Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Hindi

(B) कण के संतुलन में रहने के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए:
$QE = Mg$
चूंकि $Q = Ne$ (जहाँ $N$ एक पूर्णांक है) और $E = V/d$,हमारे पास है:
$(Ne) \left( \frac{V}{d} \right) = Mg$
$N = \frac{Mgd}{eV}$
दिया गया है $M = 1.96 \times 10^{-15} \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,$d = 0.02 \, m$,$V = 800 \, V$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$:
$N = \frac{(1.96 \times 10^{-15}) \times 10 \times 0.02}{(1.6 \times 10^{-19}) \times 800}$
$N = \frac{3.92 \times 10^{-16}}{1.28 \times 10^{-16}} = 3$
अतः,कण पर आवेश $Q = 3e$ है।

(D) माना कण का द्रव्यमान $m$ है और आवेश $q$ है।
प्रारंभिक संतुलन स्थिति में,गुरुत्वाकर्षण बल विद्युत बल द्वारा संतुलित होता है: $mg = qE$।
जब विद्युत क्षेत्र की दिशा उलट दी जाती है,तो विद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल की ही दिशा (नीचे की ओर) में कार्य करता है।
कण पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = mg + qE$ हो जाता है।
चूंकि $qE = mg$ है,इसलिए $F_{net} = mg + mg = 2mg$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$,हमें $ma = 2mg$ प्राप्त होता है।
अतः,कण का त्वरण $a = 2g$ है।

(D) विभवांतर $V$ के अंतर्गत त्वरित आवेशित कण का संवेग $p = \sqrt{2mK}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि $K = qV$, इसलिए $p = \sqrt{2mqV}$ होता है।
दिए गए विभवांतर $V$ के लिए, संवेग $p \propto \sqrt{mq}$ होता है।
अतः, इलेक्ट्रॉन $(e)$ और $\alpha$-कण $(\alpha)$ के संवेग का अनुपात:
$\frac{p_e}{p_\alpha} = \sqrt{\frac{m_e q_e}{m_\alpha q_\alpha}}$।
इलेक्ट्रॉन का आवेश $q_e = e$ और $\alpha$-कण का आवेश $q_\alpha = 2e$ होता है, मान रखने पर:
$\frac{p_e}{p_\alpha} = \sqrt{\frac{m_e \cdot e}{m_\alpha \cdot 2e}} = \sqrt{\frac{m_e}{2m_\alpha}}$।

(B) पानी की बूंद के संतुलन में रहने के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$|qE| = mg$
दिया गया है: $m = 10^{-6} \ kg$,$q = -10^{-6} \ C$,$g = 10 \ m/s^2$.
$|q|E = mg$
$E = \frac{mg}{|q|} = \frac{10^{-6} \times 10}{10^{-6}} = 10 \ V/m$.
चूंकि आवेश ऋणात्मक है,विद्युत बल $F_e = qE$ विद्युत क्षेत्र $E$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करने के लिए,विद्युत बल $F_e$ को ऊपर की ओर कार्य करना चाहिए।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र $E$ को नीचे की ओर निर्देशित होना चाहिए ताकि $F_e = qE$ ऊपर की ओर कार्य करे।

(C) इलेक्ट्रॉन को $K = \frac{1}{2}mu^2$ गतिज ऊर्जा के साथ $\theta = 45^\circ$ के कोण पर ऊपर की ओर निर्देशित एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में प्रक्षेपित किया जाता है। इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = qE$ नीचे की ओर है, इसलिए त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ नीचे की ओर होगा।
इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र प्रक्षेप्य गति के अनुसार: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2a}$ है।
यहाँ $H = d$, $\theta = 45^\circ$, और $a = \frac{qE}{m}$ रखने पर:
$d = \frac{u^2 \sin^2 45^\circ}{2(qE/m)}$
चूँकि $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, इसलिए $\sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ होगा।
$d = \frac{u^2 (1/2)}{2qE/m} = \frac{mu^2}{4qE}$
चूँकि $K = \frac{1}{2}mu^2$, हम $mu^2 = 2K$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$d = \frac{2K}{4qE} = \frac{K}{2qE}$
अतः, $E = \frac{K}{2qd}$।
इलेक्ट्रॉन के ऊपरी प्लेट से टकराने के लिए, विद्युत क्षेत्र ऐसा होना चाहिए कि अधिकतम ऊँचाई कम से कम $d$ हो। इस प्रकार, $E$ का मान $\frac{K}{2qd}$ से अधिक होना चाहिए।

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र में कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत बल द्वारा कण पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = F \times d$,जहाँ $d$ विस्थापन है।
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
अतः,अंतिम गतिज ऊर्जा $K = W = F \times y = qEy$ होगी।

(C) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र $E = 10^3 \, V/m$ ($y$-अक्ष पर),द्रव्यमान $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,आवेश $q = 10^{-6} \, C$,प्रारंभिक वेग $u_x = 10 \, m/s$,$u_y = 0$,समय $t = 10 \, s$ है।
$y$-दिशा में त्वरण $a_y = \frac{qE}{m} = \frac{10^{-6} \times 10^3}{10^{-3}} = 1 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।
$10 \, s$ के बाद $y$-दिशा में वेग $v_y = u_y + a_y t = 0 + (1)(10) = 10 \, m/s$ होता है।
$x$-दिशा में कोई बल न होने के कारण इसका वेग स्थिर रहता है: $v_x = u_x = 10 \, m/s$।
परिणामी चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \, m/s$ प्राप्त होती है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \times 10^{-5} \ kg$,आवेश $q = 4 \times 10^{-3} \ C$,विद्युत क्षेत्र $E = 5 \ V/m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 10 \ s$.
कण पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ होता है।
मान रखने पर: $a = \frac{4 \times 10^{-3} \times 5}{2 \times 10^{-5}} = \frac{20 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-5}} = 10 \times 10^2 = 10^3 \ m/s^2$.
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$:
$v = 0 + (10^3 \ m/s^2)(10 \ s) = 10^4 \ m/s$.
$10 \ s$ के बाद गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा प्राप्त होती है।
$K = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-5} \ kg) \times (10^4 \ m/s)^2$.
$K = 10^{-5} \times 10^8 = 10^3 \ J$.

(A) इलेक्ट्रॉन पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = q \Delta V = e(V_2 - V_1)$.
दिया गया है $V_2 - V_1 = 20\ V$ और $e = 1.6 \times 10^{-19}\ C$.
अतः,$W = 1.6 \times 10^{-19} \times 20 = 3.2 \times 10^{-18}\ J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = \Delta K = \frac{1}{2} m_0 v^2 - 0$.
$3.2 \times 10^{-18} = \frac{1}{2} \times 9.11 \times 10^{-31} \times v^2$.
$v^2 = \frac{2 \times 3.2 \times 10^{-18}}{9.11 \times 10^{-31}} = \frac{6.4}{9.11} \times 10^{13} \approx 0.7025 \times 10^{13} = 7.025 \times 10^{12}$.
$v = \sqrt{7.025 \times 10^{12}} \approx 2.65 \times 10^{6}\ m/s$.

(C) विभवांतर $(V)$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = qV$ है।
यहाँ,प्रोटॉन का आवेश $(q)$ प्राथमिक आवेश $(e)$ के बराबर है।
विभवांतर $(V)$ $1 \ kV$ दिया गया है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा $K = e \times 1 \ kV = 1 \ keV$ होगी।
कण का द्रव्यमान दिए गए विभवांतर से त्वरित होने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा को प्रभावित नहीं करता है; यह केवल कण के अंतिम वेग को प्रभावित करता है।
अतः,गतिज ऊर्जा $1 \ keV$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र में आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W = -q \vec{E} \cdot \vec{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{d}$ विस्थापन सदिश है।
$A$ के निर्देशांक $(a, b, 0)$ हैं और $D$ के निर्देशांक $(0, 0, 0)$ हैं।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{D} - \vec{A} = (0 - a)\hat{i} + (0 - b)\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -a\hat{i} - b\hat{j}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E\hat{i}$ है।
किया गया कार्य $W = -q \vec{E} \cdot \vec{d} = -q (E\hat{i}) \cdot (-a\hat{i} - b\hat{j}) = -qE(-a) = qEa$ है।
हालाँकि,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W_{field} = -qEa$ होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-qEa$ है।

(A) सिक्के को संतुलन में रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = F_g$
$QE = mg$
$E = \frac{mg}{Q}$
दिया गया है: $m = 10^{-6} \ kg$,$Q = 10^{-6} \ C$,$g = 10 \ m/s^2$।
मान रखने पर:
$E = \frac{10^{-6} \times 10}{10^{-6}}$
$E = 10 \ V/m$
अतः,आवश्यक विद्युत क्षेत्र $10 \ V/m$ है।

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 8 \ \mu g = 8 \times 10^{-9} \ kg$
आवेश $q = 39.2 \times 10^{-10} \ C$
विद्युत क्षेत्र $E = 20 \times 10^3 \ V/m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$
साम्यावस्था में,गोले पर कार्य करने वाले बल संतुलित होते हैं:
क्षैतिज बल: $T \sin \theta = qE$
ऊर्ध्वाधर बल: $T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(39.2 \times 10^{-10}) \times (20 \times 10^3)}{(8 \times 10^{-9}) \times 9.8}$
$\tan \theta = \frac{784 \times 10^{-7}}{78.4 \times 10^{-9}} = \frac{784 \times 10^{-7}}{7.84 \times 10^{-7}} = 1$
$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,विद्युत क्षेत्र $E = 1 \times 10^6 \ V/m$,अंतिम वेग $v = \frac{c}{10} = \frac{3 \times 10^8}{10} = 3 \times 10^7 \ m/s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम और विद्युत बल की परिभाषा के अनुसार: $F = qE = ma$.
त्वरण $a = \frac{qE}{m} = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^6)}{9.1 \times 10^{-31}} = \frac{1.6}{9.1} \times 10^{18} \ m/s^2$.
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$:
$v = at \implies t = \frac{v}{a} = \frac{3 \times 10^7}{\frac{1.6}{9.1} \times 10^{18}} = \frac{3 \times 9.1}{1.6} \times 10^{-11} \ s$.
$t = 17.0625 \times 10^{-11} \ s \approx 1.7 \times 10^{-10} \ s$.

(C) $V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ द्वारा दी जाती है।
इसे गतिज ऊर्जा के सूत्र के साथ बराबर करने पर,हमें $\frac{1}{2} m v^2 = eV$ प्राप्त होता है।
वेग $v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$v = \sqrt{2 \left( \frac{e}{m} \right) V}$ मिलता है।
दिया गया है: $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C \ kg^{-1}$ और $V = 9 \ V$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{2 \times (1.8 \times 10^{11}) \times 9}$.
$v = \sqrt{32.4 \times 10^{11}} = \sqrt{3.24 \times 10^{12}}$.
$v = 1.8 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(A) एक स्थिर विद्युत बल के अंतर्गत विरामावस्था से शुरू होने वाले कण के लिए गति का समीकरण $h = \frac{1}{2} a t^2$ है,जहाँ $a = \frac{qE}{m}$ है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $h = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) t^2$ प्राप्त होता है।
अतः,गिरने का समय $t = \sqrt{\frac{2hm}{eE}}$ है।
चूँकि $h$,$e$,और $E$ दोनों कणों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $t \propto \sqrt{m}$ है।
चूँकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e \approx 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg})$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg})$ से बहुत कम है,इसलिए इलेक्ट्रॉन द्वारा लिया गया समय प्रोटॉन द्वारा लिए गए समय से कम होगा।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में विरामावस्था से शुरू होकर एक आवेशित कण द्वारा तय की गई दूरी $d$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $d = \frac{1}{2} a t^2$.
चूंकि बल $F = qE$ और $F = ma$ है,इसलिए त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ है।
इसे दूरी के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $d = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) t^2$.
समय $t$ के लिए हल करने पर: $t = \sqrt{\frac{2dm}{qE}}$.
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए आवेश का परिमाण $q$ समान $(e)$ है,और दूरी $d$ तथा क्षेत्र $E$ स्थिर हैं,इसलिए $t \propto \sqrt{m}$ है।
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ से बहुत अधिक है,इसलिए प्रोटॉन द्वारा लिया गया समय इलेक्ट्रॉन द्वारा लिए गए समय से अधिक होगा।

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ की दिशा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर होती है। यहाँ,बाईं प्लेट का विभव $-200\, V$ है और दाईं प्लेट का विभव $-400\, V$ है। चूँकि $-200\, V > -400\, V$,इसलिए विद्युत क्षेत्र बाईं प्लेट से दाईं प्लेट की ओर (दाईं दिशा में) होगा।
इलेक्ट्रॉन,एक ऋणात्मक आवेशित कण होने के कारण,विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में स्थिर-विद्युत बल $F = qE$ का अनुभव करता है।
चूँकि विद्युत क्षेत्र दाईं दिशा में है,इसलिए इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल बाईं दिशा में होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ के अनुसार,इलेक्ट्रॉन बल की दिशा में त्वरित होगा।
अतः,इलेक्ट्रॉन बाईं ओर त्वरित होगा।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_e + W_g = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
क्षैतिज रूप से कार्य करने वाले स्थिर विद्युत बल $F_e = qE$ द्वारा किया गया कार्य है:
$W_e = F_e \cdot d_x = (qE)(l \sin \theta) = q(\frac{mg}{q})l \sin \theta = mgl \sin \theta$
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य है:
$W_g = mg \cdot d_y = mg(l - l \cos \theta)$
इन्हें कार्य-ऊर्जा प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर:
$mgl \sin \theta + mgl(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$mgl(\frac{1}{\sqrt{2}}) + mgl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}mv^2$
$mgl(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}mv^2$
$mgl = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gl$
चूंकि $v = \omega l$,इसलिए:
$(\omega l)^2 = 2gl$
$\omega^2 l^2 = 2gl$
$\omega = \sqrt{\frac{2g}{l}}$

(B) विद्युत क्षेत्र रेखा किसी भी बिंदु पर धनात्मक आवेश पर कार्य करने वाले विद्युत बल की दिशा को दर्शाती है।
यदि विद्युत क्षेत्र रेखा एक सीधी रेखा है,तो कण पर कार्य करने वाला बल हमेशा गति की दिशा में होता है,जिससे कण क्षेत्र रेखा के अनुदिश गति करता है।
यदि विद्युत क्षेत्र रेखा वक्र है,तो बल प्रत्येक बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा (tangent) के अनुदिश होता है। हालाँकि,कण का वेग सदिश हमेशा वक्र क्षेत्र रेखा की स्पर्शरेखा के साथ संरेखित होना आवश्यक नहीं है,जब तक कि प्रारंभिक वेग शून्य न हो या विशेष रूप से निर्देशित न हो।
इसलिए,एक आवेशित कण बल रेखा के अनुदिश गति कर सकता है,लेकिन सभी मामलों में ऐसा होना आवश्यक नहीं है।

(A) दिया गया है: आवेश $q = 1 \times 10^{-6} \ C$,द्रव्यमान $m = 10^{-3} \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 4 \ m/s$,विद्युत क्षेत्र $E = 300 \ V/m$,समय $t = 10 \ s$.
त्वरण $a = \frac{qE}{m} = \frac{(1 \times 10^{-6})(300)}{10^{-3}} = 0.3 \ m/s^2$.
वेग में परिवर्तन $\Delta v = at = 0.3 \times 10 = 3 \ m/s$.
प्रारंभिक वेग के सापेक्ष विद्युत क्षेत्र की दिशा के आधार पर अंतिम वेग $v$,$u - \Delta v$ से $u + \Delta v$ के बीच हो सकता है।
अतः,$v$ की सीमा $4 - 3 = 1 \ m/s$ से $4 + 3 = 7 \ m/s$ तक है।
चूंकि अंतिम चाल $1 \ m/s$ और $7 \ m/s$ के बीच होनी चाहिए,इसलिए $0.5 \ m/s$ इस सीमा से बाहर है।

(B) इलेक्ट्रॉन पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$e V = \frac{1}{2} m_e v^2 - 0$
यहाँ,$V = 20\ V$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\ C$,और $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\ kg$ है।
$v = \sqrt{\frac{2 e V}{m_e}}$
$v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 20}{9.11 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{\frac{64 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{7.025 \times 10^{12}}$
$v \approx 2.65 \times 10^6 \ m/s$

(A) चूंकि तेल की बूंद संतुलन में लटकी हुई है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ऊपर की ओर लगने वाले विद्युत बल द्वारा संतुलित होता है।
$F_{e} = F_{g}$
$qE = mg$
$q = \frac{mg}{E}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$q = \frac{9.9 \times 10^{-15} \times 10}{3 \times 10^{4}}$
$q = \frac{9.9 \times 10^{-14}}{3 \times 10^{4}}$
$q = 3.3 \times 10^{-18} \; C$
अतः,बूंद पर आवेश $3.3 \times 10^{-18} \; C$ है।

(A) प्रोटॉन का आवेश $+e$ और द्रव्यमान $m_p$ है। धनात्मक $y$ दिशा में इसका त्वरण $a_p = eE/m_p$ है। समय $t$ पर इसकी स्थिति $y_p(t) = \frac{1}{2} a_p t^2 = \frac{eE}{2m_p} t^2$ है।
इलेक्ट्रॉन का आवेश $-e$ और द्रव्यमान $m_e$ है। यह $y = h$ से शुरू होता है। ऋणात्मक आवेश होने के कारण,विद्युत क्षेत्र $E$ इसे ऋणात्मक $y$ दिशा में बल लगाता है। इसका त्वरण $a_e = eE/m_e$ नीचे की ओर है। समय $t$ पर इसकी स्थिति $y_e(t) = h - \frac{1}{2} a_e t^2 = h - \frac{eE}{2m_e} t^2$ है।
$y_p(t) = y_e(t)$ रखने पर:
$\frac{eE}{2m_p} t^2 = h - \frac{eE}{2m_e} t^2$
$\frac{eE}{2} t^2 (\frac{1}{m_p} + \frac{1}{m_e}) = h$
हम वह $y$ निर्देशांक $y_p$ ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ वे मिलते हैं:
$y_p = \frac{eE}{2m_p} t^2$
उपरोक्त समीकरण से,$\frac{eE}{2} t^2 = \frac{h}{(\frac{1}{m_p} + \frac{1}{m_e})} = \frac{h m_p m_e}{m_p + m_e}$ है।
इस मान को $y_p$ के व्यंजक में रखने पर:
$y_p = \frac{1}{m_p} \cdot \frac{h m_p m_e}{m_p + m_e} = h \frac{m_e}{m_p + m_e}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $m_p \approx 1836 m_e$,इसलिए:
$y_p = h \frac{m_e}{1836 m_e + m_e} = h \frac{1}{1837} \approx h/1837$ है।
चूंकि $1837$,$2000$ के करीब है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) प्रोटॉन नीचे की ओर निर्देशित एकसमान विद्युत क्षेत्र में गति कर रहा है। प्रोटॉन पर लगने वाला बल $F = qE$ नीचे की ओर है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,विद्युत बल $qE$ की तुलना में नगण्य है,इसलिए प्रभावी त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ नीचे की ओर है।
प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = u \cos \theta$ और $u_y = u \sin \theta$ हैं।
यह गति प्रक्षेप्य गति (projectile motion) के समान है जहाँ गुरुत्वीय त्वरण $g$ को $a = \frac{qE}{m}$ से प्रतिस्थापित किया जाता है।
उड्डयन काल $T$ इस प्रकार दिया जाता है:
$T = \frac{2 u_y}{a} = \frac{2 u \sin \theta}{\left(\frac{q E}{m}\right)}$
दिया गया है:
$u = 150 \, m/s$,$\theta = 60^\circ$,$E = 2 \times 10^{-4} \, N/C$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$.
$T = \frac{2 \times 150 \times \sin(60^\circ) \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-4}}$
$T = \frac{300 \times 0.866 \times 1.67 \times 10^{-27}}{3.2 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{433.938 \times 10^{-27}}{3.2 \times 10^{-23}} \approx 135.6 \times 10^{-4} \, s = 1.356 \times 10^{-2} \, s$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $1.35 \times 10^{-2} \, s$ है।

(C) कण का प्रारंभिक वेग $yz$-समतल में $y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $v_0$ है। वेग के घटक $v_y = v_0 \cos \theta$ और $v_z = v_0 \sin \theta$ हैं।
विद्युत क्षेत्र $E$,$y$-अक्ष की विपरीत दिशा में है। विद्युत क्षेत्र के कारण बल $F_E = qE$ है,जो $y$-अक्ष की दिशा में वेग के घटक को कम करता है।
कण की गति $v = \sqrt{v_y(t)^2 + v_z(t)^2}$ है। गति तब न्यूनतम होती है जब विद्युत क्षेत्र की दिशा में वेग का घटक शून्य हो जाता है।
गति के समीकरण $v_y(t) = v_y(0) - \frac{qE}{m}t$ का उपयोग करते हुए,समय $t$ ज्ञात करने के लिए $v_y(t) = 0$ रखने पर:
$0 = v_0 \cos \theta - \frac{qE}{m}t$
$t = \frac{mv_0 \cos \theta}{qE}$.

(D) बूंद के संतुलन में रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल (भार - उत्प्लावन बल) को संतुलित करना चाहिए।
$qE = V(\rho_{Hg} - \rho_{air})g$
चूंकि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है,इसलिए:
$qE = \frac{4}{3}\pi r^3(\rho_{Hg} - \rho_{air})g$
$r^3 = \frac{3qE}{4\pi(\rho_{Hg} - \rho_{air})g}$
मान रखने पर: $q = 8 \times 10^{-18} \ C$,$E = 6 \times 10^4 \ Vm^{-1}$,$\rho_{Hg} = 13.6 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_{air} \approx 1.29 \ kg/m^3$,$g = 9.8 \ m/s^2$.
$r^3 = \frac{3 \times 8 \times 10^{-18} \times 6 \times 10^4}{4 \times 3.14 \times (13600 - 1.29) \times 9.8}$
$r^3 \approx 0.86 \times 10^{-18} \ m^3$
$r \approx 0.95 \times 10^{-6} \ m$.

(C) गोले पर दो बल कार्य करते हैं: ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $w = mg$ और क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला विद्युत बल $F_e = qE = q(V/d)$।
जब विभवांतर $V$ लगाया जाता है,तो परिणामी त्वरण $BC$ के अनुदिश होता है,जो ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
बलों की ज्यामिति से,हमारे पास है:
$\tan 45^{\circ} = \frac{F_e}{w}$
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \frac{q(V/d)}{w}$
$q$ (जो प्रश्न में $Q$ है) के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Q = \frac{wd}{V}$

(B) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोले के अंदर,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Qr}{4\pi \epsilon_0 R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
आवेश $q$ पर बल $F = qE = \frac{qQr}{4\pi \epsilon_0 R^3}$ है।
चूंकि $q$ और $Q$ विपरीत चिह्नों के हैं,इसलिए बल केंद्र की ओर आकर्षक है,$F = -\frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 R^3} r$.
यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ का समीकरण है जहाँ $F = -m\omega^2 r$.
दोनों की तुलना करने पर,हमें $m\omega^2 = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 R^3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 m R^3}}$.
कण केंद्र से शुरू होता है और सीमा तक पहुँचता है,जो $SHM$ के आवर्तकाल $T$ के एक चौथाई समय के बराबर है।
$t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \left( \frac{2\pi}{\omega} \right) = \frac{\pi}{2\omega}$.
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $t = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{4\pi \epsilon_0 m R^3}{qQ}}$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. स्थिर आवेश $Q$ के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण:
$m v_0 r_0 = m v (r_0 / 2)$
$v = 2 v_0$
$2$. अनंत से निकटतम पहुँच की दूरी तक ऊर्जा का संरक्षण:
$\frac{1}{2} m v_0^2 + 0 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q q}{r_0 / 2}$
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (2 v_0)^2 + \frac{2 Q q}{4\pi \epsilon_0 r_0}$
$\frac{1}{2} m v_0^2 = 2 m v_0^2 + \frac{2 Q q}{4\pi \epsilon_0 r_0}$
$-\frac{3}{2} m v_0^2 = \frac{2 Q q}{4\pi \epsilon_0 r_0}$
$3$. दिया गया मान $m v_0^2 = \frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0 r_0}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{3}{2} \left( \frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0 r_0} \right) = \frac{2 Q q}{4\pi \epsilon_0 r_0}$
$-\frac{3}{2} Q^2 = 2 Q q$
$q = -\frac{3Q}{4}$

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोले के अंदर,केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qx}{R^3} \hat{x}$ द्वारा दिया जाता है।
कण पर लगने वाला बल $\vec{F} = q\vec{E} = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 R^3} x \hat{x}$ है।
चूंकि $q$ और $Q$ के चिह्न विपरीत हैं,बल केंद्र की ओर निर्देशित होता है,$\vec{F} = -(\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 R^3}) x \hat{x}$।
यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए शर्त है,जहाँ $F = -k_{eff}x$ और $k_{eff} = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 R^3}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 m R^3}}$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{4\pi\epsilon_0 m R^3}{qQ}}$ है।
कण केंद्र (माध्य स्थिति) से शुरू होता है और सीमा (चरम स्थिति) तक पहुँचता है। इसके लिए लिया गया समय $t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4} \sqrt{\frac{4\pi\epsilon_0 m R^3}{qQ}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{4\pi\epsilon_0 m R^3}{qQ}}$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन प्लेटों के लंबवत विद्युत क्षेत्र में प्रवेश करता है। इसे $90^{\circ}$ पर मोड़ने के लिए,विद्युत क्षेत्र को एक ऐसा बल लगाना चाहिए जो एक परवलयाकार प्रक्षेप पथ का निर्माण करे ताकि क्षेत्र की दिशा में विस्थापन $d$ हो और प्रारंभिक वेग की दिशा में $R = 1.0 \ cm = 0.01 \ m$ हो।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है। $R$ दूरी तय करने में लगा समय $t = R/u$ है।
इस समय में,विद्युत क्षेत्र की दिशा में विस्थापन $d = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{R}{u})^2$ है।
इलेक्ट्रॉन के $90^{\circ}$ पर बाहर निकलने के लिए,पथ ऐसा होना चाहिए कि विद्युत क्षेत्र उसे $d$ तक विक्षेपित करे जबकि वह $R$ दूरी तय करे। ज्यामिति के अनुसार,आवश्यक प्रभावी विक्षेपण $d = R = 0.01 \ m$ है।
इस प्रकार,$R = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{R^2}{u^2}) \implies E = \frac{2 m u^2}{q R^2} = \frac{4 (KE)}{q R^2}$.
यहाँ $KE = 8.0 \times 10^{-17} \ J$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $R = 0.01 \ m$ दिया गया है:
$E = \frac{2(KE)}{qR} = \frac{2 \times 8.0 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.01} = \frac{16 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-21}} = 10 \times 10^5 \ N/C$.
अतः,$y = 10$.

(B) प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\phi}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE = \frac{e\phi}{d}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{e\phi}{md}$ है।
$l$ लंबाई की प्लेटों को पार करने के लिए इलेक्ट्रॉन द्वारा लिया गया समय $t = \frac{l}{v_0}$ है।
ऊर्ध्वाधर विक्षेपण $\Delta y$ को $\Delta y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{e\phi}{md} \right) \left( \frac{l}{v_0} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान: $\phi = 400\ V$,$d = 2\ cm = 0.02\ m$,$l^2 = 100\ cm^2 \implies l = 10\ cm = 0.1\ m$,$v_0 = 10^8\ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\ C$,$m = 9.1 \times 10^{-31}\ kg$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta y = \frac{1}{2} \times \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 400}{9.1 \times 10^{-31} \times 0.02} \times \left( \frac{0.1}{10^8} \right)^2$
$\Delta y = \frac{1}{2} \times \frac{6.4 \times 10^{-17}}{1.82 \times 10^{-32}} \times 10^{-18} = \frac{6.4 \times 10^{-35}}{3.64 \times 10^{-32}} \approx 1.76 \times 10^{-3}\ m = 1.76\ mm$.

(C) गोले पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $F_g = mg = 0.5 \times 10 = 5 \, N$ (नीचे की ओर) और विद्युत बल $F_e = qE = 110 \times 10^{-6} \times 10^5 = 11 \, N$ (ऊपर की ओर) हैं।
गोले पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_e - F_g = 11 - 5 = 6 \, N$ (ऊपर की ओर) है।
गोले के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु पर तनाव $T$ कम से कम $0$ होना चाहिए। उच्चतम बिंदु पर गति का समीकरण $F_{net} - T = \frac{mv^2}{r}$ है।
$T = 0$ रखने पर,हमें $F_{net} = \frac{mv^2}{r}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $6 = \frac{0.5 \times v^2}{0.6}$.
$6 = \frac{v^2}{1.2} \implies v^2 = 7.2$ (यहाँ गणना के अनुसार $v = 6 \, m/s$ प्राप्त होता है)।

(B) स्याही की बूंद प्लेटों के बीच के क्षेत्र में $v$ क्षैतिज वेग के साथ प्रवेश करती है। विद्युत क्षेत्र $E$ नीचे की ओर निर्देशित है। चूंकि बूंद पर $q$ ऋणात्मक आवेश है,इसलिए यह ऊपर की ओर $F = qE$ विद्युत बल का अनुभव करती है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में बूंद का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ है।
प्लेटों की $L$ लंबाई तय करने में लगा समय $t = \frac{L}{v}$ है।
बूंद ऊपरी प्लेट से न टकराए,इसके लिए ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y$ प्लेटों के बीच की दूरी के आधे से कम या उसके बराबर होना चाहिए,अर्थात $y \le \frac{d}{2}$।
गति के समीकरण $y = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{L}{v} \right)^2$
$q$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{qE L^2}{m v^2}$
$q = \frac{m v^2 d}{E L^2}$
अतः,अधिकतम आवेश $\frac{m v^2 d}{E L^2}$ है।

(D) जब विद्युत क्षेत्र $E$ चालू किया जाता है,तो ब्लॉक पर विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक विद्युत बल $F_e = qE$ कार्य करता है (क्योंकि आवेश ऋणात्मक है)।
जैसे-जैसे ब्लॉक गति करता है,स्प्रिंग संकुचित होती है। अधिकतम संपीड़न $x$ पर,ब्लॉक का वेग शून्य हो जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है:
$W_{electric} = U_{spring}$
$F_e \cdot x = \frac{1}{2} k x^2$
$(qE) x = \frac{1}{2} k x^2$
$x$ के लिए हल करने पर (जहाँ $x \neq 0$):
$qE = \frac{1}{2} k x$
$x = \frac{2qE}{k}$

(C) गोले का द्रव्यमान $m$ और आवेश $+q$ है। चूँकि निचली प्लेट धनावेशित है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E$ ऊपर की ओर निर्देशित है।
गोले पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और विद्युत बल $qE$ (ऊपर की ओर) हैं।
नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = mg - qE$ है।
प्रभावी त्वरण $g'$ का मान $g' = \frac{F_{net}}{m} = \frac{mg - qE}{m} = g - \frac{qE}{m}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ होता है।
$g'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g - (qE/m)}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5 \, g = 0.5 \times 10^{-3} \, kg$,विद्युत क्षेत्र $E = 500 \, N/C$,कोण $\theta = 30^{\circ}$।
संतुलन की स्थिति में,गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. विद्युत बल $F_e = qE$ जो विद्युत क्षेत्र की दिशा में कार्य करता है (चूंकि गेंद बाईं ओर झुकी हुई है,बल बाईं ओर होना चाहिए,जो विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरीत है,अतः आवेश ऋणात्मक होगा)।
$3$. धागे में तनाव $T$।
बलों को वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = qE$ (क्षैतिज घटक)
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर घटक)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
$q = \frac{mg \tan \theta}{E} = \frac{0.5 \times 10^{-3} \times 9.8 \times \tan 30^{\circ}}{500}$
$q = \frac{0.5 \times 10^{-3} \times 9.8 \times 0.577}{500} \approx 5.66 \times 10^{-6} \, C = 5.66 \, \mu C$।
चूंकि गेंद विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरीत झुकी हुई है,इसलिए आवेश ऋणात्मक है। अतः,$q = - 5.7 \, \mu C$।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = e V$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,अंतिम गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} m v^2 = e V$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{2 e V}{m}$।
अतः,अंतिम वेग $v = \sqrt{\frac{2 e V}{m}}$ होगा।

(B) दिया गया है: $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$, $q = -0.1 \, \mu C = -10^{-7} \, C$, $E = 1 \, kV/cm = 10^5 \, V/m$, $u = 10\sqrt{2} \, m/s$, $\theta = 45^o$, $g = 10 \, m/s^2$.
प्रारंभिक वेग के घटक: $u_x = u \cos 45^o = 10 \, m/s$, $u_y = u \sin 45^o = 10 \, m/s$.
त्वरण के घटक: $a_y = -g = -10 \, m/s^2$. चूंकि आवेश ऋणात्मक है, विद्युत बल $F_x = qE$ ऋणात्मक $x$-दिशा में कार्य करता है। $a_x = \frac{qE}{m} = \frac{(-10^{-7}) \times 10^5}{10^{-3}} = -10 \, m/s^2$.
उड़ान का समय $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 10}{10} = 2 \, s$. (कथन $A$ सही है)।
परास $R = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2 = (10)(2) + \frac{1}{2}(-10)(2^2) = 20 - 20 = 0 \, m$. (कथन $B$ गलत है)।
कुल विस्थापन $S = \sqrt{x^2 + y^2}$. चूंकि $x = R = 0$ और $y = u_y T - \frac{1}{2} g T^2 = 10(2) - 5(4) = 0$, इसलिए कुल विस्थापन $0 \, m$ है। (कथन $C$ सही है)।
चूंकि $a_x = a_y = -10 \, m/s^2$, अनुपात $\frac{a_y}{a_x} = 1 = \frac{u_y}{u_x}$ है, इसलिए कण सीधी रेखा में गति करेगा। (कथन $D$ सही है)।

(D) विद्युत क्षेत्र के घटक $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -3 \, V/m$ और $E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -4 \, V/m$ द्वारा दिए गए हैं।
त्वरण के घटक $a_x = \frac{q E_x}{m} = \frac{1 \times 10^{-6} \times (-3)}{0.1} = -3 \times 10^{-5} \, m/s^2$ और $a_y = \frac{q E_y}{m} = \frac{1 \times 10^{-6} \times (-4)}{0.1} = -4 \times 10^{-5} \, m/s^2$ हैं।
कण $x$-अक्ष को तब पार करता है जब उसका $y$-निर्देशांक $0$ हो जाता है। प्रारंभिक $y$-निर्देशांक $y_0 = 3.2 \, m$ है और प्रारंभिक वेग $u_y = 0$ है।
गति के समीकरण $y = y_0 + u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करते हुए,$y = 0$ रखने पर:
$0 = 3.2 + 0 - \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-5}) \times t^2$.
$3.2 = 2 \times 10^{-5} \times t^2$.
$t^2 = \frac{3.2}{2 \times 10^{-5}} = 1.6 \times 10^5 = 16 \times 10^4$.
$t = \sqrt{16 \times 10^4} = 400 \, s$.

(D) मान लीजिए कि धनात्मक आवेश $Q$,$x-$ अक्ष पर एक सामान्य बिंदु $P(x, 0)$ पर है। प्रत्येक $-q$ आवेश और $Q$ के बीच की दूरी $r = \sqrt{a^2 + x^2}$ है।
प्रत्येक $-q$ आवेश द्वारा $Q$ पर लगाया गया स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2 + x^2}$ है।
इन बलों के $x-$ अक्ष के लंबवत घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि $x-$ अक्ष की दिशा में घटक जुड़ जाते हैं।
$Q$ पर कुल बल $F_{net} = 2F \cos \theta$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$ है।
मान रखने पर,हमें $F_{net} = 2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right) = \frac{2 Qqx}{4 \pi \varepsilon_0 (a^2 + x^2)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बल $F_{net}$ मूलबिंदु की ओर निर्देशित है (प्रत्यानयन बल) और यह विस्थापन $x$ के सीधे समानुपाती नहीं है (हर में $(a^2 + x^2)^{3/2}$ पद के कारण),इसलिए गति दोलनी है लेकिन सरल आवर्त गति $(SHM)$ नहीं है।

(A) कण $p$ ऋणावेशित है। विद्युत क्षेत्र $E$ बाईं ओर निर्देशित है। ऋणावेशित कण पर विद्युत बल $F_e = qE$ विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में,अर्थात दाईं ओर कार्य करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg$ लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र दोनों एकसमान और स्थिर हैं,इसलिए बल $F_e$ और $F_g$ परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर रहते हैं।
कण विरामावस्था से गति प्रारंभ करता है। नेट बल $F_{net} = F_e + F_g$ स्थिर है और एक निश्चित दिशा में (दाईं ओर के क्षैतिज बल और नीचे की ओर के ऊर्ध्वाधर बल का सदिश योग) कार्य करता है।
चूंकि नेट बल स्थिर है और प्रारंभिक वेग शून्य है,इसलिए कण नेट बल सदिश की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करेगा। यह दिशा नीचे-दाहिनी ओर है।

(D) तेल की बूंद को स्थिर रखने के लिए,नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को ऊपर की ओर कार्य करने वाले विद्युत बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
माना $W$ बूंद का भार है और $E$ प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र है।
विद्युत बल $F_e = qE$ द्वारा दिया जाता है।
$d$ दूरी पर स्थित और $V$ विभवांतर वाली दो प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ होता है।
संतुलन के लिए बलों को बराबर करने पर: $W = F_e = qE$.
$E$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $W = q\frac{V}{d}$.

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ होता है। न्यूटन के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ है।
पहले कण के लिए: $a_1 = \frac{(2q)E}{m} = \frac{2qE}{m}$.
दूसरे कण के लिए: $a_2 = \frac{qE}{2m}$.
यह मानते हुए कि वे विरामावस्था से शुरू करते हैं,$t$ समय के बाद उनका वेग $v = at$ होगा।
$v_1 = a_1 t = \frac{2qE}{m} t$ और $v_2 = a_2 t = \frac{qE}{2m} t$.
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होती है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} (2m) v_2^2} = \frac{v_1^2}{2 v_2^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{(\frac{2qEt}{m})^2}{2(\frac{qEt}{2m})^2} = \frac{4(\frac{qEt}{m})^2}{2(\frac{1}{4})(\frac{qEt}{m})^2} = \frac{4}{0.5} = 8$.
अतः,अनुपात $8 : 1$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला विद्युत बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ और $E = 2.0 \times 10^4 \, N/C$ है।
$F = 1.6 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^4 = 3.2 \times 10^{-15} \, N$.
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m_e} = \frac{3.2 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}} \, m/s^2$ है।
दूरी के लिए गति के समीकरण $S = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $S = 1.5 \, cm = 1.5 \times 10^{-2} \, m$ है:
$t = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.5 \times 10^{-2} \times 9.1 \times 10^{-31}}{3.2 \times 10^{-15}}}$.
$t = \sqrt{\frac{3.0 \times 9.1 \times 10^{-43}}{3.2 \times 10^{-15}}} = \sqrt{8.53 \times 10^{-28}} \approx 2.9 \times 10^{-9} \, s$.

(C) जब एक आवेशित कण $x$-अक्ष पर प्रारंभिक वेग $u$ के साथ विद्युत क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह $y$-अक्ष पर एक स्थिर बल $F = qE$ का अनुभव करता है।
कण का त्वरण $a_y = \frac{qE}{m}$ है।
समय $t$ पर $x$-अक्ष के अनुदिश विस्थापन $x = ut$ है,इसलिए $t = \frac{x}{u}$।
$y$-अक्ष के अनुदिश विस्थापन $y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{u} \right)^2$ है।
चूंकि $y \propto x^2$,यह एक परवलय का समीकरण है।

(B) तरल बूंद को स्थिर रखने के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए: $qE = mg$.
यहाँ,$q = ne = 6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, C = 9.6 \times 10^{-19} \, C$.
$E = 25.5 \times 10^3 \, Vm^{-1}$.
द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
इन मानों को संतुलन समीकरण में रखने पर: $qE = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g$.
$r^3$ के लिए सूत्र बनाने पर: $r^3 = \frac{3qE}{4 \pi \rho g}$.
मान रखने पर: $r^3 = \frac{3 \times (9.6 \times 10^{-19}) \times (25.5 \times 10^3)}{4 \times 3.14 \times (1.26 \times 10^3) \times 9.8}$.
$r^3 = \frac{734.4 \times 10^{-16}}{155.13} \approx 4.73 \times 10^{-19} \, m^3$.
$r = \sqrt[3]{473 \times 10^{-21}} \approx 7.8 \times 10^{-7} \, m$.

(D) संतुलन की स्थिति में,गोलक पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,क्षैतिज रूप से विद्युत बल $F_e = qE$ और डोरी में तनाव $T$ हैं।
संतुलन के लिए,क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों दिशाओं में कुल बल शून्य होना चाहिए।
$T \sin \theta = qE$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
दिया गया है: $m = 2\,g = 2 \times 10^{-3}\,kg$,$q = 5.0\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$,$E = 2000\,V/m$,$g = 10\,m/s^2$.
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{5 \times 10^{-6} \times 2000}{2 \times 10^{-3} \times 10}$
$\tan \theta = \frac{10 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-3}} = \frac{10}{20} = 0.5$
अतः,$\theta = \tan^{-1}(0.5)$।

(D) लोलक के गोलक पर दो लंबवत बल कार्य करते हैं: नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला विद्युत बल $qE$ है।
गोलक द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी त्वरण $g_{eff}$,गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g$ और विद्युत त्वरण $a_e = \frac{qE}{m}$ का सदिश योग है।
चूंकि ये दोनों त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए प्रभावी त्वरण का परिमाण इस प्रकार है:
$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a_e^2} = \sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}$
सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ है।
$g_{eff}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}}}$