{1}{2}mv_B^2 = 4qV$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v_A^2}{v_B^2} = \frac{qV}{4qV} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
अतः,उनकी चालों का अनुपात $v_A : v_B$ $1:2$ होगा।

(C) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ में विद्युत विभव $V$ को संबंध $dV = -\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{r}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका तात्पर्य यह है कि जैसे-जैसे हम विद्युत क्षेत्र की दिशा में आगे बढ़ते हैं,विद्युत विभव घटता जाता है।
दी गई आकृति में,बिंदु $B$ सबसे बाईं ओर स्थित है,जिसका अर्थ है कि यह तीनों बिंदुओं में सबसे अधिक विभव पर है।
बिंदु $A$ और $C$ विद्युत क्षेत्र की दिशा में बिंदु $B$ की तुलना में आगे हैं,इसलिए उनका विभव बिंदु $B$ से कम होगा।
अतः,विद्युत विभव बिंदु $B$ पर अधिकतम है।

(D) चालक की सतह पर विभव $V_s = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ है।
केंद्र से $3r$ की दूरी पर विभव $V_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (3r)}$ है।
विभवांतर $V = V_s - V_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{q}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2q}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 r}$ है।
अतः,$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{3}{2} Vr$ प्राप्त होता है।
$3r$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (3r)^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (9r^2)}$ है।
$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}$ का मान रखने पर,$E = \frac{3Vr}{2(9r^2)} = \frac{V}{6r}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि वर्ग $ABCD$ है जिसकी भुजा की लंबाई $2L$ है। $+q$ आवेश $A$ और $B$ पर हैं,और $-q$ आवेश $D$ और $C$ पर हैं। बिंदु $P$,$AB$ का मध्य बिंदु है।
दूरी $AP = PB = L$ है।
$P$ से $D$ और $C$ तक की दूरी पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके $\triangle ADP$ और $\triangle BCP$ में ज्ञात की जा सकती है:
$PD = PC = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{4L^2 + L^2} = \sqrt{5}L$.
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$,चारों आवेशों के कारण उत्पन्न विभव का योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{PD} + \frac{-q}{PC} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{\sqrt{5}L} - \frac{q}{\sqrt{5}L} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{2q}{L} - \frac{2q}{\sqrt{5}L} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2q}{L} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

(A) एक गोलीय आवेशित कोश के लिए,कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव नियत रहता है और यह उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
दिया गया है कि कोश की त्रिज्या $R = 10 \ cm$ है और सतह पर विभव $V_{surface} = 100 \ V$ है।
चूंकि $2 \ cm < 10 \ cm$ है,इसलिए यह बिंदु कोश के अंदर स्थित है।
अतः,केंद्र से $2 \ cm$ की दूरी पर विभव सतह पर स्थित विभव के समान ही होगा,जो कि $100 \ V$ है।

(C) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त ऊर्जा का सूत्र $E = qV$ है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है और विभवांतर $V = 2.5 \ V$ है।
अतः,प्राप्त ऊर्जा $E = e \times 2.5 \ V = 2.5 \ eV$ है।
चूँकि $1 \ eV$ वह ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन $1 \ V$ के विभवांतर से त्वरित होने पर प्राप्त करता है,इसलिए प्राप्त ऊर्जा $2.5 \ eV$ है।

(A) भुजा वाले वर्ग के विकर्ण की लंबाई $a \sqrt{2}$ होती है।
दी गई भुजा $a = 2 \sqrt{2} \text{ m}$ है,अतः विकर्ण की लंबाई $d = (2 \sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 4 \text{ m}$ होगी।
केंद्र (विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु) से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r$,विकर्ण की लंबाई की आधी होती है:
$r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ m}$.
$r$ दूरी पर स्थित चार समान आवेशों $q = 1 \mu C = 10^{-6} \text{ C}$ के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = 4 \times \frac{k q}{r}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$.
मान रखने पर:
$V = 4 \times \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{2}$
$V = 2 \times 9 \times 10^3 = 18 \times 10^3 \text{ V}$.

(C) एक आवेशित गोले की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ की गणना अनंत से छोटे आवेश तत्वों $dq$ को गोले की सतह पर लाने में किए गए कार्य पर विचार करके की जा सकती है।
वैकल्पिक रूप से,हम औसत विभव विधि का उपयोग कर सकते हैं।
प्रारंभ में,जब गोले पर कोई आवेश नहीं होता है,तो विभव $V_1 = 0$ होता है।
जब गोले पर कुल आवेश $Q$ होता है,तो विभव $V_2 = \frac{k Q}{R}$ होता है।
आवेशित करने की प्रक्रिया के दौरान औसत विभव $V = \frac{V_1 + V_2}{2} = \frac{0 + \frac{k Q}{R}}{2} = \frac{k Q}{2 R}$ होता है।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U$ गोले को आवेशित करने के लिए किया गया कार्य है,जो $U = \int_0^Q V(q) dq = \int_0^Q \frac{k q}{R} dq = \frac{k}{R} \left[ \frac{q^2}{2} \right]_0^Q = \frac{1}{2} \frac{k Q^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।