Conductor, Electrostatic Shielding, Induced Charge and Charge Redistribution on conductor Questions in Hindi

(A) जब एक संधारित्र की दो प्लेटों पर आवेश $Q_1$ और $Q_2$ होते हैं,तो आंतरिक आमने-सामने की सतहों पर आने वाला आवेश $Q = \frac{Q_1 - Q_2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Q_1 = 15\,\mu C$ और $Q_2 = 5\,\mu C$ है।
अतः,आंतरिक सतहों पर आवेश $Q = \frac{15\,\mu C - 5\,\mu C}{2} = \frac{10\,\mu C}{2} = 5\,\mu C$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $C = 10\,\mu F = 10 \times 10^{-6}\,F$ और $Q = 5\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$ दिया गया है।
इसलिए,$V = \frac{5 \times 10^{-6}}{10 \times 10^{-6}} = 0.5\,V$।

(C) गोले $A$ पर प्रारंभिक आवेश $(q_A)$ $= 7\,\mu C$ है।
गोले $B$ पर प्रारंभिक आवेश $(q_B)$ $= 1\,\mu C$ है।
चूंकि गोले समान हैं,जब उन्हें एक तार से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है।
कुल आवेश $Q = q_A + q_B = 7\,\mu C + 1\,\mu C = 8\,\mu C$ है।
जुड़ने के बाद प्रत्येक गोले पर अंतिम आवेश $q' = \frac{Q}{2} = \frac{8\,\mu C}{2} = 4\,\mu C$ होगा।
$A$ से $B$ तक प्रवाहित आवेश,गोले $A$ पर प्रारंभिक और अंतिम आवेश के बीच का अंतर है।
प्रवाहित आवेश $= q_A - q' = 7\,\mu C - 4\,\mu C = 3\,\mu C$ है।

(C) जब किसी चालक को बाहरी समान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो चालक के भीतर के मुक्त इलेक्ट्रॉन तब तक पुनर्वितरित होते हैं जब तक कि आंतरिक विद्युत क्षेत्र शून्य न हो जाए।
किसी भी चालक के लिए,प्रेरित सतह आवेश घनत्व $\sigma = \epsilon_0 E_n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_n$ सतह के लंबवत बाहरी विद्युत क्षेत्र का घटक है।
चूंकि दोनों चालकों का आकार और आकृति समान है और उन्हें एक ही समान विद्युत क्षेत्र में रखा गया है,इसलिए सतह पर बाहरी क्षेत्र $E$ दोनों के लिए समान है।
इसलिए,कुल प्रेरित आवेश $q = \int \sigma dA$ तांबे और एल्यूमीनियम दोनों चालकों के लिए समान होगा,उनकी चालकता की परवाह किए बिना,जब तक कि वे दोनों चालक हैं।

(C) स्थिर-विद्युत परिरक्षण (electrostatic shielding) के सिद्धांत के अनुसार,एक चालक की गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,चाहे चालक के बाहर कोई भी बाहरी आवेश या विद्युत क्षेत्र मौजूद हो।
जब एक आवेश $Q$ को धातु के ब्लॉक के बाहर लाया जाता है,तो धातु की बाहरी सतह पर आवेश इस तरह से पुनर्वितरित हो जाते हैं कि धातु के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य बना रहे।
हालाँकि,गुहा के अंदर का विद्युत क्षेत्र केवल उसके अंदर रखे गए आवेश $q$ और गुहा की आंतरिक सतह पर प्रेरित आवेशों द्वारा निर्धारित होता है।
बाहरी आवेश $Q$ गुहा के अंदर के विद्युत क्षेत्र को प्रभावित नहीं करता है क्योंकि धातु का ब्लॉक एक स्थिर-विद्युत ढाल (electrostatic shield) के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,बिंदु आवेश $q$ द्वारा अनुभव किया गया विद्युत बल बाहरी आवेश $Q$ से अप्रभावित रहता है और शून्य होता है।

(D) $r$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले गोले का विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले गोले के लिए,विभव $V_1 = \frac{kQ}{R}$ है।
दूसरे गोले के लिए,विभव $V_2 = \frac{k(2Q)}{2R} = \frac{kQ}{R}$ है।
चूंकि दोनों गोलों के विभव समान हैं $(V_1 = V_2)$,इसलिए उनके बीच कोई विभवांतर नहीं है।
अतः,जब कुंजी $k$ को दबाया जाता है,तो दोनों गोलों के बीच कोई आवेश प्रवाहित नहीं होगा।

(D) मान लीजिए कि कुंजी बंद करने के बाद आंतरिक कोश पर आवेश $q_1'$ है।
चूंकि आंतरिक कोश ग्राउंड से जुड़ा है, इसलिए इसका विभव शून्य हो जाता है।
आंतरिक कोश का विभव उसके स्वयं के आवेश और बाहरी कोश पर स्थित आवेश के कारण उत्पन्न विभव के योग के बराबर होता है:
$V_1 = \frac{k q_1'}{R_1} + \frac{k q_2}{R_2} = 0$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$\frac{q_1'}{R_1} = -\frac{q_2}{R_2} \implies q_1' = -q_2 \frac{R_1}{R_2}$
कुंजी के माध्यम से प्रवाहित होने वाला आवेश आंतरिक कोश पर आवेश में परिवर्तन है:
$\Delta q = q_{final} - q_{initial} = q_1' - q_1$
$\Delta q = -q_2 \frac{R_1}{R_2} - q_1 = -(q_1 + q_2 \frac{R_1}{R_2})$
अतः, ग्राउंड की ओर प्रवाहित होने वाले आवेश का परिमाण $(q_1 + q_2 \frac{R_1}{R_2})$ है।

(A) स्थिर विद्युत परिरक्षण (electrostatic shielding) के सिद्धांत के अनुसार,एक बंद धात्विक चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है,चाहे बाहरी विद्युत क्षेत्र कुछ भी हो।
यह घटना इसलिए होती है क्योंकि धातु में मौजूद मुक्त इलेक्ट्रॉन बाहरी क्षेत्र के प्रभाव को रद्द करने के लिए सतह पर पुनर्वितरित हो जाते हैं।
चूंकि खोखले खोल के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए यह बाहरी विद्युत क्षेत्रों को आंतरिक क्षेत्र में प्रवेश करने से प्रभावी ढंग से रोकता है।
इसलिए,कथन सही है,और कारण यह सही भौतिक व्याख्या प्रदान करता है कि ऐसा कवच क्यों काम करता है।

(A) एक चालक में,पदार्थ के भीतर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि मुक्त इलेक्ट्रॉन किसी भी बाहरी विद्युत क्षेत्र को रद्द करने के लिए स्वयं को पुनर्वितरित कर लेते हैं।
इस पुनर्वितरण के कारण,चालक के आयतन के भीतर कुल आवेश शून्य होता है,और सभी अतिरिक्त आवेश चालक की बाहरी सतह पर रहते हैं।
गॉस के नियम के अनुसार,यदि चालक के भीतर किसी गुहिका में कोई आवेश परिबद्ध नहीं है,तो उस गुहिका के भीतर विद्युत क्षेत्र भी शून्य होना चाहिए।
अतः,कारण सही ढंग से बताता है कि गुहिका में विद्युत क्षेत्र शून्य क्यों है,क्योंकि आवेश केवल सतह पर रहते हैं,जिससे आंतरिक भाग (गुहिका सहित) क्षेत्र-मुक्त रहता है।

(D) गॉस के नियम $(\Phi = \oint E \cdot dA = q_{enclosed} / \epsilon_0 = 0)$ के अनुसार, किसी भी बंद सतह के लिए जिसमें कुल आवेश $0$ है, सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $0$ होता है।
इसका अर्थ है कि सतह में प्रवेश करने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या सतह से बाहर निकलने वाली रेखाओं की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए, कथन गलत है क्योंकि गोले पर समाप्त होने वाली रेखाओं की संख्या उससे बाहर निकलने वाली रेखाओं से अधिक नहीं हो सकती है।
कारण सही है क्योंकि, स्थिर वैद्युत प्रेरण के कारण, चालक का जो भाग धनात्मक बिंदु आवेश के निकट है, वहां ऋणात्मक प्रेरित आवेश विकसित होता है, जिसका पृष्ठीय आवेश घनत्व परिमाण में सबसे अधिक होता है।
अतः, कथन गलत है और कारण सही है, इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) गोलों पर प्रारंभिक आवेश $Q_1 = \sigma (4 \pi R^2)$ और $Q_2 = \sigma (4 \pi (2R)^2) = 16 \pi R^2 \sigma$ है।
कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 4 \pi R^2 \sigma + 16 \pi R^2 \sigma = 20 \pi R^2 \sigma$ है।
जब गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश इस प्रकार पुनर्वितरित होता है कि वे समान विभव $V = \frac{k Q_1'}{R} = \frac{k Q_2'}{2R}$ प्राप्त कर लें।
इसका अर्थ है $Q_2' = 2 Q_1'$।
चूंकि $Q_1' + Q_2' = 20 \pi R^2 \sigma$,इसलिए $Q_1' + 2 Q_1' = 20 \pi R^2 \sigma$,जिससे $3 Q_1' = 20 \pi R^2 \sigma$ प्राप्त होता है,अतः $Q_1' = \frac{20}{3} \pi R^2 \sigma$।
तब $Q_2' = 2 \times \frac{20}{3} \pi R^2 \sigma = \frac{40}{3} \pi R^2 \sigma$।
नया पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_1' = \frac{Q_1'}{4 \pi R^2} = \frac{20/3 \pi R^2 \sigma}{4 \pi R^2} = \frac{5}{3} \sigma$ है।
और $\sigma_2' = \frac{Q_2'}{4 \pi (2R)^2} = \frac{40/3 \pi R^2 \sigma}{16 \pi R^2} = \frac{40}{48} \sigma = \frac{5}{6} \sigma$ होगा।

(N/A) मान लीजिए कि हम एक गाऊसी सतह पर विचार करते हैं जो पूरी तरह से चालक के भीतर स्थित है और गुहा को घेरती है। आवेशित चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ शून्य होती है। मान लीजिए $q_{in}$ चालक के अंदर का आवेश है और $\epsilon_{0}$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है। गाऊस के नियम के अनुसार, विद्युत फ्लक्स $\phi$ इस प्रकार है:
$\phi = \oint E \cdot ds = \frac{q_{in}}{\epsilon_{0}}$
चूंकि चालक के अंदर $E = 0$ है, इसलिए $\frac{q_{in}}{\epsilon_{0}} = 0$, जिसका अर्थ है $q_{in} = 0$।
अतः, चालक के पदार्थ के अंदर कुल आवेश शून्य है। परिणामस्वरूप, संपूर्ण आवेश $Q$ चालक की बाहरी सतह पर ही रहना चाहिए।
$(b)$ चालक $A$ की बाहरी सतह पर प्रारंभ में $Q$ आवेश है। जब $q$ आवेश वाले दूसरे चालक $B$ को गुहा में डाला जाता है और $A$ से अछूता रखा जाता है, तो स्थिर-विद्युत प्रेरण के कारण $A$ की गुहा की आंतरिक सतह पर समान और विपरीत आवेश $-q$ प्रेरित होता है। पृथक चालक $A$ के कुल आवेश को संरक्षित करने के लिए, इसकी बाहरी सतह पर $+q$ आवेश प्रेरित होना चाहिए। इस प्रकार, चालक $A$ की बाहरी सतह पर कुल आवेश $Q+q$ हो जाता है।
$(c)$ एक संवेदनशील उपकरण को उसके वातावरण में मौजूद मजबूत स्थिर-विद्युत क्षेत्रों से सुरक्षित रखने के लिए उसे पूरी तरह से धातु के बॉक्स या पिंजरे के अंदर बंद किया जा सकता है। इस घटना को स्थिर-विद्युत परिरक्षण (electrostatic shielding) के रूप में जाना जाता है, जहाँ एक बंद धात्विक चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है।

(N/A) कोश के केंद्र पर रखा गया आवेश $+q$ है। स्थिर-विद्युत प्रेरण के कारण,कोश की आंतरिक सतह पर $-q$ परिमाण का आवेश प्रेरित होता है। इसलिए,आंतरिक सतह पर कुल आवेश $-q$ है।
आंतरिक सतह पर पृष्ठ आवेश घनत्व इस प्रकार है:
$\sigma_{1} = \frac{\text{कुल आवेश}}{\text{आंतरिक सतह का क्षेत्रफल}} = \frac{-q}{4 \pi r_{1}^{2}}$
कोश की बाहरी सतह पर $+q$ आवेश प्रेरित होता है। चूंकि कोश पर पहले से ही $Q$ आवेश मौजूद है,इसलिए बाहरी सतह पर कुल आवेश $Q + q$ हो जाता है। बाहरी सतह पर पृष्ठ आवेश घनत्व:
$\sigma_{2} = \frac{\text{कुल आवेश}}{\text{बाहरी सतह का क्षेत्रफल}} = \frac{Q + q}{4 \pi r_{2}^{2}}$
$(b)$ हाँ,कोटर (जिसमें कोई आवेश नहीं है) के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,भले ही कोश गोलीय न हो और उसका आकार अनियमित हो।
इसका कारण यह है कि यदि हम एक ऐसा बंद लूप लें जिसका एक हिस्सा कोटर के अंदर विद्युत क्षेत्र रेखा के साथ हो और बाकी हिस्सा चालक के अंदर हो,तो इस बंद लूप पर एक परीक्षण आवेश को ले जाने में विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य होना चाहिए। चूंकि चालक पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए स्थिर-विद्युत क्षेत्र की संरक्षी प्रकृति को बनाए रखने के लिए कोटर के अंदर भी विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।

(B) मान लीजिए $a$ और $b$ दो चालक गोलों $A$ और $B$ की त्रिज्याएँ हैं। मान लीजिए $Q_A$ और $Q_B$ उन पर आवेश हैं,और $V_A$ और $V_B$ उनके विभव हैं।
चूंकि गोले एक तार से जुड़े हुए हैं,वे समान विभव प्राप्त करते हैं,इसलिए $V_A = V_B = V$ होगा।
एक चालक गोले का विभव $V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$V = \frac{Q_A}{4 \pi \epsilon_0 a} = \frac{Q_B}{4 \pi \epsilon_0 b}$,जिसका अर्थ है $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{a}{b}$।
गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$ होता है।
विद्युत क्षेत्रों का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{Q_A / (4 \pi \epsilon_0 a^2)}{Q_B / (4 \pi \epsilon_0 b^2)} = \frac{Q_A}{Q_B} \times \frac{b^2}{a^2}$ है।
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{a}{b}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{E_A}{E_B} = \frac{a}{b} \times \frac{b^2}{a^2} = \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^2} = \epsilon_0 E$ है,इसलिए $\sigma \propto E$ होता है। एक चालक के लिए,विभव पूरी सतह पर समान रहता है। एक तीक्ष्ण बिंदु की वक्रता त्रिज्या बहुत कम $(R \to 0)$ होती है,जिसका अर्थ है कि वहां विद्युत क्षेत्र बहुत अधिक $(E \propto 1/R)$ होता है और परिणामस्वरूप उस बिंदु पर पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ बहुत अधिक होता है।

(N/A) जब हम किसी आवेशित वस्तु को पृथ्वी के संपर्क में लाते हैं,तो वस्तु पर मौजूद सारा अतिरिक्त आवेश एक चालक के माध्यम से पृथ्वी में चला जाता है,जिससे क्षणिक धारा उत्पन्न होती है। आवेशों को पृथ्वी के साथ साझा करने की इस प्रक्रिया को ग्राउंडिंग या अर्थिंग कहा जाता है।
पृथ्वी में गहराई पर एक मोटी धातु की प्लेट दबाई जाती है और इस प्लेट से मोटे तार निकाले जाते हैं; इनका उपयोग इमारतों में मुख्य आपूर्ति के पास अर्थिंग के उद्देश्य से किया जाता है।
हमारे घरों में विद्युत वायरिंग में तीन तार होते हैं: $live$ (फेज),$neutral$ (तटस्थ) और $earth$ (अर्थ)।
पहले दो तार पावर स्टेशन से विद्युत धारा लाते हैं और तीसरे तार को जमीन में दबी धातु की प्लेट से जोड़कर अर्थ किया जाता है।
इलेक्ट्रिक आयरन,रेफ्रिजरेटर और $TV$ जैसे विद्युत उपकरणों की धात्विक बॉडी अर्थ वायर से जुड़ी होती है। जब कोई खराबी आती है या $live$ तार धात्विक बॉडी को छूता है,तो आवेश उपकरण को नुकसान पहुंचाए बिना और मनुष्यों को कोई चोट पहुंचाए बिना पृथ्वी में प्रवाहित हो जाता है।
अर्थिंग मानव शरीर,विद्युत परिपथ और उपकरणों के लिए एक सुरक्षा उपाय प्रदान करती है।

(A) स्थिर वैद्युत संतुलन में एक चालक के लिए,सामग्री के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। गॉस के नियम के अनुसार,$\oint E \cdot dA = q_{enclosed} / \epsilon_0$। चूंकि चालक के अंदर $E = 0$ है,इसलिए चालक के अंदर किसी भी आयतन में घिरा हुआ कुल आवेश शून्य होना चाहिए। इसलिए,कोई भी अतिरिक्त या प्रेरित आवेश पूरी तरह से चालक की बाहरी सतह पर ही स्थित होना चाहिए।

(N/A) धात्विक चालकों में, आवेश वाहक इलेक्ट्रॉन होते हैं। एक धातु में, बाहरी (संयोजी) इलेक्ट्रॉन अपने परमाणुओं से अलग हो जाते हैं और गति करने के लिए स्वतंत्र होते हैं।
ये इलेक्ट्रॉन अपने मूल परमाणुओं से तो मुक्त होते हैं लेकिन धातु छोड़कर बाहर जाने के लिए स्वतंत्र नहीं होते। इसलिए, ये मुक्त इलेक्ट्रॉन एक प्रकार की 'गैस' बनाते हैं।
मुक्त इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे के साथ और आयनों के साथ टकराते हैं और विभिन्न दिशाओं में यादृच्छिक रूप से गति करते हैं।
जब उन्हें एक बाह्य विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखा जाता है, तो वे क्षेत्र की दिशा के विपरीत अपवाह (drift) करते हैं और एक सतह पर जमा हो जाते हैं, जबकि विपरीत सतह पर समान मात्रा में धनात्मक आवेश रह जाता है। इसे चित्र में दिखाया गया है।
प्रेरित आवेश चालक के भीतर बाह्य विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{in}$ उत्पन्न करते हैं।
जब बाह्य विद्युत क्षेत्र और आंतरिक विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान हो जाते हैं, तो चालक के भीतर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है और सतह पर आवेश का जमा होना बंद हो जाता है।

(N/A) चालकों के स्थिरवैद्युतिकी के संबंध में महत्वपूर्ण परिणाम निम्नलिखित हैं:
$(1)$ चालक के भीतर स्थिरवैद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
$(2)$ आवेशित चालक की बाहरी सतह पर प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सतह के लंबवत होता है।
$(3)$ स्थिर स्थिति में चालक के भीतर कोई अतिरिक्त आवेश नहीं हो सकता; कोई भी अतिरिक्त आवेश पूरी तरह से उसकी सतह पर रहता है।
$(4)$ चालक के पूरे आयतन में स्थिरवैद्युत विभव स्थिर रहता है और इसका मान उसकी सतह पर भी उतना ही होता है जितना कि अंदर होता है।
$(5)$ आवेशित चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व है,$\epsilon_{0}$ निर्वात की विद्युतशीलता है,और $\hat{n}$ सतह के बाहर की ओर लंबवत इकाई सदिश है।
$(6)$ चालक की गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जो स्थिरवैद्युत परिरक्षण (electrostatic shielding) की घटना को जन्म देता है।

(N/A) स्थिर स्थिति में,जब चालक के भीतर या उसकी सतह पर कोई धारा नहीं बह रही होती है,तो चालक के भीतर हर जगह विद्युत क्षेत्र $E = 0$ होता है।
चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं। यदि चालक के भीतर कोई विद्युत क्षेत्र होता,तो ये मुक्त आवेश वाहक बल $(F = qE)$ का अनुभव करते और गति करते,जिससे धारा उत्पन्न होती।
स्थिर स्थिति में,मुक्त आवेश चालक की सतह पर इस प्रकार पुनर्वितरित हो जाते हैं कि इन आवेशों द्वारा उत्पन्न आंतरिक विद्युत क्षेत्र बाहरी विद्युत क्षेत्र को पूरी तरह से रद्द कर देता है। परिणामस्वरूप,चालक के भीतर नेट विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है।

यदि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ सतह के लंबवत नहीं होता,तो सतह के अनुदिश इसका एक गैर-शून्य स्पर्शरेखीय घटक होता।
यह स्पर्शरेखीय घटक चालक की सतह पर मौजूद मुक्त आवेशों पर बल लगाता,जिससे वे गति करने लगते।
चूंकि चालक स्थिर वैद्युत (स्थिर) स्थिति में है,इसलिए आवेशों की कोई नेट गति नहीं हो सकती है।
अतः,विद्युत क्षेत्र का स्पर्शरेखीय घटक शून्य होना चाहिए।
इस प्रकार,एक आवेशित चालक की सतह पर स्थिर वैद्युत क्षेत्र प्रत्येक बिंदु पर सतह के लंबवत होना चाहिए,जिसे $\vec{E} = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}} \hat{n}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है और $\hat{n}$ इकाई लंबवत सदिश है।

(N/A) एक उदासीन चालक के प्रत्येक छोटे आयतन या सतह तत्व में समान मात्रा में धनात्मक और ऋणात्मक आवेश होते हैं।
जब चालक को आवेशित किया जाता है,तो स्थिर स्थिति में अतिरिक्त आवेश केवल सतह पर ही रह सकता है।
मान लीजिए कि हम चालक के भीतर और सतह के करीब एक गॉसियन सतह पर विचार करते हैं।
चालक के भीतर सभी बिंदुओं पर $\overrightarrow{E} = 0$ होता है,इसलिए $\phi_{E} = \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{S}$ से,हमें $\phi_{E} = 0$ प्राप्त होता है।
गॉस के नियम के अनुसार,$\phi_{E} = \frac{q}{\epsilon_{0}}$ होता है।
चूंकि $\phi_{E} = 0$ है,इसलिए $q = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,चालक के भीतर किसी भी बिंदु पर कोई नेट आवेश नहीं होता है और कोई भी अतिरिक्त आवेश सतह पर ही रहना चाहिए।

(N/A) स्थिरवैद्युत संतुलन में,चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव की ऋणात्मक प्रवणता (gradient) के बराबर होता है $(\vec{E} = -\nabla V)$,यदि $\vec{E} = 0$ है,तो $\nabla V = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि चालक के पूरे आयतन में विभव $V$ स्थिर रहता है।
इसके अतिरिक्त,चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र सतह के लंबवत होना चाहिए। यदि विद्युत क्षेत्र का कोई स्पर्शरेखीय घटक (tangential component) होता,तो आवेश सतह पर तब तक गति करते जब तक कि स्पर्शरेखीय घटक शून्य न हो जाता।
चूंकि सतह पर विद्युत क्षेत्र का कोई स्पर्शरेखीय घटक नहीं होता है,इसलिए सतह पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच एक परीक्षण आवेश को ले जाने में कोई कार्य नहीं किया जाता है। अतः,सतह पर विभव का मान चालक के अंदर के विभव के समान ही होता है।

(N/A) स्थिरवैद्युत परिरक्षण वह घटना है जिसमें किसी क्षेत्र को बाहरी विद्युत क्षेत्र से सुरक्षित रखने के लिए उसे एक चालक से घेर दिया जाता है।
चित्र में दिखाए गए अनुसार एक गुहा (cavity) वाले चालक पर विचार करें। गुहा का आकार और आकृति चाहे जो भी हो,यदि उसके अंदर कोई आवेश नहीं है,तो गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य रहता है।
जब गुहा वाले चालक को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो आवेश बाहरी सतह पर इस प्रकार पुनर्वितरित हो जाते हैं कि चालक के पदार्थ के अंदर और गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है।
यदि चालक आवेशित भी है,तो सभी अतिरिक्त आवेश केवल चालक की बाहरी सतह पर ही रहते हैं। इस प्रकार,चालक में कोई भी गुहा बाहरी विद्युत प्रभावों से सुरक्षित रहती है। इसे स्थिरवैद्युत परिरक्षण कहा जाता है।
इसका एक व्यावहारिक उदाहरण गरज के साथ तूफान के दौरान कार के अंदर बैठना है। यदि कार पर बिजली गिरती है,तो कार की धातु की बॉडी एक स्थिरवैद्युत कवच के रूप में कार्य करती है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि अंदर का विद्युत क्षेत्र शून्य रहे,और इस प्रकार कार के अंदर बैठे लोग सुरक्षित रहते हैं।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार एक कोटर (cavity) वाले चालक पर विचार करें।
कोटर के अंदर कोई आवेश नहीं है।
कोटर का आकार और आकृति चाहे जो भी हो, यदि कोटर वाले चालक को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है, तो कोटर के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य रहता है।
यदि चालक आवेशित है या बाहरी क्षेत्र द्वारा एक उदासीन चालक पर आवेश प्रेरित होते हैं, तो सभी आवेश केवल चालक की बाहरी सतह पर ही रहते हैं।
चालक में कोई भी कोटर बाहरी विद्युत प्रभाव से सुरक्षित रहता है। इस घटना को स्थिर-वैद्युत परिरक्षण (electrostatic shielding) कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, जब हम कार में होते हैं और आकाश में बिजली कड़क रही होती है, तो हमें कार के सभी दरवाजे बंद कर लेने चाहिए। यदि बिजली कार पर गिरती है (या कोई जीवित विद्युत तार कार पर गिरता है), तो कार की बाहरी सतह पर स्थिर-वैद्युत परिरक्षण विकसित हो जाता है और हम कार के अंदर सुरक्षित रहते हैं।

(N/A) चूंकि गोलीय कोटर में आवेश $+Q$ है,इसलिए चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र को शून्य बनाए रखने के लिए धात्विक गोलीय कोश की आंतरिक सतह पर $-Q$ आवेश प्रेरित होगा।
चूंकि कोश धात्विक और उदासीन है,इसलिए कोश पर कुल आवेश शून्य रहना चाहिए। अतः,आंतरिक सतह पर $-Q$ आवेश की भरपाई के लिए बाहरी सतह पर $+Q$ आवेश प्रेरित होगा।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है,$\sigma = \frac{q}{A}$।
$(i)$ $R_1$ त्रिज्या वाली आंतरिक सतह के लिए,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_1 = \frac{-Q}{4 \pi R_1^2}$ होगा।
$(ii)$ $R_2$ त्रिज्या वाली बाहरी सतह के लिए,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_2 = \frac{+Q}{4 \pi R_2^2}$ होगा।

(N/A) किसी भी उदासीन परमाणु में,इलेक्ट्रॉनों और प्रोटॉनों की संख्या समान होती है,और वे एक स्थिर,विद्युत रूप से उदासीन प्रणाली बनाने के लिए एक साथ बंधे होते हैं।
स्थूल चालक में स्थिर विद्युत क्षेत्र शुद्ध अतिरिक्त आवेशों की उपस्थिति के कारण उत्पन्न होते हैं। स्थिर विद्युत संतुलन में चालकों के गुणों के अनुसार,कोई भी अतिरिक्त आवेश केवल चालक की बाहरी सतह पर ही रहता है।
चूंकि एक पृथक चालक के भीतर कोई शुद्ध अतिरिक्त आवेश नहीं होता है,इसलिए आंतरिक स्थिर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। व्यक्तिगत परमाणुओं के भीतर प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉनों के बीच के सूक्ष्म क्षेत्र स्थूल स्तर पर एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप चालक के अंदर कोई शुद्ध स्थूल विद्युत क्षेत्र नहीं होता है।

(N/A) सिद्धांत: वान-डी-ग्राफ जनरेटर दो स्थिर-वैद्युत सिद्धांतों पर आधारित है:
$1$. किसी खोखले चालक को दिया गया आवेश उसकी बाहरी सतह पर स्थानांतरित हो जाता है और समान रूप से फैल जाता है।
$2$. छोटे आकार के चालक का विद्युत विभव अधिक होता है।
गणितीय व्युत्पत्ति:
मान लीजिए कि $R$ त्रिज्या के एक गोलाकार कोश पर $Q$ आवेश है। सतह पर विभव $V(R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R}$ है।
यदि $r$ त्रिज्या का $q$ आवेश वाला एक छोटा गोला कोश के अंदर रखा जाता है,तो छोटे गोले की सतह पर कुल विभव $V(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{Q}{R} + \frac{q}{r} \right)$ और बड़े कोश की सतह पर $V(R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{Q}{R} + \frac{q}{R} \right)$ होता है।
विभवांतर $V(r) - V(R) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r < R$ है,इसलिए $(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि आंतरिक गोला बाहरी कोश की तुलना में उच्च विभव पर है। जब उन्हें जोड़ा जाता है,तो आवेश आंतरिक गोले से बाहरी कोश में प्रवाहित होता है,जिससे बाहरी कोश पर बहुत उच्च विभव संचित किया जा सकता है।

(N/A) संरचना: वान डी ग्राफ जनरेटर में एक बड़ा गोलाकार सुचालक कवच होता है जो एक कुचालक स्तंभ पर टिका होता है। रबर या रेशम जैसे कुचालक पदार्थ से बनी एक लंबी,संकरी और अंतहीन बेल्ट दो घिरनियों पर लिपटी होती है।
चित्र में दिखाए अनुसार,एक घिरनी जमीन के स्तर पर और दूसरी कवच के केंद्र में होती है। निचली घिरनी को घुमाने वाली मोटर द्वारा बेल्ट को निरंतर गति में रखा जाता है।
जमीन के स्तर पर लगा एक धातु का ब्रश बेल्ट पर धनात्मक आवेश का छिड़काव करता है,जिसे बेल्ट द्वारा ऊपर ले जाया जाता है।
ऊपर पहुँचा धनात्मक आवेश कवच के अंदरूनी हिस्से से जुड़े दूसरे धातु के ब्रश पर स्थानांतरित हो जाता है।
परिणामस्वरूप,धनात्मक आवेश कवच की बाहरी सतह पर समान रूप से फैल जाता है,जिससे उच्च विभव उत्पन्न होता है।
इस प्रकार,जमीन के सापेक्ष $6$ से $8$ मिलियन वोल्ट का विभवांतर उत्पन्न किया जा सकता है।
उपयोग: इसका उपयोग प्रोटॉन,ड्यूटेरॉन और अल्फा कणों जैसे आवेशित कणों को बहुत उच्च ऊर्जा तक त्वरित करने के लिए किया जाता है,जिनका उपयोग परमाणु के नाभिक की संरचना का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

(B) दोनों गोले समान विभव पर हैं,इसलिए $V_1 = V_2$.
विभव के सूत्र $V = \frac{kq}{R}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{kq_1}{R_1} = \frac{kq_2}{R_2}$.
चूँकि आवेश $q = \sigma A = \sigma (4\pi R^2)$ होता है,हम इसे विभव समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{k(\sigma_1 4\pi R_1^2)}{R_1} = \frac{k(\sigma_2 4\pi R_2^2)}{R_2}$.
इसे सरल करने पर,हमें $\sigma_1 R_1 = \sigma_2 R_2$ प्राप्त होता है।
अतः,पृष्ठीय आवेश घनत्व का अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{R_2}{R_1}$ है।
चूँकि $R_1 > R_2$ है,इसलिए $\frac{R_2}{R_1} < 1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\sigma_1 < \sigma_2$.
इस प्रकार,छोटे गोले $(R_2)$ का आवेश घनत्व बड़े गोले $(R_1)$ के आवेश घनत्व से अधिक है।

(A) हाँ,यदि चालकों के आकार या आकृति अलग-अलग हैं,तो उनके बीच विभवांतर हो सकता है।
चालक की धारिता $C$ को $C = \frac{Q}{V}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $Q$ चालक पर आवेश है और $V$ उसका विद्युत विभव है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V = \frac{Q}{C}$ प्राप्त होता है।
दिए गए आवेश $Q$ के लिए,विभव $V$ धारिता $C$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(V \propto \frac{1}{C})$।
चूंकि धारिता चालक की ज्यामिति (आकार और आकृति) पर निर्भर करती है,इसलिए समान आवेश वाले लेकिन अलग-अलग आयामों वाले दो निकटवर्ती चालकों की धारिता अलग-अलग होगी,और परिणामस्वरूप,उनके विद्युत विभव भी अलग-अलग होंगे।

(N/A) विद्युत क्षेत्र $E = -\frac{dV}{dr}$ यह दर्शाता है कि विद्युत विभव $V$ विद्युत क्षेत्र की दिशा में घटता है।
आवेशित चालक से शुरू होकर विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा में अनावेशित चालक की ओर जाने वाले पथ पर विचार करें। चूंकि क्षेत्र आवेशित पिंड से उत्पन्न होता है,इसलिए इस पथ पर विभव $V$ कम होना चाहिए। इस प्रकार,अनावेशित पिंड का विभव $V_u$,आवेशित पिंड के विभव $V_c$ से कम होता है (मान लीजिए $V_c > 0$ है)।
इसके बाद,अनावेशित चालक से अनंत की ओर जाने वाले पथ पर विचार करें। चूंकि विद्युत क्षेत्र रेखाएं आवेशित प्रणाली से अनंत की ओर इंगित करती रहती हैं,इसलिए इस पथ पर भी विभव लगातार घटता जाएगा। परिभाषा के अनुसार,अनंत पर विभव $V_{\infty} = 0$ होता है।
इसलिए,अनावेशित पिंड का विभव $V_u$,$V_{\infty} < V_u < V_c$ की स्थिति को संतुष्ट करता है। यह पुष्टि करता है कि अनावेशित पिंड का विभव,आवेशित पिंड और अनंत के विभव के बीच का होता है।

(B) जब दो चालकों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं।
मान लीजिए $V_{1}$ और $V_{2}$ गोलों के विभव हैं। चूंकि वे जुड़े हुए हैं,इसलिए $V_{1} = V_{2}$ होगा।
एक आवेशित गोलाकार चालक का विभव $V = \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{kQ_{1}}{R_{1}} = \frac{kQ_{2}}{R_{2}}$,जिसका अर्थ है $\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4\pi R^{2}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,पृष्ठीय आवेश घनत्व का अनुपात है:
$\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} = \frac{Q_{1} / (4\pi R_{1}^{2})}{Q_{2} / (4\pi R_{2}^{2})} = \frac{Q_{1}}{Q_{2}} \times \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}}$।
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}} \times \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}$।

(B) जब दो चालकों को एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं,अर्थात $V_A = V_B$।
चूंकि एक गोलाकार चालक का विभव $V = \frac{KQ}{R}$ होता है,इसलिए हमारे पास $\frac{KQ_A}{R_A} = \frac{KQ_B}{R_B}$ है।
इसका अर्थ है $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{R_A}{R_B} = \frac{5 \ mm}{10 \ mm} = \frac{1}{2}$।
गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{KQ}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्रों का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{KQ_A / R_A^2}{KQ_B / R_B^2} = \frac{Q_A}{Q_B} \times \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$ है।
आवेशों के अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{E_A}{E_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right) \times \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2 = \frac{R_B}{R_A}$।
यहाँ $R_A = 5 \ mm$ और $R_B = 10 \ mm$ दिए गए हैं,इसलिए हमें $\frac{E_A}{E_B} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।

(A) कथन $I$ सही है: स्थिरवैद्युत संतुलन में,चालक के भीतर कोई नेट विद्युत क्षेत्र नहीं होता है $(E = 0)$। चूंकि $E = -dV/dr$,यदि $E = 0$ है,तो चालक के पूरे आयतन और सतह पर विभव $V$ स्थिर होना चाहिए।
कथन $II$ सही है: चूंकि चालक एक समविभव सतह है,इसलिए सतह के स्पर्शरेखीय विद्युत क्षेत्र का कोई भी घटक आवेशों को सतह पर गति करने के लिए प्रेरित करेगा। संतुलन बनाए रखने के लिए,विद्युत क्षेत्र का कोई स्पर्शरेखीय घटक नहीं होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसे प्रत्येक बिंदु पर सतह के लंबवत होना चाहिए।

(D) जब एक बिंदु आवेश $+Q$ को खोखले चालक गोलाकार कवच के अंदर रखा जाता है,तो स्थिर वैद्युत प्रेरण के कारण कवच की आंतरिक सतह पर $-Q$ आवेश प्रेरित होता है।
कवच की उदासीनता बनाए रखने के लिए,कवच की बाहरी सतह पर $+Q$ आवेश दिखाई देता है।
जब कवच की बाहरी सतह को पृथ्वी से जोड़ा जाता है (अर्थिंग की जाती है),तो बाहरी सतह पर मौजूद धनात्मक आवेश $+Q$ पृथ्वी में चला जाता है,जिससे बाहरी सतह उदासीन हो जाती है।
स्थिर वैद्युत परिरक्षण (electrostatic shielding) के गुण के अनुसार,कवच के अंदर $+Q$ आवेश और आंतरिक सतह पर प्रेरित $-Q$ आवेश द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र कवच की गुहा तक ही सीमित रहता है।
इसलिए,चालक कवच के बाहर किसी भी बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
चूंकि बिंदु $P$ (जो कवच के बाहर है) पर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए $P$ पर रखे गए परीक्षण आवेश $+q$ पर लगने वाला स्थिर वैद्युत बल भी शून्य होगा।

(A) चूंकि गोले $A$ और $B$ जुड़े हुए हैं,वे समान विभव पर एक एकल चालक के रूप में कार्य करते हैं। मान लीजिए कि संयुक्त प्रणाली $(A+B)$ पर आवेश $q$ है और गोले $C$ पर आवेश $Q_C$ है।
प्रणाली $(A+B)$ का विभव इस प्रकार है:
$V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{b} + \frac{Q_C}{c} \right) = V$
चूंकि गोला $C$ भू-संपर्कित है,इसका विभव शून्य है:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{c} + \frac{Q_C}{c} \right) = 0$
दूसरे समीकरण से,हमें $q + Q_C = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = -Q_C$।
$q = -Q_C$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{-Q_C}{b} + \frac{Q_C}{c} \right)$
$V = \frac{Q_C}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{c} - \frac{1}{b} \right) = \frac{Q_C}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{b-c}{bc} \right)$
$Q_C$ के लिए हल करने पर:
$Q_C = 4 \pi \varepsilon_0 V \left( \frac{bc}{b-c} \right) = -4 \pi \varepsilon_0 V \left( \frac{bc}{c-b} \right)$

(D) चालक कोश के गुणों के अनुसार,गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र केवल गुहा के भीतर रखे गए $+q$ आवेश द्वारा निर्धारित होता है।
कोश का चालक पदार्थ गुहा को किसी भी बाहरी विद्युत क्षेत्र (जैसे कोश के बाहर $+Q$ द्वारा उत्पन्न क्षेत्र) से बचाने के लिए अपने स्वयं के आवेशों का पुनर्वितरण करता है।
विशेष रूप से,अंदर का $+q$ आवेश कोश की आंतरिक सतह पर $-q$ आवेश प्रेरित करता है,और बाहरी $+Q$ आवेश कोश की बाहरी सतह पर आवेश प्रेरित करता है,लेकिन ये बाहरी प्रभाव गुहा में प्रवेश नहीं करते हैं।
इसलिए,खोखली गुहा में विद्युत क्षेत्र केवल $+q$ के कारण होता है।

(D) एक भू-संपर्कित चालक गोले की सतह पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव हमेशा शून्य $(V = 0)$ होता है।
बाह्य आवेश वितरण के कारण भू-संपर्कित गोले पर कुल प्रेरित आवेश $q_{\text{induced}}$ को प्रतिबिंब विधि (method of images) का उपयोग करके या गोले के केंद्र पर विभव पर विचार करके ज्ञात किया जा सकता है।
गोले के केंद्र से $D$ दूरी पर रखे गए द्विध्रुव के लिए,द्विध्रुव के कारण गोले के केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$,द्विध्रुव के केंद्र और गोले के केंद्र को जोड़ने वाली रेखा (स्थिति सदिश $\vec{r}$) के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{p} \cdot \vec{r} = 0$ होता है।
अतः,द्विध्रुव के कारण गोले के केंद्र पर विभव शून्य है। चूंकि गोला भू-संपर्कित है,इसलिए विभव को शून्य बनाए रखने के लिए गोले पर कुल प्रेरित आवेश शून्य होना चाहिए।

(B) जब एक चालक साबुन के बुलबुले को आवेश (धनात्मक या ऋणात्मक) दिया जाता है,तो समान आवेशों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण के कारण आवेश बुलबुले की बाहरी सतह पर समान रूप से वितरित हो जाता है।
आवेश का यह वितरण बुलबुले की सतह पर बाहर की ओर एक स्थिर-वैद्युत दबाव बनाता है।
यह बाहरी दबाव मौजूदा आंतरिक गैस दबाव के साथ जुड़ जाता है,जिससे बुलबुला तब तक फैलता है जब तक कि स्थिर-वैद्युत दबाव,आंतरिक गैस दबाव और साबुन की फिल्म के पृष्ठ तनाव के बीच एक नया संतुलन स्थापित न हो जाए।

(C) मान लीजिए कि सबसे बाहरी कोश (त्रिज्या $r_3$) की आंतरिक सतह पर आवेश $q'$ है।
सबसे बाहरी कोश के पदार्थ के भीतर एक गाऊसी सतह पर विचार करें। चूंकि स्थिर वैद्युत संतुलन में चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए इस गाऊसी सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश शून्य होना चाहिए।
इस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश सबसे आंतरिक कोश पर आवेश $(q_1)$,बीच वाले कोश पर आवेश $(0)$,और सबसे बाहरी कोश की आंतरिक सतह पर आवेश $(q')$ का योग है।
इसलिए,$q_1 + 0 + q' = 0$।
इससे $q' = -q_1$ प्राप्त होता है।

(D) जब एक उदासीन चालक गोले को एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच एकसमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो स्थिर विद्युत प्रेरण के कारण गोले पर आवेशों का पुनर्वितरण होता है।
धनावेशित प्लेट $A$ के सामने वाली ओर ऋणात्मक आवेश जमा हो जाते हैं,और ऋणावेशित प्लेट $B$ के सामने वाली ओर धनात्मक आवेश जमा हो जाते हैं।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ एकसमान है और प्लेट $A$ से प्लेट $B$ की दिशा में है।
प्रेरित ऋणात्मक आवेश पर बल $F_- = -qE$ (प्लेट $A$ की ओर) है,और प्रेरित धनात्मक आवेश पर बल $F_+ = +qE$ (प्लेट $B$ की ओर) है।
चूंकि गोला उदासीन है और विद्युत क्षेत्र एकसमान है,प्रेरित आवेशों का परिमाण समान होता है,और बल $F_-$ और $F_+$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।
इसलिए,गोले पर कुल स्थिर विद्युत बल $F_{net} = F_+ + F_- = 0$ है।
अतः,गोले पर कुल बल शून्य है।

(B) माना आंतरिक गोले पर आवेश $q$ है। चूंकि आंतरिक गोला भू-संपर्कित है,इसलिए इसका विभव $V$ शून्य होना चाहिए।
आंतरिक गोले की सतह पर विभव उसके स्वयं के आवेश $q$ और बाहरी कवच पर स्थित आवेश $Q = 6 \, \mu C$ के कारण होता है।
आंतरिक गोले (त्रिज्या $r_1 = 1 \, m$) पर विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{k q}{r_1} + \frac{k Q}{r_2} = 0$
दिए गए मान $r_1 = 1 \, m$,$r_2 = 3 \, m$,और $Q = 6 \, \mu C$ रखने पर:
$\frac{k q}{1} + \frac{k (6)}{3} = 0$
$k q + 2k = 0$
$q = -2 \, \mu C$
अतः,आंतरिक गोले पर आवेश $-2 \, \mu C$ है।

(D) जब किसी चालक गोले को अर्थ किया जाता है, तो उसका विभव $0$ हो जाता है।
मान लीजिए कि खोखले गोले की आंतरिक सतह पर आवेश $q_{in}$ है और बाहरी सतह पर आवेश $q_{out}$ है।
प्रेरण के गुण के कारण, $q_{in} = -q$ होता है।
चूंकि बाहरी गोला अर्थ किया गया है, इसलिए इसका विभव $V$ आंतरिक गोले (आवेश $q$) और खोखले गोले (आवेश $q_{in}$ और $q_{out}$) के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
बाहरी गोले की सतह ($2R$ त्रिज्या) पर विभव इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{2R} + \frac{q_{in}}{2R} + \frac{q_{out}}{2R} \right) = 0$.
$q_{in} = -q$ रखने पर:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{2R} - \frac{q}{2R} + \frac{q_{out}}{2R} \right) = 0$.
यह समीकरण $\frac{q_{out}}{2R} = 0$ में सरल हो जाता है, जिसका अर्थ है कि $q_{out} = 0$ है।
अतः, बाहरी सतह पर आवेश $0$ होगा।

(B) स्थिरवैद्युत संतुलन में एक धात्विक चालक के भीतर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
माना $\vec{E}_{ext}$ बाहरी बिंदु आवेश $q$ के कारण कोश के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र है।
माना $\vec{E}_{ind}$ कोश की सतह पर प्रेरित आवेशों के कारण कोश के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र है।
चूंकि केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए $\vec{E}_{ext} + \vec{E}_{ind} = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{E}_{ind} = -\vec{E}_{ext}$।
बिंदु आवेश $q$ से कोश के केंद्र की दूरी $R + 2R = 3R$ है,इसलिए केंद्र पर बाहरी विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_{ext} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{(3R)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{9R^2}$ होगा।
अतः,प्रेरित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|\vec{E}_{ind}| = |\vec{E}_{ext}| = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{9R^2}$ है।

(A) $q$ आवेश वाले $r$ त्रिज्या के चालक गोले का विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
$a$ त्रिज्या और $100 \mu C$ आवेश वाले गोले $A$ के लिए,विभव $V_A = \frac{k(100)}{a}$ है।
$b$ त्रिज्या और $100 \mu C$ आवेश वाले गोले $B$ के लिए,विभव $V_B = \frac{k(100)}{b}$ है।
चूंकि $a < b$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ होगा।
अतः,$V_A > V_B$ प्राप्त होता है।
आवेश हमेशा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर प्रवाहित होता है,इसलिए आवेश गोले $A$ से गोले $B$ की ओर तब तक प्रवाहित होगा जब तक कि दोनों के विभव समान न हो जाएं।

(D) गोलों पर प्रारंभिक आवेश:
$Q_1 = \sigma(4\pi R^2) = 4\pi R^2\sigma$
$Q_2 = \sigma(4\pi(2R)^2) = 16\pi R^2\sigma$
कुल आवेश $Q = Q_1 + Q_2 = 20\pi R^2\sigma$.
जब उन्हें तार से जोड़ा जाता है,तो विभव समान हो जाते हैं:
$V_1 = V_2 \implies \frac{kQ_1^{\prime}}{R} = \frac{kQ_2^{\prime}}{2R} \implies Q_2^{\prime} = 2Q_1^{\prime}$.
आवेश संरक्षण के नियम से,$Q_1^{\prime} + Q_2^{\prime} = 20\pi R^2\sigma$.
$Q_1^{\prime} = \frac{Q_2^{\prime}}{2}$ रखने पर,$\frac{Q_2^{\prime}}{2} + Q_2^{\prime} = 20\pi R^2\sigma \implies \frac{3}{2}Q_2^{\prime} = 20\pi R^2\sigma \implies Q_2^{\prime} = \frac{40}{3}\pi R^2\sigma$.
बड़े गोले का नया आवेश घनत्व $\sigma^{\prime} = \frac{Q_2^{\prime}}{4\pi(2R)^2} = \frac{Q_2^{\prime}}{16\pi R^2}$.
$Q_2^{\prime}$ का मान रखने पर,$\sigma^{\prime} = \frac{40\pi R^2\sigma}{3 \cdot 16\pi R^2} = \frac{40\sigma}{48} = \frac{5}{6}\sigma$.
अतः,$\frac{\sigma^{\prime}}{\sigma} = \frac{5}{6}$.

(B) क्षेत्र $I$ $(r < a)$: विद्युत क्षेत्र केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण है। गॉस के नियम के अनुसार,$E_I = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \neq 0$ होता है।
क्षेत्र $II$ $(a < r < b)$: यह क्षेत्र चालक कोश के पदार्थ के भीतर स्थित है। स्थिरवैद्युत संतुलन में,चालक के पदार्थ के भीतर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है $(E_{II} = 0)$।
क्षेत्र $III$ $(r > b)$: आवेश $Q$ आंतरिक सतह $(r=a)$ पर $-Q$ और बाहरी सतह $(r=b)$ पर $+Q$ आवेश प्रेरित करता है। $r > b$ त्रिज्या वाले गॉसियन सतह द्वारा घिरा कुल आवेश $Q + (-Q) + Q = Q$ है। अतः,$E_{III} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \neq 0$ होता है।

(C) जब दो चालक गोलों को एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि वे समान विद्युत विभव प्राप्त न कर लें।
मान लीजिए कि $a$ और $b$ त्रिज्या वाले गोलों पर आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं।
एक चालक गोले की सतह पर विभव $V = \frac{Kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
चूंकि विभव समान हैं,इसलिए हमारे पास है:
$V_1 = V_2$
$\frac{Kq_1}{a} = \frac{Kq_2}{b}$
आवेशों का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{a}{b}$
अतः,आवेशों का अनुपात $\frac{a}{b}$ है।

(B) जब दो चालकों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं। मान लीजिए अंतिम आवेश $Q_A$ और $Q_B$ हैं।
चूंकि $V_A = V_B$,हमारे पास $\frac{kQ_A}{R_A} = \frac{kQ_B}{R_B}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{R_A}{R_B}$।
चूंकि $R_A > R_B$,इसलिए $Q_A > Q_B$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)$ सही है।
एक गोलाकार कवच के लिए,गॉस के नियम के कारण अंदर का विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है। अतः,$(A)$ सही है।
पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ है। इसलिए,$\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{Q_A}{4\pi R_A^2} \cdot \frac{4\pi R_B^2}{Q_B} = \frac{Q_A}{Q_B} \cdot \frac{R_B^2}{R_A^2} = \frac{R_A}{R_B} \cdot \frac{R_B^2}{R_A^2} = \frac{R_B}{R_A}$। अतः,$(C)$ भी सही है।
सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है। चूंकि $\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{R_B}{R_A} < 1$,इसलिए $\sigma_A < \sigma_B$ है,जिसका अर्थ है $E_A < E_B$। अतः,$(D)$ भी सही है।
इसलिए,सभी विकल्प $(A, B, C, D)$ सही हैं।

(A) इस घटना को इलेक्ट्रोस्टैटिक शील्डिंग के रूप में जाना जाता है। इलेक्ट्रोस्टैटिक संतुलन में चालकों के गुणों के अनुसार,एक बंद धात्विक कोटर के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है,चाहे बाहरी विद्युत क्षेत्र या आवेश वितरण कुछ भी हो। जब विमान पर बिजली गिरती है,तो धातु का ढांचा फैराडे पिंजरे (Faraday cage) के रूप में कार्य करता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि अंदर का विद्युत क्षेत्र शून्य रहे और यात्री सुरक्षित रहें। इसलिए,अभिकथन $(A)$ सही है क्योंकि यह सुरक्षात्मक प्रभाव का वर्णन करता है,और कारण $(R)$ इस घटना के लिए सही वैज्ञानिक व्याख्या है।

(D) $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व वाले $r$ त्रिज्या के एक चालक गोले का विभव $V = \frac{\sigma r}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
जब दो चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो उनके बीच आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं,अर्थात $V_1 = V_2$।
विभव के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sigma_1 r_1}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma_2 r_2}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
यह $\sigma_1 r_1 = \sigma_2 r_2$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $r_1 = R$ और $r_2 = 3R$ दिया गया है,इसलिए $\sigma_1 R = \sigma_2 (3R)$ होगा।
अतः,अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{3R}{R} = 3$ है।