Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Hindi

(D) संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब $d/2$ मोटाई वाली दो परावैद्युत स्लैब प्लेटों के बीच रखी जाती हैं,तो यह व्यवस्था श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करती है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट पृथक्करण $d/2$ है।
पहली स्लैब की धारिता $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \varepsilon_0 A}{d} = 2 K_1 C_0$ है।
दूसरी स्लैब की धारिता $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \varepsilon_0 A}{d} = 2 K_2 C_0$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2 K_1 C_0} + \frac{1}{2 K_2 C_0} = \frac{1}{2 C_0} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_0} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
अतः,$C_{eq} = 2 C_0 \left( \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \right)$।

(B) संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ है।
चूंकि संधारित्र स्रोत से अलग है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई संचित ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2KC} = \frac{U_i}{K}$ है।
यह दिया गया है कि ऊर्जा में $25 \%$ की कमी होती है,इसलिए अंतिम ऊर्जा $U_f = U_i - 0.25 U_i = 0.75 U_i = \frac{3}{4} U_i$ है।
$U_f$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{U_i}{K} = \frac{3}{4} U_i$.
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = 4/3$ प्राप्त होता है।

(A) $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र है: $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$।
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 0.4 \pi \,m^2$
दूरी $d = 0.5 \,mm = 0.5 \times 10^{-3} \,m$
स्लैब की मोटाई $t = 0.5 \,mm = d$
परावैद्युतांक $K = 4.5$
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \,F/m$।
चूंकि स्लैब प्लेटों के बीच की पूरी जगह भरती है $(t = d)$, सूत्र $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ हो जाता है।
मान रखने पर:
$C = \frac{4.5 \times (1 / (36 \pi \times 10^9)) \times 0.4 \pi}{0.5 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{4.5 \times 0.4 \pi}{36 \pi \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{1.8}{18 \times 10^6} = 0.1 \times 10^{-6} \,F = 100 \,nF$।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब $t$ मोटाई की एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t(1 - 1/K)}$ होती है,जहाँ $d'$ प्लेटों के बीच की नई दूरी है।
यह दिया गया है कि विभवांतर $V$ समान रहता है और आवेश $Q$ स्थिर है (क्योंकि बैटरी हटा दी गई है),इसलिए धारिता समान रहनी चाहिए,अर्थात $C = C'$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{(d + 1.6 \ mm) - 2 \ mm(1 - 1/K)}$।
इसे सरल करने पर: $d = d + 1.6 - 2(1 - 1/K)$।
$0 = 1.6 - 2 + 2/K$।
$0 = -0.4 + 2/K$।
$0.4 = 2/K$।
$K = 2 / 0.4 = 5$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाता है $(d' = d/2)$ और $K = 10$ सापेक्ष विद्युतशीलता वाला परावैद्युत माध्यम डाला जाता है,तो अंतिम धारिता $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'}$ होती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_2 = \frac{10 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{20 \varepsilon_0 A}{d}$।
अतः,अंतिम और प्रारंभिक धारिता का अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = \frac{20 \varepsilon_0 A / d}{\varepsilon_0 A / d} = 20$ है।

(C) जब संधारित्र को $x$ गहराई तक तेल में डुबोया जाता है, तो इसकी धारिता $C$ हवा वाले भाग और तेल वाले भाग की धारिताओं के योग के बराबर होती है:
$C = \frac{\epsilon_0 (A - Ax)}{d} + \frac{K \epsilon_0 Ax}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{d} [1 + (K - 1)x/L]$
यहाँ भुजा $L = 1 \,m$ है, इसलिए $A = L^2 = 1 \,m^2$। गहराई $x$ समय $t$ के साथ $x = vt$ के अनुसार बढ़ती है, जहाँ $v = 0.001 \,m/s$ है।
$C(t) = \frac{\epsilon_0}{d} [1 + (K - 1)vt]$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dC}{dt} = \frac{\epsilon_0}{d} (K - 1) v$
मान रखने पर: $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$, $d = 0.01 \,m$, $K = 11$, $v = 0.001 \,m/s$:
$\frac{dC}{dt} = \frac{8.85 \times 10^{-12}}{0.01} \times (11 - 1) \times 0.001 = 8.85 \times 10^{-12} \times 10 \times 0.1 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/s$
बैटरी से ली गई धारा $I = V \frac{dC}{dt}$:
$I = 500 \times 8.85 \times 10^{-12} = 4.425 \times 10^{-9} \,A$.

(B) दिया गया है: माइका की मोटाई $d_1 = 1 \times 10^{-3} \,m$, फाइबर की मोटाई $d_2 = 0.5 \times 10^{-3} \,m$। परावैद्युतांक $K_1 = 8$ (माइका) और $K_2 = 2.5$ (फाइबर)। फाइबर का ब्रेकडाउन विद्युत क्षेत्र $E_2 = 6.4 \times 10^6 \,V/m$ है।
चूंकि शीटें श्रेणीक्रम में हैं, विद्युत विस्थापन क्षेत्र $D = \epsilon_0 K E$ प्लेटों के बीच समान रहता है, इसलिए $K_1 E_1 = K_2 E_2$।
अतः, $E_1 = E_2 (K_2 / K_1) = (6.4 \times 10^6) \times (2.5 / 8) = 2.0 \times 10^6 \,V/m$।
अधिकतम वोल्टेज $V_{max} = E_1 d_1 + E_2 d_2$ द्वारा दिया जाता है।
$V_{max} = (2.0 \times 10^6 \times 1 \times 10^{-3}) + (6.4 \times 10^6 \times 0.5 \times 10^{-3})$।
$V_{max} = 2000 + 3200 = 5200 \,V$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,हवा के लिए $K_1 = 1$ और $d_1 = d$ है,इसलिए $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 12 \mu F$ है।
जब दूरी को दोगुना किया जाता है,तो $d_2 = 2d$ और परावैद्युतांक $K_2 = 4$ हो जाता है।
नई धारिता $C_2 = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d_2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $C_2 = \frac{4 A \varepsilon_0}{2d} = 2 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right) = 2 \times C_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_2 = 2 \times 12 \mu F = 24 \mu F$।

(B) प्रारंभिक धारिता $C = 60 \ \mu F$ है। प्रारंभिक विभव $V = 250 \ V$ है। आवेश $q = CV = 60 \ \mu F \times 250 \ V = 15000 \ \mu C$ है।
जब $t = 3 \ mm$ मोटाई और $K = 5$ परावैद्युतांक वाली एक स्लैब को $d = 6 \ mm$ दूरी वाली प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $C' = C \left[ \frac{d}{d - t + \frac{t}{K}} \right] = 60 \ \mu F \left[ \frac{6}{6 - 3 + \frac{3}{5}} \right] = 60 \ \mu F \left[ \frac{6}{3.6} \right] = 100 \ \mu F$ है।
चूंकि चार्जिंग स्रोत हटा दिया गया है,आवेश $q$ स्थिर रहता है। अतः,$q = C'V' \Rightarrow 15000 \ \mu C = 100 \ \mu F \times V' \Rightarrow V' = 150 \ V$ है।
विभवांतर में परिवर्तन $\Delta V = V - V' = 250 \ V - 150 \ V = 100 \ V$ है।

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{Q}{V}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Q$ आवेश है और $V$ विभवांतर है।
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ रखा जाता है,तो आवेश $Q$ स्थिर रहता है (यदि संधारित्र अलग-थलग है)।
नया विभवांतर $V^{\prime}$ मूल विभवांतर $V$ से $V^{\prime} = \frac{V}{K}$ संबंध द्वारा संबंधित होता है।
यह दिया गया है कि विभवांतर मूल मान का $1/8$ हो जाता है,इसलिए $V^{\prime} = \frac{V}{8}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\frac{V}{K} = \frac{V}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,परावैद्युतांक $K = 8$ है।

(D) मुख्य विचार: समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \varepsilon_r \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $\varepsilon_r$ परावैद्युतांक है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है: $d_1 = x$,$\varepsilon_{r1} = 3k$,$d_2 = 2x$,और $\varepsilon_{r2} = 5k$.
दो परावैद्युत परतें श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों $C_1$ और $C_2$ के रूप में कार्य करती हैं।
$C_1 = \frac{(3k) \varepsilon_0 A}{x}$ और $C_2 = \frac{(5k) \varepsilon_0 A}{2x}$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर संचित आवेश $Q$ समान होता है।
प्रत्येक परत पर विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{Qx}{3k \varepsilon_0 A}$ और $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{Q(2x)}{5k \varepsilon_0 A}$.
विभवांतरों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{Qx / (3k \varepsilon_0 A)}{2Qx / (5k \varepsilon_0 A)} = \frac{1/3}{2/5} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) माना प्लेटों के बीच प्रारंभिक दूरी $d$ है और पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ है। प्रारंभिक विभवांतर $V = \frac{\sigma d}{\varepsilon_0} = 100 \,V$ है।
जब $t = 2 \,mm$ मोटाई और $k$ परावैद्युतांक वाला कुचालक रखा जाता है, तो नया विभवांतर $V'$ इस प्रकार होगा:
$V' = E_{insulator} \cdot t + E_{air} \cdot (d - t) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 k} \cdot 2 + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (d - 2) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{2}{k} + d - 2 \right)$.
समान विभवांतर $V$ बनाए रखने के लिए, दूरी को $\Delta d = 1.6 \,mm$ बढ़ा दिया जाता है। नया विभवांतर:
$V = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 k} \cdot 2 + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (d + 1.6 - 2) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{2}{k} + d - 0.4 \right)$.
चूंकि विभवांतर $100 \,V$ ही रहता है, हम प्रारंभिक और अंतिम समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{\sigma d}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{2}{k} + d - 0.4 \right)$.
$d = \frac{2}{k} + d - 0.4$.
$0.4 = \frac{2}{k}$.
$k = \frac{2}{0.4} = 5$.

(C) मान लीजिए कि परावैद्युत के बिना प्लेटों के प्रत्येक जोड़े की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
प्लेटों द्वारा तीन संधारित्र बनते हैं: $A$ और $B$ के बीच $C_1$,$B$ और $C$ के बीच $C_2$,और $C$ और $D$ के बीच $C_3$।
$C_1 = C$ ($A$ और $B$ के बीच हवा है)।
$C_2 = K C = 2C$ ($B$ और $C$ के बीच परावैद्युत $K=2$ है)।
$C_3 = K C = 2C$ ($C$ और $D$ के बीच परावैद्युत $K=2$ है)।
प्लेटों $B$ और $D$ को एक साथ जोड़ा गया है। अतः,$C_2$ और $C_3$ बिंदु $B$ और $C$ के बीच समानांतर क्रम में हैं। इस समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_{23} = C_2 + C_3 = 2C + 2C = 4C$ है।
अब,$C_1$ बिंदु $A$ और $C$ के बीच $C_{23}$ के संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है। अतः,$A$ और $C$ के बीच प्रभावी धारिता $C_1$ और $C_{23}$ का श्रेणी संयोजन है।
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{C \times 4C}{C + 4C} = \frac{4C^2}{5C} = \frac{4}{5} C$.

(A) हवा के साथ प्रारंभिक धारिता $C = 80 \times 10^{-6} \,F$ है।
जब $k = 20$ परावैद्युतांक वाला स्लैब डाला जाता है, तो नई धारिता $C' = kC = 20 \times 80 \times 10^{-6} = 1600 \times 10^{-6} \,F$ हो जाती है।
संधारित्र को $V = 30 \,V$ की बैटरी से जोड़ा जाता है, इसलिए संधारित्र पर आवेश $q' = C'V = (1600 \times 10^{-6}) \times 30 = 48000 \times 10^{-6} \,C = 48 \times 10^{-3} \,C$ है।
जब परावैद्युत स्लैब को हटा दिया जाता है, तो धारिता वापस $C = 80 \times 10^{-6} \,F$ हो जाती है। संधारित्र पर नया आवेश $q = CV = (80 \times 10^{-6}) \times 30 = 2400 \times 10^{-6} \,C = 2.4 \times 10^{-3} \,C$ है।
तार से गुजरने वाला आवेश $\Delta q = q' - q = 48 \times 10^{-3} - 2.4 \times 10^{-3} = 45.6 \times 10^{-3} \,C$ है।

(D) हवा के साथ प्रारंभिक धारिता,$C_{\text{air}} = 80 \times 10^{-6} \ F = 80 \ \mu F$ है।
परावैद्युत स्लैब के साथ धारिता,$C_d = K \times C_{\text{air}} = 20 \times 80 \ \mu F = 1600 \ \mu F$ है।
जब इसे $30 \ V$ की बैटरी से जोड़ा जाता है,तो परावैद्युत के साथ संचित आवेश $q_d = C_d \times V = 1600 \times 10^{-6} \times 30 = 48000 \ \mu C = 48 \times 10^{-3} \ C$ है।
जब परावैद्युत को हटा दिया जाता है,तो नई धारिता $C_{\text{air}} = 80 \ \mu F$ हो जाती है।
नया संचित आवेश $q_{\text{air}} = C_{\text{air}} \times V = 80 \times 10^{-6} \times 30 = 2400 \ \mu C = 2.4 \times 10^{-3} \ C$ है।
तार से गुजरने वाला आवेश प्रारंभिक और अंतिम आवेश के बीच का अंतर है: $\Delta q = q_d - q_{\text{air}} = 48 \times 10^{-3} \ C - 2.4 \times 10^{-3} \ C = 45.6 \times 10^{-3} \ C$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = 0.025 \mu F$ है।
जब $t = d/3$ मोटाई की धातु की प्लेट डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - d/3} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{3}{2} C$ हो जाती है।
चूंकि संधारित्र $100 \ V$ के स्रोत से जुड़ा रहता है,इसलिए विभवांतर $V = 100 \ V$ स्थिर रहता है।
संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ है।
धातु की प्लेट के साथ संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} C) V^2 = \frac{3}{4} C V^2$ है।
प्लेट को हटाने के लिए बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य $W = U_i - U_f$ है।
$W = \frac{1}{2} C V^2 - \frac{3}{4} C V^2 = -\frac{1}{4} C V^2$।
बाहरी बल द्वारा किए गए कार्य का परिमाण $|W| = \frac{1}{4} C V^2$ है।
$|W| = \frac{1}{4} \times (0.025 \times 10^{-6} \ F) \times (100 \ V)^2 = 62.5 \mu J$।

(D) स्थिति $1$: बैटरी हटा दी जाती है। आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$Q = Q_0 = C_0 V_0$
नई दूरी $d' = 2d$ है। नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d'} = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C_0}{2}$ होगी।
संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0/2)} = C_0 V_0^2$ होगी।
स्थिति $2$: बैटरी जुड़ी रहती है। विभव $V$ स्थिर रहता है।
$V = V_0$
नई धारिता $C' = \frac{C_0}{2}$ होगी।
संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{C_0}{2}) \times V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2$ होगी।
अनुपात: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{4} C_0 V_0^2}{C_0 V_0^2} = 0.25$।

(C) माना प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है और बैटरी का वोल्टेज $V$ है।
प्रारंभ में,जब स्विच $S$ बंद होता है,तो दोनों संधारित्र बैटरी $V$ के साथ समानांतर में जुड़े होते हैं।
प्रारंभ में संचित कुल स्थिरवैद्युत ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} CV^2 + \frac{1}{2} CV^2 = CV^2$ है।
अब,स्विच $S$ को खोल दिया जाता है। संधारित्र $A$ बैटरी से जुड़ा रहता है,इसलिए इसका विभवांतर $V$ बना रहता है। संधारित्र $B$ अलग हो जाता है,इसलिए इसका आवेश $Q = CV$ स्थिर रहता है।
दोनों संधारित्रों में $K = 3$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डालने के बाद:
संधारित्र $A$ के लिए,नई धारिता $C' = KC = 3C$ है। संचित ऊर्जा $U_A = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} (3C) V^2 = \frac{3}{2} CV^2$ है।
संधारित्र $B$ के लिए,नई धारिता $C' = KC = 3C$ है। चूंकि आवेश $Q = CV$ स्थिर है,इसलिए संचित ऊर्जा $U_B = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{CV^2}{6}$ है।
परावैद्युत डालने के बाद कुल ऊर्जा $U_2 = U_A + U_B = \frac{3}{2} CV^2 + \frac{1}{6} CV^2 = \left( \frac{9+1}{6} \right) CV^2 = \frac{10}{6} CV^2 = \frac{5}{3} CV^2$ है।
पहले और बाद की कुल स्थिरवैद्युत ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{\frac{5}{3} CV^2} = \frac{3}{5}$ है।

(A) जब स्विच $S$ बंद होता है,तो दोनों संधारित्र $V$ वोल्टेज की बैटरी के साथ समानांतर क्रम में होते हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = C + C = 2C$ है। संचित कुल ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} (2C) V^2 = CV^2$ है।
जब स्विच $S$ को खोल दिया जाता है,तो बैटरी हट जाती है। प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q = CV$ रहता है। अब,दोनों संधारित्रों को $K = 3$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत से भर दिया जाता है। प्रत्येक संधारित्र की नई धारिता $C' = KC = 3C$ हो जाती है।
निकाय की कुल ऊर्जा $U_2 = \frac{Q^2}{2C'} + \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{C'} = \frac{(CV)^2}{3C} = \frac{C^2 V^2}{3C} = \frac{CV^2}{3}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{CV^2 / 3} = 3: 1$ है।

(A) विद्युत विस्थापन सदिश $D$ को $D = \epsilon E$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\epsilon$ माध्यम की विद्युतशीलता है और $E$ विद्युत क्षेत्र है।
दिया गया है कि परावैद्युतांक $K = 3$ है,इसलिए माध्यम की विद्युतशीलता $\epsilon = K \epsilon_0$ है,जहाँ $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ F m^{-1}$ है।
विद्युत क्षेत्र $E = 1.5 \times 10^{-9} \pi \ N C^{-1}$ है।
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$D = K \epsilon_0 E$
$D = 3 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (1.5 \times 10^{-9} \pi)$
गणना की सुविधा के लिए $\epsilon_0 \approx \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9} \ F m^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$D = 3 \times (\frac{1}{36\pi} \times 10^{-9}) \times (1.5 \times 10^{-9} \pi)$
$D = 3 \times \frac{1}{36} \times 1.5 \times 10^{-18}$
$D = \frac{4.5}{36} \times 10^{-18} = 0.125 \times 10^{-18} \ C m^{-2} = 125 \times 10^{-21} \ C m^{-2}$.

(A) हवा में $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच प्रारंभिक बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = 98 \ N$ है।
जब परावैद्युत स्लैब पेश की जाती हैं,तो आवेशों के बीच प्रभावी दूरी $r_{eff}$ बदल जाती है। प्रभावी दूरी $r_{eff} = (r - t_1 - t_2) + t_1\sqrt{K_1} + t_2\sqrt{K_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$r = 9 \ cm$,$t_1 = 6 \ cm$,$K_1 = 4$,$t_2 = 3 \ cm$,$K_2 = 9$ है।
$r_{eff} = (9 - 6 - 3) + 6\sqrt{4} + 3\sqrt{9} = 0 + 6(2) + 3(3) = 12 + 9 = 21 \ cm$ है।
नया बल $F'$ सूत्र $F' = F \left( \frac{r}{r_{eff}} \right)^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
$F' = 98 \times \left( \frac{9}{21} \right)^2 = 98 \times \left( \frac{3}{7} \right)^2 = 98 \times \frac{9}{49} = 2 \times 9 = 18 \ N$ है।

(D) जब $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों के बीच $t$ मोटाई की परावैद्युत पट्टी रखी जाती है,तो प्रभावी बल $F$ इस प्रकार दिया जाता है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - t + t \sqrt{K})^2}$
स्थिति $1$: $t = r/2$ और $K = 4$.
$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - r/2 + (r/2) \sqrt{4})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r/2 + r)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(3r/2)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{4 q_1 q_2}{9 r^2} = \frac{q_1 q_2}{9 \pi \varepsilon_0 r^2}$.
स्थिति $2$: $t = r/3$ और $K = 9$.
$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - r/3 + (r/3) \sqrt{9})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(2r/3 + r)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(5r/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9 q_1 q_2}{25 r^2}$.
अनुपात $F_1/F_2$:
$\frac{F_1}{F_2} = \left( \frac{q_1 q_2}{9 \pi \varepsilon_0 r^2} \right) / \left( \frac{9 q_1 q_2}{100 \pi \varepsilon_0 r^2} \right) = \frac{1}{9} \times \frac{100}{9} = \frac{100}{81}$.

(B) वर्गाकार प्लेट का क्षेत्रफल,$A = L^2$ है।
ऊपर से $x$ दूरी पर $dx$ मोटाई वाले एक सूक्ष्म संधारित्र पर विचार करें। इस सूक्ष्म संधारित्र की धारिता निम्न है:
$dC = \frac{k \varepsilon_0 dA}{d} = \frac{k \varepsilon_0 (L \cdot dx)}{d}$
चूंकि ऐसे सभी सूक्ष्म संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_d$ इन सभी सूक्ष्म धारिताओं का योग (समाकलन) होगी:
$C_d = \int_0^L \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[1 + \left(\frac{x}{L}\right)^\alpha\right] dx$
$C_d = \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[ x + \frac{x^{\alpha+1}}{L^\alpha (\alpha+1)} \right]_0^L$
$C_d = \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[ L + \frac{L^{\alpha+1}}{L^\alpha (\alpha+1)} \right] = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( 1 + \frac{1}{\alpha+1} \right) = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( \frac{\alpha+2}{\alpha+1} \right)$
वायु की अनुपस्थिति में धारिता $C_a = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{C_d}{C_a} = \frac{7}{6}$ है:
$\frac{\frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( \frac{\alpha+2}{\alpha+1} \right)}{\frac{\varepsilon_0 L^2}{d}} = \frac{7}{6}$
$\frac{\alpha+2}{\alpha+1} = \frac{7}{6}$
$6(\alpha+2) = 7(\alpha+1)$
$6\alpha + 12 = 7\alpha + 7$
$\alpha = 5$

(B) $1$. प्रारंभिक स्थिति: संधारित्र में $d/2$ मोटाई और $K$ नियतांक वाला एक परावैद्युत है। धारिता $C_i$ दो संधारित्रों के श्रेणी संयोजन द्वारा दी जाती है: एक परावैद्युत के साथ $(C_1 = \frac{2K\epsilon_0 A}{d})$ और एक हवा के साथ $(C_2 = \frac{2\epsilon_0 A}{d})$।
$C_i = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{\frac{2K\epsilon_0 A}{d} \cdot \frac{2\epsilon_0 A}{d}}{\frac{2\epsilon_0 A}{d}(K+1)} = \frac{2K\epsilon_0 A}{d(K+1)}$।
$2$. संधारित्र पर आवेश: $Q = C_i V = \frac{2K\epsilon_0 A V}{d(K+1)}$।
$3$. बैटरी को हटाने के बाद,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$4$. अंतिम स्थिति: परावैद्युत को हटा दिया जाता है,इसलिए संधारित्र एक वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र में बदल जाता है जिसकी धारिता $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
$5$. अंतिम विभवांतर $V_f = \frac{Q}{C_f} = \frac{2K\epsilon_0 A V}{d(K+1)} \cdot \frac{d}{\epsilon_0 A} = V \left( \frac{2K}{K+1} \right)$।

(C) $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब के साथ समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
पहली स्थिति के लिए,$t = \frac{d}{2}$ और $K = 4$:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{8}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{5d}{8}} = \frac{8 \epsilon_0 A}{5d}$.
दूसरी स्थिति के लिए,$t = \frac{d}{3}$ और $K = 4$:
$C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{3} + \frac{d/3}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{2d}{3} + \frac{d}{12}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{9d}{12}} = \frac{12 \epsilon_0 A}{9d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$.
अनुपात $C_1 : C_2$ लेने पर:
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{8 \epsilon_0 A}{5d} \times \frac{3d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}$.
अतः,$C_1 : C_2 = 6: 5$.

(C) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 \times 10 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} = \frac{\varepsilon_0}{3} \text{ F}$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = CV = \frac{\varepsilon_0}{3} \times 12 = 4 \varepsilon_0 \text{ C}$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(4 \varepsilon_0)^2}{2(\varepsilon_0/3)} = \frac{16 \varepsilon_0^2}{2 \varepsilon_0 / 3} = 24 \varepsilon_0 \text{ J}$ है।
परावैद्युत डालने के बाद,नई धारिता $C' = KC = 3 \times \frac{\varepsilon_0}{3} = \varepsilon_0 \text{ F}$ है।
चूंकि बैटरी डिस्कनेक्ट है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(4 \varepsilon_0)^2}{2 \varepsilon_0} = \frac{16 \varepsilon_0^2}{2 \varepsilon_0} = 8 \varepsilon_0 \text{ J}$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 8 \varepsilon_0 - 24 \varepsilon_0 = -16 \varepsilon_0 \text{ J}$ है।
सिस्टम पर किए गए कार्य का परिमाण $16 \varepsilon_0$ है। अतः,$\alpha = 16$।

(C) जब $t = 2 \,mm$ मोटाई की धातु की प्लेट को $d = 6 \,mm$ प्लेट दूरी वाले समानांतर प्लेट संधारित्र में डाला जाता है,तो धातु की प्लेट के दोनों ओर हवा का अंतराल $d_1 = 3 \,mm$ और $d_2 = d - d_1 - t = 6 - 3 - 2 = 1 \,mm$ होता है।
यह व्यवस्था श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के बराबर है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A = 36 \pi \,cm^2 = 36 \pi \times 10^{-4} \,m^2$ है।
तुल्य धारिता $C_{\text{eq}}$ का सूत्र: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d_1}{\varepsilon_0 A} + \frac{d_2}{\varepsilon_0 A} = \frac{d_1 + d_2}{\varepsilon_0 A}$.
मान रखने पर: $d_1 + d_2 = 3 \,mm + 1 \,mm = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$.
$C_{\text{eq}} = \frac{\varepsilon_0 A}{d_1 + d_2} = \frac{1}{4 \pi \times 9 \times 10^9} \times \frac{36 \pi \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}}$.
$C_{\text{eq}} = \frac{1}{36 \times 10^9} \times \frac{36 \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}} = \frac{10^{-4}}{4 \times 10^{-3} \times 10^9} = \frac{1}{4} \times 10^{-10} \,F = 0.25 \times 10^{-10} \,F = 25 \times 10^{-12} \,F = 25 \,pF$.

(B) हवा को परावैद्युत (dielectric) मानकर समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच $t = \frac{d}{2}$ मोटाई की धातु की प्लेट डाली जाती है,तो प्लेटों के बीच की प्रभावी दूरी $d_{eff} = d - t = d - \frac{d}{2} = \frac{d}{2}$ हो जाती है।
नई धारिता $C^{\prime}$ का मान $C^{\prime} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t} = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$ होता है।
$C$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C^{\prime} = 2C$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{C^{\prime}}{C} = 2$ है।

(A) हवा के साथ प्रारंभिक धारिता $C = 80 \times 10^{-6} \ F$ है।
जब $K = 20$ स्थिरांक वाला परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = K \times C = 20 \times 80 \times 10^{-6} = 1600 \times 10^{-6} \ F$ हो जाती है।
परावैद्युत के साथ संधारित्र पर आवेश $q_1 = C' V = (1600 \times 10^{-6}) \times 30 = 48000 \times 10^{-6} \ C = 48 \times 10^{-3} \ C$ है।
परावैद्युत को हटाने के बाद,धारिता वापस $C = 80 \times 10^{-6} \ F$ हो जाती है।
संधारित्र पर नया आवेश $q_2 = C V = (80 \times 10^{-6}) \times 30 = 2400 \times 10^{-6} \ C = 2.4 \times 10^{-3} \ C$ है।
तार से प्रवाहित होने वाला आवेश $\Delta q = q_1 - q_2 = 48 \times 10^{-3} - 2.4 \times 10^{-3} = 45.6 \times 10^{-3} \ C$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ है।
संधारित्र $M$ के लिए,स्थान को $K = 8$ परावैद्युतांक वाले माध्यम से भरा गया है। नई धारिता $C_M = K C = 8C$ है।
संधारित्र $N$ के लिए,$t = d/2$ मोटाई की तांबे की प्लेट डाली गई है। $t$ मोटाई की धातु की प्लेट वाले संधारित्र की धारिता $C_N = \frac{A \varepsilon_0}{d - t}$ होती है।
$t = d/2$ रखने पर,हमें $C_N = \frac{A \varepsilon_0}{d - d/2} = \frac{A \varepsilon_0}{d/2} = 2 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right) = 2C$ प्राप्त होता है।
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों पर आवेश $Q$ समान रहेगा।
विभवांतर $V = Q/C$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $V \propto 1/C$ है।
अतः,विभवांतर का अनुपात $V_M : V_N = \frac{1}{C_M} : \frac{1}{C_N} = \frac{1}{8C} : \frac{1}{2C} = \frac{1}{8} : \frac{1}{2} = 2 : 8 = 1 : 4$ होगा।

(C) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ हो जाती है।
चूंकि विभवांतर $V$ समान रखा जाता है और आवेश $Q$ स्थिर रहता है,इसलिए धारिता समान रहनी चाहिए: $C = C'$।
अतः,$\frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t + \frac{t}{K}}$,जहाँ $d'$ प्लेटों के बीच की नई दूरी है।
यह समीकरण $d = d' - t + \frac{t}{K}$ या $d' - d = t(1 - \frac{1}{K})$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $d' - d = 3.2 \ mm$ और $t = 4 \ mm$ दिया गया है,इसलिए:
$3.2 = 4(1 - \frac{1}{K})$
$\frac{3.2}{4} = 1 - \frac{1}{K}$
$0.8 = 1 - \frac{1}{K}$
$\frac{1}{K} = 1 - 0.8 = 0.2$
$K = \frac{1}{0.2} = 5$।

(C) जब एक संधारित्र को पूरी तरह से आवेशित किया जाता है और फिर बैटरी से डिस्कनेक्ट कर दिया जाता है, तो प्लेटों पर कुल आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाहित होने के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
जब प्लेटों के बीच एक परावैद्युत डाला जाता है, तो संधारित्र के अंदर का विद्युत क्षेत्र परावैद्युत के ध्रुवीकरण का कारण बनता है।
यह ध्रुवीकरण परावैद्युत की सतहों पर प्रेरित आवेशों $(q')$ के निर्माण का परिणाम होता है। जैसे ही परावैद्युत पदार्थ डाला जाता है, ये प्रेरित आवेश दिखाई देते हैं, जिसका अर्थ है कि परावैद्युत की सतह पर आवेश शून्य से बढ़ जाता है।
चूंकि संधारित्र अलग-थलग है, इसलिए धातु की प्लेटों की बाहरी सतहों पर कुल आवेश स्थिर रहता है $(Q = \text{स्थिर})$।
अतः, परावैद्युत की सतह पर आवेश बढ़ता है और प्लेटों की बाहरी सतह पर आवेश अपरिवर्तित रहता है।

(D) हवा के साथ प्रारंभिक धारिता $C_0 = 4 \mu F$ है।
परावैद्युत $(K = 5)$ भरने के बाद,नई धारिता $C = K C_0 = 5 \times 4 \mu F = 20 \mu F$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q = C V = 20 \mu F \times 100 \ V = 2000 \mu C = 2 \times 10^{-3} \ C$ है।
चूंकि संधारित्र बैटरी से डिस्कनेक्ट है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
परावैद्युत के साथ संचित प्रारंभिक ऊर्जा: $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-6}} = 0.1 \ J$।
परावैद्युत को हटाने के बाद अंतिम धारिता: $C_f = C_0 = 4 \mu F$।
संचित अंतिम ऊर्जा: $U_f = \frac{Q^2}{2C_f} = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 4 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{8 \times 10^{-6}} = 0.5 \ J$।
बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 0.5 \ J - 0.1 \ J = 0.4 \ J$।

(C) माना कि दो आवेशों के बीच की दूरी $d$ है। हवा में बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ है।
जब $t = 0.3d$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम रखा जाता है,तो प्रभावी दूरी $d_{eff} = (d - t) + t\sqrt{K} = (0.7d) + 0.3d\sqrt{K} = d(0.7 + 0.3\sqrt{K})$ हो जाती है।
नया बल $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d_{eff}^2} = \frac{F}{2.56}$ है।
अतः,$d_{eff}^2 = 2.56 d^2$,जिसका अर्थ है $d_{eff} = 1.6d$.
समीकरणों की तुलना करने पर: $0.7 + 0.3\sqrt{K} = 1.6$.
$0.3\sqrt{K} = 0.9$.
$\sqrt{K} = 3$.
$K = 9$.

(B, C, D) संधारित्र को समानांतर में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ और प्लेट पृथक्करण $d$ है।
परावैद्युत-भरे भाग की धारिता $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K C_0}{2}$ है और हवा-भरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C_0}{2}$ है,जहाँ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{C_0}{2}(K+1)$ है। अतः,विकल्प $(d)$ सही है।
चूंकि संधारित्र समानांतर में हैं,दोनों पर विभवांतर $V$ समान है। आवेश $Q_1 = C_1 V$ और $Q_2 = C_2 V$ हैं।
आवेशों का अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2} = K$ है। चूंकि $Q_1 + Q_2 = Q$,हमारे पास $Q_2 = \frac{Q}{K+1}$ और $Q_1 = \frac{KQ}{K+1}$ है। अतः,विकल्प $(c)$ सही है।
आवेश घनत्व $\sigma_1 = Q_1 / (A/2)$ और $\sigma_2 = Q_2 / (A/2)$ हैं। चूंकि $Q_1 \neq Q_2$,आवेश घनत्व असमान हैं। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।
विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{\sigma_1}{K \varepsilon_0}$ और $E_2 = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0}$ हैं। $\sigma_1 = K \sigma_2$ प्रतिस्थापित करने पर,$E_1 = \frac{K \sigma_2}{K \varepsilon_0} = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0} = E_2$ प्राप्त होता है। क्षेत्र समान हैं,इसलिए $(a)$ गलत है।

(B) संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{5 \times 10^{-3}}$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q_1 = CV$ है।
जब $t = 2 \text{ mm}$ मोटाई की माइका शीट डाली जाती है,तो संधारित्र श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों के रूप में कार्य करता है: एक $(d-t) = 3 \text{ mm}$ मोटाई की हवा के साथ और एक $t = 2 \text{ mm}$ मोटाई के माइका के साथ।
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d-t} = \frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}}$ और $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{t} = \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}}$ है।
तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(\frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}}) (\frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}})}{\frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}} + \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}}} = \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3} + 3 \times 10^{-3} K} = \frac{K \epsilon_0 A}{10^{-3}(2 + 3K)}$ है।
चूंकि बैटरी जुड़ी रहती है,नया आवेश $Q_2 = C_{eq} V$ है। दिया गया है कि $Q_2 = 1.25 Q_1$,इसलिए $C_{eq} = 1.25 C$ है।
$\frac{K \epsilon_0 A}{10^{-3}(2 + 3K)} = 1.25 \frac{\epsilon_0 A}{5 \times 10^{-3}}$
$\frac{K}{2 + 3K} = \frac{1.25}{5} = 0.25 = \frac{1}{4}$
$4K = 2 + 3K \Rightarrow K = 2$.

(D) माना $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
संधारित्र $A$ के लिए:
ऊपरी आधे भाग में परावैद्युत $k_1$ है और निचला आधा भाग $k_1$ और $k_2$ परावैद्युत के साथ दो समानांतर भागों में विभाजित है। तुल्य धारिता $C_A = \left( \frac{1}{C_{k1}} + \frac{1}{C_{parallel}} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{2k_1 C_0} + \frac{1}{k_1 C_0/2 + k_2 C_0/2} \right)^{-1} = \frac{2k_1(k_1+k_2)C_0}{3k_1+k_2}$ है।
संधारित्र $B$ के लिए:
ऊपरी आधे भाग में परावैद्युत $k_2$ है और निचला आधा भाग $k_1$ और $k_2$ परावैद्युत के साथ दो समानांतर भागों में विभाजित है। इसी प्रकार,$C_B = \frac{2k_2(k_1+k_2)C_0}{k_1+3k_2}$ है।
संधारित्र $C$ के लिए:
इसमें दो समानांतर शाखाएं हैं,जिनमें से प्रत्येक में दो परावैद्युत श्रेणीक्रम में हैं। $C_C = \frac{k_1 k_2}{k_1+k_2} C_0 + \frac{k_2 k_1}{k_2+k_1} C_0 = \frac{2k_1 k_2}{k_1+k_2} C_0$ है।
दिया गया है कि $k_1 > k_2$,व्यंजकों की तुलना करने पर $C_A > C_C > C_B$ प्राप्त होता है।

\(C _1=\frac{5 \in_0 A / 2}{d / 2}=\frac{5 \in_0 A}{ d }=5 C\)
\(C _2=\frac{2 \in_0 A / 2}{d / 2}=\frac{2 \in_0 A}{ d }=2 C\)
\(C _1 \& C _2\) श्रेणीक्रम में हैं।
\(C^{\prime}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{(5 C)(2 C)}{7 C}=\frac{10}{7} C\)
\(C _3=\frac{3 \in_0 A / 2}{d / 2}=3 C\)
\(C _4=\frac{2 \epsilon_0 A / 2}{d / 2}=2 C\)
\(C _4 \& C _3\) श्रेणीक्रम में हैं; \(C ^{\prime \prime}=\frac{(2 C )(3 C )}{5 C }=\frac{6}{5} C\)
\(C ^{\prime} \& C ^{\prime \prime}\) समांतरक्रम में हैं;
अतः, \(C _{ eq }= C \left(\frac{6}{5}+\frac{10}{7}\right)= C \left(\frac{42+50}{35}\right)=\left(\frac{92}{35}\right) C\)
\(\frac{92}{35} C =\frac{ nC }{3}\)
\(n =\frac{92 \times 3}{35}=7.9 \Rightarrow n \simeq 8\)

(A) निर्वात वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब $t = d/3$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब रखी जाती है,तो इस निकाय को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक हवा वाला भाग जिसकी मोटाई $d - t = 2d/3$ है और दूसरा परावैद्युत वाला भाग जिसकी मोटाई $t = d/3$ है।
हवा वाले भाग की धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{3}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{3}{2} C$ है।
परावैद्युत वाले भाग की धारिता $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/3} = 3K \frac{\epsilon_0 A}{d} = 3KC$ है।
चूंकि ये श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(\frac{3}{2} C) (3KC)}{\frac{3}{2} C + 3KC} = \frac{\frac{9}{2} KC^2}{\frac{3}{2} C (1 + 2K)} = \frac{3KC}{2K + 1}$.

(D) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1.0 \text{ pF}$ है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को दोगुना $(d' = 2d)$ कर दिया जाता है और स्थान को $K$ नियतांक वाले परावैद्युत से भर दिया जाता है,तो नई धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ हो जाती है।
समीकरण में $d' = 2d$ रखने पर,हमें $C = \frac{K \epsilon_0 A}{2d} = \frac{K}{2} \times C_0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $C = 2.0 \text{ pF}$ और $C_0 = 1.0 \text{ pF}$,इसलिए $2.0 = \frac{K}{2} \times 1.0$ है।
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = 2.0 \times 2 = 4.0$ प्राप्त होता है।

(B) एयर कैपेसिटर की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी $d$ को $K=5$ के परावैद्युत से आधा भरा जाता है,तो यह श्रेणीक्रम में जुड़े दो कैपेसिटर की तरह कार्य करता है।
पहले कैपेसिटर (हवा) के लिए प्लेटों के बीच की दूरी $d/2$ है,इसलिए $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2\epsilon_0 A}{d} = 2C$ है।
दूसरे कैपेसिटर (परावैद्युत) के लिए प्लेटों के बीच की दूरी $d/2$ है,इसलिए $C_2 = \frac{K\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2K\epsilon_0 A}{d} = 2KC = 2(5)C = 10C$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,नई धारिता $C_{new}$ इस प्रकार होगी:
$C_{new} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(2C)(10C)}{2C + 10C} = \frac{20C^2}{12C} = \frac{5}{3}C$ है।
धारिता में वृद्धि $\Delta C = C_{new} - C = \frac{5}{3}C - C = \frac{2}{3}C$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta C}{C} \times 100 = \frac{2/3 C}{C} \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 \approx 66.67\%$ है।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
परावैद्युत पदार्थ का प्रतिरोध $R = \frac{\rho d}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
इन दोनों व्यंजकों का गुणा करने पर, हमें $RC = \left( \frac{K \epsilon_0 A}{d} \right) \left( \frac{\rho d}{A} \right) = K \epsilon_0 \rho$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $R = 17.7 \times 10^{14}$ $\Omega$, $C = 1 \times 10^{-6}$ $F$, $\rho = 10^{13}$ $\Omega$m, और $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ $F$/m हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(17.7 \times 10^{14}) \times (1 \times 10^{-6}) = K \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (10^{13})$.
$17.7 \times 10^8 = K \times 8.85 \times 10^1$.
$17.7 \times 10^8 = 88.5 K$.
$K = \frac{17.7 \times 10^8}{88.5} = 0.2 \times 10^8 = 2 \times 10^7$.
यह दिया गया है कि सापेक्ष विद्युतशीलता $K = \alpha \times 10^7$ है, इसलिए $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।