Electrical Energy and Power Questions in Gujarati

(C) અચળ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $V$ સાથે જોડાયેલા અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્બ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,દરેક બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $V$ સમાન રહેશે.
તેથી,વ્યય થતો પાવર એ અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $P \propto \frac{1}{R}$.
અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{1} = 2 : 1$ મળે છે.

(D) $R$ અવરોધ ધરાવતા વાહકમાંથી $t$ સમય માટે $i$ જેટલો પ્રવાહ પસાર થતા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $(H)$ જૂલના ઉષ્મીય નિયમ મુજબ $H = i^2Rt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં અવરોધ $R$ અને સમય $t$ અચળ હોવાથી,$H \propto i^2$ થાય.
આ સમીકરણ $H$-અક્ષ (અથવા આ આલેખમાં $U$-અક્ષ) ની દિશામાં ખુલતા પરવલયનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
આપેલા વક્રોને જોતા,વક્ર $d$ એ પરવલયાકાર સંબંધ દર્શાવે છે જ્યાં $i$ વધવાની સાથે $H$ ઝડપથી વધે છે,જે $i^2$ પર આધારિત સંબંધની લાક્ષણિકતા છે.
તેથી,વક્ર $d$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) જ્યારે અચળ સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ લાગુ પાડવામાં આવે ત્યારે $R$ અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $(H)$ નું સૂત્ર: $H = \frac{V^2}{R} t$ છે,જ્યાં $t$ એ સમય છે.
અહીં $V$ અને $t$ અચળ હોવાથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H \propto \frac{1}{R}$ થાય.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ અવરોધ $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) પરિપથમાં ઉપલબ્ધ કુલ પાવર $P_{total} = V \times I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 220 \, V$ અને $I = 9 \, A$ આપેલ છે,તેથી કુલ પાવર $P_{total} = 220 \times 9 = 1980 \, W$ થાય.
ધારો કે સમાંતરમાં જોડી શકાય તેવા $60 \, W$ ના બલ્બની મહત્તમ સંખ્યા $n$ છે.
$n$ બલ્બ દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર $P_{consumed} = n \times 60 \, W$ થાય.
ફ્યુઝ ન ઉડે તે માટે,વપરાતો કુલ પાવર એ ઉપલબ્ધ કુલ પાવર કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ: $n \times 60 \leq 1980$.
$n$ માટે ગણતરી કરતા: $n \leq \frac{1980}{60} = 33$.
તેથી,બલ્બની મહત્તમ સંખ્યા $33$ છે.

(A) બલ્બના અવરોધો $R_1 = \frac{V^2}{P_1}$ અને $R_2 = \frac{V^2}{P_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તેમને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર $P_p = \frac{V^2}{R_{eq}}$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{P_p}{V^2} = \frac{P_1}{V^2} + \frac{P_2}{V^2}$ મળે છે.
તેથી,$P_p = P_1 + P_2$.

(B) અવરોધ $R$ માં વ્યય થતો પાવર $P$ એ $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta I}{I}$ મળે છે.
અહીં પ્રવાહમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 1\%$ આપેલ છે.
તેથી,પાવરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta I}{I} \times 100)$ થશે.
કિંમત મૂકતા,$2 \times 1\% = 2\%$ મળે છે.
આમ,પાવરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $2\%$ છે.

(B) આપેલ છે: પાવર $P = 60 \ W$,વોલ્ટેજ $V = 120 \ V$,સમય $t = 1 \ s$.
સૂત્ર $P = VI$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે:
$I = \frac{P}{V} = \frac{60}{120} = 0.5 \ A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $t$ સમયમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = It$ થાય.
વળી,વિદ્યુતભારના ક્વોન્ટમીકરણ મુજબ $Q = ne$,જ્યાં $n$ એ ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
$Q$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$ne = It$
$n = \frac{It}{e} = \frac{0.5 \times 1}{1.6 \times 10^{-19}}$
$n = \frac{0.5}{1.6} \times 10^{19} = 0.3125 \times 10^{19} = 3.125 \times 10^{18}$.
તેથી,ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $3.125 \times 10^{18}$ છે.

(B) અવરોધ માટે પાવર રેટિંગનું સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R}$ છે.
વોલ્ટેજ $V$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $V^2 = R \times P$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $R = 196 \,\Omega$ અને $P = 1 \,W$ મૂકતા:
$V = \sqrt{R \times P} = \sqrt{196 \times 1} = \sqrt{196} = 14 \,volt$.
તેથી,સલામત રીતે લગાવી શકાય તેવો મહત્તમ વોલ્ટેજ $14 \,volt$ છે.

(C) સપ્લાય વોલ્ટેજ $V$ અને સમાન જથ્થાના પાણીને ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H$ અચળ છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનું સૂત્ર $H = \frac{V^2}{R} t$ છે,જ્યાં $R$ એ વાયરનો અવરોધ છે અને $t$ એ સમય છે.
$H$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$t \propto R$ થાય.
તેથી,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{R_1}{R_2}$.
અવરોધ $R$ એ વાયરની લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R = \rho \frac{l}{A})$,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
આ કિંમત સમયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
આપેલ છે કે $l_2 = \frac{2}{3} l_1$,તેથી $\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{2}$.
આમ,$\frac{15}{t_2} = \frac{3}{2}$.
$t_2$ માટે ગણતરી કરતા: $t_2 = 15 \times \frac{2}{3} = 10 \ min$.

(C) ધારો કે બે બલ્બના અવરોધ $R_1 = R$ અને $R_2 = 2R$ છે.
જ્યારે ઘટકોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ઘટક પરનો વોલ્ટેજ $V$ સમાન રહે છે.
અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ બલ્બ માટે,$P_1 = \frac{V^2}{R}$.
બીજા બલ્બ માટે,$P_2 = \frac{V^2}{2R}$.
વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2/R}{V^2/2R} = \frac{2R}{R} = \frac{2}{1}$.

(D) વાયરનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયર '$A$' અને '$B$' માટે:
$\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_A}{l_B} \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$.
અહીં $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે ત્યારે બંને વાયરો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_A}{H_B} = \frac{V^2/R_A}{V^2/R_B} = \frac{R_B}{R_A}$ થાય.
જેથી $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{8}$ હોવાથી,$\frac{R_B}{R_A} = \frac{8}{1}$ મળે.
આમ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $8 : 1$ છે.

(D) રેટેડ પાવર $P_1 = \frac{V_1^2}{R_1}$ છે,જ્યાં $V_1 = 220 \ V$ અને $P_1 = 100 \ W$. તેથી,$R_1 = \frac{220^2}{100}$.
જ્યારે તેને $V_2 = 220 \times 0.8 \ V$ સાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો પાવર $P_2 = \frac{V_2^2}{R_2}$ થાય.
વોલ્ટેજ ઘટવાથી ફિલામેન્ટનું તાપમાન ઘટે છે,જેના કારણે અવરોધ પણ ઘટે છે $(R_2 < R_1)$.
જો અવરોધ અચળ હોત $(R_2 = R_1)$,તો પાવર $P_{const} = \frac{(220 \times 0.8)^2}{R_1} = (0.8)^2 \times P_1 = 100 \times (0.8)^2 \ W = 64 \ W$ થાત.
કારણ કે $R_2 < R_1$,તેથી વાસ્તવિક પાવર $P_2 = \frac{V_2^2}{R_2}$ એ $P_{const} = 64 \ W$ કરતા વધારે હશે.
વળી,જો આપણે પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ ને ધ્યાનમાં લઈએ,તો જેમ $V$ ઘટે છે તેમ $R$ પણ ઘટે છે,તેથી પ્રવાહ $I_2 < I_1$ પરંતુ ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} > 0.8$ થાય. તેથી,$P_2 = V_2 I_2 = (0.8 V_1) I_2 < (0.8 V_1) I_1 = 0.8 P_1 = 80 \ W$.
તેથી,સાચો પાવર $64 \ W$ અને $80 \ W$ ની વચ્ચે હશે,એટલે કે $100 \times (0.8)^2 \ W$ અને $100 \times 0.8 \ W$ ની વચ્ચે.

(A) બલ્બનો પાવર $P = 210 \, W$ છે.
સમયગાળો $t = 5 \, min = 5 \times 60 \, s = 300 \, s$ છે.
વપરાયેલી વિદ્યુત ઊર્જા $E = P \times t = 210 \times 300 = 63000 \, J$ છે.
આ ઊર્જાને કેલરીમાં ફેરવવા માટે,આપણે $H = \frac{E}{J}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $J = 4.2 \, J/cal$ છે.
$H = \frac{63000}{4.2} = 15000 \, cal$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $15000 \, cal$ છે.

(B) બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = i^2R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
અહીં $R$ અચળ હોવાથી,$P \propto i^2$ થાય.
નાના ફેરફારો માટે વિકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\Delta P}{P} = 2\frac{\Delta i}{i}$ મળે.
આપેલ છે કે પ્રવાહમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta i}{i} \times 100 = 1\%$ છે.
તેથી,પાવરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta i}{i} \times 100) = 2 \times 1\% = 2\%$ થાય.
આમ,વપરાતા પાવરમાં $2\%$ નો ફેરફાર થાય છે.

(A) વિદ્યુત ઉપકરણનો પાવર $P$ એ $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
$R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $R = \frac{V^2}{P}$ મળે છે.
અહીં $V = 220 \, V$ અને $P = 100 \, W$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{(220)^2}{100} = \frac{48400}{100} = 484 \, \Omega$.
તેથી,બલ્બનો અવરોધ $484 \, \Omega$ છે.

(D) બલ્બનો અવરોધ $R$ અચળ રહે છે અને તે $R = \frac{V_R^2}{P_R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_R = 220\, V$ અને $P_R = 100\, W$ છે.
જ્યારે તેને નવા વોલ્ટેજ $V_A = 110\, V$ સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે વપરાતો પાવર $P_{consumed} = \frac{V_A^2}{R}$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણમાં $R = \frac{V_R^2}{P_R}$ મૂકતા,આપણને $P_{consumed} = \left( \frac{V_A}{V_R} \right)^2 \times P_R$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{consumed} = \left( \frac{110}{220} \right)^2 \times 100 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25\, W$.

(D) વપરાયેલી ઉર્જા $kWh$ (યુનિટ) માં નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે: $\text{યુનિટ} = \frac{\text{પાવર (W)} \times \text{સમય (h)}}{1000}$.
આપેલ છે: $\text{પાવર} = 60 \, W$, $\text{સમય} = 8 \, \text{કલાક}$.
$\text{યુનિટ} = \frac{60 \times 8}{1000} = \frac{480}{1000} = 0.48 \, \text{યુનિટ}$.
પ્રતિ યુનિટ ભાવ = $1.25 \, \text{રૂપિયા}$.
કુલ બિલ = $\text{યુનિટ} \times \text{પ્રતિ યુનિટ ભાવ} = 0.48 \times 1.25 = 0.60 \, \text{રૂપિયા}$.

(D) કુલ વપરાયેલી ઉર્જા કિલોવોટ-કલાક (યુનિટ) માં નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
$E = \frac{P \times t \times n}{1000}$
જ્યાં:
$P = 50\,W$ (એક બલ્બનો પાવર)
$n = 10$ (બલ્બની સંખ્યા)
$t = 10 \times 30 = 300$ કલાક (એક મહિનાનો કુલ સમય)
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{50 \times 300 \times 10}{1000}$
$E = \frac{150000}{1000} = 150$ યુનિટ.

(D) પાણીને ગરમ કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{V^2 t}{R}$ છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે,$t$ એ સમય છે અને $R$ એ હીટરનો અવરોધ છે.
પાણીનો જથ્થો અને તાપમાનનો તફાવત સમાન હોવાથી,ઉષ્મા ઉર્જા $H$ અચળ રહે છે. તેમજ હીટરનો અવરોધ $R$ પણ અચળ છે.
તેથી,$V^2 t = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $t \propto \frac{1}{V^2}$.
આપણે ગુણોત્તરને $\frac{t_1}{t_2} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^2$ તરીકે લખી શકીએ.
અહીં $V_1 = 220 \, \text{V}$,$t_1 = 5 \, \text{min}$,અને $V_2 = 110 \, \text{V}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{t_2} = \left( \frac{110}{220} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$t_2 = 5 \times 4 = 20 \, \text{min}$.

(C) આ સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે. ઉપરની શાખામાં $1 \,\Omega$ અને $3 \,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેનો કુલ અવરોધ $R_1 = 1 + 3 = 4 \,\Omega$ થાય. નીચેની શાખામાં $R_2 = 8 \,\Omega$ નો અવરોધ છે.
શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,બંને શાખાઓ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે.
અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$8 \,\Omega$ ના અવરોધ માટે,$P_2 = \frac{V^2}{8} = 2 \,\text{W},$ જેનો અર્થ છે કે $V^2 = 16 \,\text{V}^2$ થાય.
ઉપરની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{V}{4}$ છે.
$3 \,\Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P_{3\Omega} = i_1^2 \times 3 = \left(\frac{V}{4}\right)^2 \times 3 = \frac{V^2}{16} \times 3$ થાય.
$V^2 = 16$ મૂકતા,આપણને $P_{3\Omega} = \frac{16}{16} \times 3 = 3 \,\text{W}$ મળે છે.

(C) પાવર $P = V \times I = 220\, V \times 4\, A = 880\, W = 880\, J/s$.
$1\, kg$ $(1000\, g)$ પાણીનું તાપમાન $20\, ^oC$ થી $100\, ^oC$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q = mc\Delta T$
$Q = 1000\, g \times 4.2\, J/g\, ^oC \times (100\, ^oC - 20\, ^oC)$
$Q = 1000 \times 4.2 \times 80 = 336,000\, J$.
લાગતો સમય $t = \frac{Q}{P} = \frac{336,000\, J}{880\, J/s} \approx 381.8\, s$.
મિનિટમાં રૂપાંતર: $t = \frac{381.8}{60} \approx 6.36\, min \approx 6.3\, min$.

(C) બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
બલ્બનો અવરોધ $R$ અચળ હોવાથી,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર વાપરી શકીએ: $\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta V}{V}$.
અહીં વોલ્ટેજમાં $2.5\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta V}{V} = 2.5\% = 0.025$.
આ કિંમતને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \times 2.5\% = 5\%$.
આમ,પાવરમાં તેના રેટિંગ મૂલ્યના $5\%$ જેટલો ઘટાડો થશે.

(A) સૌ પ્રથમ,રેટેડ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને દરેક લેમ્પનો અવરોધ $R$ શોધો:
$R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{500} = \frac{48400}{500} = 96.8\, \Omega$
બે સમાન લેમ્પ $110\, V$ ના સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,દરેક લેમ્પ પરનો વોલ્ટેજ $V' = \frac{110}{2} = 55\, V$ થશે.
દરેક લેમ્પ દ્વારા વપરાતો પાવર નીચે મુજબ છે:
$P' = \frac{(V')^2}{R} = \frac{55^2}{96.8} = \frac{3025}{96.8} = 31.25\, W$
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણોત્તર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$P' = \left( \frac{V'}{V} \right)^2 \times P = \left( \frac{55}{220} \right)^2 \times 500 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times 500 = \frac{1}{16} \times 500 = \frac{125}{4}\, W$

(B) હીટરનો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
$V$ અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{R}$ થાય.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $R \propto l$ થાય.
તેથી,$P \propto \frac{1}{l}$ મળે.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = 100$ છે અને અંતિમ લંબાઈ $l_2 = 100 - 10 = 90$ છે.
પ્રમાણસરતા $P_1 l_1 = P_2 l_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_2 = P_1 \times \frac{l_1}{l_2} = P_1 \times \frac{100}{90} = P_1 \times 1.111$.
પાવરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100 = (1.111 - 1) \times 100 = 11.1\%$ છે.
આમ,પાવરમાં આશરે $11\%$ નો વધારો થશે.

(C) લેમ્પનો રેટ કરેલ પાવર $P_R = 100\, W$ છે અને રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $V_R = 220\, V$ છે. રેટ કરેલ સ્થિતિમાં ફિલામેન્ટનો અવરોધ $R = \frac{V_R^2}{P_R} = \frac{220^2}{100} = 484\, \Omega$ થાય.
જો અવરોધ અચળ રહેતો હોત,તો $110\, V$ પર વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R} = \frac{110^2}{484} = 25\, W$ થાત.
પરંતુ,ફિલામેન્ટનો અવરોધ તાપમાન સાથે વધે છે. જ્યારે લેમ્પને $110\, V$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વપરાતો પાવર તેના રેટ કરેલ $100\, W$ કરતા ઓછો હોય છે,તેથી ફિલામેન્ટનું તાપમાન તેના $220\, V$ પરના કાર્યકારી તાપમાન કરતા ઓછું હશે.
તાપમાન ઓછું હોવાથી,ફિલામેન્ટનો અવરોધ તેના રેટ કરેલ અવરોધ $R = 484\, \Omega$ કરતા ઓછો હશે.
$P = \frac{V^2}{R_{new}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,કારણ કે $R_{new} < R$ છે,તેથી પાવર $P$ એ $25\, W$ કરતા વધારે હશે.

(B) ધારો કે મૂળ વાયરનો અવરોધ $R$ છે. ઉત્પન્ન થતો પાવર $H = V^2/R$ છે.
જ્યારે વાયરને $n$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = R/n$ થાય છે.
જ્યારે આ $n$ ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ એ $1/R_{\text{eq}} = n \times (1/R') = n \times (n/R) = n^2/R$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$R_{\text{eq}} = R/n^2$ થાય.
નવો ઉત્પન્ન થતો પાવર $H_{\text{total}} = V^2/R_{\text{eq}} = V^2 / (R/n^2) = n^2 (V^2/R) = n^2 H$ થશે.

(A) પ્રવાહ $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ સ્વરૂપમાં છે. લૂપ $0 \rightarrow T$ માટે હોવાથી,$\omega T = \pi$,તેથી $\omega = \pi/T$ મળે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ સમય સાથે પ્રવાહનું સંકલન છે:
$Q = \int_0^T I_0 \sin(\frac{\pi}{T} t) dt = I_0 [-\frac{T}{\pi} \cos(\frac{\pi}{T} t)]_0^T = I_0 \frac{T}{\pi} (1 - (-1)) = \frac{2 I_0 T}{\pi}$.
$I_0$ માટે ઉકેલતા,$I_0 = \frac{Q \pi}{2T}$ મળે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \int_0^T I^2 R dt$ દ્વારા મળે છે:
$H = R \int_0^T I_0^2 \sin^2(\frac{\pi}{T} t) dt = R I_0^2 \int_0^T \frac{1 - \cos(\frac{2\pi}{T} t)}{2} dt$.
$H = \frac{R I_0^2}{2} [t - \frac{T}{2\pi} \sin(\frac{2\pi}{T} t)]_0^T = \frac{R I_0^2}{2} [T - 0] = \frac{R I_0^2 T}{2}$.
$I_0 = \frac{Q \pi}{2T}$ મૂકતા:
$H = \frac{R T}{2} (\frac{Q \pi}{2T})^2 = \frac{R T Q^2 \pi^2}{2 \cdot 4 T^2} = \frac{Q^2 \pi^2 R}{8 T}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતપ્રવાહ $I_0$ છે. કારણ કે પ્રવાહ $\Delta t$ સમયમાં સમાન રીતે ઘટીને શૂન્ય થાય છે,તેથી $t$ સમયે પ્રવાહ $I(t) = I_0(1 - \frac{t}{\Delta t})$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q = \int_0^{\Delta t} I(t) dt = \int_0^{\Delta t} I_0(1 - \frac{t}{\Delta t}) dt = \frac{I_0 \Delta t}{2}$.
તેથી,$I_0 = \frac{2q}{\Delta t}$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \int_0^{\Delta t} I^2 R dt = R \int_0^{\Delta t} I_0^2 (1 - \frac{t}{\Delta t})^2 dt$.
આ સંકલન ઉકેલતા,$H = \frac{R I_0^2 \Delta t}{3}$.
$I_0$ ની કિંમત મૂકતા,$H = \frac{R}{3} (\frac{2q}{\Delta t})^2 \Delta t = \frac{4q^2 R}{3 \Delta t}$.

(B) સૌ પ્રથમ,તમામ ઉપકરણોનો કુલ પાવર વપરાશ $(P_{\text{total}})$ ગણો:
$P_{\text{total}} = (15 \times 40\ W) + (5 \times 100\ W) + (5 \times 80\ W) + (1 \times 1000\ W)$
$P_{\text{total}} = 600\ W + 500\ W + 400\ W + 1000\ W = 2500\ W$
પાવર માટેના સૂત્ર $P = V \times I$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $V = 220\ V$ છે:
$I = \frac{P_{\text{total}}}{V} = \frac{2500}{220} \approx 11.36\ A$
ફ્યુઝે કુલ પ્રવાહને હેન્ડલ કરવો પડતો હોવાથી,મુખ્ય ફ્યુઝની લઘુત્તમ ક્ષમતા તેના પછીની ઉચ્ચ પૂર્ણાંક કિંમત હોવી જોઈએ,જે $12\ A$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં, સળિયા દ્વારા વ્યય થતો પાવર એ આસપાસના વાતાવરણમાં ગુમાવેલી ઉષ્મા જેટલો હોય છે.
એસ્બેસ્ટોસ એ હવા કરતા ઉષ્માનું મંદ વાહક હોવાથી, એસ્બેસ્ટોસથી ઢંકાયેલ સળિયો (કિસ્સા-$1$) વાતાવરણમાં ખુલ્લા સળિયા (કિસ્સા-$2$) કરતા ઓછી કાર્યક્ષમતાથી ઉષ્મા ગુમાવશે।
તેથી, કિસ્સા-$1$ માં સળિયાનું તાપમાન વધારે હશે।
જેમ કે ગ્રેફાઈટ સળિયાનો અવરોધ તાપમાન વધવા સાથે ઘટે છે $(R \propto 1/T)$, તેથી કિસ્સા-$1$ માં સળિયાનો અવરોધ કિસ્સા-$2$ કરતા ઓછો હશે।
આપેલ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ છે, તેથી વ્યય થતો પાવર $P = V^2/R$ દ્વારા મળે છે।
કિસ્સા-$1$ માં $R$ ઓછો હોવાથી, વ્યય થતો પાવર $P$ કિસ્સા-$1$ માં વધારે હશે।

(B) આલેખ પરથી,$emf$ $E$ એ સમય $t$ સાથે $E(t) = mt$ મુજબ રેખીય રીતે બદલાય છે. $t = 4 \, s$ સમયે,$E = 24 \, V$ છે. તેથી,ઢાળ $m = \frac{24}{4} = 6 \, V/s$ થાય. આમ,$E(t) = 6t$.
અવરોધ $R$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ એ $0$ થી $4 \, s$ ના સમયગાળા માટે પાવર $P = \frac{E^2}{R}$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$H = \int_{0}^{4} \frac{E^2}{R} \, dt = \int_{0}^{4} \frac{(6t)^2}{12} \, dt$
$H = \int_{0}^{4} \frac{36t^2}{12} \, dt = \int_{0}^{4} 3t^2 \, dt$
$H = [t^3]_{0}^{4} = 4^3 - 0^3 = 64 \, J$.

(A) કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ $i-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે. વિદ્યુતપ્રવાહ $\Delta t$ સમયમાં $I_0$ થી $0$ સુધી સમાન રીતે ઘટે છે,તેથી આલેખ એ પાયો $\Delta t$ અને ઊંચાઈ $I_0$ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
$q = \frac{1}{2} I_0 \Delta t \implies I_0 = \frac{2q}{\Delta t}$.
સમયના વિધેય તરીકે વિદ્યુતપ્રવાહ $i(t) = I_0 \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right) = \frac{2q}{\Delta t} \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right)$ છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \int_0^{\Delta t} i^2 R dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H = R \int_0^{\Delta t} \left[ \frac{2q}{\Delta t} \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right) \right]^2 dt = R \frac{4q^2}{(\Delta t)^2} \int_0^{\Delta t} \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right)^2 dt$.
ધારો કે $u = 1 - \frac{t}{\Delta t}$,તો $du = -\frac{1}{\Delta t} dt$.
$H = R \frac{4q^2}{(\Delta t)^2} (-\Delta t) \int_1^0 u^2 du = R \frac{4q^2}{\Delta t} \int_0^1 u^2 du = R \frac{4q^2}{\Delta t} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{4}{3} \frac{q^2 R}{\Delta t}$.

(B) અવરોધ $R$ માં ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા $H$ એ $H = \int i^2 R dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયગાળા $0$ થી $t_0$ માટે,પ્રવાહ $i = \frac{3i_0}{t_0}t$ છે. ઉષ્મા $H_1 = \int_0^{t_0} (\frac{3i_0}{t_0}t)^2 R dt = \frac{9i_0^2 R}{t_0^2} [\frac{t^3}{3}]_0^{t_0} = 3i_0^2 Rt_0$.
સમયગાળા $t_0$ થી $2t_0$ માટે,પ્રવાહ $i = 3i_0$ અચળ છે. ઉષ્મા $H_2 = (3i_0)^2 R (2t_0 - t_0) = 9i_0^2 Rt_0$.
સમયગાળા $2t_0$ થી $3t_0$ માટે,પ્રવાહ $i = i_0$ અચળ છે. ઉષ્મા $H_3 = (i_0)^2 R (3t_0 - 2t_0) = i_0^2 Rt_0$.
કુલ ઉષ્મા $H = H_1 + H_2 + H_3 = 3i_0^2 Rt_0 + 9i_0^2 Rt_0 + i_0^2 Rt_0 = 13i_0^2 Rt_0$.

(A) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = V^2 / R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ ફિલામેન્ટનો અવરોધ છે.
ધારો કે બંને બલ્બ સમાન ઓપરેટિંગ વોલ્ટેજ $V$ માટે ડિઝાઇન કરેલા છે,તો $R = V^2 / P$ થાય.
આ દર્શાવે છે કે અવરોધ $R$ એ પાવર $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(R \propto 1/P)$.
તેથી,$100\ W$ ના બલ્બનો અવરોધ $60\ W$ ના બલ્બ કરતા ઓછો હોય છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \ell / A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા,$\ell$ એ લંબાઈ અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ (જાડાઈ) છે.
બંને માટે લંબાઈ $\ell$ અને દ્રવ્ય (અવરોધકતા $\rho$) સમાન હોવાથી,$R \propto 1/A$ થાય.
$100\ W$ ના બલ્બનો અવરોધ ઓછો હોવાથી,તેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ વધારે હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેનો ફિલામેન્ટ જાડો છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા ગોળાકાર કવચનો વિચાર કરો. આ પાતળા કવચનો અવરોધ $dR = \frac{\rho dr}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે.
ગોળાકાર કવચનો કુલ અવરોધ $R$ એ $r_1 = 0.1\ m$ થી $r_2 = 0.2\ m$ સુધીના $dR$ નું સંકલન છે:
$R = \int_{r_1}^{r_2} \frac{\rho dr}{4\pi r^2} = \frac{\rho}{4\pi} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_1}^{r_2} = \frac{\rho}{4\pi} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \frac{\rho(r_2 - r_1)}{4\pi r_1 r_2}$.
શેલમાં ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર (પાવર) $P = I^2 R = \left( \frac{\epsilon}{R + r_{int}} \right)^2 R$ છે. મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,શેલમાં વ્યય થતો પાવર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે તેનો અવરોધ $R$ એ બેટરીના આંતરિક અવરોધ $r_{int}$ જેટલો હોય.
$R = r_{int} = \frac{2}{\pi}\ \Omega$ લેતા:
$\frac{\rho(0.2 - 0.1)}{4\pi(0.1)(0.2)} = \frac{2}{\pi} \Rightarrow \frac{\rho(0.1)}{4\pi(0.02)} = \frac{2}{\pi} \Rightarrow \frac{\rho}{0.8} = 2 \Rightarrow \rho = 1.6\ \Omega\cdot m$.
વાહકતા $\sigma = \frac{1}{\rho}$ હોવાથી,$\sigma = \frac{1}{1.6} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\ S/m$ મળે.

(D) દરેક બલ્બનો અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે છે: $R = \frac{V^2}{P} = \frac{200^2}{60} = \frac{40000}{60} = \frac{2000}{3} \, \Omega$.
જ્યારે આવા ત્રણ બલ્બને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + R + R = 3R = 3 \times \frac{2000}{3} = 2000 \, \Omega$ થાય.
$200\, V$ ના સપ્લાય સાથે જોડાયેલા આ શ્રેણી જોડાણ દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર $P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{200^2}{2000} = \frac{40000}{2000} = 20 \, W$ થાય.

(C) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ પાવર,$V$ એ વોલ્ટેજ અને $R$ એ અવરોધ છે.
ભારતમાં વપરાતા બલ્બ માટે: $P = \frac{V_{India}^2}{R} = \frac{220^2}{R} = 60\,W$.
$USA$ માં વપરાતા બલ્બ માટે: $P = \frac{V_{USA}^2}{R'} = \frac{110^2}{R'} = 60\,W$.
બંને કિસ્સામાં પાવર $P$ સમાન $(60\,W)$ હોવાથી,આપણે સમીકરણોને સરખાવી શકીએ:
$\frac{220^2}{R} = \frac{110^2}{R'}$
$R' = R \times \left(\frac{110}{220}\right)^2$
$R' = R \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{R}{4}$.

(C) હીટરમાં રહેલ અવરોધક અથવા હીટિંગ એલિમેન્ટને જુલ હીટિંગની પ્રક્રિયા દ્વારા વિદ્યુત ઊર્જાને ગરમી તરીકે મુક્ત કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે. જુલના તાપીય નિયમ મુજબ,$R$ અવરોધ ધરાવતા વાહકમાંથી $t$ સમય માટે $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થતા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2Rt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અવરોધક હીટરમાં,પૂરી પાડવામાં આવતી લગભગ તમામ વિદ્યુત ઊર્જાનું ઉષ્મીય ઊર્જા (ગરમી) માં રૂપાંતર થાય છે. અન્ય ઉપકરણો જેવા કે જનરેટર યાંત્રિક ઊર્જાનું વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે,જ્યારે થર્મોકપલ ઉષ્મીય ઊર્જાનું વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.

(C) અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ પાવર છે,$I$ એ પ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
આપેલ છે:
$P = 1\;W$
$I = 5\;A$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1 = (5)^2 \times R$
$1 = 25 \times R$
$R = \frac{1}{25}\;\Omega$
$R = 0.04\;\Omega$
તેથી,ફ્યુઝ વાયરનો અવરોધ $0.04\;\Omega$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા સર્કિટ માટે,બાહ્ય અવરોધ $R$ ને મળતો પાવર $P = I^2 R = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પાવર માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સેટ કરીએ છીએ: $\frac{dP}{dR} = E^2 \left[ \frac{(R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} \right] = 0$.
આનાથી $R+r - 2R = 0$ મળે છે,તેથી $R = r$. આમ,વિધાન $(i)$ સાચું છે.
પાવરના સૂત્રમાં $R = r$ મૂકતા: $P = \left(\frac{E}{R+R}\right)^2 R = \left(\frac{E}{2R}\right)^2 R = \frac{E^2}{4R^2} \cdot R = \frac{E^2}{4R}$. આમ,વિધાન $(ii)$ સાચું છે.
સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ પાવર (ઇનપુટ પાવર) $P_{\text{in}} = E \cdot I = E \cdot \left(\frac{E}{R+r}\right)$ છે. $R=r$ હોવાથી,$P_{\text{in}} = E \cdot \left(\frac{E}{2R}\right) = \frac{E^2}{2R}$. આમ,વિધાન $(iii)$ સાચું છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને આઉટપુટ પાવર અને ઇનપુટ પાવરના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100 = \frac{E^2/4R}{E^2/2R} \times 100 = \frac{1}{2} \times 100 = 50\%$. આમ,વિધાન $(iv)$ સાચું છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,જ્યારે લોડ અવરોધ $y$ નું મૂલ્ય સર્કિટના થેવેનિન સમતુલ્ય અવરોધ જેટલું હોય ત્યારે તેમાં ઉત્પન્ન થતો પાવર મહત્તમ હોય છે.
આપેલ સર્કિટમાં,બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $r = 2\,\Omega$ છે અને તે સ્થિર અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. તેથી,ચલ લોડ $y$ સિવાયનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + r = R + 2\,\Omega$ થશે.
મહત્તમ પાવર માટે,$y = R_{eq}$ હોવું જોઈએ.
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ પાવર માટે $y = 5\,\Omega$ છે,
તેથી,$5\,\Omega = R + 2\,\Omega$
$R = 5\,\Omega - 2\,\Omega = 3\,\Omega$.

(A) તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો દર પાવરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{V^2}{R}$.
શરૂઆતમાં,તારનો અવરોધ $R_1 = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ છે.
તેથી,શરૂઆતનો પાવર $P_1 = \frac{V^2}{R_1}$ છે.
જ્યારે લંબાઈ અડધી $(L' = L/2)$ અને ત્રિજ્યા બમણી $(r' = 2r)$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ થાય છે:
$R_2 = \frac{\rho (L/2)}{\pi (2r)^2} = \frac{\rho L / 2}{\pi (4r^2)} = \frac{\rho L}{8 \pi r^2} = \frac{R_1}{8}$.
નવો પાવર $P_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_2 = \frac{V^2}{R_2} = \frac{V^2}{R_1 / 8} = 8 \left( \frac{V^2}{R_1} \right) = 8 P_1$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો દર $8$ ગણો વધશે.

(D) આપેલ છે $R(T) = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$. $T_0 = 300\,K$ પર, $R_0 = 100\,\Omega$. $T = 500\,K$ પર, $R = 120\,\Omega$. આ કિંમતો મૂકતા: $120 = 100[1 + \alpha(500 - 300)]$, જે $1.2 = 1 + 200\alpha$ આપે છે, તેથી $\alpha = 0.2/200 = 10^{-3}\,K^{-1}$.
તાપમાન $30\,s$ માં $300\,K$ થી $500\,K$ સુધી અચળ દરે વધે છે. ધારો કે $T(t) = 300 + kt$. $t = 30\,s$ પર, $T = 500\,K$, તેથી $500 = 300 + 30k$, જે $k = 20/3\,K/s$ આપે છે. આમ, $T(t) - T_0 = (20/3)t$.
વ્યય થતો પાવર $P = V^2/R(t) = V^2 / [R_0(1 + \alpha(20/3)t)]$ છે. કુલ ઉર્જા જે ગરમી તરીકે વ્યય થાય છે તે $W = \int_0^{30} P dt = \int_0^{30} \frac{V^2}{R_0(1 + (20\alpha/3)t)} dt$ છે.
$V = 200\,V, R_0 = 100\,\Omega, \alpha = 10^{-3}$ મૂકતા:
$W = \frac{200^2}{100} \int_0^{30} \frac{1}{1 + (20 \times 10^{-3} / 3)t} dt = 400 \int_0^{30} \frac{1}{1 + (1/150)t} dt$.
$\int \frac{1}{1+ax} dx = \frac{1}{a} \ln(1+ax)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $W = 400 \times 150 [\ln(1 + t/150)]_0^{30} = 400 \times 150 \ln(1 + 30/150) = 400 \times 150 \ln(6/5)$ મળે છે. વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $400 \ln(6/5)$ છે, જે $400 \ln(5/6)$ ના ઋણ મૂલ્ય તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(B) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક ઘટક પરનો વોલ્ટેજ બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે.
બલ્બ $1$ પરનો વોલ્ટેજ $(V_1)$ $= 6.0\,V$.
બલ્બ $2$ પરનો વોલ્ટેજ $(V_2)$ $= 6.0\,V$.
બલ્બની તેજસ્વિતા તેના દ્વારા વપરાતા પાવર પર આધાર રાખે છે,જે $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્બ $1$ માટે: $P_1 = \frac{6^2}{3} = \frac{36}{3} = 12\,W$.
બલ્બ $2$ માટે: $P_2 = \frac{6^2}{6} = \frac{36}{6} = 6\,W$.
અહીં $P_1 > P_2$ હોવાથી,બલ્બ $1$ વધુ તેજસ્વી પ્રકાશશે.

(A) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 2\, mA = 2 \times 10^{-3}\, A$,પાવર $P = 4.4\, W$.
સૂત્ર $P = I^2 R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અવરોધ $R$ શોધીએ છીએ:
$R = \frac{P}{I^2} = \frac{4.4}{(2 \times 10^{-3})^2} = \frac{4.4}{4 \times 10^{-6}} = 1.1 \times 10^6\, \Omega$.
હવે,જ્યારે આ અવરોધક પર $V = 11\, V$ નો વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = \frac{V^2}{R} = \frac{11^2}{1.1 \times 10^6} = \frac{121}{1.1 \times 10^6} = 110 \times 10^{-6}\, W = 11 \times 10^{-5}\, W$.

(D) પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{E}{r + R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ ને આપવામાં આવતો પાવર $P = i^2 R$ છે.
$i$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $P = \left(\frac{E}{r + R}\right)^2 R = \frac{E^2 R}{(r + R)^2}$ મળે છે.
મહત્તમ પાવર માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dP}{dR} = E^2 \left[ \frac{(r + R)^2 \cdot 1 - R \cdot 2(r + R)}{(r + R)^4} \right] = 0$.
આનું સાદું રૂપ $(r + R)^2 - 2R(r + R) = 0$ થાય છે.
$(r + R)$ વડે ભાગતા,આપણને $(r + R) - 2R = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r - R = 0$ અથવા $R = r$.
આમ,જ્યારે બાહ્ય અવરોધ કોષના આંતરિક અવરોધ જેટલો હોય ત્યારે પાવર મહત્તમ હોય છે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહના વહનથી વાહકમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા જૂલના નિયમ મુજબ $H = I^2Rt$ છે.
આ ઉષ્મા ઉર્જા તાપમાનમાં વધારો કરે છે,જે $H = ms\Delta\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા અને $\Delta\theta$ એ તાપમાનમાં વધારો છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $I^2Rt = ms\Delta\theta$. જો $R$,$t$,$m$ અને $s$ અચળ રહે,તો $\Delta\theta \propto I^2$.
શરૂઆતમાં,$I$ પ્રવાહ માટે,તાપમાનમાં વધારો $\Delta\theta_1 = 4\,^oC$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ ત્રણ ગણો કરવામાં આવે,ત્યારે $I' = 3I$. તાપમાનમાં નવો વધારો $\Delta\theta_2$ આ રીતે મળે: $\frac{\Delta\theta_2}{\Delta\theta_1} = \frac{(I')^2}{I^2} = \frac{(3I)^2}{I^2} = 9$.
તેથી,$\Delta\theta_2 = 9 \times \Delta\theta_1 = 9 \times 4\,^oC = 36\,^oC$.

(A) સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 4 \times 10^6 \, V$ છે.
વહન પામેલ વિદ્યુતભાર $Q = 4 \, C$ છે.
સમયગાળો $t = 100 \, ms = 100 \times 10^{-3} \, s = 0.1 \, s$ છે.
જમીન પર પહોંચતી ઉર્જા $E = V \times Q = 4 \times 10^6 \times 4 = 16 \times 10^6 \, J$ છે.
પાવર $P$ એ ઉર્જાના વહનનો દર છે: $P = \frac{E}{t}$.
$P = \frac{16 \times 10^6 \, J}{0.1 \, s} = 160 \times 10^6 \, W$.
$10^6 \, W = 1 \, MW$ હોવાથી,પાવર $160 \, MW$ થાય.

(D) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા તાર માટે વ્યાસ સમાન હોવાથી,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ રહે છે.
દરેક તાર માટે અવરોધની ગણતરી:
$R_1 = \frac{\rho L}{A}$
$R_2 = \frac{(1.2\rho)(1.2L)}{A} = 1.44 \frac{\rho L}{A}$
$R_3 = \frac{(0.9\rho)(0.9L)}{A} = 0.81 \frac{\rho L}{A}$
$R_4 = \frac{\rho(1.5L)}{A} = 1.5 \frac{\rho L}{A}$
અવરોધની સરખામણી કરતા: $R_3 < R_1 < R_2 < R_4$.
અચળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માટે ઉર્જા વ્યયનો દર (પાવર) $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $P \propto \frac{1}{R}$,જે તારનો અવરોધ સૌથી ઓછો હશે તેનો પાવર વ્યય સૌથી વધુ હશે.
તેથી,પાવર વ્યયનો સૌથી વધુથી સૌથી ઓછાનો ક્રમ: $P_3 > P_1 > P_2 > P_4$ છે.

(B) $V$ વોલ્ટેજ ધરાવતી બેટરી દ્વારા $R$ સમતુલ્ય અવરોધ ધરાવતી સર્કિટને આપવામાં આવતો પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{V^2}{R}$.
$R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $R = \frac{V^2}{P}$.
આપેલ કિંમતો $V = 100\,V$ અને $P = 40\,W$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $R = \frac{100^2}{40} = \frac{10000}{40} = 250\,\Omega$.
તેથી,સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $250\,\Omega$ છે.