Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Hindi

(A) इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला बल $F = eE$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $E$ विद्युत क्षेत्र है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ (प्रारंभिक वेग),$S = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$ (प्लेटों के बीच की दूरी),और $a = \frac{eE}{m}$:
$v^2 = 2 \left( \frac{e}{m} \right) E S$
यहाँ $\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \, C/kg$,$E = 10^4 \, N/C$,और $S = 2 \times 10^{-2} \, m$ दिया गया है:
$v^2 = 2 \times (1.76 \times 10^{11}) \times 10^4 \times (2 \times 10^{-2})$
$v^2 = 7.04 \times 10^{13} = 70.4 \times 10^{12}$
$v = \sqrt{70.4} \times 10^6 \approx 8.39 \times 10^6 \, m/s = 0.839 \times 10^7 \, m/s$.
निकटतम विकल्प को देखते हुए,वेग लगभग $0.85 \times 10^7 \, m/s$ है।

(A) आवेश $Q$ पर विद्युत बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{r}$ के दौरान किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
चूंकि विद्युत बल $\vec{F} = Q\vec{E}$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = Q\vec{E} \cdot \vec{r}$ होगा।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर: $W = Q(E_1\hat{i} + E_2\hat{j}) \cdot (a\hat{i} + b\hat{j})$.
डॉट प्रोडक्ट के गुणधर्म $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $W = Q(E_1a + E_2b)$.

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश $(q = -e)$ होता है,इसलिए उस पर लगने वाला बल $F = -eE$ है।
इसका अर्थ है कि बल विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को विद्युत क्षेत्र की दिशा में प्रक्षेपित किया गया है,इसलिए उस पर लगने वाला बल उसके वेग की विपरीत दिशा में है।
यह बल एक मंदक बल (retarding force) के रूप में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन की गति कम हो जाती है।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन की गति कम हो जाएगी।

(B) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में आवेश $Q$ को स्थानांतरित करने में विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{F} = Q\vec{E}$ है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र एकसमान है,इसलिए बल $\vec{F} = Q(E_1 \hat{i} + E_2 \hat{j})$ स्थिर रहता है।
विस्थापन सदिश $\Delta\vec{r} = (c - a)\hat{i} + (d - b)\hat{j}$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = Q(E_1 \hat{i} + E_2 \hat{j}) \cdot ((c - a)\hat{i} + (d - b)\hat{j})$ होगा।
इस प्रकार,$W = Q\{E_1(c - a) + E_2(d - b)\}$ प्राप्त होता है।

(C) एक स्थिर विद्युत क्षेत्र $\vec E$ द्वारा बिंदु $A$ से $B$ तक गति करने वाले आवेश $q_0$ पर किया गया कार्य $W = \vec F \cdot \vec d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec F = q_0 \vec E$ विद्युत बल है और $\vec d = \vec{r}_B - \vec{r}_A$ विस्थापन सदिश है।
दिए गए विद्युत क्षेत्र $\vec E = E_0 \hat i$ और बिंदुओं $A(0, a)$ तथा $B(a, 0)$ के निर्देशांकों से,विस्थापन सदिश है:
$\vec d = (a - 0) \hat i + (0 - a) \hat j = a \hat i - a \hat j$।
किया गया कार्य है:
$W = (q_0 E_0 \hat i) \cdot (a \hat i - a \hat j)$
$W = q_0 E_0 a (\hat i \cdot \hat i) - q_0 E_0 a (\hat i \cdot \hat j)$
चूंकि $\hat i \cdot \hat i = 1$ और $\hat i \cdot \hat j = 0$,इसलिए:
$W = q_0 E_0 a (1) - 0 = q_0 E_0 a$।

(C) मान लीजिए $l = 3.0 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$ प्लेटों की लंबाई है और $d = 1.0 \, cm = 10^{-2} \, m$ उनके बीच की दूरी है।
इलेक्ट्रॉन द्वारा प्लेटों की लंबाई तय करने में लिया गया समय $t = \frac{l}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_x = 3 \times 10^7 \, m/s$ है।
$t = \frac{3 \times 10^{-2} \, m}{3 \times 10^7 \, m/s} = 10^{-9} \, s$.
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d} = \frac{550 \, V}{10^{-2} \, m} = 5.5 \times 10^4 \, V/m$ है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE = ma_y$ है,इसलिए त्वरण $a_y = \frac{eE}{m} = \frac{e}{m} \cdot \frac{V}{d}$ होगा।
इलेक्ट्रॉन बीच से प्रवेश करता है,इसलिए प्लेट के किनारे पर टकराने के लिए उसे $y = \frac{d}{2}$ की ऊर्ध्वाधर दूरी तय करनी पड़ती है।
गति के समीकरण $y = \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{e}{m} \cdot \frac{V}{d} \right) t^2$.
विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{e}{m} = \frac{d^2}{V t^2} = \frac{(10^{-2})^2}{550 \times (10^{-9})^2} = \frac{10^{-4}}{550 \times 10^{-18}} = \frac{10^{14}}{550} \approx 1.818 \times 10^{11} \, C/kg$.
इस प्रकार,विशिष्ट आवेश लगभग $1.8 \times 10^{11} \, C/kg$ है।

(C) ड्यूटेरॉन के लिए: आवेश $q_d = e$,द्रव्यमान $m_d = 2m_p = 2m$.
$\alpha -$ कण के लिए: आवेश $q_{\alpha} = 2e$,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p = 4m$.
विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$F_1 = eE$ और $F_2 = 2eE$। चूंकि $F_1 \neq F_2$,इसलिए कारण गलत है।
अब,$a = F/m$ का उपयोग करके त्वरण की गणना करने पर:
$a_1 = F_1 / m_d = (eE) / (2m) = eE / 2m$.
$a_2 = F_2 / m_{\alpha} = (2eE) / (4m) = eE / 2m$.
चूंकि $a_1 = a_2$,इसलिए कथन सही है।
अतः,कथन सही है लेकिन कारण गलत है।

(D) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में गति करने वाले आवेशित कण का विक्षेपण $y$,सूत्र $y = \frac{E e x^2}{2 m v^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $e$ आवेश है,$m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है और $x$ तय की गई क्षैतिज दूरी है।
यह मानते हुए कि विद्युत क्षेत्र $E$,वेग $v$ और दूरी $x$ सभी कणों के लिए समान हैं,हमारे पास $y \propto \frac{e}{m}$ है।
इसका अर्थ है कि विक्षेपण $y$ विशिष्ट आवेश अनुपात $e/m$ के सीधे समानुपाती होता है।
आरेख को देखने पर,कण $A$ ऊपर की दिशा में अधिकतम विक्षेपण दिखाता है और कण $D$ नीचे की दिशा में अधिकतम विक्षेपण दिखाता है। चूंकि विक्षेपण का परिमाण $A$ और $D$ के लिए सबसे अधिक है,इसलिए उनका $e/m$ अनुपात सबसे अधिक है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$D$ ऐसे प्रश्नों के लिए मानक उत्तर है जहाँ नीचे की ओर विक्षेपण पर विचार किया जाता है।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ है।
चूंकि कण विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के समीकरण $v^{2} = u^{2} + 2ax$ का उपयोग करते हुए,हम मान रखते हैं:
$v^{2} = 0 + 2 \left( \frac{qE}{m} \right) x$
$v^{2} = \left( \frac{2qE}{m} \right) x$
$v = \sqrt{\frac{2qE}{m}} \sqrt{x}$
यह दर्शाता है कि $v \propto \sqrt{x}$ है।
संबंध $v = k \sqrt{x}$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है) के लिए $v$ बनाम $x$ का ग्राफ $x$-अक्ष के अनुदिश खुलने वाला एक परवलय है,जो ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(N/A) चित्र $(a)$ में,क्षेत्र ऊपर की ओर है,इसलिए ऋणात्मक आवेशित इलेक्ट्रॉन $eE$ परिमाण का नीचे की ओर बल अनुभव करता है,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र का परिमाण है। इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a_{e} = eE / m_{e}$ है,जहाँ $m_{e}$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
विराम अवस्था से शुरू करते हुए,इलेक्ट्रॉन द्वारा $h$ दूरी तय करने में लगा समय $t_{e} = \sqrt{\frac{2h}{a_{e}}} = \sqrt{\frac{2hm_{e}}{eE}}$ द्वारा दिया जाता है।
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,$E = 2.0 \times 10^{4} \; N C^{-1}$,और $h = 1.5 \times 10^{-2} \; m$ के लिए,हमें $t_{e} \approx 2.9 \times 10^{-9} \; s$ प्राप्त होता है।
चित्र $(b)$ में,क्षेत्र नीचे की ओर है,और धनात्मक आवेशित प्रोटॉन $eE$ परिमाण का नीचे की ओर बल अनुभव करता है। प्रोटॉन का त्वरण $a_{p} = eE / m_{p}$ है,जहाँ $m_{p} = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है।
प्रोटॉन के गिरने का समय $t_{p} = \sqrt{\frac{2h}{a_{p}}} = \sqrt{\frac{2hm_{p}}{eE}} \approx 1.3 \times 10^{-7} \; s$ है।
इस प्रकार,भारी कण (प्रोटॉन) समान दूरी तय करने में अधिक समय लेता है। यह 'गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत मुक्त पतन' की स्थिति के बिल्कुल विपरीत है जहाँ गिरने का समय वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है। ध्यान दें कि इस उदाहरण में हमने गुरुत्वीय त्वरण की उपेक्षा की है। प्रोटॉन का त्वरण $a_{p} = \frac{eE}{m_{p}} = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \; C) \times (2.0 \times 10^{4} \; N C^{-1})}{1.67 \times 10^{-27} \; kg} \approx 1.9 \times 10^{12} \; m s^{-2}$ है,जो $g = 9.8 \; m s^{-2}$ की तुलना में बहुत अधिक है। अतः,गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को नगण्य माना जा सकता है।

(N/A) विपरीत आवेश एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं और समान आवेश एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
यह देखा जा सकता है कि कण $1$ और $2$ दोनों धनावेशित प्लेट की ओर गति करते हैं और ऋणावेशित प्लेट से दूर प्रतिकर्षित होते हैं।
अतः,ये दोनों कण ऋणावेशित हैं।
यह भी देखा जा सकता है कि कण $3$ ऋणावेशित प्लेट की ओर गति करता है और धनावेशित प्लेट से दूर प्रतिकर्षित होता है।
अतः,कण $3$ धनावेशित है।
एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में $x$ क्षैतिज दूरी तय करने के बाद एक आवेशित कण का विक्षेपण $y = \frac{qEx^2}{2mv^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ आवेश है,$m$ द्रव्यमान है,और $v$ प्रारंभिक वेग है।
दिए गए वेग और क्षैतिज दूरी के लिए,विक्षेपण $y$ आवेश-द्रव्यमान अनुपात $(q/m)$ के सीधे समानुपाती होता है।
चूंकि कण $3$ अधिकतम विक्षेपण दर्शाता है,इसलिए इसका आवेश-द्रव्यमान अनुपात सबसे अधिक है।

(N/A) दिया गया है:
कण का द्रव्यमान = $m$
कण का आवेश = $-q$
$x$-अक्ष के अनुदिश प्रारंभिक वेग = $v_{x}$
प्लेटों की लंबाई = $L$
एकसमान विद्युत क्षेत्र = $E$
$1$. बल और त्वरण:
कण पर कार्य करने वाला विद्युत बल $F = qE$ है। चूंकि कण ऋणात्मक रूप से आवेशित है,बल विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में कार्य करता है। ऊर्ध्वाधर दिशा ($y$-अक्ष) में कण का त्वरण $a$ न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$
$2$. उड़ान का समय:
$L$ लंबाई की प्लेटों को स्थिर क्षैतिज वेग $v_{x}$ से पार करने में कण द्वारा लिया गया समय $t$ है:
$t = \frac{L}{v_{x}}$
$3$. ऊर्ध्वाधर विक्षेपण:
ऊर्ध्वाधर दिशा में,प्रारंभिक वेग $u_{y} = 0$ है। गति के समीकरण $s = u_{y}t + \frac{1}{2}at^{2}$ का उपयोग करने पर:
$s = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{L}{v_{x}} \right)^{2}$
$s = \frac{qEL^{2}}{2mv_{x}^{2}}$
$4$. प्रक्षेप्य गति से तुलना:
यह गति एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ में क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित प्रक्षेप्य की गति के समान है। प्रक्षेप्य गति में,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = \frac{1}{2}gt^{2} = \frac{1}{2}g(x/v_{x})^{2} = \frac{gx^{2}}{2v_{x}^{2}}$ होता है। यहाँ,गुरुत्वीय त्वरण $g$ की भूमिका विद्युत त्वरण $a = qE/m$ द्वारा निभाई जाती है।

(C) दिया गया है:
वेग $v_{x} = 2.0 \times 10^{6} \; m/s$
प्लेटों के बीच की दूरी $d = 0.5 \; cm = 0.005 \; m$
विद्युत क्षेत्र $E = 9.1 \times 10^{2} \; N/C$
आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$
इलेक्ट्रॉन का ऊर्ध्वाधर विक्षेपण $s = \frac{1}{2} a t^{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a = \frac{qE}{m}$ और $t = \frac{L}{v_{x}}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$s = \frac{q E L^{2}}{2 m v_{x}^{2}}$ प्राप्त होता है।
वह दूरी $L$ ज्ञात करने के लिए जहाँ इलेक्ट्रॉन ऊपरी प्लेट से टकराता है,हम $s = d = 0.005 \; m$ रखते हैं।
$L = \sqrt{\frac{2 d m v_{x}^{2}}{q E}}$
$L = \sqrt{\frac{2 \times 0.005 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (2.0 \times 10^{6})^{2}}{1.6 \times 10^{-19} \times 9.1 \times 10^{2}}}$
$L = \sqrt{\frac{0.01 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{12}}{1.6 \times 10^{-19} \times 9.1 \times 10^{2}}}$
$L = \sqrt{\frac{0.04 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-17}}} = \sqrt{0.025 \times 10^{-2}} = \sqrt{0.00025} = 0.016 \; m = 1.6 \; cm$.

(C) स्थिर-वैद्युत बल $F$ अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जो हमेशा नाभिक के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
वृत्ताकार कक्षा में,इलेक्ट्रॉन का विस्थापन $d$ हमेशा पथ के स्पर्शरेखीय होता है,जिसका अर्थ है कि यह त्रिज्या के लंबवत है (और इसलिए बल $F$ के भी लंबवत है)।
चूंकि कार्य $W = F d \cos \theta$ होता है,और बल तथा विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है:
$W = F d \cos 90^{\circ}$
$W = F d (0) = 0$
अतः,वृत्ताकार कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन पर स्थिर-वैद्युत बल द्वारा किया गया कार्य $0$ है।

(N/A) मान लीजिए $A$ और $B$ पर आवेश $-q$ हैं और $O$,$AB$ का मध्य बिंदु है। आवेश $q$ बिंदु $P$ पर है ताकि $PO = x$ हो।
प्रत्येक स्थिर आवेश से $P$ की दूरी $r = \sqrt{d^2 + x^2}$ है।
प्रत्येक $-q$ आवेश द्वारा $q$ पर लगाया गया स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ है।
$PO$ के लंबवत बल के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि $PO$ की दिशा में घटक जुड़ जाते हैं:
$F_{net} = 2F \cos \theta = 2 \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right) \frac{x}{r} = \frac{2q^2 x}{4\pi\epsilon_0 (d^2 + x^2)^{3/2}}$.
चूंकि $x \ll d$,हम $(d^2 + x^2)^{3/2} \approx (d^2)^{3/2} = d^3$ मान सकते हैं।
अतः,$F_{net} = \frac{2q^2 x}{4\pi\epsilon_0 d^3} = \frac{q^2}{2\pi\epsilon_0 d^3} x$.
चूंकि बल संतुलन स्थिति $O$ की ओर निर्देशित है और विस्थापन $x$ के समानुपाती है,गति सरल आवर्त गति है,जहाँ प्रत्यानयन बल $F = -kx_{eff}$ और $k = \frac{q^2}{2\pi\epsilon_0 d^3}$ है।
आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m \cdot 2\pi\epsilon_0 d^3}{q^2}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 \cdot 2\pi\epsilon_0 m d^3}{q^2}} = \left[\frac{8\pi^3 \epsilon_0 m d^3}{q^2}\right]^{1/2}$ है।

(C) कण पर दो स्थिर बल कार्य करते हैं: नीचे की ओर ($y$-अक्ष के अनुदिश) कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और क्षैतिज दिशा में ($x$-अक्ष के अनुदिश) कार्य करने वाला विद्युत बल $qE$ ।
चूंकि प्रारंभिक वेग शून्य है, इसलिए नेट बल $F_{net} = \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2}$ परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर रहता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, त्वरण $a = F_{net}/m$ भी स्थिर रहेगा।
विराम अवस्था से शुरू होकर एक स्थिर नेट बल के प्रभाव में गति करने वाला कण नेट बल की दिशा में एक सीधी रेखा में चलेगा।
इसलिए, प्रक्षेपपथ एक सीधी रेखा है।

(A) $1$. $0 \le x \le d$ क्षेत्र में,कण ऋणात्मक $y$-दिशा में एक स्थिर बल $F_{y} = -qE$ का अनुभव करता है। त्वरण $a_{y} = -\frac{qE}{m}$ है।
$2$. $x = d$ तक पहुँचने में लगा समय $t_{0} = \frac{d}{V_{0}}$ है।
$3$. $x = d$ पर,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y_{0} = \frac{1}{2} a_{y} t_{0}^{2} = -\frac{1}{2} \frac{qE}{m} \left( \frac{d}{V_{0}} \right)^{2} = -\frac{qEd^{2}}{2mV_{0}^{2}}$ है।
$4$. $x = d$ पर वेग के घटक $v_{x} = V_{0}$ और $v_{y} = a_{y} t_{0} = -\frac{qE}{m} \cdot \frac{d}{V_{0}} = -\frac{qEd}{mV_{0}}$ हैं।
$5$. $x > d$ के लिए,कोई विद्युत क्षेत्र नहीं है,इसलिए कण स्थिर वेग के साथ एक सीधी रेखा में गति करता है। इस रेखा की ढाल $m_{slope} = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{-qEd/mV_{0}}{V_{0}} = -\frac{qEd}{mV_{0}^{2}}$ है।
$6$. $(d, y_{0})$ से गुजरने वाली और $m_{slope}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_{0} = m_{slope} (x - d)$ है।
$7$. मान रखने पर: $y - \left( -\frac{qEd^{2}}{2mV_{0}^{2}} \right) = -\frac{qEd}{mV_{0}^{2}} (x - d)$.
$8$. $y = -\frac{qEd}{mV_{0}^{2}} x + \frac{qEd^{2}}{mV_{0}^{2}} - \frac{qEd^{2}}{2mV_{0}^{2}} = -\frac{qEd}{mV_{0}^{2}} x + \frac{qEd^{2}}{2mV_{0}^{2}}$.
$9$. $\frac{qEd}{mV_{0}^{2}}$ को कॉमन लेने पर,हमें $y = \frac{qEd}{mV_{0}^{2}} \left( \frac{d}{2} - x \right)$ प्राप्त होता है।

(D) जब आवेश $q$,$x = 0$ से $x = x_{0}$ तक गति करता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W$,बल $F = qE$ का विस्थापन $dx$ के सापेक्ष समाकलन है।
$W = \int_{0}^{x_{0}} qE \, dx = qE_{0} \int_{0}^{x_{0}} (1 - ax^{2}) \, dx$
समाकलन करने पर:
$W = qE_{0} \left[ x - \frac{ax^{3}}{3} \right]_{0}^{x_{0}} = qE_{0} \left( x_{0} - \frac{ax_{0}^{3}}{3} \right)$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE$ किए गए कार्य $W$ के बराबर होता है। चूंकि कण स्थिर अवस्था से शुरू होता है और हमें वह स्थिति ज्ञात करनी है जहाँ गतिज ऊर्जा फिर से शून्य हो जाए,इसलिए $\Delta KE = 0$,जिसका अर्थ है $W = 0$।
$W = 0$ रखने पर:
$qE_{0} \left( x_{0} - \frac{ax_{0}^{3}}{3} \right) = 0$
चूंकि $q \neq 0$ और $E_{0} \neq 0$,इसलिए:
$x_{0} - \frac{ax_{0}^{3}}{3} = 0$
$x_{0} (1 - \frac{ax_{0}^{2}}{3}) = 0$
प्रारंभिक स्थिति $x_{0} = 0$ को छोड़कर,$x_{0}$ के लिए हल करने पर:
$1 - \frac{ax_{0}^{2}}{3} = 0$
$ax_{0}^{2} = 3$
$x_{0} = \sqrt{\frac{3}{a}}$

(B) तेल की बूंद को स्थिर रखने के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए: $qE = Mg$.
यहाँ,$q = ne$,जहाँ $n$ अतिरिक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ है।
द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
दिया गया है: $\rho = 3 \, g \, cm^{-3} = 3000 \, kg \, m^{-3}$,$r = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$,$E = 3.55 \times 10^{5} \, V \, m^{-1}$,$g = 9.81 \, m \, s^{-2}$.
मान रखने पर: $n \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3.55 \times 10^{5}) = 3000 \times \frac{4}{3} \times \pi \times (2 \times 10^{-3})^3 \times 9.81$.
$n \times 5.68 \times 10^{-14} = 4000 \times 3.14159 \times 8 \times 10^{-9} \times 9.81$.
$n \times 5.68 \times 10^{-14} = 9.833 \times 10^{-4}$.
$n = \frac{9.833 \times 10^{-4}}{5.68 \times 10^{-14}} \approx 1.73 \times 10^{10}$.

(C) मान लीजिए कि दो स्थिर आवेश $-q$ हैं और केंद्रीय आवेश $+q$ है। स्थिर आवेशों के बीच की दूरी $2d$ है। जब केंद्रीय आवेश को स्थिर आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत $x$ दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो प्रत्येक स्थिर आवेश और विस्थापित आवेश के बीच की दूरी $r = \sqrt{d^2 + x^2}$ हो जाती है।
प्रत्येक स्थिर आवेश द्वारा केंद्रीय आवेश पर लगाया गया स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{d^2 + x^2}$ है।
परिणामी प्रत्यानयन बल $F_{\text{net}} = -2 F \cos \theta$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{d^2 + x^2}}$ है।
मान रखने पर,$F_{\text{net}} = -2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{d^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{d^2 + x^2}} \right) = -\frac{q^2 x}{2 \pi \varepsilon_{0} (d^2 + x^2)^{3/2}}$.
चूंकि $x << d$,हम $(d^2 + x^2)^{3/2} \approx (d^2)^{3/2} = d^3$ मान सकते हैं। अतः,$F_{\text{net}} \approx -\left( \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_{0} d^3} \right) x$.
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$,इसलिए $a = -\left( \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_{0} m d^3} \right) x$.
इसे $SHM$ के समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_{0} m d^3}}$ प्राप्त होता है।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो विद्युत बल केवल प्लेटों के लंबवत दिशा (ऊर्ध्वाधर दिशा) में कार्य करता है।
इसलिए,प्लेटों के समानांतर दिशा (क्षैतिज दिशा) में कोई बल कार्य नहीं करता है।
परिणामस्वरूप,प्लेटों के समानांतर वेग का घटक पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
मान लीजिए $v_{1}$ प्रारंभिक वेग है और $v_{2}$ अंतिम वेग है।
प्रवेश के समय वेग का क्षैतिज घटक $v_{1} \cos \alpha$ है।
बाहर निकलते समय वेग का क्षैतिज घटक $v_{2} \cos \beta$ है।
चूंकि क्षैतिज घटक स्थिर है,हमारे पास है: $v_{1} \cos \alpha = v_{2} \cos \beta$.
इसका अर्थ है: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$.
गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ है।
इसलिए,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है: $\frac{K_{1}}{K_{2}} = \frac{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}} = \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}$.
वेग का अनुपात रखने पर: $\frac{K_{1}}{K_{2}} = \left(\frac{\cos \beta}{\cos \alpha}\right)^{2} = \frac{\cos^{2} \beta}{\cos^{2} \alpha}$.

(D) पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$,अभिलंब बल $(N)$,विद्युत बल $(F_e = qE)$ और घर्षण $(f = \mu N)$ हैं।
$F_e = (5 \times 10^{-3} \, C) \times (200 \, N/C) = 1 \, N$.
नत समतल के लंबवत बलों का वियोजन करने पर:
$N = mg \cos 30^{\circ} + F_e \sin 30^{\circ} = (1 \times 9.8 \times 0.866) + (1 \times 0.5) = 8.487 + 0.5 = 8.987 \, N \approx 9 \, N$.
नत समतल के समानांतर बलों का वियोजन करने पर:
$F_{net} = mg \sin 30^{\circ} + F_e \cos 30^{\circ} - \mu N = (1 \times 9.8 \times 0.5) + (1 \times 0.866) - (0.2 \times 9) = 4.9 + 0.866 - 1.8 = 3.966 \, N$.
त्वरण $a = F_{net} / m = 3.966 / 1 = 3.966 \, m/s^2$.
नत समतल की लंबाई $L = h / \sin 30^{\circ} = 1 / 0.5 = 2 \, m$.
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर $(u = 0)$:
$2 = 0 + \frac{1}{2} \times 3.966 \times t^2 \implies t^2 = 4 / 3.966 \approx 1.008 \implies t \approx 1 \, s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सबसे निकटतम उत्तर $1.3 \, s$ है।

(B) विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 8\,\mu \text{C/g} = 8 \times 10^{-6} \text{ C} / 10^{-3} \text{ kg} = 8 \times 10^{-3} \text{ C/kg}$ है।
विद्युत क्षेत्र के कारण पिंड पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
पिंड का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} = \left(\frac{q}{m}\right)E$ है।
मान रखने पर: $a = (8 \times 10^{-3} \text{ C/kg}) \times (100 \text{ V/m}) = 0.8 \text{ m/s}^2$.
$d = 10\,\text{cm} = 0.1\,\text{m}$ की दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2d}{a}}$ है।
$t = \sqrt{\frac{2 \times 0.1}{0.8}} = \sqrt{\frac{0.2}{0.8}} = \sqrt{0.25} = 0.5\,\text{s}$.
चूंकि टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है,पिंड समान गति से वापस उछलेगा और अगले $0.5\,\text{s}$ में अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगा।
अतः,गति का कुल आवर्तकाल $T = 2t = 2 \times 0.5 = 1.0\,\text{s}$ होगा।

(B) पानी की बूंद को स्थिर रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_{e} = F_{g}$
$qE = mg$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.1 \, g = 0.1 \times 10^{-3} \, kg = 10^{-4} \, kg$
विद्युत क्षेत्र $E = 4.9 \times 10^{5} \, N/C$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^{2}$
मान रखने पर:
$q(4.9 \times 10^{5}) = (10^{-4})(9.8)$
$q = \frac{9.8 \times 10^{-4}}{4.9 \times 10^{5}}$
$q = 2 \times 10^{-9} \, C$
अतः,बूंद पर आवेश का मान $2.0 \times 10^{-9} \, C$ है।

(D) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 100 \,mg = 100 \times 10^{-6} \,kg = 10^{-4} \,kg$
विद्युत क्षेत्र $E = 1 \times 10^{5} \,NC^{-1}$
आवेश $q = 40 \,\mu C = 40 \times 10^{-6} \,C$
प्रारंभिक वेग $u = 200 \,ms^{-1}$
अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$
कण पर लगने वाला बल $F = qE$ है,जो विद्युत क्षेत्र की दिशा में कार्य करता है। चूंकि कण को विपरीत दिशा में फेंका गया है,इसलिए त्वरण $a$ ऋणात्मक होगा:
$a = -\frac{F}{m} = -\frac{qE}{m}$
गति के समीकरण $v^{2} = u^{2} + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v = 0$:
$0 = u^{2} - 2 \left( \frac{qE}{m} \right) s$
$s = \frac{u^{2}m}{2qE}$
मान रखने पर:
$s = \frac{(200)^{2} \times 10^{-4}}{2 \times 40 \times 10^{-6} \times 10^{5}}$
$s = \frac{40000 \times 10^{-4}}{80 \times 10^{-1}}$
$s = \frac{4}{8} = 0.5 \,m$

(A) मान लीजिए कि आवेश $q_0$ को मध्य बिंदु से एक $Q$ आवेश की ओर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है।
$q_0$ पर परिणामी बल $F = F_1 - F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq_0}{(a-x)^2} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq_0}{(a+x)^2}$ है।
$F = \frac{Qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{(a+x)^2 - (a-x)^2}{(a^2-x^2)^2} \right] = \frac{Qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{4ax}{(a^2-x^2)^2} \right]$.
छोटे $x$ के लिए,$x^2 \approx 0$,इसलिए $F \approx \frac{Qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \frac{4ax}{a^4} = \frac{Qq_0 x}{\pi\varepsilon_0 a^3}$.
चूँकि $F = -ma$ (प्रत्यानयन बल),$a = -\left( \frac{Qq_0}{\pi\varepsilon_0 m a^3} \right) x$.
$a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{Qq_0}{\pi\varepsilon_0 m a^3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{Qq_0}{\pi\varepsilon_0 m a^3}}$.
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0 m a^3}{Qq_0}} = \sqrt{\frac{4\pi^3\varepsilon_0 m a^3}{Qq_0}}$.

(B) ऊर्ध्वाधर दिशा में इलेक्ट्रॉन का त्वरण इस प्रकार है:
$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{eE}{m} = \frac{e(8m/e)}{m} = 8 \text{ m/s}^2$
$L = 1 \text{ m}$ लंबाई की प्लेटों को $u_x = 2 \text{ m/s}$ के स्थिर क्षैतिज वेग से पार करने में लगा समय:
$t = \frac{L}{u_x} = \frac{1}{2} \text{ s}$
क्षेत्र से बाहर निकलते समय वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:
$v_y = u_y + a_y t = 0 + (8 \text{ m/s}^2)(0.5 \text{ s}) = 4 \text{ m/s}$
वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है:
$v_x = 2 \text{ m/s}$
विचलन कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{4}{2} = 2$
$\theta = \tan^{-1}(2)$

(A) इलेक्ट्रॉन संधारित्र प्लेटों के विद्युत क्षेत्र $E$ के कारण विद्युत बल का अनुभव करता है।
प्लेटों के बीच $x$ लंबाई के क्षेत्र को पार करने में इलेक्ट्रॉन द्वारा लिया गया समय $t = \frac{x}{u}$ है।
इस समय में, $y$-दिशा में इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a_y = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$ है।
संधारित्र से बाहर निकलते समय इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त ऊर्ध्वाधर वेग घटक $v_y = a_y t = \left(\frac{eE}{m}\right) \left(\frac{x}{u}\right) = \frac{eEx}{mu}$ है।
क्षैतिज वेग घटक $v_x = u$ स्थिर रहता है।
विक्षेपण कोण $\theta$ को $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{eEx/mu}{u} = \frac{eEx}{mu^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से, हम देख सकते हैं कि $\tan \theta \propto \frac{1}{u^2}$ है।
इसलिए, $\frac{\tan \theta_2}{\tan \theta_1} = \frac{u_1^2}{u_2^2}$ होगा।
दिया गया है कि $\tan \theta_1 = 0.4$ और $u_2 = 2u_1$, इसलिए:
$\tan \theta_2 = \tan \theta_1 \left(\frac{u_1}{u_2}\right)^2 = 0.4 \left(\frac{u_1}{2u_1}\right)^2 = 0.4 \left(\frac{1}{4}\right) = 0.1$.

(D) $h$ ऊंचाई से गिरने का समय $t = \sqrt{\frac{2h}{a_{\text{net}}}}$ द्वारा दिया जाता है।
नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ और ऊपर की ओर विद्युत क्षेत्र $E$ में $Q$ आवेश वाले $M$ द्रव्यमान का शुद्ध त्वरण $a_{\text{net}} = g - \frac{QE}{M}$ होता है।
चूंकि $M_1$,$M_2$ से पहले फर्श से टकराता है,इसलिए $M_1$ द्वारा लिया गया समय $(t_1)$,$M_2$ द्वारा लिए गए समय $(t_2)$ से कम है: $t_1 < t_2$.
इसका अर्थ है $\sqrt{\frac{2h}{a_1}} < \sqrt{\frac{2h}{a_2}}$,जो सरल होकर $a_1 > a_2$ हो जाता है।
शुद्ध त्वरण के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$g - \frac{Q_1 E}{M_1} > g - \frac{Q_2 E}{M_2}$
दोनों पक्षों से $g$ घटाने पर:
$-\frac{Q_1 E}{M_1} > -\frac{Q_2 E}{M_2}$
$-1$ से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है:
$\frac{Q_1 E}{M_1} < \frac{Q_2 E}{M_2}$
$E$ से विभाजित करने पर (चूंकि $E > 0$):
$\frac{Q_1}{M_1} < \frac{Q_2}{M_2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$M_2 Q_1 < M_1 Q_2$,या $M_1 Q_2 > M_2 Q_1$ प्राप्त होता है।

(B) इलेक्ट्रॉन स्थिरवैद्युत आकर्षण बल के कारण तार के चारों ओर घूमता है। दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र $E \propto r^{-1}$,इसलिए हम लिख सकते हैं $E = k r^{-1}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला स्थिरवैद्युत बल $F = e E = k e r^{-1}$ है।
यह बल इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{k e}{r}$
वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{k e}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{k e}{m}}$
चूंकि वेग $v$ त्रिज्या $r$ से स्वतंत्र है,इसलिए दोनों कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन की गति समान है,अर्थात $v_1 = v_2$ है।
कक्षा का आवर्तकाल $T$,$T = \frac{2 \pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$r_1 = 1 \mathring{A}$ और $r_2 = 2 \mathring{A}$ त्रिज्याओं के लिए आवर्तकालों का अनुपात है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi r_1 / v_1}{2 \pi r_2 / v_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{1 \mathring{A}}{2 \mathring{A}} = \frac{1}{2}$.

(A) सही विकल्प $A$ है।
$1$. चूंकि आवेशित कण प्रारंभ में विरामावस्था में है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र उस पर कोई बल नहीं लगा सकता क्योंकि चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है,जो $\vec{v} = 0$ होने पर शून्य हो जाता है। इसलिए,गति शुरू करने के लिए एक विद्युत क्षेत्र की आवश्यकता होती है।
$2$. विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। यह बल कण को विद्युत क्षेत्र की दिशा में त्वरित करता है।
$3$. यदि विद्युत क्षेत्र परिमाण और दिशा दोनों में नियत होता,तो कण एक सीधी रेखा में गति करता। हालाँकि,दिखाया गया प्रक्षेपवक्र एक वक्र है।
$4$. कण के विरामावस्था से वक्र पथ पर चलने के लिए,बल की दिशा (और इसलिए विद्युत क्षेत्र की दिशा) को लगातार बदलते रहना चाहिए। इसलिए,विद्युत क्षेत्र का परिमाण नियत होना चाहिए लेकिन दिशा बदलती रहनी चाहिए।

(A) आवेशों के बीच स्थिर-वैद्युत बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{m r}$
$v = \sqrt{\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 m r}}$
परिक्रमण काल $T$ परिधि को वेग से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$T = \frac{2 \pi r}{v} = 2 \pi r \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 m r}{q_1 q_2}}$
$T = \sqrt{(2 \pi r)^2 \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0 m r}{q_1 q_2}}$
$T = \sqrt{4 \pi^2 r^2 \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0 m r}{q_1 q_2}}$
$T = \sqrt{\frac{16 \pi^3 \varepsilon_0 m r^3}{q_1 q_2}}$

(C) जब $m$ द्रव्यमान का एक आवेश $q$,$u$ प्रारंभिक वेग के साथ एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है,तो यह क्षेत्र की दिशा में $F = qE$ का एक स्थिर बल अनुभव करता है।
मान लीजिए कि विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष के अनुदिश है और प्रारंभिक वेग $y$-अक्ष के अनुदिश है।
$x$-दिशा में त्वरण $a_x = \frac{qE}{m}$ है।
$t$ समय के बाद $x$-दिशा में विस्थापन $x = \frac{1}{2} a_x t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) t^2$ है।
$y$-दिशा में विस्थापन $y = ut$ है,जिससे $t = \frac{y}{u}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान $x$ के समीकरण में रखने पर,हमें $x = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{y}{u} \right)^2 = \left( \frac{qE}{2mu^2} \right) y^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x \propto y^2$ है,इसलिए प्रक्षेप पथ एक परवलय (parabola) है।

(A) सिक्के को ऊपर की ओर निर्देशित विद्युत क्षेत्र में तैरने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = F_g$
$qE = mg$
चूंकि $q = ne$,जहाँ $n$ हटाए गए इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ प्राथमिक आवेश है:
$neE = mg$
$n = \frac{mg}{eE}$
दिया गया है:
$m = 1.6 \,g = 1.6 \times 10^{-3} \,kg$
$g = 9.8 \,m/s^2$
$E = 10^9 \,N/C$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
मान रखने पर:
$n = \frac{(1.6 \times 10^{-3} \,kg) \times (9.8 \,m/s^2)}{(1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (10^9 \,N/C)}$
$n = \frac{1.6 \times 9.8 \times 10^{-3}}{1.6 \times 10^{-10}}$
$n = 9.8 \times 10^7$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल अनंत रैखिक आवेश द्वारा लगाए गए स्थिर वैद्युत बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
अनंत रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ होता है।
इलेक्ट्रॉन पर स्थिर वैद्युत बल $F = eE = e \cdot \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ है।
इसे अभिकेंद्र बल $\frac{mv^2}{r}$ के बराबर रखने पर:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{e \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v = \sqrt{\frac{e \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 m}} = \sqrt{\frac{2 k \lambda e}{m}}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
मान रखने पर: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$\lambda = 1 \times 10^{-6} \, C/m$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{3.1648 \times 10^{15}} \approx 5.62 \times 10^7 \, m/s$.

(B) विद्युत क्षेत्र में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ आवेश है और $E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।
कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ है।
विद्युत क्षेत्र के लंबवत $v$ प्रारंभिक वेग से गति करने वाले कण के लिए,$x$ क्षैतिज दूरी तय करने के बाद विक्षेपण $y = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{x}{v})^2 = \frac{qE x^2}{2 m v^2}$ होता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2$ स्थिर है,हम $m v^2 = 2K$ लिख सकते हैं। इस मान को विक्षेपण समीकरण में रखने पर,हमें $y = \frac{qE x^2}{4K}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन के लिए,$q_p = e$ है। $\alpha$-कण के लिए,$q_{\alpha} = 2e$ है। चूंकि दोनों की गतिज ऊर्जा $K$ समान है और वे समान विद्युत क्षेत्र $E$ में हैं,इसलिए विक्षेपण $y$ आवेश $q$ के सीधे आनुपातिक है।
चूंकि $q_{\alpha} > q_p$ है,इसलिए $\alpha$-कण का विक्षेपण प्रोटॉन से अधिक है। अतः,$\alpha$-कण का प्रक्षेप पथ अधिक वक्र है।

(C) जब एक आवेशित कण अपने वेग $v$ के लंबवत एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में प्रवेश करता है,तो वह क्षेत्र की दिशा में एक स्थिर बल $F = qE$ का अनुभव करता है। कण का त्वरण $a = F/m = (q/m)E$ होता है।
यदि कण क्षेत्र में $L$ क्षैतिज दूरी तय करता है,तो लिया गया समय $t = L/v$ है। ऊर्ध्वाधर विक्षेपण $y$ को $y = (1/2)at^2 = (1/2)(qE/m)(L/v)^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $E$,$L$ और $v$ सभी कणों के लिए समान हैं,इसलिए विक्षेपण $y$ आवेश-द्रव्यमान अनुपात $(q/m)$ के सीधे आनुपातिक है।
कण $C$ अधिकतम ऊर्ध्वाधर विक्षेपण दिखाता है,जिसका अर्थ है कि इसका आवेश-द्रव्यमान अनुपात सबसे अधिक है।

(C) विरामावस्था से विभवांतर $(V)$ द्वारा त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = qV$,जहाँ $q$ कण का आवेश है।
$\alpha$-कण के लिए,आवेश $q_{\alpha} = +2e$ है।
प्रोटॉन के लिए,आवेश $q_{p} = +e$ है।
चूंकि दोनों कण समान विभवांतर $(V = 1 \text{ MV})$ से त्वरित होते हैं,इसलिए उनकी गतिज ऊर्जा का अनुपात होगा:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = \frac{q_{\alpha} V}{q_{p} V} = \frac{q_{\alpha}}{q_{p}}$
मान रखने पर:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = \frac{2e}{e} = 2$
अतः,उनकी गतिज ऊर्जा का अनुपात $2$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U = qV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ विद्युत विभव है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = -q \int \vec{E} \cdot d\vec{r}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $\vec{E} = 10 \hat{i} \text{ V/m}$ और वेग $\vec{v} = -2 \hat{j} \text{ m/s}$ दिया गया है,इसलिए विस्थापन सदिश $d\vec{r}$ दिशा $\hat{j}$ में है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $\hat{i}$ दिशा में है और विस्थापन $\hat{j}$ दिशा में है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल $\vec{E} \cdot d\vec{r} = (10 \hat{i}) \cdot (dy \hat{j}) = 0$ होता है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य शून्य होने के कारण,आवेश की स्थितिज ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(A) इलेक्ट्रॉन पर गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है। इलेक्ट्रॉन पर विद्युत बल $F_e = qE = -eE$ है (क्योंकि इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक होता है)।
इलेक्ट्रॉन पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg$ है।
संतुलन के लिए,बलों को संतुलित होना चाहिए: $F_e + F_g = 0$,जिसका अर्थ है कि परिमाण में $eE = mg$,या दिशा को ध्यान में रखते हुए $-eE = mg$.
अतः,$E = -\frac{mg}{e}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$E = -\frac{9.1 \times 10^{-31} \ kg \times 10 \ m/s^2}{1.6 \times 10^{-19} \ C}$
$E = -\frac{9.1 \times 10^{-30}}{1.6 \times 10^{-19}} \ N/C$
$E = -5.6875 \times 10^{-11} \ N/C \approx -5.6 \times 10^{-11} \ N/C$.

(A) $y$-दिशा में आवेशित कणों का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} = (2 \times 10^{11} \text{ C/kg}) \times (1.8 \times 10^3 \text{ V/m}) = 3.6 \times 10^{14} \text{ m/s}^2$ द्वारा दिया जाता है।
$d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ लंबाई के क्षेत्र को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_0} = \frac{0.1}{3 \times 10^7} \text{ s}$ है।
$y$-दिशा में विक्षेपण $y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times (3.6 \times 10^{14}) \times \left(\frac{0.1}{3 \times 10^7}\right)^2$ है।
$y = \frac{1}{2} \times (3.6 \times 10^{14}) \times \left(\frac{0.01}{9 \times 10^{14}}\right) = 0.5 \times 0.4 \times 10^{-2} \text{ m} = 0.002 \text{ m} = 2 \text{ mm}$.

(D) दिया गया है:
विद्युत क्षेत्र $E = 10\,N/C$
गतिज ऊर्जा $K = 0.5\,eV = 0.5 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J$
प्लेटों की लंबाई $L = 10\,cm = 0.1\,m$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv_x^2 = 0.5\,eV$
$v_x = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5 \times e}{m}} = \sqrt{\frac{e}{m}}$
क्षेत्र को पार करने में लगा समय: $t = \frac{L}{v_x}$
प्राप्त ऊर्ध्वाधर वेग: $v_y = a_y t = \left(\frac{eE}{m}\right) \left(\frac{L}{v_x}\right)$
विचलन का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{eE L}{m v_x^2}$
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv_x^2$,इसलिए $mv_x^2 = 2K = 2(0.5\,eV) = 1\,eV = e\,J$
$\tan \theta = \frac{eEL}{e} = EL$
$\tan \theta = 10\,N/C \times 0.1\,m = 1$
$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$

(C) प्रोटॉन पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य कर रहा है) और विद्युत बल $qE$ (क्षैतिज रूप से कार्य कर रहा है) हैं।
यह दिया गया है कि प्रोटॉन ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ पर गति करता है,इसलिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के परिमाण समान होने चाहिए:
$qE = mg$
यहाँ,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और विद्युत क्षेत्र $E = \frac{X}{d}$,जहाँ $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ है।
मान रखने पर:
$1.6 \times 10^{-19} \times \frac{X}{0.01} = 1.67 \times 10^{-27} \times 10$
$1.6 \times 10^{-17} \times X = 1.67 \times 10^{-26}$
$X = \frac{1.67}{1.6} \times 10^{-9} \ V$
$X \approx 1 \times 10^{-9} \ V$

(A) कण पर लगने वाला बल $F = qE = qE_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t)$.
चूंकि $a = \frac{dv}{dt}$,हम समय के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$v(t) = \int_0^t \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t') dt' = \frac{qE_0}{m\omega} [-\cos(\omega t')]_0^t = \frac{qE_0}{m\omega} (1 - \cos(\omega t))$.
चाल अधिकतम तब होती है जब $\cos(\omega t) = -1$,जो $\omega t = \pi, 3\pi, \dots$ पर होता है।
इन समयों पर,$v_{\max} = \frac{qE_0}{m\omega} (1 - (-1)) = \frac{2qE_0}{m\omega}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $q = 1.0 \ C$,$E_0 = 1.0 \ N \ C^{-1}$,$m = 10^{-3} \ kg$,और $\omega = 10^3 \ rad \ s^{-1}$.
$v_{\max} = \frac{2 \times 1.0 \times 1.0}{10^{-3} \times 10^3} = \frac{2}{1} = 2 \ m \ s^{-1}$.

(D) $y$-दिशा में कण का त्वरण $a_y = \frac{qE_y}{m} = (10^{10})(-400 \sqrt{3}) = -400 \sqrt{3} \times 10^{10} \text{ ms}^{-2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि क्षेत्र ऋणात्मक $y$-दिशा में है,कण नीचे की ओर त्वरण का अनुभव करता है। प्रक्षेप्य की परास $R$,$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{|a_y|}$ द्वारा दी जाती है।
$R = 5 \text{ m}$ और $u = 2 \sqrt{10} \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $u^2 = 40 \times 10^{12} \text{ m}^2\text{s}^{-2}$ है।
$5 = \frac{40 \times 10^{12} \sin 2\theta}{400 \sqrt{3} \times 10^{10}} = \frac{4000 \sin 2\theta}{400 \sqrt{3}} = \frac{10 \sin 2\theta}{\sqrt{3}}$.
$\sin 2\theta = \frac{5 \sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$2\theta = 60^{\circ}$ या $120^{\circ}$,जो $\theta = 30^{\circ}$ या $60^{\circ}$ देता है। इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।
उड़ान का समय $t = \frac{2u \sin \theta}{|a_y|}$ है।
$\theta = 30^{\circ}$ के लिए,$t_1 = \frac{2 \times 2 \sqrt{10} \times 10^6 \times (1/2)}{400 \sqrt{3} \times 10^{10}} = \sqrt{\frac{5}{6}} \mu\text{s}$.
$\theta = 60^{\circ}$ के लिए,$t_2 = \frac{2 \times 2 \sqrt{10} \times 10^6 \times (\sqrt{3}/2)}{400 \sqrt{3} \times 10^{10}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \mu\text{s}$.
अतः,विकल्प $(C)$ भी सही है।

(C) मान लीजिए कि संतुलन स्थिति की प्रत्येक रेखीय आवेश से दूरी $r$ है। $d$ दूरी पर एक रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 d}$ है।
आवेश $+q$ के लिए (स्थिति $I$): यदि इसे दाईं ओर $x$ से विस्थापित किया जाता है, तो कुल बल $F = qE_{left} - qE_{right} = q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} - q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r-x} - \frac{1}{r+x} \right) = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{2x}{r^2-x^2} \right) \approx \frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ है। चूँकि बल $-x$ (प्रत्यानयन बल) के समानुपाती है, इसलिए आवेश $+q$ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है।
आवेश $-q$ के लिए (स्थिति $II$): यदि इसे दाईं ओर $x$ से विस्थापित किया जाता है, तो बाईं ओर के रेखीय आवेश से बल आकर्षण (बाईं ओर) होता है और दाईं ओर के रेखीय आवेश से बल आकर्षण (दाईं ओर) होता है। कुल बल $F = qE_{right} - qE_{left} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} - \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} = -\frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ है। चूँकि बल विस्थापन की दिशा में है, इसलिए यह संतुलन स्थिति से दूर गति करना जारी रखेगा।

(C) इलेक्ट्रॉन द्वारा $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ लंबाई की प्लेटों को $V_x = 10^6 \ m/s$ के क्षैतिज वेग के साथ पार करने में लिया गया समय:
$t = \frac{L}{V_x} = \frac{0.1}{10^6} = 10^{-7} \ s$
विद्युत क्षेत्र $E = 9.1 \ V/cm = 910 \ V/m$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में इलेक्ट्रॉन का त्वरण:
$a_y = \frac{eE}{m} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 910}{9.1 \times 10^{-31}} = 1.6 \times 10^{14} \ m/s^2$
बाहर निकलते समय वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $V_y = u_y + a_y t$,जहाँ $u_y = 0$:
$V_y = 0 + (1.6 \times 10^{14}) \times 10^{-7} = 1.6 \times 10^7 \ m/s$.

(C) डोरी के बंधन के कारण कण $O$ केंद्र वाले $\ell$ त्रिज्या के वृत्तापीय पथ पर गति करता है।
प्रारंभ में,कण $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर है। प्रारंभिक $x$-निर्देशांक $x_i = \ell \cos(60^{\circ}) = \frac{\ell}{2}$ है।
जब कण $x$-अक्ष को पार करता है,तो उसका अंतिम $x$-निर्देशांक $x_f = \ell$ होता है।
विद्युत क्षेत्र की दिशा में कण का विस्थापन $\Delta x = x_f - x_i = \ell - \frac{\ell}{2} = \frac{\ell}{2}$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,$W_{\text{electric}} = \Delta K$।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = qE \Delta x = qE \left(\frac{\ell}{2}\right)$ है।
चूंकि प्रणाली स्थिर अवस्था से शुरू होती है,इसलिए $K_i = 0$ और $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अतः,$qE \frac{\ell}{2} = \frac{1}{2}mv^2$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = \frac{qE\ell}{m}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{qE\ell}{m}}$।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब प्लेटों को आवेशित किया जाता है,तो उनके बीच एक विद्युत क्षेत्र $E$ उत्पन्न होता है। विद्युत क्षेत्र के कारण आवेशित गोले पर नीचे की ओर बल $F_e = qE$ कार्य करता है (यह मानते हुए कि आवेश $q$ धनात्मक है और क्षेत्र नीचे की ओर है)।
गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}} = g + \frac{qE}{m}$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g + \frac{qE}{m}}}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{T}{T_0} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{L}{g + \frac{qE}{m}}}}{2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{g + \frac{qE}{m}}} = \left(\frac{g}{g + \frac{qE}{m}}\right)^{1/2}$ है।

(A) जब एक आवेशित कण एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में प्रवेश करता है,तो वह $\vec{F} = q\vec{E}$ विद्युत बल का अनुभव करता है।
इस मामले में,विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर अक्ष ($y$-अक्ष) के अनुदिश निर्देशित है,इसलिए बल केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $\vec{a} = \frac{q\vec{E}}{m}$ भी ऊर्ध्वाधर अक्ष के अनुदिश ही होता है।
चूंकि क्षैतिज अक्ष ($x$-अक्ष) के अनुदिश कोई बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए क्षैतिज त्वरण शून्य $(a_x = 0)$ है।
अतः,क्षैतिज वेग $(V_x)$ स्थिर रहता है।
हालाँकि,ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निरंतर त्वरण होने के कारण,ऊर्ध्वाधर वेग $(V_y)$ समय के साथ बदलता रहता है।
इस प्रकार,ऊर्ध्वाधर वेग बदलता है जबकि क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।