Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Hindi

$(A)$ माना आवेश $q_1 = +10 \mu C$, $q_2 = -10 \mu C$ हैं और परीक्षण आवेश $q_0 = 5 \mu C$ है। $q_1$ और $q_2$ के बीच की दूरी $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है。
परीक्षण आवेश $q_0$ मध्य बिंदु पर रखा गया है, इसलिए प्रत्येक आवेश से इसकी दूरी $r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ है。
$q_1$ द्वारा $q_0$ पर लगाया गया बल $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_0}{r^2}$ (प्रतिकर्षण, $q_2$ की दिशा में)।
$q_2$ द्वारा $q_0$ पर लगाया गया बल $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_2| q_0}{r^2}$ (आकर्षण, $q_2$ की दिशा में)।
चूंकि दोनों बल एक ही दिशा में हैं, इसलिए कुल बल $F = F_1 + F_2 = 2 \times \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-6}}{(0.05)^2}$ होगा。
$F = 2 \times \frac{9 \times 10^9 \times 50 \times 10^{-12}}{25 \times 10^{-4}} = 2 \times \frac{450 \times 10^{-3}}{25 \times 10^{-4}} = 2 \times 18 \times 10 = 360 \text{ N}$।

(B) दिया है,प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m = 20 \text{ g} = 2 \times 10^{-2} \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$.
प्रत्येक गोले पर आवेश $q = 10^{-10} \text{ C}$.
धागे की लंबाई $L = 300 \text{ cm} = 3 \text{ m}$.
संतुलन की स्थिति में,एक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,स्थिर-वैद्युत बल $F$ और भार $mg$ हैं।
बलों को वियोजित करने पर:
$T \cos \theta = mg$
$T \sin \theta = F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2}$
समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{F}{mg} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2 mg}$
ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{x/2}{\sqrt{L^2 - (x/2)^2}} \approx \frac{x}{2L}$ (चूंकि $x \ll L$).
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{x}{2L} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2 mg}$
$x^3 = \frac{2L q^2}{4 \pi \varepsilon_0 mg} = (9 \times 10^9) \cdot \frac{2 \times 3 \times (10^{-10})^2}{2 \times 10^{-2} \times 10} = 27 \times 10^{-9} \text{ m}^3$.
$x = (27 \times 10^{-9})^{1/3} \text{ m} = 3 \times 10^{-3} \text{ m} = 3 \text{ mm}$.
अतः,संतुलन पृथक्करण दूरी $3 \text{ mm}$ है।

(A) माना वर्ग की भुजा $a$ है। कोने $D$ पर स्थित आवेश $Q$ पर विचार करें। अन्य आवेश $A$ (आवेश $q$),$B$ (आवेश $Q$),और $C$ (आवेश $q$) पर स्थित हैं।
$A$ पर स्थित $q$ के कारण $D$ पर स्थित $Q$ पर बल $F_A = \frac{K Q q}{a^2}$ ($DA$ की दिशा में) है।
$C$ पर स्थित $q$ के कारण $D$ पर स्थित $Q$ पर बल $F_C = \frac{K Q q}{a^2}$ ($DC$ की दिशा में) है।
इन दो बलों का परिणामी बल $F_{AC} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2} = \sqrt{2} \frac{K Q q}{a^2}$ (विकर्ण $DB$ की दिशा में) है।
$B$ पर स्थित $Q$ के कारण $D$ पर स्थित $Q$ पर बल $F_B = \frac{K Q^2}{(\sqrt{2} a)^2} = \frac{K Q^2}{2 a^2}$ (विकर्ण $DB$ की दिशा में) है।
$Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,इन बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$\frac{K Q^2}{2 a^2} + \sqrt{2} \frac{K Q q}{a^2} = 0$
$\frac{K Q}{a^2}$ से विभाजित करने पर (मान लें $Q \neq 0$):
$\frac{Q}{2} + \sqrt{2} q = 0$
$Q = -2 \sqrt{2} q$
संतुलन के लिए $Q$ और $q$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए,इसलिए यदि $Q$ धनात्मक है,तो $q$ ऋणात्मक होना चाहिए।

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q$ और $Q-q$ के बीच का बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q(Q-q)}{r^2}$
बल को अधिकतम करने के लिए $q$ का मान ज्ञात करने हेतु,हम $F$ का $q$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और उसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF}{dq} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \frac{d}{dq}(Qq - q^2) = 0$
$Q - 2q = 0$
$2q = Q$
$q = \frac{Q}{2}$
अतः,बल तब अधिकतम होता है जब आवेश $Q$ को दो समान भागों में विभाजित किया जाता है,अर्थात $q = \frac{Q}{2}$।

(A) गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में,प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाला एकमात्र बल स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल $F$ और डोरी में तनाव $T$ है।
चूंकि गोले क्षैतिज स्थिति में संतुलन में हैं,इसलिए दोनों गोलों के बीच की दूरी $2L$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार दोनों गोलों के बीच स्थिर-वैद्युत बल:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot Q}{(2L)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{4L^2} = \frac{Q^2}{16 \pi \varepsilon_0 L^2}$
चूंकि निकाय संतुलन में है,इसलिए प्रत्येक डोरी में तनाव $T$ प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाले स्थिर-वैद्युत बल $F$ को संतुलित करता है।
अतः,$T = F = \frac{Q^2}{16 \pi \varepsilon_0 L^2}$.

(B) कुल आवेश $Q = 1 \mu C = 10^{-6} \ C$ दिया गया है।
आवेश को $2:3$ के अनुपात में विभाजित किया गया है।
माना कि दो आवेश $q_1 = 2x$ और $q_2 = 3x$ हैं।
चूंकि $q_1 + q_2 = 1 \mu C$,इसलिए $5x = 1 \mu C$,जिससे $x = 0.2 \mu C$ प्राप्त होता है।
अतः,$q_1 = 2 \times 0.2 \mu C = 0.4 \times 10^{-6} \ C$ और $q_2 = 3 \times 0.2 \mu C = 0.6 \times 10^{-6} \ C$.
उनके बीच की दूरी $r = 1 \ m$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार स्थिर विद्युत बल $F$:
$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (0.4 \times 10^{-6}) \times (0.6 \times 10^{-6})}{1^2}$
$F = 9 \times 10^9 \times 0.24 \times 10^{-12} = 2.16 \times 10^{-3} \ N = 0.00216 \ N$.

(A) मान लीजिए कि दो इकाई ऋण आवेश $q_1 = q_2 = -1 \text{ C}$ हैं जो $d$ दूरी पर स्थित हैं। आवेश $q$ को मध्य बिंदु पर रखा गया है। निकाय के संतुलन में होने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
बिंदु $A$ पर आवेश $q_1$ पर $B$ पर स्थित $q$ और $C$ पर स्थित $q_2$ के कारण बल पर विचार करें:
$F_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q}{(d/2)^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} q_1$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{q}{(d/2)^2} + \frac{q_2}{d^2} = 0$
$\frac{4q}{d^2} + \frac{q_2}{d^2} = 0$
$4q = -q_2$
चूंकि $q_2 = -1 \text{ C}$,इसलिए $4q = -(-1) = 1$ है।
अतः,$q = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ C}$।

(D) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1 = 2 C$ और $q_2 = 6 C$ के बीच प्रारंभिक बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{(2)(6)}{r^2} = \frac{12k}{r^2}$।
दिया गया है $F_1 = 12 \times 10^3 \,N$, इसलिए $\frac{k}{r^2} = 10^3$ है।
प्रत्येक आवेश में $-4 C$ जोड़ने के बाद, नए आवेश $q_1' = 2 - 4 = -2 C$ और $q_2' = 6 - 4 = 2 C$ हो जाते हैं।
नया बल $F_2 = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2)(2)}{r^2} = -4 \frac{k}{r^2}$ है।
$\frac{k}{r^2} = 10^3$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $F_2 = -4 \times 10^3 \,N$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल आकर्षण का है। अतः, बल $4 \times 10^3 \,N$ (आकर्षण) होगा।

(C) दो प्रोटॉन के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की सापेक्ष शक्ति उनके बीच के विद्युत-चुंबकीय बल की शक्ति का लगभग $10^{-39}$ गुना होती है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल और विद्युत-चुंबकीय बल का अनुपात $10^{-39} / 10^{-2} = 10^{-37}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(C) आवेश $q_{3}$ के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल स्थिर-विद्युत बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि $q_{1}$ से $q_{3}$ की दूरी $x$ है। $q_{1}$ के कारण बल $F_{1} = \frac{k q_{1} q_{3}}{x^{2}}$ है और $q_{2}$ के कारण बल $F_{2} = \frac{k q_{2} q_{3}}{(d-x)^{2}}$ है।
संतुलन के लिए,$F_{1} = F_{2}$ (परिमाण में समान और दिशा में विपरीत)।
$\frac{k q_{1} q_{3}}{x^{2}} = \frac{k q_{2} q_{3}}{(d-x)^{2}}$
$\frac{q_{1}}{x^{2}} = \frac{q_{2}}{(d-x)^{2}}$
यह समीकरण दर्शाता है कि स्थिति $x$ केवल $q_{1}$ और $q_{2}$ के परिमाण और दूरी $d$ पर निर्भर करती है। समीकरण के दोनों पक्षों से आवेश $q_{3}$ कट जाता है।
इसलिए,संतुलन की स्थिति तीसरे आवेश $q_{3}$ के चिह्न और परिमाण से स्वतंत्र है।
अतः,यह $q_{3}$ के चिह्न की परवाह किए बिना संभव है।

(A) माना कुल आवेश $Q = 0.8 \text{ C}$ है।
माना $Q_{1} = q$,तो $Q_{2} = Q - q = (0.8 - q)$ होगा।
दो आवेशों के बीच स्थिर-विद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k Q_{1} Q_{2}}{r^{2}} = \frac{k q (0.8 - q)}{r^{2}}$
बल $F$ को अधिकतम होने के लिए,$q$ के सापेक्ष $F$ का अवकलन शून्य होना चाहिए:
$\frac{dF}{dq} = \frac{k}{r^{2}} \frac{d}{dq} (0.8q - q^{2}) = 0$
$0.8 - 2q = 0$
$2q = 0.8$
$q = 0.4 \text{ C}$
अतः,$Q_{1} = 0.4 \text{ C}$ और $Q_{2} = 0.8 - 0.4 = 0.4 \text{ C}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बल तब अधिकतम होता है जब $Q_{1} = Q_{2} = 0.4 \text{ C}$ हो।

(B) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा $a$ है। केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,किसी भी कोने पर स्थित आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
एक कोने पर स्थित $-Q$ आवेश पर विचार करें। उस पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. अन्य तीन $-Q$ आवेशों द्वारा लगाया गया प्रतिकर्षण बल।
मान लीजिए $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$ है।
भुजाओं के अनुदिश दो बलों का परिणामी बल $F_{res} = \sqrt{F^2 + F^2} = \sqrt{2} F$ है।
विकर्ण पर स्थित आवेश द्वारा लगाया गया बल $F_{diag} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{F}{2}$ है।
कुल प्रतिकर्षण बल $F_{total} = \sqrt{2} F + \frac{F}{2} = F(\sqrt{2} + \frac{1}{2})$ है।
$2$. केंद्रीय आवेश $q$ द्वारा लगाया गया आकर्षण बल: $F_q = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$ है।
संतुलन के लिए,$F_q = F_{total} \implies \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2} = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.
$2q = Q(\sqrt{2} + 0.5) = Q(\frac{2\sqrt{2}+1}{2})$.
$q = \frac{Q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$.
चूंकि बल को आकर्षण बल होना चाहिए,इसलिए $q$ का चिह्न $-Q$ के विपरीत होना चाहिए,अतः $q$ धनात्मक है।

(B) माना डोरियों के बीच का प्रारंभिक कोण $2\theta$ है। प्रत्येक डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
$m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले पिथ बॉल के लिए,कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{kq^2}{(2L \sin \theta)^2}$ हैं।
संतुलन में बलों को बराबर करने पर:
$T \sin \theta = F_e = \frac{kq^2}{4L^2 \sin^2 \theta}$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{kq^2}{4mgL^2 \sin^2 \theta} \implies \tan \theta \sin^2 \theta = \frac{kq^2}{4mgL^2} = C$ (स्थिरांक)।
जब आवेश $3q$ हो जाता है,तो डोरियों के बीच का कोण $2(2\theta) = 4\theta$ हो जाता है,इसलिए ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $2\theta$ हो जाता है।
अतः,$\tan \theta \sin^2 \theta = \tan(2\theta) \sin^2(2\theta)$।
$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ और $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan 2\theta}{\tan \theta} = \frac{q'^2}{q^2} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 2\theta} = 9 \cdot \frac{\sin^2 \theta}{4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{9}{4} \sec^2 \theta$।
$\frac{2}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{9}{4} (1 + \tan^2 \theta)$।
माना $x = \tan^2 \theta$: $\frac{2}{1-x} = \frac{9}{4}(1+x) \implies 8 = 9(1-x^2) \implies 9x^2 = 1 \implies x = 1/3$।
$\tan^2 \theta = 1/3 \implies \tan \theta = 1/\sqrt{3} \implies \theta = 30^{\circ}$।
डोरियों के बीच का प्रारंभिक कोण $2\theta = 60^{\circ}$ है।

(C) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल दोनों आवेशों के बीच लगने वाले स्थिर-वैद्युत कूलम्ब बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
अभिकेंद्र बल को कूलम्ब बल के बराबर रखने पर:
$\frac{m_{1} v^{2}}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^{2} = \frac{|q_{1} q_{2}|}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}$
$v = \sqrt{\frac{|q_{1} q_{2}|}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}}$
अब,आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2 \pi r}{v}$ होता है।
$v$ का मान रखने पर:
$T = 2 \pi r \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}{|q_{1} q_{2}|}}$
$T = \sqrt{4 \pi^{2} r^{2} \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}{|q_{1} q_{2}|}}$
$T = \sqrt{\frac{16 \pi^{3} \varepsilon_{0} m_{1} r^{3}}{|q_{1} q_{2}|}}$
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ आवर्तकाल $T$ के लिए सही व्यंजक है (यह मानते हुए कि आकर्षण के लिए $q_{1}$ और $q_{2}$ विपरीत चिह्न के हैं)।

(C) मान लीजिए कि दो स्थिर आवेश $Q$,$-d$ और $+d$ स्थितियों पर स्थित हैं।
जब आवेश $q$ को मूल बिंदु से $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो उस पर लगने वाला परिणामी बल:
$F = F_{left} - F_{right} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{(d-x)^{2}} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{(d+x)^{2}}$
$F = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{(d+x)^{2} - (d-x)^{2}}{(d^{2}-x^{2})^{2}} \right] = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{4dx}{(d^{2}-x^{2})^{2}} \right]$
चूंकि $x \ll d$,हम $(d^{2}-x^{2})^{2} \approx d^{4}$ का सन्निकटन कर सकते हैं:
$F \approx \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}} \cdot \frac{4dx}{d^{4}} = \frac{Qqx}{\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$
चूंकि बल माध्य स्थिति की ओर निर्देशित है,$F = -kx$,जहाँ $k = \frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$ है।
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{M \pi \varepsilon_{0} d^{3}}{Qq}} = 2 \sqrt{\frac{\pi^{3} M \varepsilon_{0} d^{3}}{Qq}}$

(B) $q_1$ के कारण $q_2$ पर लगने वाला बल कूलम्ब के नियम के सदिश रूप द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = k \frac{q_1 q_2}{r^3} \vec{r}_{21}$,जहाँ $\vec{r}_{21} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ है।
स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{r}_2 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
$\vec{r}_{21} = (1-2)\hat{i} + (1-3)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
इसका परिमाण $r = |\vec{r}_{21}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
मान रखने पर: $\vec{F}_2 = \frac{(9 \times 10^9)(3 \times 10^{-6})(-4 \times 10^{-6})}{3^3} (-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})$.
$\vec{F}_2 = \frac{-108 \times 10^{-3}}{27} (-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = -4 \times 10^{-3} (-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = (4\hat{i} + 8\hat{j} + 8\hat{k}) \times 10^{-3} \text{ N}$.