Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Gujarati

(B) મૂળ તારનો અવરોધ $R = 4\,\Omega$ છે.
જ્યારે તારને તેના મધ્યબિંદુએથી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\Omega$ થાય છે.
જ્યારે આ બંને ભાગોને એકબીજા સાથે વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાંતર જોડાણ બનાવે છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
તેથી,$R_{eq} = 1\,\Omega$ મળે છે.

(A) $R$ અવરોધ ધરાવતા તારને $10$ સમાન ભાગોમાં વહેંચતા,દરેક ભાગનો અવરોધ $r = \frac{R}{10}$ થશે.
જ્યારે આ $10$ ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + ... + \frac{1}{r_{10}}$
બધા ભાગો સમાન હોવાથી $(r_1 = r_2 = ... = r_{10} = r = \frac{R}{10})$,આપણને મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{10}{r} = \frac{10}{R/10} = \frac{100}{R}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{100} = 0.01\, R$.

(B) $1$. દરેક જૂથમાં $R$ અવરોધ ધરાવતા $2$ અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
$2$. આવા એક સમાંતર જૂથનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R_p = \frac{R}{2}$.
$3$. આવા $4$ જૂથો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
$4$. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $4$ જૂથોના અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_p + R_p + R_p + R_p = 4 \times R_p$.
$5$. $R_p$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R_{eq} = 4 \times \frac{R}{2} = 2R$ મળે છે.

(C) $1\, \Omega$ ના ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ છે.
અહીં $R_1 = R_2 = R_3 = 1\, \Omega$ હોવાથી,$\frac{1}{R_p} = 1 + 1 + 1 = 3$,એટલે કે $R_p = \frac{1}{3}\, \Omega$ મળે.
આ સમાંતર જોડાણને $\frac{2}{3}\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં કુલ અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_p + R_{series}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1\, \Omega$.

(C) સૌથી ઓછો સમતુલ્ય અવરોધ મેળવવા માટે,બધા અવરોધોને સમાંતર જોડાણમાં જોડવા જોઈએ.
જ્યારે $n$ સમાન અવરોધો $r$ ને સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + ... + \frac{1}{r}$ ($n$ વખત)
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{n}{r}$
આપેલ છે:
અવરોધોની સંખ્યા $n = 10$
દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $r = 1/10\,\Omega = 0.1\,\Omega$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{10}{0.1} = 100$
$R_{eq} = \frac{1}{100}\,\Omega$

(B) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા $n$ અવરોધકોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = R/n$
આના પરથી,આપણે $R$ ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ:
$R = nx$
જ્યારે આ $n$ અવરોધકોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_s$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_s = R + R + ... + R$ ($n$ વખત)
$R_s = nR$
સમાંતર જોડાણમાંથી $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_s = n(nx) = n^2x$
તેથી,શ્રેણીમાં સમતુલ્ય અવરોધ $n^2x$ થશે.

(NONE) આપેલ પરિપથમાં,$A-D$ અને $D-C$ વચ્ચે જોડાયેલા $3\, \Omega$ અને $3\, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $3\, \Omega + 3\, \Omega = 6\, \Omega$ થાય છે.
આ $6\, \Omega$ સમતુલ્ય અવરોધ,$A$ અને $C$ ની વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $6\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AC} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3\, \Omega$ થાય છે.
હવે,આ $R_{AC} = 3\, \Omega$ અવરોધ,$C$ અને $B$ ની વચ્ચે જોડાયેલા $3\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{AB} = 3\, \Omega + 3\, \Omega = 6\, \Omega$ થાય છે.

(D) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સ્ત્રોતના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
અહીં અવરોધોને $10\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડવામાં આવ્યા હોવાથી,દરેક અવરોધ ($2\,\Omega$,$3\,\Omega$ અને $5\,\Omega$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ રહેશે.
તેથી,$3\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $10\,V$ થશે.

(D) $1$. આ પરિપથમાં એક અવરોધ $r$ એ બે શાખાઓના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$2$. ઉપરની શાખામાં $r$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધકો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = r + r + r = 3r$ થાય.
$3$. નીચેની શાખામાં પણ $r$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધકો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = r + r + r = 3r$ થાય.
$4$. આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી તેમનો સંયુક્ત સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{3r} + \frac{1}{3r} = \frac{2}{3r}$. આમ,$R_p = \frac{3r}{2}$.
$5$. નેટવર્કનો કુલ અસરકારક અવરોધ એ શ્રેણીમાં રહેલા અવરોધ $r$ અને સમાંતર જોડાણ $R_p$ નો સરવાળો છે: $R_{effective} = r + R_p = r + \frac{3r}{2} = \frac{5r}{2}$.

(C) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6}{8} = 0.75 \, \Omega$ છે ..... $(i)$.
જ્યારે એક તાર તૂટી જાય છે,ત્યારે પરિપથમાં માત્ર બાકી રહેલો અવરોધ જ રહે છે. આપેલ છે કે નવો અસરકારક અવરોધ $2 \, \Omega$ છે,તેથી ધારો કે $R_1 = 2 \, \Omega$ ..... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{2 R_2}{2 + R_2} = 0.75$
$2 R_2 = 0.75(2 + R_2)$
$2 R_2 = 1.5 + 0.75 R_2$
$1.25 R_2 = 1.5$
$R_2 = \frac{1.5}{1.25} = \frac{150}{125} = 1.2 \, \Omega$ અથવા $6/5 \, \Omega$.

(C) ત્રણ સમાન અવરોધકો,દરેકનો અવરોધ $R$ હોય,તો શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$1$. ત્રણેય શ્રેણીમાં: $R_{eq} = R + R + R = 3R$
$2$. ત્રણેય સમાંતરમાં: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R} \implies R_{eq} = \frac{R}{3}$
$3$. બે સમાંતરમાં,ત્રીજા સાથે શ્રેણીમાં: $R_{eq} = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2} = 1.5R$
$4$. બે શ્રેણીમાં,ત્રીજા સાથે સમાંતરમાં: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{2R} \implies R_{eq} = \frac{2R}{3} \approx 0.67R$
આમ,ત્રણ સમાન અવરોધકોને જોડવાની કુલ $4$ અલગ-અલગ રીતો છે.

(B) ઘરગથ્થુ વિદ્યુત સર્કિટમાં,તમામ ઉપકરણો અને લેમ્પ સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે,સમાંતર જોડાણમાં દરેક ઉપકરણ પરનો વોલ્ટેજ સમાન રહે છે અને તે સપ્લાય વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે.
વધુમાં,જો એક લેમ્પ બગડી જાય અથવા બંધ કરવામાં આવે,તો પણ અન્ય લેમ્પ સ્વતંત્ર રીતે કામ કરવાનું ચાલુ રાખે છે કારણ કે દરેક ઉપકરણ માટે વિદ્યુત પ્રવાહ વહેવા માટેનો પોતાનો અલગ માર્ગ હોય છે.

(D) જ્યારે અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અથવા સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો બૈજગણિતિક સરવાળો છે.
ગાણિતિક રીતે,શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધો $R_1, R_2, R_3, ..., R_n$ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ એ ઘટક અવરોધોના સરવાળા જેટલો હોય છે.

(A) ધારો કે ચાર અવરોધો એક ચોરસ $ABCD$ માં જોડાયેલા છે. દરેક તારનો અવરોધ $R = 10 \ \Omega$ છે.
જ્યારે આપણે બે સામસામેના ખૂણાઓ (ધારો કે $D$ અને $B$) વચ્ચે સમતુલ્ય અવરોધ શોધીએ છીએ,ત્યારે પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે.
શાખા $1$ માં શ્રેણીમાં બે અવરોધો છે: $DA$ અને $AB$. આ શાખાનો અવરોધ $R_1 = 10 \ \Omega + 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$ છે.
શાખા $2$ માં શ્રેણીમાં બે અવરોધો છે: $DC$ અને $CB$. આ શાખાનો અવરોધ $R_2 = 10 \ \Omega + 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$ છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.
તેથી,$R_{eq} = 10 \ \Omega$.

(B) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે: $R_1 + R_2 = 9 \ \Omega$ ---$(1)$
સમાંતર જોડાણ માટે: $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 2 \ \Omega$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $\frac{R_1 R_2}{9} = 2 \implies R_1 R_2 = 18 \ \Omega^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(R_1 - R_2)^2 = (R_1 + R_2)^2 - 4R_1 R_2$.
$(R_1 - R_2)^2 = (9)^2 - 4(18) = 81 - 72 = 9$.
તેથી,$R_1 - R_2 = 3 \ \Omega$ ---$(3)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $2R_1 = 12 \implies R_1 = 6 \ \Omega$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $2R_2 = 6 \implies R_2 = 3 \ \Omega$.
આમ,અવરોધો $6 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ છે.

(D) ધારો કે મૂળ તારનો અવરોધ $R$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધ એ તારની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R \propto l)$. તેથી,ચાર સમાન ભાગોમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = R/4$ થશે.
જ્યારે આ ચાર તારને એકસાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા $n$ અવરોધો,જે દરેકનો અવરોધ $R'$ હોય,તેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R'/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 4$ અને $R' = R/4$ છે.
તેથી,$R_{eq} = \frac{R/4}{4} = \frac{R}{16}$.
આમ,પેકેટનો અવરોધ મૂળ અવરોધના $\frac{1}{16}$ ગણો થશે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,અવરોધ $R$ અને ${R_2}$ સમાંતર જોડાયેલા છે. ધારો કે $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ ${I_1}$ છે. તો ${R_2}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $(I - {I_1})$ થશે.
તેઓ સમાંતર હોવાથી,બંને અવરોધો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોવો જોઈએ:
${I_1}R = (I - {I_1}){R_2}$
${R_2}$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
${R_2} = \frac{{I_1}R}{I - {I_1}}$
હવે,આપણે $R$ માંથી વહેતા પ્રવાહ $({I_1})$ અને અવરોધ ${R_2}$ માટે આપેલા વિકલ્પો ચકાસીએ:
વિકલ્પ $(d)$ માટે,${I_1} = \frac{I}{2}$ અને ${R_2} = R$:
${R_2} = \frac{(\frac{I}{2})R}{I - \frac{I}{2}} = \frac{\frac{I}{2}R}{\frac{I}{2}} = R$
આ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) આ પરિપથમાં એક લંબચોરસ $ABCD$ છે જેમાં વિકર્ણ $BD$ છે. બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે:
$1$. તાર $BC$ અને $CD$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો કુલ અવરોધ $R_{BC} + R_{CD} = 4\, \Omega + 4\, \Omega = 8\, \Omega$ થાય.
$2$. આ $8\, \Omega$ નો અવરોધ વિકર્ણ $BD$ $(8\, \Omega)$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,આ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{8 \times 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4\, \Omega$ થાય.
$3$. હવે,આ $4\, \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ તાર $AD$ $(4\, \Omega)$ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી કુલ અવરોધ $4\, \Omega + 4\, \Omega = 8\, \Omega$ થાય.
$4$. અંતે,આ $8\, \Omega$ નો અવરોધ તાર $AB$ $(4\, \Omega)$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}\, \Omega$ થાય.

(C) પગલું $1$: સમાંતર જોડેલા $1\,\Omega$ ના ત્રણ અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો.
સમાંતર જોડાણ માટે,$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3\,\Omega^{-1}$.
તેથી,$R_p = \frac{1}{3}\,\Omega$.
પગલું $2$: જ્યારે આવા ત્રણ સંયોજનોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે કુલ અવરોધ શોધો.
શ્રેણી જોડાણ માટે,$R_{total} = R_p + R_p + R_p = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1\,\Omega$.

(B) આપેલા અવરોધકોમાંથી ન્યૂનતમ સમતુલ્ય અવરોધ મેળવવા માટે,તેમને સમાંતર જોડાણમાં જોડવા જોઈએ.
જ્યારે $n$ સમાન અવરોધકો,જે દરેકનો અવરોધ $r$ છે,તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{r}{n}$
અહીં $n = 10$ અને દરેક અવરોધકનો અવરોધ $r$ છે,તેથી ન્યૂનતમ અવરોધ:
$R_{eq} = \frac{r}{10}$

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન દ્રવ્ય અને સમાન લંબાઈના હોવાથી,$R \propto \frac{1}{A}$ થાય.
આડછેદના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = 3 : 1$ આપેલ છે,જ્યાં $A_1$ જાડો તાર અને $A_2$ પાતળો તાર છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{3}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R_2 = 3R_1$.
જાડા તારનો અવરોધ $R_1 = 10\,\Omega$ આપેલ છે.
તેથી,પાતળા તારનો અવરોધ $R_2 = 3 \times 10 = 30\,\Omega$ થાય.
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 10 + 30 = 40\,\Omega$ થાય.

(D) તારનો અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$R \propto l$.
તારને દસ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવતા,દરેક ભાગનો અવરોધ $r = \frac{R}{10}$ થાય.
જ્યારે આવા બે ટુકડાઓને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે એક સંયોજનનો અવરોધ $r_s = r + r = 2r = 2 \times \frac{R}{10} = \frac{R}{5}$ થાય.
આવા પાંચ સંયોજનોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r_s} + \frac{1}{r_s} + \frac{1}{r_s} + \frac{1}{r_s} + \frac{1}{r_s} = \frac{5}{r_s}$ છે.
તેથી,$R_{eq} = \frac{r_s}{5} = \frac{R/5}{5} = \frac{R}{25}$.

(C) જ્યારે $R = 12\,\Omega$ કુલ અવરોધ ધરાવતા તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ વ્યાસ દ્વારા તાર બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે.
તારના દરેક અડધા ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{12}{2} = 6\,\Omega$ થશે.
આ બે અડધા ભાગો વ્યાસ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા હોય છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ છે.
અહીં,$R_1 = 6\,\Omega$ અને $R_2 = 6\,\Omega$ છે.
તેથી,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,$R_{eq} = 3\,\Omega$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે ત્રણ અવરોધો છે, દરેકનો અવરોધ $R = 4\,\Omega$ છે.
કિસ્સો $1$: ત્રણેય અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય.
$R_{eq} = R + R + R = 4 + 4 + 4 = 12\,\Omega$.
કિસ્સો $2$: ત્રણેય અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R} \implies R_{eq} = \frac{4}{3} \approx 1.33\,\Omega$.
કિસ્સો $3$: બે અવરોધો શ્રેણીમાં અને ત્રીજો અવરોધ તે સંયોજન સાથે સમાંતરમાં હોય.
$R_{series} = 4 + 4 = 8\,\Omega$.
$R_{eq} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = 2.67\,\Omega$.
કિસ્સો $4$: બે અવરોધો સમાંતરમાં અને ત્રીજો અવરોધ તે સંયોજન સાથે શ્રેણીમાં હોય.
$R_{parallel} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\,\Omega$.
$R_{eq} = 2 + 4 = 6\,\Omega$.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $3\,\Omega$ મૂલ્ય મેળવી શકાતું નથી.

(D) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા તારને $n$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{n}$ થાય છે.
જ્યારે આ $n$ ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + ... + \frac{1}{R'}$ ($n$ વખત) છે.
તેથી,$\frac{1}{R_{eq}} = n \times \frac{1}{R'} = n \times \frac{1}{(R/n)} = \frac{n^2}{R}$.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R}{n^2}$ થશે.

(C) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે.
જ્યારે $n$ અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\max} = nR$ થાય છે.
જ્યારે $n$ અવરોધોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\min} = R/n$ થાય છે.
મહત્તમ અવરોધ અને ન્યૂનતમ અવરોધનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{nR}{R/n} = n \times n = n^2$.

(C) સૌ પ્રથમ,પરિપથના આંતરિક ભાગને સરળ બનાવો. સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે $10 \, \Omega$ ના અવરોધોનું સમતુલ્ય મૂલ્ય $R_p = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ થાય.
આ $5 \, \Omega$ એ $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_s = 5 + 10 = 15 \, \Omega$ મળે.
આ $15 \, \Omega$ એ બીજા $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી $R_{p'} = \frac{15 \times 10}{15 + 10} = \frac{150}{25} = 6 \, \Omega$ મળે.
હવે,પરિપથમાં $10 \, \Omega$ નો અવરોધ એ $R$ અને $(10 + 6) \, \Omega = 16 \, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 18 \, \Omega$ આપેલ હોવાથી:
$18 = 10 + \frac{R \times 16}{R + 16}$
$8 = \frac{16R}{R + 16}$
$8(R + 16) = 16R$
$8R + 128 = 16R$
$8R = 128$
$R = 16 \, \Omega$.

(D) જ્યારે $4\,\Omega$ ના ત્રણ અવરોધોને સમબાજુ ત્રિકોણમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ધારો કે ખૂણાઓ $A$,$B$ અને $C$ છે.
કોઈપણ બે ખૂણાઓ (દા.ત.,$A$ અને $B$) વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથની ગોઠવણી જોઈએ.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચે સીધો જોડાયેલ અવરોધ એ બાકીના બે અવરોધો (જે $A-C$ અને $C-B$ વચ્ચે જોડાયેલા છે) ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર છે.
શ્રેણી શાખાનો અવરોધ = $4\,\Omega + 4\,\Omega = 8\,\Omega$.
હવે,આ $8\,\Omega$ ની શાખા એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $4\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{8}{3}\,\Omega$.

(C) જ્યારે $n$ અવરોધકો,જે દરેકનો અવરોધ $R$ છે,સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R_{eq} = \frac{R}{n}$
આપેલ છે:
તારની સંખ્યા,$n = 10$
દરેક તારનો અવરોધ,$R = 1 \ \Omega$
કિંમતો મૂકતા:
$R_{eq} = \frac{1 \ \Omega}{10} = 0.1 \ \Omega$
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $0.1 \ \Omega$ થશે.

(C) આ પરિપથ શ્રેણીમાં જોડાયેલા ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: એક $2\,\Omega$ નો અવરોધ,બે $2\,\Omega$ ના અવરોધોનું સમાંતર જોડાણ,અને બીજો એક $2\,\Omega$ નો અવરોધ.
સૌ પ્રથમ,સમાંતરમાં જોડાયેલા બે $2\,\Omega$ ના અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \implies R_p = 1\,\Omega$.
હવે,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ શ્રેણીમાં રહેલા ઘટકોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = 2\,\Omega + R_p + 2\,\Omega = 2\,\Omega + 1\,\Omega + 2\,\Omega = 5\,\Omega$.

(D) આ સર્કિટમાં ત્રણ અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે, જે ચોથા અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે。
ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R = 2\, \Omega$ છે。
સૌ પ્રથમ, ત્રણ સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$ ગણો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
$R_p = \frac{R}{3} = \frac{2}{3}\, \Omega$.
હવે, આ સમાંતર જોડાણ બાકીના અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે。
તેથી, કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ થશે:
$R_{AB} = R_p + R = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2 + 6}{3} = \frac{8}{3}\, \Omega = 2\frac{2}{3}\, \Omega$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે ચાર અવરોધોને $A, B, C, D$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચોરસ $ABCD$ માં જોડવામાં આવ્યા છે. દરેક બાજુનો અવરોધ $R = 100 \ \Omega$ છે.
વિકર્ણ બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથનું અવલોકન કરીએ.
માર્ગ $A-B-C$ માં શ્રેણીમાં બે અવરોધો છે: $R_{ABC} = 100 \ \Omega + 100 \ \Omega = 200 \ \Omega$.
માર્ગ $A-D-C$ માં પણ શ્રેણીમાં બે અવરોધો છે: $R_{ADC} = 100 \ \Omega + 100 \ \Omega = 200 \ \Omega$.
આ બે શાખાઓ ($R_{ABC}$ અને $R_{ADC}$) બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{ABC}} + \frac{1}{R_{ADC}} = \frac{1}{200} + \frac{1}{200} = \frac{2}{200} = \frac{1}{100}$.
તેથી,$R_{eq} = 100 \ \Omega$.

(B) આપેલ છે: અવરોધકતા $\rho$ સમાન છે,લંબાઈ $l$ સમાન છે.
ધારો કે જાડા તારનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ અને ત્રિજ્યા $r_1$ છે,અને પાતળા તારનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ અને ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
પાતળા તારની જાડાઈ અડધી હોવાથી,$r_2 = \frac{r_1}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$A_2 = \pi (\frac{r_1}{2})^2 = \frac{1}{4} A_1$.
અવરોધના સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$R \propto \frac{1}{A}$ મળે.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{4}$.
પાતળા તારનો અવરોધ $R_2 = 8\, \Omega$ આપેલ છે,તેથી $\frac{R_1}{8} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $R_1 = 2\, \Omega$.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2 \times 8}{2 + 8} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}\, \Omega$ થાય.

(A) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધકો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ છે.
અહીં $R_1 = 2 \ \Omega$,$R_2 = 4 \ \Omega$ અને $R_3 = 8 \ \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$.
લસાઅ $8$ લેતા: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8} \ \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{8}{7} \ \Omega$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. સમાંતર જોડાણમાં બે અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_{eq} = \frac{12}{7} \ \Omega$. તેથી,$\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{7}{12}$.
જો એક અવરોધને દૂર કરવામાં આવે,તો બાકી રહેલો અવરોધ એ બીજા અવરોધનું મૂલ્ય જ હોય છે. આપેલ છે કે આ $4 \ \Omega$ છે,તેથી ધારો કે $R_1 = 4 \ \Omega$.
સમાંતર જોડાણના સમીકરણમાં $R_1$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{4} + \frac{1}{R_2} = \frac{7}{12}$.
$\frac{1}{R_2} = \frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{7-3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$R_2 = 3 \ \Omega$.

(D) ધારો કે બે તારના અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ છે.
જ્યારે તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $R_p = \frac{6}{5} \ \Omega$,તેથી $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6}{5}$.
જો એક તાર તૂટી જાય,તો બાકી રહેલા તારનો અવરોધ એ જ અસરકારક અવરોધ બને છે. ધારો કે $R_1 = 2 \ \Omega$.
સમાંતર જોડાણના સમીકરણમાં $R_1 = 2$ મૂકતા:
$\frac{2 R_2}{2 + R_2} = \frac{6}{5}$
$10 R_2 = 6(2 + R_2)$
$10 R_2 = 12 + 6 R_2$
$4 R_2 = 12$
$R_2 = 3 \ \Omega$.
આમ,તૂટી ગયેલા તારનો અવરોધ $3 \ \Omega$ છે.

(A) બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટની ગોઠવણીનું અવલોકન કરીએ છીએ.
$1$. અવરોધો $BC$ $(60\,\Omega)$ અને $CA$ $(100\,\Omega)$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે કારણ કે જ્યારે $A$ અને $B$ વચ્ચે પોટેન્શિયલ તફાવત લાગુ કરવામાં આવે છે ત્યારે તેમાંથી સમાન પ્રવાહ વહે છે.
$2$. આ શ્રેણી શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{series} = 60\,\Omega + 100\,\Omega = 160\,\Omega$ છે.
$3$. આ શ્રેણી જોડાણ હવે અવરોધ $AB$ $(40\,\Omega)$ સાથે સમાંતર છે.
$4$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ સમાંતર જોડાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{R_{series}} = \frac{1}{40} + \frac{1}{160}$.
$5$. આની ગણતરી કરતા: $R_{eq} = \frac{40 \times 160}{40 + 160} = \frac{6400}{200} = 32\,\Omega$.

(B) આપેલ પરિપથને અવરોધોના શ્રેણી જોડાણને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
પરિપથમાં જોતા,$4\,\Omega$ અને $8\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $4 + 8 = 12\,\Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ બનાવે છે.
તે જ રીતે,$2\,\Omega$ અને $4\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $2 + 4 = 6\,\Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ બનાવે છે.
આ બે શાખાઓ બિંદુ $a$ અને $b$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{ab}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{ab} = \frac{12 \times 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4\,\Omega$.

(D) તારનો અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(R \propto L)$, જ્યારે $12 \, \Omega$ અવરોધ ધરાવતા તારને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવે, ત્યારે દરેક બાજુનો અવરોધ $R_{side} = 12/3 = 4 \, \Omega$ થાય છે.
જ્યારે આપણે કોઈપણ બે ખૂણાઓ વચ્ચે અસરકારક અવરોધની ગણતરી કરીએ છીએ, ત્યારે એક બાજુ $(4 \, \Omega)$ એ બાકીની બે બાજુઓ સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે, જે શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે (જેનો કુલ અવરોધ $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ થાય છે).
તેથી, અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ સમાંતર જોડાણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4 \times 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \, \Omega$.

(B) આપેલ પરિપથ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
$1$. ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં ત્રણ અવરોધો છે: $5\,\Omega$,$10\,\Omega$,અને $15\,\Omega$. આ શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 5 + 10 + 15 = 30\,\Omega$ છે.
$2$. નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં ત્રણ અવરોધો છે: $10\,\Omega$,$20\,\Omega$,અને $30\,\Omega$. આ શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = 10 + 20 + 30 = 60\,\Omega$ છે.
$3$. આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,અસરકારક અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
તેથી,$R_{AB} = 20\,\Omega$.

(B) આપેલ છે કે તારનો પ્રારંભિક અવરોધ $R = 6 \,\Omega$ છે.
જ્યારે તારને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = R/2 = 6/2 = 3 \,\Omega$ થાય છે.
જ્યારે આ બે સમાન અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'}$
$R_{eq} = \frac{R'}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \,\Omega$.
વૈકલ્પિક રીતે,સમાંતરમાં જોડાયેલા બે સમાન અવરોધો માટેના ટૂંકા સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R_{eq} = \frac{R}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \,\Omega$.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R = 4 \ \Omega$ છે. જ્યારે તારને અર્ધવર્તુળાકારમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાઈ જાય છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = R/2 = 4/2 = 2 \ \Omega$ થાય છે.
આ બે ભાગો વ્યાસના બે છેડાઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા હોય છે.
બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ સમાંતર હોય ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2$ છે.
અહીં,$R_1 = 2 \ \Omega$ અને $R_2 = 2 \ \Omega$ છે.
તેથી,$1/R_{eq} = 1/2 + 1/2 = 1 \ \Omega^{-1}$.
આમ,$R_{eq} = 1 \ \Omega$.

(A) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધકો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
અહીં $R_1 = 2 \,\Omega$,$R_2 = 4 \,\Omega$,અને $R_3 = 5 \,\Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$
$2, 4,$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $20$ છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{10 + 5 + 4}{20} = \frac{19}{20} \,\Omega^{-1}$
તેથી,કુલ અવરોધ:
$R_{eq} = \frac{20}{19} \,\Omega$

(C) $2 \,\Omega$,$3 \,\Omega$ અને $6 \,\Omega$ ના અવરોધોમાંથી $4 \,\Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ મેળવવા માટે:
$1$. સૌ પ્રથમ,$3 \,\Omega$ અને $6 \,\Omega$ ના અવરોધોને સમાંતરમાં જોડો. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies R_p = 2 \,\Omega$.
$2$. હવે,આ સમાંતર જોડાણને $(R_p = 2 \,\Omega)$ બાકી રહેલા $2 \,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડો.
$3$. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ થશે:
$R_{eq} = R_p + 2 \,\Omega = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$.
આમ,$3 \,\Omega$ અને $6 \,\Omega$ ને સમાંતરમાં જોડીને પછી $2 \,\Omega$ ને શ્રેણીમાં જોડવાથી ઇચ્છિત પરિણામ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે.
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_S = R_1 + R_2 = 16\,\Omega$ થાય છે.
જ્યારે તેમને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 3\,\Omega$ થાય છે.
શ્રેણીના સમીકરણ પરથી,$R_1 + R_2 = 16$.
આ કિંમતને સમાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{R_1 R_2}{16} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $R_1 R_2 = 48$.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $16$ અને ગુણાકાર $48$ થાય. આ સંખ્યાઓ $4$ અને $12$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$1$. અલગ-અલગ: $4\,\Omega$ અને $12\,\Omega$ (પ્રશ્નમાં આપેલ છે).
$2$. શ્રેણીમાં: $4 + 12 = 16\,\Omega$.
$3$. સમાંતરમાં: $\frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3\,\Omega$.
આમ,અવરોધો $4\,\Omega$ અને $12\,\Omega$ છે.

(A) વાયરનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દળ $M = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = d \times \pi r^2 L$ અચળ હોવાથી,$L \propto \frac{1}{r^2}$ થાય.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R \propto \frac{1}{r^2 \cdot r^2} = \frac{1}{r^4}$.
તેથી,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4$. આપેલ છે કે $r_A = 2r_B$,તેથી $\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $R_B = 16 R_A$.
જ્યારે $R_A$ અને $R_B$ ને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{eq} = \frac{R_A R_B}{R_A + R_B} = \frac{R_A (16 R_A)}{R_A + 16 R_A} = \frac{16 R_A^2}{17 R_A} = \frac{16}{17} R_A$.
જો $R_A = 4.25 \, \Omega$ હોય,તો $R_{eq} = \frac{16}{17} \times 4.25 = \frac{16}{17} \times \frac{17}{4} = 4 \, \Omega$.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) ઘનના બે વિકર્ણીય વિરુદ્ધ ખૂણાઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથની સંમિતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ખૂણા $A$ પર પ્રવેશે છે અને ખૂણા $D$ પરથી બહાર નીકળે છે.
નોડ $A$ પર,પ્રવાહ સમાન રીતે $3$ શાખાઓમાં વહેંચાય છે,જે દરેકનો અવરોધ $R$ છે. આ $3$ સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R/3$ છે.
આ $3$ નોડ્સમાંથી,પ્રવાહ આગળ $6$ શાખાઓમાં વહેંચાય છે,જે દરેકનો અવરોધ $R$ છે. આ $6$ સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R/6$ છે.
અંતે,પ્રવાહ $3$ શાખાઓ દ્વારા એકત્રિત થાય છે,જે દરેકનો અવરોધ $R$ છે,જે એક્ઝિટ નોડ $D$ સાથે જોડાયેલ છે. આ $3$ સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R/3$ છે.
આ ત્રણેય અવરોધોના સેટ શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = \frac{R}{3} + \frac{R}{6} + \frac{R}{3} = \frac{2R + R + 2R}{6} = \frac{5R}{6}$

(C) ધારો કે કુલ $n$ અવરોધોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 5\,\Omega$ અને મહત્તમ પ્રવાહ ક્ષમતા $I_{total} = 4\,A$ છે.
દરેક અવરોધ માટે $R = 10\,\Omega$ અને $I_{max} = 1\,A$ છે.
સંયોજન દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P = I_{total}^2 \times R_{eq} = 4^2 \times 5 = 16 \times 5 = 80\,W$ છે.
દરેક વ્યક્તિગત અવરોધ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P_{res} = I_{max}^2 \times R = 1^2 \times 10 = 10\,W$ છે.
કુલ પાવર એ દરેક અવરોધ દ્વારા વ્યય થતા પાવરનો સરવાળો હોવાથી,$n = P / P_{res} = 80 / 10 = 8$ મળે.
આમ,ઓછામાં ઓછા $8$ અવરોધોની જરૂર પડશે.

(B) ધારો કે દરેક ગૂંચળાનો અવરોધ $R$ છે. આપણે તેમને નીચે મુજબ જોડી શકીએ છીએ:
$1$. એક ગૂંચળું વાપરીને: $R_{eq} = R$
$2$. બે ગૂંચળા શ્રેણીમાં: $R_{eq} = 2R$
$3$. બે ગૂંચળા સમાંતરમાં: $R_{eq} = R/2$
$4$. ત્રણ ગૂંચળા શ્રેણીમાં: $R_{eq} = 3R$
$5$. ત્રણ ગૂંચળા સમાંતરમાં: $R_{eq} = R/3$
$6$. બે શ્રેણીમાં અને એક સમાંતરમાં: $R_{eq} = 2R/3$
$7$. બે સમાંતરમાં અને એક શ્રેણીમાં: $R_{eq} = 3R/2$
જોકે,પ્રશ્ન મુજબ જો આપણે ત્રણેય ગૂંચળાનો ઉપયોગ કરીએ,તો શક્ય જોડાણોની સંખ્યા $2^{n-1}$ છે. $n=3$ માટે,$2^{3-1} = 4$.